全等三角形拓展题---尖子生专用

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题1.5全等三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•邗江区期末）如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′的度数为（ ）A．30°B．35°C．40°D．50°【分析】根据全等三角形的性质和角的和差即可得到结论．【解析】∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′＝∠ACB＝70°，∵∠ACB′＝100°，∴∠BCB′＝∠ACB′﹣∠ACB＝30°，∴∠BCA′＝∠A′CB′﹣∠BCB′＝40°，故选：C．2．（2019秋•富阳区期末）已知△ABC≌△A1B1C1，A和A1对应，B和B1对应，∠A＝70°，∠B1＝50°，则∠C的度数为（ ）A．70°B．50°C．120°D．60°【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．【解析】∵△ABC≌△A1B1C1，A和A1对应，B和B1对应，∠A＝70°，∠B1＝50°，∴∠B＝∠B1＝50°，则∠C的度数为：180°﹣50°﹣70°＝60°．故选：D．3．（2019秋•海曙区期末）如图，△ABC≌△AEF且点F在BC上，若AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论错误的是（ ）A．AC＝AF B．∠AFE＝∠BFE C．EF＝BC D．∠EAB＝∠FAC【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．【解析】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故A，C正确；∠EAF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠EAB，故D正确；∠AFE＝∠C，故B错误；故选：B．4．（2019秋•北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（ ）A．70°B．68°C．65°D．60°【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．【解析】∵△ABC≌△AED，∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠BAE＝40°，∴△ABE中，∠B=180°40°2=70°，∴∠AED＝70°，故选：A．5．（2020春•天桥区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）A．45°B．60°C．90°D．100°【分析】首先证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质可得∠1＝∠AED，再根据余角的定义可得∠AED+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．【解析】∵在△ABC和△AED中AC=AD ∠A=∠A AB=AE，∴△ABC≌△AED（SAS），∴∠1＝∠AED，∵∠AED+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故选：C．6．（2020秋•淮安区期末）如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，则CF 的长是（ ）A．2B．3C．5D．7【分析】根据全等三角形的性质求出EF，结合图形计算，得到答案．【解析】∵△ABC≌△DEF，BC＝7，∴EF＝BC＝7，∴CF＝EF﹣EC＝3，故选：B．7．（2020秋•二道区期末）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（ ）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】利用全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，再利用三角形内角和可得∠BAC的度数，然后可得答案．【解析】∵∠B＝80°，∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠EAC＝∠BAD＝70°﹣35°＝35°，故选：B．8．（2020秋•南关区校级期末）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．【解析】∵两个三角形全等，∴∠α＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故选：C．9．（2020秋•恩施市期末）下列说法正确的是（ ）A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案．【解析】A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等；B、面积相等的两个三角形全等，说法错误；C、完全重合的两个三角形全等，说法正确；D、所有的等边三角形全等，说法错误；故选：C．10．（2019秋•黑河期末）如图所示，点B、E、C、F在一条直线上，△ABC≌△DEF，则下列结论正确的是（ ）A．AB∥DE，但AC不平行于DF B．BE＝EC＝CFC．AC∥DF，但AB不平行于DE D．AB∥DE，AC∥DF【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，再利用平行线的判定定理得出答案．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，∴AB∥DE，AC∥DF，无法得出BE＝EC＝CF故选项D正确．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•台州期中）已知△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠E＝60°，则∠C＝　70°　．【分析】利用全等三角形的性质可得∠B＝∠E＝60°，再利用三角形内角和定理计算即可．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠E＝60°，∵∠A＝50°，∴∠C＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故答案为：70°．12．（2020秋•苍南县期中）如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠BEC＝　75　°．【分析】利用全等三角形的性质可得∠C＝∠B＝22°，再利用三角形内角与外角的关系可得答案．【解析】∵△ABD≌△ACE，∴∠C＝∠B＝22°，∵∠A＝53°，∴∠BEC＝∠A+∠C＝22°+53°＝75°，故答案为：75．13．（2019秋•温岭市期末）如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝　68　°．【分析】根据全等三角形的性质求解．【解析】∵图中的两个三角形全等，∴∠α＝68°．故答案为68．14．（2019秋•柯桥区期末）△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AC＝3，EF＝4，AB＝　5　．【分析】根据全等三角形的性质求出BC，根据三角形的周长公式计算．【解析】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝4，由题意得，AB+BC+AC＝12，∴AB＝12﹣3﹣4＝5，故答案为：5．15．如图，有6个条形方格图，在由实线围成的图形中，全等图形有：（1）与　（6）　；（2）与　（5）（3）　．【分析】利用全等图形的概念可得答案．【解析】（1）与（6）是全等图形，（2）与（5）（3）是全等图形，故答案为：（6），（5）（3）．16．（2019春•秦都区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，点E在BC上，若∠C＝76°，则∠DEB＝　28°　．【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，进而解答即可．【解析】∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠AED＝76°，AE＝AC，∴∠AEC＝∠C＝76°，∴∠DEB＝180°﹣∠AED﹣∠AEC＝180°﹣76°﹣76°＝28°，故答案为：28°．17．