2016届高考数学文自由复习步步高系列专题05圆锥曲线(通用版)(原卷版)

2016年高考备考之考前十天自主复习第一天 函数(文科)第一块 集合与简易逻辑考点一 集合的概念及运算[1]集合概念,元素与集合的属于关系1. 已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．52. ( 四川省遂宁市2016届高三第二次诊断考试数学) 已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．9[2]集合间的关系(相等与包含)3.已知集合A ={}1,2,3,B ={}2,3，则（ ）A 、A =B B 、A ⋂B =∅C 、A ØBD 、B ØA 4. 设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )| x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5.已知集合{}0,1,2,3,4M =,{}1,3,5N =,P M N =⋂,则P 的子集共有( ) A .2个 B .4个 C .6个 D .8个 6. (2016年杭州市严州中学高三阶段测试)已知集合{}2/320A x x x =-+=,{}/05,B x x x N =<<∈,则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为( )A .1B . 2C .3D .4 [3]集合间的运算7. (江西省六校2016届高三3月联考数学)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m－1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( )A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ≤4D ．m ≤48. (吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测（二）)已知集合{}0x x P =≥，1Q 02x x x ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()R Q P =I ð（ ）A ．(),2-∞B ．(],1-∞-C ．()1,0-D ．[]0,2 9. 已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则AB =（ ）（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4）[4]韦恩图10. (宁夏回族自治区银川一中2016届高三第一次模拟考试数学) 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪[0,1)D ．(－∞，－1]∪(0,1)[5]新概念11. 已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与a ja i两数中至少有一个属于A ，则称集合A 为“权集”，则( )A ．{1,3,4}为“权集”B ．{1, 2,3,6}为“权集”C ．“权集”中元素可以有0D ．“权集”中一定有元素1 考点二 命题[6]命题的真假判断与四种命题(原命题,否命题,逆命题,逆否命题)12. （黄冈中学2016届高三（上）期末考试数学试题）以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．13. ( 2016年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考)下列推断错误的是( ) A.命题“若2320,x x -+=则1x = ”的逆否命题为“若1x ≠则2320x x -+≠”B.命题:p 存在R x ∈0，使得20010x x ++<，则非:p 任意R x ∈，都有210x x ++≥C.若p 且q 为假命题，则q p ,均为假命题D.“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 14.命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是( )A .若α ≠4π，则tan α≠1 B . 若α=4π，则tan α≠1C . 若tan α≠1，则α≠4πD . 若tan α≠1，则α=4π15. (四川省雅安中学2016届高三开学考试数学)下列命题正确的是（ ） ①若2(3)4log 32x f x =+，则8(2)(4)...(2)180f f f +++=；②函数()tan 2f x x =的对称中心是)0,2(πk （k Z ∈）； ③“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“01,23>+-∈∃x x R x ”；④设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++73π=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④[7]简单的逻辑连接词(真值表,否定)16. (广东省汕头市2016年高三第一次模拟考试数学)已知命题:p R x ∃∈，2lg x x ->，命题:q R x ∀∈，1x e >，则（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题17. ( 吉林省吉林市第一中学校2016届高三3月“教与学”质量检测（一）数学) 若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[8]全称与特称命题(命题真假与否定)18.命题"存在实数x ,使得1"x >的否定( )A .对任意实数x ,都有1x >B .不存在实数x ,使得1x ≤C .对任意实数x ,都有1x ≤D .存在实数x ,使得1x ≤19.已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是( ) A .p q ∧ B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝20.若命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是 .考点三 充要条件的判断[9]充要条件的判断(大范围小范围)21.“2320x x -+->”是“1x >”成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件22.已知函数lg(4)y x =-的定义域为A ,集合{|}B x x a =<,若P ：“x A ∈”是 Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围 .[10] 充要条件的判断(递推关系,命题真假)23. ( 四川省遂宁市2016届高三第二次诊断考试数学)设a 、b 是实数，则“22a b >”是“0a b >>”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件24. ( 2016年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学)若π02x <<，则1tan <x x 是1sin <x x 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件25. ( 2016漳州市普通高中毕业班质量检查数学) “211n n n a a a +-=，2n ≥且n ∈N ”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[11]已知条件关系求条件26.双曲线221y x m-=的充分必要条件是( )A .12m >B .1m ≥C .1m >D .2m >27. (安徽省安庆五校联盟2016届高三下学期3月联考数学)已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．第二块 基本初等函数 函数与方程及函数的应用考点一 基本初等函数的图像与性质 [1]基本初等函数图像1. ( 2016漳州市普通高中毕业班质量检查数学) 函数f (x )＝2x ＋sin x 的部分图象可能是( )2. 已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )3.函数13y x x=-的图像大致为( )[2]基本初等函数性质4. （怀化市中小学课程改革教育质量监测2016年高三第一次模考数学）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)5. (江西省六校2016届高三3月联考数学)若函数221,0()(1),0axax xf xa e x⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩在(,)-∞+∞上单调，则实数a的取值范围是．6.下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝1x2B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x[3]指对数运算(求值)7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4x ，x >0，2－x，x ≤0，则f (f (－4))＋f ⎝⎛⎭⎫log 216＝________. 8.方程91331x x+=-的实数解为 .9. lg 51 000－823＝( )A ．235B ．－175C ．－185 D ．410.已知y x ,为正实数,则( ) A .y x yx lg lg lg lg 222+=+ B . lg()lg lg 222x y x y += C .y x y x lg lg lg lg 222+=∙ D .lg()lg lg 222xy x y =11.23log 9log 4⨯=( ) A .14B .12C .2D .4[4]指对数大小比较12. 已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c13.若()ln 1ln 1,1,ln ,,2xx x e a x b c e -⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭则a ,b , c 的大小关系为( )A .c >b >aB .b >c >aC .a >b >cD .b >a >c[5]幂函数概念14.已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,则4log (2)f 的值为( ) A . 14 B .－14C .2D .－215.已知幂函数()253()1m f x m m x---=-在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.[6]反函数16.设函数()y f x =存在反函数1()y fx -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 .考点二 函数零点[7]零点存在性定理(正向用 逆向用)17. 已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)18. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x －a ，x ＞0，－x 2－2x －a ，x ≤0，有三个零点，则实数a 的取值范围是________．[8]二次函数零点问题19. (四川省雅安中学2016届高三开学考试数学)函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ） A. ()1xf x e =-B. ()2(1)f x x =-[9]分段函数的零点问题20. (浙江省绍兴市2016届高三上学期期末统考)已知()11f x x =-，()()()111n n f x n f x +=+-，n *∈N ，若函数()3y f x kx =-恰有4个不同零点，则正实数k的值为 ．21. (山东省潍坊市第一中学2014届高三1月期末考前模拟数学)已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,2)(x nx x kx x f ()k R ∈，若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是（A ）2k ≤ （B ）10k -<< （C ）21k -≤<- （D ）2k ≤-[11]图像交点(数形结合)22. (江苏省扬州中学2016届高三3月期初考试数学试题12)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()|2|f x x x =-．