高数 矩阵的概念及运算

矩阵的基本概念和运算矩阵是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于数学、工程学、计算机科学和物理学等领域。

它是一个由数字排列成的矩形阵列，其中的数字称为矩阵的元素。

本文将详细介绍矩阵的基本概念和运算。

一、矩阵的基本概念矩阵由m行n列的数字排列组成，可以表示为一个m×n的矩阵。

其中，m为矩阵的行数，n为矩阵的列数。

每个元素可以用下标表示，例如矩阵A的第i行第j列的元素可以用A(i,j)表示。

二、矩阵的表示和分类矩阵可以用方括号表示，例如A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i 行第j列的元素。

矩阵还可以分为不同的类型，如行矩阵、列矩阵、方阵等。

行矩阵是只有一行的矩阵，可以表示为A = [a1, a2, ..., an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。

列矩阵是只有一列的矩阵，可以表示为A = [a1; a2; ...; an]，其中ai 为矩阵A的第i个元素。

方阵是行数和列数相等的矩阵，可以表示为A = [aij]，其中i和j都从1到n。

三、矩阵的运算1. 矩阵的加法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的加法可以定义为A + B = [aij+ bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。

2. 矩阵的减法对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的减法可以定义为A - B = [aij- bij]，其中aij和bij分别为矩阵A和B的对应元素。

3. 矩阵的数乘对于一个矩阵A和一个实数k，它们的数乘可以定义为kA = [kaij]，其中aij为矩阵A的元素。

4. 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘法可以定义为C = AB，其中C的第i行第j列的元素可以表示为C(i,j) = ∑(ai,k * bk,j)，其中k从1到n，n为矩阵A和B的列数。

四、矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

例如，若A = [aij]为一个m×n的矩阵，它的转置矩阵记作AT，即AT = [aji]，其中a ji为矩阵A的第j行第i列的元素。

高等数学教材矩阵矩阵作为高等数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学问题中。

它不仅在线性代数中起着重要的作用，还在其他数学分支以及工程、物理等应用科学中扮演着重要角色。

本文将对矩阵的定义、运算和性质进行详细讲解，并探讨其在实际问题中的应用。

1. 矩阵的定义在数学中，矩阵是按照长方阵列排列的数的集合。

矩阵通常用大写字母表示，如A、B，其元素用小写字母表示，如a_ij，其中i表示行数，j表示列数。

矩阵的维度由行数和列数确定。

2. 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法和乘法。

矩阵加法和减法遵循矩阵对应元素相加和相减的原则，要求两个矩阵具有相同的维度。

矩阵乘法是将矩阵A的每个元素与矩阵B的每列元素进行相乘，再将结果相加得到新矩阵的元素。

3. 矩阵的性质矩阵具有许多有用的性质。

比如，矩阵的转置可以通过将矩阵的行和列互换得到；矩阵的逆可以用来解线性方程组；矩阵的迹是指主对角线上元素的和；矩阵的秩可以用来判断矩阵的线性相关性。

4. 矩阵的应用矩阵在实际问题中有广泛的应用。

例如，在工程领域，矩阵可以用来描述力和力矩的关系，从而帮助解决结构力学问题。

在图像处理中，矩阵可以用来表示图像的像素点，进行图像的缩放、旋转等操作。

在机器学习中，矩阵被广泛应用于数据挖掘和模式识别等领域。

总结：高等数学教材中的矩阵是一门重要的数学概念，通过对矩阵的定义、运算和性质进行深入理解，我们可以更好地应用矩阵解决实际问题。

无论是在线性代数还是其他领域，矩阵都扮演着重要的角色，为问题的建模和求解提供了有效的工具。

希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握矩阵的知识，提高数学应用能力。

数学矩阵的基本知识点总结一、矩阵的定义矩阵可以看作是一个二维数组，其中的每个元素都可以用一个变量表示。

一般来说，矩阵用大写字母表示，比如A、B、C等，而矩阵中的元素用小写字母表示，比如a、b、c等。

一个矩阵可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数，矩阵记作A=(aij)m×n。

例如，一个3×2的矩阵可以表示为：A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}其中a_{11}、a_{12}、a_{21}、a_{22}、a_{31}、a_{32}分别表示矩阵A的元素。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法定义为：若A=(aij)m×n和B=(bij)m×n是两个m×n的矩阵，则它们的和记作A+B，其元素为：(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}即两个矩阵的对应元素相加得到的矩阵。

