(完整版)二次函数与面积专题

中考数学总复习《二次函数压轴题（面积问题）》专题训练-附含答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x c =-+与y 轴交于点()0,4A -，与x 轴交于点()4,0B ，连接AB .(1)求抛物线的解析式．(2)P 是AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．①求PC PD +的最大值．①连接PA ，PB ，是否存在点P ，使得线段PC 把PAB 的面积分成3:5两部分？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．综合与探究如图1，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC ，BC ．(1)求该抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图1，点D 是线段AC 的中点，连接BD ．点E 是抛物线上一点，若ABE BCD S S =△△，设点E 的横坐标为x ，请求出x 的值；(3)试探究在抛物线上是否存在一点P ，使得45PBO OBC ∠+∠=︒？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D 、E 是直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．4．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．5．如图，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点,A B 两点（点A 在点B 的右侧），点()()8,02,0A B -、，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式； (2)点D 为抛物线的顶点，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，点P 为抛物线上点,D E 之间的一动点，连接,,,,AC AE AP CE CP ，线段,AP CE 交于点G ，记CPG △的面积为1,S AEG △的面积为2S ，且12S S S =-，求S 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将拋物线沿射线AC 方向平移5个单位长度后得到新抛物线，点Q 是新拋物线对称轴上一动点，在平面内确定一点R ，使得以点P Q B R 、、、为顶点的四边形是矩形．直接写出所有符合条件的点R 的坐标．6．如图，有一个长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度18a =米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB 为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)如何设计才能使长方形花圃面积最大；并求其最大面积．7．如图，过原点的抛物线212y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为A ，且抛物线的对称轴为直线2x =，点B 为顶点(1)求抛物线的解析式(2)如图（1），点C 为直线OB 上方抛物线上一动点，连接AB，BC 和AC ，线段AC 交直线OB 于点E ，若CBE △的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，求12S S 的最大值 (3)如图（2），设直线()20y kx k k =-≠与抛物线交于D ，F 两点，点D 关于直线2x =的对称点为D ，直线D F '与直线2x =交于点P ，求证：BP 的长是定值．8．抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ，C ，已知()1,0A -和()0,3C ．(1)求抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)点D 在BC 上方的抛物线上．①如图1，若CAB ABD ∠=∠，求点D 的坐标；①如图2，直线BD 交y 轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交y 轴于点M ，当点D 运动时，求CBD AMNS S △△的最大值及此时点D 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线244y ax ax =-+交x 轴于点A 、B （A 左B右），交y 轴于点C ，直线123y x =-+，经过B 点，交y 轴于点D ．(1)如图1，求a 的值；(2)如图2，点P 在第一象限内的抛物线上，过点A 、B 作x 轴的垂线，分别交直线PD 于点E 和F ，若PF DE =，求点P 的坐标；(3)如图3，在（2）的条件下，点Q 在第一象限内的抛物线上，过点Q 作QH DP ⊥于点H ，交直线BD 于点R ，连接EQ 和ER ，当QE ER =时，求ERQ △的面积．10．已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ．(1)判断ABC 的形状，并说明理由．(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交AC 于点Q ，设四边形OAPC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求使S 最大时点P 的坐标和QHC △的面积；(3)在（2）的条件下，点N 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以P 、C 和M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M 的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．11．已知，如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线6y x =+与x 轴相交于点B ，与y 轴交于点C ，点A 是x 轴正半轴上一点，且满足2tan 3ACO ∠=．(1)若抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 和C 三点，求抛物线的解析式；(2)若点M 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M 作MP y ∥轴，交BC 于点P ，连接OP ，在第一象限内找一点Q ，过点Q 作⊥OQ OP 且OQ OP =，连接PQ ，MQ ，设MPQ 的面积为S ，点P 的横坐标为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(3)在（2）的条件下，设PQ 与y 轴相交于点R ，若53=PR PC 时，求点P 的坐标． 12．已知抛物线22y ax ax c =-+过点()10A -，和()03C ，，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上方抛物线上有一点P （与D 不重合），BCP 面积与BCD △面积相等，求点P 的坐标；(3)若点E 为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点F ，使得以E 、F 和B 、C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线过点()08D ，，与x 轴交于()20A -，，()40B ，两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 为二次函数的顶点，求BCD S △．14．如图，O 为平面直角坐标系坐标原点，抛物线22y ax ax c =-+经过点()6,0B ，点()0,6C 与x 轴交于另一点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)D 点为第一象限抛物线上一点，连接AD 和BD ，设点D 的横坐标为t ，ABD △的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，P 为第四象限抛物线上一点，连接PA 交y 轴于点E ，点F 在线段BC 上，点G 在直线AD 上，若1tan 2DAO ∠=，四边形BEFG 为菱形，求点P 的坐标． 15．已知抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与直线3y x =-+交于点B 和点C ，M 为抛物线的顶点，直线ME 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M 的坐标；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB ，PC ，当PBC 的面积取最大值时，求点P 的坐标．参考答案：1．(1)2142y x x =-- (2)① PC PD +取得最大值254 ① 53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或 316,2⎛⎫+- ⎪⎝⎭2．(1)213222y x x =-++ (1,0)-； (2)3172+或3172-或3332+或3332- (3)存在，517(,)39--或113(,)39-3．(1)故抛物线的表达式为：223y x x =-++，函数的对称轴为：1x =；(2)10113++(3)()4,5-或()8,45-4．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为45．(1)213442y x x =-++ (2)S 的最大值为1，()4,6P(3)()7,3或()5,3-6．(1)2330S x x =-+ 410x ≤＜；(2)当宽AB 为5米，长15BC =米时，长方形花圃的最大面积为75平方米.7．(1)2122y x x =-+ (2)188．(1)()1,4(2)①()2,3D ；①CBD AMN S S △△的最大值为916，此时315,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)13a =- (2)()4,4P(3)1010．(1)直角三角形(2)244S m m =-++ (2,3)P 1QHC S =(3)存在，点M 坐标为3651(,)22+或3651(,)22-或333(,)22或333(,)22-或31(,)22，理由见解析11．(1)211642=--+y x x (2)()2396042S t t t =---<< (3)()()124,2,2,4P P --12．(1)223y x x =-++(2)()23P ，(3)存在，点F 的坐标为()417，或()417-，或()2314-+，或()2314--，13．(1)228y x x =-++(2)614．(1)211642y x x =-++ (2)2553042S t t =-++ (3)()8,6P -15．(1)抛物线的解析式为223y x x =-++，点M 的坐标为(1,4)(2)315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

