最新人教A版选修4-5高中数学强化习题第三讲3.3排序不等式和答案

三排序不等式考纲定位重难突破1.了解排序不等式的数学思想和背景．2.了解排序不等式的结构与基本原理．3.理解排序不等式的简单应用.重点：排序不等式的结构与基本原理.难点：排序不等式的简单应用.授课提示：对应学生用书第32页[自主梳理]一、顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…a n b n为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和．二、排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．[双基自测]1．已知a，b，c∈R＋，则a5＋b5＋c5与a3b2＋b3c2＋c3a2的大小关系是()A．a5＋b5＋c5>a3b2＋b3c2＋c3a2B．a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2C．a5＋b5＋c5<a3b2＋b3c2＋c3a2D．a5＋b5＋c5≤a3b2＋b3c2＋c3a2解析：取两组数a3，b3，c3和a2，b2，c2，由排序不等式，得a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2.答案：B2．设两组数1,2,3,4和4,5,6,7的顺序和为A，反序和为B，则A＝________，B＝________.解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60.B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50.答案：60503．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________ s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：41授课提示：对应学生用书第32页探究一 利用排序不等式证明不等式[例1] 设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[证明] 由题意不妨设a ≥b ≥c >0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知 ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c，即所证不等式bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c 成立．1．利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．2．若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等关系来解题．1．设a ，b ，c 为正数，求证：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.证明：不妨设a ≥b ≥c >0，则a 12≥b 12≥c 12， 1bc ≥1ac ≥1ab>0， ∴由顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ac ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a .①又∵a 11≥b 11≥c 11，1c ≥1b ≥1a ，∴由乱序和≥反序和，得a 11b ＋b 11c ＋c 11a ≥a 11a ＋b 11b ＋c 11c ＝a 10＋b 10＋c 10，②由①②两式得：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.探究二 利用排序不等式求最值[例2] 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．[解析] 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式得，ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b 上述两式相加得： 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， 即ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时， ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 取最小值32.利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和及反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．2．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解析：令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得：1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋abc (a ＋b )·bc＝ca (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋abc (a ＋b )·ac＝ba (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )，两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.探究三 利用排序不等式解决实际问题[例3] 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[解析] 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．利用排序不等式解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造排序不等式的模型．3．某座大楼共有n 层，在每层有一个办公室，每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为v 1，v 2，…，v n (他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排？(假设每两层楼的楼梯长都一样)解析：设两层楼间的楼梯长为s ，则第一层需要走的路程为s ，第二层需要走的路程为2s ，…，第n 层需要走的路程为ns .不妨设v ′1>v ′2>…>v ′n 为v 1，v 2，…，v n 从大到小的排列，显然1v ′1<1v ′2<…<1v ′n ，由排序不等式，可得ns 1v ′1＋(n －1)s 1v ′2＋…＋s 1v ′n的和最小，所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使上下楼的时间最短．在运用排序不等式时不能准确找到相应有序数组致误[典例] 一般地，对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，几何平均数G n ＝na 1a 2…a n ，算术平均数A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，利用排序不等式可以判断G n ，A n 的大小关系为________．[解析] 令b i ＝a iG n (i ＝1,2，…，n )，则b 1b 2…b n ＝1，故可取x 1≥x 2≥…≥x n >0，使得b 1＝x 1x 2，b 2＝x 2x 3，…，b n －1＝x n －1x n ，b n ＝x nx 1.由排序不等式有：b 1＋b 2＋…＋b n ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1≥x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n＝n ，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取等号，所以a 1G n ＋a 2G n ＋…＋a nG n ≥n ，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥G n ，即A n ≥G n . [答案] A n ≥G n[规律探究] (1)利用排序不等式的关键是正确地寻找两组有序实数组，构造的恰当是正确解题的前提，如本例中构造的两组数，恰好能够解决反序和为n ，使得问题得以解决．(2)利用排序不等式求解完成后，一定要说明等号成立的条件，若取不到等号也应该说明原因，使得解题更加清晰和准确．(3)运用排序不等式的解题步骤是①构造两组有序数组使之满足排序不等式的条件；②运用排序不等式得到不等关系；③找出等号成立的条件并以此得出证明的结论.[随堂训练] 对应学生用书第34页1．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：设a 1≥a 2≥a 3>0，则1a 3≥1a 2≥1a 1>0，由排列不等式可知a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3. 当且仅当a ′1＝a 1，a ′2＝a 2，a ′3＝a 3时等号成立． 答案：A2．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E <F B ．E ≥F C ．E ＝FD ．E ≤F解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2＝a 3＋a 1＋a 2，即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F . 答案：B3．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a >1b ，x >y ，则x x ＋a ________yy ＋b (填“>”或“<”)．解析：∵1a >1b ，a >0，b >0，∴b >a >0，又x >y >0，∵bx >ay ， ∴bx －ay >0， 又x ＋a >0，y ＋b >0，∴x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0， 即xx ＋a >y y ＋b . 答案：>。

