3 二元函数的连续性

§ 3 二元函数的连续性一 二元函数的连续性定义 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。

的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有 ()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。

在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。

若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。

由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。

特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x m x y y x y x y x xyy x f其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→ 因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。

设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆ ()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。

和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0l i m ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x时，f 在点0P 连续。

§ 3 二元函数的连续性一、 二元函数的连续性概念由一元函数连续概念引入 .1. )(P f 关于集合D 在0P 连续的定义定义 P100设),()(y x f P f =是定义在2R D ⊂上的二元函数，D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，或者是孤立点. 若,);(),(,0,00D P U y x P δδε∈∀>∃>∀有ε<-)()(0P f P f ，则称)(P f 关于集合D 在0P 连续，简称)(P f 在0P 连续.D P ∈0，0P 为D 的一个聚点，)(P f 在0P 连续)()(lim 00P f P f P P =⇔→ 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .“D P U y x P );(),(0δ∈∀”用方邻域叙述用圆邻域叙述函数的增量: 全增量、 偏增量 .用增量的语言叙述)(P f 在0P 连续. （用增量定义连续性） .2. )(P f 在集合D 连续.如果f 在集合D 内每一点连续，则称f 在D 连续，或称f 是D 上的连续函数. 函数在区域上的连续性 .3. )(P f 在0P 不连续.间断点例 （P101）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(2222222y x m m y x y x xy y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .例 （P95例4 ）⎩⎨⎧+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿任何方向都连续 , 但点) 0 , 0 (并不连续.补例 求函数)(22y x tg z +=的不连续点。

（讨论函数的连续性）4. 二元连续和单元连续定义 ( 单元连续 )二元连续与单元连续的关系 （P101） 例 （P101）⎩⎨⎧=≠=. 0 , 0, 0 , 1),(xy xy y x f 函数),(y x f 在原点处不连续 但在原点处f 对x 和对y 分别都连续.5. 二元连续函数的性质局部保号性 若f 在点a 连续，并且0)(>a f ，则存在a 的领域)(a O δ，当)(a O x δ∈时有0)(>x f . 局部有界性运算性质 两个连续函数的和、差、积、商（若分母不为０）都是连续函数. 定理16.7（复合函数连续性）P102设D 是2R 中的开集，D y x ∈),(00。

多元函数的极限与连续性判定在数学分析中，多元函数的极限与连续性是重要的概念，在研究函数的性质和求解问题时起着关键作用。

本文将介绍多元函数的极限和连续性的概念、判定条件以及相关性质。

一、多元函数的极限1. 极限的定义对于二元函数$f(x,y)$，当自变量$(x,y)$无限接近于某一点$(a,b)$时，函数值$f(x,y)$是否趋近于某一确定的值$L$，即$\lim_{(x,y) \to(a,b)}f(x,y)=L$。

2. 多元函数的极限存在判定条件(1) 二元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} < \delta$时，有$|f(x,y)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限存在，记作$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=L$。

(2) 多元函数的极限存在：若对于给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x_1−a_1)^2+...+(x_n−a_n)^2} < \delta$时，有$|f(x_1,...,x_n)−L| < \epsilon$成立，则称函数$f(x_1,...,x_n)$在点$(a_1,...,a_n)$处的$n$重极限存在，记作$\lim_{(x_1,...,x_n) \to(a_1,...,a_n)}f(x_1,...,x_n)=L$。

二、多元函数的连续性判定1. 连续性的定义对于二元函数$f(x,y)$，若在点$(a,b)$的某个邻域内，函数$f(x,y)$在该点处的极限存在且等于函数在该点处的函数值，即$\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(x,y)=f(a,b)$，则称函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处连续。

