二元函数连续性

§ 3 二元函数的连续性一 二元函数的连续性定义 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。

的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有 ()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。

在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。

若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。

由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。

特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x m x y y x y x y x xyy x f其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→ 因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。

设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆ ()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。

和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0l i m ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x时，f 在点0P 连续。

二元函数为什么连续不可推出可导的探讨一、探讨二元函数的连续性和可导性1. 二元函数在数学中是一种常见的函数形式，它由两个自变量和一个因变量构成。

通常来说，我们会对二元函数的连续性和可导性进行研究。

在数学分析中，连续性是指函数在某一点附近的变化趋势和稳定性，而可导性则是指函数在某一点处存在切线，也即函数在该点有斜率。

2. 连续性和可导性是函数的重要性质，它们直接关系到函数在某一点的变化趋势和变化速率。

一般来说，连续性是可导性的必要条件，但不一定是充分条件。

也就是说，一个函数在某一点处可导，则它必然是连续的；然而，一个函数在某一点处连续，并不代表它在该点可导。

3. 回顾一元函数的情况，我们知道连续性是可导性的必要条件，而可导性则并不是连续性的充分条件。

这一点在二元函数中同样适用，即二元函数的连续性不一定能推出它的可导性。

二、二元函数为什么连续不可推出可导的原因1. 二元函数连续不可推出可导的原因主要在于函数在某一点处的变化性和斜率的关系。

对于一元函数来说，连续性意味着函数在某一点附近没有跳跃或间断，这使得在该点可以定义函数的斜率，从而可导。

然而，对于二元函数来说，情况并不完全相同。

即使函数在某一点处连续，也不能保证函数在该点处有确定的斜率，因此也不能保证可导。

2. 一种常见的例子是多元复合函数。

在多元复合函数中，即使外层函数和内层函数都在某一点处连续，也不能保证复合函数在该点可导。

这是因为函数的连续性不足以确定函数在该点的斜率，从而不能推出可导性。

3. 二元函数的可导性还与偏导数的存在性相关。

即使函数在某点处连续，但它的偏导数不一定存在，也就意味着函数在该点处不可导。

这进一步说明了二元函数连续不可推出可导的现象。

三、个人观点和理解1. 二元函数连续不可推出可导是因为连续性不足以确定函数在某一点的变化性和斜率，而函数的变化性和斜率是可导性的关键。

我们在研究二元函数的性质时，应该特别关注函数在某一点处的变化趋势和斜率是否能被准确确定。

§ 3 二元函数的连续性一、 二元函数的连续性概念由一元函数连续概念引入 .1. )(P f 关于集合D 在0P 连续的定义定义 P100设),()(y x f P f =是定义在2R D ⊂上的二元函数，D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，或者是孤立点. 若,);(),(,0,00D P U y x P δδε∈∀>∃>∀有ε<-)()(0P f P f ，则称)(P f 关于集合D 在0P 连续，简称)(P f 在0P 连续.D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，)(P f 在0P 连续)()(lim 00P f P f P P =⇔→ 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .“D P U y x P );(),(0δ∈∀”用方邻域叙述用圆邻域叙述函数的增量: 全增量、 偏增量 .用增量的语言叙述)(P f 在0P 连续. （用增量定义连续性） .2. )(P f 在集合D 连续.如果f 在集合D 内每一点连续，则称f 在D 连续，或称f 是D 上的连续函数. 函数在区域上的连续性 .3. )(P f 在0P 不连续.间断点例 （P101）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例 （P95例4 ）⎩⎨⎧+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿任何方向都连续 , 但点) 0 , 0 (并不连续.补例 求函数)(22y x tg z +=的不连续点。

（讨论函数的连续性）4. 二元连续和单元连续定义 ( 单元连续 )二元连续与单元连续的关系 （P101） 例 （P101）⎩⎨⎧=≠=. 0 , 0, 0 , 1),(xy xy y x f 函数),(y x f 在原点处不连续 但在原点处f 对x 和对y 分别都连续.5. 二元连续函数的性质局部保号性 若f 在点a 连续，并且0)(>a f ，则存在a 的领域)(a O δ，当)(a O x δ∈时有0)(>x f . 局部有界性运算性质 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为０）都是连续函数. 定理16.7（复合函数连续性）P102设D 是2R 中的开集，D y x ∈),(00。

