北京市2017-2018学年高一上期中数学真题试题

2017-2018学年北京市十一学校高一（上）期中数学试卷一、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）1．（2分）设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）＝．2．（2分）“∀x∈R，x2≥0”的否定．3．（2分）满足条件{2，3}⊆A⊊{1，2，3，4}的集合A有个．4．（2分）函数y＝的定义域是．5．（2分）已知函数f（x）＝x2﹣6x+8，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是．6．（2分）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是（）A．B．C．D．7．（2分）函数的零点有个．8．（2分）＝．9．（2分）已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的条件．10．（2分）函数f（x）＝（x≥2）的最大值为．二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）11．（3分）写出函数f（x）＝﹣x2+2|x|的单调递增区间．12．（3分）若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是．13．（3分）下列各组中的两个函数是同一函数的序号有．（1），y2＝x﹣5；（2），；（3）f（x）＝x，；（4），．14．（3分）若函数f（x）＝（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（﹣∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝．15．（3分）已知奇函数f（x），当x≤0时，有f（x）＝x2+x，则x＞0时，函数f（x）＝16．（3分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是．17．（3分）已知函数f（x）＝若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为．18．（3分）已知函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，f（1）＝0，则不等式的解集为．19．（3分）下列几个命题①方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②函数是偶函数，但不是奇函数；③命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”；④命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”；⑤“x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．正确的是．20．（3分）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k 是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．三、解答题：（本题共6个解答题；共50分）21．（6分）已知集合A＝{x|≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，C＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}．（Ⅰ）求集合A，B及A∪B；（Ⅱ）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．22．（6分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＝1时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．23．（10分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间x∈[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．24．（10分）对a、b∈R，记，函数f（x）＝max{|x|，﹣x2﹣2x+4}（x∈R）．（1）求f（0），f（﹣4）．（2）写出函数f（x）的解析式，并作出图象．（3）若关于x的方程f（x）＝m有且仅有3个不等的解，求实数m的取值范围．（只需写出结论）25．（10分）已知函数是定义在R上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式．（2）用函数单调性的定义证明f（x）在（0，1）上是增函数．（3）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；（只需写出结论）（4）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出f（x）在定义域R上的示意图．26．（8分）已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）＝1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称f（x）为“友谊函数”．（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值．（2）分别判断函数g（x）＝x2与h（x）＝3x+1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”，并给出理由．（3）已知f（x）为“友谊函数”，且0≤x1＜x2≤1，求证：f（x1）≤f（x2）．2017-2018学年北京市十一学校高一（上）期中数学试卷一、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）1．（2分）设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩（∁R B）＝（3，4）．【分析】求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，找出全集R中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合．【解答】解：由集合B中的不等式x2﹣2x﹣3≤0，变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，∴B＝[﹣1，3]，又全集为R，∴∁R B＝（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），又A＝（1，4），则A∩（∁R B）＝（3，4）．故答案为：（3，4）【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2．（2分）“∀x∈R，x2≥0”的否定∃x∈R，x2＜0．【分析】根据一个命题的否定定义解决．【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜0【点评】本题考查一个命题的否定的定义．3．（2分）满足条件{2，3}⊆A⊊{1，2，3，4}的集合A有3个．【分析】根据集合{2，3}是集合A的子集，且集合A是集合{1，2，3，4}的真子集列举即可．【解答】解：满足条件{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有：{2，3}，{1，2，3}，{2，3，4}，故答案为：3个．【点评】本题考查集合之间的关系以及列举法表示集合，属于基础题．4．（2分）函数y＝的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．【分析】根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，须，解得x≥﹣1且x≠0∴函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为[﹣1，0）∪（0，+∞）．【点评】此题是个基础题．考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等．5．（2分）已知函数f（x）＝x2﹣6x+8，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），则实数a的取值范围是（1，3]．【分析】由题意知，函数f（x）在区间[1，a]上单调递减，结合二次函数的对称轴求出实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，x∈[1，a]，并且函数f（x）的最小值为f（a），又∵函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，∴1＜a≤3，故答案为：（1，3]．【点评】本题考查二次函数函数的单调区间，联系二次函数的图象特征，体现转化的数学思想．6．（2分）设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形表示集合A到集合B的函数的图象的是（）A．B．C．D．【分析】仔细观察图形，正确选取中x的取值范围必须是[0，2]，y的取值范围必须是[1，2]，由此进行选取．【解答】解：A和B中y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故A和B都不成立；C中x的取值范围不是[0，2]，y的取值范围不是[1，2]，不合题意，故C不成立；D中，0≤x≤2，1≤y≤2，符合题意，故选：D．【点评】本题考查函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细求解．7．（2分）函数的零点有1个．【分析】根据题意，分析可得函数的零点个数等价于方程解的个数，即函数y＝x2+1和的图象交点的个数，分别作出函数的图象，分析两个函数图象交点的个数即可得答案．【解答】解：根据题意，函数的零点个数等价于方程解的个数，即函数y＝x2+1和的图象交点的个数，分别作出函数y＝x2+1和的图象，由图可知，两函数图象有且只有1个交点，故函数的零点有且只有一个．故答案为：1【点评】本题考查函数的零点的个数判定，涉及函数零点与方程的根的关系，关键是作出函数的简图，分析函数图象的交点．8．（2分）＝﹣15．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：＝＝＝log31﹣15＝﹣15．故答案为：﹣15．【点评】本题考查对数化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．（2分）已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的充分不必要条件．【分析】先求出条件q满足的条件，然后求出￢p，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题￢p的关系．【解答】解：条件q：，即x＜0或x＞1￢p：x＞1∴￢p⇒q为真且q⇒￢p为假命题，即￢p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．10．（2分）函数f（x）＝（x≥2）的最大值为2．【分析】分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x＝2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．【解答】解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x＝2时，f（x）取最大值2．故答案为：2．【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法．二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）11．（3分）写出函数f（x）＝﹣x2+2|x|的单调递增区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．【分析】将f（x）化为分段函数，作出f（x）的图象，结合图象可得所求增区间．【解答】解：由题意，函数，作出函数f（x）的图象如图所示：由图象知，函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）和（0，1）．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，注意运用数形结合思想方法，考查化简能力，属于基础题．12．（3分）若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是[﹣1，3]．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0是假命题，∴x2+（1﹣a）x+1＝0没有实数根或有重根，∴△＝（1﹣a）2﹣4≤0∴﹣1≤a≤3故答案为：[﹣1，3]．【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．13．（3分）下列各组中的两个函数是同一函数的序号有（4）．（1），y2＝x﹣5；（2），；（3）f（x）＝x，；（4），．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【解答】解：（1）＝x﹣5，函数的定义域为{x|x≠3}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．（2）由，得x≥1，函数的定义域{x|x≥1}，由（x+1）（x﹣1）≥0，得x≥1或x≤﹣1，即函数的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．（3）g（x）＝＝|x|，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数．（4）＝，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数．故答案为：（4）【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同．14．（3分）若函数f（x）＝（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（﹣∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝﹣2x2+4．【分析】利用函数的定义域、值域的特点得到函数是二次函数；据函数是偶函数关于y 轴对称及二次函数的对称轴公式得到方程求出a，b的值；将求出的值代入二次函数解析式求其值域验证值域是否是（﹣∞，4]．【解答】解：由于f（x）的定义域为R，值域为（﹣∞，4]，可知b≠0，∴f（x）为二次函数，f（x）＝（x+a）（bx+2a）＝bx2+（2a+ab）x+2a2．