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迈达斯—动⼒弹塑性分析滞回模型9-1 概要⾮线性抗震分析⽅法可分为⾮线性静⼒分析⽅法和⾮线性动⼒分析⽅法。
其中⾮线性静⼒分析⽅法(静⼒弹塑性分析)因其理论概念易于理解、计算效率⾼、整理结果较为容易等原因为设计⼈员所⼴泛使⽤。
但是由于静⼒弹塑性分析存在反映结构动⼒特性⽅⾯的缺陷、使⽤的能⼒谱是从荷载-位移能⼒曲线推导出的单⾃由度体系的能⼒谱、不能考虑荷载往复作⽤效应等原因，在需要精确分析结构动⼒特性的重要结构上的应⽤受到了限制。
近年因为计算机硬件和软件技术的发展，动⼒弹塑性分析的计算效率有了较⼤的提⾼，使⽤计算更为精确的动⼒弹塑性分析做⼤震分析正逐渐成为结构⾮线性分析的主流。
9-1-1 动⼒弹塑性分析的运动⽅程包含了⾮线性单元的结构的运动⽅程如下。
单元的⾮线性特性反映在切线刚度的计算上，且⾮线性连接单元的单元类型必须使⽤弹簧类型的⾮弹性铰特性值定义。
S I N MuCu K u f f p ++++= (1)其中， M ：质量矩阵C ：阻尼矩阵K S ：⾮线性单元和⾮线性连接单元以外的弹性单元的刚度矩阵,,u uu ：节点的位移、速度、加速度响应 p ：节点上的动⼒荷载f I ：⾮线性单元沿整体坐标系的节点内⼒f N ：⾮线性连接单元上的⾮线性弹簧上的沿整体坐标系的节点内⼒弹塑性动⼒分析属于⾮线性分析不能象线弹性时程分析那样使⽤线性叠加的原理，所以m i d a s C i v i l因此，在时刻t t +?上的第(i)次迭代计算的位移、速度、加速度可按下⾯公式表⽰。
()(1)()i i i t t t t u u uδ-+?+?=+ (11)()(1)()(1)()i i i i i t t t t t t u u u u u tγδδβ--+?+?+?=+=+(12)()()(1)()(1)()21i i i i i t t t t t t u u u u u t δδβ--+?+?+?=+=+(13)在时刻t t +?的第(i)次迭代计算的运动⽅程如下。
什么是滞回曲线在力循环往复作用下，得到结构的荷载－变形曲线。
它反映结构在反复受力过程中的变形特征、刚度退化及能量消耗，是确定恢复力模型和进行非线性地震反应分析的依据。
又称恢复力曲线（restoring force curve）。
结构几种常见的滞回形状结构常见的几种滞回形状结构或构件滞回曲线的典型形状一般有四种:梭形、弓形、反S形和Z形。
梭形说明滞回曲线的形状非常饱满，反映出整个结构或构件的塑性变形能力很强，具有很好的抗震性能和耗能能力。
例如受弯、偏压、压弯以及不发生剪切破坏的弯剪构件，具有良好塑性变形能力的钢框架结构或构件的P一△滞回曲线即呈梭形。
弓形具有“捏缩”效应，显示出滞回曲线受到了一定的滑移影响。
滞回曲线的形状比较饱满，但饱满程度比梭形要低，反映出整个结构或构件的塑性变形能力比较强，节点低周反复荷载试验研究性能较好，.能较好地吸收地震能量。
例如剪跨比较大，剪力较小并配有一定箍筋的弯剪构件和压弯剪构件，一般的钢筋混凝土结构，其滞回曲线均属此类。
反S形反映了更多的滑移影响，滞回曲线的形状不饱满，说明该结构或构件延性和吸收地震能量的能力较差。
例如一般框架、梁柱节点和剪力墙等的滞回曲线均属此类。
Z形反映出滞回曲线受到了大量的滑移影响，具有滑移性质。