二次函数与三角形最大面积1、在坐标系中求三角形的面积有 3 种方法：（ 1）割法：（和、差）的相互转变三角形的面积一般都是经过切割成几个三角形尔后计算几个三角形的面积和， 尔后利用坐标来表示三角形的面积，这样三角形的面积即为一个二次函数，下面求解二次函数的最值即可。

公式法：1铅垂高 * 水平宽2（ 2）补法：用大图形的面积– 其他图形的面积（大三角形的面积– 小三角形的积）1、直线 AB 经过 x 轴上的一点 A （2,0），且与抛物线 y=ax 2 订交于 B ， C 两点，已知点 B 坐标为（ 1， 1）（ 1）求直线和抛物线的剖析式；（ 2）若是 D 为抛物线上的一点，使得△ AOD 与△ OBC 的面积相等，求点 D 坐标．2、如图：如图，直线 y1 x 与抛物线 y 1 x 26 交于 A 、 B 两点，24（ 1）求 A 、 B 两点的坐标。

（ 2）点 Q 在 X 轴上方的抛物线上，当 Q 点的坐标为多少时，△ ABQ 的面积最大？最大面积有为多少？YAXB3、、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4,0) 、 B(0 ， -4) 、 C(2,0) 三点，（ 1）求抛物线的剖析式，（ 2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m, △ AMB 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式，并求出S 的最大值。