二元函数的连续性、偏导及可微之间的联系二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的定义 1.二元函数的连续性定义 设f 为定义在D 上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点) ,对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0;P P D δ∈⋂，就有()()0f P f P ε-<, 则称f 在P 点连续2.二元函数的偏导数定义 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆ 时，相应地函数有增量x z ∆=0000(,)(,)f x x y f x y +∆-如果 00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数z (,)f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或()00,x y fx ∂∂对y 的偏导数同理 3.二元函数的可微性定义 设函数(,)z f x y =在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有定义，对于()0U P 中的点()00,(,)P x y f x x y y =+∆+∆，若函数f 在0P 处的全增量z ∆可表示为：()()0000(,),z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+， (1)其中AB 是仅与点P 0有关的常数，ρ=，()o ρ是较高阶的无穷小量，则称函数f 在点P 0可微.并称(1)中A x B y ∆+∆为f 在点P 0的全微分，记作000(,)P dz df x y A x B y ==∆+∆说明：1)A 、B 是与x ∆y ∆无关的常数，但与0P 可能有关；2) dz 是z ∆的线性主部0lim0z dzρρ→∆-=二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系. 一、二元函数连续性与偏导存在性间的关系偏导存在不一定连续，反之连续不一定有偏导存在 1)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例1.证明函数(,)f xy =(0,0)连续偏导数不存在.证明：∵(,)(0,0)(,)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→===,故函数(,)f x y =(0,0)连续.由偏导数定义：001,(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f f x x ∆→∆→∆>⎧+∆-===⎨-∆<∆⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.2)函数(,)f x y 在点000(,)P x y 偏导存在，但不一定连续.例 2.证明函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 : 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→∆→+∆-==∆=∆ 同理可求得(0,0)0y f =∵22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 二、二元函数的可微性与偏导间的关系1.可微性与偏导存在性1) 可微则偏导存在(可微的必要条件1)若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)P x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，2)偏导存在，不一定可微.例3证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦应是较ρ=2200lim lim f df x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)lim lim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.例4. 22220(,)0,x y f x y x y +≠=+=⎪⎩在(0,0)处两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦为此考察极限limf dfρρρ→→∆-=当动点(,)x y 沿直线y =趋于时，则(,)(0,0)(,)limlim x y y mxx y →=→==0≠因此f 在原点不可微例5. 证明函数2222222,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+= 222(,)(0,0)x yf f x y f x y ∆∆∆=∆∆-=∆+∆从而()222230,(0,0)222limlimlim0()()x y x y f dfx y x y x y x y ρρρρ→→∆∆→∆∆∆-∆∆∆+∆==≠=∆+∆取因此f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微例6.证明函数2222322222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在(0，0)连续，且两个偏导数都存在但不可微.证明(1)∵223222()x y x y ≤+∴0,4,εδεδε∀>∃=<<∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)又00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而222220limlim ()()f dfx y x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆=∆∆+∆取不存在 故 f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微2. 偏导连续与可微1)偏导连续，一定可微.(可微的充分条件)若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)P x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)P x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.2)可微，偏导不一定连续例7.证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y =-+++222222121(,)2sin cos y y f x y y x y x y x y =-+++ (1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(2sin cos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-===200(0,)(0,0)1(0,0)lim lim sin 0y y y f y f f y y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ∆=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例8. 证明函数()2222220(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有(,)2x f x y x =(,)2y f x y y = (1)当y=x时，极限00lim (,)lim(2x x x f x x x →→=不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点间断.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点间断.(2)∵00(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=-=从而201cos1limlimlim cos0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例9.证明函数2222221sin ,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有22222222121(,)sin cos ()x x y f x y y x y x y x y =-+++22222222121(,)sin cos ()y xy f x y x x y x y x y =-+++(1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(sin cos )222x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 00(,0)(0,0)(0,0)limlim00x x x f x f f x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=221(,)(0,0)sinf f x y f x y x y ∆=∆∆-=∆∆∆+∆从而()22,1limlimx y f dfx y ρρ→∆∆→∆-=∆+∆=0即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.三、二元函数的连续性与可微性间的关系 1)可微，一定连续(可微的必要条件2)二元函数(,)f x y 在000(,)P x y 可微,则必然连续，反之不然.2)连续，不一定可微例10.证明函数3222222,0(,)0,0x x y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵322222,x x x x x y x y=⋅≤++ ∴0,,,x y x εδεδδε∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)(0,0)limlim 1x x x f x f xf xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0),x y df f x f y x =∆+∆=∆(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而20limf dfρρρ→→∆-=不存在即函数(,)f x y 在点(0，0)不可微. 注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微.例11.证明函数222222sin(),0(,)0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵22sin(),222x y x y x y x y xy xy x y xy ++++≤⋅=≤+∴0,,,2x yx y εδεδδε+∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而0limf dfρρρ→→∆-=取y k x ∆=∆则23320022221sin (1)limlim (1)(1)x f dfk kx k k xk k ρρ→∆→∆-++=⋅=++ 不存在 故函数(,)f x y 在点(0，0)不可微.注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微. 例12 .证明函数(,)f x y xy =在点(0，0)连续，但它在点(0，0)不可微.证明:(1)∵00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.例13.证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在(0，0)连续 ，但不可微.证明:(1)∵2222222222x y xyx y x y x y++≤=++ ∴00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→== 故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)不可微见例4综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：偏导连续可微连续 偏导存在补充1.确定α的值，使得函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微.2.设函数2222(,)sin 0(,)0,0g x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩， 证明：(1)若(0,0)0g =,g 在点(0，0)处可微,且(0,0)0dg =，则 f 在点(0，0)处可微,且(0,0)0df =.(2)若g 在点(0，0)处可导,且f 在点(0，0)处可微,则(0,0)0df =.3.确定正整数α的值，使得函数()22220(,)0,0x y x y f x y x y α⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处(1)连续，(2)偏导存在，(3)存在一阶连续偏导.4.设函数222222,0()(,)00,0px x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩,试讨论它在(0,0)点处的连续性.。