例如小剪跨而斜裂缝又可以充分发展的构件以及锚固钢筋有较大滑移的构件等，其滞回曲线均属此类。
滞回曲线的评价描述方法一般采用观察滞回曲线饱满程度来评价滞回曲线，越饱满，说明塑性和韧性好，峰值点越高，材料性能越好。
对于更一般问题，常定义耗能指标（Hysteresis energy dissipation index），用来表示每一循环的滞回耗能。
采用言行参数来评价延性性能。
滞回曲线的物理意义为：地震时，结构处于地震能量场内，地震将能量输入结构，结构有一个能量吸收和耗散的持续过程。
当结构进入弹塑性状态时，其抗震性能主要取决于构件耗能的能力。
滞回曲线中加荷阶段荷载－位移曲线下所包围的面积可以反映结构吸收能量的大小；而卸荷时的曲线与加载曲线所包围的面积即为耗散的能量。
一般来说滞回曲线最直观反映的是试件受力和产生位移的关系，这样的曲线中可以看到在某个力作用下产生的位移有多少。
一般来说曲线能简化为好几个直段，第一个直段跟第二个直段的交点就是弹性段跟塑性段的交点，也就是弹性段结束，塑性段开始的时刻，从这个点可以看出弹性模量、弹性极限等数据；以此类推，在塑性段的结束点也可以得出类似的关于塑性性能的数据。
而由于位移跟受力的乘积是能量，所以滞回曲线所围成的面积就是所消耗的能量。
再深入一点看，反复实验一般直到构件破坏结束（这要看实验描述），从这样的实验里面还可以得出试件的疲劳数据，得出抗疲劳性能等等数据具体讲解滞回曲线的书籍确实没有，现在市面上很多钢筋混凝土非线性分析或者钢筋混凝土有限元分析等方面的书籍，也仅仅都是点到为止，内容浅显，重复多创新少，几乎都是一带而过。
滞回曲线这方面的内容很多都是散见于一些零星的书籍或者文献中，需要自己留意收集整理了。
在进行弹性结构时程分析时，结构刚度为常数，即力一变形关系符合虎克定律(直线关系)。
在进行弹塑性结构时程分析时，结构屈服后要重新建立刚度矩阵，因而需要建立结构力一变形的弹塑性关系，如图1所示，即恢复力模型。
结构构件在周期性反复荷载作用下，可能发生图2所示的恢复力曲线，这是钢筋混凝土构件具有代表性的非线性恢复力特性曲线，由于曲线具有滞回性质，又称滞回曲线或称滞回环。
在钢筋混凝土受弯构件中，由于纯弯区段只有垂直裂缝，滞回曲线在卸载后不能回到原点的主要原因是受压区混凝土的塑性变形和受拉区钢筋与混凝土之间的滑移，整个弯矩(M)一曲率(φ)图形呈现出“梭形”的曲线[图3(a)]。
在剪弯构件中，不仅有垂直裂缝，还有斜裂缝。
斜裂缝的张合使滞回曲线变成带有“弓”形的特点，如图3(b)所示的侧向力(P)一位移(δ)曲线。
在压弯构件中，轴向力的存在对裂缝的发展起了抑制作用，如图3(c)所示，与受弯构件的弯矩一曲率曲线[图3(a)]相比，压弯构件的图形偏向弯短轴，提高了构件抗弯承载能力，但减少了曲率的塑性变形能力，以剪切变形为主的剪力墙，由于斜裂缝的张合，使侧向力(P)一剪切变形(y)图呈现出反s形[图3(d)]。
什么是滞回曲线在力循环往复作用下，得到结构的荷载－变形曲线。
它反映结构在反复受力过程中的变形特征、刚度退化及能量消耗，是确定恢复力模型和进行非线性地震反应分析的依据。
又称恢复力曲线（restoring force curve）。
结构几种常见的滞回形状结构常见的几种滞回形状结构或构件滞回曲线的典型形状一般有四种:梭形、弓形、反S形和Z形。
梭形说明滞回曲线的形状非常饱满，反映出整个结构或构件的塑性变形能力很强，具有很好的抗震性能和耗能能力。