例如：A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ 6 & 5 \end{bmatrix}则A+B=\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 7 & 7 \\ 11 & 11 \end{bmatrix}2. 矩阵的数乘矩阵的数乘定义为：若A=(aij)m×n是一个m×n的矩阵，k是一个数，则kA记作数k与矩阵A的乘积，其元素为：(kA)_{ij} = k⋅a_{ij}即数k乘以矩阵A的每一个元素得到的矩阵。

例如：A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}k=2则kA=\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}3. 矩阵的乘法矩阵的乘法定义为：若A=(aij)m×n和B=(bij)n×p是一个m×n的矩阵和一个n×p的矩阵，则它们的乘积记作AB，其元素为：(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}即第i行的每个元素与第j列的对应元素相乘再相加得到的矩阵。

高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。

矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。

本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。

一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。

我们用大写字母A、B等来表示矩阵。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。

2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。

3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。

三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。

2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。

3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。

4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。

四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。

2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。

3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。

4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。

五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。

2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。

3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。

总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。

矩阵的运算知识点总结一、矩阵的定义在开始讨论矩阵的运算知识点之前，首先需要了解矩阵的定义。

矩阵是由数个数按矩形排列组成的数组。

一般地，我们定义一个m×n矩阵A为一个m行n列的数组，其中每个元素aij（i行j列的元素）都是一个实数。

数学上通常用大写字母A、B、C、...表示矩阵。

例如，一个3×2矩阵可以表示为：A = [a11 a12a21 a22a31 a32]其中，a11、a12、a21、a22、a31、a32是矩阵的元素。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法当两个矩阵具有相同的行数和列数时，它们可以相加。

矩阵相加是将对应位置的元素相加得到新的矩阵。

例如，对于矩阵A和矩阵B相加，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij + bij。

2. 矩阵的减法矩阵的减法定义与加法类似，对应位置的元素相减得到新的矩阵。

例如，对于矩阵A和矩阵B相减，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = aij - bij。

3. 矩阵的数量乘法矩阵与一个实数相乘，是将矩阵的每个元素都乘以该实数。

例如，对于矩阵A和实数k相乘，结果矩阵B的元素为：bij = k * aij。

4. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行列互换得到新的矩阵。

例如，对于矩阵A的转置矩阵AT，有AT 的第i行第j列元素为A的第j行第i列元素。

5. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中最重要的部分。

两个矩阵的乘法只有在满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时才能进行。

如果A是一个m×p的矩阵，B是一个p×n的矩阵，它们的乘积为一个m×n的矩阵C。

矩阵的乘法运算过程中，结果矩阵C的第i行第j列元素为：cij = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ... + a(i,p)b(p,j)。