∵f（x）为偶函数，∴其对称轴为x＝0，∴﹣＝0，∴2a+ab＝0，∴a＝0或b＝﹣2．若a＝0，则f（x）＝bx2与值域是（﹣∞，4]矛盾，∴a≠0，若b＝﹣2，又其最大值为4，∴＝4，∴2a2＝4，∴f（x）＝﹣2x2+4．故答案为﹣2x2+4【点评】本题考查偶函数的图象特点、二次函数的对称轴公式、二次函数值域的求法．15．（3分）已知奇函数f（x），当x≤0时，有f（x）＝x2+x，则x＞0时，函数f（x）＝﹣x2+x【分析】根据题意，设x＞0，则﹣x＜0，可得f（﹣x）的解析式，结合函数的奇偶性分析可得当x＞0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+x，即可得答案．【解答】解：根据题意，当x≤0时，有f（x）＝x2+x，设x＞0，则﹣x＜0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）＝x2﹣x，又f（x）是奇函数，∴当x＞0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+x．故答案为：﹣x2+x．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题．16．（3分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是（，）．【分析】本题采用画图的形式解题比较直观．【解答】解：如图所示：∵f（2x﹣1）＜f（）∴﹣＜2x﹣1＜，即＜x＜．故答案为：（，）【点评】本题考查函数的奇偶性的应用．关键是利用了偶函数关于y轴对称的性质．17．（3分）已知函数f（x）＝若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为（﹣2，1）．【分析】先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．【解答】解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）＝x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f（x）＝4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，该函数连续，则函数f（x）是定义在R上的增函数∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a解得﹣2＜a＜1实数a的取值范围是（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）【点评】本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用单调性将不等式f（2﹣a2）＞f（a）转化为一元二次不等式，求出实数a的取值范围，属于中档题．18．（3分）已知函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，f（1）＝0，则不等式的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．【分析】由函数f（x）是奇函数，将原等式转化为f（x）x＜0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x）∴不等式可转化为：f（x）x＜0根据条件可作一函数图象：∴不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）【点评】本题主要考查函数的奇偶性转化不等式及数形结合法解不等式问题．19．（3分）下列几个命题①方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；②函数是偶函数，但不是奇函数；③命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”；④命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”；⑤“x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．正确的是①④⑤．【分析】①，由根与系数的关系判定；②，根据函数奇偶性判定；③，根据命题的否命题的判定；④，根据特称命题的否定判定．⑤，根据充分不必要条件的定义．【解答】解析：对于①，若方程x2+（a﹣3）x+a＝0有一个正实根，一个负实根，则，解得a＜0，故①正确；对于②，要使函数有意义，则x2﹣1≥0，1﹣x2≥0，解得x＝±1，因此y＝0（x＝±1），所以，函数既是偶函数，又是奇函数，故②错误；对于③，命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”．故③错误；对于④，特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”，故④正确．对于⑤，x2+x﹣2＞0等价于x＜﹣2或x＞1，所以“x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故⑤正确．综上所述，正确的命题是①④⑤．故答案为：①④⑤．【点评】本题考查了函数图象的对称变化和一元二次方程根的问题，以及函数奇偶性的判定方法等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．20．（3分）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么称k 是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有6个．【分析】列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键．【解答】解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．故答案为：6．【点评】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏．三、解答题：（本题共6个解答题；共50分）21．（6分）已知集合A＝{x|≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，C＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}．（Ⅰ）求集合A，B及A∪B；（Ⅱ）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意化简求出集合A，集合B．根据集合的基本运算即可求A∪B，（Ⅱ）先求出A∩B，在根据C⊆（A∩B），建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）集合A＝{x|≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，C＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}．∵，即（2﹣x）（3+x）≥0，解得：﹣3＜x≤2，∴集合A＝{x|﹣3＜x≤2}：又∵x2﹣2x﹣3＜0，解得：﹣1＜x＜3，∴集合B＝{x|﹣1＜x＜3}：那么：A∪B＝{x|﹣3＜x＜3}．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得集合A＝{x|﹣3＜x≤2}：集合B＝{x|﹣1＜x＜3}：那么：A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}．∵x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0∴（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0．∴集合C＝{x|a＜x＜a+1}∵C⊆（A∩B），∴需满足，解得：﹣1≤a≤1．所以实数a的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题主要考查了不等式的计算能力和集合的基本运算，属于中档题．22．（6分）已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）当a＝1时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．【分析】（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，可得﹣2≥m2﹣3m，解得m范围．（2）a＝1时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．可得m≤1．由p且q为假，p或q 为真，可得p与q必然一真一假，即可得出．【解答】解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．（2）a＝1时，存在x∈[﹣1，1]，使得m≤ax成立．∴m≤1．∵p且q为假，p或q为真，∴p与q必然一真一假，∴或，解得1＜m≤2或m＜1．∴m的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，2]．【点评】本题考查了不等式的性质与解法、恒成立问题的等价转化方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（10分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间x∈[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．【分析】（1）由条件f（0）＝f（2）便知f（x）的对称轴为x＝1，这样可设出f（x）＝a （x﹣1）2+1，根据f（0）＝3便可得出a＝2，从而得出f（x）的解析式；（2）根据f（x）的对称轴为x＝1，从而由f（x）在区间[3a，a+1]上不单调，便可得到3a＜1＜a+1，这样便可得出实数a的取值范围；（3）根据题意2（x﹣1）2+1＞2x+2m+1，经整理得到m＜x2﹣3x+1在[﹣1，1]上恒成立，从而求函数x2﹣3x+1在[﹣1，1]上的最小值便可得到m的取值范围【解答】解：（1）根据f（0）＝f（2）＝3知，f（x）的对称轴为x＝1，f（x）的最小值为1；∴设f（x）＝a（x﹣1）2+1，∴f（0）＝a+1＝3；∴a＝2；∴f（x）＝2（x﹣1）2+1＝2x2﹣4x+3；（2）f（x）在区间[3a，a+1]上不单调；∴3a＜1＜a+1∴a∈（0，）；（3）若在区间x∈[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，2（x﹣1）2+1＞2x+2m+1，即m＜x2﹣3x+1在x∈[﹣1，1]上恒成立；y＝x2﹣3x+1在[﹣1，1]上单调递减；∴x＝1时，y取最小值﹣1；∴m＜﹣1；∴m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】考查二次函数的对称轴，二次函数的最小值，以及二次函数的单调性，根据二次函数的单调性求最值．24．（10分）对a、b∈R，记，函数f（x）＝max{|x|，﹣x2﹣2x+4}（x∈R）．（1）求f（0），f（﹣4）．（2）写出函数f（x）的解析式，并作出图象．（3）若关于x的方程f（x）＝m有且仅有3个不等的解，求实数m的取值范围．（只需写出结论）【分析】（1）利用新定义，直接转化求解函数值即可．（2）利用函数的定义，写出分段函数的形式，然后画出函数的图象即可．（3）利用函数的图象，求解m的值即可．【解答】解：（1）∵，函数f（x）＝max{|x|，﹣x2﹣2x+4}，∴f（0）＝max{0，4}＝4，f（﹣4）＝max{4，﹣4}＝4．（2）函数的解析式：f（x）＝max{|x|，﹣x2﹣2x+4}＝．函数的图象如图：（3）由函数的图象可知：关于x的方程f（x）＝m有且仅有3个不等的解，可得：m＝5或．【点评】本题考查函数与方程的关系，函数与方程的应用，考查数形结合以及分析问题解决问题的能力，考查计算能力．25．（10分）已知函数是定义在R上的奇函数，且．（1）求函数f（x）的解析式．（2）用函数单调性的定义证明f（x）在（0，1）上是增函数．（3）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；（只需写出结论）（4）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出f（x）在定义域R上的示意图．【分析】（1）根据条件建立方程关系进行求解即可．（2）利用函数单调性的定义进行证明即可（3）结合函数单调性的性质给出结论即可（4）结合函数的单调性作出草图即可．【解答】解：（1）∵是定义在R上的奇函数，∴，∴b＝0，又∵，解得a＝1，∴．（2）证明：设0＜x1＜x2＜1，则，∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴在（0，1）上是增函数．（3）函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．（4）【点评】本题主要考查函数的图象和性质的应用，利用函数的单调性的定义以及根据条件建立方程求出函数的解析式是解决本题的关键．26．（8分）已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）＝1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称f（x）为“友谊函数”．（1）若已知f（x）为“友谊函数”，求f（0）的值．（2）分别判断函数g（x）＝x2与h（x）＝3x+1在区间[0，1]上是否为“友谊函数”，并给出理由．（3）已知f（x）为“友谊函数”，且0≤x1＜x2≤1，求证：f（x1）≤f（x2）．【分析】（1）围绕给定的新定义“友谊函数”，结合赋值和夹逼原则，求得f（0）的值．（2）对给定的两个具体函数，用“友谊函数”的三条要求逐一验证即可．（3）将x2拆分为x2﹣x1+x1，且结合f（x2﹣x1）≥0，就可以证明．【解答】解：（1）已知f（x）为“友谊函数”，则当x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，令x1＝0，x2＝0，则有f（0+0）≥f（0）+f（0），解得f（0）≤0，又对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0，则有f（0）≥0，由f（0）≥0且f（0）≤0，得到f（0）＝0．（2）对函数g（x）＝x2而言，在[0，1]上显然满足①g（x）≥0，②g（1）＝1，重点是验证③，若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则有即g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2），故函数g（x）满足条件③；这样函数g（x）同时满足条件①②③，故g（x）＝x2为友谊函数．对函数h（x）＝3x+1而言，在[0，1]上显然满足①g（x）≥0，但是当x＝1时，h（1）＝4，不满足定义中的②，故函数h（x）＝3x+1不是友谊函数．（3）证明：由于0≤x1＜x2≤1，则有0＜x2﹣x1＜1，又由于函数f（x）为“友谊函数”，则f（x2﹣x1）≥0则f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f[（x2﹣x1）+x1]≥f（x1），即f（x1）≤f（x2）．【点评】（1）新定义题目，考查学生对数学概念的快速理解和应用能力，对学生的数学素养要求比较高．（2）考查学生对新定义的应用能力，用来判断一个函数是否同时满足三个条件．（3）充分运用给定的条件和已有的知识储备，证明一个新的结论，也算是对新数学概念的拓展，对学生的素养要求比较高．。

