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难点自选专题一“选填”压轴小题命题的4大区域[全国卷3年考情分析]命题区域(一) 函数与导数本类压轴题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等．要注意函数y ＝f (x )与方程f (x )＝0以及不等式f (x )>0的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题目的关键．解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法．其间要注意导数的应用：利用导数研究可导函数的单调性，求可导函数的极值和最值，以及利用导数解决实际应用题是导数在中学数学中的主要应用．[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a ，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．[技法演示]法一：分段处理，分类讨论记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，则h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，下面分析g (x )的单调性．因为g ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：下面分析f (x )的单调性，注意到f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，x ≤a ，h x ，x >a ，结合前面g (x )与h (x )的单调性，我们可以按下述三种情况讨论：①若a <－1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (a )，由g (x )在(－∞，－1)上单调递增，f (a )＝g (a )<g (－1)＝2，而f (x )在(a ，＋∞)上无最大值，取值范围是(－∞，－2a )，由于－2a >2，此时函数f (x )无最大值，符合题意．②若－1≤a <1，则f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)＝2，且当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a ) ≤h (－1)＝2，则当x ＝－1时，f (x )取得最大值，不符合题意．③若a ≥1，由g (x )的单调性可得，f (x )在(－∞，a ]上的最大值为f (－1)或f (a )，令M ＝max{f (－1)，f (a )}，则有M ≥f (－1)＝2，而当x >a 时，f (x )＝h (x )<h (a )≤h (1)＝－2，则f (x )有最大值M ，不符合题意．综上，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二：整体考虑，正难则反记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，由解法一知h (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且当x 变化时，g ′(x )和g (x )变化如下：由于h (x )在(a ，＋∞)上单调递减，无最大值，若f (x )有最大值，也只可能在x ＝－1或x ＝a 处取得，同时作出函数g (x )与h (x )的图象，如图所示，容易求得它们的交点分别是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g (－1)＝h (－1)＝2，由图象可见，若f (x )在x ＝－1处取得最大值，实数a 的取值范围是 [－1,2]，若f (x )在x ＝a 处取得最大值，实数a 的取值范围是[2，＋∞)．综上，若f (x )有最大值，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)，从而，若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是(－∞，－1)．法三：平移直线x ＝a ，直接秒杀根据题意，将函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a采用分离的方式，记g (x )＝x 3－3x ，h (x )＝－2x ，同时在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )与h (x )的图象，将直线x ＝a 在图象中沿着x 轴左右平移，观察直线x ＝a 与函数g (x )，h (x )的图象的交点(曲线点实，直线点虚)变化，如图所示，当直线x ＝a 在直线x ＝－1左边时满足条件“f (x )无最大值”，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1)．[答案] (－∞，－1)[系统归纳]“三招”破解分段函数最值问题[应用体验]1．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8解析：选D 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1) [技法演示]法一：分类讨论，各个击破分类讨论就是将数学问题进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究，最后整合获解，其基本思路是化整为零，各个击破．由已知得a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a.当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞，f ′(x )>0. 所以函数f (x )在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0， 故f (x )有小于零的零点，不符合题意． 当a <0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a ，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0，f ′(x )>0； x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上单调递增，所以要使f (x )有唯一的零点x 0，且x 0>0，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a 2>4，解得a <－2.法二：数形结合，曲曲与共函数f (x )的零点，亦即函数f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，是数形结合思想应用的联结点，因此用图象来揭开函数零点的神秘面纱成为我们解决函数零点问题常用而最有效的策略．令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图象可知当a <－2时，满足题意．法三：参变分离，演绎高效参变分离法，亦即将原函数中的参变量进行分离，转化成求函数值域问题加以解决．巧用参数分离求解零点问题，既可以回避对参数取值的分类讨论，又形象直观，一目了然．易知x ≠0，令f (x )＝0，则a ＝3x －1x 3，记g (x )＝3x －1x 3，g ′(x )＝－3x 2＋3x4＝－x 2－x 4，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.[答案] B[系统归纳]“三招”破解含参零点问题[应用体验]2．已知函数f (x )＝|x2＋3x |(x ∈R)．若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：画出函数f (x )＝|x 2＋3x |的大致图象，如图，令g (x )＝a |x －1|，则函数f (x )的图象与函数g (x )的图象有且仅有4个不同的交点，显然a >0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a －x 消去y ，得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，由Δ>0，解得a <1或a >9；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a－x 消去y ，得x 2＋(3＋a )x －a ＝0，由Δ>0，解得a >－1或a <－9.综上，实数a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 法二：易知a >0，且x ＝1不是方程的根．故有a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1＝x －1＋4x －1＋5. 设h (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5， 则问题等价于曲线y ＝h (x )与直线y ＝a 有4个不同交点．作出图象如图所示． 显然y ＝9，y ＝1是y ＝h (x )的两条切线，此时都只有3个交点． 于是，结合图形知，当0<a <1或a >9时， 直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )均有4个交点． 所以a 的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)． 答案：(0,1)∪(9，＋∞)[例3] 设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞) [技法演示]法一：构造抽象函数法观察xf ′(x )－f (x )<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，设F (x )＝f xx.因为f (x )是奇函数，故F (x )是偶函数，F ′(x )＝xfx －f xx 2，易知当x >0时，F ′(x )<0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递减．又f (－1)＝0，则f (1)＝0，于是F (－1)＝F (1)＝0，f (x )＝xF (x )，解不等式f (x )>0，即找到x 与F (x )的符号相同的区间，易知当x ∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f (x )>0，故选A.法二：构造具体函数法题目中没有给出具体的函数，但可以根据已知条件构造一个具体函数，越简单越好，因此考虑简单的多项式函数．设f (x )是多项式函数，因为f (x )是奇函数，所以它只含x 的奇次项．又f (1)＝－f (－1)＝0，所以f (x )能被x 2－1整除．因此可取f (x )＝x －x 3，检验知f (x )满足题设条件．解不等式f (x )>0，得x ∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.[答案] A[系统归纳]1．利用和差函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )； (2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx .2．利用积商函数求导法则构造函数(1)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (2)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xg x(g (x )≠0)；(3)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (4)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xx (x ≠0)； (5)对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xx n(x ≠0)； (6)对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e xf (x )； (7)对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xex.[应用体验]3．定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (x )＋2 019为奇函数，则不等式f (x )＋2 019e x <0的解集是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞解析：选B 设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex<0，所以g (x )是R 上的减函数，由于f (x )＋2 019为奇函数，所以f (0)＝－2 019，g (0)＝－2 019，因为f (x )＋ 2 019e x<0⇔f xex<－2 019，即g (x )<g (0)，结合函数的单调性可知不等式f (x )＋2 019e x<0的解集是(0，＋∞)，故选B.命题区域(二) 三角函数、平面向量本类压轴题主要考查三角恒等变换与三角函数、解三角形相结合的综合问题．其中三角函数的图象与性质、三角形的面积问题是重点考查内容；平面向量主要考查与解析几何、函数、不等式等相结合的有关数量积问题．解决此类问题的关键是转化与化归思想的灵活运用．[例1] 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 [技法演示]法一：综合法由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，得－π4ω＋φ＝k π(k ∈Z)，φ＝k π＋π4ω， 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋k π＋π4ω＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ，－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4ω，k ＝2n ＋1，(n ∈Z)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π4ω＝sin π2ω＝±1，可知ω为正奇数(ω>0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧－π2<k π＋π4ω<π2，2πω≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π36－π18得⎩⎪⎨⎪⎧－2－4k <ω<2－4k ，ω≤12.又由于ω>0，所以k 只能取0，－1，－2，－3. 当k ＝0时，ω∈(－2,2)；当k ＝－1时，ω∈(2,6)； 当k ＝－2时，ω∈(6,10)；当k ＝－3时，ω∈(10,14)． 因为ω是正奇数(不超过12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．当ω＝11时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝11x ＋11π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫121π36，154π36，里面含有7π2，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不可能单调，不符合题意．当ω＝9时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36，ωx ＋π4ω＝9x ＋9π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫99π36，126π36，里面不含2n ＋12π(n ∈Z)中的任何一个，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，符合题意．综上，ω的最大值为9.故选B. 法二：分类讨论 由题意5π36－π18≤T 2⇒T ≥π6， 即2πω≥π6⇒0<ω≤12.① 又由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k π，π4ω＋φ＝π2＋n π，(n ，k ∈Z)，所以φ＝π4＋k ＋n2π(n ，k ∈Z)．又|φ|≤π2，所以－32≤k ＋n ≤12. (1)当k ＋n ＝0时，φ＝π4，ω＝1－4k .②由①②可得，当k ＝－2时，ω＝9， 此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫9x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，符合题意； 当k ＝－1时，ω＝5，此时函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，符合题意；当k ＝0时，ω＝1，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； (2)当k ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝－1－4k .③ 由①③可得，当k ＝－1时，ω＝3，此时函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递增，符合题意； 当k ＝－2时，ω＝7，此时函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调，舍去；当k ＝－3时，ω＝11，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调，舍去． 综上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所有可能值． [答案] B[系统归纳]三角函数图象与性质问题的解题策略(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象的单调性、对称性、周期、零点等问题中涉及的结论：①若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两条对称轴x ＝a ，x ＝b ，则有|a －b |＝T2＋kT2(k ∈Z)；②若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有两个对称中心M (a,0)，N (b,0)，则有|a －b |＝T 2＋kT2(k ∈Z)；③若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)有一条对称轴x ＝a ，一个对称中心M (b,0)，则有|a －b |＝T 4＋kT2(k ∈Z)．(2)研究函数在某一特定区间的单调性，若函数仅含有一个参数的时候，利用导数的正负比较容易控制，但对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)含多个参数，并且具有周期性，很难解决，所以必须有合理的等价转化方式才能解决．解法一尝试正面求解ω的可能值，但因单调区间的条件不好使用，仍然采取代入验证的方法解决．[应用体验]1．若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：法一：导数法对f (x )＝cos 2x ＋a sin x 求导，得f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，所以f ′(x )≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上恒成立，即a cos x ≤2sin 2x ＝4sin x cos x ，而cos x >0，所以a ≤4sin x ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2上，12<sin x <1，于是a ≤2.法二：图象法f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －a 42＋a 28＋1，设t ＝sin x ，由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，知t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.要使g (t )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 42＋a 28＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，只要a 4≤12即可，所以a ∈(－∞，2]． 答案：(－∞，2][例2] 已知2，且(2＋b )(sinA －sinB )＝(c －b )sinC ，则△ABC 的面积的最大值为________．[技法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4，所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3.法二：正、余弦定理与数形结合 由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A 在圆周上的运动轨迹为优弧BC (不包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性 由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝asin A·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ， 则S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )] ＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝3， 当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3. 法四：函数思想由法三得S △ABC ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ， 令g (B )＝sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin B 32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋14.由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号， 所以△ABC 的面积的最大值为 3. [答案]3[系统归纳]三角形面积最值问题的解题策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；(2)结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速；(3)利用结论：已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝m (m >0)，且∠A ＝θ，θ∈(0，π)，则△ABC 的面积的最大值是m 24tanθ2，当且仅当另外两个角相等时取等号．[应用体验]2．(2018·潍坊统一考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb，则△ABC 面积的最大值为________．解析：因为tan A tan B ＝2c －bb ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin B cos B， 由正弦定理得sin B sin A cos B ＝(2sin C －sin B )sin B cos A ， 又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32，设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.