（2020秋•澄海区期末）一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝　1　．【分析】根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可．【解析】∵两个三角形全等，∴x＝6，y＝5，∴x﹣y＝6﹣5＝1，故答案为：1．18．（2020秋•江宁区校级月考）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是　95°　．【分析】利用全等图形的定义可得∠D＝∠D′＝130°，然后再利用四边形内角和为360°可得答案．【解析】∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，故答案为：95°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•内乡县期末）如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等，三角形的外角的性质计算；（2）根据全等三角形的对应边相等计算．【解析】（1）∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，∵BD＝10，EF＝2，∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，∴BF＝BE+EF＝6．20．（2020秋•西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC ＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．【解析】∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAC=12（120°﹣10°）＝55°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．21．（2017春•黄岛区期末）如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．【分析】直接利用全等图形的定义进而分析得出答案．【解析】如图所示：．22．图中所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠C＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a、b、c、d、e、α、β各字母所表示的值．【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角，可得对应顶点，对应边与对应角，进而可得a，b，c，d，e，α，β各字母所表示的值．【解析】对应顶点：A和G，E和F，C和I，对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI；对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F；∵两个五边形全等，∴a＝12，c＝8，b＝10，d＝5，e＝11，α＝90°，β＝115°．23．（2020春•历下区期中）如图，线段AD、BE相交于点C，且△ABC≌△DEC，点M、N分别为线段AC、CD的中点．求证：（1）ME＝BN；　（2）ME∥BN．【分析】（1）连接BM、EN，根据全等三角形的性质、平行四边形的判定得到四边形MBNE是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；（2）根据平行四边形的性质证明即可．【解答】证明：（1）如图，连接BM、EN，∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，BC＝EC，∵点M、N分别为线段AC、CD的中点，∴CM＝CN，∴四边形MBNE是平行四边形，∴ME＝BN；（2）∵四边形MBNE是平行四边形，∴ME∥BN．24．如图，已知△ABD≌△ACE，点E在线段BD上．（1）判断△ADE的形状，并说明你的理由；（2）若∠CAB＝50°，∠AEC＝65°，求∠AED的度数．【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AD＝AE，根据等腰三角形的判定得出即可；（2）根据等腰三角形的性质得出∠D＝∠AED，根据全等三角形的性质得出∠D＝∠AEC，求出∠AED＝。

2021中考数学尖子生专项复习：全等三角形一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知AB=AE，AC=AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是()A.∠B=∠EB.∠BAD=∠EACC.∠BAC=∠EADD.BC=ED2. 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是()A.0.5B.1C.1.5D.23. 如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块玻璃碎片去玻璃店()A.①B.②C.③D.④4. 如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是()A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠A=∠DEF，BC=FD5. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是()A ．HLB ．ASAC ．SSSD ．SAS6. (2019•临沂)如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，FC AB ∥，若4AB =，3CF =，则BD 的长是A ．0.5B ．1C ．1.5D ．27. 如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD.E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD.若CE＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c8. 图中的小正方形的边长都相等，若△MNP ≌△MEQ ，则点Q 可能是图中的( )A .点AB .点BC .点CD .点D9. 如图，△ACB ≌△A'CB'，∠ACA'=30°，则∠BCB'的度数为( )A.20°B.30°C.35°D.40°10. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题（本大题共8道小题）11. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD.请添加一个适当的条件：______________，使得△ABD≌△CDB.(只需写出一个)12. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH≌△CEB.13. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O 到AB的距离为________．14. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC ＝DB，③AB＝DC，其中不能判定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)．15. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是________(只填一个即可)．16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，若以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，则点P的坐标为________________________．17. 要测量河岸相对两点A，B之间的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF 上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是________米．18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．三、解答题（本大题共5道小题）19. 如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，△ABD≌△ACD，∠BAC=90°.