高一数学 期中测试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．设集合{1,2,6}A =，{2,4}B =，则A B =A ．{2}B ．{1,2,4}C ． {1,2,4,6}D ．{2,4}2．函数y =A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞ 3．43662log 2log 98+-=A ．14B ．14-C ．12D ． 12-4．若函数2312()325x x f x x x ⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，则方程()1f x =的解是A 2B 3C 4D 45．若函数3()f x x =，则函数)2(x f y -=在其定义域上是A ．单调递增的偶函数B ．单调递增的奇函数C ．单调递减的偶函数D ．单调递减的奇函数6．若432a =，254b =，3log 0.2c =，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<7．函数2343x x y -+-=的单调递增区间是A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[1,2]D ．[1,3]8．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s （千米）与行进时间x （秒）的函数图象的示意图，你认为正确的是9．已知(10)x f x =，则(5)f =A ．510B ．105C ．5log 10D ．lg 510．某同学在研究函数()||1xf x x =+()x ∈R 时，分别给出下面几个结论：①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 的值域为()1 1-，； ③函数()f x 在R 上是增函数； 其中正确结论的序号是A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．若集合[0,2]A =，集合[1,5]B =，则A B = ． 12．函数24xy =-的零点是 ．13．函数3()log (21)f x x =-（[1,2]x ∈）的值域为 ．14．函数()31f x x =-，若[()]23f g x x =+，则一次函数()g x = ． 15．若函数()(0,1)xf x a a a =>≠的反函数的图象过点)1,2(-，则a = ．16．若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值范围是 ．三．解答题（本大题共3小题，共26分） 17．（本小题满分6分）已知：函数()(2)()f x x x a =-+（a ∈R ），()f x 的图象关于直线1x =对称． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,3]上的最小值．18．（本小题满分10分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的收益y （万元）与投资额x （万元）的函数关系；（Ⅱ）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？19．（本小题满分10分）已知：函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--（0a >且1a ≠）. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； （Ⅲ）设12a =，解不等式()0f x >.卷（II ）1．设集合2{|0}A x x x =-=，{|20}B x x =-=，则2{|()(2)0}x x x x --≠=A ．()AB R ð B ．()A B R ðC ．()A B R ðD ．()A B R ð 2．已知函数21311()log [()2()2]33x x f x =-⋅-，则满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(1,)-+∞3．下表是某次测量中两个变量x ，y 的一组数据，若将y 表示为关于x 的函数，则最可能的函数模型是A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型 4．用二分法求方程21x +=已经确定有根区间为(0,1)，则下一步可确定这个根所在的区间为 ．5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，如果函数()()g x f x m =-恰有4个零点，则实数m 的取值范围是 ．6．函数()log (1)x a f x a x =++（0a >且1a ≠）在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值是 ．7．已知函数c bx x x f +-=2)(，若(1)(1)f x f x -=+，且3)0(=f ． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）试比较()m f b 与()m f c （m ∈R ）的大小．8．集合A 是由满足以下性质的函数()f x 组成的：对于任意0x ≥，()[2,4]f x ∈-且()f x 在[0,)+∞上是增函数．（Ⅰ）试判断1()2f x =与21()46()2x f x =-⋅（0x ≥）是否属于集合A ，并说明理由；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中你认为属于集合A 的函数()f x ，证明：对于任意的0x ≥，都有()(2)2(1)f x f x f x ++<+．答题纸班级姓名成绩卷（I）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）三．解答题（本大题共3小题，共26分）17．（本小题满分6分）18．（本小题满分10分）19．（本小题满分10分）班级姓名成绩卷（II）一．选填题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）二．解答题：（本大题共2小题，共20分）7．（本小题满分10分）8．（本小题满分10分）参考答案卷（I）C A B CD B AC D D11．[1,2]；12．2；13．[0,1]；14．3432+x ；15．12；16．(0,1)； 17．解： 2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=---，（Ⅰ）函数()f x 图象的对称轴为212ax -==，则0a =； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得22()2(1)1f x x x x =-=--，因为1[0,3]x =∈，所以min ()(1)1f x f ==-． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分18．解：（Ⅰ）投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y kx =（0x >），由题知，当1x =时，0.125y =，则0.125k =，即0.125y x =， ┈┈┈┈┈┈2分投资股票类风险型产品的收益满足函数：y k =0x >），由题知，当1x =时，0.5y =，则0.5k =，即y = ┈┈┈┈┈┈┈4分（Ⅱ）设投资债券类稳健型产品x 万元（020x ≤≤），则投资股票类风险型产品20x -万元，由题知总收益0.125y x =+020x ≤≤）， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分令t =0t ≤≤，则220x t =-，22211510.125(20)0.5(2)38228y t t t t t =-+=-++=--+，当2t =，即16x =时，max 3y =（万元） ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分19．解：（Ⅰ）由题知：1010x x +>⎧⎨->⎩， 解得：11x -<<，所以函数()f x 的定义域为(1,1)-；┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分（Ⅱ）奇函数，证明：因为函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以对任意(1,1)x ∈-，()log (1)log (1())[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+---=-+--=-所以函数()f x 是奇函数； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分（Ⅲ）由题知：1122log (1)log (1)x x +>-，即有101011x x x x+>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解得：10x -<<，所以不等式()0f x >的解集为{|10}x x -<<． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分卷（II ）D C D 4．1(0,)2；5．10m -<<；6．12； 7．解：（Ⅰ）由已知，二次函数的对称轴12bx ==，解得2b =， 又(0)3f c ==，综上，2b =，3c =； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()23f x x x =-+，所以，()f x 在区间(,1)-∞单调递减，在区间(1,)+∞单调递增.当0m >时，321m m >>，所以(2)(3)m mf f <.当0m =时，321m m ==，所以(2)(3)m mf f =.当0m <时，321m m <<，所以(2)(3)m mf f > ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分8．解：（Ⅰ）1()f x A ∉，2()f x A ∈，理由如下：由于1(49)54f =>，1(49)[2,4]f ∉-，所以1()f x A ∉. 对于21()46()2x f x =-⋅（0x ≥）， 因为1()2x y =在[0,)+∞上是减函数，且其值域为(0,1]， 所以21()46()2x f x =-⋅在区间[0,)+∞上是增函数.所以2()(0)2f x f =-≥，且21()46()42x f x =-⋅<， 所以对于任意0x ≥，()[2,4]f x ∈-.所以2()f x A ∈ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，2131(2)46()4()222x x f x ++=-⋅=-⋅，111(1)46()43()22x x f x ++=-⋅=-⋅， 所以2(1)[()(2)]f x f x f x +-++11312[43()][46()4()]2222x x x =-⋅--⋅+-⋅31()022x =⋅>， 所以对于任意的0x ≥，都有()(2)2(1)f x f x f x ++<+. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分。

北京四中 2017-2018 学年上学期高中一年级期中考试数学试卷试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100 分，卷（Ⅱ） 50 分，合计 150 分考试时间： 120 分钟卷（Ⅰ）一、选择题：（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分）1. 设会合 A={1 ， 2， 6} ， B={2 ，4} ，则 A∪ B=A. {2}B. {1，2，4}C.{1， 2，4，6}D. {2，4}【答案】 C【分析】会合，应选 C.2. 函数 y=的定义域为A.（ -2，2）B. （ -∞， -2）∪（ 2， +∞）C. [-2 ， 2]D. （ -∞， -2] ∪ [2， +∞）【答案】 A【分析】要使函数存心义，则有，解得，即定义域为，应选A.3.A. 14B. -14=C. 12D. -12【答案】 B【分析】，应选 B.4. 若函数 f （x） = ，则方程 f （ x） =1 的解是A.或2B.或3C.或 4D.±或 4【答案】 C5.若函数 f （x） =x，则函数 y=f （ -2x ）在其定义域上是A. 单一递加的偶函数B. 单一递加的奇函数C. 单一递减的偶函数D. 单一递减的奇函数【答案】 D【分析】, 为奇函数，又为增函数，为减函数，应选 D.6. 若， b= ，c= ，则 a， b，c 的大小关系是A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. c<a<b【答案】 B【分析】由对数函数的性质，可得，，应选 B.【方法点睛】此题主要考察对数函数的性质、指数函数的单一性及比较大小问题，属于中档题 . 解答比较大小问题，常有思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单一性直接解答；数值比许多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7. 函数的单一递加区间是A. （ -∞， 2]B. [2 ， +∞）C. [1， 2]D.[1，3]【答案】 A【分析】令为增函数，的增区间就是的增区间，应选 A.8.李老师骑自行车上班，最先以某一速度匀速前进，半途因为自行车发生故障，停下修车耽搁了几分钟，为了准时到校，李老师加速了速度，仍保持匀速前进，结果准时到校，在课堂上，李老师请学生画出自行车前进行程 s（千米）与前进时间 x（秒）的函数图象的表示图，你以为正确的选项是A. B.C. D.【答案】 C【分析】最先以某一速度匀速前进，这一段行程是时间的正比率函数；半途甶于自行车故障，停下修车耽搁了几分祌，这一段时间变大，行程不变，因此选项必定错误，第三阶段李老师加速了速度，仍保持匀速前进，结果准时到校，这一段，行程随时间的增大而增大，因此选项，必定错误；这一段时间中，速度要大于开始时的速度，即单位时间内行程变化大，直线的倾斜角要大，应选 C.