二次函数与面积专题

专题一：二次函数中的面积问题（一）利用割补：将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD 解法不简便。

）例1：如图抛物线与轴交于两点，与轴交于点, （1）k=___-3_____,点的坐标为___(-1,0)___，点的坐标为____(3,0)____； （2）设抛物线的顶点为，求的面积；（3）在轴下方的抛物线上是否存在一点，使四边形的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；解：（2）M （1，-4）；(3)设,,当m =52时，四边形ABDC 面积最大，为52。

练习1、如图，抛物线与轴交于A 、B 两点，与轴交于点C ，抛物线的对称轴交轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）． （1）求抛物线的表达式；（2）点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．解：（1）y =-12x 2+32x +2(2)对称轴x =-b 2a =32,\D (32,0)， 令-12x 2+32x +2=0,x 1=-1,x 2=4,\B (4,0) ,设F (a ,-12a 2+32a +2),y =x 2-2x +k x A ,B y C (0,-3)A B M D BCM x D ABDC S D BCM =S D OCM +S D BOM -S D BOC =12´3´1+12´3´4-12´3´3=3D (m ,m 2-2m -3) S 四边形ABDC =S D AOC +S D BOD +S D COD=12´1´3+12´|m 2-2m -3|´3+12´m ´3=-12m 2+52m +3-b 2a =-522´(-12)=52,0<m <3y =-12x 2+mx +n x y xxS四边形CDBF =SD COF+SD BOF-SD COD=12´2´a+12´4´(-12a2+32a+2)-12´2´32=-a2+4a+52∵-42´(-1)=2,0<a<4,-1<0,\当a=2时，S四边形CDBF最大，为132此时，直线BC解析式可求得y=-12x+2,\E(2,1)练习2：已知：抛物线的顶点坐标为C（1，4），抛物线交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）．点P是在第一象限内的抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交AB于点D．是否存在点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．解：设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4,将B(0,3)代入得a=-1\y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3,令y=0得x1=-1,x2=3,\A(3,0)连结OC，SD ABC =SD CBO+SD ACO-SD ABO=3,\SD PAB=54×SD ABC=54´3=154设P(m,-m2+2m+3),连结OP、BP,SD PAB =SD BPO+SD APO-SD AOB=12´3´m+12´3´(-m2+2m+3)-12´3´3=-32m2+92m-32m2+92m=154,整理得2m2-6m+0,D=(-6)2-4´2´5=-4<0,所以不存在这样的点P。

二次函数面积问题(整)1.题型一：割补法1.1 求解析式已知抛物线经过点A（4，）和点B（，2），且对称轴为直线l，顶点为C，求解析式。

由对称性可知，顶点C的横坐标为4/2=2，代入抛物线方程得2b+c=-4，又由于抛物线经过点A和B，代入方程可得2b+c=16和-b+c=2.解方程组得b=-3，c=2，代入方程y=-x^2-3x+2即可得到解析式。

1.2 求面积连接AC、BC、BD，求四边形ADBC的面积。

由于AC和BC在对称轴上，所以它们的长度相等。

设AC=BC=x，由顶点C的坐标可知，AC和BC的纵坐标分别为2和-2，因此四边形ADBC的面积为x*4+1/2*x*(-4)=2x。

2.如图，在直角坐标系中，已知直线y=x+4与y轴交于A 点，与x轴交于B点，C点坐标为（-2，），求解析式和四边形AOBM的面积。

2.1 求解析式由于抛物线经过点A、B、C，所以可以列出三个方程，分别是c=4，a+b+c=0，4a-2b+c=-2.解方程组得a=1，b=-3，c=4，因此抛物线的解析式为y=x^2-3x+4.2.2 求面积设抛物线的顶点为M，连接AM和XXX，求四边形AOBM的面积。

由于抛物线的对称轴与x轴垂直，所以顶点M的横坐标为1.5，代入抛物线方程可得纵坐标为4.25.因此，四边形AOBM的面积为1/2*2*4.25=4.25.3.已知抛物线y=3(x+1)^2-12如图所示3.1 求交点坐标抛物线与y轴的交点为(-3,-3)，因为当x=0时，y=-3.抛物线与x轴的交点为(-3±2√3,0)，因为当y=0时，x=-1±√3.3.2 求面积设顶点D的坐标为(-1,0)，连接AD和BD，求四边形ABCD的面积。