叙述二元函数偏导,可微,连续的关系二元函数是指一个含有两个自变量的函数，例如f(x,y)，其中x和y是独立变量，而f(x,y)是它们的函数值。

在数学上，二元函数的偏导数、连续性和可微性是重要的性质，它们直接影响到函数的性质和应用。

一、二元函数的偏导数偏导数是指多元函数中对某一变量求导数时，将其他变量看做常数而求出的导数。

对于二元函数f(x,y)，其偏导数可以分为两种类型：偏导数和混合偏导数。

1. 偏导数：偏导数常用∂来表示，表示函数f(x,y)对x或y中的其中一个变量求导的结果。

例如，f(x,y)对x 求导得到的偏导数为：∂f(x,y)/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx,y) - f(x,y)] / Δx同理，f(x,y)对y求导得到的偏导数为：∂f(x,y)/∂y = lim(Δy→0) [f(x,y+Δy) - f(x,y)] / Δy2. 混合偏导数：混合偏导数是指对一个二元函数f(x,y)的某个变量求偏导数之后，再对其余变量求偏导数，也就是先后求导数的结果。

例如，对f(x,y)先对x求偏导之后再对y求偏导的结果为：∂²f(x,y) / (∂x ∂y)同理，对f(x,y)先对y求偏导之后再对x求偏导的结果为：∂²f(x,y) / (∂y ∂x)如果∂²f(x,y) / (∂x ∂y) = ∂²f(x,y) / (∂y ∂x)，则称混合偏导数存在且相等。

二、二元函数的可微性可微性是指一个函数在某个点可导且导数存在，则称该函数在该点可微。

对于二元函数f(x,y)，其可微与单变量函数类似，需要同时满足以下两个条件：1. 偏导数存在：即f(x,y)对x、y的偏导数都存在；2. 偏导数连续：即f(x,y)对x、y的偏导数都是连续函数。

如果一个函数在某一点可微，则在该点的局部变化可以近似于一个线性变化，其近似表达式为：Δf(x,y) = ∂f(x,y)/∂x Δx + ∂f(x,y)/∂y Δy其中Δx 和Δy 分别表示自变量 x 和 y 的微小变化量，Δf(x,y) 表示函数在 (x,y) 点处的局部变化量。

§3二元函数的连续性一二元函数的连续性定义设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。

的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。

在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。

若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。

由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。

特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x mx y y x y x y x xyy x f 其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。

设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。

和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当lim ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x 时，f 在点0P 连续。

§3 二元函数的连续性(一) 教学目的：掌握二元函数的连续性的定义，以及多元函数的局部性质和它们在有界闭域上的整体性质．(二) 教学内容：二元函数的连续性的定义；有界闭域上连续函数的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致连续性． 基本要求：(1) 掌握二元函数的连续性的定义，了解有界闭域上连续函数的性质． (2) 较高要求：掌握有界闭域上连续函数性质的证明要点． (三) 教学建议：(1) 有界闭域上多元连续函数的性质基本上与一元函数的情况类似，教学中可通过复习一元连续函数的定理引出．对较好学生，可布置一些与有界闭域上多元连续函数的性质有关的习题——————————————————————一． 二元函数的连续概念由一元函数连续概念引入 .定义（用“δε-”定义二元函数连续） 设函数),(y x f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数，D P ∈0（它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），若对0,0>∃>∀δε，使得当 D P U P );(0δ∈时，都有ε<-|)()(|0P f P f则称),(y x f 关于集合D 在0P 点连续，简称0P f 在点连续。