第三节 排序不等式解答题1．若a 1≤a 2≤…≤a n ，而b 1≥b 2≥…≥b n 或a 1≥a 2≥…≥a n 而b 1≤b 2≤…≤b n ，证明：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n ≤⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ·⎝⎛⎭⎫b 1＋b 2＋…＋b n n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时等号成立．证明 不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≥b 2≥…≥b n .则由排序原理得：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b na 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b 1a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b 3＋a 2b 4＋…＋a n －1b 1＋a n b 2……a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 1b n ＋a 2b 1＋…＋a n b n －1.将上述n 个式子相加，得：n (a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≤(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )上式两边除以n 2，得：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n n≤⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋…＋a n n ⎝⎛⎭⎫b 1＋b 2＋…＋b n n .等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n 时成立．2．设a 1，a 2，…，a n 为实数，证明：a 1＋a 2＋…＋a n n ≤ a 21＋a 22＋…＋a 2n n. 证明 不妨设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n由排序原理得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＋…＋a n a n .a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a 1a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋…＋a n a 2a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ≥a 1a n ＋a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n a n －1以上n 个式子两边相加n (a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n)2 两边同除以n 2得a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n n ≥⎝⎛⎭⎫a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 2所以 a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n n ≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 结论得证． 3．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明 不妨设a 1>a 2>…>a n >0，则有a 21>a 22>…>a 2n也有1a 1<1a 2<…<1a n ， 由排序原理：乱序和≥反序和，得：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n a 1≥a 21a 1＋a 22a 2＋…＋a 2n a n＝a 1＋a 2＋…＋a n . 4．设A 、B 、C 表示△ABC 的三个内角的弧度数，a ，b ，c 表示其对边，求证：aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3. 证明 法一 不妨设A >B >C ，则有a >b >c由排序原理：顺序和≥乱序和∴aA ＋bB ＋cC ≥aB ＋bC ＋cAaA ＋bB ＋cC ≥aC ＋bA ＋cBaA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC上述三式相加得3(aA ＋bB ＋cC )≥(A ＋B ＋C )(a ＋b ＋c )＝π(a ＋b ＋c )∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3. 法二 不妨设A >B >C ，则有a >b >c ，由排序不等式aA ＋bB ＋cC 3≥A ＋B ＋C 3·a ＋b ＋c 3， 即aA ＋bB ＋cC ≥π3(a ＋b ＋c )， ∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c≥π3. 5．设a ，b ，c 为正数，利用排序不等式证明a 3＋b 3＋c 3≥3abc .证明 不妨设a ≥b ≥c >0，∴a 2≥b 2≥c 2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a 3＋b 3≥a 2b ＋b 2a ，b 3＋c 3≥b 2c ＋c 2bc 3＋a 3≥a 2c ＋c 2a三式相加得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)．又a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca .所以2(a 3＋b 3＋c 3)≥6abc ，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc .当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．6．设a ，b ，c 是正实数，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3. 证明 不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c .据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg ca lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg ca lg a ＋b lg b ＋c lg c ＝a lg a ＋b lg b ＋c lg c上述三式相加得：3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )即lg(a a b b c c )≥a ＋b ＋c 3lg(abc ) 故a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3. 7．设x i ，y i (i ＝1,2，…，n )是实数，且x 1≥x 2≥…≥x n ，y 1≥y 2≥…≥y n ，而z 1，z 2，…，z n是y 1，y 2，…，y n 的一个排列．求证：∑n i ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1(x i －z i )2. 证明 要证∑n i ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1(x i －z i )2 只需证∑n i ＝1y 2i －2∑n i ＝1x i y i ≥∑n i ＝1z 2i －2∑n i ＝1x i z i . 因为∑ni ＝1y 2i ＝∑n i ＝1z 2i ，∴只需证∑n i ＝1x i z i ≤∑n i ＝1x i y i . 而上式左边为乱序和，右边为顺序和．由排序不等式得此不等式成立．故不等式∑n i ＝1 (x i －y i )2≥∑n i ＝1 (x i －z i )2成立．8．已知a ，b ，c 为正数，且两两不等，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．证明 不妨设a >b >c >0.则a 2>b 2>c 2，a ＋b >a ＋c >b ＋c ，∴a 2(a ＋b )＋b 2(a ＋c )＋c 2(b ＋c )>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )，即a 3＋c 3＋a 2b ＋b 2a ＋b 2c ＋c 2b>a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )，又∵a2>b2>c2，a>b>c，∴a2b＋b2a<a3＋b3，b2c＋c2b<b3＋c3.即a2b＋b2a＋b2c＋c2b<a3＋2b3＋c3，所以有2(a3＋b3＋c3)>a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．。