由于AD和BD在对称轴上，所以它们的长度相等。

设AD=BD=x，由顶点D的坐标可知，AD和BD的纵坐标分别为3和-3，因此四边形ABCD的面积为x*6+1/2*x*6=9x。

(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。

278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。

抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。

思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。

该方法不是唯一的。

可以使用截补法，但是有点麻烦。

如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。

掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。

答： （1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。

将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。

二次函数与面积问题一、引言二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在实际生活中有许多应用。

其中之一就是与面积问题相关联。

本文将详细讨论二次函数与面积问题的关系，并分析实际应用。

首先，我们将介绍二次函数的基本概念和公式，然后探讨如何利用二次函数解决面积问题。

二、二次函数基本概念2.1 二次函数的定义二次函数是指具有形如f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

二次函数的图像通常为一个抛物线。

2.2 二次函数的图像与性质二次函数的图像可分为三种情况：开口向上、开口向下和与x轴相切。

其开口的方向由二次项的系数a决定。

二次函数还具有顶点坐标、对称轴和零点等性质，这些性质对于解决面积问题非常关键。

2.3 二次函数的标准形式和一般形式二次函数可通过变换转化为标准形式或一般形式。

标准形式为f(x)=a(x−ℎ)2+ k，其中(ℎ,k)为顶点坐标。

一般形式为f(x)=ax2+bx+c。

三、二次函数与面积问题3.1 二次函数与矩形面积问题矩形是我们生活中常见的图形之一。

假设一个矩形的长度为x，宽度为y，则它的面积A可以表示为A=xy。

现在，我们希望找到一个长度固定的矩形，使得它的面积最大。

我们可以建立一个二次函数来解决这个问题。

首先，根据矩形的面积公式A=xy，我们可以将y表示为x的函数：y=Ax。

然后，我们将该函数进行变形，得到一个二次函数的标准形式。

将x的取值范围限定为正实数，我们可以排除矩形不存在的情况。

通过对二次函数的顶点坐标求解，我们可以找到使得面积最大的矩形。

3.2 二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题也有密切的联系。

考虑一个等腰三角形，已知其底边长为x，高为y。

我们希望找到一个底边固定的三角形，使得它的面积最大。

根据三角形的面积公式A=12xy，我们可以得到y=2Ax。

类似地，我们将其转化为二次函数的形式，并求解顶点坐标，从而找到最大面积的三角形。

3.3 二次函数与其他面积问题除了矩形和三角形，二次函数还可以应用于其他形状的面积问题，如圆形、梯形等。

二次函数——面积问题（一）〖知识要点〗一．求面积常用方法：1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边）2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方3. 利用同底或同高三角形面积的关系4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二． 常见图形及公式抛物线解析式y=ax2 +bx+c (a≠0)抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x1–x2︱=抛物线顶点坐标（-, ） 抛物线与y 轴交点（0，c ）“歪歪三角形中间砍一刀”，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 〖基础习题〗 1、若抛物线y=-x2–x+6与x 轴交于A 、B 两点，则AB= ，此抛物线与y 轴交于点C ，则C 点的坐标为 ，△ABC 的面积为.2、若抛物线y=x2 + 4x 的顶点是P ，与X 轴的两个交点是C 、D 两点，则△PCD 的面积是_____________.3、已知抛物线与轴交于点A ，与轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC=3，则=，B C 铅垂高水平宽ha图1 C BA O y x DB A O y x P=．〖典型例题〗● 面积最大问题1、二次函数的图像与轴交于点A （-1,0）、B （3，0），与轴交于点C ，∠ACB=90°.（1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标(4) P 为抛物线上一点，若使得，求P 点坐标。

● 同高情况下，面积比=底边之比2．已知：如图，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点B 、C ，点A 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求B 、C 两点的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P 在直线BC 上，且，求点P 的坐标．3．已知：m 、n 是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根，且m ＜n ，抛物线y=﹣x2+bx+c 的图象经过点A （m ，0）、B （0，n ）．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标． yx B A C O三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半4．阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）在第一象限内抛物线上求一点P，使S△PAB=S△CAB．法一：同底情况下，面积相等转化成平行线法二：同底情况下，面积相等转化成铅垂高相等变式一：如图2，点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．变式二：抛物线上是否存在一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明点动+面积5．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．形动+面积6．如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？。