例如受弯、偏压、压弯以及不发生剪切破坏的弯剪构件，具有良好塑性变形能力的钢框架结构或构件的P一△滞回曲线即呈梭形。
弓形具有“捏缩”效应，显示出滞回曲线受到了一定的滑移影响。
滞回曲线的形状比较饱满，但饱满程度比梭形要低，反映出整个结构或构件的塑性变形能力比较强，节点低周反复荷载试验研究性能较好，.能较好地吸收地震能量。
例如剪跨比较大，剪力较小并配有一定箍筋的弯剪构件和压弯剪构件，一般的钢筋混凝土结构，其滞回曲线均属此类。
反S形反映了更多的滑移影响，滞回曲线的形状不饱满，说明该结构或构件延性和吸收地震能量的能力较差。
例如一般框架、梁柱节点和剪力墙等的滞回曲线均属此类。
Z形反映出滞回曲线受到了大量的滑移影响，具有滑移性质。
例如小剪跨而斜裂缝又可以充分发展的构件以及锚固钢筋有较大滑移的构件等，其滞回曲线均属此类。
滞回曲线的评价描述方法一般采用观察滞回曲线饱满程度来评价滞回曲线，越饱满，说明塑性和韧性好，峰值点越高，材料性能越好。
对于更一般问题，常定义耗能指标（Hysteresis energy dissipation index），用来表示每一循环的滞回耗能。
采用言行参数来评价延性性能。
滞回曲线的物理意义为：地震时，结构处于地震能量场内，地震将能量输入结构，结构有一个能量吸收和耗散的持续过程。
当结构进入弹塑性状态时，其抗震性能主要取决于构件耗能的能力。
滞回曲线中加荷阶段荷载－位移曲线下所包围的面积可以反映结构吸收能量的大小；而卸荷时的曲线与加载曲线所包围的面积即为耗散的能量。
一般来说滞回曲线最直观反映的是试件受力和产生位移的关系，这样的曲线中可以看到在某个力作用下产生的位移有多少。
一般来说曲线能简化为好几个直段，第一个直段跟第二个直段的交点就是弹性段跟塑性段的交点，也就是弹性段结束，塑性段开始的时刻，从这个点可以看出弹性模量、弹性极限等数据；以此类推，在塑性段的结束点也可以得出类似的关于塑性性能的数据。
而由于位移跟受力的乘积是能量，所以滞回曲线所围成的面积就是所消耗的能量。
再深入一点看，反复实验一般直到构件破坏结束（这要看实验描述），从这样的实验里面还可以得出试件的疲劳数据，得出抗疲劳性能等等数据具体讲解滞回曲线的书籍确实没有，现在市面上很多钢筋混凝土非线性分析或者钢筋混凝土有限元分析等方面的书籍，也仅仅都是点到为止，内容浅显，重复多创新少，几乎都是一带而过。
滞回曲线这方面的内容很多都是散见于一些零星的书籍或者文献中，需要自己留意收集整理了。
在进行弹性结构时程分析时，结构刚度为常数，即力一变形关系符合虎克定律(直线关系)。
在进行弹塑性结构时程分析时，结构屈服后要重新建立刚度矩阵，因而需要建立结构力一变形的弹塑性关系，如图1所示，即恢复力模型。
结构构件在周期性反复荷载作用下，可能发生图2所示的恢复力曲线，这是钢筋混凝土构件具有代表性的非线性恢复力特性曲线，由于曲线具有滞回性质，又称滞回曲线或称滞回环。
在钢筋混凝土受弯构件中，由于纯弯区段只有垂直裂缝，滞回曲线在卸载后不能回到原点的主要原因是受压区混凝土的塑性变形和受拉区钢筋与混凝土之间的滑移，整个弯矩(M)一曲率(φ)图形呈现出“梭形”的曲线[图3(a)]。
在剪弯构件中，不仅有垂直裂缝，还有斜裂缝。
斜裂缝的张合使滞回曲线变成带有“弓”形的特点，如图3(b)所示的侧向力(P)一位移(δ)曲线。