（ 3）若点 P 为抛物线上的动点，点Q 是直线 y= - x 上的动点，判断有几个地址能使以点P 、Q 、B 、O 为极点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标yA OxC MB24、（广安）如图，已知抛物线y=x +bx+c 经过点（1，-5）和（-2，4）（ 2）设此抛物线与直线y=x 订交于点 A ，B（点 B 在点 A 的侧），平行于 y 轴的直线x=m（ 0＜ m＜ 5 +1）与抛物线交于点M ，与直线y=x 交于点 N ，交 x 轴于点 P，求线段 MN 的长（用含m 的代数式表示）；（ 3）在条件（ 2）的情况下，连接OM 、 BM ，可否存在m 的值，使△ BOM 的面积 S 最大？若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明原由5、已知：抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C 在 y 轴的负半轴上，线段 OA 、 OC 的长（ OA ＜ OC ）是方程 x2-5x+4=0 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x=1．（ 1）求 A 、 B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的剖析式；（3）若点 D 是线段 AB 上的一个动点（与点 A 、B 不重合），过点 D 作 DE ∥ BC 交 AC 于点 E，连接 CD ，设 BD 的长为 m，△ CDE 的面积为S，求 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．S 可否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时 D 点坐标；若不存在，请说明原由．6．（ 2011?济宁）如图，第一象限内半径为 2 的⊙ C 与 y 轴相切于点 A ，作直径AD ，过点 D 作⊙ C 的切线 l 交 x 轴于点 B， P 为直线 l 上一动点，已知直线PA 的剖析式为：y=kx+3 ．（ 1）设点 P 的纵坐标为p ，写出 p 随 k 变化的函数关系式．（ 2）设⊙ C 与 PA 交于点 M ，与 AB 交于点 N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点 B 以外）的什么地址时，都有△ AMN ∽△ ABP ．请你关于点P 处于图中地址时的两三角形相似恩赐证明；（ 3）可否存在使△AMN 的面积等于32的k值？若存在，央求出吻合的k 值；若不存在，请说明原由．25练习牢固：3．（ 2011?南充）抛物线y=ax 2 +bx+c 与 x 轴的交点为 A （ m-4 ， 0）和 B（ m， 0），与直线y= -x+p 订交于点A 和点 C （2m-4 ， m-6 ）．（ 1）求抛物线的剖析式；（ 2）若点 P 在抛物线上，且以点P 和 A ，C 以及另一点Q 为极点的平行四边形面积为12，求点 P，Q 的坐标；（ 3）在（ 2）条件下，若点M 是 x 轴下方抛物线上的动点，当△PQM 的面积最大时，央求出△PQM 的最大面积及点M 的坐标．2.如图 ,在平面直角坐标系中，直线 AB 与 X 轴交于点 A(-2,0) ，与反比率函数在第一象限内的图像交于点 B(2，n)，连接 BO, 若 S△AOB=2 3， (1) 求改反比率函数和直线AB的剖析式。

二次函数——面积问题〖知识要点〗一．求面积常用方法：1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方3. 利用同底或同高三角形面积的关系4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）二．常见图形及公式抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0)抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱=a ∆ 抛物线顶点坐标（-a b2, a b ac 442-）抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.y 轴交PCD 的面3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ，c = ．〖典型例题〗● 面积最大问题1、二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标(4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ∆∆=21，求P 点坐标。

● 同高情况下，面积比=底边之比2．已知：如图，直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，点A 是B 图1抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求B 、C 两点的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P 在直线BC 上，且，求点P 的坐标．3．已知：m 、n 是方程x 2﹣6x +5=0的两个实数根，且m ＜n ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0）、B （0，n ）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（注：抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．● 三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半4．阅读材料：如图，过△ABC 的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C （1，4）交x 轴于点A ，交y 轴于点B （0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB 的长度；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）在第一象限内抛物线上求一点P ，使S △PAB =S △CAB ．法一：同底情况下，面积相等转化成平行线法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等变式一：如图2，点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA ，PB ，是否存在一点P ，使S △PAB =S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．变式二：抛物线上是否存在一点P ，使S △PAB =S △CAB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明 ● 点动+面积5．如图1，已知△ABC 中，AB=10cm ，AC=8cm ，BC=6cm ，如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s ，连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t ≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．形动+面积6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？。

yy
O AA O
C
C
x
B
x
B
（3）直线l⊥x轴，若直线l由点A开始沿x轴正方向以 每秒1个单位的速度匀速向右平移，设运动时间为t （0≤t≤5）秒，运动过程中直线l在△ABC中所扫过的 面积为S，求S与t的函数关系式。
l
yy
O AA O
CC
B x B
x
3 13 2
已知二次函数y＝x 2＋ax＋a－2．
求抛物线的解析式；
若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；
抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在， 请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
练习：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分
别是A（－1，0）、B（4，0），点C在y轴的负 半轴上，且∠ACB＝90°． （1）求点C的坐标； （2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，
求S的最大值．
y
A
O
B
Ex
例3. 在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0， 2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转 90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax 2＋bx＋ c(a≠0)经过C、D、B三点．
y
C
B
D 1
O1
Ax
练习：如图，抛物线y＝－x 2＋bx＋c与x轴交于
A(1，0)，B(－3，0)两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线 的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？
y
C
B
OA x
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在

二次函数面积问题(整)1.题型一：割补法1.1 求解析式已知抛物线经过点A（4，）和点B（，2），且对称轴为直线l，顶点为C，求解析式。

由对称性可知，顶点C的横坐标为4/2=2，代入抛物线方程得2b+c=-4，又由于抛物线经过点A和B，代入方程可得2b+c=16和-b+c=2.解方程组得b=-3，c=2，代入方程y=-x^2-3x+2即可得到解析式。