第十六章 多元函数的极限与连续3二元函数的连续性一、二元函数的连续性概念定义1：设f 为定义在点集D ⊂R 2上的二元函数，P 0∈D(聚点或孤立点).对于任给正数ε，总存在相应的正数δ，只要P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，就有 |f(P)-f(P 0)|<ε，则称f 关于集合D 在点P 0连续. 在不致误解的情况下，也称f 在点P 0连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.注：若P 0是D 的孤立点，则必为f 关于D 的连续点；若P 0是D 的聚点，则f 关于D 在P 0连续等价于DP P P 0lim ∈→f(P)=f(P 0)， 若DP P P 0lim ∈→f(P)≠f(P 0)，则聚点P 0是f 的不连续点(或称间断点). 若DP P P 0lim ∈→f(P)=A ≠f(P 0)，则P 0是f 的可去间断点.如：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2和f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，， 在原点连续；函数f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012在原点不连续；函数f(x,y)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+)0,0()y x,(m 1m }0 x mx,y |)y x,{()y x,(y x xy 222，，，m 为固定实数，即f 只定义在直线y=mx 上，∵mx y )0,0()y ,x (lim =→f(x,y)=2m1m +=f(0,0)， ∴f 在原点沿着直线y=mx 连续.例1：讨论函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x x 22α，，, (α>0)在点(0,0)的连续性. 解：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.当(x,y)≠(0,0)时，22αy x x +=2ααr φcos r →⎪⎩⎪⎨⎧<<∞=>2α02α，2α0，，不存在,(r →0)； ∴当α>2时，f 在点(0,0)连续；当0<α≤2时，f 在点(0,0)间断.定义2：设P 0(x 0,y 0), P(x,y)∈D, △x=x-x 0, △y=y-y 0, 则称△z=△f(x 0,y 0)=f(x,y)-f(x 0,y 0)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)为函数f 在点P 0的全增量. 当D )y ,x ()y ,x ()y ,x (00lim ∈→∆∆△z=0时，f 在点P 0连续.若在全增量中取△x=0或△y=0，则相应的函数增量称为偏增量，记作： △f(x 0,y 0)=(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0)，△f(x 0,y 0)=(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0).注：一般函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.0x lim →∆△f(x 0,y 0)=0表示固定y=y 0时，f(x,y 0)作为x 的一元函数在x 0连续.同理，0y lim →∆△f(x 0,y 0)=0表示f(x 0,y)在y 0连续. 但二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.例：f(x,y)=⎩⎨⎧=≠0xy 00xy 1，， 在原点处不连续，但f(0,y)=f(x,0)=0，即 在原点处f 对x 和对y 都连续.定理16.7：(复合函数的连续性)设函数u=φ(x,y)和v=ψ(x,y)在xy 平面上点P 0(x 0,y 0)的某邻域内有定义，并在点P 0连续；函数f(u,v)在uv 平面上点Q 0(u 0,v 0)的某邻域内有定义，并在点Q 0连续，其中u 0=φ(x 0,y 0), v 0=ψ(x 0,y 0)，则复合函数g(x,y)=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续. 证：由f 在点Q 0连续知，∀ε>0，∃η>0，使得当|u-u 0|<η, |v-v 0|<η时， 有|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε. 又由φ,ψ在点P 0连续知，对上述正数η，∃δ>0， 使得当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ时，都有|u-u 0|=|φ(x,y)-φ(x 0,y 0)|<η， |v-v 0|=|ψ(x,y)-ψ(x 0,y 0)|<η，即当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ时，就有 |g(x,y)-g(x 0,y 0)|=|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε，∴复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续.二 、有界闭域上连续函数的性质定理16.8：(有界性与最大、最小值定理)若函数f 在有界闭域D ⊂R 2上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值.证：若f 在D 上无界，则对每个正整数n ，必存在点P n ∈D ，使得 |f(P n )|>n, n=1,2,…. 于是得到一个有界点列{P n }⊂D ，且总能使 {P n }中有无穷多个不同的点，由定理16.3知，{P n }存在收敛子列{P k n },记∞→k lim P k n =P 0，∵D 是闭域，∴P 0∈D ，又f 在D 上连续， ∴∞→k lim f(P k n )=f(P 0)，与|f(P n )|>n, n=1,2,…矛盾，∴f 在D 上有界. 设m=inff(D)，M=supf(D). 若对任意P ∈D, 有M-f(P)>0，记F(P)=f(P)-M 1 , 则函数F(P)连续，恒有F(P)>0，F 在D 上有界， 由设f 不能在D 上达到上确界M ，∴存在收敛点列{P n }⊂D ，使得∞→n lim f(P n )=M ，于是有∞→n lim F(P n )=+∞，与F 在D 上有界矛盾， ∴f 在D 上有最大值M ；同理可证，f 在D 上有最小值m.定理16.9：(一致连续性定理)若函数f 在有界闭域D ⊂R 2上连续，则f 在D 上一致连续，即对任给的ε>0，总存在只依赖于ε的正数δ， 使得对一切点P ,Q ∈D ，只要ρ(P ,Q)<δ，就有|f(P)-f(Q)|<ε.证：若f 在D 上连续而不一致连续，则存在某ε0>0，对任意小的δ>0， 如取δ=n 1, n=1,2,…，总有相应的P n ,Q n ∈D ，虽然ρ(P n ,Q n )<n1，但是 |f(P n )-f(Q n )|≥ε0. ∵D 为有界闭域，∴存在收敛子列{P k n }⊂{P n }， 记∞→k lim P k n =P 0∈D ，并在{Q n }中取出与P k n 下标相同的子列{Q k n }，则 ∵0≤ρ(P k n ,Q k n )<kn 1→0, k →∞，∴∞→k lim Q k n =∞→k lim P k n =P 0，又 由f 在P 0连续，∴∞→k lim |f(P k n )-f(Q k n )|=|f(P 0)-f(P 0)|=0，与|f(P k n )-f(Q kn )|≥ε0>0矛盾！∴f 在D 上一致连续.定理16.10：(介值性定理)设函数f 在区域D ⊂R 2上连续，若P 1,P 2为D 中任意两点，f(P 1)<f(P 2)，则对任何满足不等式f(P 1)<μ<f(P 2)的实数μ，必存在点P 0∈D ，使得f(P 0)=μ.证：记F(P)=f(P)-μ, P ∈D ，则F(P)在D 上连续，且F(P 1)<0<F(P 2). 不妨设P 1,P 2为D 的内点，∵D 为区域，∴D 中有限折线可联结P 1,P 2， 若某一联结点P 0’, 有F(P 0’)=0，则f(P 0’)=μ，得证；否则， 必存在某联结线段Q 1Q 2两端的函数值异号，设Q 1Q 2所在直线方程为： ⎩⎨⎧+=+=)y -t(y y y )x -t(x x x 121121, 0≤t ≤1，其中Q 1(x 1,y 1)和Q 2(x 2,y 2)为线段两端点； 则在此线段上，F 表示为关于t 的复合函数：G(t)=F(x 1+t(x 2-x 1),y 1+t(y 2-y 1)), 0≤t ≤1，在[0,1]一元连续，且 F(Q 1)=G(0)<0<G(1)=F(Q 2). 由一元函数根的存在定理知，在(0,1)内存在一点t 0, 使得G(t 0)=0. 记x 0=x 1+t 0(x 2-x 1), y 0=y 1+t 0(y 2-y 1)， 则有P 0(x 0,y 0)∈D ，使得F(P 0)=G(t 0)=0，即f(P 0)=μ.注：定理16.8与定理16.9的有界闭域D 可改变有界闭集；为了保证连通性，定理16.10只适合区域，且由介值性定理可知，区f 在区域D 上连续，则f(D)必定是一个区间(有限或无限).习题1、讨论下列函数的连续性：(1)f(x,y)=tan(x 2+y 2)；(2)f(x,y)=[x+y]；(3)f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0y 00y y x y sin ，，； (4)f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy sin 222222，，；(5)f(x,y)=⎩⎨⎧为有理数为无理数x y x 0，，；(6)f(x,y)=⎩⎨⎧=+≠++0y x 00y x )y x ln(y 2222222，，；(7)f(x,y)=x siny sin 1；(8)f(x,y)=y x-e . 解：(1)记D={(x,y)|0≤x 2+y 2<2π∪{(x,y)|21-2k π<x 2+y 2<212k +π, k ∈N}}， 当(x 0,y 0)∈D 时，由tanu 在u 0=x 02+y 02连续知，)y ,x ()y ,x (00lim →tan(x 2+y 2)=0u u lim →tanu= tanu 0=tan(x 02+y 02)， ∴f(x,y)在(x 0,y 0)连续，即f(x,y)在D 上连续，又f 在R 2-D 上无定义，∴f 在R 2-D 上处处间断.(2)记D={(x,y)|k<x+y<k+1,k ∈Z}，且P 0(x 0,y 0)∈D ，则存在k ∈Z,使 k<x 0+y 0<k+1，于是当δ>0充分小时，对任意的(x,y)∈U(P 0;δ)，就有 k<x+y<k+1，从而f(x,y)≡k ≡f(x 0,y 0)，∴)y ,x ()y ,x (00lim →f(x,y)=f(x 0,y 0)，∴f 在D 上连续，在R 2-D(即x+y=k)处处不连续.(3)∵yxy sin ≤|x|，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f(x,y)在点(0,0)连续. 又当y ≠0时，f(x,y)是初等函数且在{(x,y)|y ≠0}有定义，∴f(x,y)在D={(x,y)|y ≠0}∪{(0,0)}上连续. 又在任一点(x 0,0)≠(0,0)处， ∵f(x 0,0)=0而)0,x ()y ,x (0lim →f(x,y)≠0，∴f 在(x 0,0)间断，即f 仅在D 上连续.