专题03 二次函数与面积有关问题（专项训练）1．（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；【解答】解：（1）当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，由得：或，∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；（2）当k＞0时，如图：∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，∴OB'∥AB，∴∠OB'B＝∠B'BC，∵B、B'关于y轴对称，∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，∴∠OB'B＝∠OBB'，∴∠OBB'＝∠B'BC，∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，∴△BOD≌△BCD（ASA），∴OD＝CD，在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），OC＝3，∴OD＝OC＝，D（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣），把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝；当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，如图：在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴E（0，﹣3），OE＝3，∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，∴OE＝EF＝3，∵B、B'关于y轴对称，∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，∴∠FB'B＝∠FBB'，∵B'F∥AB，∴∠EBB'＝∠FB'B，∴∠EBB'＝∠FBB'，∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），∴GE＝GF＝EF＝，∴OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣），把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝﹣，综上所述，k的值为或﹣；2．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；【解答】解：（1）对于y＝﹣x+3，令y＝﹣x+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），∵抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，故c＝0，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝×36+6b，解得b＝﹣2，故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，y＝x2﹣2x＝﹣3，则点M的坐标为（3，﹣3）；（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，设点E的坐标为（x，x2﹣2x），则点H（x，﹣x+3），则△EAB的面积＝S△EHB+S△EHA＝×EH×OA＝6×（﹣x+3﹣x2+2x）＝，解得x＝1或，故点E的坐标为（1，﹣）或（，﹣）；3．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．【解答】解：（1）依题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），代入C（0，﹣）得：a•1•（﹣3）＝﹣，解得：a＝，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣；（2）∵BE＝2OE，设OE为x，BE＝2x，由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，x2+4x2＝9，解得：x1＝，x2＝﹣（舍），∴OE＝，BE＝，过点E作TG平行于OB，T在y轴上，过B作BG⊥TG于G，∴△ETO∽△OEB，∴＝＝，∴OE2＝OB•TE，∴TE＝＝，∴OT＝＝，∴E（，﹣），∴直线OE的解析式为y＝﹣2x，∵OE的延长线交抛物线于点D，∴，解得：x1＝1，x2＝﹣3（舍），当x＝1时，y＝﹣2，∴D（1，﹣2）；（3）如图所示，延长BC于点F，AF∥y轴，过A点作AH⊥BF于点H，作MT∥y轴交BF于点T，过M点作MG⊥BF于点J，∵AF∥MT，∴∠AFH＝∠MTJ，∵AH⊥BF，MJ⊥BF，∴∠AHF＝∠MJT＝90°，∴△AFH∽△MJT，∴＝，∵S1＝NB•MJ，S2＝NB•AH，∴＝＝，设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，C两点代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，当x＝﹣1时，y＝•（﹣1）﹣＝﹣2，∴F（﹣1，﹣2），∴AF＝2，设M（x，x2﹣x﹣），∴MT＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣（x﹣）2+，∴a＝﹣＜0，∴MT max＝，∴＝＝＝＝＝．4．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．【解答】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得∴二次函数的解析式为y＝﹣2x+3．∵y＝﹣1，∴E（4，﹣1）．（2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD．设D（4，m），∵C（0，3），由勾股定理可得：42+（m﹣3）2＝62+32．解得m＝3±．∴满足条件的点D的坐标为（4，3+）或．（3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P（n，﹣2n+3），则Q（），设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则nk+3．解得k＝，于是CQ：y＝（）x+3，当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5﹣，∴M（4，n﹣5﹣），ME＝n﹣4﹣．∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM＝．∴n2﹣4n﹣60＝0，解得n＝10或n＝﹣6，当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）．综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）．5．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②并解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+3，∴抛物线的顶点M（1，3）令y＝0，可得x＝﹣2或4，∴点D（4，0）；∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，∴×AD×|y R|＝×OA×OB，则×6×|y R|＝×2×，解得：y R＝±④，联立④③并解得或，故点R的坐标为（1+，﹣）或（1，﹣）或（1，）或（1﹣，）；6．