若关于x 的方程2()()0(,)f x af x b a b R ++=∈恰有10个不同实数解，则a 的取值范围为 ___ ．23.设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则( ) A .0a b <<B .0b a <<C .0a b <<D .0b a <<24.对实数a 和b ,定义运算“⊗”: a b ⊗=,1,1a ab b a b -≤⎧⎨->⎩,设函数2()(2)(1)f x x x =-⊗-,x R ∈.若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( )A .(1,1](2,)-⋃+∞B .(2,1](1,2]--⋃C . (,2)(1,2]-∞-⋃D .[2,1]-- [11]二分法25.用二分法研究函数()331f x x x =+-的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________． 考点三 函数的实际应用 [12]二次,三次等多项式函数模型26. （怀化市中小学课程改革教育质量监测2016年高三第一次模考）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x)(+∈N x 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为3x 10（a-）500万元)0(>a ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高%2.0x ．（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？1. （黄冈中学2016届高三（上）期末考试数学试题）设全集U =R ，{}111,202xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+<=-≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则图中阴影部分所表示的集合( ）A ．()2,0-B ．(]2,1--C ．(1,0]-D ．(1,0)- 2.已知集合32A x x Z Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭且，则集合A 中的元素个数为（ ） A .2 B .3 C .4 D .53.定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( ) A ．(0，13) B ．(13 ，＋∞) C ．(-13，0)∪(13，＋∞) D ．(-∞，-13)∪(0，13) 4. (2016年3月德阳市四校高三联合测试数学)下列命题中，真命题是( )A.000≤∈∃x eR x ， B.11>>b a ，是1>ab 的充分条件C.R x ∈∀，22x x> D. 0=+b a 的充要条件是1-=ba5.函数1,0()2,0x x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则f (f (0))的值为_________.6.已知函数f (x )=x -[x ],其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，若关于x 的方程f (x )=kx +k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是__________.7. (2016年3月德阳市四校高三联合测试数学理10)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-+-+≥-+=0)3()4(0)1()(2222x a x a a x x a k kx x f ，，，其中a ∈R ，若对任意非零实数1x ，存在唯一实数)(212x x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则实数k 的最小值为( )A.-8B.-6C.6D.88. ( 2016江西省景德镇高三第二质检数学)已知函数()(2)(-5)f x x x ax =++2的图象关于点(-2,0)中心对称，设关于x 的不等式()()f x m f x +<的解集为A ，若(5,2)A --⊆，则实数m 的取值范围是 ．9.已知12)(-=x x f ，21)(x x g -=，规定：当)(|)(|x g x f ≥时, |)(|)(x f x h =；当)(|)(|x g x f <时, )()(x g x h -=，则)(x h （ ）A ． 有最小值1-,最大值1B ． 有最大值1,无最小值C ． 有最小值1-,无最大值D ． 有最大值1-,无最小值10. ( 2016年东北三省四市教研联合体高考模拟试)已知函数()()()()211221x x x x f x x e e x e e ---=----，则满足()0f x >的实数x 的取值范围为 ．。

专题五 高考中的圆锥曲线问题1.已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点.若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________. 答案 8解析 由题意知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20， 即|AB |＝8.2.设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为( )A.p 2B.pC.2pD.无法确定答案 C解析 当弦AB 垂直于对称轴时|AB |最短， 这时x ＝p2，∴y ＝±p ，|AB |min ＝2p .3.若双曲线x 2a 2－y 23＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为( )A.1B.2C.3D.6答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3a x ，即3x ±ay ＝0，圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2,0)，半径为r ＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD |＝22－12＝3，另一方面，圆心C (2,0)到双曲线x 2a 2－y 23＝1的渐近线3x －ay ＝0的距离为d ＝|3×2－a ×0|3＋a 2＝233＋a 2，所以233＋a 2＝3，解得a 2＝1，即a ＝1，该双曲线的实轴长为2a ＝2.4.在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A.(－2,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(－1,2)答案 B解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |， ∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号. ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 则可排除A 、C 、D ，故选B.5.设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于 ( ) A.34B.－34C.3D.－3答案 B解析 方法一 (特殊值法)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (12，－1)， ∴OA →·OB →＝⎝⎛⎭⎫12，1·⎝⎛⎭⎫12，－1＝14－1＝－34. 方法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2.由抛物线的过焦点的弦的性质知： x 1x 2＝p 24＝14，y 1y 2＝－p 2＝－1.∴OA →·OB →＝14－1＝－34.题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题例1 (2012·浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线OM 上. (1)求曲线C 的方程及t 的值； (2)记d ＝|AB |1＋4m 2，求d 的最大值.思维启迪 (1)依条件，构建关于p ，t 的方程；(2)建立直线AB 的斜率k 与线段AB 中点坐标间的关系，并表示弦AB 的长度，运用函数的性质或基本不等式求d 的最大值. 解 (1)y 2＝2px (p >0)的准线x ＝－p2，∴1－(－p 2)＝54，p ＝12，∴抛物线C 的方程为y 2＝x . 又点M (t,1)在曲线C 上，∴t ＝1.(2)由(1)知，点M (1,1)，从而n ＝m ，即点Q (m ，m )， 依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0， 设直线AB 的斜率为k (k ≠0). 且A (x 1，y 1)，B (x 2.y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2，故k ·2m ＝1， 所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x 消去x ， 整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2 ＝2(1＋4m 2)(m －m 2) ∴d ＝|AB |1＋4m 2＝2m (1－m )≤m ＋(1－m )＝1，当且仅当m ＝1－m ，即m ＝12时，上式等号成立，又m ＝12满足Δ＝4m －4m 2>0.∴d 的最大值为1.思维升华 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.椭圆C ：x 236＋y 220＝1的左顶点、右焦点分别为A ，F ，直线的方程为x ＝9，N 为直线上一点，且在x 轴的上方，AN 与椭圆交于M 点． (1)若M 是AN 的中点，求证：MA ⊥MF .(2)过A ，F ，N 三点的圆与y 轴交于P ，Q 两点，求|PQ |的取值范围． (1)证明 由题意得A (－6,0)，F (4,0)，x N ＝9，∴x M ＝32，又M 点在椭圆上，且在x 轴上方，得y M ＝532，∴MA →＝(－152，－532)，MF →＝(52，－532)，∴MA →·MF →＝－754＋754＝0，∴MA ⊥MF .(2)解 方法一 设N (9，t )，其中t >0，∵圆过A ，F ，N 三点，∴圆心在线段AF 的中垂线上． 设圆心为(－1，b )，半径为r ，有r ＝(－1－4)2＋b 2＝(－1－9)2＋(b －t )2，∴b ＝t 2＋752t ＝12(t ＋75t)，|PQ |＝2r 2－1＝2b 2＋24.∵t >0，∴b ≥ t ·75t＝53，当且仅当t ＝75t ，即t ＝53时取“＝”∴|PQ |≥299＝611.∴|PQ |的取值范围是[611，＋∞)． 方法二 设N (9，t )，其中t >0， ∵圆过A ，F ，N 三点，∴设该圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，有 ⎩⎪⎨⎪⎧36－6D ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，81＋t 2＋9D ＋tE ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝－t －75t ，F ＝－24，∴圆心为(－1，12(t ＋75t ))，半径r ＝ 25＋14(t ＋75t)2，∴|PQ |＝2r 2－1＝2 24＋14(t ＋75t)2，∵t >0，∴t ＋75t ≥2 t ·75t＝103，当且仅当t ＝75t ，即t ＝53时取“＝”∴|PQ |≥299＝611，∴|PQ |的取值范围是[611，＋∞)． 题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题例2 (2012·福建)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在 抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上. (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点.