在压弯构件中，轴向力的存在对裂缝的发展起了抑制作用，如图3(c)所示，与受弯构件的弯矩一曲率曲线[图3(a)]相比，压弯构件的图形偏向弯短轴，提高了构件抗弯承载能力，但减少了曲率的塑性变形能力，以剪切变形为主的剪力墙，由于斜裂缝的张合，使侧向力(P)一剪切变形(y)图呈现出反s形[图3(d)]。
非线性滞回模型单滞回直线型滞回模型双滞回（两种刚度和延性性能不同的分析体系组成，共同组成水平和竖向地震力的作用，有着两道抗震防线）曲线型自20世纪60年代以来，许多地震工程学者致力于弹塑性动力时程分析法的研究。
该方法是将建筑物作为弹塑性振动系统，直接输入地震波，用逐步积分法求解依据结构弹塑性恢复力特性建立的动力方程，直接计算地震期间结构的位移、速度和加速度时程反应，从而能够描述结构的强震作用下，在弹性和非弹性阶段的内力变化，以及结构构件逐步开裂、屈服、破坏直至倒塌的全过程。
滞回系统是包括了非线性刚度及非线性阻尼的典型的非线性系统, 在振动利用工程中具有广泛的实际应用背景. 滞回非线性一般来自工程材料特别是复合材料的非线性特性、接触面的摩擦特性和结合面的接触变形等. 在载荷作用下, 这些结构和系统的恢复力与位移之间存在滞回关系, 这种关系本质上是结构与系统变刚度能量损失特征的描述. 此外, 这种关系还有记忆特征, 即系统的恢复力在任何瞬时不仅取决于在该瞬时的激励和响应的状况, 而且还取决于其变形历程. 当系统中有弹塑性构件或存在干摩擦时,在周期荷载作用下, 其力和位移或者应力和应变的关系曲线就可以形成滞回回线.在地震过程中, 由于结构的塑性变形可以使结构消耗相当的输入能量, 当结构进入弹塑性受力阶段时, 其恢复力特性是呈非线性的, 对于钢筋混凝土和钢结构等构件的恢复力 - 位移关系明显具有滞回性质.关于滞回系统的研究总是沿着两个方向进行的。
1)建立系统的滞回模型;2)研究系统的滞回响应问题。
首先，建立系统的滞回模型往往需要基于实验结果;然后，再进行适当的简化。
根据滞回模型的研究发展现状，可以将滞回模型大致分为两类:分段直线型滞回模型和曲线型滞回模型。
直线型滞回模型1 ,caughy双线性模型最早提出的滞回模型是Caug hy 于 1 960 年提出的双线性模型, 这个模型具有对称性,是一种最简单的数学模型. 在这个模型中系统的力 - 位移曲线由几个不同的线段组成, 它所描述的曲线如图 1 所示.它的物理系统可以认为是由 2 个线性弹簧及库仑阻尼组合而成, 有些文献利用该模型研究了振动压实过程中的不对称滞回模型.2，neilsen退化双线型Nielsen提出的退化双线模型对钢材最适宜，图中的数字表示随着力的变化，变形变化路线的序号。
一般来说滞回曲线最直观反映的是试件受力和产生位移的关系，这样的曲线中可以看到在某个力作用下产生的位移有多少。
一般来说曲线能简化为好几个直段，第一个直段跟第二个直段的交点就是弹性段跟塑性段的交点，也就是弹性段结束，塑性段开始的时刻，从这个点可以看出弹性模量、弹性极限等数据；以此类推，在塑性段的结束点也可以得出类似的关于塑性性能的数据。
而由于位移跟受力的乘积是能量，所以滞回曲线所围成的面积就是所消耗的能量。
再深入一点看，反复实验一般直到构件破坏结束（这要看实验描述），从这样的实验里面还可以得出试件的疲劳数据，得出抗疲劳性能等等数据具体讲解滞回曲线的书籍确实没有，现在市面上很多钢筋混凝土非线性分析或者钢筋混凝土有限元分析等方面的书籍，也仅仅都是点到为止，内容浅显，重复多创新少，几乎都是一带而过。
滞回曲线这方面的内容很多都是散见于一些零星的书籍或者文献中，需要自己留意收集整理了。