【方法点晴】此题经过对多个图象的选择考察函数的图象与性质、阅读能力以及解决实质问题的能力，属于中档题.这种题型也是最近几年高考常有的命题方向，该题型的特色是综合性较强较强、考察知识点许多，可是其实不是无路可循.解答这种题型能够从多方面下手，依据函数的定义域、值域、单一性、奇偶性、特别点以及函数图象的变化趋向，利用清除法，将不合题意的选项一一清除.9. 已知，则 f （ 5） =A. B. C. D. lg5【答案】 D【分析】令，，应选 D.10. 某同学在研究函数（ x∈Ｒ）时，分别给出下边几个结论：①函数 f （ x）是奇函数；②函数 f （ x）的值域为（-1 ，1）；③函数 f （ x）在Ｒ上是增函数；此中正确结论的序号是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】 D【分析】奇函数函数在的定义域是实数集，函数是奇函数，故① 正确；，故②正确；函数在上可化为上是增函数，在其定义域内是增函数，故③ 正确，应选D.,【方法点睛】此题主要经过对多个命题真假的判断，主要综合考察函数的单一性、函数的奇偶性、函数值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热门，同学们常常因为某一处知识点掌握不好而致使“通盘皆输”，所以做这种题目更要仔细、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，此外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点下手，而后集中精力打破较难的命题.二、填空题：（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分）11. 若会合 A=[0 ， 2] ，会合 B=[1 ， 5] ，则 A∩ B=_________.【答案】 [1， 2]【分析】会合，会合依据会合交集的定义，可得，故答案为.12. 函数 y=2-4 的零点是 _________.【答案】 2【分析】令，得，即函数的零点是，故答案为.13. 函数 f （ x） =（x∈ [1，2]）的值域为______________.【答案】 [0， 1]【分析】,函数的值域是，故答案为.14. 函数 f （ x） =3x-1 ，若 f[g （x） ]=2x+3 ，则一次函数g（x） =______________.【答案】【分析】，，，故答案为.15. 若函数 f （ x） = 的反函数的图象过点（_______. 2， -1 ），则 a=【答案】【分析】的反函数图象过的图象过，即，故答案为 .16. 若函数是奇函数，则使 f （ x） >3 建立的 x 的取值范围是 _______.【答案】（0， 1）【分析】函数为奇函数，则：，解得： a＝ 1.则，由，得 x∈(0,1) ．三、解答题（本大题共 3 小题，共26 分）17. 已知：函数 f （ x） =（x-2 ）（ x+a）（ a∈Ｒ）， f （ x）的图象对于直线x=1 对称 . （Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）求 f （ x）在区间[0， 3]上的最小值.【答案】 (1) a=0 (2) =-1【分析】试题剖析：（ I ）化简，先求出函数的对称轴，得到,解出即可； ( II) 先求出函数的对称轴，经过判断对称轴的地点 ,联合二次函数的单一性，从而获取答案.试题分析：，（Ⅰ）函数 f （x）图象的对称轴为x= =1，则a=0;（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为x=1 ∈[0 ，3]，所以=f （ 1）=-1.18.某家庭进行理财投资，依据长久利润率市场展望，投资债券类稳重型产品的利润与投资额成正比，投资股票类风险型产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知两类产品各投资 1 万元时的利润分别为 0.125 万元和 0.5 万元，如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的利润y（万元）与投资额x（万元）的函数关系；（Ⅱ）该家庭有20 万元资本，所有用于理财投资，问：怎么分派资本能使投资获取最大收益，最大利润是多少万元？【答案】 (1) y=0.125x, y=0.5 ， (2) 投资债券类稳重型产品16 万元，投资股票类风险型产品 4 万元，此时得益最大为 3 万元 .【分析】试题剖析：（ 1）依据题意，得，，代入点的坐标，求的的值，即可可获取两种产品的利润与投资的函数关系；（ 2）投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，令，换元利用二次函数的性质，即可求解其最大利润．试题分析：（ 1），，，，（2）设：投资债券类产品万元，则股票类投资为万元．令，则所以当，即万元时，利润最大，万元．考点：函数的实质应用问题．19. 已知：函数 f （ x） = （ a>0 且 a≠1） .（Ⅰ）求函数 f （ x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（ x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）设 a= ，解不等式 f（ x）>0.【答案】 (1) （ -1， 1）； (2) 看法析； (3) {x|-1<x<0}【分析】试题剖析：（ I ）依据对数函数存心义可知真数要大于0，列不等式组，解之即可求出函数的定义域；（Ⅱ ）依据函数的奇偶性的定义进行判断，计箄与的关系，从而确定函数的奇偶性；（Ⅲ ）将代入，依据函数的定义域和函数的单一性列不等式组，解之即可求出的范围.试题分析：（Ⅰ）由题知：，解得：-1<x<1，所以函数f（ x）的定义域为（ -1，1）；（Ⅱ）奇函数，证明：因为函数f（ x）的定义域为（-1， 1），所以对随意x∈（ -1，1），f （ -x）= = =-f （ x）所以函数 f （ x）是奇函数；（Ⅲ）由题知：即有，解得： -1<x<0 ，所以不等式 f （x） >0 的解集为 {x|-1<x<0}.【方法点睛】此题主要考察函数的定义域、奇偶性及函数的单一性，属于中档题.判断函数的奇偶性第一要看函数的定义域能否对于原点对称，假如不对称，既不是奇函数又不是偶函数，假如对称常有方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（ 2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数） .卷（Ⅱ）20. 设会合 A= ， B={x|x-2=0} ，则=A. B. C. D.【答案】 D【分析】且，应选 D.21. 已知函数 f （x） =，则知足f（ x） <0 的 x 的取值范围是A. （ -∞， 0）B. （ 0，+∞）C. （ -∞， -1）D. （ -1， +∞）【答案】 C【分析】,，应选 C.22. 下表是某次丈量中两个变量x， y 的一组数据，若将y 表示为对于x 的函数，则最可能的函数模型是x 2 3 4 5 6 7 8 9y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99A. 一次函数模型B. 二次函数模型C. 指数函数模型D. 对数函数模型【答案】 D【分析】对于，因为平均增添，而值不是平均递加，不是一次函数模型；对于，由于该函数是单一递加，不是二次函数模型；对于，过不是指数函数模型，应选D.23. 用二分法求方程的一个近似解时，已知确立有根区间为（0， 1），则下一步可确立这个根所在的区间为_________.【答案】【分析】设，函数零点在下一步可确立方程的根在，故答案为.24. 已知函数f （x）是定义在Ｒ上的偶函数，当x≥0 f（ x） =，假如函数时，g（ x） =f （ x） -m 恰有 4 个零点，则实数m 的取值范围是 ________.【答案】 0<m<1【分析】函数恰有个零点等价于函数与恰有个交点，作函数与的图象如图，由图知，函数与恰有个交点时的取值范围是，故答案为.【方法点睛】函数零点个数的三种判断方法：(1) 直接求零点：令，假如能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不单要求函数在区间上是连续不停的曲线，且，还一定联合函数的图象与性质(如单一性、奇偶性 )才能确立函数有多少个零点；(3) 利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，此中交点的横坐标有几个不一样的值，就有几个不一样的零点.25. 函数 f（ x）=（a>0且a≠1）在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则 a 的值是 ___________.【答案】【分析】试题剖析：当时，函数是增函数，最大值和最小值的和是，解得，舍去，当时，函数是，最大值和最小值的和相同是，解得考点： 1．指对函数的单一性；26. 已知函数 f （x） =2．指对函数的最值．，若 f （1-x ） =f （ 1+x ），且f （ 0） =3.（Ⅰ）求b， c 的值；（Ⅱ）试比较（ m∈Ｒ）的大小 .【答案】 (1) b=2， c=3 (2)当m>0时，f（2）<f（3）.当m=0时，f（2）=f（3）. 当 m<0 时， f （2 ） >f （ 3 ）【分析】试题剖析：（ I ）利用已知, 求出的值；利用,获取为图象的对称轴，从而求出的值；（ II ）经过对的分类议论获取与的大小关系以及与对称轴的大小关系 , 利用二次函数的单一性可获取与的大小关系 .试题分析：（Ⅰ）由已知，二次函数的对称轴x= =1，解得 b=2，又 f（ 0） =c=3 ，综上， b=2 ， c=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x） =x-2x+3 ，所以， f（ x）在区间（ -∞， 1）单一递减，在区间（1， +∞）单一递加 .当 m>0 时， 3 >2 >1 ，所以 f （ 2 ） <f （ 3 ） .当 m=0 时， 3 =2 =1 ，所以 f （ 2 ） =f （ 3 ） .当 m<0 时， 3 <2 <1 ，所以 f （ 2 ） >f （ 3 ）【方法点睛】此题主要考察二次函数的分析式和单一性、分类议论思想的应用. 属于中档题 . 分类议论思想解决高中数学识题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，特别在解决含参数问题发挥着奇异功能，大大提升认识题能力与速度. 运用这种方法的重点是将题设条件研究透，这样才能迅速找准打破点. 充足利用分类议论思想方法能够使问题条理清楚，从而顺利解答，希望同学们能够娴熟掌握并应用与解题中间.27. 会合 A 是由知足以下性质的函数f（ x）构成的：对于随意 x≥0， f（x）∈ [-2， 4] 且 f（ x）在[0 ， +∞）上是增函数 .（Ⅰ）试判断与（ x≥0）能否属于会合 A，并说明原因；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中你以为属于会合 A 的函数 f（x），证明：对于随意的x≥0，都有f （ x） +f （ x+2 ） <2f （x+1 ） .【答案】 (1) ，(2) 看法析 .【分析】试题剖析：（ I ）由已知可得函数的值域，从而可得，对于，只需分别判断函数定义域能否知足条件①，值域能否知足条件②，单一性能否满足条件③，即可得答案；（ II ）由（ I）知，属于会合，原不等式为，利用作差法指数幂的运算法例化简整理能够证明结论.试题分析：（Ⅰ），，原因以下：因为（49） =5>4，（ 49）[-2， 4]，所以（ x） A.对于因为在[0 ，+∞）上是减函数，且其值域为（0，1] ，所以在区间 [0， +∞）上是增函数 .所以≥f（ 0）=-2 ，且= <4，所以对于随意 x≥0， f （x）∈ [-2， 4].所以∈ A（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，f （ x+1） =4- =4-3 · ，所以2f（ x+1 ）-[f （ x）+f （ x+2 ） ]=2[4-3 ·]-[4-6 ·+4- ·]= ·>0，所以对于随意的x≥0，都有 f （ x） +f （ x+2）<2f （ x+1 ）.。

北京一零一中2017-2018学年度第一学期（数学）期中考试一、选择题（每小题5分）1．设全集U =R ，{}0,1,2,3M =，{}1,0,1N =-，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）．A ．{}1B ．{}1-C ．{}0D ．{}0,1【答案】B【解析】看图，在N 里且不在M 里． 故选B ．2．下列函数中与y x =具有相同图象的一个函数是（ ）．A．2y =B．yC ．2x y x=D．y 【答案】D【解析】注意函数三要素为定义域、值域、对应法则，y x =的定义域、值域都为R ．A 中0x ≥；B 中0y ≥；C 中0x ≠．故选D ．3．已知()f x 为奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-+，则()f x 在[3,1]--上是（ ）．A ．增函数，最小值为1-B ．增函数，最大值为1-C ．减函数，最小值为1-D ．减函数，最小值为1-【答案】C 【解析】4．已知函数1,0()(2),0x x f x f x x +⎧=⎨->⎩≤，则(3)f 的值等于（ ）．A ．4B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】(3)(32)(1)(12)(1)110f f f f f =-==-=-=-+=． 故选D ．5．若一次函数()f x ax b =+有一个零点2，则函数2()g x bx ax =-的图象可能是（ ）．A．B．C．D．【答案】C【解析】由题20a b +=，2b a =-，函数()g x 的对称轴为124a xb -=-=-． 故选C ．6．已知函数2213x xy +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其单调增区间是（ ）． A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞-C ．[1,)-+∞D ．[2,)-+∞【答案】B【解析】复合函数的增减性，同增异减．即求22y x x =+的减区间，开口向上，对称轴1x =-． 故选B ．7．已知函数|21|,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪-⎩≥，则函数()()1g x f x =-的零点个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】这种零点问题，两个字：画图（左加右减）． ()y f x =与1y =的交点个数．故选A ．8．