思维启迪 既然圆过y 轴上的点，即满足MP →·MQ →＝0，对任意P 、Q 恒成立可待定M (0，y 1)，也可给定特殊的P 点，猜想M 点坐标，再证明. (1)解 依题意，得|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明 方法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1. 所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立.由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1). 方法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0， 且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1. 所以Q 为⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)， 以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2， 交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)； 取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1， 以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564， 交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1). 以下证明点M (0,1)就是所要求的点.因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝⎛⎭⎫x 20－42x 0，－2，所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1). 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2013·江西)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝ 32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值.(1)解 因为e ＝32＝c a， 所以a ＝23c ，b ＝13c . 代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 方法一 因为B (2,0)，点P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0，k ≠±12)，①①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14. 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值).方法二 设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ⎝⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0， 联立⎩⎨⎧y ＝12(x ＋2)y ＝y0x 0－2(x －2)，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－(4－4y 20)＋4 ＝y 0－12y 0＋x 0－2， 所以2m －k ＝2(y 0－1)2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2(y 0－1)(x 0－2)－y 0(2y 0＋x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－2y 20－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－12(4－x 20)－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝12(定值). 题型三 圆锥曲线中的探索性问题例3 (2012·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程.(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由.思维启迪 圆锥曲线中，这类问题的解题思想是假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答；如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答.解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则 d ＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(y －2)2＝3b 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6， ∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3， 解得b 2＝1，∴a 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1， d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2. ∴|AB |＝212－d ′2＝2 1－1m 2＋n 2. ∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n 2＝1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2. ∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1， ∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0.∴S △OAB ＝1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋n 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 2＋n 2＋1－1m 2＋n 222＝12， 当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n 2得⎩⎨⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22或⎝⎛⎭⎫－62，－22， 此时△OAB 的面积为12.思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.(2013·长春调研)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求C 1，C 2(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在C 2上， 易求得C 2的标准方程为y 2＝4x . 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得⎩⎨⎧4a 2＝12a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，所以C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)容易验证当直线l 的斜率不存在时，不满足题意. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)， 与C 1的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k (x －1)消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，① x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2.②所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1] ＝k 2[4(k 2－1)1＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1]＝－3k 21＋4k 2.③由OM →⊥ON →，即OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*) 将②③代入(*)式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2，所以存在直线l 满足条件， 且直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.(时间：80分钟)1.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0).从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点， 所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213. 由于±213∉[－43，43]， 所以符合题意的直线l 不存在.方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去).从而a 2＝16.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一.2 ．已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标．(1)证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4x 22＋2y 22＝4， 得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.设线段PQ 的中点为N (1，n )，∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)， ∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A (12，0)．当x 1＝x 2时，线段PQ 的垂直平分线也过定点A (12，0)．综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A (12，0)．(2)解 由于点B 与点A 关于原点O 对称，故点B (－12，0)．∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2，∴x 1＝2－x 2∈[0,2]，|PB |2＝(x 1＋12)2＋y 21＝12(x 1＋1)2＋74≥94， ∴当点P 的坐标为(0，±2)时，|PB |min ＝32.3.如图，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A 、B两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12). (1)求直线l 的方程和抛物线C 的方程；(2)若抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.∵OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4) ＝(－4，－12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2，故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4·(－4)＝410. 设P (t ，－12t 2)(－2－22<t <－2＋22)，∵|AB |为定值，∴当点P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大.而d ＝|2t ＋12t 2－2|22＋(－1)2＝|12(t ＋2)2－4|5，又－2－22<t <－2＋22，∴当t ＝－2时，d max ＝455. ∴当P 点坐标为(－2，－2)时，△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.