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课时提升作业十一排序不等式一、选择题(每小题4分,共12分)1.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是( )A.a1b1+a2b2B.a1a2+b1b2C.a1b2+a2b1D.【解析】选A.因为0<a1<a2,0<b1<b2,由排序不等式可知a1b1+a2b2最大.2.(2016·商丘高二检测)设a1,a2,…,a n都是正数,b1,b2,…,b n是a1,a2,…,a n的任一排列,则a1+a2+…+a n的最小值为( )A.1B.nC.n2D.无法确定【解析】选B.因为a1,a2,…,a n都是正数,不妨设a1≤a2≤…≤a n,则≤≤…≤.由题意及排序不等式知,反序和最小,所以a1+a2+…+a n≥a1·+a2·+…+a n·=n,即a1+a2+…+a n的最小值为n.3.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是( )A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零【解题指南】限制a,b,c的大小关系,取两数组利用排序不等式求解.【解析】选B.设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3,根据排序原理,得:a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2016·梅州高二检测)若a>0,b>0且a+b=1,则+的最小值是________.【解析】不妨设a≥b>0,则有a2≥b2,且≥,由排序不等式+≥·a2+·b2=a+b=1.当且仅当a=b=时取等号,所以+的最小值为1.答案:15.设a,b都是正数,若P=+,Q=+,则二者的关系是________.【解析】由题意不妨设a≥b>0.由不等式的性质,知a2≥b2,≥.所以≥.根据排序原理,知×+×≥×+×.即+≥+.答案:P≥Q【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小.三、解答题6.(10分)(2016·广州高二检测)已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).【证明】设正数a,b,c满足a≤b≤c,则a2≤b2≤c2,由排序不等式得,a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c3,a2c+b2a+c2b≤a3+b3+c3,两式相加,得:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知x≥y,M=x4+y4,N=x3y+xy3,则M与N的大小关系是( )A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N【解析】选B.由排序不等式,知M≥N.2.(2016·长沙高二检测)已知x1,x2,…,x n均为正数,A=++…+,B=x1x2+x2x3+…+x n x1.则A与B的大小关系为( )A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B【解析】选C.因为x1,x2,…,x n均为正数,不妨设x1≤x2≤…≤x n,根据排序不等式,得++…+≥x1x2+x2x3+…+x n x1.即A≥B.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·武汉高二检测)若a,b,c>0,a2+b2+c2=3,则ab+bc+ca的最大值是________.【解析】不妨设a≥b≥c>0,则b,c,a为乱序,于是由排序不等式知a2+b2+c2≥ab+bc+ac,所以ab+bc+ca≤3,即ab+bc+ca的最大值为3.答案:34.(2016·珠海高二检测)设a1,a2,…,a n为正数,且a1+a2+…+a n=5,则++…++的最小值为________.【解析】由所求代数式的对称性,不妨设0<a1≤a2≤…≤a n,所以≤≤…≤,≥≥…≥,而,,…,,为,,,…,的一个排列,由乱序和≥反序和,得·+·+…+·+·≥·+·+…+·,即++…++≥a1+a2+…+a n=5,故所求最小值为5.答案:5三、解答题5.(10分)设x>0,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.【解题指南】题中只给出了x>0,但是对于x≥1,x<1并不确定,因此,需要分类讨论.【证明】(1)当x≥1时,1≤x≤x2≤…≤x n.由排序原理知,1·1+x·x+x2·x2+…+x n·x n≥x n·1+x n-1·x+…+1·x n,所以1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)x n.①又因为x,x2,…,x n,1为1,x,x2,…,x n的一个排序,于是由排序原理得1·x+x·x2+…+x n-1·x n+x n·1≥1·x n+x·x n-1+…+x n-1·x+x n·1.所以x+x3+…+x2n-1≥nx n.②①+②,得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.(2)当0<x<1时,1>x>x2>…>x n,同理可得结论.综合(1)与(2),所以当x>0时,1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)x n.【补偿训练】设a1,a2,…,a n为实数,证明:≤.【证明】不妨设a1≤a2≤a3≤…≤a n由排序原理得+++…+=a1a1+a2a2+a3a3+…+a n a n.+++…+≥a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a1+++…+≥a1a3+a2a4+a3a5+…+a n a2……+++…+≥a1a n+a2a1+a3a2+…+a n a n-1以上n个式子两边相加n(+++…+)≥(a1+a2+a3+…+a n)2两边同除以n2得≥所以≥结论得证.关闭Word文档返回原板块。