定义在R 上的函数()f x 满足(0)0f =，()(1)1f x f x +-=，1()52x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当120x x <≤≤1时，12()()f x f x ≤，则12017f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）． A ．164B ．132C ．116D ．18【答案】B【解析】(0)0f =，(1)1f =，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令1x =，111(1)522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111258f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1162516f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11312532f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 令12x =，111110224f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111502108f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1125016f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11125032f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11312532f ⎛⎫=⎪⎝⎭， 因为当120x x <≤≤1时，12()()f x f x ≤， 所以111312520171250f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤≤， 即11132201732f ⎛⎫⎪⎝⎭≤≤， 所以11201732f ⎛⎫=⎪⎝⎭． 故选B ．二、填空题（每小题5分）9．计算：0110.753210.064160.014-⎛⎫--++= ⎪⎝⎭__________．【答案】9.6【解析】原式133434(0.4)1(2)-=-++35120.12=-++ 9.6=．10．已知集合{}|210A x x =+>，{}|320A x x =+≤，则A B =__________．【答案】∅【解析】1,2A ⎛⎫=-+∞ ⎪⎝⎭，2,3B ⎛⎤=-∞- ⎥⎝⎦，A B =∅．11．已知函数()y f x =的定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是__________． 【答案】1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】21[2,3]x -∈-，解得1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．12．函数()f x =[0,)+∞，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(,0][1,)a ∈-∞+∞【解析】由于二次函数21(21)4y x a x =+-+开口向上，所以只需0∆≥即可．2(21)4114(1)0a a a ∆=--⨯⨯=-≥，解得0a ≤或1a ≥， 即(,0][1,)a ∈-∞+∞．13．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(4)(2)f x f x +=-，若当[3,0]x ∈-时，()6x f x -=，则(919)f =__________．【答案】6【解析】出现(4)(2)f x f x +=-这种，周期、对称轴、关于点对称三选一，小题代点可判断． 令4x t +=，则4x t =-，()(6)f t f t =-，周期为6． (1)(919)(61531)(1)(1)66f f f f --=⨯+==-==．14．某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +⎧=⎨>⎩≤，且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论： ①该食品在6℃的保鲜时间是8小时．②当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少． ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内．④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是__________．【答案】【解析】食品在4℃的保鲜时间是16小时，故46216k +=，解得12k =-．对于①，当6x =℃时，328t ==，故①成立；对于②，当[6,0]x ∈-时，保鲜时间恒为64小时，故②不成立；对于③，当11x =时，1222t ==，故此日13时，食品已过保鲜时间，故③不成立； 对于④，由③知，到了此日13时，食品已过保鲜时间，14时还用想吗？ 综上，正确结论的序号是：①④．三、解答题15．（7分）已知集合{}2|150A x x px =-+=，{}2|0A x x ax b =++=，且{}2,3,5A B =，{}3A B =，求实数p ，a ，b 的值及集合A ，B ． 【答案】见解析．【解析】3A ∈，8p =，{}3,5A =． 3B ∈，2B ∈，所以5a =-，6b =，{}2,3B =．16．（10分）已知2()ax bf x x+=是定义在(,3][1,)b b -∞--+∞上的奇函数．（1）若(2)3f =，求a ，b 的值．（2）若1-是函数()f x 的一个零点，求函数()f x 在区间[2,4]上的值域． 【答案】见解析．【解析】解：（1）3(1)b b -=--，2b =，又(2)3f =，1a =；（2）1-是函数()f x 的一个零点，(1)0f -=，2a =-，1()2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，惊现大对勾函数1y x x =-，易知1()2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[2,4]上为减函数，(2)3f =-，15(4)2f =-，函数()f x 在区间[2,4]上的值域为15,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．17．（10分）已知二次函数()f x 满足(1)(1)f x f x --=-，其图象过点(0,1)，且与x 轴有唯一交点． （1）求()f x 的解析式．（2）设函数()()(2)g x f x a x =-+，求()g x 在[1,2]上的最小值()h a ． 【答案】见解析．【解析】解：（1）设2()()(0)f x a x h b a =++≠，对称轴1x =-，图象过点(0,1)且与x 轴有唯一交点， 解得1a =，0b =，2()21f x x x =++． （2）2()1g x x ax =-+，对称轴22a ax -=-=， 分三类，对称轴在①在区间左，②在区间中，③在区间内． 22,2()1,24452,4a a a h a a a a -<⎧⎪⎪=-⎨⎪->⎪⎩≤≤．18．（12分）函数2()1ax bf x x +=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且1425f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）确定函数()f x 的解析式．（2）判断并用定义证明()f x 在(1,1)-上的单调性．（3）若(13)(1)0f m f m -++≥，求实数m 的所有可能的取值． 【答案】见解析．【解析】（1）奇函数，(0)0f =，0b =，1425f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2a =，22()1x f x x =+，[1,1]x ∈-．（2）照葫芦画瓢，增．（3）奇函数，(1)(13)(31)f m f m f m +--=-≥，131m m +-≥，1m ≤， 又13[1,1]m -∈-，1[1,1]m +∈-，0m =．19．（1分）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2,4]上的最大值为9，最小值为1，记()(||)f x g x =．（1）求实数a ，b 的值．（2）若不等式(2)1k f >成立，求实数k 的取值范围．（3）定义在[,]p q 上的函数()x ϕ，设011i i np x x x x x q -=<<<<<<=，1x ，2x ，，1n x -将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0M >，使得和式11|()|ni i i x x M ϕ-=-∑≤恒成立，则称函数()x ϕ为在[,]p q 上的有界变差函数．试判断函数()f x 是否在[0,4]上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由． 【答案】见解析．【解析】（1）()g x 对称轴212ax a-=-=，在区间[2,4]上为增函数， (2)1g =，(4)9g =，解得1a =，0b =．（2）注意()(||)f x g x =，不是()|()|f x g x =，(1,)+∞， （3）函数()f x 为在[0,4]上的有界变差函数，10．。

北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合，，则集合A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据并集的运算性质计算即可.【详解】集合，所以集合，故选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合2.下列函数中，在其定义域内是减函数的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据单调性的定义对选项逐一判断即可.【详解】对于在定义域内是增函数，不满足题意；对于在递减，在递增，不满足题意；对于定义域内是减函数，满足题意；对于在和都单调递减，但在整个定义域没有单调性，不满足题意，故选C.【点睛】本题最主要考查函数单调性的定义，意在考查对基本概念的掌握与应用，属于简单题.3.若，，则有A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，可排除选项，利用不等式的性质可证明.【详解】令，可排除选项，对，，又，，，，同理，即，，即，故选B.【点睛】利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.4.“a=0”是“为奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接根据函数的奇偶性的定义与性质，结合充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】，的图象关于原点对称，所以是奇函数；若为奇函数，则，即不能推出，所以，是为奇函数充分非必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的定义与性质、充分条件与必要条件的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.5.下列不等式中，不正确的是A. B.C. D. 若，则【答案】A【解析】【分析】利用特殊值判断；利用判别式判断；利用单调性判断；利用基本不等式判断D.【详解】在中，若，则，故不成立；在中，，不等式的解集为，故成立；在中，,设,在上递增，所以有最小值，故成立；在中，，，当且仅当时取等号，的最小值为5，成立；不正确的结论是，故选A.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）6.函数满足对任意的x，均有，那么，，的大小关系是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据的图象开口朝上，由可得函数图象以为对称轴，由此可得函数在上为减函数，从而可得结果.【详解】函数对任意的均有，函数的图象开口朝上，且以为对称轴，函数在上为减函数，，故选C.【点睛】本题主要考查二次函数的对称性与二次函数的单调性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7.若函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.5【答案】C【解析】试题分析：因为，，所以选D．考点：二分法求零点．8.已知为定义在[-1，1]上的奇函数，且在[0，1]上单调递减，则使不等式成立的x的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性将不等式再转化为,结合函数的定义域，列不等式组求解即可.【详解】因为为奇函数，且在上单调递减，所以在上单调递减所以化为，,又因为的定义域是，所以，解得，使不等式成立的x的取值范围是，故选B.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成后再利用单调性和定义域列不等式组.二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