答案：334[例3] ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．[技法演示]法一：基底法选取{AB ―→，BC ―→}为一组基底，由题意易求DC ＝1，|AB ―→|＝2，|BC ―→|＝1，AB ―→·BC ―→＝2×1×cos 120°＝－1，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19λAB ―→＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→. 于是AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19λAB ―→＋BC ―→ ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19λ×4－1－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋19λ＋λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918(λ>0)，当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.法二：坐标法以A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°， 所以DC ＝1，即B (2,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.因为BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ2，32λ，AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32.所以AE ―→·AF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫2－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋219＝2918. 当且仅当λ2＝29λ，即λ＝23时等号成立，故AE ―→·AF ―→的最小值为2918.[答案]2918[系统归纳]向量数量积问题的解题策略[应用体验]3．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ―→·CB ―→＝________；DE ―→·DC ―→的最大值为________．解析：法一：如图，以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则E (t,0)，t ∈[0,1]，DE ―→＝(t ，－1)，CB ―→＝(0，－1)，所以DE ―→·CB ―→＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC ―→＝(1,0)，所以DE ―→·DC ―→＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE ―→·DC ―→的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE ―→在CB ―→方向上的投影都是|CB ―→|＝1，所以DE ―→·CB ―→＝|CB ―→|·1＝1，当点E 运动到B 点时，DE ―→在DC ―→方向上的投影最大即为|DC ―→|＝1，所以(DE ―→·DC ―→)max ＝|DC ―→|·1＝1.答案：1 1命题区域(三) 立体几何此类压轴题主要考查以立体几何为背景的新颖问题．以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题、与函数图象相结合问题、最值问题、探索性问题等．(1)对探索、开放、存在型问题的考查：探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何中．(2)对折叠、展开问题的考查：图形的折叠与展开问题(三视图问题可看作是特殊的图形变换)蕴涵了“二维——三维——二维”的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辨，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立体几何中的重要题型．[例1] 11111D 1，平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∩平面ABB 1A 1＝n ，则直线m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B.22C.33D.13[技法演示]法一：割补法我们先尝试把m ，n 这两条直线都作出来，易知这个平面α一定在正方体外，所以要往上补形，如图所示，过点A 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的上方补作一个与正方体ABCD A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体ABCD A 2B 2C 2D 2，可证平面AB 2D 2就是平面α，n 就是AB 2.因为平面ABCD ∥平面A 2B 2C 2D 2，所以B 2D 2∥m ，说明m 应该是经过点A 且在平面ABCD 内与B 2D 2平行的直线，则直线m ，n 所成的角就是∠AB 2D 2，因为△AB 2D 2为等边三角形，所以 sin ∠AB 2D 2＝sinπ3＝32，故选A. 法二：平移法1事实上对法一可进行适当简化，无须补形也可以．设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m ′，因为平面α∩平面ABCD ＝m ，平面α∥平面CB 1D 1，所以m ∥m ′.又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥m ′，所以B 1D 1∥m .同理可得CD 1∥n ，故直线m ，n 所成角即为直线B 1D 1，CD 1所成的角∠CD 1B 1.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，B 1C ＝B 1D 1＝CD 1，所以∠CD 1B 1＝π3，所以sin ∠CD 1B 1＝32，故选A. 法三：平移法2与法二类似，我们尝试在正方体内部构造一个平面与平面α平行，也即与平面CB 1D 1平行．如图所示，让点A 在平面ABCD 内运动，不妨让点A 在对角线AC 上运动，易知平面BA 1D 与平面CB 1D 1平行，则直线m ，n 所成的角就是∠DBA 1，其正弦值为32，故选A. [答案] A[系统归纳]异面直线所成角问题的解题策略平移化归是关键：求异面直线所成角，关键是将两条异面的直线平移到相交状态，作出等价的平面角，再解三角形即可，常规步骤是“一作二证三计算”，而第一步最为关键，平移谁，怎么平移都要视题目条件而定.[应用体验]1．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥底面ABC ，G 为△ABC 的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为________．解析：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，取BC 的中点E ，连接AE ，重心G 为AE 的三等分点，AE ＝AB 2－BE 2＝3，AG ＝2，由于AD ⊥底面ABC ，直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，所以tan ∠DGA＝DA AG ＝12，DA ＝1，在等腰△ABC 中，cos ∠ACB ＝52＋82－522×5×8＝45，sin ∠ACB ＝35，所以△ABC 的外接圆直径2r ＝ABsin C ＝535＝253，r ＝256，设 △ABC 的外接圆圆心为O 1，四面体ABCD 的球心为O ，在Rt △AOO 1中，R 2＝OA 2＝AO 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2562＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝63436，球的表面积为S ＝4πR 2＝6349π.答案：6349π[例2] 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P BCD 的体积的最大值是________．[技法演示]法一：平面几何法由题意可知四面体P BCD 的体积最大时，应有平面PBD ⊥平面BCD .如图，过点P 作PF ⊥BD ，垂足为F ，则PF ⊥平面BCD ，则V P BCD ＝13S △BCD ·PF .由翻折过程可知AF ＝PF ，则V P BCD ＝13S △BCD ·AF ，这样就将空间问题转化为△ABC 内的问题．等腰△ABC 的底边AC 边上的高h ＝AB ·sin 30°＝1，V P BCD ＝13×12×DC ×h ×AF ＝16DC ·AF .DC 与AF 不在同一个三角形中，用哪个变量能表示两者呢？注意到当点D 在AC 上运动时，∠ADB 也是在变化的，因此可以取∠ADB 为自变量，产生下面的解法．如图，因为S △ABD ＝12BD ·AF ＝12AD ·h ，则AF ＝AD BD ，得V P BCD ＝16DC ·ADBD .设∠ADB ＝α，由正弦定理得ADDB＝2sin(150°－α)，DC ＝α－sin α，则V P BCD ＝23×－αα－sin α＝－cos 2α＋cos 120°3sin α＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α－14sin α，易知函数f (x )＝x －14x 在区间(0,1]上单调递增，于是V P BCD ≤23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝12.法二：构造法换个角度看问题，我们把△ABC “立起来”，如图，设BO ⊥平面ACP ，考虑以B 为顶点，△ACP 的外接圆⊙O 为底面的圆锥，易得AC ＝23，则OB ＝BA 2－OA 2≤4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC 2＝1.设∠PDA ＝θ，θ∈(0，π)，AD ＝x (0<x <23)，则S △PCD ＝12x ·(23－x )sin θ≤12x ·(23－x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝32，所以四面体P BCD 的体积V P BCD ＝13·S △PCD ·OB ≤12，当且仅当OA ＝12AC ＝3，且θ＝π2时取等号(此时D 点与圆心O 重合，PD 垂直平分AC ，进而可得BD ⊥PD )．法三：解析法由于△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，故建系非常方便．如图，取AC 的中点O 为原点，以AC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (－3，0)，B (0，－1)，C (3，0)，设D (t,0)，t ∈(－3，3)，易知直线BD 的方程为x －ty －t ＝0，则点A 到直线BD 的距离AF ＝3＋t 1＋t2，又DC ＝3－t ，于是V P BCD ＝16DC ·AF ＝16·3－t 21＋t 2，令f (t )＝16·3－t 21＋t 2＝1641＋t2－1＋t 2，t 2∈[0,3)，易知该函数在[0,3)上单调递减，故V P BCD ≤f (0)＝12，此时D 在原点．[答案]12[系统归纳] 空间最值问题的解题关键(1)要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，如本题一定要分析出“当四面体P BCD 的体积取最大值时，必有平面PBD ⊥平面BCD ”，要判断出△PBD 与△ABD 是翻折关系(全等)，这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；(2)转化后的运算：因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式，甚至导数都是可以考虑使用的工具．[应用体验]2．表面积为60π的球面上有四点S ，A ，B ，C 且△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ABC 体积的最大值为________．解析：因为球的表面积为60π，所以球的半径为15，设△ABC 的中心为D ，则OD ＝3，所以DA ＝23，则AB ＝6，棱锥S ABC 的底面积S ＝34×62＝93为定值，欲使其体积最大，应有S 到平面ABC 的距离取最大值，又平面SAB ⊥平面ABC ，所以S 在平面ABC 上的射影落在直线AB 上，而SO ＝15，点D 到直线AB 的距离为3，则S 到平面ABC 的距离的最大值为33，所以V ＝13×93×33＝27.答案：27命题区域(四) 解析几何本类压轴题主要考查圆锥曲线的几何性质、特定字母的取值范围以及圆锥曲线中的最值问题．圆锥曲线的几何性质是高考考查圆锥曲线的重点内容之一．在选择、填空题中主要考查椭圆和双曲线的离心率、参数的值(范围)、双曲线的渐近线方程以及抛物线的焦点弦．圆锥曲线中的弦长是直线与圆锥曲线相交时产生的，面积也以弦长的计算为基础，高考重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，它是命制压轴题时的一个重要命题方向．[例1] 已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2 [技法演示]法一：定义法因为△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1|＝|MF 2|sin ∠MF 2F 1＝13|MF 2|，即|MF 2|＝3|MF 1|.①由双曲线的定义可知|MF 2|－|MF 1|＝2a .② 由①和②可求得|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a .在Rt △MF 1F 2中，由勾股定理得|MF 2|2－|MF 1|2＝|F 1F 2|2，即(3a )2－a 2＝(2c )2，化简得2a 2＝c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a2＝2，从而可知e ＝ 2.故选A.法二：利用正弦定理在Rt △MF 1F 2中，sin ∠F 1MF 2＝sin(90°－∠MF 2F 1)＝cos ∠MF 2F 1＝223，sin ∠MF 1F 2＝1.由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选 A.法三：利用直角三角形的三角函数 设点M (－c ，y 0)，则－c2a 2－y 20b2＝1，由此解得y 2＝|MF 1|2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2－a 2a 2＝c 2－a 22a 2.∵△MF 1F 2是直角三角形，且sin ∠MF 2F 1＝13，∴cos ∠MF 2F 1＝223，tan ∠MF 2F 1＝24， 从而可得|MF 1||F 1F 2|＝24⇒|MF 1|2|F 1F 2|2＝18⇒|F 1F 2|2|MF 1|2＝4c 2y 20＝8，即4c2c 2－a 22a 2＝8，化简整理得2c 4－5a 2c 2＋2a 4＝0， 两边同除以a 4，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－5⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2＝0， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2＝0， ∵c a>1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝2，即e ＝ 2. [答案] A[系统归纳]圆锥曲线离心率问题的求解策略(1)双曲线(椭圆)的定义可直接建立“焦点三角形”的两边关系．用好这一隐含条件，可为三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了双曲线的定义将离心率e 写成|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，转化为“焦点三角形”的三边关系，从而利用正弦定理再转化到已知的角上去．(2)在求解圆锥曲线(主要指的是椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分利用已知条件和挖掘隐含条件建立起a 与c 的关系式．[注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量 关系式．[应用体验]1．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，抛物线C ：y 2＝8ax 的焦点为F ，若在E 的渐近线上存在点P ，使得PA ⊥FP ，则E 的离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，324C ．(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫324，＋∞解析：选B 双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A (a,0)，抛物线C ：y 2＝8ax的焦点为F (2a,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b am ，则有AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －a ，b a m ，FP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2a ，b a m ，由PA ⊥FP ，得AP ―→·FP ―→＝0，即(m －a )(m －2a )＋b 2a 2m 2＝0，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2a 2m 2－3ma ＋2a 2＝0，由题意可得Δ＝9a 2－41＋b 2a 2·2a 2≥0，即a 2≥8b 2＝8(c 2－a 2)，即8c 2≤9a 2，则e ＝c a ≤324.又e >1，所以1<e ≤324.[例2] 设A ，B 是椭圆C ：3＋m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)[技法演示]法一：几何性质法如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，设M (x ，y )． 根据椭圆的对称性，不妨令y >0， 设∠AMN ＝α，∠BMN ＝β， 则tan α＝x ＋a y ，tan β＝a －xy. 又点M 在椭圆上，所以x 2＝a 2－a 2y 2b2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝x ＋a y ＋a －xy 1－a 2－x 2y＝2ay x 2＋y 2－a 2y 2＝2ay x 2＋y 2－a 2＝2aya 2－a 2b2y 2＋y 2－a2＝2ab 2－c 2y . 又y ∈[－b ，b ]，所以当y ＝b 时，α＋β取最大值，即M 为椭圆短轴顶点P 时，∠APB 最大．由此，我们可以得到本题的如下解法．先考虑椭圆的焦点在x 轴上的情况，则0<m <3.设椭圆一个短轴的顶点为P ，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则∠APB ≥∠AMB ，即∠APB ≥120°，所以∠APO ≥60°.而tan ∠APO ＝3m ，所以3m≥3，解得0<m ≤1.同理：当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 法二：二级结论法椭圆上任意一点与椭圆长轴的两个端点连线的斜率之积为定值－b 2a2.这一结论不难证明：设M (x ，y )为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，则k MA ·k MB ＝yx ＋a ·yx －a ＝y 2x 2－a 2.因为点M 在椭圆上，所以y 2＝b 2a2(a 2－x 2)，从而k MA ·k MB ＝b 2a2a 2－x 2x 2－a 2＝－b 2a2.由此可以得到本题的如下解法．当0<m <3时，椭圆的焦点在x 轴上，如图，设∠MAB ＝α， ∠MBx ＝β，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m3，k 1＝tan α，k 2＝tan β.因为∠AMB ＝120°，由三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和， 所以tan(β－α)＝tan 120°＝－ 3.根据两角差的正切公式tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan αtan β，可得tan β－tan α＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 3， 即k 2－k 1＝33m － 3.结合k 1·k 2＝－m 3，将两式变形为k 2＋(－k 1)＝33m －3，k 2·(－k 1)＝m 3，故可将k 2，－k 1看作是关于t 的方程t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫33m－3t ＋m3＝0的两个根，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33m －32－4·m 3＝13(m 2－10m ＋9)≥0，所以m 2－10m ＋9≥0，解得m ≤1或m ≥9(舍去)，所以0<m ≤1.同理可得当焦点在y 轴上时，m ≥9.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法三：向量法当椭圆的焦点在x 轴上时，设A ，B 分别为椭圆的左、右两个端点，M (x ，y )，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－m 3.又AM ―→＝(x ＋3，y )，BM ―→＝(x －3，y )，此时如果直接应用数量积进行计算，显然计算量较大，这里我们可以考虑利用直线的方向向量来简化运算．分别取与AM ―→，BM ―→相同方向的向量n 1＝(1，k 1)，n 2＝(1，k 2)．又∠AMB ＝120°，所以向量n 1，n 2的夹角为60°，由向量的数量积公式可得，cos 60°＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋k 1k 21＋k 21·1＋k 22＝1＋k 1k 21＋k 21k 22＋k 21＋k 22， 即12＝1－m31＋m 29＋k 21＋k 22.由k 1·k 2＝－m3<0，结合均值不等式a 2＋b 2≥2ab ，可得k 21＋k 22＝k 21＋(－k 2)2≥2k 1·(－k 2)＝23m ，所以1－m31＋m 29＋k 21＋k 22≤1－m31＋m 29＋23m，即12≤1－m3⎝ ⎛⎭⎪⎫m3＋12，所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3＋1≤1－m 3，解得m ≤1. 又0<m <3，所以0<m ≤1.当焦点在y 轴上时，此时k 1·k 2＝－3m<0.同理，12＝1－3m1＋9m2＋k 21＋k 22≤1－3m1＋9m 2＋6m，即12⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1≤1－3m ，解得m ≥9.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． [答案] A[系统归纳]圆锥曲线中特定字母的值(范围)问题的解题策略[应用体验]2．若过点M (2,0)的直线与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，|AB |＝253，设P 为椭圆上一点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→(O 为坐标原点)，则实数t 的值为( )A ．