以上就是矩阵的基本运算，矩阵运算的内容很广泛，包括了基本运算，特殊矩阵运算和矩阵运算的性质定理等。

第二讲 矩 阵一、矩阵的概念及其基本运算 1. 矩阵及其表示 ()()ij ijm n m na A a A ⨯⨯或或或基本矩阵:行矩阵 ()12,,,n A a a a =列矩阵 12n a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭零矩阵 000000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭负矩阵 111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ∆---⎛⎫⎪---⎪=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭方阵()ij n nA a ⨯=⊃()()()()()()0 00 1, ij ij ij ii ii ij jia i j a i j a i j a a i a i a a i j =∀>=∀<=∀≠⊃=∀⊃=∀=∀上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵数量矩阵单位矩阵对称矩阵 (),ij ji a a i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=-∀⎪⎩反对称矩阵 特殊矩阵:可交换矩阵 AB BA =例如: 数量矩阵与任何同阶方阵都是可交换矩阵, 即()()kE A A kE =秩1矩阵 例如: 不为零的行矩阵和列矩阵21ni i a αα='=∑2112122122212n n n n n a a a a a a aa a a a a a a a αα⎛⎫⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中()12,,,TT n a a a αο=≠2. 基本运算及其运算规律 相等 (1,2,,,1,2,,)ij ij a b i m j n ===A B B A =⇔= (交换律）, A B B C A C ==⇒= (传递律）加法 ()()()ijij ij ij m nm nm na b a b ⨯⨯⨯+=+A B B A +=+ (交换律）()()A B C A B C ++=++(结合律)()A O A A A O+=+-= (零矩阵的作用)数乘法 ()()ijij m nm nk a ka ⨯⨯=()()()()1A Akl A k lA k l A kA lA k A B kA lA==+=++=+（分配律）乘法 ()()()ijijij m pp nm na b c ⨯⨯⨯= （其中1pij ik kjk c a b==∑）()()AB C A BC =（结合律）()()()k AB kA B A kB ==（结合律） ()A B C AB AC +=+（左分配律）()A B C AC BC +=+（右分配律）m n n m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯==（单位矩阵的乘法作用）m n n p m p p m m n p n A O O O A O ⨯⨯⨯⨯⨯⨯== (零矩阵的乘法作用)()()1 ,k k k l k llk kl kk k A A A A A A A A AB BA AB A B k l -+=====方阵的幂的性质)若则(以上与皆为正整数)(矩阵的转置 ()()T ijji m nn mA a A a ⨯⨯=⇒=()()()()TT TT T TTT TA AA B A B kA kA AB B A =+=+'==* 相等与加法运算的条件 * 乘法运算的条件* 乘法没有交换律 (例2.3, 例2.4, 例2.5)消去律 (例2.7)幂零律 (例如: 211,11A A O ⎛⎫==⎪--⎝⎭)3. 矩阵应用用矩阵表示线性变换 Y AX = 用矩阵表示线性方程组 AX B =二、逆矩阵1. 方阵行列式及其性质 方阵行列式 A A ⇒运算性质 TA A =11(0)n A AA A AAB BA A Bμμ--=≠===⋅2. 伴随矩阵及其性质伴随矩阵 1112121222*12Tn n n n nn A A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⇒⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭运算性质 **AA A A A E ==()()()()()***1*****2*1*(0)T T n n n A A kA k A k AB B A A AAA A---==≠===3. 逆矩阵及其性质若存在矩阵B , 使得AB BA E ==, 则称矩阵A 可逆, 称B 为A 的逆, 并记1B A -=.性质: 1)逆矩阵唯一.2)若,A B 是同阶可逆矩阵, 则AB 也是可逆矩阵, 且()111AB B A ---=.3)矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠.且当0A ≠时, 11AA A-*=. 4)若A 可逆,数0k ≠, 则1*,,,T A A A kA -都可逆, 且()()()()()()11111**11111TT A A A A A A A AkA A k--------=====5)若A 可逆, 则()()()011(,)kk k k l k llk klA EA A A A A A A A k l ---+=====以上皆为整数4. 判定矩阵可逆的几个条件 (1)矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠.(2)矩阵A 可逆的充要条件是, 存在矩阵B , 使得AB E BA E ==或. 5. 逆矩阵的计算方法(1)伴随矩阵法 当0A ≠时, 11AA A-*=. (2)初等变换法 ()()1 A E E A -→三、初等变换初等变换 P39初等矩阵 对单位矩阵实施一次初等变换后的矩阵 P39 初等矩阵有三种类型 []()(), P i j P i k P i j k +⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 初等矩阵是可逆矩阵 []()(),= 1 = 1P i j P i k k P i j k -+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦初等矩阵的逆矩阵分别为[][]()()()1111,=, = P i j P i j P i k P i P i j k P i j k k ---⎡⎤⎛⎫+=+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦初等变换的性质:定理1(P41 定理2.7)[],i j r r A B P i j A B ↔→⇔= （[],i jc c A B AP i j B ↔→⇔=）()()0i r kk A B P i k A B ⨯≠→⇔=⎡⎤⎣⎦ （()()0i c kk A B AP i k B ⨯≠→⇔=⎡⎤⎣⎦） (),i j r kr A B P i j k A B +→⇔=⎡⎤⎣⎦ （(),i jc kc A B AP i j k B +→⇔=⎡⎤⎣⎦）定理2(P44 定理 2.10) 任何矩阵A 都与形如rE O O O ⎛⎫⎪⎝⎭的矩阵等价（其中r 由A 唯一决定）. r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭称为矩阵A 的等价标准形. 