北京市海淀^一学校2017-2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)一、填空题(本题共10题，每题2分，共20分)1 •设集合A={x|1 c x<；4}, B={X|X2_2X_3 < 0〉，则(g B) = ___________ . 【答案】Cx|3：：x【解析】•••集合B - :x | x2-2x -3 < 0； - \x| -1 < x < 3 ,e B -「x|x ：：：_1 或x 3,.又A - \x|1 ：：：x :：:4 /,AgB) =「x|3 :: x ：：：4?.2 •命题“R , x2> 0 ”的否定是____________ .【答案】x • R , x2：：： 0【解析】全称命题的否定是特称命题，故命题：“ -x・R , x2> 0 ”的否定是“ x R , x2：：：0”.3•满足条件{2,3}G A U{1,2,3,4}的集合A有________________ 个.【答案】3【解析】满足条件迈,3；二A u「1,2,3,4?的集合A有：迈,3? ,〈1,2,3? ,〈2,3,4?,故共有3个.4•函数的定义域为_______________________ .x【答案】〔-1,0 U(0,；)x 1 > 0【解析】要使函数有意义，则必须°,x式0解得x > -1且x =0 ,故函数的定义域是1-1,0 U(0, ；)•5.已知函数f(x)=x2-6x 8 , x・[1,a]，并且函数f (x)的最小值为f (a)，则a的取值范围是•【答案】1,3 1【解析】函数f(x)=x2-6x在(-：：,3)上单调递减，在(3,；)上单调递增，•••函数f(x)在x [1,a]时的最小值为f (a),••• 1 : a < 3,即a的取值范围是1,3 ].6•设A -〈x|0 w x w 2 , B =「y|1 < y < 2，能表示从集合A到集合B的函数关系的是【答案】D【解析】A项•当0 w x w 2时，0 w y w 2，故A项错误;B项.当0 w x w 2时，0 w y w 2，故B项错误；C项.当0 w x ：：2时，任取一个x值，有两个y值与之对应，故C项错误；D项•在0 w x w 2时，任取一个x值，在1 w y w 2时总有唯一确定的y值与之对应, 正确. 综上所述.故选D .2 17•函数f(x)=x —+1的零点有个.x【答案】12 1 2 1【解析】函数f(x)二X 1的零点个数等价于方程x 1 解的个数，x x1分别作出y二x 1和y=—的图象，x由图可知，两函数图象有且只有1个交点，1故函数f(x) =x 1的零点有且只有一个.x【答案】-15【解析】2log3 2 -log3 32 838 -51呗3= log3 4 —log3 32 Tog3 8 -5 5log5 34= log3 8-5 332= log31 -15= 〜15 .19.已知条件p:x w 1，条件q : — v1 y「P是q的___________x【答案】充分不必要条件【解析】由题意，—p:x 1 ,q : x ：： 0 或x 1，故一卩是q的充分不必要条件.x10.函数f(x)= ----------- (x》2)的最大值为____________ .x _1【答案】2x 1【解析】函数f(X)二丄V—,x -1 X —1•••函数f(x)在2；上单调递减，故当x > 2时，f(x)的最大值为f(2)=2 .二、填空题(本题共10题，每题3分，共30分)11•写出函数f (x) =—x2+2|x|的单调递增区间 _______________ 【答案】(-：：，-1)和(0,1)2[-X +2x, x > 0【解析】由题意，函数f(x)二-x 2|x| 2,「x —2x, XC0作出函数f(x)的图象如图所示：由图象知，函数f(x)的单调递增区间是(-：：,-1)和(0,1).212•若命题“孜乏R，使得x +(1-a)x+1c0 ”是假命题，则实数a的取值范围为__________________ . 【答案】[-1,3]【解析】若命题“x R，使得x2 (1 -a)x 1：： 0 ”是假命题，则对一x 三R，都有x2(1 -a)x • 1 > 0 ,•••二=(1 —a)2 -4 < 0 ,即a2 -2a -3< 0 ,解得-1 < a < 3,即实数a的取值范围为[—1,3].13•判断下列各组中的两个函数是同一函数的为______________ .(1) % 二坐5, y2=x—5 ； ( 2 ) y^.x—1 一x二1 , y^. (x 1)(x -1)；x(3) f (x) =x , g(x) ; ( 4 ) f (x) =#x4 _x3, F (x) =x*x -1 .【答案】(4 )x(x -5)的定义域是｛x|x H0｝，函数y2=x-5的定义域是R ,【解析】对于(1),函数% =x两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于(2 ),函数y =U x+1 Jx-1的定义域是｛x|x > 1，函数y2 = J(x +1)(x_1)的定义域是fx|x w -1或x > 1：，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于(3),函数f(x)=x , g(x)=F =|x|，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；对于(4)，函数f(x)=Vx4-X3 =x &口，定义域为R，函数F(x)=x序二1定义域为R , 两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数.综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是( 4 ).14.若函数f (x) =(x a)(bx 2a)(常数a , b，R )是偶函数，且它的值域为 -：：，4丨，则该函数的解析【答案】-,2式 f (x) = ___________________ .【答案】f(x)二_2x* 2 4【解析】T函数f(x) =(x a)(bx ・2a) =bx2(2a ab)x 2a2是偶函数，••• 2a ab =0，即a(b • 2) =0 ,--a = 0 或b = -2,又•••函数f(x)的值域为• 2 2…2a 4 , a 二 2 •故该函数的解析式f (x) - -2x2 4 •15.已知奇函数f (x)，当x < 0时，有f(x)=x2+x，则XA0时，函数f(x)= ______________________ 【答案】-x2 x【解析】•••当x < 0时，有f(x)=x2・x,•••当x 0 时，-x ：：：0,有 f (―X)=(—X)2(―x) =X2—X ,又•/ f(x)是奇函数，•••当x 0 时，f(X)= -f (-X)= -X x .16•已知偶函数f(x)在区间0,；上单调增加，则满足f(2x-1)・f -的x的取值范围是\3 470 3丿【解析】• f (x)是偶函数,•不等式f(2x”：f扌等价于口—2 又•/ f(x)在区间0,；上单调递增,• |2x—1|：：：-，解得3”x：：| ,3 3 34x 4x,x > 0 2一2，若f (2 —a ) >f (a)，则实数a的取值范围是4x - x ,x ：： 0【答案】(-2,1)x24x, x > 0f(x) 2的图象，如图所示,#x—x ,x £0故满足f…f- x的取值范围是乜3丿-,2.17.已知函数f (x)【解析】作出函数。

北京市第五十五中学2017-2018学年度第一学期期中考试试卷 高一数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，则U A =ð（ ）．A ．{}4B ．{}3,4C ．{}3D ．{}1,3,4【答案】B【解析】{}1,2A =，{}1,2,3,4U =， {}3,4U A =ð，故选B2．函数()1lg(3)f x x x --的定义域为（ ）．A ．(0,3)B ．(1,)+∞C ．(1,3)D ．[1,3)【答案】D【解析】∵()1lg(3)f x x x =--， 定义域1030x x -⎧⎨->⎩≥，解出13x <≤． 故选D ．3．函数()22()x x f x x -=+∈R 的图象关于（ ）． A ．原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称 D ．直线y x =对称【答案】C【解析】()22x x f x -=+， ()22()x x f x f x --=+=，∴()f x 是偶函数，关于y 轴对称，故选C ．4．若偶函数()f x 在(,0]-∞上是单调递减的，则下列关系式中成立的是（ ）．A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】∵()f x 是偶函数， ∴(2)(2)f f -=，∵()f x 在(,0]-∞单调递减， 3212-<-<-，∴3(2)(1)2f f f ⎛⎫->-> ⎪⎝⎭，∴3(2)(1)2f f f ⎛⎫>->- ⎪⎝⎭，故选D ．5．已知0.5log 5m =，35.1n -=，0.35.1p =，则实数m ，n ，p 的大小关系为（ ）．A ．m n p <<B ．m p n <<C ．n m p <<D ．n p m <<【答案】A【解析】∵0.50.5log 5log 10m =<=， 30.30 5.1 5.1n p -<=<=，∴m n p <<， 故选A ．6．已知函数3()28f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：x1 1.5 1.625 1.6875 1.75 2()f x 5.00- 1.63- 0.46- 0.18 0.86 4.00则方程3280x x +-=A ．1.50B ．1.66C ．1.70D ．1.75【答案】B【解析】∵(1.625)0.460f =-<， (1.6875)0.180f =>，∴()f x 在(1.625,1.6875)上有零点， 只有B 项1.66(1.625,1.6875)∈．7．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为1的正方形运动一周，记O ，P 两点连线的距离y 与点P走过的路程x 为函数()f x ，则()y f x =的图像大致是（ ）．A ．B ．xyO lC ．D ．xyOl【答案】C【解析】如图，当01x <≤时，()f x x =为正比例函数， 当12x <≤时，2()1f x x =+不是正比例函数， 且()f x 图象关于2x =对称， 只有C 项符合要求．8．已知函数2|ln |,0()41,0x x f x x x x >⎧=⎨++⎩≤，()()g x f x a =-，若函数()g x 有四个零点，则a 的取值范围（ ）． A ．(0,1) B ．(0,2] C ．[0,1] D ．(0,1]【答案】D【解析】()f x 图象如图， 当01a <≤时，符合要求， 故选D ．第二部分（非选择题 共80分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知幂函数的图象经过点2)，则这个函数的解析式为__________． 【答案】12(0)y x x =≥【解析】设幂函数为a y x =，代入2)，∴12a =．∴幂函数为12(0)y x x =≥．10．化简23231(log 9)(log 4)8⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】174【解析】原式2332lg32lg2(2)lg2lg3-=+⨯ 224-=+174=．11．函数()log (32)2(0,1)a f x x a a =-+>≠恒过定点__________．【答案】(1,2)【解析】()log (32)2a f x x =-+， ∵(1)log 122a f =+=， ∴()f x 恒过(1,2)点．12．若,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎩≤是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[4,8)【解析】(1)()42(1)2x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎩≤在R 上单调递增， ∴1402422a a a a⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎩≤，解出：48a <≤．13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数31log π2100x v ⎛⎫=⎪⎝⎭，单位是m/s ，其中x 表示鱼的耗氧量的单位数，则一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数是__________．【答案】100π【解析】当0v =时， 31log π02100x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， π1100x=， ∴100πx =．即鲑鱼静止时，耗氧单位数为100π．14．设函数()||f x x x b =+，给出四个命题：①()y f x =是偶函数；②()f x 是实数集R 上的增函数；③0b =，函数()f x 的图像关于原点对称；④函数()f x 有两个零点．上述命题中，正确命题的序号是__________．（把所有正确命题的序号都填上） 【答案】②③【解析】①错，∵()||f x x x b =+， ()||()f x x x b f x -=-+≠，∴()y f x =不是偶函数．②∵22(0)()(0)x b x f x x b x ⎧+>⎪=⎨-+⎪⎩≤， 由图象知()f x 在R 上单调递增，正确．③0b =时，22(0)()(0)x x f x x x ⎧>⎪=⎨-⎪⎩≤，()f x 关于原点对称，正确．④若0b =时，()f x 只有一个零点，错误．综上，正确命题为②③．三、解答题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知集合{}2|30A x x x =+<，集合1|222x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．（1）求A B ．（2）若集合{}|21C x a x a =+≤≤，且()C A B ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(3,0)- （2）3,1(1,)2a ⎡⎤∈--+∞⎢⎥⎣⎦【解析】（1）∵230x x +<， (3)0x x +<，∴30x <<， {}|30A x x =-<<，∵1228x<<， 3222x -<<， 31x -<<，{}|31B x x =-<<，∴{}|30A B x x =-<<． （2）()C A B ⊆， {}|21C x a x a =+≤≤，∴231021a a a a -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≤或21a a +>+， 解出3,1(1,)2a ⎡⎤∈--+∞⎢⎥⎣⎦．16.（本小题满分13分）已知函数2()x af x x+=，且(1)2f =．（1）判断并证明函数()f x 在其定义域上的奇偶性． （2）证明函数()f x 为(1,)+∞上是增函数．（3）求函数()f x 在区间[2,5]上的最大值和最小值． 【答案】（1）()f x 在定义域上为奇函数 （2）见解析（3）在[2,5]上最大值为265，最小值为52 【解析】（1）∵()(0)af x x x x=+≠，(1)12f a =+=， ∴1a =，∴1()f x x x =+， 1()()f x x f x x-=--=-，∴()f x 在定义域上为奇函数． （2）证明：设121x x <<， 21212111()()f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122121()x x x x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭21121()1x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∵210x x ->， 121x x >，1211x x <， 12110x x ->⋅， ∴21()()0f x f x ->， 21()()f x f x >，∴()f x 在(1,)+∞为增函数．（3）∵()f x 在(1,)+∞单调递增在[2,5]上，min 15()(2)222f x f ==+=， max126()(5)555f x f ==+=．17．