若函数D f 在上任何点都连续，则称D f 为上的连续函数。

由连续定义，若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于集合D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于集合D 在0P 连续等价于 )()(lim 00P f P f D P PP =∈→如果0P 是D 的聚点，而上式不成立，则称f 关于集合D 在0P 不连续（或间断点）。

特别 )()(lim 00P f A P f D P P P ≠=∈→时，称0P 是f 的可去间断点。

例 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=)0,0(),(,1}0,|),{(),(,),(222y x m m x mx y y x y x yx xyy x f其中 m 是固定实数。

第十六章 多元函数的极限与连续3二元函数的连续性一、二元函数的连续性概念定义1：设f 为定义在点集D ⊂R 2上的二元函数，P 0∈D(聚点或孤立点).对于任给正数ε，总存在相应的正数δ，只要P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，就有 |f(P)-f(P 0)|<ε，则称f 关于集合D 在点P 0连续. 在不致误解的情况下，也称f 在点P 0连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.注：若P 0是D 的孤立点，则必为f 关于D 的连续点；若P 0是D 的聚点，则f 关于D 在P 0连续等价于DP P P 0lim ∈→f(P)=f(P 0)， 若DP P P 0lim ∈→f(P)≠f(P 0)，则聚点P 0是f 的不连续点(或称间断点). 若DP P P 0lim ∈→f(P)=A ≠f(P 0)，则P 0是f 的可去间断点.如：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2和f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，， 在原点连续；函数f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012在原点不连续；函数f(x,y)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+)0,0()y x,(m 1m }0 x mx,y |)y x,{()y x,(y x xy 222，，，m 为固定实数，即f 只定义在直线y=mx 上，∵mx y )0,0()y ,x (lim =→f(x,y)=2m1m +=f(0,0)， ∴f 在原点沿着直线y=mx 连续.例1：讨论函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x x 22α，，, (α>0)在点(0,0)的连续性. 解：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.当(x,y)≠(0,0)时，22αy x x +=2ααr φcos r →⎪⎩⎪⎨⎧<<∞=>2α02α，2α0，，不存在,(r →0)； ∴当α>2时，f 在点(0,0)连续；当0<α≤2时，f 在点(0,0)间断.定义2：设P 0(x 0,y 0), P(x,y)∈D, △x=x-x 0, △y=y-y 0, 则称△z=△f(x 0,y 0)=f(x,y)-f(x 0,y 0)=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)为函数f 在点P 0的全增量. 当D )y ,x ()y ,x ()y ,x (00lim ∈→∆∆△z=0时，f 在点P 0连续.若在全增量中取△x=0或△y=0，则相应的函数增量称为偏增量，记作： △f(x 0,y 0)=(x 0+△x,y 0)-f(x 0,y 0)，△f(x 0,y 0)=(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0).注：一般函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和.0x lim →∆△f(x 0,y 0)=0表示固定y=y 0时，f(x,y 0)作为x 的一元函数在x 0连续.同理，0y lim →∆△f(x 0,y 0)=0表示f(x 0,y)在y 0连续. 但二元函数对单个自变量都连续并不能保证该函数的连续性.例：f(x,y)=⎩⎨⎧=≠0xy 00xy 1，， 在原点处不连续，但f(0,y)=f(x,0)=0，即 在原点处f 对x 和对y 都连续.