方法二 设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线在点P 处的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大. ∵y ′＝－x ，∴x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，P (－2，－2).此时点P 到直线l 的距离＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2x 2＝－2y，得x 2＋4x －4＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4(－4)＝410， 故△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.4. 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1，又∵AF →·FB →＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1. ∴a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 且F 恰为△PQM 的垂心， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)，∴直线l 的斜率k ＝1.于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m x 22＋y 2＝1 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， x 1＋x 2＝－43m ，① x 1x 2＝2m 2－23.②∵MP →·FQ →＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0， 即2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0.将①②代入得2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，经检验m ＝－43符合条件.故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心， 直线l 的方程为y ＝x －43.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足：|PF |2－|PB |2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关). (1)解 设P (x ，y )，由题知F (2,0)，B (3,0)，A (－3,0)， 则|PF |2＝(x －2)2＋y 2，|PB |2＝(x －3)2＋y 2，由|PF |2－|PB |2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4， 化简，得x ＝92.故点P 的轨迹方程是x ＝92.(2)解 将x 1＝2，x 2＝13分别代入椭圆方程，并考虑到y 1>0，y 2<0，得M ⎝⎛⎭⎫2，53，N ⎝⎛⎭⎫13，－209. 则直线MA 的方程为y －053－0＝x ＋32＋3，即x －3y ＋3＝0直线NB 的方程为y －0－209－0＝x －313－3，即5x －6y －15＝0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，5x －6y －15＝0，解得x ＝7，y ＝103，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3)证明 如图所示，点T 的坐标为(9，m ).直线TA 的方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，直线TB 的方程为y －0m －0＝x －39－3，分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(80－m 2)80＋m 2，40m 80＋m 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(m 2－20)20＋m 2，－20m 20＋m 2. 直线MN 的方程为y ＋20m 20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3(m 2－20)20＋m 23(80－m 2)80＋m 2－3(m 2－20)20＋m 2.令y ＝0，解得x ＝1，所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1,0). 6.(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积.(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点.若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ . (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.(1)解 双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明 设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2. 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明 当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ， 因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值.。

圆锥曲线部分高考试题汇编（椭圆部分）1、（2016全国Ⅰ卷）（20）（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.2、（2015全国Ⅰ卷）（14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。

3、（2014全国Ⅰ卷）20.（本小题满分12分）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.4、（2016山东卷）（21）(本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M. （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG 的面积为1S ，PDM 的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.5、（2015山东卷）（20） (本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q. （ⅰ）求||||OQ OP 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积最大值.圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）1、（2016全国Ⅰ卷）（5）已知方程x 2m 2+n –y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)2、（2015全国Ⅰ卷）（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（ ）（A ）（ （B ）（（C ）（3-，3） （D ）（3-，3）3、（2014全国Ⅰ卷）4. 已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A .B .3CD .3m4、（2016山东卷）（13）已知双曲线E 1：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______ .5、（2015山东卷）(15)平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .6、（2014山东卷）（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C与2C 2C 的渐近线方程为（ ）（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）20x y ±= （D ）20x y ±=圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）1、（2016全国Ⅰ卷）（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=|DE|=C 的焦点到准线的距离为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 2、（2015全国Ⅰ卷）（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =24x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。

2016年高考备考之考前十天自主复习第六天（文科）回顾一：空间几何体1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．2．空间几何体的三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线． 3．直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)；④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)；④V 球＝43πR 3.回顾二：空间中的平行于垂直1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理2．3． 平行关系及垂直关系的转化示意图热点一：三视图与表面积、体积【典例】( 福建省龙岩市2016届高三教学质量检查数学文8)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）A B+C+D1【答案】D考点：1.三视图；2.几何体的表面积【题型概述】这类题以三视图为载体，考查面积、体积的计算，尤其三视图及柱、锥与球的接切问题相结合是考试的重点和热点，这类题的解决方法一般为将三视图还原几何体，再利用几何体的表面积公式或体积公式计算，解决的关键是要熟悉常见几何体的三视图，尤其注意几何体的不同摆放位置三视图会发生变化．【跟踪练习1】( 2016年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学文10)一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ,表面积为．【解析】-，从侧视图试题分析：试题分析：从三视图可以看出原几何体为三棱锥，不妨设为P ABCAC=三角形PAC的AC就是可以看出侧面PAC⊥底面ABC，从正视图看2,三棱锥的高，从俯视图可以看出底面ABC 是等腰三角形，从侧试图可以看出AC 边上的高位1，所以三棱锥的体积-ABC 11=2132P V ⨯⨯⨯⨯； 考点：三视图【跟踪练习2】( 东北三省三校2016年高三第一次联合模拟考试文6)已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）A ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【答案】B 【解析】试题分析：根据三视图可以看出这个三棱锥的放置方法，正视图恰好为三棱锥的底面，它是一个边长为2的等边三角形，底面在后与水平面垂直，从正视图和侧视图中可以看出棱锥的顶点正对照正视图的视线，从俯视图可以看出棱锥的高为，所以三棱锥的体积为：21323v =⋅⋅= 考点：三视图热点二：证明或判断空间平行、垂直关系【典例】( 四川省遂宁市2016届高三第二次诊断考试数学文18)如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ， =ADC=90BAD ∠∠o ，22,DC AB a DA ===，E 为BC 中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使PA //平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.