±33B ．±263 C ．±523D ．±325解析：选B 由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)． 显然，当k ＝0时，|AB |＝22，与已知不符，∴k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 22＋y 2＝1消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，则Δ＝(－8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝8－16k 2>0， x 1＋x 2＝8k 21＋2k ，x 1·x 2＝8k 2－21＋2k ，∵|AB |＝253，∴ 1＋k 2|x 1－x 2|＝253， 即(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＝0，解得k 2＝14.又OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，即(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，且k ≠0，t ≠0，∴x ＝x 1＋x 2t ＝8k2t ＋2k2，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt＋2k2. ∵点P 在椭圆上，∴k 22t 2＋2k22＋2×－4k2t 2＋2k22＝2，又k 2＝14，解得t ＝±263.[例3] 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.10 [技法演示]法一：利用基本不等式依题意，不妨设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>0，y 2<0.由OA ―→·OB ―→＝2，得x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，由此解得y 1y 2＝－2，△ABO 与△AFO 面积之和等于12|x 1y 2－x 2y 1|＋12×14y 1＝12|y 21y 2－y 22y 1|＋18y 1＝12×2(y 1－y 2)＋18y 1＝98y 1＋(－y 2)≥2－98y 1y 2＝3，当且仅当 98y 1＝－y 2＝32时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B.该方法中用到这样一个公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则S △AOB ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，证明如下：设∠AOB ＝θ，则S △AOB ＝12|OA ―→|·|OB ―→|sin θ＝12 |OA ―→|·|OB ―→|2－|OA ―→|·|OB ―→|cos θ2＝12 |OA ―→|·|OB ―→|2－OA ―→·OB―→2＝12 x 21＋y 21x 22＋y 22－x 1x 2＋y 1y 22＝12x 1y 2－x 2y 12＝12|x 1y 2－x 2y 1|. 法二：双根法 设直线AB的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1y 2<0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝x 得y2－ty －m ＝0，y 1y 2＝－m ，又OA ―→·OB ―→＝2，因此x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)2＋y 1y 2＝2，m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.又y 1y 2＝－m <0，因此y 1y 2＝－m ＝－2，m ＝2，直线AB ：x ＝ty ＋2过定点(2,0)，S △ABO ＝12×2×|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1，S △AFO ＝12×14|y 1|＝18|y 1|，S △ABO ＋S △AFO ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋2y 1＋18|y 1|＝98|y 1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 1≥298|y 1|×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 1＝3，当且仅当98|y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2y 1，即|y 1|＝43时取等号，因此△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3，选B. [答案] B[系统归纳]圆锥曲线中与面积相关问题的解题规律(1)三角形面积的向量公式：若AB ―→＝(x 1，y 1)，AC ―→＝(x 2，y 2)，则S △ABC ＝12|x 1y 2－x 2y 1|，用此公式便于建立目标函数求最值；(2)直线方程的选择：对于不同的直线方程，其中所含的参数意义不同，形成不同的解题长度．为了消元、计算的方便，可将经过定点(m,0)的动直线设为x ＝ty ＋m 的形式，避免了对斜率存在性的讨论．如本题法二．[应用体验]3．已知椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1，O 为坐标原点，直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，且|OM |＝1，则△AOB 面积的最大值为________．解析：设直线l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0.①所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，x 1＋x 2＝8n 4＋m 2.由中点坐标公式可知x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m2，－mn 4＋m 2.因为|OM |＝1，所以n 2＝＋m 2216＋m2.② 设直线l 与x 轴的交点为D (n,0)，则△AOB 的面积S ＝12|OD ||y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.S 2＝14n 2(y 1－y 2)2＝＋m 2m 2＋2，设t ＝m 2＋4(t ≥4)， 则S 2＝48×tt 2＋24t ＋144＝48t ＋144t＋24≤482t ·144t＋24＝1，当且仅当t ＝144t，即t ＝12时，等号成立，此时m 2＝8，n 2＝6， 即S 2取得最大值1.故△AOB 的面积的最大值为1. 答案：1[专题过关检测]A 组——选择压轴小题命题点专练1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55。
2019年高考文科数学（通用版）二轮复习解答题训练共八套PS ：答案及解析页码为：14～35页专题一：解三角形1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值.2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.3.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值.4.(2018·北京11中模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12，求角A 的大小.专题二：数 列1.在等差数列{a n }中， a 1＝－2，a 12＝20. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，求数列{3b n }的前n 项和S n .2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .4.(2018·大庆模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1. (1)求b 1，b 14，b 61； (2)求数列{b n }的前200项和.专题三：立体几何1.如图，在三棱柱ABF －DCE 中， ∠ABC ＝120°， BC ＝2CD, AD ＝AF , AF ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥EC ；(2)若AB ＝1，求四棱锥B －ADEF 的体积.2.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)是否存在实数λ，使得平面BEF ⊥平面ACD .3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若M 为线段P A 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高.4.(2018·乐山联考)如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值.专题四：解析几何1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且C 过点⎝⎛⎭⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.2.已知抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A ，B (点B 在点A 的左侧)两点，且|AB |＝43.(1)求抛物线Γ在A ，B 两点处的切线方程；(2)若直线l 与抛物线Γ交于M ，N 两点，且MN 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求△QMN 面积的最大值.3.已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积； (3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”. 若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n 2为定值.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △P AM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围.专题五：概率与统计1.(2018·安徽省六安一中适应性考试)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQⅠ)，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率.2.为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数.他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示.(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率.3.为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和利润Z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量约为多少时，年利润Z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .4.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生有21人.(1)求总人数N 和分数在110～115的人数n ；(2)现准备从分数在110～115的n 名学生⎝⎛⎭⎫女生占13中任选2人，求其中恰好有一名女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x (满分150分)，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .专题六：函数与导数1.已知函数f (x )＝2x 2＋x＋ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求证：f (x )>0.2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.3.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数). (1)当a ＝5时，求函数g (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，使方程g (x )＝2e x f (x )成立，求实数a 的取值范围.4.(2018·安徽省六安一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x (a 为实常数).(1)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围.专题七：坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝π6(ρ>0). (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.4.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).专题八：不等式选讲1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|.(1)若f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对∀x∈R, ∃a∈[－2,2]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围.2.(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.3.已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)＝|x－2m|－|x＋m|(m>0).(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.答案及解析专题一：解三角形1.解 (1)由题意得，a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22， ∵B ∈(0，π)， ∴B ＝π4. (2)∵m ·n ＝12cos A －5cos 2A ＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435， ∴当cos A ＝35时，m ·n 取最大值，此时sin A ＝45. 由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝522. 2.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ， 即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC， 故sin ∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1， 故f (A )的取值范围为(－1,2].(2)由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝22，∵A 为锐角，即A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12. 由正、余弦定理及三角形的面积公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.4.解 (1)由相邻两条对称轴的距离为π2，可得其周期为T ＝2π＝π，所以ω＝2，由图象过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12， 可得sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＋cos A ＝12， 则32sin A ＋12cos A ＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝12， 因为0<A <π，所以π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝5π6， 所以A ＝2π3. 专题二：数 列1.解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝n －3，令c n ＝3b n ，则c n ＝3n －3， 显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2，公比q ＝3，所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c 1()1－q n 1－q ＝3n －118(n ∈N *). 2.(1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故a n ＝12n(n ∈N *). (2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝⎛⎭⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n < 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝⎛⎭⎫2－1n <14×2＝12. 故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ，解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式，所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81，∴a 1＋4d ＝9.∵a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项；当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项；当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项；当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项.∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.专题三：立体几何1.(1)证明 已知ABF －DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ，∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD .∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD为平行四边形，∠ABC＝120°，故∠BCD＝60°，又BC＝2CD，故∠BDC＝90°，故BD⊥CD，∵ED∩CD＝D，ED，CD⊂平面ECD，∴BD⊥平面ECD，∵EC⊂平面ECD，故BD⊥EC.(2)解由BC＝2CD得AD＝2AB，∵AB＝1，故AD＝2，作BH⊥AD于点H，∵AF⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴AF⊥BH，又AD∩AF＝A，AD，AF⊂平面ADEF，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC＝120°，∴在△ABH中，∠BAH＝60°，又AB＝1，∴BH＝3 2，∴V B－ADEF＝13×(2×2)×32＝233.2.(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD. 由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，BE ⊂平面BEF ，∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ，∴AE ＝67， ∴λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD . 3.(1)证明 连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝(AB －CD )2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BC ，又AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面P AC ，故BC ⊥平面P AC .(2)解 N 为PB 的中点，连接MN ，CN .因为M 为P A 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2. 又因为AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面，所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点.因为BC ⊥平面P AC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面P AC 的距离d ＝12BC ＝ 2. 又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2， 所以V 三棱锥N —ACM ＝13×2×2＝23. 由题意可知，在Rt △PCA 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23， CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2. 设三棱锥A —CMN 的高为h ，V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23， 解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.4.(1)证明 在△AOC 中，因为OA ＝OC, D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .(2)解 因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1.又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1. 又因为三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13. (3)解 在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面C ′PB ，使之与平面ABP 共面，如图所示.当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值. 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ， 所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点. 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62，即CE ＋OE 的最小值为2＋62.专题四：解析几何1.(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， ∵直线l 与椭圆交于两点，∴Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. ∵直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴k 2＝y 2x 2·y 1x 1＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 又m ≠0，∴k 2＝14，结合图象(图略)可知k ＝－12，故直线l 的斜率为定值.2.