推论（P44 定理2.12） 对于任意矩阵A , 一定存在可逆矩阵P Q 和, 使得r E O PAQ O O ⎛⎫=⎪⎝⎭. 推论（P44 定理2.11） 可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵, 即可逆矩阵等于初等矩阵之积.6. 逆矩阵应用利用逆矩阵解线性方程组 01A AXB X A B ≠-==()()1A B E A B -→利用逆矩阵求逆线性变换 01A Y AX X A Y ≠-== 四、分块矩阵分块对角阵 12n A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 其中(1,2,,)iA i n =是方阵分块对角阵的性质: (1) 12n A A A A =⋅;(2) 若0(1,2,,)i A i n ≠=, 则111121n A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 五、习题解答 1. P49 8. 提示: ()()()()()()112242222A E AE A E A E A E A E --+-=++-=-=()()()()()11122222442A E AE A E A E E E A E ---+-=++-=-+=2. P49 10.提示: 11010143100010143100100201001100201001001120010001120010X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭010100100,001001010⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是第一种初等矩阵, 其逆是自己. 由定理2.7易得X . 3. P49 11.提示: ()()()()()111AB A B A E B A B A E A A E A E E E A E ---=+⇒-=⇒=-=--+=+-4. P50 13. 提示: ()()()()11111111nn P AP PAP P AP P AP P APP APP AP P A P --------===5. P49 12.提示: 运用P50 13.的结果：()1nP AP -=1n P A P -.6. P50 16.提示: 0***1A n n AA A E A A A A a ≠-=⇒== 7. P50 17. 提示: 设()ijn nA a ⨯=, 则0*210,1,,A nTTij j AA AA A E AA O a i n =====⇒==∑,A 是实数矩阵0,ij a ij A O ⇒=∀⇒=. 产生矛盾, 故0A ≠.8. P50 18. 证明: E A -可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法方法二 构造法假设E A -可逆, D 是其逆, 则()E A D E -=, 于是2232111k k k k D AD E AD A D A A D A D A A D A D A D E A A ----=-=-=+-==+++因此, E A -可逆, 且()11k E A E A A ---=+++.9. P50 19. 证明: E BA +可逆, 并求其逆. 提示: 方法一 验证法方法二 构造法假设E A -可逆, D 是其逆, 则()E A D E -=, 于是2232111k k k k D AD E AD A D A A D A D A A D A D A D E A A ----=-=-=+-==+++因此, E A -可逆, 且()11k E A E A A ---=+++.10. P50 22.结论: 与对角阵可交换的矩阵一定是对角阵. 11. P50 4结论: 上（下）三角矩阵的积是上（下）三角矩阵；对角矩阵的积是对角矩阵. 12. P51 5.提示: (1)一方面 12 =c c Amm nnn m m E B E BA B AE OE E E BA E BA --==⋅--另一方面 21 c c Bmm nn n E B E O AE AE AB E AB-=-=-(2)m n nE BE AB AE λλ-=121011() c c Am n n m n m m E BABOE E E BA E BAλλλλλλλλ-≠--=⋅-=-分块对角阵性质＝13. P51 6. 提示:()()()()()111211211211111111*********D CA B r A r r r r A Br A B E O EA B A O C D O E O D CA B CA E E O A A B D CA B CA D CA B CA O E D CA B CA D CA B -----------------------⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫+--- ⎪⎪ ⎪--⎝⎭六、知识扩展 1. 已知()11123,123αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 设A αβ'=, 求n A . 提示: ()()1nn nA αβαβαβ-'''==11111232332133312n n αβ--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2. 设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, E 为2阶单位矩阵, 矩阵B 满足2BA B E =+, 求B . （2006 数四）提示: ()22BA B E B A E E =+⇒-=()111111221111B A E ---⎛⎫⎛⎫⇒=-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3. 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 而(2)n ≥为正整数, 求12n n A A --. （1999 数三 四） (答案: O )（可试着推测结果）提示:22020402202A A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()12222n n n A A A A A O --⇒-=-=4. 设010100001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 1B P AP -=, 其中P 为三阶可逆矩阵, 求200422B A -. (2004 数四) 提示: 24111A A E -⎛⎫⎪=-⇒=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭200421200421232223.1B A P A P A P P A --⎛⎫⎪-=-=-= ⎪ ⎪-⎝⎭5. 