（本小题满分12分）一种药在病人血液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么应在什么时候范围再向病人的血液补充这种药？（精确到0.1h ）（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈，lg50.70≈） 【答案】见解析【解析】解：设应在病人注射这种药x 小时后再向病人的血液补充这种药，依题意，可得5002500(120%)?1500x ⨯-≤≤，整理，得143555x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤，∴4341log log 5555x ⋅⋅≤≤，∴43lg61lg2lg31log 2.255lg813lg21-+-⋅==≈--， 同理得41log 7.055⋅≈，解得：2.27.0x ≤≤，答：应在用药2.2小时后及7.0小时前再向病人的血液补充药． 17．（本小题满分12分）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量(mg/L)P 与时间(h)t 之间的关系为kt 0e P P -=．已知5h 后消除了10%的污染物，试求： （1）10h 后还剩百分之几的污染物．（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）． 【答案】见解析【解析】（1）由kt 0e P P -=，可知0t =时，0P P =， 当5t =时，5k 5k 00(110%)e e 0.9P P P --=-=⇒=，所以1ln0.95k =-，当10t =时，1ln 0.910ln 0.815000ee 81%P P P P ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭===，所以10个小时后还剩81%的污染物． （2）当050%P P =时，有1ln0.9t 5050%e P =，解得1lnln 22559ln9ln10ln 10t -=⋅=⋅- ln 25ln 2ln52ln3=⋅+-0.750.7 1.52 1.1=⋅+-⨯35=，所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时． 18．（本小题满分12分） 已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． （1）求()f x 的解析式．（2）若()f x 在区间[2,1]a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围． （3）在区间[1,1]-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（1）∵()f x 为二次函数且(0)(2)f f =，∴对称轴为1x =， 又∵()f x 最小值为1，∴可设2()(1)1(0)f x a x a =-+>， ∵(0)3f =， ∴2a =，∴2()2(1)1f x x =-+， 即2()243f x x x =-+． （2）∵2()243f x x x =-+ 22(1)1x =-+，()f x 的对称轴为1x =．∴()f x 在(,1)-∞单调递减， 在(1,)+∞单调递增，∵()f x 在[2,21]a a +上不单调， 则1[2,1]a a ∈+， ∴211a a <<+，解出102a <<． （3）令()()221g x f x x m =---22622x x m =-+-由题意()0g x >在[1,1]-上恒成立，又∵2()2(31)g x x x m =-+- 29923144x x m ⎡⎤⎛⎫=-+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦235224x m ⎡⎤⎛⎫=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()g x 对称轴为32x =， 在[1,1]-上单调递减， ∴(1)26220g m =-+->，1m <-． 18．（本小题满分12分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．（1）判断函数2()22f x x x =-+，[0,2]x ∈是否是有界函数，请写出详细判断过程．（2）试证明：设0M >，0N >，若()f x ，()g x 在D 上分别以M ，N 为上界，求证：函数()()f x g x +在D 上以M N +为上界．（3）若函数11()124xxf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 是有界函数 （2）见解析（3）[5,1]a ∈-【解析】（1）∵2()22f x x x =-+，2(21)1x x =-++ 2(1)1x =-+()f x 对称轴为1x =，且()f x 在[0,1]单调递减，在[1,2]单调递增， min (1)()1f f x ==，max (0)(2)()2f f f x ===当[0,2]x ∈，1()2f x ≤≤， 即|()|2f x ≤，∴()f x 在[0,2]是有界函数．（2）证明：∵()g x ，()f x 在D 上分别以M ，N 为上界， ∴()N g x N -≤≤， ()M f x M -≤≤，∴()()()M N g x f x M N -+++≤≤， ∴|()()|g x f x M N ++≤，∴函数()()f x g x +在D 上以M N +为上界．（3）∵11()124x xf x a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，∴1131324xxa ⎛⎫⎛⎫-+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤在[0,)+∞恒成立，令1((0.1])2xt t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭， ∴2313at t -++≤≤在(0,1]t ∈恒成立， ∴24a t t a t t ⎧-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩≤≥在(0,1]t ∈恒成立，又∵函数2y t t=-在(0,1]单调递减， ∴1a ≤，函数4y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在(0,1]单调递增，∴5a -≥．综上[5,1]a ∈-．。

2017-2018学年度高一上学期期中考试 数 学(总分150) 时间:120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合}1,0,1{-=M ，{}1,0,2-=N ，则N M ⋂＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1}D ．{0} 2. 函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是( )A ．),31(+∞-B ．)1,31(- C. )31,31(- D.)31,(--∞3. 设221(1),()log (1).x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩ 则(1)(4)f f += ( )A. 5B. 6C. 7D. 8 4.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）A ．3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；B ．x x f =)(，2)(x x g =；C．()f x =()F x = D ．1()|25|f x x =-, 2()25f x x =- 5．()2333)2(ππ-+-的值为（ ）A.5B. 52-πC. 1-D.π25-6.如果集合A={x |a x 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定7、已知幂函数()y f x =的图象过⎛ ⎝⎭，则它的一个单调递减区间是（ ） A.),2(+∞ B ．(),0-∞ C ．(),-∞+∞ D ．[)0,+∞8. 方程330x x --=的实数解落在的区间是（ ）A ．[1,0]-B ．[0,1]C ．[1,2] D.[2,3] 9．若2()2(1)2f x x a x =+-+在(,4]-∞上是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(,3]-∞- B ．[3,)-+∞ C ．(,5]-∞D ．[3,)+∞10. 函数121()3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为A ．3B ．2C ．1D ．011.函数 与 （） 在同一坐标系中的图像只可能是( ）12.若函数()y f x =定义域为R ，且满足f (－x )＝－f (x )，当a ∈(－∞，0], b ∈(－∞，0]时,总有()()0f a f b a b->-(a ≠b )，若f (m ＋1)＞f (2)，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤1B ．m ＞1C ．－3＜m ＜1D ．m ＜－3或m ＞1二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x)=1+,则f (-2)=14.函数32+=-x a y （a >0且a ≠1）的图象必经过点 15.函数)2(log 22+=x y 的值域为 .16．关于函数f(x)＝lg 21x x＋(x>0，x ∈R)，下列命题正确的是____ ____．(填序号)①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称； ②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数．x a y =x y alog -=1,0≠>a a 且三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）。

北京市海淀十一学校2017-2018学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）1．设集合{}|14A x x =<<，{}2|230B x x x =--≤，则()A B =R ð__________．【答案】{}|34x x <<【解析】∵集合{}{}2|230|13B x x x x x =--=-≤≤≤，∴{|1B x x =<-R ð或}3x >． 又∵{}|14A x x =<<， ∴{}()|34A B x x =<<R ð．2．命题“x ∀∈R ，20x ≥”的否定是__________． 【答案】x ∃∈R ，20x <【解析】全称命题的否定是特称命题，故命题：“x ∀∈R ，20x ≥”的否定是“x ∃∈R ，20x <”．3．满足条件{}{}2,31,2,3,4A ⊆Ü的集合A 有__________个． 【答案】3【解析】满足条件{}{}2,31,2,3,4A ⊆Ü的集合A 有：{}2,3，{}1,2,3，{}2,3,4， 故共有3个．4．函数y =的定义域为__________． 【答案】[)1,0(0,)-+∞【解析】要使函数有意义，则必须10x x +⎧⎨≠⎩≥，解得1x -≥且0x ≠， 故函数的定义域是[)1,0(0,)-+∞．5．已知函数2()68f x x x =-+，[1,]x a ∈，并且函数()f x 的最小值为()f a ，则a 的取值范围是__________． 【答案】(]1,3【解析】函数2()68f x x x =-+在(,3)-∞上单调递减，在(3,)+∞上单调递增， ∵函数()f x 在[1,]x a ∈时的最小值为()f a ， ∴13a <≤，即a 的取值范围是(]1,3．6．设{}|02A x x =≤≤，{}|12B y y =≤≤，能表示从集合A 到集合B 的函数关系的是__________．A． B．C． D．【答案】D【解析】A 项．当02x ≤≤时，02y ≤≤，故A 项错误；B 项．当02x ≤≤时，02y ≤≤，故B 项错误；C 项．当02x <≤时，任取一个x 值，有两个y 值与之对应，故C 项错误；D 项．在02x ≤≤时，任取一个x 值，在12y ≤≤时总有唯一确定的y 值与之对应，故D 项正确． 综上所述． 故选D ．7．函数21()1f x x x=-+的零点有__________个． 【答案】1【解析】函数21()1f x x x=-+的零点个数等价于方程211x x +=解的个数，分别作出21y x =+和1y x=的图象， 由图可知，两函数图象有且只有1个交点，故函数21()1f x x x=-+的零点有且只有一个．8．51log 33332log 2log 32log 85+-+-=__________． 【答案】15-【解析】51log 33332log 2log 32log 85+-+-5log 3333log 4log 32log 855=-+-⨯34log 85332=⨯-⨯ 3log 115=- 15=-．9．已知条件:1p x ≤，条件1:1q x<，则p ⌝是q 的__________． 【答案】充分不必要条件 【解析】由题意，:1p x ⌝>， :0q x <或1x >，故p ⌝是q 的充分不必要条件．10．函数()(2)1xf x x x =-≥的最大值为__________． 【答案】2 【解析】函数1()111x f x x x ==+--， ∴函数()f x 在[)2,+∞上单调递减， 故当2x ≥时，()f x 的最大值为(2)2f =．二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）11．写出函数2()2||f x x x =-+的单调递增区间__________． 【答案】(,1)-∞-和(0,1)【解析】由题意，函数2222,0()2||2,0x x x f x x x x x x ⎧-+⎪=-+=⎨--<⎪⎩≥，作出函数()f x 的图象如图所示：由图象知，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和(0,1)．12．若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[1,3]-【解析】若命题“x ∃∈R ，使得2(1)10x a x +-+<”是假命题， 则对x ∀∈R ，都有2(1)10x a x +-+≥， ∴2(1)40a ∆=--≤， 即2230a a --≤， 解得13a -≤≤，即实数a 的取值范围为[1,3]-．13．