（2020•天水）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x ＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+x+6；（2）过点D作DE⊥x轴于E，交BC于G，过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F，如图1所示：∵点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），∴OA＝2，OC＝6，∴S△AOC＝OA•OC＝×2×6＝6，∴S△BCD＝S△AOC＝×6＝，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴点B的坐标为（4，0），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+n，则，解得：，∴直线BC的函数表达式为：y＝﹣x+6，∵点D的横坐标为m（1＜m＜4），∴点D的坐标为：（m，﹣m2+m+6），点G的坐标为：（m，﹣m+6），∴DG＝﹣m2+m+6﹣（﹣m+6）＝﹣m2+3m，CF＝m，BE＝4﹣m，∴S△BCD＝S△CDG+S△BDG＝DG•CF+DG•BE＝DG×（CF+BE）＝×（﹣m2+3m）×（m+4﹣m）＝﹣m2+6m，∴﹣m2+6m＝，解得：m1＝1（不合题意舍去），m2＝3，∴m的值为3；7．（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C （0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；【解答】解（1）由题意得，，∴b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（（x﹣1）2+4，∴P（1，4）．（2）①如图1，作CE⊥PD于E，∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC：y＝﹣x+3，∴D（1，2），可设Q（a，3﹣a），∴CE＝PE＝DE，∴△PCD是等腰直角三角形，∴S△PCD＝PD•CE＝×2×1＝1，∴AB•|3﹣a|＝2，∴×4•|3﹣a|＝2，∴a＝2或a＝4．∴Q（2，1）或（4，﹣1）．8．（2021•辽宁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y 轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD ⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO ＝×3×1，解得x＝1或3，故点P的坐标为（1，）或（3，3）；9．（2022•南宁一模）如图1所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．当△POQ与△P AQ的面积之比为1：3时，求m的值；【解答】解：（1）∵OA＝6，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+k，∵顶点与x轴的距离是6，∴顶点为（3，﹣6），∴y＝a（x﹣3）2﹣6，∵抛物线经过原点，∴9a﹣6＝0，∴a＝，∴y＝（x﹣3）2﹣6；（2）①设直线y＝x+m与y轴的交点为E，与x轴的交点为F，∴E（0，m），F（﹣m，0），∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，∵直线y＝x+m与坐标轴的夹角为45°，∴OM＝|m|，AN＝|6+m|，∵S△POQ：S△P AQ＝1：3，∴OM：AN＝1：3，∴|m|：|6+m|＝1：3，解得m＝﹣或m＝3；10.（2022•本溪二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1：7的两部分，求点M的横坐标；【解答】解：（1）将（3，0），（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴；（2）连接AM，设AB与OM的交点为N，作NH⊥OA于点H，则NH∥OB，∵A（3，0），B（0，4），设直线AB的解析式为y＝kx+4，∴3k+4＝0，∴k＝﹣，∴y＝﹣x+4，设点M，点N，∵S△BMN：S△ABM＝1：4，∴S△BMN：S△ABM＝1：4，∴BN：AN＝1：3，∵NH∥OB，∴△ANH∽△AOB，∴，即，解得，∴，∴直线OM的解析式为y＝4x，联立方程组，解得，∵点M在第一象限，∴，∴点M的横坐标为；11．（2022•新抚区模拟）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣2，0），B（2，2）两点，直线AB与y轴交于点C．（1）求抛物线与直线AB的解析式；（2）点P在抛物线上，直线PC交x轴于Q，连接PB，当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍时，求点P的坐标；【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（2，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+5．将A（﹣2，0），B（2，2）代入y＝mx+n得，解得，∴直线AB解析式为y＝x+1．（2）①点P在x轴上方是，过点P作x轴平行线，交y轴于点F，交直线AB于点E，将x＝0代入y＝x+1得y＝1，∴点C坐标为（0，1），∵A（﹣2，0），B（2，2），∴C为AB中点，即AC＝BC，∴当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍时，点P到BC的距离是点Q到AC的距离的2倍，∵PE∥OA，∴△EPC∽△AQC，∴＝2，∵PF∥OA，∴△PFC∽△OQC，∴＝＝2，∴点P纵坐标为FC+OC＝3OC＝3，将y＝3代入y＝﹣x2+x+5得3＝﹣x2+x+5，解得x1＝﹣，x2＝+，∴点P坐标为（﹣，3）或（+，3）．②点P在x轴下方，连接BQ，PK⊥x轴于点K，∵C为AB中点，∴S△AQC＝S△BQC，∵△PBC的面积是△ACQ面积的2倍，∴S△PBQ＝S△BQC，∴点Q为CP中点，又∵∠CQO＝∠PQK，∠COQ＝∠PKQ＝90°，∴△OCQ≌△KPQ，∴CQ＝KP，即点P纵坐标为﹣1，将y＝﹣1代入y＝﹣x2+x+5得﹣1＝﹣x2+x+5，解得x1＝，x2＝，∴点P坐标为（，﹣1），（，﹣1），综上所述，点P坐标为（﹣，3）或（+，3）或（，﹣1）或（，﹣1），12．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B （1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△P AB面积的2倍，求点P的坐标；【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，∴，解得．∵A（4，0），B（1，4），∴S△OAB＝×4×4＝8，∴S△OAB＝2S△P AB＝8，即S△P AB＝4，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，∴S△P AB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4，∴PN＝．设点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+），∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝．解得m＝2或m＝3；∴P（2，）或（3，4）．13．（2022•苏州二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，OA＝OC＝3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P为直线AC下方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q，若AC分∠△ABP 的面积为1：2两部分，请求出点P的坐标；【解答】解：（1）∵OA＝OC＝3，∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），将点A、C代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）令x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴B（1，0），过点P作PG⊥x轴交于点G，过点Q作QH⊥x轴交于点H，∴PG∥QH，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣3，设P（t，t2+2t﹣3），直线BP的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝（t+3）x﹣（t+3），联立方程组，解得，∴Q（，），∵AC分∠△ABP的面积为1：2两部分，∴＝或＝，当＝时，＝，解得t＝﹣1或t＝﹣2，∴P（﹣1，﹣4）或（﹣2，﹣3）；当＝时，＝，此时t无解，。