解 (1)由x 2＝2py ，令y ＝2，得x ＝±2p ，所以4p ＝43，解得p ＝3，所以x 2＝6y ，由y ＝x 26，得y ′＝x 3，故y ′|x ＝23＝233. 所以在A 点的切线方程为y －2＝233(x －23)，即2x －3y －23＝0，同理可得在B 点的切线方程为2x ＋3y ＋23＝0.(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x 2＝6y 与y ＝kx ＋m 联立， 得x 2－6kx －6m ＝0，Δ＝36k 2＋24m >0， 所以x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－6m ， 故|MN |＝1＋k 2·36k 2＋24m ＝23·1＋k 2·3k 2＋2m .又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6k 2＋2m ＝4，所以m ＝2－3k 2，所以|MN |＝23·1＋k 2·4－3k 2， 由Δ＝36k 2＋24m >0，得－233<k <233且k ≠0.因为MN 的中点坐标为(3k,2)，所以MN 的垂直平分线方程为y －2＝－1k (x －3k )，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2，所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1<u <73，故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ).设f (u )＝u 2(7－3u )，则f ′(u )＝14u －9u 2，结合1<u <73，令f ′(u )>0，得1<u <149；令f ′(u )<0，得149<u <73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473. 3.(1)解 由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程， 得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a ，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0， 由0<e <1，解得e ＝12.(2)解 因为四边形AOPQ 是平行四边形， 所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ， 同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b2a 2－(－a )·3b2－a 2＝－b 2a 2，由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明 由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237. ①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)， 即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0.②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝⎛⎭⎫x 204＋y 203， 因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n 2＝49(为定值).4.解 (1)因为BF 1⊥x 轴，得到点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎨⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A ||PM |·sin ∠APM12|PB ||PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM →＝－λ2PN →.由(1)可知P (0，－1)，设MN 方程为y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0，Δ>0恒成立，即得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3，(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1<(2－λ)λ2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23).专题五：概率与统计1.解 (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100， ∴m ＝25，40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.(2)在空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为[150,200)的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种，所以事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率是P (A )＝610＝35.2.解 (1)设落在分组[10,12)中的频率为x ，则⎝⎛⎭⎫0.05＋0.075＋x2＋0.125×2＝1，得x ＝0.5， 所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示：老王该月每天健步走的平均步数约为(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步).(2)设评价级别是及格的2天分别为a ，b ，评价级别是良好的3天分别为x ，y ，z ， 则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果： ab ，ax ，ay ，az ，bx ，by ，bz ，xy ，xz ，yz ，所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab ，xy ，xz ，yz .所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率P ＝410＝25.3.解 (1)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15(7.0＋6.5＋5.5＋3.8＋2.2)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×7.0＋2×6.5＋3×5.5＋4×3.8＋5×2.2＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝62.7－5×3×555－5×32＝－1.23，a ^＝y －b ^x ＝5－(－1.23)×3＝8.69，∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝8.69－1.23x . (2)年利润Z ＝x (8.69－1.23x )－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ， ∴当年产量约为2.72吨时，年利润Z 最大.4.解 (1)分数在100～110内的学生的频率为P 1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数N ＝210.35＝60，分数在110～115内的学生的频率为P 2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1， 分数在110～115内的人数n ＝60×0.1＝6.(2)由(1)可知，分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，男生有4名， 设男生为A 1，A 2，A 3，A 4，女生为B 1，B 2，从6名学生中选出2人的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个.其中恰好有一名女生的基本事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个， 所以所求的概率为P ＝815.(3)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100.由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据公式得到b ^＝497994＝0.5，a ^＝100－0.5×100＝50，所以线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50，所以当x ＝130时，y ^＝115.所以他的物理成绩的估计值是115分.专题六：函数与导数1.(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3＋2x 2－3x －2(x 2＋x )2， 所以f ′(1)＝－12，又f (1)＝1，则切线方程为x ＋2y －3＝0. (2)证明 令h (x )＝x 3＋2x 2－3x －2， 则h ′(x )＝3x 2＋4x －3， 设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2， 由于x 1x 2＝－1<0， 不妨设x 1<0，x 2>0，则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )≥f (x 0)＝2x 20＋x 0＋ln x 0，因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2x 20＋x 0>0，所以f (x )>0.2.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得， g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x＝()2ax －1()x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x ，由g ′()x >0得0<x <1， 由g ′()x <0得x >1； 若0<12a <1，即a >12时，由g ′()x >0得x >1或0<x <12a ，由g ′()x <0得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12时， 由g ′()x >0得x >12a 或0<x <1，由g ′()x <0得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；当a >12时，函数g ()x 在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；在()1，＋∞上单调递增.3.解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ，g (1)＝e ，g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，故切线的斜率为g ′(1)＝4e ，所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x )＝ln x ＋1， 所以在(0，＋∞)上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，当0<t <1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上，f (x )为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . (3)由g (x )＝2e xf (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3， 则a ＝x ＋2ln x ＋3x ，令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x ，x >0，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：因为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (e)＝3e＋e ＋2，h (1)＝4，所以h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e<0， 所以h (e)<h ⎝⎛⎭⎫1e ，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，3e ＋e ＋2. 4.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x，f ′(1)＝0，所求切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x ＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x，x ∈[1，e]. 当a 2≤1，即a ≤2时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，此时f (x )在[1，e]上单调递增. 所以f (x )的最小值为f (1)＝－a －1，所以－1≤a ≤2；当1<a 2<e ，即2<a <2e ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，a 2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，e 上单调递增， 所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24－a ＋a ln a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1. 因为2<a <2e ，所以0<ln a 2<1， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1<0恒成立，所以2<a <2e ；当a 2≥e ，即a ≥2e 时，x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (e)＝e 2－(a ＋2)e ＋a ，因为a ≥2e>e 2－2e e －1，所以f (e)<0， 所以a ≥2e ，综上，a ≥－1.专题七：坐标系与参数方程1.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1， 由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0， 设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.解 (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0， 所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋4－3|2＝22<4， 所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为242－⎝⎛⎭⎫222＝62. 3.解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝33x (x >0). (2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6， ⎝⎛⎭⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23， 将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1， 所以||PQ ＝||ρ1－ρ2＝23－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝π6的距离为d ＝||OC 1sin π6＝1， 所以S △C 1PQ ＝12||PQ ·d ＝12()23－1＝3－12. 4.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，O 到AB 的距离为2，∴△OAB 的面积为S ＝12(22＋4)·2＝2＋2 2. 专题八：不等式选讲1.解 (1)|x －2a |＋|x －3a |≥|(x －2a )－(x －3a )|＝|a |，当且仅当x 取介于2a 和3a 之间的数时，等号成立，故f (x )的最小值为|a |,∴a ＝±2.(2)由(1)知f (x )的最小值为|a |，故∃a ∈[－2,2]，使m 2－|m |<|a |成立，即 m 2－|m |<2，∴(|m |＋1)(|m |－2)<0，∴－2<m <2.2.解 (1)∵|f (x )|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤f (x )≤3，∴f (x )min ＝－3，f (x )max ＝3.(2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R .又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4.∴a 的取值范围是[4，＋∞).3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧ －x －4，x <12，3x －6，x ≥12， 由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}.(2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2,2).4.解 (1)f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ，x ≥2m ，－2x ＋m ，－m <x <2m ，3m ，x ≤－m ，当m ＝2时，由－2x ＋2≥1得－2<x ≤12， 又当x ≤－2时，f (x )≥1恒成立，所以不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12. (2)不等式f (x )≤|t ＋3|＋|t －2|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )≤(|t ＋3|＋|t －2|)min 恒成立，即f (x )max ≤(|t ＋3|＋|t －2|)min ，∵f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |≤|(x ＋m )－(x －2m )|＝3m ，|t ＋3|＋|t －2|≥|(t ＋3)－(t －2)|＝5， ∴3m ≤5，又m >0，∴0<m ≤53.。
一、数学抽象、直观想象素养1 数学抽象例1 (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案154解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154时， p 取得最大值，即最佳加工时间为154分钟．(2)某楼梯共有11级，每步可走一级或二级，走完这11级楼梯共有多少种不同的走法？ 解 楼梯共有11级，数值比较大，可以先考虑简单情形．楼梯共有：1级、2级、3级、4级、5级、…，从特殊的情境里发现规律.从上面的走法种数1,2,3,5,8，…可以发现： 前两个走法种数之和是下一个走法种数．于是，容易推算出：走完这11级楼梯，共有144种不同的走法．1．甲、乙两船，甲船在海岛B 的正南方向A 处，AB ＝10海里，向正北方向以4海里/时的速度航行，同时乙船以6 海里/时的速度从岛B 出发，向北偏西60°的方向驶去，则________分钟后两船之间的距离最近．(精确到1分钟) 答案 21解析 设t 小时后两船之间的距离为s 海里，如图所示．则BC ＝6t ，AD ＝4t ，BD ＝10－4t ， 在△BCD 中，由余弦定理得s 2＝CD 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )×cos120°＝28t 2－20t ＋100， 所以当t ＝514时，s 最小，即两船最近．所以514×60＝1507≈21(分钟)后两船之间的距离最近．2．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物________吨． 答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x 万元，一年的总存储费用为x 万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为400x＋x ≥2400x·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．素养2 直观想象例2 (1)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.答案 150解析 根据题干图示，AC ＝1002m. 在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin45°＝AM sin60°，解得AM ＝1003m.在Rt △AMN 中，MNAM ＝sin60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)． (2)(2018·全国Ⅰ改编)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为________． 答案334解析 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A 1A ，A 1B 1，A 1D 1平行，故正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的每条棱所在直线与平面AB 1D 1所成的角都相等．取棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，DD 1，AD 的中点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面AB 1D 1平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22sin60°＝334.3.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为4，点H 在棱AA 1上，且HA 1＝1.点E ，F 分别为棱B 1C 1，C 1C 的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一动点，且满足PE ⊥PF .则当点P 运动时，HP 2的最小值是________．答案 27－6 2 解析 连结EF ，因为PE ⊥PF ，所以点P 在以EF 为直径的圆上． 如图，以EF 为直径在平面BCC 1B 1内作圆． 该圆的圆心为EF 的中点M ， 半径r ＝ 2.过点H 引BB 1的垂线，垂足为G ，连结GP ，则HG ＝4. 在Rt △HGP 中，HP 2＝HG 2＋GP 2＝16＋GP 2， 因此当GP 最小时，HP 取得最小值． 因为点G 到圆心M 的距离为3， 所以GP 的最小值为3－ 2.所以HP 2的最小值为(3－2)2＋16＝27－6 2.4．定长为4的线段MN 的两端点在抛物线y 2＝x 上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴距离的最小值为________． 答案 74解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，抛物线y 2＝x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫14，0，抛物线的准线方程为x ＝－14，所求的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22＝x 1＋14＋x 2＋142－14＝MF ＋NF 2－14，所以MF ＋NF 2－14≥MN 2－14＝74(M ，N ，F 三点共线时取等号)． 