1.2 求面积连接AC、BC、BD，求四边形ADBC的面积。

由于AC和BC在对称轴上，所以它们的长度相等。

设AC=BC=x，由顶点C的坐标可知，AC和BC的纵坐标分别为2和-2，因此四边形ADBC的面积为x*4+1/2*x*(-4)=2x。

2.如图，在直角坐标系中，已知直线y=x+4与y轴交于A 点，与x轴交于B点，C点坐标为（-2，），求解析式和四边形AOBM的面积。

2.1 求解析式由于抛物线经过点A、B、C，所以可以列出三个方程，分别是c=4，a+b+c=0，4a-2b+c=-2.解方程组得a=1，b=-3，c=4，因此抛物线的解析式为y=x^2-3x+4.2.2 求面积设抛物线的顶点为M，连接AM和XXX，求四边形AOBM的面积。

由于抛物线的对称轴与x轴垂直，所以顶点M的横坐标为1.5，代入抛物线方程可得纵坐标为4.25.因此，四边形AOBM的面积为1/2*2*4.25=4.25.3.已知抛物线y=3(x+1)^2-12如图所示3.1 求交点坐标抛物线与y轴的交点为(-3,-3)，因为当x=0时，y=-3.抛物线与x轴的交点为(-3±2√3,0)，因为当y=0时，x=-1±√3.3.2 求面积设顶点D的坐标为(-1,0)，连接AD和BD，求四边形ABCD的面积。

由于AD和BD在对称轴上，所以它们的长度相等。

设AD=BD=x，由顶点D的坐标可知，AD和BD的纵坐标分别为3和-3，因此四边形ABCD的面积为x*6+1/2*x*6=9x。

二次函数与面积专题例1：已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(2,0),B(0,-1),D(-1,0)三点，。

(1)求二次函数的解析式。

(2)求S△BCD。

(3)在抛物线上找一点P，使S△ADP=S△BCD，求P坐标？(4)线段CD上有一动点P，过P作PQ//Y轴交抛物线于Q点，求PQ线段的最大值？(5)线段CD下方抛物线有一动点P，求三角形PCD面积的最大值？练习1：如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限。

①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．练习2：平面直角坐标系中，口ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到口A'B'OC'．（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；（2）口ABOC和口A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．例2：已知：m，n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC•把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标练习1：（锦江区2021一诊）练习2：（成都2016中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线()213=+-与x轴y a x交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，8-），顶点为D，对称轴与x轴3交于点H.过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴右侧.(1)求a的值及点A、B的坐标；(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．巩固1：（2021青白江一诊）巩固2：如图，己知抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），己知点H （0，﹣1）．问在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC =S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），抛物线上点D 在x 轴上的正投影为点E （﹣2，0），F 是OC 的中点，连接DF ，P 为线段BD 上的一点，若∠EPF=∠BDF ，求线段PE 的长．巩固2：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （－1，0），如图所示，抛物线y ＝2ax2＋ax －23经过点B ． （1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若三角板ABC 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向平移，求点A 落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程中扫过的面积；（4）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数——面积问题（一）〖知识要点〗一．求面积常用方法：1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方3. 利用同底或同高三角形面积的关系4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二． 常见图形及公式抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=抛物线顶点坐标（-, ） 抛物线与y 轴交点（0，c ）“歪歪三角形中间砍一刀”，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 〖基础习题〗 1、若抛物线y=-x2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为.2、若抛物线y=x2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________.3、已知抛物线与轴交于点A ，与轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC=3，则=，B C 铅垂高水平宽ha图1 C BA O y x DB A O y x P=．〖典型例题〗● 面积最大问题1、二次函数的图像与轴交于点A （-1,0）、B （3，0），与轴交于点C ，∠ACB=90°.（1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标(4) P 为抛物线上一点，若使得，求P 点坐标。

● 同高情况下，面积比=底边之比2．已知：如图，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点B 、C ，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求B 、C 两点的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P 在直线BC 上，且，求点P 的坐标．3．已知：m 、n 是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m ＜n ，抛物线y=﹣x2+bx+c 的图象经过点A （m ，0）、B （0，n ）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标． yx B A C O三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半4．阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）在第一象限内抛物线上求一点P，使S△PAB=S△CAB．法一：同底情况下，面积相等转化成平行线法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等变式一：如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．变式二：抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明点动+面积5．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．形动+面积6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？。