课后导练基础达标1若A=x 12+x 22+…+x n 2,B=x 1x 2+x 2x 3+…+x n-1x n +x n x 1, 其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系是（ ） A 。

A 〉B B 。

A<B C.A≥B D。

A≤B解析:依序列｛x n }的各项都是正数,不妨设x 1≤x 2≤…≤x n ,则x 2,x 3，…，x n ，x 1为序列｛x n }的一个排列。

依排序原理,得x 1x 1+x 2x 2+…+x n x n ≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n x 1,即x 12+x 22+…+x n 2≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n x 1.答案：C2设a,b 都是正数,P=（ba )2+（ab )2,Q=ba +ab ，则（ )A.P≥Q B。

P≤Q C 。

P 〉Q D.P 〈Q 解析： ∵a,b都是正数,∴ab 、b a 22与b1，a1顺序相同。

∴ba 2·b1+ab 2·a1≥ba 2·a1+ab 2·b1。

∴（ba ）2+（ab )2≥ba +ab ，即P≥Q. 答案：A3设a ，b ，c∈R ，则cab bca abc ++____________a+b+c 。

解析：设a≥b≥c≥0,则bc≤ca≤ab,a1≤b1≤c1，∴cab bca abc ++≥ac·c1+aab +bbc=a+b+c 。

答案:≥4若△ABC 的三内角为A ，B,C,三边为a,b,c ，则cb a cC bB aA ++++___________3π.解析：设a≤b≤c,A≤B≤C。

作序列a,a,a ，b,b,b,c ，c,c ，A ，A ，A,B,B ，B ，C ，C ，C. aA+aA+aA+bB+bB+bB+cC+cC+cC≥(aA+aB+aC）+(bA+bB+bC)+(cA+cB+cC)，∴3（aA+bB+cC ）≥(a+b+c)(A+B+C）,即cb a cC bB aA ++++≥3C B A ++=3π。