(1)求∠B的度数;(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由.20. (2019•苏州)如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ． (1)求证：EF BC =；(2)若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．21. 杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B 处的过程中，通过隔离带的空隙O ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下．如图，AB ∥OH ∥CD ，相邻两平行线间的距离相等．AC 、BD 相交于O ，OD ⊥CD ，垂足为D.已知AB ＝20米，请根据上述信息求标语CD 的长度．22. 在四边形ABCD 中，AB ＝AD .(1)如图①，若∠B ＝∠D ＝90°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD .请直接写出线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系：____________．(2)如图②，若∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)如图③，若∠B ＋∠ADC ＝180°，E ，F 分别是边BC ，CD 延长线上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，请直接写出EF ，BE ，FD 三者的数量关系．23. 已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD ＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．2021中考数学尖子生专项复习：全等三角形-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A[解析]∵AB=AE，AC=AD，∴当∠BAD=∠EAC或∠BAC=∠EAD 时，依据SAS即可得到△ABC≌△AED;当BC=ED时，依据SSS即可得到△ABC≌△AED;当∠B=∠E时，不能判定△ABC≌△AED.2. 【答案】B[解析]∵CF∥AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE(AAS)，∴AD=CF=3.∵AB=4，∴DB=AB -AD=4-3=1，故选B .3. 【答案】D[解析] 第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块玻璃碎片不能配一块与原来完全一样的玻璃;第②③块只保留了原三角形的部分边，根据这两块玻璃碎片中的任一块均不能配一块与原来完全一样的玻璃;第④块玻璃碎片不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一条完整的边，则可以根据“ASA”来配一块完全一样的玻璃.最省事的方法是带④去.4. 【答案】C[解析] A .添加BC=FD ，AC=ED ，可利用“SAS”判定△ABC ≌△EFD ;B .添加∠A=∠DEF ，AC=ED ，可利用“ASA”判定△ABC ≌△EFD ; C .添加AC=ED ，AB=EF ，不能判定△ABC ≌△EFD ;D .添加∠A=∠DEF ，BC=FD ，可利用“AAS”判定△ABC ≌△EFD.5. 【答案】A6. 【答案】B【解析】∵CF AB ∥，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE △和FCE △中，A FCEADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE CFE △≌△，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=．故选B ．7. 【答案】D[解析] ∵AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠CED ＝∠AFB ＝90°，∠A ＝∠C.又∵AB ＝CD ，∴△CED ≌△AFB.∴AF ＝CE ＝a ，DE ＝BF ＝b ，DF ＝DE －EF ＝b －c.∴AD ＝AF ＋DF ＝a ＋b －c.故选D.8. 【答案】D9. 【答案】B[解析] 由△ACB ≌△A'CB'，得∠ACB=∠A'CB'.由等式的基本性质，得∠ACB-∠A'CB=∠A'CB'-∠A'CB.所以∠BCB'=∠ACA'=30°.10. 【答案】B[解析] 如图，过点F 分别作FZ ⊥AE 于点Z ，FY ⊥CB 于点Y ，FW⊥AB于点W.∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW.同理FW＝FY.∴FZ＝FY.又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY.由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】答案不唯一，如AB＝CD[解析] 由已知AB∥CD可以得到一对角相等，还有BD＝DB，根据全等三角形的判定，可添加夹这个角的另一边相等，或添加另一个角相等均可．12. 【答案】AH＝CB(符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．13. 【答案】2.5[解析] 设点O到AB，BC，AC的距离均为h，∴S△ABC＝12×8·h＝10，解得h＝2.5，即点O到AB的距离为2.5.14. 【答案】②[解析] ∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB，∴若添加①∠A＝∠D，则可由“AAS”判定△ABC≌△DCB；若添加②AC＝DB，则属于“SSA”，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB＝DC，则可由“SAS”判定△ABC≌△DCB.15. 【答案】答案不唯一，如AB＝DE[解析] ∵BF＝CE，∴BC＝EF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SAS)．16. 【答案】(4，0)或(4，4)或(0，4)17. 【答案】2018. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD ＝DE.易证Rt △ACD ≌Rt △AED ，则AC ＝AE ，DE ＋DB ＝CD ＋DB ＝BC ＝AC ＝AE ，故DE ＋DB ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB.三、解答题（本大题共5道小题）19. 【答案】解:(1)∵△ABD ≌△ACD ，∴∠B=∠C. 又∵∠BAC=90°，∴∠B=45°. (2)AD ⊥BC.理由:∵△ABD ≌△ACD ，∴∠BDA=∠CDA. ∵∠BDA+∠CDA=180°，∴∠BDA=∠CDA=90°，即AD ⊥BC.20. 【答案】(1)∵CAF BAE ∠=∠， ∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．(2)∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒，∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．21. 【答案】解：∵AB ∥CD ，OD ⊥CD ， ∴OB ⊥AB ，∵相邻两平行线间的距离相等， ∴OB ＝OD.(3分)在△ABO 与△CDO 中，⎩⎨⎧∠ABO ＝∠CDOOB ＝OD∠AOB ＝∠COD， ∴△ABO ≌△CDO(ASA )，(6分) ∴CD ＝AB ＝20(米)．(7分)22. 【答案】解：(1)EF ＝BE ＋FD(2)(1)中的结论EF ＝BE ＋FD 仍然成立．证明：如图，延长EB 到点G ，使BG ＝DF ，连接AG .∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABG ＋∠ABC ＝180°，∴∠ABG ＝∠D.在△ABG 与△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABG ＝∠D ，BG ＝DF ，∴△ABG ≌△ADF(SAS)． ∴AG ＝AF ，∠1＝∠2.∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠BAD －∠EAF. 又∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠1＋∠3＝12∠BAD ＝∠EAF ， 即∠EAG ＝∠EAF.