使销售利润最大？
请同学们完成这个 问题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗框 的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题 意得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
2
配方，得:
的距离）能否通过此隧道？ 如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1
米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
A CB
)
（6）y=- x2-4x+1
值范围； 例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
O x
（2） 有一辆宽2.8米，高3米的 y=x·
(0<x<2)
∴当x=5，y最大值=50
农用货车（货物最高处与地面AB y随着x的增大而减小。
（4）y=100-5x2 将这个函数关系式配方，得：
y=- 3 (x-1)2+ 3
2
2
∴它的顶点坐标是（1，1.5）
∴当x=1，y最大值=1.5
因为x=1时，满足0<x<2,这时
6-3x 2
=1.5
答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.5m时，它的透光
面积最大，最大面积为1.5m2。
1.求下列函数的最大值或最小值：
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-2x-x2
物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角

二次函数中的面积问题二次函数中的面积问题是中考的热点，面积问题如果是规则图形可以用常见的面积公式解决问题的就直接用面积公式，如果不能直接用面积公式在坐标系中处理面积问题，通常有以下三种思路：第一是割补法：分割求和、补形作差，其中用的最多的是铅垂线法；第二是同底等高利用平行线转化求面积；第三如果遇到的是面积比可以考虑用相似的性质得到线段比去解决相关问题。

【引例1】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．【铅垂法】()11112222ABCACDBCDC D B A SSSCD AE CD BF CD AE BF y y x x =+=⋅+⋅=+=-⋅-【方法梳理】（1）求A 、B 两点水平距离，即水平宽；（2）过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； （3）求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； （4）根据C 、D 坐标求得铅垂高； （5）12S =⨯水平宽铅垂高．二、转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ， 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，PQ △AB ． 当P ,Q 在AB 异侧时，AB 平分PQPABQQBA PDEF OyxCBA 铅垂高水平宽DA BCxyOE三、面积比类型例1.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣5x +5与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2﹣6x +5经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ．若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，当点M 运动到某一位置时，△ABM 的面积等于△ABC 面积的，求此时点M 的坐标；例2.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，抛物线在线段BC 上方部分取一点P ，连接PB 、PC ．（1）过点P 作PH△x 轴交BC 边于点H ，求PH 的最大值；（2）求△PBC 面积的最大值（可以用铅垂线法和平行线法）；PyxO CB A变式1.如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D为抛物线的顶点，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，求△BCD 的面积；变式2.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3；与x轴交于A，B两点，与y轴交于C 点，直线BC方程为y＝x﹣3．点P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求P 的坐标；变式3.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过（﹣1，0），（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．变式4.如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交于点A （﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．若点D为第四象限内二次函数图象上的动点，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．例3.如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，求出点P的坐标；【引例2】如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．当CP与x轴不平行时，求的最大值；（化斜为直）例4.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A和点B，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF ＝3：2时，求点D的坐标．变式1.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．变式2.已知：如图，二次函数y＝﹣x2+x+4；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE△AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；变式3.已知二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，点P 为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN△AD 于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；例4.如图抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A（﹣1，0），点C（0，3），点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．变式1.已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．若直线y＝mx﹣m﹣4将四边形ACDB的面积分为1：2两部分，则m的值为多少作业：1.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足＝＝＝m，则m的值是（）A．1B．C．2D．42.已知抛物线y＝x2﹣x+3；经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△P AB 的面积是△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点，点P为线段MB上一个动点，过点P作PD△x轴于点D，若OD＝m．设△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值吗？若有，求出其最值，若没有，请说明理由；。

中考数学二次函数专题复习超强整理初三——二次函数归类复习一、二次函数与面积面积的求法：①公式法：S=1/2*底*高 ②分割法/拼凑法 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？2、抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积.（2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）x yO M E NA 图五O xy DC 图四xy ODCEB图六PxyOAB D 图二Exy OA BC 图一xyOAB图三3、已知抛物线4212--=x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积.4、已二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P.（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；（2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=,若存在，请写出点N变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.变式二：在双曲线3y x=上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.5、抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点， 点E 运动到什么位置时，△EBC 的面积最大,并求出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积．A x yB OC 变式一图 A x y OBC 变式二图C P x O A B y【模拟题训练】1．（2015•三亚三模）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（﹣1，0）．（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．二、二次函数与相似【相似知识梳理】二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。