设,,A B C 均为n 阶矩阵, 若,B E AB =+C A CA =+, 求B C -. （2005 数四） 提示: ()(),B E A E C E A A -=-=()() E A B C E A E A B C E-⎧⇒⎨--=-⎩⇒-=可逆 6. 设,,A B C 均为n 阶矩阵, 2,3A B ==-, 求*12A B-. （1998 数四） (答案: 2123n --)提示: 1*1*11222n n n A BA B AB---=⋅=. 7. 设矩阵211,3223A B A A E -⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦, 求1B -. （2002 数四）提示: 方法一 先求出B , 再计算1B -方法二 由232B A A E =-+()()()()11122B A E A E B A E A E ---⇒=--⇒=--8. 设A 是任一(3)n n ≥阶方阵, k 为常数, 求()*kA . （1998 数二）提示: 方法一 因为kA 的余子式1n ij ij A k A -=, 故()*1*n kA k A -=.方法二 加强条件法 如果是选择题, 可设A 可逆, 0k ≠, 则()()*111*1n n kA kA kA k A A k A k---==⋅=. 9. 已知n 阶矩阵,A B 满足1()()B E A E A -=+-,证明: E B +可逆, 并求其逆. 若1000230004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦, 求1()E B -+. （2000 数二） 提示: 方法一 1()()B E A E A -=+-,()()()22B AB E A E A B E A E E A E B E⇒+=-⇒+++=⇒++= 故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 方法二 1()()B E A E A -=+-,()111()(2)2()2()B E A E E A B E A E B E E A ---⇒=+-+⇒=+-⇒+=+故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 10. 已知矩阵,A B 满足124A B B E -=-, 证明矩阵2A E -可逆. 若120120002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求矩阵A .（2000 数二）提示: 由124A B B E -=-()()()()242428248AB B AA EB A E E A E B E E⇒-=⇒-=-+⇒--= 故2A E -可逆. 且()1284A E B E -=+-=11. 设矩阵X 满足*12,A X A X -=+ 求矩阵X . （1999 数二）提示: 由*12,A X A X -=+()()1222A X E AX A E A X E X A E A -⇒=+⇒-=⇒=- 12. 设矩阵A 的伴随矩阵*100001001010038A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 且113,ABA BA E --=+ 求矩阵B . (2000 数一) 提示: 113,ABA BA E --=+()()()()1*11**33333()n AB B A A E B A E A B E A E A B A E B A A E A A A---⇒-=⇒-=⇒-=⇒-=⇒=-=13. 矩阵X 满足AXA BXB AXB BXA E +=++, 矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 求X . （2001数二）14. 已知n 阶矩阵,A B 满足条件AB B A -=, 求A . (若120210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦) (1999 数四） 提示: 由AB B A -=()()()1A EB E E A E B E -⇒--⇒=+-=15. 设矩阵,A B 满足关系式2AB A B =+, 求矩阵B . (若423110123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 求B ) （1987 数三 四）16. 设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-, 求B .(若100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求B ) （1998 数三 四）提示: 方法一*28A BA BA E =-,()()()**128(2,)2882A E BA E A E A B A E A BA A B A E A -⇒-=--⇒-=-⇒=--故，可逆方法二 若A 已知, 则A 必是可逆矩阵（方法一）, 则()()*11128282882A BA BA E A A B B A A E A B E B A E A ---=-⇒=-⇒-=-⇒=--17. 设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 求满足AQ C =的可逆矩阵Q . （2004 数一）提示: 因为3212,c c c c A B B C +↔→→, 所以()()()1,2,3,21AP B BP C ==()()()()()()0111,23,211,23,21100001AP P C Q P P ⎛⎫⎪⇒=⇒== ⎪ ⎪⎝⎭.18. 设A 为3阶矩阵, 将A 第2行加到第1行得B , 再将B 的第1列的-1倍加到第2列得到C , 记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则（A ）1C P AP -=; (B )1C PAP -=; (C )TC P AP =; (D )TC PAP =. （2006 数一）(答案: B ) 提示:11211121,r r c c r r c c A B B C A C +-+-→→⇒→1C PAP -∴=19. 设212223111213311132123313a a a B a a a a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+++⎝⎭, 111213212223313233,a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭试给出,A B 间的关系式. 并证明,A B 同时可逆或同时不可逆.提示:1232r r r r A B ↔+→()()() 3,211,2 B P P A B A∴==-20. 设A 为()2n n ≥阶可逆矩阵, 交换A 的第1行与第2行得矩阵B , **,A B 分别为,A B 的伴随矩阵, 证明: 交换*A 的第1列与第2列得矩阵*B -. （2005 数一 二）。