【答案】(1)证明详见解析；(2)当点F 位于PC 三分之一分点(靠近P 点)时, //PA 平面BDF .【解析】(2)当点F 位于PC 三分之一分点(靠近P 点)时, //PA 平面BDF连结,AC BD 交于O 点//AB CD ,所以AOB ∆相似于COD ∆，又因为12AB DC =，所以12AO OC =从而在CPA ∆中,13AO AC =，而13PF PC =，所以//OF PA ，而OF ⊂平面BDFPA ⊄平面BDF ，所以//PA 平面BDF考点：空间直线与平面间的关系.【题型概述】空间中的平行关系在高考命题中主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构特征等问题相结合，重点考查空间中直线与平面平行、平面与平面平行的判定及性质，解决该类题的关键是注意线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系的转化． 【跟踪练习1】(江西省六校2016届高三3月联考数学文4)设α,β是空间两个平面，m, n 是空间两条直线，则下列选项不正确．．．的是（ ） A ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 B ．当m ⊂α时，“m β⊥”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当m ⊂α时，如果n α∥，那么n α⊄，所以m n ∥或m n ，异面；反之，若m n ∥，则n α∥或n α⊂，即当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的既不必要也不充分条件，A 不正确；当m ⊂α时，如果m ⊥β，则α⊥β；反之，若α⊥β，则m β⊥或m β⊂或//m β，即当m ⊂α时，“m β⊥”是“α⊥β”的充分不必要条件，B 正确；当n ⊥α时，若n ⊥β，则α∥β；反之也成立，C 正确；当m ⊂α时，若 n ⊥α，则m 垂直于平面α内的每一条直线，即m ⊥n ；反之，若m ⊥n ，则n ⊥α不一定成立，即当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件，D 正确.选A .考点：1.充要条件；2.平行关系、垂直关系【跟踪练习2】( 2014-2016江西省景德镇高三第二质检数学文19)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，160A AD DAB ∠=∠=︒,O 是AD 的中点．（1）证明AD ⊥面1AOB ; （2）当平面ABCD ⊥平面11AA D D ，求11B CDD V -．1A【答案】（1）证明见解析；（2）1．考点：（1）直线与平面垂直；（2）棱锥的体积【跟踪练习3】如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC.P【解析】(1)由已知，得MD 是ABP ∆的中位线，所以//MD AP ，又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故//MD 平面APC .(2)因为PMB ∆为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.所以AP PB ⊥.又AP PC ⊥，PB PC所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以AP BC ⊥.又BC AC ⊥， AC AP A ＝，所以BC ⊥平面APC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC . 【考点定位】直线和平面平行、面面垂直．1．(2014——2016学年度上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试文5)某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（ ）.A π .B .C .D π 【答案】D考点：1、三视图；2、空间几何体的体积2．等腰梯形ABCD ，上底1CD =，腰AD CB ==3AB =，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图''''A B C D 的面积为_______．【解析】如上图，,CF AB DE AB ⊥⊥ ，1EF CD == ，3112FB -== ，因为CB =，所以1CF === ，所以，在直观图中12C G C F CF ''''=== ，()1132A B C D S ''''=⨯+=梯形 【考点定位】直观图3．(山东省潍坊市第一中学2016届高三1月期末考前模拟数学文7)设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（A ）//,////,//m n m n αβαβ且则 （B ）,m n αβαβ⊥⊥⊥且，则m n ⊥ （C ）,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥ （D ）,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ 【答案】B 【解析】试题分析：选项A 错，因,m n 可能相交或异面；选项B 显然正确；选项C 中,αβ可能相交，不一定垂直；选项D 中必须要求,m n 相交 考点：线面的位置关系4．如图,四边形ABCD 为矩形,AD ⊥平面ABE,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证:AE ⊥平面BCE ；(2)设M 在线段AB 上,且满足AM=2MB,试在线段CE 上确定一点N,使得MN ∥平面DAE ．【解析】。

教案 55曲线与方程导学目标： 认识曲线的方程与方程的曲线的对应关系．自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线 C(看作点的会合或合适某种条件的点的轨迹)上的点与一个在直角坐标系中，假如某曲线二元方程 f(x ， y)＝ 0 的实数解成立了以下的关系：(1)__________________ 都是这个方程的 ______．(2)以这个方程的解为坐标的点都是 ________________ ，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．平面分析几何研究的两个主要问题(1)依据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)经过曲线的方程研究曲线的性质． 3．求曲线方程的一般方法 (五步法 )求曲线 (图形 )的方程，一般有下边几个步骤：(1)成立合适的坐标系，用有序实数对 (x ，y) 表示 ________________________ ； (2)写出合适条件 p 的点 M 的会合 P ＝____________ ； (3)用坐标表示条件 p(M )，列出方程 f(x ， y)＝ 0； (4)化方程 f(x ， y)＝ 0 为 ________； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在 ________．自我检测1．(2011 湛·江月考 )已知动点 P 在曲线 2x 2－ y ＝ 0 上挪动， 则点 A(0，－ 1)与点 P 连线中点的轨迹方程是 ( )A ． y ＝ 2x 2B ． y ＝ 8x 22－ 1D ．2C ． 2y ＝ 8x2y ＝ 8x ＋12．一动圆与圆 O ：x 2 ＋ y 2＝1 外切，而与圆C ：x 2 ＋y 2 －6x ＋ 8＝ 0 内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是 ( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆3．(2011 ·山模拟佛 )已知直线 l 的方程是 f(x ， y)＝ 0，点 M(x 0， y 0)不在 l 上，则方程f(x ，y)－ f(x 0， y 0)＝ 0 表示的曲线是 ( )A ．直线 lB ．与 l 垂直的一条直线C ．与 l 平行的一条直线D ．与 l 平行的两条直线→ →) 4．若 M 、 N 为两个定点且 |MN |＝ 6，动点 P 知足 PM ·PN ＝0，则 P 点的轨迹是 ( A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 5．(2011 江·西 )若曲线 C 1：x 2＋ y 2－ 2x ＝ 0 与曲线 C 2：y(y － mx － m)＝ 0 有四个不一样的交点，则实数 m 的取值范围是 ()A ．(－3， 3B ． (－ 3， 0)∪ (0，333)33)C ． [－ 3， 3D ．33，＋∞ )33](－∞，－ 3 ) ∪( 3研究点一 直接法求轨迹方程→→→→变式迁徙 1已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，知足|MN ||MP|＋MN·NP ＝0，则动点 P(x，y)的轨迹方程为 ______________．研究点二定义法求轨迹方程例 2 (2011 ·包头模拟 )已知两个定圆O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且 |O1 O2|＝ 4.动圆 M 与圆 O1内切，又与圆 O2外切，成立合适的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．a a变式迁徙2在△ ABC中，A为动点，B、C为定点，B－2，0，C2，0，且知足条件1sin C－ sin B＝2sin A，则动点 A 的轨迹方程是 ()16x216y2A. a2－15a2＝ 1 (y≠ 0)16y216x2B. a2－3a2＝ 1 (x≠ 0)16x216y2C. a2－15a2＝ 1 (y≠0) 的左支16x216y2D. a2－3a2＝ 1 (y≠ 0)的右支研究点三有关点法 (代入法 )求轨迹方程例 3 以下图，从双曲线 x2－ y2＝ 1 上一点 Q 引直线 x＋ y＝ 2 的垂线，垂足为 N.求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程．变式迁徙3已知长为1＋2的线段 AB 的两个端点A、B 分别在 x 轴、 y 轴上滑动， P 是→ 2→ AB 上一点，且 AP ＝2 PB .求点 P 的轨迹 C 的方程．分类议论思想的应用例 (12 分)过定点 A(a ， b)任作相互垂直的两直线 l 1 与 l 2，且 l 1 与 x 轴交于点 M ，l 2 与 y 轴交于点 N ，以下图，求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程．多角度审题要求点 P 坐标，一定先求M 、N 两点，这样就要求直线l 1、 l 2，又 l 1、l 2 过定点且垂直，只需 l 1 的斜率存在，设一参数 k 1 即可求出 P 点坐标，再消去 k 1 即得点 P 轨迹方程．【答题模板】解 (1) 当 l 1 不平行于 y 轴时，设 l 1 的斜率为 k 1，则 k 1≠0.因为 l 1⊥l 2，1所以 l 2 的斜率为－，l 1 的方程为 y － b ＝k 1(x － a)，① l 2 的方程为 y － b ＝－1(x － a)，②k 1b在①中令 y ＝ 0，得 M 点的横坐标为x 1＝a － k 1 ，[4 分]a在②中令 x ＝ 0，得 N 点的纵坐标为y 1＝ b ＋k 1， [6 分 ]a b 设 MN 中点 P 的坐标为 (x ， y)，则有x ＝2－2k 1 ，b ay ＝2＋2k 1 ，2 2 a消去 k 1，得 2ax ＋2by － a － b ＝ 0 (x ≠分 ]2)．③ [8(2)当 l 1 平行于 y 轴时， MN 中点为 a ， b ，其坐标知足方程③ . 2 2综合 (1)(2) 知所求 MN 中点 P 的轨迹方程为 2ax ＋ 2by － a 2－ b 2＝ 0.[12分] 【打破思想阻碍】得参数方程，消参化为一般方程，此题还要注意直线l 1的斜率能否存在．【易错点分析】当 AM ⊥x 轴时， AM 的斜率不存在，此时MN 中点为a b2，2，易错点是把斜率不存在的情况忽视，因此扔掉点a， b2 2.1．