【知识梳理】一．二次函数之周长因为平面直角坐标系中点的坐标的几何意义为点到轴的距离，即横平竖直的线段长，所以处理二次函数压轴题的核心思想即为斜线段转化为横平竖直的线段（“斜转直”）．“斜转直”的几种处理思路：①斜线段转化为横平或竖直的线段；②计算有关周长或面积的问题其本质一般也可转化为计算线段，所以同样可利用“斜转直”来处理；③出现斜放的角时，一般也可根据该角构建直角三角形，来实现“斜转直”．二．二次函数之面积割补求面积——铅垂法：12APB B A S PM x x =⋅⋅- 12APB B A S PM x x =⋅⋅- Tips ：①过动点作铅垂线；②铅垂线平行于y 轴或垂直于x 轴．二次函数之周长与面积（含最值问题）【经典例题】【例一】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =（x ﹣2）2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．过点B 作BC ∥x 轴，交抛物线于点C ，过点A 作AD ∥y 轴，交BC 于点D ，点P 在BC 下方的抛物线上（P 不与B ，C 重合），连结PC ，PD ，则△PCD 面积的最大值是．2．已知直线经过点A （0，2），B （2，0），点C 在抛物线2y x 的图象上，则使得ABC S =2的点有（）个．A ．4B ．3C ．2D ．1【例二】1.如图，抛物线2(3)3(0)y ax a x a=+++≠与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若126 5CC=，求m的值；（3）求△PBA面积的最大值以及此时点E的坐标．2.如图，二次函数()2302y ax x c a =-+≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点A （-1，0），点C （0，-2）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点Q ，使△ACQ 周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上的一个动点，求△BCM 面积的最大值以及此时点M 的坐标．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数214y x bx c =-++的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（-4，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）点D 的坐标为（0，4），点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD 、CF ，以CD 、CF 为邻边作平行四边形CDEF ，设平行四边形CDEF 的面积为S ．求S 的最大值.4.如图，抛物线2=-++与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与y x bx c抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RMP与△RMB的面积相等？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．【能力训练】1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =-++与y 轴交于点A ，过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点B ，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为．2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴上一动点，过A 作AC x ⊥轴交抛物线222y x x =++于点C ，以AC 为边作等边ABC ∆，高AD 的最小值为．3．如图，P 是抛物线22y x x =-++在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为．4．如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，它的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME y ⊥轴于点E ，连结BE 交MN 于点F ．（1）求F 的坐标．（2）求EMF ∆与BNF ∆的面积之和．5.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ，D 在y 轴上且OB =OC =3，OA =OD =1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点E ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，求△AME 面积的最大值．（3）在抛物线上是否存在点G ，使得AEG S =3？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．。