在△AEG 和△AEF 中，⎩⎨⎧AG ＝AF ，∠EAG ＝∠EAF ，AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF.∴EG ＝EF.∵EG ＝BE ＋BG ，∴EF ＝BE ＋FD.(3)EF ＝BE －FD.23. 【答案】(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)；(2)解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°.∴在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)，∴BE ＝CD .∵DH ⊥AB ，∴∠DHA ＝90°，∵∠CAB ＝60°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，解图∵AC ＝6，BE ＝2，∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8，∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°，∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7，∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2，∴BD ＝213，∵EK ∥BD ，∴△CBD ∽△CEK ，∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133. ∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4，又∵HM ∥AC ，∴△HMG ∽△KCG ，∴HM KC ＝MG CG ，即382＝MG 4－MG，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ，∴△GBP ∽△GEK ，∴BP EK ＝GB GE ， ∴BP ＝261315.。

一、一般全等证明题1.如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，求证：AB=AD．2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF. 给出下列四个结论:①DE=DF; ②DB=DC; ③AD⊥BC; ④AC=3BF. 其中正确的结论共有( )A.4个B.3个C.2个D.1个二、等腰三角形1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．（1）求∠BAE和∠DAE的度数；（2）若∠B-∠C-=400，求∠DAE的度数．2.在△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M=90°、∠MPN=30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB=α，斜边PN交AC于点D．（1）当PN∥BC时，∠ACP=______度；（2）当α=15°时，求∠ADN的度数；（3）在点P的滑动过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出夹角α的大小．3.如图，在△ABC中，BA=BC，D在边CB上，且DB=DA=AC．（1）如图1，∠B=______；∠C=______．（2）如图2，M为线段BC上一动点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC于点N，E，①求证：△ANE是等腰三角形②请写出BN、CE、CD之间的数量关系，并证明；三、等腰直角三角形+全等三角形1.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．求证：DF=DE；2.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F；过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。

全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关DOECBAD系?【变式拓展训练】 如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NC D E B M A F E D C B A DO ED C B A【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°， 求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC∠的度数.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =， 求BDC ∠.【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.DCB A N M D CB AC EDBADA NM C【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC∠的度数.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DEADBCM CA B A CDF2 1 E∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC3. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BECDB A5. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3) 有公共边的，公共边常是对应边.(4) 有公共角的，公共角常是对应角.(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角.(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑵角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3) 边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知ABC中，A 60 , BD、CE分别平分ABC和.ACB ,BD、CE交于点0,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.N【例2】 如图，点 M 为正三角形 ABD 的边AB 所在直线上的任意一点 （点B 除外），作DMN 60，射线MN 与/ DBA 外角的平分线交于点 N , DM 与MN 有怎样的 数量关系？ 【例4】以 ABC 的AB 、AC 为边向三角形外作等边【变式拓展训练】如图，MN DM 且与Z ABC 外角的平分线交 【例3】已知：如图，ABCD 是正方形，/ FAD = /FAE 求证: B C于点0 .求证：OA 平分 DOE •【例 6】 五边形 ABCDE 中，AB = AE ,BC + DE = CD ，/ABC + ZAED = 180求证：AD 平分Z CDE 【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示， ABC 是边长为1的正三角形， BDC 是 顶角为120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60的AB 、AC 上，求 AMN 的周长.MDN ,板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC 中, 求 ABC 的度数.【例8】在等腰 ABC 中，AB AC ，顶角 A 20，在边AB 上取点D ，使AD BC ，求 BDC .【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题 ）如图所示，在 ABC 中，AC BC ， 又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足 BAN 50， ABM 60，求 NMB • 例 10】在四边形 ABCDBAC 60 , AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ,C A中，已知AB AC，ABD 60 ，ADB 76 ，BDC 28 ，求DBC 的度数.【例11】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形ABCD中，DAC 12 , CAB 36 ，ABD 48 ，DBC 24 ，求ACD 的度数.【例12】（河南省数学竞赛试题）在正ABC内取一点D，使DA DB，在ABC 外取一点E，使DBE DBC，且BE BA，求BED.