在进行弹性结构时程分析时，结构刚度为常数，即力一变形关系符合虎克定律(直线关系)。
在进行弹塑性结构时程分析时，结构屈服后要重新建立刚度矩阵，因而需要建立结构力一变形的弹塑性关系，如图1所示，即恢复力模型。
结构构件在周期性反复荷载作用下，可能发生图2所示的恢复力曲线，这是钢筋混凝土构件具有代表性的非线性恢复力特性曲线，由于曲线具有滞回性质，又称滞回曲线或称滞回环。
在钢筋混凝土受弯构件中，由于纯弯区段只有垂直裂缝，滞回曲线在卸载后不能回到原点的主要原因是受压区混凝土的塑性变形和受拉区钢筋与混凝土之间的滑移，整个弯矩(M)一曲率(φ)图形呈现出“梭形”的曲线[图3(a)]。
在剪弯构件中，不仅有垂直裂缝，还有斜裂缝。
斜裂缝的张合使滞回曲线变成带有“弓”形的特点，如图3(b)所示的侧向力(P)一位移(δ)曲线。
在压弯构件中，轴向力的存在对裂缝的发展起了抑制作用，如图3(c)所示，与受弯构件的弯矩一曲率曲线[图3(a)]相比，压弯构件的图形偏向弯短轴，提高了构件抗弯承载能力，但减少了曲率的塑性变形能力，以剪切变形为主的剪力墙，由于斜裂缝的张合，使侧向力(P)一剪切变形(y)图呈现出反s形[图3(d)]。
一般来说滞回曲线最直观反映的是试件受力和产生位移的关系，这样的曲线中可以看到在某个力作用下产生的位移有多少。
一般来说曲线能简化为好几个直段，第一个直段跟第二个直段的交点就是弹性段跟塑性段的交点，也就是弹性段结束，塑性段开始的时刻，从这个点可以看出弹性模量、弹性极限等数据；以此类推，在塑性段的结束点也可以得出类似的关于塑性性能的数据。
而由于位移跟受力的乘积是能量，所以滞回曲线所围成的面积就是所消耗的能量。
再深入一点看，反复实验一般直到构件破坏结束（这要看实验描述），从这样的实验里面还可以得出试件的疲劳数据，得出抗疲劳性能等等数据具体讲解滞回曲线的书籍确实没有，现在市面上很多钢筋混凝土非线性分析或者钢筋混凝土有限元分析等方面的书籍，也仅仅都是点到为止，内容浅显，重复多创新少，几乎都是一带而过。
滞回曲线这方面的内容很多都是散见于一些零星的书籍或者文献中，需要自己留意收集整理了。
在进行弹性结构时程分析时，结构刚度为常数，即力一变形关系符合虎克定律(直线关系)。
在进行弹塑性结构时程分析时，结构屈服后要重新建立刚度矩阵，因而需要建立结构力一变形的弹塑性关系，如图1所示，即恢复力模型。
结构构件在周期性反复荷载作用下，可能发生图2所示的恢复力曲线，这是钢筋混凝土构件具有代表性的非线性恢复力特性曲线，由于曲线具有滞回性质，又称滞回曲线或称滞回环。
在钢筋混凝土受弯构件中，由于纯弯区段只有垂直裂缝，滞回曲线在卸载后不能回到原点的主要原因是受压区混凝土的塑性变形和受拉区钢筋与混凝土之间的滑移，整个弯矩(M)一曲率(φ)图形呈现出“梭形”的曲线[图3(a)]。
在剪弯构件中，不仅有垂直裂缝，还有斜裂缝。
斜裂缝的张合使滞回曲线变成带有“弓”形的特点，如图3(b)所示的侧向力(P)一位移(δ)曲线。
在压弯构件中，轴向力的存在对裂缝的发展起了抑制作用，如图3(c)所示，与受弯构件的弯矩一曲率曲线[图3(a)]相比，压弯构件的图形偏向弯短轴，提高了构件抗弯承载能力，但减少了曲率的塑性变形能力，以剪切变形为主的剪力墙，由于斜裂缝的张合，使侧向力(P)一剪切变形(y)图呈现出反s形[图3(d)]。