(4)当x 2+y 2≠0时，22y x xysin +≤|x|，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)， ∴f(x,y)在点(0,0)连续. 又f(x,y)在R 2-(0,0)上有定义且为初等函数， ∴f(x,y)在R 2上连续.(5)设(x 0,y 0)∈R 2，则当x 0为有理数时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|f(x,y)-y 0|=⎩⎨⎧为有理数为无理数x |y -y |x |y |00，，；当x 0为无理数时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|f(x,y)|=⎩⎨⎧为有理数为无理数x |y |x 0，，； ∴当且仅当y 0=0时，)y ,x ()y ,x (00lim →f(x,y)=f(x 0,y 0)，即f 仅在D={(x,y)|y=0}上连续.(6)在x 2+y 2≠0的点处，f 是初等函数且有定义，又|y 2ln(x 2+y 2)|≤|(x 2+y 2)ln(x 2+y 2)|→0, (x,y)→(0,0)，即)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f(x,y)在R 2上连续. (7)直线x=m π及y=n π, (m,n=0,±1,±2,…)上的点均为f 的不连续点. 而在D={(x,y)x ≠n π或y ≠n π, n ∈N}上f 有定义且为初等函数， ∴f 仅在D 上连续，即除直线x=m π及y=n π以外的点，f 都连续.(8)∵u=-yx 在其定义域D={y|y ≠0}上连续，又f=e u 关于u 连续， 由复合函数的连续性知f 在其定义域D 上连续.2、叙述并证明二元连续函数的局部保号性.解：局部保号性：若函数f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)连续，且f(x 0,y 0)≠0， 则函数f(x,y)在点P 0的某一邻域U(P 0;δ)内与f(x 0,y 0)同号，并存在某正数r(|f(x 0,y 0)|>r)，使得对任意(x,y)∈U(P 0;δ)，有|f(x,y)|≥r>0.证明如下： 设f(x 0,y 0)>0，则存在r ，使f(x 0,y 0)>r>0，取ε=f(x 0,y 0)-r>0， 由f 在 (x 0,y 0)连续知，∃δ>0，使得当(x,y)∈U(P 0;δ)时，有|f(x,y)-f(x 0,y 0)|<ε=f(x 0,y 0)-r ，即当(x,y)∈U(P 0;δ)时，f(x,y)≥f(x 0,y 0)-ε=r>0. 当f(x 0,y 0)<0时，任取0<r<-f(x 0,y 0)，由上可知存在U(P 0;δ)，使得 在其上-f(x,y)≥r>0，即f(x,y)≤-r<0.∴f 在U(P 0;δ)上与f(x 0,y 0)同号，且|f(x,y)|≥r>0.3、设f(x,y)=()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x x 2222p 22，，, p>0，讨论它在点(0,0)处的连续性. 解：当x 2+y 2≠0时，()p 22y x |x |+≤|x 1-2p |→⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞=<<21p ，21p ，121p 00，, (x,y)→(0,0)； ∴当0<p<21时，)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，f 在(0,0)连续； 当p ≥21时，f 在(0,0)不连续.4、设f(x,y)定义在闭矩形域S=[a,b]×[c,d]上. 若f 对y 在[c,d]上处处连续，对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续，证明f 在S 上处处连续. 证：设(x 0,y 0)∈S ，对固定的x 0, f 为y 的连续函数，即∀ε>0，∃δ1>0， 当|y-y 0|<δ1，且(x 0,y)∈S 时，有|f(x 0,y)-f(x 0,y 0)|<2ε，又由f 对x 关于y 为一致连续，∴对上述的ε>0，∃δ2>0，对满足 |y-y 0|<δ2的任何y ，只要|x-x 0|<δ2，且(x,y)∈S ，便有|f(x,y)-f(x 0,y)|<2ε， 取δ=min{δ1,δ2}，则只要|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ，且(x,y)∈S ，总有 |f(x,y)-f(x 0,y 0)|≤|f(x,y)-f(x 0,y)|+|f(x 0,y)-f(x 0,y 0)|<ε. ∴f 在S 上连续.5、证明：若D ⊂R 2是有界闭域，f 为D 上的连续函数，且f 不是常数函数，则f(D)不仅有界，而且是闭区间.证：若f 在D 上恒为常数，则f(D)为单点集，从而有界.若f在D上不恒为常数，由定理16.8知：f在D上有界且能取得最大值、最小值，分别设为M,m，则m<M且m≤f(P)≤M,(P∈D)，即f(D)⊂[m,M]. 下证f(D)⊃[m,M].任给μ∈[m,M]，由介值定理知，必存在P0∈D使f(P0)=μ，∴μ∈f(D)，∴f(D)⊃[m,M]，∴f(D)=[m,M]为闭区间.6、设f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续，又有函数列{φk(x)}在[a,b]上一致收敛，且c≤φk(x)≤d, x∈[a,b], k=1,2,…. 试证{F k(x)}={f(x,φk(x))}在[a,b]上也一致收敛.证：∵f(x,y)在D=[a,b]×[c,d]上连续，∴对任意(x0,y0)∈D, ∀ε>0，∃δ>0，使得当|x-x0|<δ,|y-y0|<δ，且(x,y)∈D时，有|f(x,y)-f(x0,y0)|<ε.∵{φk(x)}在[a,b]上一致收敛，∴对上述δ，∃N, 使得当n,m>N时，对一切x∈[a,b]，有|φn(x)-φm(x)|<δ.由c≤φk(x)≤d, x∈[a,b], k=1,2,…知，φn(x),φm(x)∈[c,d].又f(x,y)在(x,φm(x))∈D连续，对(x,φn(x))∈D及上述ε, δ, N，有x∈[a,b]，|x-x|=0<δ, |φn(x)-φm(x)|<δ，∴|f(x,φn(x))-f(x,φm(x))|=|F n(x)-F m(x)|<ε.∴{F k(x)}={f(x,φk(x))}在[a,b]上也一致收敛.7、设f(x,y)在区域G⊂R2上对x连续，对y满足利普希茨条件：|f(x,y’)-f(x,y”)|≤L|y’-y”|, 其中(x,y’),(x,y”)∈G，L为常数. 试证明：f在G上处处连续.证：∵f(x,y)在区域G⊂R2上对x连续，∴任取P0(x0,y0)∈G，固定y0，∀ε>0，∃δ1>0，使得对(x,y 0)∈G ，当|x-x 0|<δ1时，有|f(x,y 0)-f(x 0,y 0)|<2ε； 又f 对y 满足利普希茨条件，对上述ε，取δ2=L 2ε，则当|y-y 0|<δ2时， 有|f(x,y)-f(x,y 0)|≤L|y-y 0|<L δ2=2ε；取δ=min{δ1,δ2}，当|x-x 0|<δ,|y-y 0|<δ，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|≤|f(x,y)-f(x,y 0)|+|f(x,y 0)-f(x 0,y 0)|<2ε+2ε= ε.∴f 在P 0(x 0,y 0)连续，由P 0的任意性知，f 在G 上处处连续.8、若一元函数φ(x)在[a,b]上连续，令f(x,y)=φ(x), (x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞).试讨论f 在D 上是否连续，是否一致连续？解：(1)任取(x 0,y 0)∈D ，∵φ(x)在[a,b]上连续，从而φ(x)对x 0连续， ∀ε>0，∃δ>0，使当x ∈[a,b]且|x-x 0|<δ时，有|φ(x)-φ(x 0)|<ε， ∴当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ且(x,y)∈D 时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|φ(x)-φ(x 0)|<ε， 即f(x,y)在(x 0,y 0)连续，从而在D 上连续.(2)∵φ(x)在[a,b]上连续，从而一致连续. ∀ε>0，∃δ>0，使当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|φ(x ’)-φ(x ”)|<ε，从而当(x ’,y ’),(x ”,y ”)∈D 且|x ’-x ”|<δ, |y ’-y ”|<δ时，有x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ，从而 |f(x ’,y ’)-f(x ”,y ”)|=|φ(x ’)-φ(x ”)|<ε，∴f 在D 上一致连续.9、设f(x,y)=x y 11-, (x,y)∈D=[0,1)×[0,1)， 证明：f 在D 上连续，但不一致连续.证：∵f 是在D 上有定义的初等函数，∵f 是在D 上连续.取ε0=21，无论正数δ取得多么小，当P 1=(1n n +,1n n +),P 2=(n 1-n ,n1-n )取到某个n 时, 总能使|P 1-P 2|<δ, 且P 1,P 2∈D ， 但|f(P 1)-f(P 2)|=221)(n n 11+-- 22n 1)-(n 11-=1n 2)1n (2++-1n 2n 2-=22n 1-4n 1-2>21=ε0， ∴f 在D 上不一致连续.10、设f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 连续，并且每当固定x 时，f 对y 是单调的，证明：f 在R 2上二元连续.证：∵f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 连续，∴任取(x 0,y 0)∈R 2，由f(x,y)关于y 连续知，f(x 0,y)在y 0连续，即 ∀ε>0，∃δ1>0，使当|△y |<δ1时，有|f(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|<2ε； 对于点(x 0, y 0±δ1)，由f(x,y)关于x 连续知，f(x,y 0±δ1)在x 0连续，即 对上述ε，∃δ2>0，当|△x|<δ2时，有|f(x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0±δ1)|<2ε， 取δ=min{δ1,δ2}，则当|△x|<δ, |△y|<δ时，由f(x,y)关于y 单调知， |f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|≤max{|f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|}.又 |f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|≤|f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0±δ1)|+|f(x 0, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|<2ε+2ε=ε. ∴当|△x|<δ, |△y|<δ时，就有|f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|<ε. ∴f 在点(x 0,y 0)处连续，由点(x 0,y 0)的任意性可知，f 在R 2上二元连续.。

