第二章(古典下、08)

第一节 第二节 第三节 第四节
古典回归模型 回归模型的参数估计 回归模型的统计检验 非线性回归模型
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第三节 回归模型的统计检验
回归分析中主要是通过一些统计检验方法来保 证模型在统计意义上（即以样本推断总体） 证模型在统计意义上（即以样本推断总体）的可 靠性。 靠性。
一、 模型的拟合优度检验
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2．判定系数R2： 判定系数R
回归平方和(ESS)占总平方和(TSS)的比重作为衡量模 (ESS)占总平方和(TSS)的比重 用回归平方和(ESS)占总平方和(TSS)的比重作为衡量模 型对样本拟合优度的指标，该指标称为判定系数（ 型对样本拟合优度的指标，该指标称为判定系数（或可 决系数），用符号R 表示， ），用符号 决系数），用符号 2表示，即
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解释变量显著性检验通不过的原因可能在于: 解释变量显著性检验通不过的原因可能在于 (1) xi与y不存在线性相关关系 ； (2) xi与y不存在任何关系 ; (i≠j)存在线性相关关系 存在线性相关关系。 (3) xi与xj(i≠j)存在线性相关关系。 在EViews软件输出的回归分析结果中，在每个t EViews软件输出的回归分析结果中 在每个t 软件输出的回归分析结果中， 统计量值t 的右端还列出了一个概率值p 统计量值ti的右端还列出了一个概率值p（又称 ），它表示 它表示: 为p值），它表示: P（|t|≥ti）= p 即给出了所谓“精确的显著水平” 即给出了所谓“精确的显著水平”。
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一、可线性化模型 二、不可线性化模型 三、回归模型的比较 练习题
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第四节 非线性回归模型
对于非线性模型，通常是将其转化成线性模型进行估计。 对于非线性模型，通常是将其转化成线性模型进行估计。
一、可线性化模型 模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转 化成线性回归模型， 化成线性回归模型，称这类模型为可线性化模 型。 倒数变换模型（双曲函数模型） 1．倒数变换模型（双曲函数模型） 对于模型 1
们经常采用的一类非线性回归模型。 们经常采用的一类非线性回归模型。
3．半对数模型 ．
(对数函数模型 对数函数模型) y=a+blnx+ε (对数函数模型) (指数函数模型 指数函数模型) lny=a+bx+ε (指数函数模型) 模型中只有某一侧的变量为对数形式，称为半对数模型。 模型中只有某一侧的变量为对数形式，称为半对数模型。
y = a + b
1 * 设: x = 则上式变换为 x 则上式变换为:
y = a + bx + ε
∗
x
+ ε
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对于模型
*
上面二个模型进行变量的倒数变换， 上面二个模型进行变量的倒数变换，就可以将 其转化成线性回归模型， 其转化成线性回归模型，所以称该模型为倒数 变换模型。 变换模型。 2．双对数模型（幂函数模型） ．双对数模型（幂函数模型） 对于模型 ln y = a + b ln x + ε 设:
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Rα
2
R2
偏回归系数检验) 三、解释变量的显著性检验(偏回归系数检验 解释变量的显著性检验 偏回归系数检验
对于多元线性回归模型，为了检验某个解释变量x 对于多元线性回归模型，为了检验某个解释变量 i对y 检验某个解释变量 是否有显著影响，可以建立原假设： 是否有显著影响，可以建立原假设： H0： bi=0 没有显著影响。 即假设x 没有显著影响 即假设 i对y没有显著影响。构造统计量
ESS RSS R = = =1− =1− 2 2 TSS ∑( yi − y) TSS ∑( yi − y)
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( yi − y)2 ∑ˆ
ei2 ∑
（2-7） ）
显然， 的值越接近于1， 显然，0≤ R2≤1 , R2的值越接近于 ，则表明模型对样本 数据的拟合优度越高。 数据的拟合优度越高。 判定系数不仅反映了拟合程度的优劣，而且有直观的经 判定系数不仅反映了拟合程度的优劣，而且有直观的经 济含义：它定量地描述了y 济含义：它定量地描述了 的变化中可以用解释变量的 变化来说明的部分，即模型的可解释程度。 变化来说明的部分，即模型的可解释程度。
所谓“拟合优度”，即模型对样本数据的近似程度（回 所谓“拟合优度” 即模型对样本数据的近似程度（ 归直线与样本数据趋势的吻合程度)，常用判定系数反映。 常用判定系数反映。
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1．总平方和分解公式
ˆi − y)2 + ∑ei 2 ∑( yi − y) = ∑( y
2
（2-6） ）
RSS 上式记成 TSS = ESS + 其中， 称为总平方和（ ），ESS称为 其中，TSS称为总平方和（或总离差平方和）， 称为总平方和 或总离差平方和）， 称为 回归平方和（或可解释的平方和）， ），RSS称为残差平方 回归平方和（或可解释的平方和）， 称为残差平方 或剩余平方和）。 和（或剩余平方和）。 （2-6）式称为总平方和分解公式