【例13】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在ABC中，BAC BCA 44 , M为ABC 内一点，使得MCA 30 , MAC 16，求BMC的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADA延长AD到E使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数则AD=52. 已知：/ 1= Z2 , CD=DE , EF//AB，求证：EF=AC 证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G贝U/DEG= Z DCA，/DGE= Z2又VCD=DE•••zADC BzGDE (AAS )•••EG=ACTEF//AB•••ZDFE= Z1•/Z1= Z2•••ZDFE= ZDGE•••EF=EG•••EF=AC3. 已知：AD 平分/ BAC, AC=AB+BD ，求证：/ B=2 ZCA证明：在AC上截取AE=AB，连接EDVAD 平分Z BAC•••ZEAD= /BAD又V AE=AB , AD=AD• zAED Bz ABD ( SAS)•••ZAED= ZB，DE=DB•/AC=AB+BDAC=AE+CE•••CE=DE•••ZC= /EDCV Z AED= ZC+ Z EDC=2 ZC•••ZB=2 Z C4. 已知：AC 平分Z BAD , CE丄AB ,Z B+ /D=180 °，求证：AE=AD+BE 证明：在AE上取F，使EF= EB,连接CF因为CE丄AB所以/CEB =/CEF = 90因为 EB = EF , CE = CE ,所以△ CEB ^z CEF所以/B =Z CFE因为/B +/D = 180 ° ,z CFE +/CFA = 180所以/D = /CFA因为AC 平分/BAD所以 /DAC =/FAC又因为AC = AC所以△ADC ^ZAFC (SAS )5. 如图，四边形 ABCD 中，AB //DC , BE 、CE 分别平分/ ABC 、/BCD ，且点E 在AD 上。

精心整理八年级数学上尖子生全等三角形及轴对称提优试题及详尽分析一．选择题（共 1 小题）1．如图， Rt△ACB中，∠ ACB=90°，△ ABC的角均分线 AD、 BE订交于点 P，过 P 作 PF⊥AD 交 BC 的延伸线于点 F，交 AC 于点 H，则以下结论：①∠ APB=135°；② BF=BA；③ PH=PD；④连结 CP，CP均分∠ ACB，此中正确的选项是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二．解答题（共8 小题）2．如图（ 1），点 O 是等边△ ABC内一点，将△ AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，连结OD．（1）求证：△ DOA是等边三角形；（2）如图（ 2），当∠ AOB=150°时，判断△ COD的形状，并说明原因；（3）如图（ 3），当∠ AOB=110°时，研究：当∠ COB为多少度时，△ COD是等腰三角形．3．以下图，∠ BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点 O 是 AD，BC的交点，点 E 是 AB 的中点．（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；（2）试判断 OE和 AB 的地点关系，并赐予证明．4．在△ ABC中， AB=AC，点 D 是直线 BC上一点（不与 B，C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右边作△ADE，使 AD=AE，∠ DAE=∠BAC，连结 CE．（1）如图 1，当点 D 在线段 BC上时，假如∠ BAC=90°，则∠ BCE=°．（2）设∠ BAC=α，∠ BCE=β．①如图 2，当点 D 在线段 BC上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请说明原因．②当点 D 在直线 BC 上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．5．如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=AC， AD⊥BC，垂足是 D， AE 均分∠ BAD，交 BC 于点 E．在△ABC外有一点 F，使 FA⊥ AE，FC⊥BC．（1）求证： BE=CF；（2）在 AB 上取一点 M ，使 BM=2DE，连结 MC，交 AD 于点 N，连结 ME．求证： ME⊥BC．6．如图，在四边形 ABCD中， AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点 E 从 D 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DA 向点 A 匀速挪动，点 F 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度沿 C→B→C作匀速挪动，点 G 从点 B 出发沿 BD 向点 D 匀速挪动，三个点同时出发，当有一个点抵达终点时，其他两点也随之停止运（1）试证明： AD∥ BC．（2）在挪动过程中，小明发现当点 G 的运动速度取某个值时，有△ DEG与△ BFG全等的状况出现，请你研究当点 G 的运动速度取哪些值时，△DEG与△ BFG全等．7．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，∠ PCQ=45°，把∠ PCQ绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，过点 A 作 AD⊥CP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ 于 E．（1）如图①，当∠ PCQ在∠ ACB内部时，求证： AD+BE=DE；（2）如图②，当 CQ在∠ ACB外面时，求证： AD﹣BE=DE；（3）在（ 1）的条件下，若 CD=18，S△BCE=2S△ACD，求 AE的长．（直接写结果）8．已知△ ABC，分别以 AB、 AC 为边作△ ABD 和△ ACE，且 AD=AB，AC=AE，∠ DAB=∠ CAE，连结DC 与 BE，G、F 分别是 DC与 BE 的中点（1）如图 1，DG BF（用＞、＜或 =填空）（2）如图 2，连结 AG，判断△ AFG的形状，并说明原因；（3）如图 3，若∠ DAB=100°，则∠ AFG=；（4）在图 3 中，若∠ DAB=α，∠ AFG=β，直接写出α与β的关系．9．△ ABC中，射线 AD 均分∠ BAC， AD 交边 BC于 E 点．（1）如图 1，若 AB=AC，∠ BAC=90°，则；（2）如图 2，若 AB≠AC，则（ 1）中的结论能否仍建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因；（3）如图 3，若 AB＞ AC，∠ BAC=∠BDC=90°，∠ ABD 为锐角， DH⊥AB 于 H，则线段 AB、 AC、BH 之间的数目关系是，并证明．2018 年 10 月 03 日陆枳彤的初中数学组卷参照答案与试题分析一．选择题（共 1 小题）1．如图， Rt△ACB中，∠ ACB=90°，△ ABC的角均分线 AD、 BE订交于点 P，过 P 作 PF⊥AD 交 BC 的延伸线于点 F，交 AC 于点 H，则以下结论：①∠ APB=135°；② BF=BA；③ PH=PD；④连结 CP，CP均分∠ ACB，此中正确的选项是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【解答】解：在△ ABC中，∵∠ ACB=90°，∴∠ BAC+∠ABC=90°，∴∠ BAD+∠ABE= （∠ BAC+∠ABC）=45°，∴∠ APB=135°，故①正确．∴∠ BPD=45°，又∵ PF⊥AD，∴∠ FPB=90°+45°=135°，∴∠ APB=∠FPB，又∵∠ ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ ABP≌△ FBP，∴∠ BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．在△ APH和△ FPD中，∵∠ APH=∠FPD=90°，∠ PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，∴△ APH≌△ FPD，∴PH=PD，故③正确．∵△ ABC的角均分线 AD、BE订交于点 P，∴点 P 到 AB、AC 的距离相等，点P 到 AB、BC的距离相等，∴点 P 到 BC、AC的距离相等，∴点 P 在∠ ACB的均分线上，∴CP均分∠ ACB，故④正确．