文章编号:1000-582X(2002)01-0013-04滞回恢复力模型中求折点的一种方法肖明葵,刘 纲,白绍良(重庆大学土木工程学院,重庆 400045)摘 要:对于在循环往复荷载作用下,结构具有滞回特性的力与变形关系曲线的简化折线型恢复力模型提出了一种求刚度突变点,即折点的处理方法。
推导出应用Wilson- 法及Newmark- 法求解结构动力反应时折线型恢复力模型中的加载点和卸载点这两类折点的计算公式。
该公式以结构动力方程为基础,计算折点时刻仅涉及结构在t时刻的动力特性、位移、速度及加速度反应,折点处结构位移值等已知量,计算中避免迭代,能得出较准确的折点出现时刻,且公式形式统一,便于计算机编程。
关键词:恢复力模型;折点;计算公式中图分类号:O322 文献标识码:A建筑结构在循环往复荷载(如地震)作用下进入非弹性工作状态时,往往会表现出滞回性能,其力与变形的关系曲线称为滞回曲线或恢复力曲线,一般的恢复力曲线都是曲线型的,使得在数值积分中难以处理,因此,人们往往采用分段直线的折线型恢复力模型进行分析。
这种折线型的恢复力曲线在积分中的应用往往使计算简化且减小计算工作量,但却带来一个问题,即折线型恢复力模型在两相邻的不同刚度段之间存在着刚度突变的界点,称为折点。
由于折点的存在,在数值积分中,应该找到这些折点出现的较为准确的时刻,以及相应时刻结构的位移、速度、加速度及内力反应,并在此时刻改变刚度为下一段折线的刚度,以保证积分的精度。
并且,折点往往出现在某一积分步长内,而常用的Newmark- 法以及Wilson- 法等积分方法的一个基本假设就是假定结构的刚度特性分段线性,在一个积分步长内刚度值不发生变化。
因此,在恢复力模型的折点所在步长内,必须再分小步长,从而精确地或者近似地确定刚度突度处的时刻,依次对不同刚度状态进行计算,求得反应结果时程。
折点出现时刻的算法通常是先计算t与t+ t时刻结构的反应,然后根据结构在这两个时刻的位移和速度判断是否出现折点,如果在 t时间间隔内出现折点,则需确定折点位置。
折点位置确定的方法目前一般有台劳级展式法、插值法,以及模糊数学处理方法等[1,2,3],这些方法中,模糊数学处理方法有待进一步探讨。
插值法需要迭代运算,计算工作量较大,并且一般都考虑结构位移与速度反应在 t内线性插值,而与Newmark- 法及Wilson- 法中线性加速度的假设不符,因而精度较差。
台劳展式法计算简单,但误差大,有时还会产生不合理的结果。
有研究者提出了折点的非迭代处理方法[4,5],但文[4]的处理方法中涉及到积分步长 t的后一时刻的结构的加速度反应,这就给计算带来矛盾,因为到 t时刻时,结构刚度已经变化,即从前一时刻t到折点处结构的刚度与折点处到t+ t时刻结构的刚度不相同,求出的结构反应也是不同的。
文[5]的方法假设加速度与速度的变化与原计算的本步长全步长时相同,这显然不合理。
因此,笔者寻求新的非迭代计算公式。
笔者以结构非线性动力方程求解的几种常用方法,如Newmark- 法及Wilson- 法的共同假设,即以线性加速度假设为基础,结合结构的基本动力方程,提出处理折点的迭代方法,推导出统一形式的求解折点时刻的公式,笔者所提方法避免迭代运算,方便编制程序,精度提高。
1 恢复力模型及两类折点一般结构的恢复力曲线如图1a所示,为处理方便,将其模型化为图1b所示的折线型恢复力模型,从图2b可知,该模型存在两类折点,第1类折点,指的是广义加载点,如图2a所示,这类折点的特点是在折点2002年1月 重庆大学学报 (自然科学版)Vol.25第25卷1期Journal of Chongqing University(Natural Science Edition)Jan.2002收稿日期:2001-08-28作者简介:肖明葵(1952-),女,重庆市人,副教授,主要从事抗震动力分析研究。