定理16.7：(复合函数的连续性)设函数u=φ(x,y)和v=ψ(x,y)在xy 平面上点P 0(x 0,y 0)的某邻域内有定义，并在点P 0连续；函数f(u,v)在uv 平面上点Q 0(u 0,v 0)的某邻域内有定义，并在点Q 0连续，其中u 0=φ(x 0,y 0), v 0=ψ(x 0,y 0)，则复合函数g(x,y)=f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续. 证：由f 在点Q 0连续知，∀ε>0，∃η>0，使得当|u-u 0|<η, |v-v 0|<η时， 有|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε. 又由φ,ψ在点P 0连续知，对上述正数η，∃δ>0， 使得当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ时，都有|u-u 0|=|φ(x,y)-φ(x 0,y 0)|<η， |v-v 0|=|ψ(x,y)-ψ(x 0,y 0)|<η，即当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ时，就有 |g(x,y)-g(x 0,y 0)|=|f(u,v)-f(u 0,v 0)|<ε，∴复合函数f[φ(x,y),ψ(x,y)]在点P 0也连续.二 、有界闭域上连续函数的性质定理16.8：(有界性与最大、最小值定理)若函数f 在有界闭域D ⊂R 2上连续，则f 在D 上有界，且能取得最大值与最小值.证：若f 在D 上无界，则对每个正整数n ，必存在点P n ∈D ，使得 |f(P n )|>n, n=1,2,…. 于是得到一个有界点列{P n }⊂D ，且总能使 {P n }中有无穷多个不同的点，由定理16.3知，{P n }存在收敛子列{P k n },记∞→k lim P k n =P 0，∵D 是闭域，∴P 0∈D ，又f 在D 上连续， ∴∞→k lim f(P k n )=f(P 0)，与|f(P n )|>n, n=1,2,…矛盾，∴f 在D 上有界. 设m=inff(D)，M=supf(D). 若对任意P ∈D, 有M-f(P)>0，记F(P)=f(P)-M 1 , 则函数F(P)连续，恒有F(P)>0，F 在D 上有界， 由设f 不能在D 上达到上确界M ，∴存在收敛点列{P n }⊂D ，使得∞→n lim f(P n )=M ，于是有∞→n lim F(P n )=+∞，与F 在D 上有界矛盾， ∴f 在D 上有最大值M ；同理可证，f 在D 上有最小值m.定理16.9：(一致连续性定理)若函数f 在有界闭域D ⊂R 2上连续，则f 在D 上一致连续，即对任给的ε>0，总存在只依赖于ε的正数δ， 使得对一切点P ,Q ∈D ，只要ρ(P ,Q)<δ，就有|f(P)-f(Q)|<ε.证：若f 在D 上连续而不一致连续，则存在某ε0>0，对任意小的δ>0， 如取δ=n 1, n=1,2,…，总有相应的P n ,Q n ∈D ，虽然ρ(P n ,Q n )<n1，但是 |f(P n )-f(Q n )|≥ε0. ∵D 为有界闭域，∴存在收敛子列{P k n }⊂{P n }， 记∞→k lim P k n =P 0∈D ，并在{Q n }中取出与P k n 下标相同的子列{Q k n }，则 ∵0≤ρ(P k n ,Q k n )<kn 1→0, k →∞，∴∞→k lim Q k n =∞→k lim P k n =P 0，又 由f 在P 0连续，∴∞→k lim |f(P k n )-f(Q k n )|=|f(P 0)-f(P 0)|=0，与|f(P k n )-f(Q kn )|≥ε0>0矛盾！∴f 在D 上一致连续.定理16.10：(介值性定理)设函数f 在区域D ⊂R 2上连续，若P 1,P 2为D 中任意两点，f(P 1)<f(P 2)，则对任何满足不等式f(P 1)<μ<f(P 2)的实数μ，必存在点P 0∈D ，使得f(P 0)=μ.证：记F(P)=f(P)-μ, P ∈D ，则F(P)在D 上连续，且F(P 1)<0<F(P 2). 不妨设P 1,P 2为D 的内点，∵D 为区域，∴D 中有限折线可联结P 1,P 2， 若某一联结点P 0’, 有F(P 0’)=0，则f(P 0’)=μ，得证；否则， 必存在某联结线段Q 1Q 2两端的函数值异号，设Q 1Q 2所在直线方程为： ⎩⎨⎧+=+=)y -t(y y y )x -t(x x x 121121, 0≤t ≤1，其中Q 1(x 1,y 1)和Q 2(x 2,y 2)为线段两端点； 则在此线段上，F 表示为关于t 的复合函数：G(t)=F(x 1+t(x 2-x 1),y 1+t(y 2-y 1)), 0≤t ≤1，在[0,1]一元连续，且 F(Q 1)=G(0)<0<G(1)=F(Q 2). 