应选： D．二．解答题（共8 小题）2．如图（ 1），点 O 是等边△ ABC内一点，将△ AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，连结OD．（1）求证：△ DOA是等边三角形；（2）如图（ 2），当∠ AOB=150°时，判断△ COD的形状，并说明原因；（3）如图（ 3），当∠ AOB=110°时，研究：当∠ COB为多少度时，△ COD是等腰三角形．【解答】（1）证明：∵△ AOB绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，∴AO=AD，∠ OAD=60°，∴△ DOA为等边三角形；（2）解：△ COD为直角三角形．原因以下：∵△ AOB绕点 A 逆时针旋转 60°得△ ADC，∴∠ ADC=∠AOB=150°，∵△ DOA为等边三角形，∴∠ ADO=60°，∴∠ ODC=∠ADC﹣∠ ADO=150°﹣ 60°=90°，∴△ COD为直角三角形；（3）解：∵△ DOA为等边三角形，∴∠ AOD=60°，∵∠ ADC=∠AOB=110°，∠ ADO=60°，∴∠ ODC=∠ADC﹣∠ ADO=110°﹣ 60°=50°，当 OD=OC 时，∠ OCD=∠ODC=50°，则∠ DOC=180°﹣50°﹣ 50°=80°，因此∠ BOC=360°﹣∠ AOB﹣∠AOD﹣∠ DOC=360°﹣110°﹣ 60°﹣ 80°=110°；当 CO=CD时，∠ DOC=∠OCD=50°，因此∠ BOC=360°﹣∠ AOB﹣∠ AOD﹣∠ DOC=360°﹣110°﹣ 60°﹣50°=140°；当 DO=DC时，∠ DOC=∠DCO，则∠ DOC= （180°﹣ 50°）=65°，因此∠ BOC=360°﹣∠ AOB﹣∠ AOD ﹣∠ DOC=360°﹣110°﹣60°﹣65°=125°；综上所述，当∠ COB为 110°或 125°或 140°时，△ COD是等腰三角形．3．以下图，∠ BAC=∠ABD=90°，AC=BD，点 O 是 AD，BC的交点，点 E 是 AB 的中点．（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；（2）试判断 OE和 AB 的地点关系，并赐予证明．【解答】解：（ 1）△ ABC≌△ BAD，△ AOE≌△ BOE，△ AOC≌△ BOD；（2）OE⊥AB．原因以下：在 Rt△ABC和 Rt△ BAD中，，∴△ ABC≌△ BAD（SAS），∴∠ DAB=∠CBA，∴OA=OB，∵点 E 是 AB 的中点，∴OE⊥AB．4．在△ ABC中， AB=AC，点 D 是直线 BC上一点（不与 B，C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右边作△ADE，使 AD=AE，∠ DAE=∠BAC，连结 CE．（1）如图 1，当点 D 在线段 BC上时，假如∠ BAC=90°，则∠ BCE= 90° °．（2）设∠ BAC=α，∠ BCE=β．①如图 2，当点 D 在线段 BC上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请说明原因．②当点 D 在直线 BC 上挪动时，α，β之间有如何的数目关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．【解答】解：（ 1）∵∠ DAE=∠BAC，∠ BAC=∠BAD+∠ DAC=∠ EAC+∠ DAC；∴∠ CAE=∠ BAD；在△ ABD和△ ACE中，∴△ ABD≌△ ACE（SAS）；∴∠ B=∠ACE；∴∠ BCE=∠ BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°﹣∠BAC=90°；故答案为 90°；（2）①由（ 1）中可知β=180﹣°α，∴α、β存在的数目关系为α+β=180°；②当点 D 在射线 BC上时，如图 1，同（ 1）的方法即可得出，△ ABD≌△ ACE（ SAS）；∴∠ ABD=∠ACE，∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°﹣∠ BAC=180°﹣α，∴α+β=180；°当点 D 在射线 BC的反向延伸线上时，如图 2，同（ 1）的方法即可得出，△ ABD≌△ ACE（ SAS）；∴∠ ABD=∠ACE，∴β=∠BCE=∠ACE﹣∠ ACB=∠ABD﹣∠ ACB=∠BAC=α，∴α=β．5．如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=AC， AD⊥BC，垂足是 D， AE 均分∠ BAD，交 BC 于点E．在△ABC外有一点 F，使 FA⊥ AE，FC⊥BC．（1）求证： BE=CF；（2）在 AB 上取一点 M ，使 BM=2DE，连结 MC，交 AD 于点 N，连结 ME．求证：ME⊥BC．【解答】证明：（1）∵∠ BAC=90°，AF⊥AE，∴∠ 1+∠EAC=90°∠2+∠ EAC=90°∴∠ 1=∠2，又∵ AB=AC，∴∠ B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠ FCA=90°﹣∠ ACB=90°﹣ 45°=45°，∴∠ B=∠FCA，在△ ABE和△ ACF中，，∴△ ABE≌△ ACF（ ASA），∴BE=CF；（2）如图，过点 E 作 EH⊥ AB 于 H，则△ BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠ BEH=45°，∵AE 均分∠ BAD， AD⊥ BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△ HEM 是等腰直角三角形，∴∠ MEH=45°，∴∠ BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥ BC．6．如图，在四边形 ABCD中， AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点 E 从 D 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DA 向点 A 匀速挪动，点 F 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度沿 C→B→C作匀速挪动，点 G 从点 B 出发沿 BD 向点 D 匀速挪动，三个点同时出发，当有一个点抵达终点时，其他两点也随之停止运动．（1）试证明： AD∥ BC．（2）在挪动过程中，小明发现当点 G 的运动速度取某个值时，有△ DEG与△ BFG全等的状况出现，请你研究当点 G 的运动速度取哪些值时，△ DEG与△ BFG全等．【解答】（1）证明：在△ ABD和△ CDB中，∴△ ABD≌△ CDB，∴∠ ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：设运动时间为t ，点 G 的运动速度为 v，当 0＜ t≤时，若△ DEG≌△ BFG，则，∴，∴，∴v=3；若△ DEG≌△ BGF，则，∴，∴（舍去）；当＜t≤时，若△ DEG≌△ BFG，则，∴，∴，∴v= ；若△ DEG≌△ BGF，则，∴，∴，∴v=1．综上，点 G 的速度为 3 或或1．7．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，∠ PCQ=45°，把∠ PCQ绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，过点 A 作 AD⊥CP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ 于 E．（1）如图①，当∠ PCQ在∠ ACB内部时，求证： AD+BE=DE；（2）如图②，当 CQ在∠ ACB外面时，求证： AD﹣BE=DE；（3）在（ 1）的条件下，若 CD=18，S△BCE=2S△ACD，求 AE的长．