两侧速度值不改变符号;第2类折点指卸载点,如图2b 所示,卸载点的特点是折点两侧的速度改变符号。
因此,一般来说,加载折点的判别依据是以位移为基础的,而卸载折点的判别依据是以速度的变化为基础的。
据此,可以推导这两类折点的计算公式。
(a)(b)1 恢复力曲线及折线型恢复力模型2 折点计算公式推导结构在循环往复荷载作用下的动力方程为[6]:M +C u +K u =-M g(1)式中: , u 和 u 分别为结构的加速度、速度及位移增量列阵;K 为结构的刚度矩阵,随结构的变形状态不同而改变;g 为地震地面运动加速度增量列阵;u (t )u (t + t )u (t + t )u cm (a)u (t )u (t + t )u (t + t )u cm (b )图2 折点类型图示在非线性动力方程的基础上,以Newark- 法为例,推导计算折点的计算公式。
若设折点在(t ,t + t )区间的某一点t + t 0时刻出现,则对于一般多自由度体系,加载点折点处的位移可以假设为:u (t + t 0)=u (t )+ u (t )(2)式中: u 为从t 到t + t 0处折点的位移增量列阵,又由Newark - 法[1]可知:u (t )= u (t ) t 0+12(t ) t 20+ (t ) t 20(3) u (t )= (t ) t 0+ (t ) t 0(4)从(3)式中解出:(t )=1 u (t ) t 2-1 u (t ) t 0-12 (t )(5)又从增量形式的动力方程解得:(t )=- g (t )-M -1(C u (t )+K u (t ))=- g (t )-M -1Cu (t )-M -1K u (t )(6)又由(2)式知: u (t + t 0)-u (t )= u (t )(7)将(6)式代入(3)式中得从t 时刻到折点时刻t + t 这一时段的位移增量为: u (t )= u (t ) t 0+12(t ) t 20- g (t ) t 20- M -1C u (t ) t 20- M -1K u (t ) t 20-1 u (t )+1 u (t ) t 0+12 (t ) t 20- g (t ) t 0t 30-M -1C u (t ) t 20-M -1K u (t ) t 2(8)而将(5)式代入(4)式则得:u (t )= (t ) t 0+ u (t ) t 0- u (t )-2(t ) t 0(9)(8)式并整理得:g (t ) t 0+ 2-1t )+ M -1c u (t )-14重庆大学学报 (自然科学版) 2002年1 u (t )-M -1C u (t ) t 0-1u (t )=0(10)将(10)式写为:A t 30+B t 20+C t 0+D =0(11)式中:A =- g (t )t 0+ 2-1M -1C (t )B =12 (t )+ 2M -1C u (t )-M -1K u (t )C =1 u (t )-M -1Cu (t )D =-1u (t )(12)(12)式中的第一个系数A 的右端第1项为在 t 0时间间隔内的地面运动加速度增量,当 t 取得很小时, t 0又是 t 内的一个更小的划分,由于 t 0在这一步时不好确定,同时此项表示地面运动加速度在 t 0内的平均取值,一般数字化的地震加速度记录都是以 t 为间隔取值。