由一元函数根的存在定理知，在(0,1)内存在一点t 0, 使得G(t 0)=0. 记x 0=x 1+t 0(x 2-x 1), y 0=y 1+t 0(y 2-y 1)， 则有P 0(x 0,y 0)∈D ，使得F(P 0)=G(t 0)=0，即f(P 0)=μ.注：定理16.8与定理16.9的有界闭域D 可改变有界闭集；为了保证连通性，定理16.10只适合区域，且由介值性定理可知，区f 在区域D 上连续，则f(D)必定是一个区间(有限或无限).习题1、讨论下列函数的连续性：(1)f(x,y)=tan(x 2+y 2)；(2)f(x,y)=[x+y]；(3)f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0y 00y y x y sin ，，； (4)f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy sin 222222，，；(5)f(x,y)=⎩⎨⎧为有理数为无理数x y x 0，，；(6)f(x,y)=⎩⎨⎧=+≠++0y x 00y x )y x ln(y 2222222，，；(7)f(x,y)=x siny sin 1；(8)f(x,y)=y x-e . 解：(1)记D={(x,y)|0≤x 2+y 2<2π∪{(x,y)|21-2k π<x 2+y 2<212k +π, k ∈N}}， 当(x 0,y 0)∈D 时，由tanu 在u 0=x 02+y 02连续知，)y ,x ()y ,x (00lim →tan(x 2+y 2)=0u u lim →tanu= tanu 0=tan(x 02+y 02)， ∴f(x,y)在(x 0,y 0)连续，即f(x,y)在D 上连续，又f 在R 2-D 上无定义，∴f 在R 2-D 上处处间断.(2)记D={(x,y)|k<x+y<k+1,k ∈Z}，且P 0(x 0,y 0)∈D ，则存在k ∈Z,使 k<x 0+y 0<k+1，于是当δ>0充分小时，对任意的(x,y)∈U(P 0;δ)，就有 k<x+y<k+1，从而f(x,y)≡k ≡f(x 0,y 0)，∴)y ,x ()y ,x (00lim →f(x,y)=f(x 0,y 0)，∴f 在D 上连续，在R 2-D(即x+y=k)处处不连续.(3)∵yxy sin ≤|x|，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f(x,y)在点(0,0)连续. 又当y ≠0时，f(x,y)是初等函数且在{(x,y)|y ≠0}有定义，∴f(x,y)在D={(x,y)|y ≠0}∪{(0,0)}上连续. 又在任一点(x 0,0)≠(0,0)处， ∵f(x 0,0)=0而)0,x ()y ,x (0lim →f(x,y)≠0，∴f 在(x 0,0)间断，即f 仅在D 上连续.(4)当x 2+y 2≠0时，22y x xysin +≤|x|，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)， ∴f(x,y)在点(0,0)连续. 又f(x,y)在R 2-(0,0)上有定义且为初等函数， ∴f(x,y)在R 2上连续.(5)设(x 0,y 0)∈R 2，则当x 0为有理数时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|f(x,y)-y 0|=⎩⎨⎧为有理数为无理数x |y -y |x |y |00，，；当x 0为无理数时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|f(x,y)|=⎩⎨⎧为有理数为无理数x |y |x 0，，； ∴当且仅当y 0=0时，)y ,x ()y ,x (00lim →f(x,y)=f(x 0,y 0)，即f 仅在D={(x,y)|y=0}上连续.(6)在x 2+y 2≠0的点处，f 是初等函数且有定义，又|y 2ln(x 2+y 2)|≤|(x 2+y 2)ln(x 2+y 2)|→0, (x,y)→(0,0)，即)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f(x,y)在R 2上连续. (7)直线x=m π及y=n π, (m,n=0,±1,±2,…)上的点均为f 的不连续点. 而在D={(x,y)x ≠n π或y ≠n π, n ∈N}上f 有定义且为初等函数， ∴f 仅在D 上连续，即除直线x=m π及y=n π以外的点，f 都连续.(8)∵u=-yx 在其定义域D={y|y ≠0}上连续，又f=e u 关于u 连续， 由复合函数的连续性知f 在其定义域D 上连续.2、叙述并证明二元连续函数的局部保号性.