求轨迹方程的常用方法： (1)直接法：假如动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表完成含x， y 的等式，就获得轨迹方程，这类方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明能够省略． (2) 定义法：运用分析几何中一些常用定义(比如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发成立关系式，进而求出轨迹方程． (3) 代入法：动点所知足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点 Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或简单求得，则可先将x′，y′表示为x、 y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，而后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法． (4) 参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量 (参数 )，使 x、 y 之间成立起联系，而后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．2．本节易错点： (1) 简单忽视直线斜率不存在的状况；(2)利用定义求曲线方程时，应试虑能否切合曲线的定义．(满分： 75 分)一、选择题 (每题 5 分，共 25分 )1．已知椭圆的焦点是 F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，假如M 是线段 F 1P 的中点，则动点M的轨迹是 ()A ．圆B ．椭圆C．双曲线的一支 D ．抛物线2．(2011 ·山模拟唐)已知 A、B 是两个定点，且 |AB|＝ 3，|CB|－|CA|＝ 2，则点 C 的轨迹为 ()A ．双曲线B ．双曲线的一支C．椭圆 D ．线段→→，则点 C 的轨迹是3．长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上挪动， AC＝ 2CB()A ．线段B．圆C．椭圆 D ．双曲线4．(2011 ·川模拟银)如图，圆 O： x2＋ y2＝ 16， A(－ 2， 0)， B(2,0) 为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过 A、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是()A ．双曲线B ．椭圆C．抛物线2D ．圆25．已知 F1、F2是椭圆x＋y＝ 1 的两个焦点，平面内一个动点M 知足 |MF 1|－ |MF 2|＝ 2，43则动点 M 的轨迹是 ()A ．双曲线B ．双曲线的一个分支C．两条射线 D ．一条射线二、填空题 (每题 4 分，共 12 分 )6．已知两定点 A(－ 2,0)，B(1,0)，假如动点 P 知足 |PA|＝ 2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 ______．7．(2011 泰·安月考 )已知△ ABC 的极点B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长 |CD |＝ 3，则极点A 的轨迹方程为 ______________ ．y 8．平面上有三点A(－ 2， y)， B 0，→ →2， C( x， y)，若 AB⊥ BC ，则动点 C 的轨迹方程为__________．三、解答题 (共 38 分 )9．(12 分 )已知抛物线 y2＝ 4px ( p>0) ， O 为极点， A， B 为抛物线上的两动点，且知足 OA ⊥OB，假如 OM ⊥AB 于点 M，求点 M 的轨迹方程．10．(12 分 )(2009 宁·夏，海南 )已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个极点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆 C 的方程；|OP|＝λ，求点 M(2)若 P 为椭圆 C 上的动点， M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点，|OM|的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．11． (14 分)(2011石·家庄模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F1 (0，－ 3)和 F2(0，3) 为焦点、离心率为3的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点 P 在 C 上，C 在点2→→ →P 处的切线与 x 轴， y 轴的交点分别为 A，B，且 OM ＝ OA＋ OB.求：(1)点 M 的轨迹方程；→(2)|OM |的最小值．教案 55曲线与方程自主梳理1 ． (1) 曲线上的点的坐标解(2) 曲线上的点 3.(1) 曲线上任意一点M的坐标(2){ M|p(M)} (4)最简形式(5) 曲线上自我检测1．C 2.A 3.C 4.A5．B[C1： ( x－1)2＋y2＝1，C2： y＝ 0 或 y＝mx＋m＝m(x＋ 1)．当 m＝ 0 时， C2： y＝ 0，此时 C1与 C2明显只有两个交点；当 m≠0 时，要知足题意，需圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 1 与直线 y＝ m(x＋ 1)有两交点，当圆与直线相3切时， m＝±3，即直线处于两切线之间时知足题意，33则－3 <m<0 或 0<m< 3 .33综上知－3<m<0 或 0<m< 3 .]讲堂活动区例 1解题导引①在判断含参数的方程所表示的曲线种类时，不可以只是依据方程的外表轻率地作出判断；②因为已知条件中，直线PA、 PB 的斜率存在，所以轨迹曲线应除掉A、 B 两点；x2y2③一般地，方程 A ＋B＝1所表示的曲线有以下几种状况：1° A>B>0 ，表示焦点在2° A＝ B>0，表示圆；3° 0<A<B，表示焦点在4° A>0> B，表示焦点在5° A<0< B，表示焦点在6° A， B<0，无轨迹．x轴上的椭圆；y轴上的椭圆；x轴上的双曲线；y轴上的双曲线；解设点 P(x，y)，则 k AP＝y， k BP＝y. x－a x＋a由题意得y·y＝ k，即 kx2－ y2＝ka2 .x－ a x＋ a∴点P 的轨迹方程为 kx2－y2＝ ka2 (x≠±a) ．(*)(1)当 k＝0时， (*) 式即 y＝0，点 P 的轨迹是直线AB(除掉 A、 B 两点 )．22(2)当 k ≠0时， (*) 式即 x2－ y2＝ 1，a ka①若 k>0，点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线 (除掉 A 、 B 两点 )．x 2 y 2 2 ＝1.②若 k<0， (*) 式可化为 a 2＋ － ka1° 当－ 1<k<0 时，点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆 ( 除掉 A 、B 两点 )；2° 当 k ＝－ 1 时， (*) 式即 x 2＋ y 2＝ a 2，点 P 的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆 (除掉A 、B 两点)；3° 当 k<－ 1 时，点 P 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆 (除掉 A 、 B 两点 )．变式迁徙1 y2 ＝－ 8x→ →→ 分析 由题意： MN ＝(4,0) ，MP ＝ (x ＋ 2，y) ，NP ＝ ( x － 2， y)，→ → → → ∵|MN ||MP|＋ MN ·NP ＝ 0，∴ 42＋ 02· x ＋ 2 2＋y 2＋ ( x －2) ·4＋y ·0＝0， 移项两边平方，化简得 y 2＝－ 8x.例 2解题导引(1) 因为动点 M 到两定点 O 1、 O 2 的距离的差为常数，故应试虑能否符合双曲线的定义，是双曲线的一支仍是两支，可否确立实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转变；(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹 ”和“ 轨迹方程 ”是两个不一样的观点，前者要指出曲线的形状、地点、大小等特点，后者指方程(包含范围 )．解以下图，以 O 1O 2 的中点 O 为原点，O 1O 2 所在直线为 x 轴成立平面直角坐标系．由 |O 1 O 2|＝ 4，得 O 1(－ 2,0)、 O 2(2,0) ．设动圆 M 的半径为 r ，则由动圆 M 与圆 O 1 内切，有 |MO 1|＝r －1； 由动圆 M 与圆 O 2 外切，有 |MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－ |MO 1|＝ 3<4.32 2∴点 M 的轨迹是以 O 1 、O 2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支．∴ a ＝ 2， c ＝ 2，∴b ＝ c2 7 － a ＝ 4.4x 2 4y 2∴点M 的轨迹方程为 9 －7 ＝ 1 (x<0) ．变式迁徙 21D [∵sin C － sin B ＝ sin A ，由正弦定理获得112|AB|－ |AC|＝ 2|BC|＝ 2a(定值 )．a∴A 点轨迹是以 B ， C 为焦点的双曲线右支，此中实半轴长为4，焦距为 |BC |＝ a.a 2a 232 216x 16y∴虚半轴长为2 － 4 ＝ 4 a ，由双曲线标准方程得为a 2 － 3a 2 ＝ 1 (y ≠0)的右支． ] 例 3 解题导引有关点法也叫坐标转移(代入 )法，是求轨迹方程常用的方法． 其题目特 征是：点 A 的运动与点 B 的运动有关，且点 B 的运动有规律 (有方程 )，只需将 A 的坐标转移到 B 的坐标中，整理即可得点A 的轨迹方程．解 设动点 P 的坐标为 (x ， y)，点 Q 的坐标为 (x 1，y 11, 1)，则点 N 的坐标为 (2x － x 2y － y )．∵N 在直线 x ＋ y ＝ 2 上，∴2x － x 1＋ 2y － y 1＝ 2.①又∵PQ 垂直于直线 x ＋ y ＝2，y － y 1∴＝ 1，即 x －y ＋ y 1－ x 1＝ 0.② x － x 1x 1 ＝3x ＋ 1 y － 1，联立①②解得2 2 ③y 1＝ 1 x ＋3y － 1.2 2又点 Q 在双曲线 x 2－y 2＝1 上， ∴x 12 － y 12 ＝1.④③代入④，得动点 P 的轨迹方程是2x 2－ 2y 2－2x ＋ 2y － 1＝0.变式迁徙 3解设 A(x 0,0)， B(0， y 0)， P(x ， y)，→2 → → →AP ＝ 2 PB ，又 AP ＝ (x － x 0， y)， PB ＝ (－ x ， y 0－ y)，2 2 所以 x － x 0＝－2 x ， y ＝ 2 (y 0－ y)2得 x 0＝ 1＋ 2 x ， y 0＝ (1＋ 2)y.因为 |AB|＝1＋ 2，即 x 02＋ y 02＝ (1＋ 2)2，222 2所以1＋ 2 x ＋ [(1＋ 2)y] ＝ (1＋ 2) ，x22x 2 2化简得 2 ＋ y ＝ 1.∴点P 的轨迹方程为 2 ＋y＝1.课后练习区1．B [x 2 y 2以下图，由题知|PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a(设椭圆方程为 a 2＋ b 2＝ 1，此中 a>b>0)．连结 MO ，由三角形的中位线可得|F 1M |＋ |MO|＝ a (a>|F 1O|)，则 M 的轨迹为以 F 1、 O 为焦点的椭圆． ]2．B [A 、 B 是两个定点， |CB |－ |CA |＝2<|AB |，所以点 C 轨迹为双曲线的一支． ] 3．C [设 C(x ， y)， A(a,0)， B(0， b)，则 a 2＋ b 2 ＝ 9，①→ → ，所以 (x － a ，y)＝2(－ x ， b － y)，又AC ＝2CB a ＝ 3x ， 即3②b ＝ 2y ，y 22代入①式整理可得 x ＋ 4＝ 1.] 4．B [设抛物线的焦点为F ，因为 A 、 B 在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A 、B 到 F 的距离 AF 、BF 分别等于 A 、 B 到准线 l 的距离 AM 、BN( 以下图 )，于是 |AF|＋ |BF|＝ |AM|＋ |BN|.过 O 作 OR ⊥l ，因为 l 是圆 O 的一条切线， 所以四边形 AMNB 是直角梯形， OR 是中位线，故有 |AF|＋ |BF|＝ |AM|＋ |BN|＝ 2|OR|＝ 8>4 ＝ |AB|.依据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆． ]5．D[因为 |F 1F 2|＝ 2， |MF 1|－ |MF 2|＝ 2，所以轨迹为一条射线． ]6．