课堂导学三点剖析一、利用排序不等式证明不等式【例1】 已知a,b,c ∈R +,求证:23≥+++++b a c c a b c b a . 证明：不妨设a≥b≥c>0,①则0<b+c≤c+a≤a+b,从而有 ba a c cb +≥+≥+111.② 对①②应用排序原理,得cb b ac c b a a c b a a c b b a c +++++≥+++++,③ cb c a c a b a b c b a a c b b a c +++++≥+++++,④ ③+④,得2(c b a a c b b a c +++++)≥(b a b b a a +++)+(a c a a c c +++)+(cb c c b b +++)=3. ∴23≥+++++b a c c a b c b a (当且仅当a=b=c 时等号成立). 各个击破类题演练1设a,b,c 都是正数,证明2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++. 证明:不妨设a≥b≥c>0,①则a+b≥a+c≥b+c>0,b ac a c b +≥+≥+111>0,ba c c abc b a +≥+≥+>0,② 对①②应用排序原理,得ba ca a c bc cb ab b ac c a b c b a +++++≥+++++222,③ ba cb ac ba c b ac b a c c a b c b a +++++≥+++++222,④ ③+④,得2(ba c c abc b a +++++222)≥a+b+c, ∴2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++ (当且仅当a=b=c 时,等号成立).二、利用排序不等式证明条件不等式【例2】 设a,b,c,d 是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数,求证:313333≥+++++++++++c b a d d b a c d c a b d c b a . 证明:不妨设a≥b≥c≥d≥0,①则a+b+c≥a+b+d≥a+c+d≥b+c+d>0,得cb a d d b acd c a b d c b a ++≥++≥++≥++2222≥0,② 令S=cb a d d b acd c a b d c b a +++++++++++3333, 对于①②应用排序原理,得 S≥cb a a d d b a dcd c a c b d c b b a +++++++++++2222,③ S≥cb a b d d b a acd c a d b d c b c a +++++++++++2222,④ S≥cb acd d b a b c d c a a b d c b d a +++++++++++2222,⑤ ③+④+⑤,可得3S≥a 2+b 2+c 2+d 2 =222222222222a d d c c b b a +++++++≥ab+bc+cd+da=1. ∴S≥31(当且仅当a=b=c=d=21时,等号成立). 类题演练2 设a 1,a 2,…，a n 是1,2,…,n 的一个排列,求证:21+32+…+n n a a a a a a n n 132211-+++≤- . 证明:设b 1,b 2,…,b n-1是a 1,a 2,…,a n-1的一个排列,且b 1<b 2<…<b n-1;c 1,c 2,…,c n-1是a 2,a 3,…,a n 的一个排列,且c 1<c 2<…<c n-1, 则121111->>>n c c c 且b 1≥1,b 2≥2,…,b n-1≥n -1;c 1≤2,c 2≤3,…,c n-1≤n. 利用排序不等式有n n a a a a a a 13221-+++ ≥n n c b c b c b n n 13221112211-+++≥+++-- . 变式提升1设实数x 1≥x 2≥…≥x n ,y 1≥y 2≥…≥y n ,z 1,z 2,…,z n 是y 1,y 2,…,y n 的一个置换,证明∑=-n i i i y x1)(2≤∑=-n i i i z x 1)(2.证明:显然所需证明之不等式等价于∑∑==≥n i i in i i i z x y x 11,这由排序不等式可直接得到.三、利用排序不等式解决其他问题【例3】 有十个人各拿一只水桶去打水,设水龙头灌满第i 个人的水桶需要t i 分钟,且这些t i (i=1,2,…,10)各不相等,试问:(1)只有一只水龙头供水时,应如何安排这十个人打水的次序,使他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少?(2)若有两个相同的水龙头供水时,应如何安排这十个人的次序,使他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少?解析：(1)设按某次序打水时水龙头灌满第i 个人的水桶需要s i 分钟,则第一人花费的时间为s 1分钟,第二人花费的时间为(s 1+s 2)分钟,…,第十人花费的时间为(s 1+s 2+…+s 10)分钟,总的花费时间为s 1+(s 1+s 2)+…+(s 1+s 2+…+s 10)=10s 1+9s 2+…+2s 9+s 10.其中,序列s 1,s 2,…,s 10是t 1,t 2,…,t 10的一个排列.由题设,这些t i 各不相同,不妨设t 1<t 2<…<t 10,则由排序原理知10s 1+9s 2+…+2s 9+s 10≥10t 1+9t 2+…+2t 9+t 10，即按任意一个次序打水花费的总时间不小于按如下顺序打水的时间:先按打水所需时间从小到大依次排队,然后逐个打水,此时花费时间最省,总的花费时间为(10t 1+9t 2+…+2t 9+t 10)分钟.(2)如果有两个水龙头,设总时间最少时有m 个人在第一个水龙头打水,设依次所用时间为p 1,p 2,…,p m ;有10-m 个人在第二个水龙头打水,依次所需时间设为q 1,q 2,…,q 10-m .显然必有一个水龙头的打水人数不少于5人,不妨设为第一个水龙头,也不可能有一个水龙头没人去打水,则5≤m<10.由(1)知p 1<p 2<…<p m ,q 1<q 2<…<q 10-m .总的花费时间为T=mp 1+(m-1)p 2+…+p m +(10-m)q 1+(9-m)q 2+…+q 10-m .其中{p 1,p 2,…,p m ,q 1,q 2,…,q 10-m }={t 1,t 2,…,t 10},t 1<t 2<…<t 10.首先我们来证明m=5.若不然,即m>5,我们让在第一个水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去,则总的花费时间变为T′=(m -1)p 2+…+p m +(11-m)p 1+(10-m)q 1+…+q 10-m .所以T-T′=(2m -11)p 1>0,即当m>5时,我们让第一个水龙头的第一人到第二个水龙头去后,总时间减少.故在m=5时,总时间可能取得最小值.由于m=5,故两个水龙头人一样多.总用时为T=(5p 1+4p 2+3p 3+2p 4+p 5)+(5q 1+4q 2+3q 3+2q 4+q 5). 由于p 1<p 2<…<p 5,q 1<q 2<…<q 5.不妨设p 1=t 1.下证q 1<p 2.否则我们交换用时为q 1,p 2的两人的位置后,总用时变为T″=(5p 1+4q 1+3p 3+2p 4+p 5)+(5p 2+4q 2+3q 3+2q 4+q 5),则T-T″=q 1-p 2>0,即经交换后总时间变少.因此q 1<p 2,也即q 1=t 2.类似地,我们可以证明p i <q i <q i +1(i=1,2,3,4),p 5<q 5.从而最省时的打水顺序为水龙头一:t 1,t 3,t 5,t 7,t 9;水龙头二:t 2,t 4,t 6,t 8,t 10.其中t 1<t 2<…<t 10.类题演练3设a 1,a 2,…,a n 是n 个正数,证明n n n a a a na a a •••≥+++ 2121,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立.证法一:记G=n n a a a ••• 21,令b i =G a i (i=1,2,…,n),则原不等式b 1+b 2+…+b n ≥n,其中b 1·b 2·…·b n =1.取x 1,x 2,…,x n ,使b 1=21x x ,b 2=32x x ,…,b n-1=n n x x 1-,则b n =1x x n ,由排序不等式易证 b 1+b 2+…+b n =21x x +32x x +…+nn x x 1-≥n,当且仅当x 1=x 2=…=x n 时等号成立. 所以所证不等式成立,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立. 证法二:令t i =a ii G a a a 21(i =1,2,…,n),则t n =1.从而正数序列t 1,t 2,…,t n 及n t t t 1,,1,121 对应两项大小次序正好相反,由排序原理得n=t 1·11t +t 2·21t +…+t n ·n t 1≤t 1·n t 1+t 2·11t +…+t n ·11-n t ,即n≤G a G a G a n +++ 21=Ga a a n +++ 21, 从而G≤na a a n +++ 21,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立. 变式提升2设a,b,c 是某三角形的三边长,T 是该三角形的面积,证明a 2+b 2+c 2≥34T,并问何时取等号? 证明:根据Heron 公式,需证明不等式等价于(a 2+b 2+c 2)2≥3(a+b+c)(b+c -a)(c+a-b)(a+b-c) =3［(b+c)2-a 2］·［a 2-(b-c)2］=3［(2bc)2-(a 2-b 2-c 2）2］,这又等价于要证明a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2,它由排序不等式可立即得到,这就证明了a 2+b 2+c 2≥34T,等号当且仅当a 2=b 2=c 2,即a=b=c 时成立.。