d ln y dy / y ∆y / y y的增长速度 b= = ≈ = d ln x dx / x ∆x / x x的增长速度
回归系数b是被解释变量y关于解释变量x的弹性（ 回归系数b是被解释变量y关于解释变量x的弹性（即x的 一个（微小）变动引起y变动的百分比）。 ）。如果所研究 一个（微小）变动引起y变动的百分比）。如果所研究 的经济关系可以用双对数模型描述， 的经济关系可以用双对数模型描述，则估计模型之后就 可以直接利用系数b进行弹性分析。双对数函数模型是人 可以直接利用系数 进行弹性分析。 进行弹性分析
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检验与F 2．R2检验与F检验的关系
ESS / k n − k −1 ESS / TSS n − k −1 R2 F= = ⋅ = ⋅ RSS /(n − k −1) k RSS / TSS k 1− R2 F Fα F统计量与 统计量与R 图2-7 F统计量与R2的关系
因此， 统计量是判定系数R 的单调增函数， 因此，F统计量是判定系数R2的单调增函数，从图中可以 直观看出；对于每一个临界值F 直观看出；对于每一个临界值Fα ，都可以找到一个 2 2 与之对应， 便有F 与之对应，当R2 > Rα 时，便有F > Fα 。 Rα 注意： 检验是一个联合检验，即使所有的t 注意：F检验是一个联合检验，即使所有的t统计量都是不 显著的， 统计量也可能是显著的。 显著的， F统计量也可能是显著的。
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对于模型
半对数模型中的回归系数 的含义 半对数模型中的回归系数b的含义： 回归系数 的含义： 对数函数模型中， 对数函数模型中，
dy dy ∆y y的增长幅度 b= = ≈ = d ln x dx / x ∆x / x x的增长速度 增加1%时 将增长0.01b个单位。 个单位。 即x增加 时，y 将增长 增加 个单位 指数函数模型中 ， d ln y dy / y ∆y / y y的增长速度 b= = ≈ = dx dx ∆x x的增长幅度 增加1个单位时 特别地， 即x增加 个单位时，y 将增长 增加 个单位时， 将增长100b% 。特别地， 为时间变量（ ），则系数 若x为时间变量（如年份），则系数 衡量了 的 为时间变量 如年份），则系数b 衡量了y 年均增长速度。所以模型又称为增长模型。 年均增长速度。所以模型又称为增长模型。
yi = b0 + b1x1i + b2 x2i ⋯+ bk xki + εi
假设H 假设 0： b1=b2=…=bk=0 在原假设成立的情况下，可以证明： 在原假设成立的情况下，可以证明：
ˆ ∑( yi − y) / k F= 2 ~ F(k, n − k −1) ∑ei / n − k −1
2
对于给定的显著水平α，可由 分布表查得临界值 分布表查得临界值F 对于给定的显著水平 ，可由F分布表查得临界值 α 注意是单侧检验）： （注意是单侧检验）： 合肥师范学院经济系
ˆ bi −bi t= ~ t(n − k −1) ˆ S(b )
i
对于给定的显著水平α，可由 分布表查得临界值 若 分布表查得临界值t 对于给定的显著水平 ，可由t分布表查得临界值 α/2,若 |t|> tα/2 ，拒绝 0， xi 对y有显著影响； 拒绝H 有显著影响； 有显著影响 接受H 认为x 影响不显著， 若|t|≤ tα/2 ，接受 0，认为 i 对y影响不显著，应考虑将 影响不显著 xi 从模型中剔除，重新建立模型。 从模型中剔除，重新建立模型。
SC = ln( ei2 ∑ k +1 )+ ln n n n 其值越小表明模型的拟合优度越高。 其值越小表明模型的拟合优度越高。 2
i
∑e AIC = ln(
n
)+
2(k +1 ) n 合肥师范学院经济系
二、模型的显著性检验
模型的显著性检验，就是检验模型对总体的近似程度。 模型的显著性检验，就是检验模型对总体的近似程度。 最常用的检验方法是F检验或者 检验。 检验或者R 最常用的检验方法是 检验或者 2检验。 1．F检验 对于多元线性回归模型
y = ln y, x = ln x
* *
1 * 1 设: y = , x = 则上式变换为 则上式变换为: y x
1 1 = a+b +ε y x
y = a + bx + ε
∗ ∗
则将其转换成线性回归模型： 则将其转换成线性回归模型： ∗
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y =a+bx +ε
∗
对于双对数模型， 对于双对数模型，因为 :
则拒绝H 可以认为模型的线性关系是显著的； 若F> Fα，则拒绝 0，可以认为模型的线性关系是显著的； 一般在软件回归结果里用P值决策 值决策） （一般在软件回归结果里用 值决策） 则接受H 认为模型的线性关系不显著， 若F< Fα，则接受 0，认为模型的线性关系不显著，回归 模型无效。 模型无效。 检验通不过的原因可能在于： 检验通不过的原因可能在于： ⑴ 所选取的解释变量不是影响被解释变量变动的主要因 或者说影响y变动的因素除模型中的因素外， 素,或者说影响y变动的因素除模型中的因素外，还有 其它不可忽略的因素； 其它不可忽略的因素； 解释变量与被解释变量之间无相关关系； ⑵解释变量与被解释变量之间无相关关系； 解释变量与被解释变量之间不存在线性相关关系； ⑶解释变量与被解释变量之间不存在线性相关关系； 样本容量n比较小； ⑷样本容量n比较小； 回归模型存在序列相关(时间序列中,不同时期) ⑸回归模型存在序列相关(时间序列中,不同时期)。