4π分析设 P(x ，y)，由题知有： (x ＋ 2) 22222 2＋ y ＝ 4[( x － 1)＋ y ]，整理得 x －4x ＋ y ＝ 0，配方得22(x － 2) ＋y ＝4，可知圆的面积为 4π.分析 方法一直接法．x y设 A(x ， y)， y ≠0，则 D 2， 2 ，2∴|CD |＝x－5 2＋ y ＝ 3.2422化简得 (x － 10) ＋ y ＝ 36，∴A 不可以落在 x 轴上，即 y ≠0.方法二定义法．以下图，设 A(x ， y)， D 为 AB 的中点，过 A 作 AE ∥CD 交 x 轴于 E ，则 E(10,0) ．∵|CD |＝3，∴|AE|＝ 6，∴A 到 E 的距离为常数 6.∴A 的轨迹为以 E 为圆心， 6 为半径的圆，即( x－ 10)2＋ y2＝ 36.又 A、 B、 C 不共线，故 A 点纵坐标y≠0.故 A 点轨迹方程为 (x－ 10)2＋ y2＝ 36(y≠0)．8．y2＝8x→y→y分析 AB＝ 2，－2， BC＝ x，2 .→ →→ →＝ 0，∵AB⊥BC，∴AB·BCy y2得 2·x－·＝ 0，得 y ＝8x.2 29．解设 M(x， y)，直线 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝ kx＋ b.x由 OM ⊥AB 得 k＝－y.设 A、 B 两点坐标分别为(x1， y1)、 (x2， y2 )，2由 y ＝ 4px 及 y＝ kx＋b 消去 y，22 22b 得 k x ＋ x(2kb－4p)＋ b ＝ 0，所以 x1x2＝k2.消去 x，得 ky2－ 4py＋ 4pb＝0，4pb所以 y1 y2＝k .(4 分 )由 OA ⊥OB，得 y1y2＝－ x1x2，4pb b2所以k ＝－k2，b＝－4kp.故 y＝ kx＋ b＝ k(x－ 4p)．(8 分 )用 k＝－xy代入，得 x2＋ y2－ 4px＝ 0 (x≠0)． (10 分 )AB 斜率不存在时，经考证也切合上式．故 M 的轨迹方程为x2＋ y2－ 4px＝ 0 (x≠0)． (12 分 )a－ c＝1，a＝ 4，10．解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得解得a＋ c＝7，c＝ 3，又∵b2＝ a2－ c2，∴b＝ 7，x2y2所以椭圆 C 的方程为16＋7＝ 1.(4 分)(2)设 M(x， y)，此中 x∈[－ 4,4]，229x ＋ 112|OP|22由已知|OM |2＝λ及点 P在椭圆 C 上可得16 x2＋y2＝λ，整理得2222(16λ－ 9)x＋ 16λ＝ 112，y此中 x∈[－4,4]． (5 分 )①当 λ＝ 3时，化简得9y 2＝112，44 7 所以点 M 的轨迹方程为 y ＝ ± 3 (－ 4≤ x ≤ 4)．轨迹是两条平行于x 轴的线段． (7 分)3x 2 ＋y 2 ＝ 1，②当 λ≠ 时，方程变形为 112 11242－ 9 216λ16λ此中 x ∈[－4,4]．3当 0< λ<4时，点 M的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线知足－4≤ x ≤ 4 的部分．3当 4<λ<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆知足－ 4≤ x ≤ 4 的部分；当 λ≥ 1 时，点 M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆． (12 分 )y 2 x 211． 解 (1)椭圆的方程可写为 a 2＋b 2＝1，此中 a>b>0 ，a 2 －b 2＝3 2＝ 42a2y由3 3 得2，所以曲线 C 的方程为 x＋ 4 ＝ 1(0<x<1,0< y<2)．(3 分 )a ＝2b ＝ 122xy ＝ 21－ x (0< x<1) ， y ′＝－ .设 P(x 0， y 0 )，因为 P 在 C 上，有 0<x 0<1， y 0＝ 2 1－ x 02， y ′|x ＝ x0＝－ 4x 0，y 04x 0得切线 AB 的方程为 y ＝－ y 0 (x － x 0)＋ y 0. (6 分)设 A(x,0)和 B(0， y)，由切线方程得x ＝ 1， y ＝ 4 .x 0 y 0 → → →由OM ＝ OA ＋ OB 得点 M 的坐标为 (x ， y)，1 4由 x 0， y 0 知足 C 的方程，得点 M 的轨迹方程为 x 2 ＋ y 2＝ 1(x>1， y>2) ． (10 分 )→ 2 2 2 24 ＝4＋ 4 (2)|OM | ＝ x ＋ y ， y ＝ 1 ，x 2－ 11－ x 2→ 2 2 4 ＋5≥ 4＋ 5＝ 9，所以 |OM | ＝ x － 1＋ x 2－ 124当且仅当 x － 1＝，即 x ＝ 3时，上式取等号．→故|OM |的最小值为 3.(14 分 )-11-。

2015年高考备考之考前十天自主复习第三天 数列(文科)[1]等差数列五个量()1,,,,n n a n d a S1. ( 甘肃省兰州市2015年高三诊断考试文) 已知数列{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若1231,2a S a ==,则n S =______.2. ( 2015年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学文2)已知等差数列{}n a 满足：33,13133==a a ，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．3D ．43.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若112,0,3m m m S S S -+=-==,则m =( ) A .3 B .4 C .5 D .6[2]等比数列五个量()1,,,,n n a n q a S4. (甘肃省兰州市2015年高三诊断考试文) 已知{}n a 是递增等比数列,2432,4a a a =-=，则此数列的公比q = .5. (2015年3月德阳市四校高三联合测试数学文) 若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=,则公比为( )A .2B .4C .8D .166.若等比数列{}n a 满足243520,40,a a a a +=+=则公比q =______,前n 项和n S =______.7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知3215=10,9,S a a a +=则1a =( ) A .13 B .13- C .19 D .19-8.设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( ) A .21n n S a =- B .32n n S a =- C .43n n S a =- D .32n n S a =-[3]等差数列证明(定义)9.已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，*n N ∈.下列命题中为真命题的是( )A . 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B . 若*n N ∀∈总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C . 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列D . 若*n N ∀∈总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列[3]等差数列证明(定义) [15]利用n S 定义(,n n S a 关系)10. (2015学年度上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试文17)已知数列{}n a 满足0n a ≠,113a =，()1122,n n n n a a a a n n N *---=⋅≥∈.（1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221214n a a a ++⋅⋅⋅+<.[5]等比数列证明(定义) [15]利用n S 定义(,n n S a 关系) 11.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21nn n S a n N =+-∈(1)求数列{}n a 的前三项123,,a a a ; (2)求证:数列()213n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭为等比数列,并求出{}n a 的通项公式.[7]等差数列性质12.已知,,x y z R ∈,若1,,,,3x y z --成等差数列,则x y z ++的值为( )A .2-B .4-C .6-D .8-[13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,24,a a 是方程220x x --=的两个根,5S =( ) A .52 B .5 C .52- D .5-14. (宁夏回族自治区银川一中2015届高三第一次模拟考试数学文13)等差数列{}n a 中，48126a a a ++=，则91113a a -= .[8]等差数列前n 项和最值15. ( 东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试题4)设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ） A ．6 B ．7 C ．10 D ．9[9]等比数列性质16. ( 2015年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（一）文6)等比数列{}n a 中，42a =，75a =，则数列{}lg n a 的前10项和等于（ ）A ．2B ．lg 50C ．10D ．517. ( 吉林省吉林市第一中学校2015届高三3月“教与学”质量检测（一）数学文10)已知等比数列的公比且，又，则( )A ．5748a a a a +>+B ．5748a a a a +<+C ．5748a a a a +=+D ．5748||||a a a a +>+18. （黄冈中学2015届高三（上）期末考试数学试题文5）已知等比数列{}n a 的首项12014a =，公比为12q =，记123n n b a a a a =，则n b 达到最大值时，n 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．不存在[10]数列周期性19. (宁夏回族自治区银川一中2015届高三第一次模拟考试数学文10)对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：11x =，且对于任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图像上，则201420134321x x x x x x ++++++ 的值为（ ）A . 7549B . 7545C . 7539D . 7553[13]叠加叠乘数列通项公式 20.如果数列321121,,n n a a a a a a a -是首项为1,公比为的等比数列,则5a =( )A .32B .64C .32-D .64-[14]可构造等比数列通项公式 [15]利用n S 定义(,n n S a 关系)21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列{}n S 的前n 项和为n T ,满足()22*n n T S n n N =-∈(1)求1a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式.[15]利用n S 定义(,n n S a 关系) [19]裂项求和(分式)22.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()21441*n n S a n n N +=--∈且2514,,a a a 构成等比数列.(1)证明:2a =求数列{}n a 的通项公式;(3)证明：对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<.[17]分组求和23.设{}n a 为等差数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知7157,75S S ==.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设82n an b =⋅，n T 为数列{}n n b +的前n 项和,求n T .