解：局部保号性：若函数f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)连续，且f(x 0,y 0)≠0， 则函数f(x,y)在点P 0的某一邻域U(P 0;δ)内与f(x 0,y 0)同号，并存在某正数r(|f(x 0,y 0)|>r)，使得对任意(x,y)∈U(P 0;δ)，有|f(x,y)|≥r>0.证明如下： 设f(x 0,y 0)>0，则存在r ，使f(x 0,y 0)>r>0，取ε=f(x 0,y 0)-r>0， 由f 在 (x 0,y 0)连续知，∃δ>0，使得当(x,y)∈U(P 0;δ)时，有|f(x,y)-f(x 0,y 0)|<ε=f(x 0,y 0)-r ，即当(x,y)∈U(P 0;δ)时，f(x,y)≥f(x 0,y 0)-ε=r>0. 当f(x 0,y 0)<0时，任取0<r<-f(x 0,y 0)，由上可知存在U(P 0;δ)，使得 在其上-f(x,y)≥r>0，即f(x,y)≤-r<0.∴f 在U(P 0;δ)上与f(x 0,y 0)同号，且|f(x,y)|≥r>0.3、设f(x,y)=()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x x 2222p 22，，, p>0，讨论它在点(0,0)处的连续性. 解：当x 2+y 2≠0时，()p 22y x |x |+≤|x 1-2p |→⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞=<<21p ，21p ，121p 00，, (x,y)→(0,0)； ∴当0<p<21时，)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0=f(0,0)，f 在(0,0)连续； 当p ≥21时，f 在(0,0)不连续.4、设f(x,y)定义在闭矩形域S=[a,b]×[c,d]上. 若f 对y 在[c,d]上处处连续，对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续，证明f 在S 上处处连续. 证：设(x 0,y 0)∈S ，对固定的x 0, f 为y 的连续函数，即∀ε>0，∃δ1>0， 当|y-y 0|<δ1，且(x 0,y)∈S 时，有|f(x 0,y)-f(x 0,y 0)|<2ε，又由f 对x 关于y 为一致连续，∴对上述的ε>0，∃δ2>0，对满足 |y-y 0|<δ2的任何y ，只要|x-x 0|<δ2，且(x,y)∈S ，便有|f(x,y)-f(x 0,y)|<2ε， 取δ=min{δ1,δ2}，则只要|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ，且(x,y)∈S ，总有 |f(x,y)-f(x 0,y 0)|≤|f(x,y)-f(x 0,y)|+|f(x 0,y)-f(x 0,y 0)|<ε. ∴f 在S 上连续.5、证明：若D ⊂R 2是有界闭域，f 为D 上的连续函数，且f 不是常数函数，则f(D)不仅有界，而且是闭区间.证：若f 在D 上恒为常数，则f(D)为单点集，从而有界.若f在D上不恒为常数，由定理16.8知：f在D上有界且能取得最大值、最小值，分别设为M,m，则m<M且m≤f(P)≤M,(P∈D)，即f(D)⊂[m,M]. 下证f(D)⊃[m,M].任给μ∈[m,M]，由介值定理知，必存在P0∈D使f(P0)=μ，∴μ∈f(D)，∴f(D)⊃[m,M]，∴f(D)=[m,M]为闭区间.6、设f(x,y)在[a,b]×[c,d]上连续，又有函数列{φk(x)}在[a,b]上一致收敛，且c≤φk(x)≤d, x∈[a,b], k=1,2,…. 试证{F k(x)}={f(x,φk(x))}在[a,b]上也一致收敛.证：∵f(x,y)在D=[a,b]×[c,d]上连续，∴对任意(x0,y0)∈D, ∀ε>0，∃δ>0，使得当|x-x0|<δ,|y-y0|<δ，且(x,y)∈D时，有|f(x,y)-f(x0,y0)|<ε.∵{φk(x)}在[a,b]上一致收敛，∴对上述δ，∃N, 使得当n,m>N时，对一切x∈[a,b]，有|φn(x)-φm(x)|<δ.由c≤φk(x)≤d, x∈[a,b], k=1,2,…知，φn(x),φm(x)∈[c,d].又f(x,y)在(x,φm(x))∈D连续，对(x,φn(x))∈D及上述ε, δ, N，有x∈[a,b]，|x-x|=0<δ, |φn(x)-φm(x)|<δ，∴|f(x,φn(x))-f(x,φm(x))|=|F n(x)-F m(x)|<ε.∴{F k(x)}={f(x,φk(x))}在[a,b]上也一致收敛.7、设f(x,y)在区域G⊂R2上对x连续，对y满足利普希茨条件：|f(x,y’)-f(x,y”)|≤L|y’-y”|, 其中(x,y’),(x,y”)∈G，L为常数. 