二次函数与几何综合—-面积问题➢ 知识点睛1.“函数与几何综合"问题的处理原则：_________________，__________________．2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．② ___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积—-铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ , 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时， 当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 例题示范例1:如图，抛物线y =ax 2+2ax —3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且OA =OC ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式．(2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点,求△ACP 面积的最大值．(3）若点E 在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F ,使以A，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标;若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A （—3,0），B （1，0）,对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ,可得C （0，—3)，代入表达式,即可求得抛物线解析式． 再结合所求线段长来观察几何图形,发现△AOC 为等腰直角三角形． 【过程示范】解:（1)由223y ax ax a =+-(3)(1)a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =，∴(03)C -，, 将(03)C -，代入223y ax ax a =+-， 第二问：铅垂法求面积 【思路分析】（1）整合信息，分析特征:由所求的目标入手分析,目标为S △ACP 的最大值，分析A ,C 为定点,P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动,即-3〈x P <0； （2）设计方案：1()2APBB A S PM x x =⋅⋅-△注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ．【过程示范】如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ,易得:3AC l y x =--设点P 的横坐标为t ，则2(23)P t t t +-，, ∵PQ ∥y 轴， ∴(3)Q t t --，，∴223(23)3(30)Q P PQ y y t t t t t t =-=---+-=---<<， ∴2139()(30)222ACP C A S PQ x x t t t =⋅-=---<<△ ∵302-<， ∴抛物线开口向下,且对称轴为直线32t =-， ∴当32t =-时，ACP S △最大，为278． 第三问：平行四边形的存在性 【思路分析】 分析不变特征：以A ，B ,E ，F 为顶点的四边形中，A ,B 为定点，E ，F 为动点,定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素： 要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB 在平行四边形中的作用,四个顶点用逗号隔开,位置不确定，则AB 既可以作边，也可以作对角线． 画图求解:先根据平行四边形的判定来确定EF 和AB 之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB 作为边时,依据平行四边形的判定，需满足EF ∥AB 且EF =AB ，要找EF ，可借助平移．点E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB 拿出来沿对称轴上下方向平移,确保点E 在对称轴上，来找抛物线上的点F ．注意:在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F 点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB ，EF 互相平分，先找到定线段AB 的中点,在旋转过程中找到EF 恰好被AB 中点平分的位置，因为E 和AB 中点都在抛物线对称轴上，说明EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F 点坐标．结果验证：画图或推理,根据运动范围考虑是否找全各种情形． 【过程示范】(3）①当AB 为边时，AB ∥EF 且AB =EF , 如图所示，设E 点坐标为（—1，m ),当四边形是□ABFE 时，由(30)A -，，(10)B ，可知，F 1代入抛物线解析式，可得,m =12， ∴F 1(3，12)； 当四边形是□ABEF 时,由(30)A -，，(10)B ，可知,F 2（—5，m ）可得,m =12， ∴F 2(—5，12）．②当AB 为对角线时，AB 与EF 互相平分，AB 的中点D (—1，0)，设E (—1，m )，则F （—1,—m ），代入抛物线解析式,可得,m =4， ∴F 3(—1，-4）．综上：F 1(3，12)，F 2（—5，12)，F 3(—1，—4)．精讲精练1.如图,抛物线经过A （—1，0），B （3，0),C （0，3）三点．（1)求抛物线的解析式．（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下,连接MB ，MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及四边形OBMC 的最大面积;若不存在,2.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ,D在y 轴上且OB =OC =3,OA =OD =1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ,B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点E ． (1）求这条抛物线的解析式；（2）若M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，求△AME 面积的最大值．（3)在直线AD 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AEG S =△？如果存在,求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．（4）已知点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上,Q 的坐标．3.如图，已知抛物线y =ax 2-2ax -b （a 〉0）与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧,且点B 的坐标为(-1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．连接AC ，CD ，∠ACD =90°． (1）求抛物线的解析式；（2）若点M 在抛物线上,且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12,设M 的横坐标为m ，求m 的值．(3）已知点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上,且以A ,B ，E ,F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标．4.如图，抛物线254y ax ax =-+（0a <)经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上,且AC =BC ．（1）求抛物线的解析式；(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为点D ，在抛物线上是否存在异于点B 的一点Q ，使△CDQ 的面积与△CDB 的面积相等？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F 是抛物线上的动点，点E 是直线y =—x 上的动点，且以O ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的横坐标．。

D4 P
(0,3) C 3
2
1
(-1,0)
A
OE2
一边在坐标轴上的三角形
(3,0)
B
x
6
S△ PCB=___3____
y
（0,4） E4
(1,4) P
(0,3) C 3
2
1
(-1,0)
A
O
2
补形
三边都不在坐标轴上的三角形
(3,0)
B
7
y
S△ PCB=___3____
(1,4) P
4
(0,3) C
B（3，0）
C（0，3）
(3) 8
(-1,0)
A oE
(3,0)
B
2
考点梳理
y y ax2 bx c(a 0)
二次函数中的重要点和重要线段 4 P
（1）重要的点
C
3
顶点P
2
b 4ac b2


2a
,
4a

1
A
与x轴的交点A(x1,0),B(x2,0) O
B
2
BC上方在抛物线
y x2 2x 3
y
(1,4)
P
4
H
(0,3) C 3
上的动点，求 △BCH面积的
最大值
2
1
(-1,0)
A O
(3,0)
B
2
x
12
变式：H为直线
BC上方在抛物线
y x2 2x 3
y
(1,4)
P
4
H
(0,3) C 3
上的动点，求 △BCH面积的
最大值

专题03二次函数与面积有关问题（专项训练）1．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；2．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y ＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；3．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D 的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．4．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．5．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；6．（2020•天水）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；7．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；8．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC 面积的3倍时，求点P的坐标；9．（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值；10.（2022•本溪二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；11．（2022•新抚区模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣2，0），B（2，2）两点，直线AB与y轴交于点C．（1）求抛物线与直线AB的解析式；（2）点P在抛物线上，直线PC交x轴于Q，连接PB，当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍时，求点P的坐标；12．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；13．（2022•苏州二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA＝OC＝3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分∠△ABP的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；。