[18]错位相减 [15]利用n S 定义(,n n S a 关系)24. (四川省雅安中学2015届高三开学考试数学文18) 已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2log n n n b a a =，12n n s b b b =+++，求12500n n s n +-⋅+<成立的正整数n 的最小值.[19]裂项求和(间隔分式)25. ( 四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试数学文19)已知数列}{n a 为等差数列，其中11,a =713a =.（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足11+⋅=n n n a a b ，n T 为数列}{n b 的前n 项和，当不等式n n n T )1(8-⋅+<λ（*∈N n ）恒成立时，求实数λ的取值范围.26. (2015年3月德阳市四校高三联合测试数学文16)在数列{a n }中，已知a 1=-20，a 1+n =a n ＋4(n ∈*N )．(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和A n ；(2)若nA b n n 242+=(n ∈*N )，求数列{b n }的前n 项S n ．27.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12a =,28a =,()11452n n n S S S n +-+=≥,n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求n T ；(3)求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值.[20]分段数列前n 项和29.在公差为d 的等差数列{}n a 中,已知110a =,且123,22,5a a a +成等比数列. (1)求,n d a ; (2)若0d <,求123||||||||n a a a a ++++.1. ( 2015年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学文15)已知数列{}n a 满足a a =1，nn a a 111+=+，若对任意的自然数4n ≥，恒有223<<n a ，则a 的取值范围为 ．2..右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.3. (宁夏回族自治区银川一中2015届高三第一次模拟考试数学文3)若等比数列}{n a 的前n 项和32n n S a =⋅-，则2a =（ ）A ．4B ．12C ．24D ．364.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则5a =________.5. (江苏省扬州中学2015届高三3月期初考试数学试题11)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）则1B A-=______．6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈． （1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．7.已知{}n a 为公差不为零的等差数列，首项1a a =，{}n a 的部分项1k a 、2k a 、…、n k a 恰为等比数列，且11=k ，52=k ，173=k . （1）求数列{}n a 的通项公式n a （用a 表示）； （2）设数列{}n k 的前n 项和为n S , 求证：1211132n S S S +++<（n 是正整数）8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a n+1=2S n +2(n N *∈) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a n 与a n +1之间插入n 个数，使这n +2个数组成一个公差为d n 的等差数列， （Ⅰ）在数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p （其中m ,k ,p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明文由； （Ⅱ）求证：123111115()16n n N d d d d *++++<∈.9. ( 吉林省吉林市第一中学校2015届高三3月“教与学”质量检测（一）数学文18)已知等差数列{n a }的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2722,,a a a 成等比数列， （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）若数列{1nS }的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<．10. (安徽省安庆五校联盟2015届高三下学期3月联考数学文19)已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，n N *∈.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S . （注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值.）。

2016年高考备考之考前十天自主复习第6天（文科）回顾一：空间几何体1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．2．空间几何体的三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线．3．直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)；②S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)；④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)；④V 球＝43πR 3.回顾二：空间中的平行于垂直1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理2．提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可． 3． 平行关系及垂直关系的转化示意图热点一：三视图与表面积、体积【典例】( 福建省龙岩市2016届高三教学质量检查数学文8)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）A B+C+D1【题型概述】这类题以三视图为载体，考查面积、体积的计算，尤其三视图及柱、锥与球的接切问题相结合是考试的重点和热点，这类题的解决方法一般为将三视图还原几何体，再利用几何体的表面积公式或体积公式计算，解决的关键是要熟悉常见几何体的三视图，尤其注意几何体的不同摆放位置三视图会发生变化．【跟踪练习1】(2016年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学文10)一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ,表面积为．【跟踪练习2】(东北三省三校2016年高三第一次联合模拟考试文6)已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．热点二：证明或判断空间平行、垂直关系【典例】( 四川省遂宁市2016届高三第二次诊断考试数学文18)如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ， =ADC=90BAD ∠∠o ，22,DC AB a DA ===，E 为BC 中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使P A //平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.【题型概述】空间中的平行关系在高考命题中主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构特征等问题相结合，重点考查空间中直线与平面平行、平面与平面平行的判定及性质，解决该类题的关键是注意线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系的转化． 【跟踪练习1】(江西省六校2016届高三3月联考数学文4)设α,β是空间两个平面，m, n 是空间两条直线，则下列选项不正确．．．的是（ ） A ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 B ．当m ⊂α时，“m β⊥”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件【跟踪练习2】( 2014-2016江西省景德镇高三第二质检数学文19)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，160A AD DAB ∠=∠=︒,O 是AD 的中点．（1）证明AD ⊥面1AOB ; （2）当平面ABCD ⊥平面11AA D D ，求11B CDD V -．1A【跟踪练习3】如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC； (2)求证：平面ABC⊥平面APC.P1．(2014——2016学年度上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试文5)某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）.Aπ.B.C.Dπ2．等腰梯形ABCD，上底1CD=，腰AD CB==3AB=，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图''''A B C D的面积为_______．3．(山东省潍坊市第一中学2014届高三1月期末考前模拟数学文7)设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（A ）//,////,//m n m n αβαβ且则 （B ）,m n αβαβ⊥⊥⊥且，则m n ⊥ （C ）,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥ （D ）,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ 4．如图,四边形ABCD 为矩形,AD ⊥平面ABE,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证:AE ⊥平面BCE ；(2)设M 在线段AB 上,且满足AM=2MB,试在线段CE 上确定一点N,使得MN ∥平面DAE ．5．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=BC,点D 是AB 的中点． (1)求证：BC 1∥平面CA 1D ； (2)求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B ；6. (甘肃省兰州市2016年高三诊断考试文18)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，2AB =,1BC CD ==AB ∥CD ，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（Ⅰ）求证：1AD BC ⊥；（Ⅱ）在AB 上是否存在点M ，使得1C M ∥平面11ADD A ？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．7. (吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测（二）文19)如图，在四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥平面CD AB ，D 2PA =AB =A =，四边形D AB ⊥A ，C//D B A 且C 4B =，点M为C P 中点．()1求证：平面D A M ⊥平面C PB ； ()2求点P 到平面D A M 的距离．。