二元函数的连续性、偏导及可微之间的联系二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的定义 1.二元函数的连续性定义 设f 为定义在D 上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点) ,对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0;P P D δ∈⋂，就有()()0f P f P ε-<, 则称f 在P 点连续2.二元函数的偏导数定义 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆ 时，相应地函数有增量x z ∆=0000(,)(,)f x x y f x y +∆-如果 00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数z (,)f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或()00,x y fx ∂∂对y 的偏导数同理 3.二元函数的可微性定义 设函数(,)z f x y =在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有定义，对于()0U P 中的点()00,(,)P x y f x x y y =+∆+∆，若函数f 在0P 处的全增量z ∆可表示为：()()0000(,),z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+， (1)其中AB 是仅与点P 0有关的常数，ρ=，()o ρ是较高阶的无穷小量，则称函数f 在点P 0可微.并称(1)中A x B y ∆+∆为f 在点P 0的全微分，记作000(,)P dz df x y A x B y ==∆+∆说明：1)A 、B 是与x ∆y ∆无关的常数，但与0P 可能有关；2) dz 是z ∆的线性主部0lim0z dzρρ→∆-=二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系. 一、二元函数连续性与偏导存在性间的关系偏导存在不一定连续，反之连续不一定有偏导存在 1)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例1.证明函数(,)f xy =(0,0)连续偏导数不存在.证明：∵(,)(0,0)(,)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→===,故函数(,)f x y =(0,0)连续.由偏导数定义：001,(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f f x x ∆→∆→∆>⎧+∆-===⎨-∆<∆⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.2)函数(,)f x y 在点000(,)P x y 偏导存在，但不一定连续.例 2.证明函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 : 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→∆→+∆-==∆=∆ 同理可求得(0,0)0y f =∵22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 二、二元函数的可微性与偏导间的关系1.可微性与偏导存在性1) 可微则偏导存在(可微的必要条件1)若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)P x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，2)偏导存在，不一定可微.例3证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦应是较ρ=2200lim lim f df x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)lim lim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.例4. 22220(,)0,x y f x y x y +≠=+=⎪⎩在(0,0)处两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦为此考察极限limf dfρρρ→→∆-=当动点(,)x y 沿直线y =趋于时，则(,)(0,0)(,)limlim x y y mxx y →=→==0≠因此f 在原点不可微例5. 证明函数2222222,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+= 222(,)(0,0)x yf f x y f x y ∆∆∆=∆∆-=∆+∆从而()222230,(0,0)222limlimlim0()()x y x y f dfx y x y x y x y ρρρρ→→∆∆→∆∆∆-∆∆∆+∆==≠=∆+∆取因此f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微例6.证明函数2222322222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在(0，0)连续，且两个偏导数都存在但不可微.证明(1)∵223222()x y x y ≤+∴0,4,εδεδε∀>∃=<<∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)又00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而222220limlim ()()f dfx y x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆=∆∆+∆取不存在 故 f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微2. 偏导连续与可微1)偏导连续，一定可微.(可微的充分条件)若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)P x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)P x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.2)可微，偏导不一定连续例7.证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y =-+++222222121(,)2sin cos y y f x y y x y x y x y =-+++ (1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(2sin cos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-===200(0,)(0,0)1(0,0)lim lim sin 0y y y f y f f y y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ∆=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例8. 证明函数()2222220(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有(,)2x f x y x =(,)2y f x y y = (1)当y=x时，极限00lim (,)lim(2x x x f x x x →→=不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点间断.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点间断.(2)∵00(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=-=从而201cos1limlimlim cos0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例9.证明函数2222221sin ,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有22222222121(,)sin cos ()x x y f x y y x y x y x y =-+++22222222121(,)sin cos ()y xy f x y x x y x y x y =-+++(1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(sin cos )222x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 00(,0)(0,0)(0,0)limlim00x x x f x f f x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=221(,)(0,0)sinf f x y f x y x y ∆=∆∆-=∆∆∆+∆从而()22,1limlimx y f dfx y ρρ→∆∆→∆-=∆+∆=0即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.三、二元函数的连续性与可微性间的关系 1)可微，一定连续(可微的必要条件2)二元函数(,)f x y 在000(,)P x y 可微,则必然连续，反之不然.2)连续，不一定可微例10.证明函数3222222,0(,)0,0x x y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵322222,x x x x x y x y=⋅≤++ ∴0,,,x y x εδεδδε∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)(0,0)limlim 1x x x f x f xf xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0),x y df f x f y x =∆+∆=∆(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而20limf dfρρρ→→∆-=不存在即函数(,)f x y 在点(0，0)不可微. 注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微.例11.证明函数222222sin(),0(,)0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵22sin(),222x y x y x y x y xy xy x y xy ++++≤⋅=≤+∴0,,,2x yx y εδεδδε+∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而0limf dfρρρ→→∆-=取y k x ∆=∆则23320022221sin (1)limlim (1)(1)x f dfk kx k k xk k ρρ→∆→∆-++=⋅=++ 不存在 故函数(,)f x y 在点(0，0)不可微.注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微. 例12 .证明函数(,)f x y xy =在点(0，0)连续，但它在点(0，0)不可微.证明:(1)∵00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.例13.证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在(0，0)连续 ，但不可微.证明:(1)∵2222222222x y xyx y x y x y++≤=++ ∴00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→== 故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)不可微见例4综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：偏导连续可微连续 偏导存在补充1.确定α的值，使得函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微.2.设函数2222(,)sin 0(,)0,0g x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩， 证明：(1)若(0,0)0g =,g 在点(0，0)处可微,且(0,0)0dg =，则 f 在点(0，0)处可微,且(0,0)0df =.(2)若g 在点(0，0)处可导,且f 在点(0，0)处可微,则(0,0)0df =.3.确定正整数α的值，使得函数()22220(,)0,0x y x y f x y x y α⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处(1)连续，(2)偏导存在，(3)存在一阶连续偏导.4.设函数222222,0()(,)00,0px x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩,试讨论它在(0,0)点处的连续性.。