（直接写结果）【解答】解：（ 1）如图①，延伸DA 到 F，使 DF=DE，∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠ DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ ACD+∠ACF=∠DCF=45°，又∵∠ ACB=90°，∠ PCQ=45°，∴∠ ACD+∠BCE=90°﹣ 45°=45°，∴∠ ACF=∠ BCE，在△ ACF和△ BCE中，∵，∴△ ACF≌△ BCE（ SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即 AD+BE=DE；（2）如图②，在 AD 上截取 DF=DE，∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠ DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ ECF=∠ DCE+∠ DCF=90°，∴∠ BCE+∠ BCF=∠ ECF=90°，又∵∠ ACB=90°，∴∠ ACF+∠ BCF=90°，∴∠ ACF=∠ BCE，∵在△ ACF和△ BCE中，，∴△ ACF≌△ BCE（ SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即 AD﹣ BE=DE；（3）∵∠ DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ ECF=45°+45°=90°，∴△ ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=18，∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=×18=6，∴AE=AD+DE=6+18=24．8．已知△ ABC，分别以 AB、 AC 为边作△ ABD 和△ ACE，且 AD=AB，AC=AE，∠ DAB=∠CAE，连结 DC 与 BE，G、F 分别是 DC与 BE 的中点（1）如图 1，DG =BF（用＞、＜或 =填空）（2）如图 2，连结 AG，判断△ AFG的形状，并说明原因；（3）如图 3，若∠ DAB=100°，则∠ AFG= 40°；（4）在图 3 中，若∠ DAB=α，∠ AFG=β，直接写出α与β的关系．【解答】解：（ 1）∵∠ DAB=∠CAE，∴∠ DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，∴∠ DAC=∠BAE．在△ ADC和△ ABE，∴△ ADC≌△ ABE（SAS），∴DC=BE，∵G、 F 分别是 DC与 BE的中点，∴DG= CD， BF= BE，∴DG=BF；故答案为： =；（2）如图 2，连结 AG，∵△ ADC≌△ ABE，∴CD=BE，∠ ADC=∠ ABE，∵G、 F 分别是 DC与 BE的中点，∴DG= CD， BF= BE，∴DG=BF，在△ ADG与△ ABF中，，∴△ ADG≌△ ABF，∴AG=AF，∴△ AFG是等腰三角形；（3）如图 3，连结 AG．∵△ ADC≌△ ABE，∴∠ ADC=∠ABE．AD=AB．∵G、 F 分别是 DC与 BE的中点，∴DG= DC， BF= BE，∴DG=BF．在△ ADG和△ ABF中，∴△ ADG≌△ ABF（SAS），∴AG=AF，∠ DAG=∠BAF，∴∠ AGF=∠AFG，∠ DAG﹣∠ BAG=∠BAF﹣∠ BAG，∴∠ DAB=∠GAF．∵∠ DAB=100°，∴∠ GAF=100°．∵∠ GAF+∠AFG+∠AGF=180°，精心整理故答案为： 40°；（4）∵∠ DAB=a，∴∠ GAF=a．∵∠ GAF+∠AFG+∠AGF=180°，∴a+2β=180．°9．△ ABC中，射线 AD 均分∠ BAC， AD 交边 BC于 E 点．（1）如图 1，若 AB=AC，∠ BAC=90°，则=；（2）如图 2，若 AB≠AC，则（ 1）中的结论能否仍建立？若建立，请证明；若不建立，请说明原因；（3）如图 3，若 AB＞ AC，∠ BAC=∠BDC=90°，∠ ABD 为锐角， DH⊥AB 于 H，则线段 AB、 AC、BH 之间的数目关系是AB﹣ AC=2BH．，并证明．【解答】解：（ 1）∵ AB=AC， AD 均分∠ BAC，∴BE=CE．∴．∵AB=AC，∴，∴= ．故答案为： =；（2）建立，证明：作 EH⊥AB 于 H，EQ⊥AC 于 Q， AN⊥BC 于 N，则 EH=EQ，设 AB=c，AC=b，BE=m，EC=n，EH=h1， AN=h2，∵S△ABE： S△ AEC= h1c÷ h1b=c：b，S△ ABE：S△AEC= h2m÷h2n=m：n，∴c：b=m：n，即 = ；（3）AB﹣AC=2BH．原因：作 DQ⊥ AC交 AC 的延伸线于 Q，∴∠ Q=90°∵DH⊥AB，AD 均分∠ BAC，精心整理∴DH=DQ，∠ AHD=90°，∠ HAD=∠ CAD．∴∠ AHD=∠Q．在△ AHD 和△ AQD 中，，∴△ AHD≌△ AQD（AAS），∴AH=AQ．∵∠ BAC=90°，∠ AHD=∠Q=90°，∴四边形 AHDQ是矩形，∴∠ HDQ=90°．∵∠ BDC=90°，∴∠ HDQ=∠BDC，∴∠ HDQ﹣∠ HDC=∠BDC=∠HDC，∴∠ CDQ=∠BDH．在△ DHB和△ DQC中∴△ DHB≌△ DQC（AAS），∴BH=CQ，∵AB﹣BH=AH，∴AB﹣BH=AQ，∴AB﹣BH=AC+CQ，∴AB﹣AC=2BH．故答案为： AB﹣AC=2BH．。

全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB AND【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NC D EB M A F E DCBA O ED CBA【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°， 求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =， 求BDC ∠.DCB A NM D CB AC EDBADCBA NMC【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBDADBCM CA B即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2 又∵CD=DE∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ） ∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1 ∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC3. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB ，AD=AD∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ） ∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C4. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，CDB ABA CDF2 1 E所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE5. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

全等三角形综合应用知识点：1、全等三角形的判定方法：2、角平分线的性质与判定：例题讲解2016武汉江汉区压轴题．（本题12分）△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是△ABC的中线，以AC为边作等边△ACE，BE分别与直线AD、AC交于点F、G，连接CF(1) ①如图1，若△ABC、△ACE位于AC异侧，求∠EFC的度数②试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系，并说明理由(2) 若△ABC、△ACE位于AC同侧，试完成备用图，并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系解：(1) ①∵AB＝AE，∴设∠ABE＝∠AEB＝α∵AB＝AC，AD是△ABC的中线∴设∠BAD＝∠CAD＝β又2α＋2β＋60°＝180°，α＋β＝60°∴∠AFE＝∠DFC＝α＋β＝60°∴∠EFC＝180°－60°－60°＝60°②过点C作CH⊥BE于H∵∠AEB＋∠AEC＝60°，∠ABE＋∠BAD＝60°∴∠BAD＝∠HEC可证：△ABD≌△EHC（AAS）∴HE＝AD易证：△CFH≌△CFD（AAS）∴FH＝DF∴EF－FH＝AF－DF即EF－AF＝2DF(3) 作图、证明的过程一样AF－EF＝2DF2016武珞路中学．（本题10分）已知等边三角形ABC，M为AB上的一点，以CM为边作等边△CMN，连接BN(1) 求证：AM＝BN(2) 作MH⊥BC于H，连接AH．