二次函数与面积专题例题1：如图1，抛物线y=mx2﹣11mx+24m （m＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．（1）填空：OB=_________，OC=_________；（2）连接OA，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；（3）如图2，设垂直于x轴的直线l：x=n与（2）中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线l沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．例题2．平面直角坐标系中，口ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到口A'B'OC'．（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；（2）口ABOC和口A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．例题3：在梯形OABC中，CB∥OA，∠AOC=60°，∠OAB=90°，OC=2，BC=4，以点O为原点，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF，DE在x轴上（如图（1）），如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止．（1）设△DEF运动时间为t，△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．（2）探究：在△DEF运动过程中，如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．例题4：如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），己知点H（0，﹣1）．问在抛物线上是否存在点G （点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（﹣2，0），F是OC的中点，连接DF，P 为线段BD上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段PE的长．例题5：如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．练习1：如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．练习2：如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的关系式；（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为﹣2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足﹣2＜x B＜，当△AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式；（3）抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等？若存在，求出点C 的横坐标；若不存在说明理由．练习3：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM 的最大面积及点M的坐标．练习4：如图，已知二次函数y=﹣x2+mx+4m的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（B点在A点的右边），与y轴的正半轴交于点C，且（x1+x2）﹣x1x2=10．（1）求此二次函数的解析式．（2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；（3）连接BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．练习5：如图，已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB ＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）连结EF，设△BEF与△BFC的面积之差为S，问：当CF为何值时S最小，并求出这个最小值．练习6：如图，已知抛物线y ＝－21x2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．练习7：在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （－1，0），如图所示，抛物线y ＝2ax 2＋ax －23经过点B ． （1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若三角板ABC 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向平移，求点A 落在抛物线上时所用的时间，并求三角板在平移过程中扫过的面积；（4）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．练习8：如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB 的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为（3，3），AD 为斜边上的高．抛物线y ＝ax 2＋2x 与直线y ＝21x 交于点O 、C ，点C 的横坐标为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE ∥y 轴，交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A 、B 、D 、E 为顶点的四边形的面积为S ．（1）求OA 所在直线的解析式．（2）求a 的值．（3）当m ≠3时，求S 与m 的函数关系式．（4）如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQMN ，其中RN ＝23．直接写出矩形RQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形时m 的取值范围．练习9：在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C（0，3），顶点P的坐标是（1，4），对称轴与x轴相交于点D．（1）求出抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式，及点A、B的坐标；（2）如图，点M与点C关于直线PD对称，连接MA、MB、MO，过点D作DE∥OM交线段MB 于点E，连接OE．△BOE的面积记作S1，△MOE的面积记作S2，△MOA的面积记作S3，求证：S1＝S2＋S3；（3）若（2）中的点M是第一象限内抛物线上的任意一点，其它条件不变，（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出新的结论并证明．练习10：如图，已知直线y ＝－21x ＋1交坐标轴于A 、B 两点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A ，D ，C 的抛物线与直线另一个交点为E ．（1）请直接写出点C ，D 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB 下滑，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D 落在x 轴上时停止，求抛物线上C 、E 两点间的抛物线弧所扫过的面积．练习11 如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A (3，3)．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点B (6，m )，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形OECD 的面积S 1与四边形OABD 的面积S 满足：S 1＝32S？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．练习12 如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上，点A 、C 的坐标分别为（0，1）、（2，4）．点P 从点A 出发，沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动，到点C 停止；点Q 在x 轴上，横坐标为点P 的横、纵坐标之和．抛物线c bx x y ++-=241经过A 、C 两点．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交抛物线于点R ．设点P 的运动时间为t （秒），△PQR 的面积为S （平方单位）．（1）求抛物线对应的函数关系式．（2）分别求t=1和t=4时，点Q 的坐标．（3）当0＜t ≤5时，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．练习13已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x＝4。