证明二元函数连续性二元函数是数学中非常重要的一类函数，它们是连续性和连续性相关问题的重要内容之一。

连续性是奠定数学推理的基础，在函数论，微积分，定性分析中都有其重要的作用。

它的定义有不少，本文以偏导数的定义证明二元函数的连续性。

二、偏导数的定义偏导数是指一个复变函数在某一点处的导数，也称为局部导数。

它是求解一个复变函数极限时最常用的工具，是判断函数在某点处的性质的重要性质之一。

偏导数可以分为一阶、二阶、三阶等，其定义如下：（1）一阶偏导数：是求解一个复变函数在特定点的导数的特殊方法，其标准形式定义为：限公式：$$f^{`}(x,y)=lim_{hto 0}frac{f(x+h, y+h)-f(x, y)}{h}$$ （2）二阶偏导数：是求解一个复变函数的偏导数的另一种形式，是求取函数在某点的性质的重要方法。

其标准形式定义为：$$f^{``}(x,y)=lim_{hto 0}frac{f(x+h,y+h)-2f(x,y)+f(x-h,y-h)}{h^{2}}$$三、二元函数连续性的定义定义：设函数f（x,y）具有点(x0,y0)处的连续偏导，则称f（x,y）在点（x0,y0）处连续，记作f（x,y）在点（x0,y0）处连续。

四、二元函数连续性的证明（1）证明f（x，y）在点（x0,y0）处连续，首先我们需要证明f（x，y）在点（x0,y0）处各偏导数连续：a.h→0时，根据偏导数的定义，我们有：$$lim_{hto0}frac{f(x0+h,y0+h)-f(x0,y0)}{h}=f^{`}(x0,y0)$$b.理，当h→0时，有：$$lim_{hto0}frac{f(x0+h,y0+h)-2f(x0,y0)+f(x0-h,y0-h)}{h^{2}}=f^{``}(x 0,y0)$$（2）继续证明f（x，y）在点（x0,y0）是无穷可导的：根据偏导数的定义，我们知道，当h→0时，f（x，y）在点（x0,y0）的上的某个方向的导数就是f（x，y）在点（x0,y0）处的偏导数，由偏导数的定义，我们可以得出：$$f^{`}(x0,y0)=lim_{hto0}frac{f(x0+h,y0+h)-f(x0,y0)}{h}$$$$f^{``}(x0,y0)=lim_{hto0}frac{f(x0+h,y0+h)-2f(x0,y0)+f(x0-h,y0-h)}{h^{2}}$$ 从上面的公式中可以看出：当h→0时，f（x，y）在点（x0,y0）处两个方向的偏导数都存在，f（x，y）在点（x0,y0）就存在无穷可导的性质，给出证明：综上所述，由f（x,y）的偏导数的定义，可以得到f（x，y）在点（x0,y0）处的偏导数连续，由此证明二元函数f（x，y）在点（x0,y0）处连续。

二元函数可微可导连续之间的关系在微积分学中，函数的连续性、可导性、可微性是非常重要的概念。

对于一元函数来说，这些概念都有明确的定义和证明，但对于二元函数来说，这些概念的关系就需要更深入的研究。

本文将探讨二元函数可微、可导和连续之间的关系。

一、连续性首先，我们来回顾一下二元函数的连续性。

对于二元函数$f(x,y)$，如果满足以下条件之一，就称 $f(x,y)$ 在点$(x_0,y_0)$ 处连续：1. $lim_{(x,y)rightarrow (x_0,y_0)} f(x,y) =f(x_0,y_0)$；2. $lim_{xrightarrow x_0} f(x,y_0) = f(x_0,y_0)$ 且$lim_{yrightarrow y_0} f(x_0,y) = f(x_0,y_0)$。