三 排序不等式1．掌握排序不等式的推导和证明过程．2．会利用排序不等式解决简单的不等式问题．1．基本概念设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，b 1＜b 2＜b 3＜…＜b n 是两组实数，c 1，c 2，c 3，…，c n 是数组b 1，b 2，…，b n 的任何一个排列，则S 1＝a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的______和；S 2＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的______和；S ＝a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 叫做数组(a 1，a 2，…，a n )和(b 1，b 2，…，b n )的____和．2．排序原理或排序不等式设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则__________________≤______________________≤____________________.当且仅当________________或____________________时，反序和等于顺序和．分析题目时要找到原始的两组实数．【做一做1－1】 设a 1，a 2，…，a n 为实数，b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的任一排列，则乘积a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 不小于________．【做一做1－2】 已知a ，b ，c 为正数，P ＝b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c，Q ＝abc ，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD ．P ≤Q答案：1．反序 顺序 乱序2．a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1 a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n a 1＝a 2＝…＝a n b 1＝b 2＝…＝b n【做一做1－1】 a 1a n ＋a 2a n －1＋…＋a n a 1【做一做1－2】 D 取两组实数(b 2c ，c 2a ，a 2b )和(a ，b ，c )，则顺序和为ab 2c ＋abc 2＋a 2bc ＝abc (a ＋b ＋c )，乱序和为b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2，由排序不等式得abc (a ＋b ＋c )≥b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2.即abc ≥b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2a ＋b ＋c.1．对排序不等式的证明的正确理解剖析：在排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的．2．排序原理的思想剖析：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．题型一 构造数组利用排序不等式证明【例1】 设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 分析：不等式的左边，可以分为数组ab ，ac ，bc 和1c ，1b ，1a，排出顺序后，可利用排序原理证明．反思：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数之间的大小关系是解答问题的关键和基础．题型二 需要对不等式中所给字母的大小顺序作出假设的情况【例2】 设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab. 分析：解答本题时不妨先设定0＜a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．反思：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要限定一种大小关系．答案：【例1】 证明：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a. 由排序原理，知ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c， 即所证不等式bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c 成立． 【例2】 解：不妨设0＜a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3.0＜1bc ≤1ca ≤1ab，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab，① a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab.② 将①②两式相加，得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2(a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab)， 将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.1．已知两组数a 1≤a 2≤a 3≤a 4≤a 5，b 1≤b 2≤b 3≤b 4≤b 5，其中a 1＝2，a 2＝7，a 3＝8，a 4＝9，a 5＝12，b 1＝3，b 2＝4，b 3＝6，b 4＝10，b 5＝11，将b i (i ＝1,2,3,4,5)重新排列记为c 1，c 2，c 3，c 4，c 5，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 5c 5的最大值和最小值分别是( )A ．132,6B ．304,212C ．22,6D ．21,362设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a 1′，a 2′，a 3′，则312123a a a a a a ++'''的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12 3．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝233112312a a a a a a a a a ++，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( )A ．E ＜FB ．E ≥FC ．E ＝FD ．E ≤F4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．5．设a ，b 都是正数，求证：22()()a b b a +≥a b b a +.答案：1．B 2.A3．B 不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0，于是11a ≤21a ≤31a ，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2. 由排序不等式：顺序和≥乱序和，得123a a a ＋312a a a ＋231a a a ≥2321a a a ⋅＋3131a a a ⋅＋1211a a a ⋅＝a 3＋a 1＋a 2， 即123a a a ＋231a a a ＋312a a a ≥a 1＋a 2＋a 3.∴E ≥F .4．19 255．分析：观察不等式找出数组，并比较大小，用排序原理证明． 证明：由题意不妨设a ≥b ＞0.则a 2≥b 2，1b ≥1a. 所以2a b ≥2b a. 根据排序原理，知2a b ×1b ＋2b a ×1a ≥2a b ×1a ＋2b a ×1b， 即2()a b ＋2()b a ≥a b ＋b a.。