因此,这一步取 t 即可满足精度,在计算中,一般直接以 t 代替该项的 t 0。
对于卸载折点,其折点处速度为零,即:u (t + t 0)=0或写为: u (t )+ u (t )=0由Newark - 法知:u (t )+ (t ) t 0+ (t ) t 0=0(13)因此:(t )=-1 t 0( u (t )+ (t ) t 0)(14)将(14)式及(3)式代入增量形式的运动方程(6)式中并整理得:M -1K 12-2(t )t 3+g (t ) t +M -1K (t )+M -1K 2 u (t ) t 02-M -1C u (t )+1 u t 0-1u (t )=0(15)同样可以写为式(11)的标准形式为:A t 03+B t 02+C t 0+D =0只是式中的A 、B 、C 、D 与加载点不同,它们分别为:A =M -1K12-u (t )B = g (t ) t+M -1K (t )+M -1K2u (t ) C =M -1C u (t )+1 (t )D =-1u (t )(16)从以上推导可知,只要分别求出加载点及卸载点的A 、B 、C 、D 4个系数,代入方程(11)即可求得折点时刻,而A 、B 、C 、D 中的各项均仅与在t 时刻计算出结构的位移、速度及加速度以及t 时刻的结构的刚度有关。
同理,可以推导Wilson - 法的折点公式,限于篇幅,推导从略,其结果仍然可以采用式(11)的通用公式,但该式中的A 、B 、C 、D 系数分别为:对于加载折点: A =16 2 g (t ) t 0-5123M -1C (t )B =12 2 (t )-12 2M -1C u (t )-162M -1Ku (t )C = u (t )+12 M -1C u (t )D =- u (t )(17)对于卸载折点:A =12M -1K 3 (t )-133(t )B =M -1C 2u (t )+13 2 ug (t ) t C =M-1Cu (t )D =-2 u (t )(18)当 =1时,即退化为一般的线性加速度法的折点计算公式。
从(11)式的系数A 、B 、C 、D 可知,对于加载点,系数中存在 u 项,该项在求解动力方程中实际为已知值,因为对应于两折线型恢复力模型加载折点为屈服点,而对应于3折线型的恢复力模型,加载折点还包括在屈服前的开裂点(对于钢筋混凝土结构此时为混凝土开裂),当各楼层的层间变形及力的特征已经确定,则开裂位移及屈服位移为已知值,且t 时刻的位移在本步长中已经求得,因此, u 一般为已知项。
A 、B 、C 、D 各项系数为可由结构在t 时刻的位移、速度、加速度响应以及在t 时刻的结构动力特性(如刚度)和折点15第25卷第1期 肖明葵等: 滞回恢复力模型中求折点的一种方法位移值等完全确定。
算得A、B、C、D各项系数之后,代入求折点时刻的统一公式(11)中,可求得各楼层折点出现的时刻。
应注意的是,由(11)式所求得的 t0值应取在区间[t, t+ t]内的 t0值:因此,求得 t之后,应将[t,t+ t]再划分为更小区间,在[t,t+ t]区间内,计算结构的反应,求出t+ t0时刻的结构位移、速度及加速度反应,作为下一时刻的初始值,并且在t+ t0后,采用下一段折线刚度计算结构的反应。