经验证，M ，N ，F 三点可共线，等号可取到．二、逻辑推理、数学运算素养3 逻辑推理例3 (1)(2018·南京师大附中模拟)“a ＝1”是“函数f (x )＝x ＋1x＋sin x －a 2为奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 当a ＝1时，f (x )＝1x ＋sin x ，此时f (x )为奇函数；又当a ＝－1时，f (x )＝1x＋sin x ，f (x )仍为奇函数．故a ＝1是函数f (x )＝x ＋1x＋sin x －a 2为奇函数的充分不必要条件．(2)已知命题：平面上一矩形ABCD 的对角线AC 与边AB 和AD 所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.若把它推广到空间长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面A 1B 1BA ，平面A 1B 1C 1D 1，平面A 1D 1DA 所成的角分别为α，β，γ，试写出相应的正确结论：________________________________________________________________________.答案 cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2解析 cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝A 1B 2A 1C 2＋A 1C 21A 1C 2＋A 1D 2A 1C 2＝A 1C 21＋A 1D 2＋A 1B 2A 1C 2＝(A 1D 21＋D 1C 21)＋(A 1D 21＋DD 21)＋(A 1B 21＋BB 21)A 1C 2＝2(A 1D 21＋A 1B 21＋A 1A 2)A 1C 2＝2A 1C 2A 1C 2＝2.5.如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n (n ≥2)行的第2个数为________．答案 n 2－2n ＋3解析 观察首尾两数都是1,3,5,7，…，可知第n 行的首尾两数均为2n －1. 设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2n －3，∴上式相加，得a n －a 2＝3＋5＋7＋…＋(2n －3)＝3＋2n －32×(n －2)＝n (n －2)，∴a n ＝3＋(n －2)n ＝n 2－2n ＋3.6．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去北京参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考得好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了． 答案 乙，丙解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错．如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为乙，丙．素养4 数学运算例4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，2＋log ax ，x >2(a >0且a ≠1)的最大值为1，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析 当x ≤2时，f (x )＝x －1， 所以f (x )max ＝f (2)＝1.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，2＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的最大值为1，所以当x >2时，2＋log a x ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 2≤－1，解得a ∈⎣⎡⎭⎫12，1. (2)(2018·江苏泰州中学调研)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在区间(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝0.设g (x )＝cos 2x ＋m sin x －2m ，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，g (x )<0，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (g (x ))<0，则M ∩N ＝________. 答案 {m |m >4－22} 解析 易得f (1)＝f (－1)＝0， 所以由f (x )<0，得x <－1或0<x <1，由此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，g (x )<－1或0<g (x )<1， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，g (x )<－1， 即∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，g (x )＝cos 2x ＋m sin x －2m <－1恒成立， 即1－sin 2x ＋m sin x －2m ＋1<0， 所以sin 2x －m sin x ＋2m －2>0. 令t ＝sin x ∈[0,1]，则t 2－mt ＋2m －2>0对t ∈[0,1]恒成立，所以m >⎝ ⎛⎭⎪⎫2－t 22－t max . 令2－t ＝s ∈[1,2]，所以2－t 22－t ＝2－(2－s )2s ＝－s 2＋4s －2s＝4－⎝⎛⎭⎫s ＋2s ≤4－22， 所以M ∩N ＝{m |m >4－22}．7．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若cos β＝－13，sin(α＋β)＝79，则sin α＝________. 答案 13解析 由cos β＝－13，sin(α＋β)＝79，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 可得sin β＝223，cos(α＋β)＝－429，所以sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)·sin β＝79×⎝⎛⎭⎫－13－⎝⎛⎭⎫－429×223＝13. 8．(2018·江苏省盐城中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，F 1，F 2分别为其左、右焦点，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，直线AB 的斜率为－1.(1)若直线AB 与椭圆的右准线交于点C 且CF 1→·CF 2→＝24，求椭圆的标准方程； (2)若OA 2＋OB 2<AB 2，求a 2的取值范围． 解 (1)由题意可知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由直线AB ：y ＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0，抛物线右准线方程为x ＝a 2， 得C (a 2,1－a 2)，又CF 1→＝(－1－a 2，a 2－1)，CF 2→＝(1－a 2，a 2－1)， CF 1→·CF 2→＝24，得(a 2)2－1＋(a 2－1)2＝24，∴a 2＝4，椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵OA 2＋OB 2<AB 2，∴cos ∠AOB ＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB <0，∴∠AOB 为钝角， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2<0.联立直线与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －1)，b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，得b 2x 2＋a 2(x －1)2＝a 2b 2，其中c ＝1， 整理可得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋(a 2－a 2b 2)＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2－a 2b 2a 2＋b 2，∴y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1 ＝2×a 2－a 2b 2a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1，代入c ＝1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝4a 2－2a 4－2a 22a 2－1＋1<0，∴2a 4－4a 2＋1>0，解得a 2>2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<2－22<1舍去.三、数学建模、数据分析素养5 数学建模例5 (1)(2018·江苏省启东中学模拟)某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x 件(x ∈N *)与单价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元．要使日获利不少于1300元，则该厂日产量的最小值为________件． 答案 20解析 由题意，得(160－2x )·x －(500＋30x )≥1300， 解得20≤x ≤45，故该厂日产量的最小值为20件．(2)某音乐喷泉喷射的水柱呈抛物线形，它在每分钟内随时间t (s)的变化规律大致可用y ＝－⎝⎛⎭⎫1＋4sin 2t π60x 2＋20⎝⎛⎭⎫sin t π60x (t 为时间参数，x 的单位为m)来描述．其中地面可作为x 轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y 轴． ①试求此喷泉喷射的水在地面上形成圆形的半径的最大值；②若计划在一建筑物前维修一个矩形花坛，并在花坛内装两个这样的喷水器(如图所示)，如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？解 ①当y ＝0时，x ＝20sint π601＋4sin 2t π60＝20sin －1t π60＋4sint π60(x ＝0舍去)，因为当t ∈(0,60)时，sin t π60∈(0,1]，故sin－1t π60＋4sin t π60≥4， 从而当sin t π60＝12，即t ＝10或t ＝50时，x 取得最大值5. 所以此喷泉喷射的圆形的半径的最大值为5m. ②设花坛的长、宽分别为a m ，b m ，根据要求，可知矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界． 由题意得⎝⎛⎭⎫a 42＋⎝⎛⎭⎫b 22＝25(a >0，b >0)，则问题转化为在a >0，b >0，a 24＋b 2＝100的条件下，求S ＝ab 的最大值．因为S ＝ab ＝2·a 2·b ≤a 24＋b 2＝100，当且仅当⎩⎨⎧ a 2＝b ，a 24＋b 2＝100及a >0，b >0，即⎩⎨⎧a ＝102，b ＝52时， S 取得最大值100.故当花坛的长为102m ，宽为52m 时，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心时符合要求．9．(2018·江苏省泰州中学调研)将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有1个球的概率为________．答案 29解析 将两球随机放进3个盒子共有9种可能性，1,2号盒子各有1个球共2种可能性，故所求概率P ＝29. 10．(2018·南京师大附中模拟)如图，A ，B ，C 三个警亭有直道相通，已知A 在B 的正北方向6千米处，C 在B 的正东方向63千米处．(1)警员甲从C 出发，沿CA 行至点P 处，此时∠CBP ＝45°，求PB 的距离；(2)警员甲从C 出发沿CA 前往A ，警员乙从A 出发沿AB 前往B ，两人同时出发，甲的速度为3千米/时，乙的速度为6千米/时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A 时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，求两人通过对讲机能保持联系的总时长．解 (1)在△ABC 中，AB ＝6，A ＝60°，∠APB ＝75°，由正弦定理知，AB sin ∠APB ＝BP sin A， 即BP ＝AB sin A sin ∠APB ＝6sin60°sin75°＝6×322＋64＝1236＋2＝123(6－2)4＝33(6－2)， 故PB 的距离是92－36千米．(2)甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时．设甲、乙之间的距离为f (t )，要保持通话则需要f (t )≤9.①当0≤t ≤1时，f (t )＝(6t )2＋(12－3t )2－2·6t ·(12－3t )cos60°＝37t 2－16t ＋16≤9，即7t 2－16t ＋7≤0，解得8－157≤t ≤8＋157， 又t ∈[0,1]，所以8－157≤t ≤1， 时长为15－17小时． ②当1<t ≤4时，f (t )＝36＋(12－3t )2－2·6(12－3t )cos60°＝3t 2－6t ＋12≤9，即t 2－6t ＋3≤0，解得3－6≤t ≤3＋6，又t ∈(1,4]，所以1<t ≤4，时长为3小时．故两人通过对讲机能保持联系的总时长为3＋15－17＝15＋207(小时)． 答 两人通过对讲机能保持联系的总时长是15＋207小时． 素养6 数据分析例6 (1)(2018·江苏省扬州中学模拟)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，下图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的为一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为________．答案 100解析 根据频率分布直方图可知，三等品的件数n ＝[1－(0.05＋0.062 5＋0.037 5)×5]×400＝100.(2)某工厂生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：现知道A ，B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等，则xy ＝________. 答案 72解析 x A ＝15(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8， x B ＝15(6＋x ＋8.5＋8.5＋y )， 由x A ＝x B ，得x ＋y ＝17，①s 2A ＝15(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1， s 2B ＝15[4＋(x －8)2＋0.25＋0.25＋(y －8)2]， 由s 2A ＝s 2B ，得(x －8)2＋(y －8)2＝1，② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8，y ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝8，所以xy ＝72.11．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语口语测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则甲、乙两组数据的方差较小的是________．答案 乙解析 由题意可知，甲组数据的平均数为9＋12＋(10＋x )＋24＋275＝17， 解得x ＝3；而乙组数据的中位数为10＋y ＝17，解得y ＝7，所以乙组数据的平均数为9＋15＋17＋18＋265＝17. 所以甲组数据的方差为15[(9－17)2＋(12－17)2＋(13－17)2＋(24－17)2＋(27－17)2]＝50.8，乙组数据的方差为15[(9－17)2＋(15－17)2＋(17－17)2＋(18－17)2＋(26－17)2]＝30. 因为50.8>30，所以乙组数据的方差较小．12．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用25h ，种植一捆沙棘树苗用12h ．应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短．解 设A 组人数为x ，则B 组人数为52－x ，且0<x <52，x ∈N *，所以A 组活动所需时间f (x )＝150×25x ＝60x； B 组活动所需时间g (x )＝200×1252－x ＝10052－x. 令f (x )＝g (x )，即60x ＝10052－x ，解得x ＝392. 所以两组同时开始的植树活动所需时间F (x )＝⎩⎨⎧ 60x ，x ≤19，x ∈N *，10052－x ，x ≥20，x ∈N *，而F (19)＝6019，F (20)＝258，故F (19)>F (20)． 所以当A ，B 两组人数分别为20,32时，植树活动持续时间最短．。
(通用版)2019版高考二轮数学(文)检测试卷汇编目录2019版二轮复习数学(文)通用版：附：4套“12＋4”限时提速练含解析专题检测（一） 集合、复数、算法一、选择题1．(2018·福州质检)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |－1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝{1,3}，所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i 1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i.3．(2019届高三·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53解析：选D z ＝a1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝U C ．∁U B ⊆AD ．∁U A ⊆B解析：选A 由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，所以B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝∅， A ∪B ＝{x |x >－2}，∁U B ＝{x |x ≥1或x ≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x |x <1}，B ⊆∁U A ，故选A.5．(2019届高三·武汉调研)已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－iB ．1＋iC.43－iD.43＋i解析：选D 设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i.6.(2018·开封高三定位考试)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的a ＝( )A ．0B ．25C ．50D ．75解析：选B 初始值：a ＝675，b ＝125，第一次循环：c ＝50，a ＝125，b ＝50；第二次循环：c ＝25，a ＝50，b ＝25；第三次循环：c ＝0，a ＝25，b ＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a 的值为25.7．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：选B ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0， ∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}． 则∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B.8．(2018·益阳、湘潭调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0,2)B ．[2,4]C ．(－∞，－1)D ．(－∞，4]解析：选A 集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0<x ≤4}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}，则∁U B ＝{x |－1<x <2}．所以A ∩∁U B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．9．(2019届高三·南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图，若输出的结果s ＝132，则判断框中可以填( )A ．i ≥10?B ．i ≥11?C ．i ≤11?D ．i ≥12?解析：选B 执行程序框图，i ＝12，s ＝1；s ＝12×1＝12，i ＝11；s ＝12×11＝132， i ＝10.此时输出的s ＝132，则判断框中可以填“i ≥11？”．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 执行程序框图，第一步：n ＝12，i ＝1，满足条件n 是3的倍数，n ＝8，i ＝2，不满足条件n ＞123； 第二步：n ＝8，不满足条件n 是3的倍数，n ＝31，i ＝3，不满足条件n ＞123； 第三步：n ＝31，不满足条件n 是3的倍数，n ＝123，i ＝4，不满足条件n ＞123； 第四步：n ＝123，满足条件n 是3的倍数，n ＝119，i ＝5，不满足条件n ＞123； 第五步：n ＝119，不满足条件n 是3的倍数，n ＝475，i ＝6，满足条件n ＞123，退出循环，输出i 的值为6.11．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A ．15B ．16C ．28D ．25解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15. 12．(2018·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.13．(2018·安徽知名示范高中联考)执行如图所示的程序框图，如果输出的n ＝2，那么输入的a 的值可以为()A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 执行程序框图，输入a ，P ＝0，Q ＝1，n ＝0，此时P ≤Q 成立，P ＝1， Q ＝3，n ＝1，此时P ≤Q 成立，P ＝1＋a ，Q ＝7，n ＝2.因为输出的n 的值为2，所以应该退出循环，即P >Q ，所以1＋a >7，结合选项，可知a 的值可以为7，故选D.14．(2019届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( )A ．1B ．0C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝i.15．(2018·新疆自治区适应性检测)沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛．沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式．图1是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了a 个酒缸，短边放置了b 个酒缸，共放置了n 层．