其中，条件 1 称为点极限的定义，条件 2 称为分量极限的定义。

二元函数的连续性是二元函数分析的基础，如果一个二元函数在某个点处不连续，那么这个点就不可能是这个函数的极值点或者奇点。

二、可导性接下来，我们来看二元函数的可导性。

对于二元函数$f(x,y)$，如果满足以下条件之一，就称 $f(x,y)$ 在点$(x_0,y_0)$ 处可导：1. $lim_{(x,y)rightarrow (x_0,y_0)} frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)}{sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}}$ 存在；2. $lim_{hrightarrow 0} frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$ 和 $lim_{hrightarrow 0} frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$ 都存在。

其中，条件 1 称为偏导数的定义，条件 2 称为方向导数的定义。

如果一个二元函数在某个点处可导，那么这个点就一定是这个函数的极值点或者奇点。

三、可微性最后，我们来看二元函数的可微性。

第十六章 多元函数的极限与连续3二元函数的连续性一、二元函数的连续性概念定义1：设f 为定义在点集D ⊂R 2上的二元函数，P 0∈D(聚点或孤立点).对于任给正数ε，总存在相应的正数δ，只要P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，就有 |f(P)-f(P 0)|<ε，则称f 关于集合D 在点P 0连续. 在不致误解的情况下，也称f 在点P 0连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.注：若P 0是D 的孤立点，则必为f 关于D 的连续点；若P 0是D 的聚点，则f 关于D 在P 0连续等价于DP P P 0lim ∈→f(P)=f(P 0)， 若DP P P 0lim ∈→f(P)≠f(P 0)，则聚点P 0是f 的不连续点(或称间断点). 若DP P P 0lim ∈→f(P)=A ≠f(P 0)，则P 0是f 的可去间断点.如：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2和f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，， 在原点连续；函数f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012在原点不连续；函数f(x,y)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+)0,0()y x,(m 1m }0 x mx,y |)y x,{()y x,(y x xy 222，，，m 为固定实数，即f 只定义在直线y=mx 上，∵mx y )0,0()y ,x (lim =→f(x,y)=2m1m +=f(0,0)， ∴f 在原点沿着直线y=mx 连续.例1：讨论函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x x 22α，，, (α>0)在点(0,0)的连续性. 解：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.当(x,y)≠(0,0)时，22αy x x +=2ααr φcos r →⎪⎩⎪⎨⎧<<∞=>2α02α，2α0，，不存在,(r →0)； ∴当α>2时，f 在点(0,0)连续；当0<α≤2时，f 在点(0,0)间断.定义2：设P 0(x 0,y 0), P(x,y)∈D, △x=x-x 0, △y=y-y 0, 则称△z=△f(x 0,y 0)=f(x,y)-f(x 0,y 0)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)为函数f 在点P 0的全增量. 当D )y ,x ()y ,x ()y ,x (00lim ∈→∆∆△z=0时，f 在点P 0连续.若在全增量中取△x=0或△y=0，则相应的函数增量称为偏增量，记作： △f(x 0,y 0)=(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0)，△f(x 0,y 0)=(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0).注：一般函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.0x lim →∆△f(x 0,y 0)=0表示固定y=y 0时，f(x,y 0)作为x 的一元函数在x 0连续.同理，0y lim →∆△f(x 0,y 0)=0表示f(x 0,y)在y 0连续. 但二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.例：f(x,y)=⎩⎨⎧=≠0xy 00xy 1，， 在原点处不连续，但f(0,y)=f(x,0)=0，即 在原点处f 对x 和对y 都连续.定理16.7：(复合函数的连续性)设函数u=φ(x,y)和v=ψ(x,y)在xy 平面上点P 0(x 0,y 0)的某邻域内有定义，并在点P 0连续；函数f(u,v)在uv 平面上点Q 0(u 0,v 0)的某邻域内有定义，并在点Q 0连续，其中u 0=φ(x 0,y 0), v 0=ψ(x 0,y 0)，则复合函数g(x,y)=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续. 证：由f 在点Q 0连续知，∀ε>0，∃η>0，使得当|u-u 0|<η, |v-v 0|<η时， 有|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε. 又由φ,ψ在点P 0连续知，对上述正数η，∃δ>0， 使得当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ时，都有|u-u 0|=|φ(x,y)-φ(x 0,y 0)|<η， |v-v 0|=|ψ(x,y)-ψ(x 0,y 0)|<η，即当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ时，就有 |g(x,y)-g(x 0,y 0)|=|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε，∴复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续.二 、有界闭域上连续函数的性质定理16.8：(有界性与最大、最小值定理)若函数f 在有界闭域D ⊂R 2上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值.证：若f 在D 上无界，则对每个正整数n ，必存在点P n ∈D ，使得 |f(P n )|>n, n=1,2,…. 于是得到一个有界点列{P n }⊂D ，且总能使 {P n }中有无穷多个不同的点，由定理16.3知，{P n }存在收敛子列{P k n },记∞→k lim P k n =P 0，∵D 是闭域，∴P 0∈D ，又f 在D 上连续， ∴∞→k lim f(P k n )=f(P 0)，与|f(P n )|>n, n=1,2,…矛盾，∴f 在D 上有界. 设m=inff(D)，M=supf(D). 若对任意P ∈D, 有M-f(P)>0，记F(P)=f(P)-M 1 , 则函数F(P)连续，恒有F(P)>0，F 在D 上有界， 由设f 不能在D 上达到上确界M ，∴存在收敛点列{P n }⊂D ，使得∞→n lim f(P n )=M ，于是有∞→n lim F(P n )=+∞，与F 在D 上有界矛盾， ∴f 在D 上有最大值M ；同理可证，f 在D 上有最小值m.定理16.9：(一致连续性定理)若函数f 在有界闭域D ⊂R 2上连续，则f 在D 上一致连续，即对任给的ε>0，总存在只依赖于ε的正数δ， 使得对一切点P ,Q ∈D ，只要ρ(P ,Q)<δ，就有|f(P)-f(Q)|<ε.