若AH∥MN，AM＝1，求CH的长证明：(1) △ACM ≌△BCN （SAS ）(2) 由(1)知：△ACM ≌△BCN∴∠CBN ＝∠MAC ＝60°∴∠MBN ＝60°＋60°＝120过点M 作MD ∥BC 交AC 于D∴△AMD 为等边三角形∴AM ＝AD ＝BN ，∠ADM ＝60°∴BM ＝CD ，∠MDC ＝120°在△BMN 和△DCM 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DMBN CDM MBN DCBM∴△BMN ≌△DCM （SAS ）∴∠BMN ＝∠DCM∵AH ∥MN∴∠BMN ＝∠BAH ＝∠DCM在△BAH 和△ACM 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠A C M BAH CA AB CAM ABH ∴△BAH ≌△ACM （ASA ）∴BH ＝AM ＝1∴BM ＝HC∵MH ⊥BC ，∠MBH ＝60°∴BM ＝2BH ＝2∴CH ＝22016武珞路中学．（本题10分）如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向外作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F(1) 若AF ＝10，DF ＝3，试求EF 的长(2) 若以AB 为边向内作等边△ABE ，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．解：(1) 设∠BAD ＝∠CAD ＝α，∠AEC ＝∠ACE ＝β在△ACE 中，2α＋60＋2β＝180°，α＋β＝60°连接BF∴∠BFD＝∠CFD＝60°∴BF＝CF＝2DF＝6在EC上截取EG＝CF，连接AG∴△AEG≌△ACF（SAS）∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF∴∠GAF＝60°∴△AFG为等边三角形∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC＝10＋6＝16(2) 尺规作图：先作AB的垂直平分线，再利用半径得到等边设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β∴∠CAE＝180°－2β∴∠BAE＝2α＋180－2β＝60°，β－α＝60°∴∠BAD＝∠BEF在AF上截取AG＝EF，连接BG可知：△ABG≌△EBF（SAS）∴AG＝EF，BG＝BF∴△BFG为等边三角形∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF武汉二中广雅中学2016．（本题12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜60°），以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC(1) 如图1，∠ABD＝_______（用含α的式子表示）(2) 如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明(3) 在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值例1、（1）在⊿ABC中，∠B=∠C，与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°，那么⊿ABC中与这个角对应的角是（）A、∠A B、∠B C、∠C D、∠B或∠C（2）如图1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A、SSSB、SASC、AASD、ASA（3）如图2，AD平分∠BAC，BF⊥AD于D，交AC于F，DE∥AC，∠BAD=30°，则∠BDE=______例2、如图3，OM平分AOB，AO=OB，AD与BC相交于M。

全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3) 有公共边的，公共边常是对应边.(4) 有公共角的，公共角常是对应角.(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角.(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知ABC中，A 60°, BD、CE分别平分ABC和.ACB , BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.N【例2】 如图，点 M 为正三角形 ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），作DMN 60，射线MN 与/ DBA 外角的平分线交于点 N , DM 与MN 有怎样的 数量关系？【变式拓展训练】如图，点 M 为正方形 ABCD 的边AB 上任意一点, 于点N , MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图， ABCD 是正方形，/ FAD= / FAE.求证：BE+DF=AE.【例4】 以 ABC 的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD 、 ACE ，连结CD 、BE 相交于点0 .求证：OA 平分 DOE .EMN DM 且与Z ABC外角的平分线交【例 6】 五边形 ABCDE 中, AB=AE , BC+DE=CD ,/ ABC+ / AED=180° 求证：AD 平分/CDEBAECD板块二、全等与角度【例7】如图，在 ABC 中, 求 ABC 的度数.【例5】（北京市、 是顶角为 在AB 、天津市数学竞赛试题 ）如图所示， ABC 是边长为1的正三角形， BDC 120的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60的 AC 上，求 AMN 的周长. MDN ，点M 、N 分别 i I'【例8】在等腰 ABC 中，AB AC ,顶角 求BDC .20，在边 AB 上取点D ，使 ADB BC ，BAC 60 , AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ,【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题）如图所示，在ABC中，AC BC , C 20 又M在AC 上，N在BC上，且满足BAN 50 , ABM 60，求NMB •例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC，求DBC 的度数•ABD 60 ，ADB 76 ，BDC 28 ，例11】（日本算术奥林匹克试题）CAB 36 ，ABD 48 ，如图所示，在四边形ABCD中，DBC 24 ，求ACD 的度数•DAC 12 ，【例12】（河南省数学竞赛试题）在正ABC内取一点D，使DA DB ,在ABC 外取一点E，使DBE DBC，且BE BA，求BED .【例13】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在ABC中，BAC BCA 44，M为ABC 内一点，使得MCA 30，MAC 16，求BMC的度数.全等三角形证明经典20题（含答案）1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADD延长AD至U E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数，则AD=52.已知：/ 仁/2, CD=DE , EF//AB，求证：EF=AC证明：过E点，作EG//AC，交AD延长线于G则/ DEG= / DCA，/ DGE= / 2又••• CD=DE•••/ ADC 6 GDE (AAS )••• EG=AC•/ EF//AB•••/ DFE= / 1•••/ 1 = / 2•••/ DFE= / DGE•EF=EG•EF=AC证明：在AC上截取AE=AB，连接ED•/ AD 平分/ BAC•••/ EAD= / BAD又••• AE=AB , AD=AD•••/ AED 6 ABD ( SAS)•••/ AED= / B , DE=DB•/ AC=AB+BDAC=AE+CE• CE=DE•••/ C=Z EDC•••/ AED= / C+ / EDC=2 / C•••/ B=2 / C 4.已知：AC 平分/ BAD , CE丄AB，/ B+ / D=180 °，求证：AE=AD+BE 证明：在AE上取F,使EF = EB，连接CF因为CE丄AB所以/ CEB = Z CEF = 90°因为EB = EF, CE= CE,所以△ CEB ◎△ CEF所以/ B =Z CFE因为/ B +Z D = 180° / CFE + Z CFA = 180° 所以/ D =Z CFA 因为AC 平分Z BAD 所以Z DAC = Z FAC 又因为AC = AC所以△ ADC 也厶AFC ( SAS ) 所以AD = AF所以 AE = AF + FE = AD + BE5.如图，四边形 ABCD 中，AB // DC , BE 、CE 分别平分Z ABC 、Z BCD ，且点 E 在AD 上。