某同学根据图1，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如图2，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A ．i <n ？和S ＝S ＋a ·bB ．i ≤n ？和S ＝S ＋a ·bC ．i ≤n ？和S ＝a ·bD ．i <n ？和S ＝a ·b解析：选B 观察题图1可知，最下面一层酒缸的个数为a ·b ，每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1，累加即可，故执行框中应填S ＝S ＋a ·b ；计算到第n 层时，循环n 次，此时i ＝n ，故判断框中应填i ≤n ？，故选B.16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|x 2＋y 2＝π24，y ≥0，B ＝{(x ，y )|y ＝tan(3π＋2x )}，C ＝A ∩B ，则集合C 的非空子集的个数为( )A ．4B ．7C ．15D ．16解析：选C 因为B ＝{(x ，y )|y ＝tan(3π＋2x )}＝{(x ，y )|y ＝tan 2x }，函数y ＝tan 2x 的周期为π2，画出曲线x 2＋y 2＝π24，y ≥0与函数y ＝tan 2x 的图象(如图所示)，从图中可观察到，曲线x 2＋y 2＝π24，y ≥0与函数y ＝tan 2x 的图象有4个交点．因为C ＝A ∩B ，所以集合C 中有4个元素，故集合C 的非空子集的个数为24－1＝15，故选C.二、填空题 17．已知复数z ＝1＋3i2＋i，则|z |＝________. 解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2. 答案： 218．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}． 答案：{(2,3)}19．已知复数z ＝x ＋4i(x ∈R )(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z |＝5，则z1＋i的共轭复数为________． 解析：由题意知x ＜0，且x 2＋42＝52， 解得x ＝－3，∴z1＋i ＝－3＋4i 1＋i ＝(－3＋4i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋72i ，故其共轭复数为12－72i.答案：12－72i20．已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A ＝________； (2)有序集合对(A ，B )的个数是________．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A ＝{6}． (2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个； 当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个； 当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个； 当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个． 综上可知，有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32. 答案：(1){6} (2)32专题检测（三） 不等式一、选择题1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式 x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．－3解析：选D 由题意得，不等式x 2－2x －3＜0的解集A ＝(－1，3)，不等式x 2＋x －6＜0的解集B ＝(－3,2)，所以A ∩B ＝(－1,2)，即不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为(－1,2)，所以a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.2．若x >y >0，m >n ，则下列不等式正确的是( ) A ．xm >ym B ．x －m ≥y －n C.x n >y mD ．x >xy解析：选D A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为0或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为m ，n 的正负不确定．故选D.3．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a ≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( )A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：选D ∵－2 ∉ p ，∴－2－3－2＋a<1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.4．(2018·成都一诊)若关于x 的不等式x 2＋2ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[0，＋∞)解析：选B 法一：当x ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当x ＞0时，x 2＋2ax ＋1≥0⇒2ax ≥－(x 2＋1)⇒2a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2a ≥－2⇒a ≥－1，所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．法二：设f (x )＝x 2＋2ax ＋1，函数图象的对称轴为直线x ＝－a .当－a ≤0，即a ≥0时，f (0)＝1＞0，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥0恒成立； 当－a ＞0，即a ＜0时，要使f (x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f (－a )＝a 2－2a 2＋1＝ －a 2＋1≥0，得－1≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ＞0，2x －1，x ≤0，若不等式f (x )＋1≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[－2,2]C ．(－∞，2]D ．[0,2]解析：选C 由f (x )≥－1在R 上恒成立，可得当x ≤0时，2x －1≥－1，即2x ≥0，显然成立；又x ＞0时，x 2－ax ≥－1，即为a ≤x 2＋1x ＝x ＋1x ，由x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时，取得最小值2，可得a ≤2，综上可得实数a 的取值范围为(－∞，2]．6．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，故选C.法二：由1a <1b <0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <1ab，故①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．7．(2018·长春质检)已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫ 4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.8．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0， x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则A (1,2)，B (1，－1)，C (3,0)， 因为目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，所以目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 处取得，所以若在A 处取得，则k －2＝0，得k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；若在B 处取得，则k ＋1＝0，得k ＝－1，此时，z ＝－x －y ， 在B 点取得最大值，故不成立，故选B.9．(2019届高三·湖北五校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A ．15万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，获利润z 万元，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8， x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝3x ＋4y 过点M 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2,3)， 故z ＝3x ＋4y 的最大值为18，故选D.10．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，若y ≥kx －3恒成立，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－115，0 B.⎣⎡⎦⎤0，113 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫115，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－115∪[0，＋∞)解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0， x ＋y ≥0，x ≤3，作出可行域如图中阴影分部所示， 则A ⎝⎛⎭⎫－52，52，B (3，－3)，C (3,8)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3≥3k －3，52≥－ 52k －3，解得－115≤k ≤0.所以实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－115，0.11．若两个正实数x ，y 满足13x ＋3y ＝1，且不等式x ＋y 4－n 2－13n 12＜0有解，则实数n 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－2512，1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－2512∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－2512 解析：选B 因为不等式x ＋y 4－n 2－13n12＜0有解，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min ＜n 2＋13n12， 因为x ＞0，y ＞0，且13x＋3y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫13x ＋3y ＝1312＋3x y ＋y 12x ≥1312＋2 3x y ·y 12x ＝2512， 当且仅当3x y ＝y 12x ，即x ＝56，y ＝5时取等号，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min ＝2512， 故n 2＋13n 12－2512＞0，解得n ＜－2512或n ＞1， 所以实数n 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－2512∪(1，＋∞)． 12．(2019届高三·福州四校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，其中a ＞0，若x －yx ＋y的最大值为2，则a 的值为( ) A.12 B.14C.38D.59解析：选C 设z ＝x －yx ＋y ，则y ＝1－z 1＋z x ，当z ＝2时，y ＝－13x ，作出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3≤0，2x －2y －1≤0，x －a ≥0，所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－13x ，易知此直线与区域的边界线2x －2y －1＝0的交点为⎝⎛⎭⎫38，－18，当直线x ＝a 过点⎝⎛⎭⎫38，－18时，a ＝38，又此时直线y ＝1－z 1＋z x 的斜率1－z 1＋z 的最小值为－13，即－1＋2z ＋1的最小值为－13，即z 的最大值为2，符合题意，所以a 的值为38，故选C.二、填空题13．(2018·岳阳模拟)不等式3x －12－x≥1的解集为________． 解析：不等式3x －12－x ≥1可转化成3x －12－x －1≥0，即4x －32－x≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(4x －3)(x －2)≤0，2－x ≠0，解得34≤x ＜2，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ＜2. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x ＜2 14．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则关于x 的不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0的解集为________．解析：由题意知－1，12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－12＝－b a ，－12＝ca ，且a ＜0，所以⎩⎨⎧b ＝12a ，c ＝－12a .所以不等式c (lg x )2＋lg x b ＋a ＜0化为 －12a (lg x )2＋b lg x ＋a ＜0， 即－12a (lg x )2＋12a lg x ＋a ＜0.所以(lg x )2－lg x －2＜0，所以－1＜lg x ＜2，所以110＜x ＜100.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |110＜x ＜10016．设x ＞0，y ＞0，且⎝⎛⎭⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y 2＝________. 解析：∵x ＞0，y ＞0，∴当x ＋1y 取最小值时，⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2取得最小值， ∵⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y 2＋2xy ，⎝⎛⎭⎫x －1y 2＝16y x ， ∴x 2＋1y2＝2x y ＋16yx ，⎝⎛⎭⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x ≥2 4x y ·16yx＝16， ∴x ＋1y ≥4，当且仅当4x y ＝16y x ，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y 取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y 2＋2×2yy ＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.答案：12专题检测（四）常用逻辑用语、推理与证明、函数的实际应用一、选择题1．(2018·南宁联考)命题“∃x0∈R，x0＋cos x0－e x0>1”的否定是()A．∃x0∈R，x0＋cos x0－e x0<1B．∃x0∈R，x0＋cos x0－e x0≥1C．∀x∈R，x＋cos x－e x≥1D．∀x∈R，x＋cos x－e x≤1解析：选D因为所给命题是一个特称命题，所以其否定是一个全称命题，即“∀x∈R，x＋cos x－e x≤1”．2．(2018·长春质检)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.3．(2018·南昌调研)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.4．(2018·安徽八校联考)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了()A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇解析：选C若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.5．下列命题是真命题的是()A．∀x∈(2，＋∞)，x2>2xB．“x2＋5x－6>0”是“x>2”的充分不必要条件C．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件D．a⊥b的充要条件是a·b＝0解析：选C A选项，当x＝4时，x2与2x显然相等．B选项，由x2＋5x－6>0，得{x|x>1或x<－6}，{x|x>2}⊆{x|x>1或x<－6}，故“x2＋5x－6>0”是“x>2”的必要不充分条件．C 选项，当a1<0，q>1时，数列{a n}递减；当a1<0，数列{a n}递增时，0<q<1.D选项，当a＝0或b＝0时，a·b＝0但不垂直，故选C.6．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．7．给出下面四个类比结论：①实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比复数z1，z2，若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0.②实数a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0；类比向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.③实数a ，b ，有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比复数z 1，z 2，有z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.④实数a ，b ，有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比向量a ，b ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0.其中类比结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 对于①，显然是正确的；对于②，若向量a ，b 互相垂直，则a ·b ＝0，所以②错误；对于③，取z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝0，所以③错误；对于④，若a 2＋b 2＝0，则|a |＝|b |＝0，所以a ＝b ＝0，故④是正确的．综上，类比结论正确的个数是2.8．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q (x )(台)进行统计，得数据如下：根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q (x )(台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数是( )A ．Q (x )＝ax ＋b (a ≠0)B ．Q (x )＝a |x －4|＋b (a ≠0)C ．Q (x )＝a (x －3)2＋b (a ≠0)D ．Q (x )＝a ·b x (a ≠0，b >0且b ≠1)解析：选C 观察数据可知，当x 增大时，Q (x )的值先增大后减小，且大约是关于Q (3)对称，故月销售量Q (x )(台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x ＝3对称的，显然只有选项C 满足题意，故选C.9．(2018·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.10．在下列结论中，正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→，则O 是△ABC 的垂心；③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的充分不必要条件；④命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确． ∵OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→，∴OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝0，即OB ―→·CA ―→＝0， ∴OB ―→⊥CA ―→.同理可知OA ―→⊥BC ―→，OC ―→⊥BA ―→，故点O 是△ABC 的垂心，∴②正确． ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x是减函数，∴当M >N 时，⎝⎛⎭⎫23M <⎝⎛⎭⎫23N ，当⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N 时，M <N . ∴“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的既不充分也不必要条件，∴③错误． 由逆否命题的写法可知，④正确． ∴正确的结论有3个．11．(2018·福州高三期末考试)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋2y ≤2的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x －2y ≥2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x －2y ≥3； p 3：∀(x ，y )∈D ，x －2y ≥23；p 4：∃(x ，y )∈D ，x －2y ≤－2. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3解析：选A 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝43，y ＝13，所以M ⎝⎛⎭⎫43，13.由图可知，当直线z ＝x －2y 过点M ⎝⎛⎭⎫43，13时， z 取得最小值，且z min ＝43－2×13＝23，所以真命题是p 2，p 3，故选A.12．一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，其正视图如图所示．小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看作一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器最高水位h 与注水时间t 之间关系的大致图象是( )解析：选C 向玻璃杯内匀速注水，水面逐渐升高，当玻璃杯中水满时，开始向塑料桶内流，这时水位高度不变，因为杯子和桶底面半径比是1∶2，则底面积的比为1∶4，在高度相同情况下体积比为1∶4，杯子内水的体积与杯子外水的体积比是1∶3，所以高度不变时，杯外注水时间是杯内注水时间的3倍，当桶的水面高度与玻璃杯的水面高度一样后，继续注水，水面高度再升高，升高的速度开始慢，结合图象知选C.13．