证：若f 在D 上连续而不一致连续，则存在某ε0>0，对任意小的δ>0， 如取δ=n 1, n=1,2,…，总有相应的P n ,Q n ∈D ，虽然ρ(P n ,Q n )<n1，但是 |f(P n )-f(Q n )|≥ε0. ∵D 为有界闭域，∴存在收敛子列{P k n }⊂{P n }， 记∞→k lim P k n =P 0∈D ，并在{Q n }中取出与P k n 下标相同的子列{Q k n }，则 ∵0≤ρ(P k n ,Q k n )<kn 1→0, k →∞，∴∞→k lim Q k n =∞→k lim P k n =P 0，又 由f 在P 0连续，∴∞→k lim |f(P k n )-f(Q k n )|=|f(P 0)-f(P 0)|=0，与|f(P k n )-f(Q kn )|≥ε0>0矛盾！∴f 在D 上一致连续.定理16.10：(介值性定理)设函数f 在区域D ⊂R 2上连续，若P 1,P 2为D 中任意两点，f(P 1)<f(P 2)，则对任何满足不等式f(P 1)<μ<f(P 2)的实数μ，必存在点P 0∈D ，使得f(P 0)=μ.证：记F(P)=f(P)-μ, P ∈D ，则F(P)在D 上连续，且F(P 1)<0<F(P 2). 不妨设P 1,P 2为D 的内点，∵D 为区域，∴D 中有限折线可联结P 1,P 2， 若某一联结点P 0’, 有F(P 0’)=0，则f(P 0’)=μ，得证；否则， 必存在某联结线段Q 1Q 2两端的函数值异号，设Q 1Q 2所在直线方程为： ⎩⎨⎧+=+=)y -t(y y y )x -t(x x x 121121, 0≤t ≤1，其中Q 1(x 1,y 1)和Q 2(x 2,y 2)为线段两端点； 则在此线段上，F 表示为关于t 的复合函数：G(t)=F(x 1+t(x 2-x 1),y 1+t(y 2-y 1)), 0≤t ≤1，在[0,1]一元连续，且 F(Q 1)=G(0)<0<G(1)=F(Q 2). 由一元函数根的存在定理知，在(0,1)内存在一点t 0, 使得G(t 0)=0. 记x 0=x 1+t 0(x 2-x 1), y 0=y 1+t 0(y 2-y 1)， 则有P 0(x 0,y 0)∈D ，使得F(P 0)=G(t 0)=0，即f(P 0)=μ.注：定理16.8与定理16.9的有界闭域D 可改变有界闭集；为了保证连通性，定理16.10只适合区域，且由介值性定理可知，区f 在区域D 上连续，则f(D)必定是一个区间(有限或无限).习题1、讨论下列函数的连续性：(1)f(x,y)=tan(x 2+y 2)；(2)f(x,y)=[x+y]；(3)f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0y 00y y x y sin ，，； (4)f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy sin 222222，，；(5)f(x,y)=⎩⎨⎧为有理数为无理数x y x 0，，；(6)f(x,y)=⎩⎨⎧=+≠++0y x 00y x )y x ln(y 2222222，，；(7)f(x,y)=x siny sin 1；(8)f(x,y)=y x-e . 解：(1)记D={(x,y)|0≤x 2+y 2<2π∪{(x,y)|21-2k π<x 2+y 2<212k +π, k ∈N}}， 当(x 0,y 0)∈D 时，由tanu 在u 0=x 02+y 02连续知，)y ,x ()y ,x (00lim →tan(x 2+y 2)=0u u lim →tanu= tanu 0=tan(x 02+y 02)， ∴f(x,y)在(x 0,y 0)连续，即f(x,y)在D 上连续，又f 在R 2-D 上无定义，∴f 在R 2-D 上处处间断.(2)记D={(x,y)|k<x+y<k+1,k ∈Z}，且P 0(x 0,y 0)∈D ，则存在k ∈Z,使 k<x 0+y 0<k+1，于是当δ>0充分小时，对任意的(x,y)∈U(P 0;δ)，就有 k<x+y<k+1，从而f(x,y)≡k ≡f(x 0,y 0)，∴)y ,x ()y ,x (00lim →f(x,y)=f(x 0,y 0)，∴f 在D 上连续，在R 2-D(即x+y=k)处处不连续.(3)∵yxy sin ≤|x|，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f(x,y)在点(0,0)连续. 又当y ≠0时，f(x,y)是初等函数且在{(x,y)|y ≠0}有定义，∴f(x,y)在D={(x,y)|y ≠0}∪{(0,0)}上连续. 又在任一点(x 0,0)≠(0,0)处， ∵f(x 0,0)=0而)0,x ()y ,x (0lim →f(x,y)≠0，∴f 在(x 0,0)间断，即f 仅在D 上连续.(4)当x 2+y 2≠0时，22y x xysin +≤|x|，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)， ∴f(x,y)在点(0,0)连续. 又f(x,y)在R 2-(0,0)上有定义且为初等函数， ∴f(x,y)在R 2上连续.(5)设(x 0,y 0)∈R 2，则当x 0为有理数时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|f(x,y)-y 0|=⎩⎨⎧为有理数为无理数x |y -y |x |y |00，，；当x 0为无理数时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|f(x,y)|=⎩⎨⎧为有理数为无理数x |y |x 0，，； ∴当且仅当y 0=0时，)y ,x ()y ,x (00lim →f(x,y)=f(x 0,y 0)，即f 仅在D={(x,y)|y=0}上连续.(6)在x 2+y 2≠0的点处，f 是初等函数且有定义，又|y 2ln(x 2+y 2)|≤|(x 2+y 2)ln(x 2+y 2)|→0, (x,y)→(0,0)，即)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f(x,y)在R 2上连续. (7)直线x=m π及y=n π, (m,n=0,±1,±2,…)上的点均为f 的不连续点. 而在D={(x,y)x ≠n π或y ≠n π, n ∈N}上f 有定义且为初等函数， ∴f 仅在D 上连续，即除直线x=m π及y=n π以外的点，f 都连续.(8)∵u=-yx 在其定义域D={y|y ≠0}上连续，又f=e u 关于u 连续， 由复合函数的连续性知f 在其定义域D 上连续.2、叙述并证明二元连续函数的局部保号性.解：局部保号性：若函数f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)连续，且f(x 0,y 0)≠0， 则函数f(x,y)在点P 0的某一邻域U(P 0;δ)内与f(x 0,y 0)同号，并存在某正数r(|f(x 0,y 0)|>r)，使得对任意(x,y)∈U(P 0;δ)，有|f(x,y)|≥r>0.证明如下： 设f(x 0,y 0)>0，则存在r ，使f(x 0,y 0)>r>0，取ε=f(x 0,y 0)-r>0， 由f 在 (x 0,y 0)连续知，∃δ>0，使得当(x,y)∈U(P 0;δ)时，有|f(x,y)-f(x 0,y 0)|<ε=f(x 0,y 0)-r ，即当(x,y)∈U(P 0;δ)时，f(x,y)≥f(x 0,y 0)-ε=r>0. 当f(x 0,y 0)<0时，任取0<r<-f(x 0,y 0)，由上可知存在U(P 0;δ)，使得 在其上-f(x,y)≥r>0，即f(x,y)≤-r<0.∴f 在U(P 0;δ)上与f(x 0,y 0)同号，且|f(x,y)|≥r>0.3、设f(x,y)=()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x x 2222p 22，，, p>0，讨论它在点(0,0)处的连续性. 解：当x 2+y 2≠0时，()p 22y x |x |+≤|x 1-2p |→⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞=<<21p ，21p ，121p 00，, (x,y)→(0,0)； ∴当0<p<21时，)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，f 在(0,0)连续； 当p ≥21时，f 在(0,0)不连续.4、设f(x,y)定义在闭矩形域S=[a,b]×[c,d]上. 