第三讲柯西不等式与排序不等式3.3 排序不等式A级基础巩固一、选择题1．设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1′，a2′，a3′，则a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为( )A．3 B．6C．9 D．12解析：a1≥a2≥a3＞0，则1a3≥1a2≥1a1＞0，由乱序和不小于反序和知，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′≥a1a1＋a2a2＋a3a3＝3，所以a1a1′＋a2a2′＋a3a3′的最小值为3，故选A.答案：A2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )A．420 元B．400 元C．450 元D．570 元解析：损失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝420(元)，反序和最小．答案：A3．设a，b，c∈R＋，M＝a5＋b5＋c5，N＝a3bc＋b3ac＋c3ab，则M与N的大小关系是( )A．M≥N B．M＝NC．M＜N D．M＞N解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a4≥b4≥c4，运用排序不等式有：a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥ac4＋ba4＋cb4，又a3≥b3≥c3＞0，且ab≥ac≥bc＞0，所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab，即M≥N.答案：A4．已知a，b，c≥0，且a3＋b3＋c3＝3，则a b＋b c＋c a的最大值是( ) A．1 B．2C．3 D.3 3解析：设a≥b≥c≥0，所以 a ≥ b ≥ c.由排序不等式可得a b＋b c＋c a≤a a＋b b＋c c.而(a a＋b b＋c c)2≤(a a)2＋(b b)2＋(c c)2](1＋1＋1)＝9，即a a＋b b＋c c≤3.所以a b＋b c＋c a≤3.答案：C5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )A．大于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序原理，得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B二、填空题6．设a1，a2，…，a n为实数，b1，b2，…，b n是a1，a2，…，a n的任一排列，则乘积a1b1＋a2b2＋…＋a n b n不小于________．答案：a1a n＋a2a n－1＋…＋a n a17．已知a，b，c都是正数，则ab＋c＋bc＋a＋ca＋b≥________．。