高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。

在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。

本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。

一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。

矩阵的大小由它的行数和列数来确定。

例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。

同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。

二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。

例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。

例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。

例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。

这里将一一介绍。

1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。

例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。

例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。

矩阵的性质与运算法则矩阵作为数学中的重要概念，在现代科学技术发展中起到了举足轻重的作用。

在线性代数、图像处理、机器学习等领域中都有广泛的应用。

本文将讨论矩阵的性质与运算法则，包括矩阵的基本概念、运算法则、矩阵转置、矩阵乘法、矩阵求逆等内容。

矩阵的基本概念矩阵是由数个行列组成的方便计算的数学对象，一般用大写字母表示。

矩阵按照元素个数和元素类型的不同，可以分为实数矩阵和复数矩阵两种。

一个m×n的矩阵，可以用两个下标i和j（1≤i≤m,1≤j≤n）来表示矩阵中的每个元素，其中i表示该元素所在的行数，j表示该元素所在的列数。

矩阵的运算法则矩阵加减法是一种常见的矩阵运算法则。

对于同型的两个矩阵A和B，它们的和矩阵C的每个元素Cij= Aij+ Bij。

矩阵加减法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。

矩阵转置矩阵转置是把一个矩阵的行与列对换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

对于一个m×n的矩阵A，其转置矩阵AT为一个n×m的矩阵，其中ATij= Aji。

矩阵转置有以下性质：(AT)T=A，(AB)T=BTAT，(A+B)T=AT+BT。

矩阵乘法矩阵乘法是矩阵运算中比较重要的一种计算方法。

对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数（即A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵），则可以定义A和B的乘积C为一个m×p的矩阵，其中Cij=Σk=1nAikBkj。

矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA，但满足结合律，即A(BC)=(AB)C。

矩阵求逆矩阵求逆是指对于一个可逆矩阵A，求出其逆矩阵A-1，使得AA-1= A-1A=I，其中I为单位矩阵。

只有方阵才能求逆，且只有行列式不为0的矩阵才是可逆矩阵。

矩阵求逆有以下性质：(A-1)-1=A，(AB)-1=B-1A-1，(AT)-1=(A-1)T。

总结矩阵的性质与运算法则一般是线性代数中必须掌握的内容。