《二次函数之面积问题》预习指南一、填写下列有关一次函数之面积问题的内容1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_____________的线，通常有以下三种思路：①__________________（规则图形）；②__________________（分割求和、补形作差）； ③__________________（例：同底等高）．2. 坐标系中面积问题的处理方法举例① 割补求面积（铅垂法)：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△ 在图形附近标注出来，这两个面积公式是如何推导的。

②转化求面积：l 1l 2如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上． 二、借助上面填写的内容，做下面的小题如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A (-1，3）,B (3,-2),则△AOB的面积为___________．（铅垂法）做完题目后思考回答下列问题：① 用补形作差的方法表达斜放置的△AOB 的面积，跟铅垂法对比工作量之间的差别,哪个更简单?② 铅垂法的本质是割补法求面积,对于这种三定点的题目,除了用竖直的线分割之外，还可以用水平的线分割，在图中标上字母，列出计算式子．三、以下内容是我们已经学过的，检测一下．1．已知二次函数与x轴的交点坐标,求函数解析式，设_________式最简便．2．坐标系中表达横平竖直的线段长的口诀是______________,_______________．3．函数特征与几何特征互转的两种手段:由几何特征表达_______，代入__________求解．由函数表达式设出_______点坐标，借助_________求解．四、建议按照下面三个要求去做：①预习时用铅笔，将计算、演草都保留在讲义上;②预习时间控制在一个小时，每题10—15分钟；③每天预习时，看知识点睛→做题，思路受阻时（某个点做了2—3分钟)→再看知识点睛，再做题（再做2—3分钟），如果还不行就放弃，课堂重点听讲.五、小结二次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1.二次函数之面积问题的处理思路①分析目标图形的点、线、图形特征;②依据特征、原则对图形进行割补、转化；③设计方案，求解、验证．面积问题的处理思路：公式、割补、转化．坐标系背景下问题处理原则：________________________，__________________________．2.二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积—-铅垂法：B1()2APB B AS PM x x=⋅⋅-△1()2APB B AS PM x x=⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S△ABP=S△ABQ，若S△ABP=S△ABQ，当P，Q在AB同侧时，当P,Q在AB异侧时，PQ∥AB．AB平分PQ．二、精讲精练1.如图，抛物线经过A(—1，0），B(3，0)，C(0，3）三点．(1)求抛物线的解析式．（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．（3)在（2)的条件下，连接MB ，MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大?若存在，求出点M 的坐标及四边形OBMC 的最大面积；若不存在，请说明理由．2. 如图，抛物线322++-=x x y 与直线1+=x y 交于A ，C 两点，其中C 点坐标为(2，t ）．(1)若P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△APC 面积的最大值．（2）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AGC S =△？如果存在,求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．3. 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点,与直线y x p =-+交于点A 和点C (2，-3)。

二次函数与面积问题二次函数是中学数学中一个重要的概念，其应用不仅仅限于代数学习中的求解，还包括了实际生活中的丰富应用。

其中，面积问题是二次函数应用的一个重要方面。

在本文中，我们将重点探讨二次函数与面积问题的应用。

一、二次函数基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指函数 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 是已知常数，一个非零实数。

2. 二次函数图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或者向下的抛物线，其对称轴在 $x$ 轴上的直线，称为二次函数的轴，其方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。

如果 $a>0$，则抛物线开口向上，如果 $a<0$，则抛物线开口向下。

当 $a\neq0$ 时，函数值的范围为 $(-\infty,\frac{4ac-b^2}{4a})$ 或者 $(\frac{4ac-b^2}{4a},\infty)$。

3. 二次函数的变形二次函数除了基本形式 $y=ax^2+bx+c$，还有一些基于基本形式的变形，如 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $h,k$ 是常数。

变形后的形式可以更方便地求解问题，但需要熟练运用基本变形公式。

二、二次函数与面积问题1. 抛物线下面积抛物线下面积的计算通常可以通过解析式的积分得出，但是如果需要精确解往往较为困难，尤其是在没有高深数学知识支持的情况下。

在使用二次函数计算抛物线下面积时，可以先求出对应的定积分，即：$$\int_{x_1}^{x_2}ax^2+bx+c\mathrm{d}x=\frac{a} {3}(x_2^3-x_1^3)+\frac{b}{2}(x_2^2-x_1^2)+c(x_2-x_1)$$该式是利用积分的基本公式计算得出的，它可以方便地求解出抛物线在一个给定区间内的面积。

2. 平面图形面积二次函数还可用于计算平面图形的面积。

例如，一个半径为 $r$ 的圆的面积可以表示为 $A=\pi r^2$。

专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。

本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。

同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

）方法二： 铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三 ：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。