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：选B 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.14．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式，例如25＝13＋115.可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，若每人分得一个面包的12，不够，若每人分得一个面包的13，还余13，再将这13分成5份，每人分得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9，11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145，按此规律，2n ＝( ) A.2n ＋1＋2n (n ＋1) B.1n ＋1＋1n (n ＋1)C.1n ＋2＋1n (n ＋2)D.12n ＋1＋1(2n ＋1)(2n ＋3)解析：选A 根据分面包原理知，等式右边第一个数的分母应是等式左边数的分母加1的一半，第二个数的分母是第一个数的分母与等式左边数的分母的乘积，两个数的原始分子都是1，即2n ＝1n ＋12＋1n (n ＋1)2＝2n ＋1＋2n (n ＋1).15．一个人骑车以6 m/s 的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车，当他离汽车25 m 时，交通信号灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同)，若汽车在时刻t 的速度v (t )＝t (m/s)，那么此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．不能追上汽车，但其间最近距离为16 mC ．不能追上汽车，但其间最近距离为14 mD ．不能追上汽车，但其间最近距离为7 m解析：选D 因为汽车在时刻t 的速度v (t )＝t (m/s)，所以加速度a ＝v (t )t ＝1，所以汽车是匀加速运动，以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为S 1＝－25＋6t ，汽车在时间t 内的位移为S 2＝t 22，故设相对位移为y m ，则y ＝－25＋6t －t 22＝－12(t －6)2－7，故不能追上汽车，且当t ＝6时，其间最近距离为7 m ，故选D.16．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……共得到60个组合，周而复始，循环记录．已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( )A ．己亥年B ．戊戌年C ．辛丑年D ．庚子年解析：选D 由题知，天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年为甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2020年，经过了6年，所以天干中的甲变为庚，地支中的午变为子，即2020年是庚子年，故选D.二、填空题17．(2018·沈阳质检)在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________.解析：令S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°， ① S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°， ② 则①＋②得2S ＝89，S ＝892. 答案：89218．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：_____________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点19．命题p ：“∀x ∈R ，ax 2－2ax ＋3>0恒成立”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”，若p ∨q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为p ∨q 为假命题，所以命题p 和q 都是假命题，命题p 是真命题的充要条件是a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－12a <0⇒0≤a <3，所以其为假的充要条件是a <0或a ≥3，命题q 的否定是真命题，即∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0，则Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3，所以－1≤a <0或a ＝3.答案：[－1,0)∪{3}20．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．解析：设利润为y 元，租金定为3 000＋50x (0≤x ≤70，x ∈N )元．则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝ ⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22＝204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．答案：3 30021．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b ，48＝e 22k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24. 答案：2422．使用“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排位：□，○，□，○，○，○，□，○，○，○，○，○，□，○，○，○，○，○，○，○，…，若每一个“□”或“○”占一个位置，如上述图形中，第1位是“□”，第4位是“○”，第7位是“□”，则第 2 019位之前(不含第2 019位)，共有______个“○”．解析：记“□，○”为第1组，“□，○，○，○”为第2组，“□，○，○，○，○，○”为第3组，以此类推，第k 组共有2k 个图形，故前k 组共有k (k ＋1)个图形，因为44×45＝1 980<2 018<45×46＝2 070，所以在这2 018个图形中有45个“□”，1 973个“○”．答案：1 97323．(2018·东北三校联考)甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A ，B ，C ，已知：①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作； ②在哈尔滨工作的教师不教C 学科； ③在长春工作的教师教A 学科； ④乙不教B 学科．可以判断乙教师所在的城市和所教的学科分别是________________．解析：由于乙不在长春工作，而在长春工作的教师教A 学科，则乙不教A 学科；又乙不教B 学科，所以乙教C 学科，而在哈尔滨工作的教师不教C 学科，故乙在沈阳教C 学科．综上可知，乙教师所在的城市为沈阳，所教的学科为C .答案：沈阳、C24．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用12项能力特征加以描述．每名学生的第i (i ＝1,2，…，12)项能力特征用x i 表示，x i ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，如果某学生不具有第i 项能力特征，1，如果某学生具有第i 项能力特征.若学生A ，B 的12项能力特征分别记为A ＝(a 1，a 2，…，a 12)，B ＝(b 1，b 2，…，b 12)，则A ，B 两名学生的不同能力特征项数为________(用a i ，b i 表示)．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为________．解析：若第i (i ＝1,2，…，12)项能力特值相同，则差为0，特征不同，差的绝对值为1，则用a i ，b i 表示A ，B 两名同学的不同能力特征项数为：|a 1－b 1|＋|a 2－b 2|＋|a 3－b 3|＋…＋|a 11－b 11|＋|a 12－b 12|＝∑i ＝112|a i －b i |.设第三个学生为C ＝(c 1，c 2，…，c 12)，则d i ＝|a i －b i |＋|b i －c i |＋|c i －a i |,1≤i ≤12，因为d i 的奇偶性与a i －b i ＋b i －c i ＋c i －a i ＝0一样，所以d i 是偶数，3名学生两两不同能力特征项数总和为S ＝d 1＋d 2＋…＋d 12为偶数，又S ≥3×7＝21，则S ≥22，取A ＝(0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1)，B ＝(1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1)，C ＝(1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1)，则不同能力特征项数总和正好为22.答案： i ＝112|a i －b i | 22专题检测（五） 函数的图象与性质A 组——“12＋4”满分练一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，所以f (－2)＝－(－2)＝2，所以f (f (－2))＝f (2)＝22＝4.2．(2018·潍坊统一考试)下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x |解析：选B 因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A 、C ，又y ＝－x 2＋1在 (0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.3．已知函数f (x )＝4|x |，g (x )＝2x 2－ax (a ∈R )．若f (g (1))＝2，则a ＝( ) A ．1或52B.52或32C ．2或52D ．1或32解析：选B 由已知条件可知f (g (1))＝f (2－a )＝4|2－a |＝2，所以|a －2|＝12，得a ＝52或32.4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的定义域和值域都是[1，a ]，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，所以f (x )在[1，a ]上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.5．(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D 法一：令f (x )＝－x 4＋x 2＋2， 则f ′(x )＝－4x 3＋2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±22，则f ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫0，22， f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞，f (x )单调递减，结合图象知选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A 、B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316>2，所以排除C 选项．故选D.6.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得a ×(－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，∴a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.7．设函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a ＞0且a ≠1)是偶函数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选A 法一：因为函数f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )(x ∈R ，a ＞0且a ≠1)是偶函数， 所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立， 所以－x 3(a －x ＋m ·a x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )，即x 3(1＋m )(a x ＋a －x )＝0对任意的x ∈R 恒成立， 所以1＋m ＝0，即m ＝－1.法二：因为f (x )＝x 3(a x ＋m ·a －x )是偶函数，所以g (x )＝a x ＋m ·a －x 是奇函数，且g (x )在x ＝0处有意义， 所以g (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.8．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x ＞0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516 B ．3 C ．－6364或3 D ．－1516或3 解析：选A 当a ＞0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a ＞0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.9．函数f (x )＝1sin x －x的图象大致为( )解析：选A 由题意知，函数f (x )为奇函数，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除C 、D ，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1sin π2－π2＜0，故排除选项B. 10．已知函数f (x )在(－1,1)上既是奇函数，又是减函数，则满足f (1－x )＋f (3x －2)＜0的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞D.⎝⎛⎭⎫34，1解析：选B 由已知得f (3x －2)＜f (x －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜3x －2＜1，－1＜x －1＜1，3x －2＞x －1，解得12＜x ＜1，故选B.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3(a －3)x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x ＞1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1,3)解析：选D 由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，得函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，3(a －3)＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D. 12．(2018·洛阳一模)已知a ＞0，设函数f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 017B ．2 019C ．4 038D ．4 036解析：选D 由题意得f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1＝2 019－22 019x ＋1.因为y ＝2 019x ＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以f (x )＝2 019－22 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以M ＝f (a )，N ＝f (－a )， 所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 038－22 019a ＋1－22 019－a ＋1＝4 036. 二、填空题 13．函数y ＝log 5(x ＋1)5－x的定义域是________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，5－x ＞0得－1＜x ＜5，∴函数y ＝log 5(x ＋1)5－x 的定义域是(－1,5)．答案：(－1,5)14．函数f (x )＝ln 1|x |＋1的值域是________．解析：因为|x |≥0，所以|x |＋1≥1. 所以0＜1|x |＋1≤1.所以ln 1|x |＋1≤0，即f (x )＝ln 1|x |＋1的值域为(－∞，0]．答案：(－∞，0]15．(2018·福州质检)已知函数f (x )对任意的x ∈R 都满足f (x )＋f (－x )＝0，f ⎝⎛⎭⎫x ＋32为偶函数，当0＜x ≤32时，f (x )＝－x ，则f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：依题意，f (－x )＝－f (x )， f ⎝⎛⎭⎫－x ＋32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， 所以f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝f (x )， 所以f (2 017)＝f (1)＝－1，f (2 018)＝f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＋32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋32＝f (1)＝－1，所以f (2 017)＋f (2 018)＝－2. 答案：－216．若当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象始终在函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象的下方，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝(x －1)2和y ＝log a x 的图象，由于当x ∈(1,2)时，函数y ＝(x －1)2的图象恒在函数y ＝log a x 的图象的下方，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2.答案：(1,2]B 组——“12＋4”提速练一、选择题1．已知函数f (x )的定义域为[3,6]，则函数y ＝f (2x )log 12(2－x )的定义域为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎭⎫32，2C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎣⎡⎭⎫12，2解析：选B 要使函数y ＝f (2x )log 12(2－x )有意义，需满足⎩⎨⎧3≤2x ≤6，log 12(2－x )＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0＜2－x ＜1，解得32≤x ＜2.2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 与y ＝log a a x (a ＞0且a ≠1)B ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3C ．y ＝x 2－8与y ＝x －8D ．y ＝ln x 与y ＝12ln x 2解析：选A 对于选项A ，y ＝x 与y ＝log a a x ＝x (a ＞0且a ≠1)的定义域都为R ，解析式相同，故A 中两函数表示同一函数；B 、D 中两函数的定义域不同；C 中两函数的对应法则不同，故选A.3．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝1x －x B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝2x解析：选A “∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”等价于f (x )在(0，＋∞)上为减函数，易判断f (x )＝1x －x 满足条件．4．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选D 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，令x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝log 2(－x ＋1)， 因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)， 所以g (x )＝－log 2(－x ＋1)(x ＜0)， 所以f (－7)＝g (－7)＝－log 2(7＋1)＝－3， 所以g (－3)＝－log 2(3＋1)＝－2.5．(2018·合肥质检)函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )。
A. —176.通过随机询问B. C. D.最新高三下学期第二次模拟考试数学试题(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|a—1 ExEa+2},B ={x|3<x <5},则使得A m B成立的实数a的取值范围是( )A.〔a|3；a£4)B. ：a|3 ：a：：4)C. ：a|3<a<4?D..一2.复数三1=A + Bi (A,B w R ),则A + B的值是()12iA. 6B. 0C. -- D -45 53.对于函数y = f (x),x W R, " y =|f (x)的图象关于y轴对称"，是“ y = f (x )是奇函数”的()A.充分而不必有条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.根据下列算法语句：x = input ("x =" 'if x <= 50y =0.5* xelsey=25 +0.6*(x-50 ] endpr int(%io(2), y).当输入x为60时，输出的y的值为( )A.25B. 30C. 31D. 614 4 * * d 』5.已知a = (—3,2 ),b = (—1,0 ),向量入a+b与a—2b垂直，则实数人的值为( )100 10 30-20 4050 50 30 70参考上面附表得出的正确结论是（）A.在犯错的概率不超过 5%的前提下，认为“是否爱好吃零食与性别有关”B.在犯错的概率不超过 5%的前提下，认为“是否爱好吃零食与性别无关C.有97.5%以上的把握认为“是否爱好吃零食与性别有关”D.有97.5%以上的把握认为“是否爱好吃零食与性别无关”1 ，， 7 .已知各项均为正数的数列 {4},其前n 项和为Sn , &,an, —且成等差数列，则数列1^口}的通项公2式为（）A.2nB. 2n2 C. 2n' D"N 18 .某单位有职工750人，其中青年职工 350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单 位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为 7人，则样本容量为（）A. 15B. 15人的身体健康状况C. 750人D.750人的身体健康状况一 ....1 39 .已知a =log 8 2,b =log 8 —,c =一,则三个数a,b,c 的大小关系正确的是()2 4A. a :: c :: bB. b :: a :: cC. a :: b :: cD. b :: c :: a10 .某几何体的三视图如图所示，当 xy 取最大值时，该几何体的体积为（）A. 2、, 7B. 4.7C. 8,7D. 16.711 .已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,抛物线白准线与 x 轴的交点为P,以坐标原点 。