若f 对y 在[c,d]上处处连续，对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续，证明f 在S 上处处连续. 证：设(x 0,y 0)∈S ，对固定的x 0, f 为y 的连续函数，即∀ε>0，∃δ1>0， 当|y-y 0|<δ1，且(x 0,y)∈S 时，有|f(x 0,y)-f(x 0,y 0)|<2ε，又由f 对x 关于y 为一致连续，∴对上述的ε>0，∃δ2>0，对满足 |y-y 0|<δ2的任何y ，只要|x-x 0|<δ2，且(x,y)∈S ，便有|f(x,y)-f(x 0,y)|<2ε， 取δ=min{δ1,δ2}，则只要|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ，且(x,y)∈S ，总有 |f(x,y)-f(x 0,y 0)|≤|f(x,y)-f(x 0,y)|+|f(x 0,y)-f(x 0,y 0)|<ε. ∴f 在S 上连续.5、证明：若D ⊂R 2是有界闭域，f 为D 上的连续函数，且f 不是常数函数，则f(D)不仅有界，而且是闭区间.证：若f 在D 上恒为常数，则f(D)为单点集，从而有界.若f在D上不恒为常数，由定理16.8知：f在D上有界且能取得最大值、最小值，分别设为M,m，则m<M且m≤f(P)≤M,(P∈D)，即f(D)⊂[m,M]. 下证f(D)⊃[m,M].任给μ∈[m,M]，由介值定理知，必存在P0∈D使f(P0)=μ，∴μ∈f(D)，∴f(D)⊃[m,M]，∴f(D)=[m,M]为闭区间.6、设f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续，又有函数列{φk(x)}在[a,b]上一致收敛，且c≤φk(x)≤d, x∈[a,b], k=1,2,…. 试证{F k(x)}={f(x,φk(x))}在[a,b]上也一致收敛.证：∵f(x,y)在D=[a,b]×[c,d]上连续，∴对任意(x0,y0)∈D, ∀ε>0，∃δ>0，使得当|x-x0|<δ,|y-y0|<δ，且(x,y)∈D时，有|f(x,y)-f(x0,y0)|<ε.∵{φk(x)}在[a,b]上一致收敛，∴对上述δ，∃N, 使得当n,m>N时，对一切x∈[a,b]，有|φn(x)-φm(x)|<δ.由c≤φk(x)≤d, x∈[a,b], k=1,2,…知，φn(x),φm(x)∈[c,d].又f(x,y)在(x,φm(x))∈D连续，对(x,φn(x))∈D及上述ε, δ, N，有x∈[a,b]，|x-x|=0<δ, |φn(x)-φm(x)|<δ，∴|f(x,φn(x))-f(x,φm(x))|=|F n(x)-F m(x)|<ε.∴{F k(x)}={f(x,φk(x))}在[a,b]上也一致收敛.7、设f(x,y)在区域G⊂R2上对x连续，对y满足利普希茨条件：|f(x,y’)-f(x,y”)|≤L|y’-y”|, 其中(x,y’),(x,y”)∈G，L为常数. 试证明：f在G上处处连续.证：∵f(x,y)在区域G⊂R2上对x连续，∴任取P0(x0,y0)∈G，固定y0，∀ε>0，∃δ1>0，使得对(x,y 0)∈G ，当|x-x 0|<δ1时，有|f(x,y 0)-f(x 0,y 0)|<2ε； 又f 对y 满足利普希茨条件，对上述ε，取δ2=L 2ε，则当|y-y 0|<δ2时， 有|f(x,y)-f(x,y 0)|≤L|y-y 0|<L δ2=2ε；取δ=min{δ1,δ2}，当|x-x 0|<δ,|y-y 0|<δ，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|≤|f(x,y)-f(x,y 0)|+|f(x,y 0)-f(x 0,y 0)|<2ε+2ε= ε.∴f 在P 0(x 0,y 0)连续，由P 0的任意性知，f 在G 上处处连续.8、若一元函数φ(x)在[a,b]上连续，令f(x,y)=φ(x), (x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞).试讨论f 在D 上是否连续，是否一致连续？解：(1)任取(x 0,y 0)∈D ，∵φ(x)在[a,b]上连续，从而φ(x)对x 0连续， ∀ε>0，∃δ>0，使当x ∈[a,b]且|x-x 0|<δ时，有|φ(x)-φ(x 0)|<ε， ∴当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ且(x,y)∈D 时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|φ(x)-φ(x 0)|<ε， 即f(x,y)在(x 0,y 0)连续，从而在D 上连续.(2)∵φ(x)在[a,b]上连续，从而一致连续. ∀ε>0，∃δ>0，使当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|φ(x ’)-φ(x ”)|<ε，从而当(x ’,y ’),(x ”,y ”)∈D 且|x ’-x ”|<δ, |y ’-y ”|<δ时，有x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ，从而 |f(x ’,y ’)-f(x ”,y ”)|=|φ(x ’)-φ(x ”)|<ε，∴f 在D 上一致连续.9、设f(x,y)=x y 11-, (x,y)∈D=[0,1)×[0,1)， 证明：f 在D 上连续，但不一致连续.证：∵f 是在D 上有定义的初等函数，∵f 是在D 上连续.取ε0=21，无论正数δ取得多么小，当P 1=(1n n +,1n n +),P 2=(n 1-n ,n1-n )取到某个n 时, 总能使|P 1-P 2|<δ, 且P 1,P 2∈D ， 但|f(P 1)-f(P 2)|=221)(n n 11+-- 22n 1)-(n 11-=1n 2)1n (2++-1n 2n 2-=22n 1-4n 1-2>21=ε0， ∴f 在D 上不一致连续.10、设f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 连续，并且每当固定x 时，f 对y 是单调的，证明：f 在R 2上二元连续.证：∵f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 连续，∴任取(x 0,y 0)∈R 2，由f(x,y)关于y 连续知，f(x 0,y)在y 0连续，即 ∀ε>0，∃δ1>0，使当|△y |<δ1时，有|f(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|<2ε； 对于点(x 0, y 0±δ1)，由f(x,y)关于x 连续知，f(x,y 0±δ1)在x 0连续，即 对上述ε，∃δ2>0，当|△x|<δ2时，有|f(x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0±δ1)|<2ε， 取δ=min{δ1,δ2}，则当|△x|<δ, |△y|<δ时，由f(x,y)关于y 单调知， |f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|≤max{|f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|}.又 |f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|≤|f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0±δ1)|+|f(x 0, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|<2ε+2ε=ε. ∴当|△x|<δ, |△y|<δ时，就有|f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|<ε. ∴f 在点(x 0,y 0)处连续，由点(x 0,y 0)的任意性可知，f 在R 2上二元连续.。