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§ 3 二元函数的连续性一 二元函数的连续性定义 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。
的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有 ()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。
在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。
若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。
由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。
特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x m x y y x y x y x xyy x f其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→ 因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。
设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆ ()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0l i m ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x时，f 在点0P 连续。
二元函数为什么连续不可推出可导的探讨一、探讨二元函数的连续性和可导性1. 二元函数在数学中是一种常见的函数形式，它由两个自变量和一个因变量构成。
通常来说，我们会对二元函数的连续性和可导性进行研究。
在数学分析中，连续性是指函数在某一点附近的变化趋势和稳定性，而可导性则是指函数在某一点处存在切线，也即函数在该点有斜率。
2. 连续性和可导性是函数的重要性质，它们直接关系到函数在某一点的变化趋势和变化速率。
一般来说，连续性是可导性的必要条件，但不一定是充分条件。
也就是说，一个函数在某一点处可导，则它必然是连续的；然而，一个函数在某一点处连续，并不代表它在该点可导。
3. 回顾一元函数的情况，我们知道连续性是可导性的必要条件，而可导性则并不是连续性的充分条件。
这一点在二元函数中同样适用，即二元函数的连续性不一定能推出它的可导性。
二、二元函数为什么连续不可推出可导的原因1. 二元函数连续不可推出可导的原因主要在于函数在某一点处的变化性和斜率的关系。
对于一元函数来说，连续性意味着函数在某一点附近没有跳跃或间断，这使得在该点可以定义函数的斜率，从而可导。
然而，对于二元函数来说，情况并不完全相同。
即使函数在某一点处连续，也不能保证函数在该点处有确定的斜率，因此也不能保证可导。
2. 一种常见的例子是多元复合函数。
在多元复合函数中，即使外层函数和内层函数都在某一点处连续，也不能保证复合函数在该点可导。
这是因为函数的连续性不足以确定函数在该点的斜率，从而不能推出可导性。
3. 二元函数的可导性还与偏导数的存在性相关。
即使函数在某点处连续，但它的偏导数不一定存在，也就意味着函数在该点处不可导。
这进一步说明了二元函数连续不可推出可导的现象。
三、个人观点和理解1. 二元函数连续不可推出可导是因为连续性不足以确定函数在某一点的变化性和斜率，而函数的变化性和斜率是可导性的关键。
我们在研究二元函数的性质时，应该特别关注函数在某一点处的变化趋势和斜率是否能被准确确定。
§ 3 二元函数的连续性一、 二元函数的连续性概念由一元函数连续概念引入 .1. )(P f 关于集合D 在0P 连续的定义定义 P100设),()(y x f P f =是定义在2R D ⊂上的二元函数，D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，或者是孤立点. 若,);(),(,0,00D P U y x P δδε∈∀>∃>∀有ε<-)()(0P f P f ，则称)(P f 关于集合D 在0P 连续，简称)(P f 在0P 连续.D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，)(P f 在0P 连续)()(lim 00P f P f P P =⇔→ 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .“D P U y x P );(),(0δ∈∀”用方邻域叙述用圆邻域叙述函数的增量: 全增量、 偏增量 .用增量的语言叙述)(P f 在0P 连续. （用增量定义连续性） .2. )(P f 在集合D 连续.如果f 在集合D 内每一点连续，则称f 在D 连续，或称f 是D 上的连续函数. 函数在区域上的连续性 .3. )(P f 在0P 不连续.间断点例 （P101）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例 （P95例4 ）⎩⎨⎧+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿任何方向都连续 , 但点) 0 , 0 (并不连续.补例 求函数)(22y x tg z +=的不连续点。
（讨论函数的连续性）4. 二元连续和单元连续定义 ( 单元连续 )二元连续与单元连续的关系 （P101） 例 （P101）⎩⎨⎧=≠=. 0 , 0, 0 , 1),(xy xy y x f 函数),(y x f 在原点处不连续 但在原点处f 对x 和对y 分别都连续.5. 二元连续函数的性质局部保号性 若f 在点a 连续，并且0)(>a f ，则存在a 的领域)(a O δ，当)(a O x δ∈时有0)(>x f . 局部有界性运算性质 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为０）都是连续函数. 定理16.7（复合函数连续性）P102设D 是2R 中的开集，D y x ∈),(00。