试证明：f在G上处处连续.证：∵f(x,y)在区域G⊂R2上对x连续，∴任取P0(x0,y0)∈G，固定y0，∀ε>0，∃δ1>0，使得对(x,y 0)∈G ，当|x-x 0|<δ1时，有|f(x,y 0)-f(x 0,y 0)|<2ε； 又f 对y 满足利普希茨条件，对上述ε，取δ2=L 2ε，则当|y-y 0|<δ2时， 有|f(x,y)-f(x,y 0)|≤L|y-y 0|<L δ2=2ε；取δ=min{δ1,δ2}，当|x-x 0|<δ,|y-y 0|<δ，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|≤|f(x,y)-f(x,y 0)|+|f(x,y 0)-f(x 0,y 0)|<2ε+2ε= ε.∴f 在P 0(x 0,y 0)连续，由P 0的任意性知，f 在G 上处处连续.8、若一元函数φ(x)在[a,b]上连续，令f(x,y)=φ(x), (x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞).试讨论f 在D 上是否连续，是否一致连续？解：(1)任取(x 0,y 0)∈D ，∵φ(x)在[a,b]上连续，从而φ(x)对x 0连续， ∀ε>0，∃δ>0，使当x ∈[a,b]且|x-x 0|<δ时，有|φ(x)-φ(x 0)|<ε， ∴当|x-x 0|<δ, |y-y 0|<δ且(x,y)∈D 时，|f(x,y)-f(x 0,y 0)|=|φ(x)-φ(x 0)|<ε， 即f(x,y)在(x 0,y 0)连续，从而在D 上连续.(2)∵φ(x)在[a,b]上连续，从而一致连续. ∀ε>0，∃δ>0，使当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|φ(x ’)-φ(x ”)|<ε，从而当(x ’,y ’),(x ”,y ”)∈D 且|x ’-x ”|<δ, |y ’-y ”|<δ时，有x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ，从而 |f(x ’,y ’)-f(x ”,y ”)|=|φ(x ’)-φ(x ”)|<ε，∴f 在D 上一致连续.9、设f(x,y)=x y 11-, (x,y)∈D=[0,1)×[0,1)， 证明：f 在D 上连续，但不一致连续.证：∵f 是在D 上有定义的初等函数，∵f 是在D 上连续.取ε0=21，无论正数δ取得多么小，当P 1=(1n n +,1n n +),P 2=(n 1-n ,n1-n )取到某个n 时, 总能使|P 1-P 2|<δ, 且P 1,P 2∈D ， 但|f(P 1)-f(P 2)|=221)(n n 11+-- 22n 1)-(n 11-=1n 2)1n (2++-1n 2n 2-=22n 1-4n 1-2>21=ε0， ∴f 在D 上不一致连续.10、设f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 连续，并且每当固定x 时，f 对y 是单调的，证明：f 在R 2上二元连续.证：∵f 在R 2上分别对每一个自变量x 和y 连续，∴任取(x 0,y 0)∈R 2，由f(x,y)关于y 连续知，f(x 0,y)在y 0连续，即 ∀ε>0，∃δ1>0，使当|△y |<δ1时，有|f(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|<2ε； 对于点(x 0, y 0±δ1)，由f(x,y)关于x 连续知，f(x,y 0±δ1)在x 0连续，即 对上述ε，∃δ2>0，当|△x|<δ2时，有|f(x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0±δ1)|<2ε， 取δ=min{δ1,δ2}，则当|△x|<δ, |△y|<δ时，由f(x,y)关于y 单调知， |f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|≤max{|f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|}.又 |f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|≤|f(x 0+△x, y 0±δ1)-f(x 0, y 0±δ1)|+|f(x 0, y 0±δ1)-f(x 0, y 0)|<2ε+2ε=ε. ∴当|△x|<δ, |△y|<δ时，就有|f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)|<ε. ∴f 在点(x 0,y 0)处连续，由点(x 0,y 0)的任意性可知，f 在R 2上二元连续.。