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________． （1）1(5)x x y x-=，25y x =-；（2）1y2y （3）()f x x =，()g x （4）()f x =()F x = 【答案】（4）【解析】对于（1），函数1(5)x x y x-=的定义域是{}|0x x ≠，函数25y x =-的定义域是R ，两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（2），函数1y {}|1x x ≥，函数2y {|1x x -≤或}1x ≥，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（3），函数()f x x =，()||g x x =，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；对于（4），函数()f x x =R ，函数()F x x =R ，两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数． 综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是（4）．14．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a ，b ∈R ）是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式()f x =__________． 【答案】2()24f x x =-+【解析】∵函数22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数， ∴20a ab +=，即(2)0a b +=， ∴0a =或2b =-，又∵函数()f x 的值域为(],4-∞， ∴224a =，22a =．故该函数的解析式2()24f x x =-+．15．已知奇函数()f x ，当0x ≤时，有2()f x x x =+，则0x >时，函数()f x =__________． 【答案】2x x -+【解析】∵当0x ≤时，有2()f x x x =+，∴当0x >时，0x -<，有22()()()f x x x x x -=-+-=-， 又∵()f x 是奇函数，∴当0x >时，2()()f x f x x x =--=-+．16．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调增加，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是__________． 【答案】12,33⎛⎫⎪⎝⎭【解析】∵()f x 是偶函数，∴()(||)f x f x =，∴不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价于1(|21|)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，又∵()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，∴1|21|3x -<，解得1233x <<，故满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是12,33⎛⎫⎪⎝⎭．17．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(2,1)-【解析】作出函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥的图象，如图所示，可知函数()f x 是定义在R 上的增函数， ∵2(2)()f a f a ->， ∴22a a ->，即220a a +-<，解得21a -<<， 即实数a 的取值范围是(2,1)-．18．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__________． 【答案】(1,0)(0,1)-【解析】∵函数()f x 是奇函数， ∴()()f x f x -=-，∴不等式()()0f x f x x --<等价于()0xf x <，即0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩．根据条件可作出—函数()f x 的大致图象，如图所示：故不等式()()0f x f x x--<的解集为(1,0)(0,1)-．19．下列几个命题①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <；②函数y③命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤”；④命题“x ∃∈R ，使得210x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，都有210x x ++≥”； ⑤“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件． 正确的是__________． 【答案】①④⑤【解析】对于①，若方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则2(3)400a a a ⎧∆=-->⎨<⎩，解得0a <，故①正确；对于②，要使函数y 210x -≥，210x -≥，解得1x =±，因此0(1)y x ==±，所以，函数既是偶函数，又是奇函数，故②错误；对于③，命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x ≤，则1x ≤”．故③错误； 对于④，特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃R ，使得210x x ++<”的否定是“x ∀∈R ，都有210x x ++≥”，故④正确．对于⑤，220x x +->等价于2x <-或1x >，所以“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件，故⑤正确．综上所述，正确的命题是①④⑤．20．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉，且1k A +∉，则称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有__________个．【答案】6【解析】要不含“孤立元”，说明这三个数必须连在一起，故不含“孤立元”的集合有{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8共有6个．三、解答题：（本题共6个解答题；共50分） 21．（本题满分6分）已知集合203x A xx ⎧-⎫=⎨⎬+⎩⎭≥，{}2|230B x x x =--<，{}2|(21)(1)0C x x a x a a =-+++<． （1）求集合A ，B 及A B ．（2）若()C A B ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】见解析． 【解析】解：（1）∵203xx-+≥， ∴(2)(3)0x x -+≥且3x ≠-， 解得：32x -<≤， 故集合{}|32A x x =-<≤， ∵2230x x --<， ∴(1)(3)0x x +-<， 解得13x -<<，故集合{}|13B x x =-<<， ∴{}|33A B x x =-<<．（2）由（1）可得集合{}|32A x x =-<≤，集合{}|13B x x =-<<，{}|12A B x x =-<≤， ∵2(21)(1)0x a x a a -+++<， ∴()[(1)]0x a x a --+<， 解得1a x a <<+，∴集合{}|1C x a x a =<<+， ∵()C A B ⊆，∴112a a -⎧⎨+⎩≥≤，解得11a -≤≤， 故实数a 的取值范围是[1,1]-．22．（本题满分6分）已知m ∈R ，命题:p 对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m --≥恒成立；命题:q 存在[1,1]x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围．（2）当1a =，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（1）若p 命题为真，则对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m --≥恒成立， 即当[0,1]x ∈时，2min 3(22)m m x --≤恒成立， ∵当[0,1]x ∈时，22[2,0]x -∈-， ∴232m m --≤，即2320m m -+≤， 解得12m ≤≤， 即m 的取值范围是[1,2]．（2）当1a =时，若q 命题为真，则存在[1,1]x ∈-， 使得m x ≤成立，即max m x ≤成立， 故1m ≤．若p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，则p ，q 一真一假， 若p 真q 假，则121m m ⎧⎨>⎩≤≤，得12m <≤．若p 假q 真，则121m m m <>⎧⎨⎩或≤，得1m <，【注意有文字】综上所述，m 的取值范围是(](,1)1,2-∞．23．（本题满分10分）已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． （1）求()f x 的解析式．（2）若()f x 在区间[2,1]a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围． （3）在区间[1,1]-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方，试确定实数m 的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）由已知()f x 是二次函数，且(0)(2)f f =得()f x 的对称轴为1x =， 又()f x 的最小值为2， 故设2()(1)1f x a x =-+， ∵(0)3f =，∴13a +=，解得2a =，∴22()2(1)1243f x x x x =-+=-+．（2）要使()f x 在区间[2,1]a a +上不单调，则211a a <<+，∴102a <<， 即实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭．（3）若在区间[1,1]-上，()y f x =的图象恒在221y x m =++的图象上方， 则2243221x x x m -+>++在[1,1]-上恒成立， 即231m x x <-+在[1,1]-上恒成立，设2()31g x x x =-+，则()g x 在区间[1,1]-上单调递减， ∴()g x 在区间[1,1]-上的最小值为(1)1g =-， ∴1m <-，故实数m 的取值范围是(,1)-∞-．24．（本小题满分10分）对a 、b ∈R ，记{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24()f x x x x x =--+∈R ． （1）求(0)f ，(4)f -．（2）写出函数()f x 的解析式，并作出图像．（3）若关于x 的方程()f x m =有且仅有3个不等的解，求实数m 的取值范围．（只需写出结论）【答案】见解析．【解析】解：（1）∵{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24f x x x x =--+，∴{}(0)max 0,44f ==，{}(4)max 4,44f -=-=．（2）（3）5m =或m =25．（本题满分10分）已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式． （2）用函数单调性的定义证明()f x 在(0,1)上是增函数．（3）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性；（只需写出结论）（4）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出()f x 在定义域R 上的示意图．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵2()1ax b f x x +=+是定义在R 上的奇函数， ∴(0)01b f ==， ∴0b =，又∵11225254a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴2()1x f x x =+． （2）证明：设1201x x <<<， 则1212121222221212()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， ∵1201x x <<<，∴120x x -<，1210x x ->，2212(1)(1)0x x ++>， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴2()1x f x x =+在(0,1)上是增函数． （3）函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减．（4）26．（本小题满分8分）已知定义域为[0,1]的函数()f x 同时满足以下三个条件： ①对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若10x ≥，20x ≥且121x x +≤，则有1212()()()f x x f x f x ++≥成立，则称()f x 为“友谊函数”．（1）若已知()f x 为“友谊函数”，求(0)f 的值．（2）分别判断函数2()g x x =与()31h x x =+在区间[0,1]上是否为“友谊函数”，并给出理由． （3）已知()f x 为“友谊函数”，且1201x x <≤≤，求证：12()()f x f x ≤．【答案】见解析．【解析】解：（1）已知()f x 为友谊函数，则当10x ≥，20x ≥且121x x +≤， 有1212()()()f x x f x f x ++≥成立，令10x =，20x =，则(0)(0)(0)f f f +≥，即(0)0f ≤， 又∵对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥， ∴(0)0f ≥，∴(0)0f =．（2）显然，2()g x x =在[0,1]上满足①()0g x ≥，②(1)1g =， 若10x ≥，20x ≥，且121x x +≤，则有2221212121212()[()()]()20g x x g x g x x x x x x x +-+=+--=≥， 故1212()()()g x x g x g x ++≥，∴2()g x x =满足条件①②③，∴2()g x x =为友谊函数，()31h x x =+在区间[0,1]上满足①()0h x ≥， ∵(1)4h =，∴()h x 在区间[0,1]上不满足②，故()31h x x =+不是友谊函数．（3）证明：∵1201x x <≤≤，则2101x x <-<， ∴22112111()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+-+≥≥， 即12()()f x f x ≤．。