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019高三第二轮复习测试试卷文科数学(五)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为实数集，集合，，则集合为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合B，再根据集合并集以及补集概念求结果.【详解】由，，所以，所以，故选D．【点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2.在复平面内，复数的对应点坐标为，则复数为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则求结果.【详解】易知，，故选B．【点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.函数的零点是A. 或B. 或C.D. 或【答案】D【解析】【分析】先解二次方程得值，再根据对数方程得结果.【详解】，由得或，而函数零点指的是曲线与坐标横轴交点的横坐标，故选D.【点睛】本题考查函数零点概念，考查基本求解能力.4.已知实数、，满足，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式得范围，再根据绝对值定义得结果.【详解】由，知，故选D.【点睛】本题考查基本不等式应用，考查基本求解能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】执行循环，根据条件对应计算S，直至时结束循环,输出结果.【详解】进入循环，当时，，为奇数，；当时，，为偶数，；当时，，为奇数，；当时，，为偶数，；当时，，结束循环，输出.故选B．【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.已知实数、满足线性约束条件，则其表示的平面区域的面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先作可行域，再根据三角形面积公式求结果.【详解】满足约束条件，如图所示：可知范围扩大，实际只有，其平面区域表示阴影部分一个三角形，其面积为故选B．【点睛】本题考查平面区域含义，考查基本求解能力.7.“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】等价于，作判断.【详解】由，得，得，，，但反之是，即或，故“”是“”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．8.如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将转化为，再根据离心率求比值.【详解】由，得而，所以，故选B．【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本求解能力.9.、、、四位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一大人和一小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则的小孩坐妈妈或妈妈的车概率是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用枚举法确定总事件数，再从中确定的小孩坐妈妈或妈妈的车事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】设、、、的小孩分别是、、、，共有坐车方式有、、、、、、、、，则的小孩坐妈妈或妈妈的车有六种情况，其概率为；另解，的小孩等概率坐妈妈或妈妈或妈妈车，故选D．【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.10.已知数列中第项，数列满足，且，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数加法法则得，根据关系式得，联立方程解得.【详解】由，得，又，即，有，故．选C.【点睛】本题考查对数四则运算法则，考查基本求解能力.11.如图，的一内角，, ,边上中垂线交、分别于、两点，则值为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据向量垂直确定E坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果.【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，由条件知、、，，设，得，由垂直知，得，即，，故选C．【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12.已知函数，若存在实数，使得，则A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】先化简方程，分组研究以及最小值，确定等于号取法，解得.【详解】由已知即而，故，设，容易求得当时的最小值为2，当“=”成立的时候，故选A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值以及利用导数求函数最值，考查基本分析与求解能力.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.已知函数，则__________．【答案】4【解析】【分析】根据分段函数对应性，根据自变量大小对应代入解析式，即得结果.【详解】．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14.已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于、两点，则__________．【答案】【解析】【分析】根据抛物线焦点弦性质得，对照比较与所求式子之间关系，即得结果.【详解】由知，由焦点弦性质，而．【点睛】本题考查抛物线焦点弦性质，考查基本求解能力.15.网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】2【解析】【分析】先确定几何体，再根据长方体以及四棱柱体积公式求结果.【详解】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，所以．【点睛】先根据熟悉的柱、锥、台、球的图形，明确几何体的展开对应关系，结合空间想象将展开图还原为实物图，再在具体几何体中求体积.16.数列是公差为的等差数列，其前和为，存在非零实数，对任意恒有成立，则的值为__________．【答案】或【解析】【分析】先根据和项与通项关系得，再根据等差数列公差与零关系分类讨论，最后解得的值.【详解】设的公差为，当时,所以，当时，对有①，当时，②，由①-②得：，得，即对、恒成立．当，此时，，舍去当时，，赋值可得，此时，是以为首项，为公差的等差数列．综上或．【点睛】本题考查等差数列基本量以及通项与和项关系，考查基本求解能力.三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知（），其图象在取得最大值．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当，且，求值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根据两角和正弦公式展开，再根据最值取法得a，最后根据配角公式化为基本三角函数，（2）先根据条件得，再根据两角和正弦公式求值.【详解】（Ⅰ）由在取得最大值，，即，经检验符合题意．（Ⅱ）由，，又，，得，．【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．18.如图：直线平面，直线平行四边形，四棱锥的顶点在平面上，，，，，，，、分别是与的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根据三角形中位线性质得，，再根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面平面，最后根据面面平行性质得结论，（2）先根据线面垂直得面面垂直：平面平面，，再根据面面垂直性质定理得平面，最后根据等体积法以及锥体体积公式求结果.【详解】（Ⅰ）连接，底面为平行四边形∵是的中点，是的中点，∵是的中点，是的中点，而，，平面平面平面，平面；（Ⅱ）由平面，平行四边形平面底面，，，底面四边形为矩形，即四边形为直角梯形，平面平面，过作交于,平面，即平面由，，，知，，得．【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19.中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。
本资源的初衷 ,是希望通过网络分享 ,能够为广阔读者提供更好的效劳 ,为您水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创 ,立意新 ,图片精 ,是非常强的一手资料 .专题能力训练2不等式、线性规划一、能力突破训练1.实数x,y满足a x<a y(0<a<1),那么以下关系式恒成立的是()A.B.ln(x2 +1)>ln(y2 +1)C.sin x>sin yD.x3>y32.函数f(x) =(x -2)(ax +b)为偶函数,且在区间(0, +∞)内单调递增,那么f(2 -x)>0的解集为()A.{x|x>2或x< -2}B.{x| -2<x<2}C.{x|x<0或x>4}D.{x|0<x<4}3.不等式组的解集为()A.(0,)B.(,2)C.(,4)D.(2,4)4.假设x,y满足那么x +2y的最||大值为()A.1B.3C.5D.95.函数f(x) =(ax -1)(x +b),假设不等式f(x)>0的解集是( -1,3),那么不等式f( -2x)<0的解集是() A.B.C.D.6.不等式组表示的平面区域的面积为2,那么的最||小值为()A. B. C.2 D.47.x,y满足约束条件使z =x +ay(a>0)取得最||小值的最||优解有无数个,那么a的值为()A. -3B.3C. -1D.18.变量x,y满足约束条件假设z =2x -y的最||大值为2,那么实数m等于()A. -2B. -1C.1D.29.假设变量x,y满足那么x2 +y2的最||大值是()A.4B.9C.10D.1210.(2021全国Ⅰ,文14)假设x,y满足约束条件那么z =3x +2y的最||大值为.11.当实数x,y满足时,1≤ax +y≤4恒成立,那么实数a的取值范围是.12.设不等式组表示的平面区域为D,假设指数函数y =a x的图象上存在区域D上的点,那么a的取值范围是.二、思维提升训练13.假设平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,那么这两条平行直线间的距离的最||小值是()A.B.C.D.14.设对任意实数x>0,y>0,假设不等式x +≤a(x +2y)恒成立,那么实数a的最||小值为()A.B.C.D.15.设x,y满足约束条件假设目标函数z =ax +by(a>0,b>0)的最||大值为8,那么ab的最||大值为.16.(2021北京,文13)假设x,y满足x +1≤y≤2x,那么2y -x的最||小值是.17.假设a,b∈R,ab>0,那么的最||小值为.18.存在实数x,y满足约束条件那么R的最||小值是.专题能力训练2不等式、线性规划一、能力突破训练1.D解析由a x<a y(0<a<1)知,x>y,故x3>y3,选D.2.C解析∵f(x) =ax2 +(b -2a)x -2b为偶函数,∴b -2a =0,即b =2a,∴f(x) =ax2 -4a.∴f'(x) =2ax.又f(x)在区间(0, +∞)单调递增,∴a>0.由f(2 -x)>0,得a(x -2)2 -4a>0,∵a>0,∴|x -2|>2,解得x>4或x<0.3.C解析由|x -2|<2,得0<x<4;由x2 -1>2,得x>或x< -,取交集得<x<4,应选C.4.D解析由题意画出可行域(如图).设z =x +2y,那么z =x +2y表示斜率为 -的一组平行线,当过点C(3,3)时,目标函数取得最||大值z max =3 +2×3 =9.应选D.5.A解析由f(x)>0,得ax2 +(ab -1)x -b>0.∵其解集是( -1,3),∴a<0,且解得a = -1或,∴a = -1,b = -3.∴f(x) = -x2 +2x +3,∴f( -2x) = -4x2 -4x +3.由 -4x2 -4x +3<0,得4x2 +4x -3>0,解得x>或x< -,应选A.6.B解析画出不等式组表示的区域,由区域面积为2,可得m =0.而 =1 +表示可行域内任意一点与点( -1, -1)连线的斜率,所以的最||小值为.故的最||小值是.7.D解析如图,作出可行域如图阴影局部所示,作直线l0:x +ay =0,要使目标函数z =x +ay(a>0)取得最||小值的最||优解有无数个,那么将l0向右上方平移后与直线x +y =5重合,故a =1.选D.8.C解析画出约束条件的可行域,如图,作直线2x -y =2,与直线x -2y +2 =0交于可行域内一点A(2,2),由题知直线mx -y =0必过点A(2,2),即2m -2 =0,得m =1.应选C.9.C解析如图,作出不等式组所表示的可行域(阴影局部),设可行域内任一点P(x,y),那么x2 +y2的几何意义为|OP|2.显然,当P与A重合时,取得最||大值.由解得A(3, -1).所以x2 +y2的最||大值为32 +( -1)2 =10.应选C.10.6解析作出可行域,如图阴影局部所示(包括边界).由z =3x +2y,得y = -x +z,作直线y = -x并向上平移,显然l过点B(2,0)时,z取最||大值,z max =3×2 +0 =6.11.解析画出可行域如下列图,设目标函数z =ax +y,即y = -ax +z,要使1≤z≤4恒成立,那么a>0,数形结合知,满足即可,解得1≤a≤.故a的取值范围是1≤a≤.12.1<a≤3解析作出平面区域D如图阴影局部所示,联系指数函数y =a x的图象,当图象经过区域的边界点C(2,9)时,a可以取到最||大值3,而显然只要a大于1,图象必然经过区域内的点,那么a的取值范围是1<a≤3.二、思维提升训练13.B解析画平面区域如图阴影局部所示.∵两平行直线的斜率为1,∴两平行直线与直线x +y -3 =0垂直,∴两平行线间的最||短距离是AB的长度.由得A(1,2).由得B(2,1).∴|AB| =,应选B.14.A解析原不等式可化为(a -1)x - +2ay≥0,两边同除以y,得(a -1) +2a≥0,令t =,那么(a -1)t2 -t +2a≥0,由不等式恒成立知,a -1>0,Δ =1 -4(a -1)·2a≤0,解得a≥,a min =,应选A.15.2解析画出可行域如图阴影局部所示,目标函数变形为y = -x +,由,得 -<0,且纵截距最||大时,z取到最||大值,故当直线l过点B(2,4)时,目标函数取到最||大值,即2a +4b =8,因为a>0,b>0,由根本不等式,得2a+4b =8≥4,即ab≤2(当且仅当2a =4b =4,即a =2,b =1时取 " =〞),故ab的最||大值为2.16.3解析由x,y满足x +1≤y≤2x,得作出不等式组对应的可行域,如图阴影局部所示.由得A(1,2).令z =2y -x,即y =x +z.平移直线y =x,当直线过点A(1,2)时,z最||小,∴z min =2×2 -1 =3.17.4解析∵a,b∈R,且ab>0,∴ =4ab +≥4.18.2解析根据前三个约束条件作出可行域如图中阴影局部所示.因为存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影局部与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共局部,因此当圆与图中阴影局部相切时,R最||小.由图可知R的最||小值为2.。
高考数学二轮复习测试题(附参考答案)数学(文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.集合{|P x y ==，集合{|Q y y ==，则P 与Q 的关系是 A. P ＝ Q B. P Q C. P ≠⊂Q D. P ∩Q ＝∅2.复数121ii++的虚部是（ ）． A ．2i B ．12 C ．12i D ．323.已知平面向量1,m -a=（）r ，2,m m b=（）r， 则向量+a b r r A ．平行于x 轴 B ．平行于第一、三象限的角平分线 C ．平行于y 轴 D ．平行于第二、四象限的角平分线 4.（文）下列函数中，在(0,)π上是增函数的是A.sin y x =B.1y x= C.2x y = D.221y x x =-+5. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该儿何体的体积为A.24B. 80C. 64D. 2406.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25815a a a ++=, 则9S =A ．18B ．36C ．45D ．607. 角α终边过点(1,2)P -，则sin α=A .5 B.5 C.5-5- 8. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边边长分别为3,5,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为A ．38B ．37C ．36D ．359.方程1()202x x --=的根所在的区间为（ ）。
A ．(1,0)- B.(0,1) C ．(1,2) D.(2,3) 10.将正整数排成下表： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16………………………………… 则数表中的数字2010出现的行数和列数是A ．第44 行 75列B ．45行75列C ．44 行74列D ．45行74列二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11—13题）11. 已知点M （1，0）是圆C:22420xy x y +--=内的一点，那么过点M 的最短弦所在的直线方程是 。
一、数学抽象、直观想象
素养1数学抽象
例1(1)如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．
其中，正确信息的序号是________．
答案①②③
解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速
运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．
(2)某楼梯共有11级，每步可走一级或二级，走完这11级楼梯共有多少种不同的走法？
解楼梯共有11级，数值比较大，可以先考虑简单情形．
楼梯共有：1级、2级、3级、4级、5级、…，从特殊的情境里发现规律.
从上面的走法种数1,2,3,5,8，…可以发现：
前两个走法种数之和是下一个走法种数．
于是，容易推算出：走完这11级楼梯，共有144种不同的走法．
1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()
A．3.50分钟B．3.75分钟
C．4.00分钟D．4.25分钟
答案 B
解析根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得⎩⎪⎨⎪
⎧
0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，
0.5＝25a ＋5b ＋c ，
消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧
7a ＋b ＝0.1，
9a ＋b ＝－0.3，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－0.2，
b ＝1.5，
c ＝－2.
所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋13
16， 所以当t ＝15
4
＝3.75时，
p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 2．甲、乙两种食物的维生素含量如下表：
分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120个单位，则混合物重量的最小值为________kg. 答案 30
解析 设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ， ∵A ，B 的含量分别不低于100,120个单位， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋4y ≥100，5x ＋2y ≥120，x ≥0，y ≥0，
由⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋4y ＝100，5x ＋2y ＝120，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝20，y ＝10，
∴A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ，平移直线z ＝x ＋y ，
由图知，当直线过A(20,10)时，z取最小值为20＋10＝30.
素养2 直观想象
例2 (1)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与点Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )
A ．{S n }是等差数列
B ．{S 2n }是等差数列
C ．{d n }是等差数列
D ．{d 2n }是等差数列
答案 A
解析 作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3，…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，C n ， 则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n . ∵|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|， ∴|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|.
设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ， 则|A 3C 3|＝2b －a ，…，
|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)，n ＝1和n ＝2时也符合． ∴S n ＝1
2c [(n －1)b －(n －2)a ]
＝1
2
c [(b －a )n ＋(2a －b )]， ∴S n ＋1－S n ＝1
2c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]
＝1
2
c (b －a )， ∴数列{S n }是等差数列．
(2)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于()
A.5＋1
B.5＋2
C．25＋1 D．25＋2
答案 B
解析如图，取BB1的中点E，CC1的中点F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD.
设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为α，
∴能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，
∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，
∴矩形AEFD的周长为5＋2.
3．“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正(主)视图和侧(左)视图完全相同时，它的正(主)视图和俯视图分别可能是()
A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d。