二次函数（面积最值）专题典型题1、用20米材料制作一日字形窗框，窗框的高度为多少时，窗框面积最大，最大面积是多少？2、用20米材料制作一田字形窗框，窗框的高度为多少时，窗框面积最大，最大面积是多少？3、用20米材料制作一如图所示窗框，窗框上半部分框的高度是下半部分框高度的一半，那么窗框的宽度为多少时，窗框面积最大，最大面积是多少？4、用20米材料靠墙围一矩形场地，如图所示其中一边开一1米宽度的门，该矩形场地的一边长x 为多少时，场地面积最大，最大面积是多少？小题（1） 小题（2） 小题（3）5、用20米材料靠墙围一矩形场地，且矩形内分成三个小矩形场地，如图所示其中每个场地均设置一1米宽度的门，该矩形场地的一边长x 为多少时，场地面积最大，最大面积是多少？小题（1） 小题（2）小题（3）6、一直角三角形形状区域，其中两直角边为墙，一墙宽度为10米，另一墙宽度为20米。

在该区域内靠墙用足够多的材料围一矩形场地，矩形场地的长度为多少时，所围面积最大，最大面积是多少？7、一直角梯形形状区域，其中一腰和一底边为墙，梯形上底边宽度为20米，下底边宽度为30米，梯形高度为25米。

在该区域内靠墙用足够多的材料围一矩形场地，矩形场地的长度为多少时，所围面积最大，最大面积是多少？8、用20米的材料制作如图所示一窗框，窗框上半部分为一半圆，下半部分为一矩形，窗框上半部分半径为多少时，窗框透光面积最大，最大面积是多少？9、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．10、用一张长为4，宽为3的矩形白纸剪一如图所示的平行四边形纸片，其中剪掉的两个小直角三角形为全等等腰三角形，为使所剪得到的纸片面积最大，则小等腰直角三角形的直角边应为多少，此时面积最大为多少？11、在一半径为10的四分之一个圆内围一矩形，矩形一边长为多少时，面积最大，最大面积是多少？12、点P 是抛物线y x 42 上一点，另有两个点A(4，0)和B(0，-3)，求三角形PAB 的最小面积。

《二次函数提优专题》：二次函数有关面积问题2、如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC．（1）、求抛物线的解析式．（2）、设点P为抛物线对称轴上的一个动点．①、如图①，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．②、是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．（二）、三角形面积最值：3、如图，已知抛物线c bx x y ++=2-与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB 。

(1)、求该抛物线的解析式；(2)、在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ，使得BCD △的面积最大?若存在，求出D 点坐标及BCD △面积的最大值；若不存在，请说明理由。

(3)、在(1)中的抛物线上是否存在点Q ，使得QMB △与PMB △的面积相等?若存在，直接写出满足条件的所有点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

（三）、有关三角形面积倍数关系：4、如图，已知：m 、n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，•抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）． （1）、求这个抛物线的解析式；（2）、设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标和△BCD 的面积； （3）、P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标。

5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数5-x 6-x y 2+=的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l 。

二次函数求面积问题
在数学中，二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数
且a不等于零。

这种类型的函数可以用来解决许多实际问题，包括求解面积问题。

想象一下，我们有一个二次函数的图像，限定在x轴上的两个点x1和x2之间。

我们需要求解这段x轴上方的面积。

首先，我们需要将x1和x2代入二次函数的方程中，计算出对应的y值，在这
两个点上方的y值都表示函数图像在该范围内的高度。

然后，我们需要找到一个近似函数或者采用数值积分的方法来计算这两个点之
间的曲线下面积。

一种常用的方法是通过定积分来计算二次函数的面积。

我们可以将二次函数表
示为f(x) = ax^2 + bx + c。

然后，我们对该函数进行积分，积分结果将是一个新的函数F(x)，即f(x)的原
函数。

在这个过程中，我们需要记住积分的不定性，并添加一个常数项。

接下来，我们在范围[x1, x2]上划定区间，在F(x)的两个端点x1和x2处的值分
别为F(x1)和F(x2)。

最后，我们通过计算这两个点的函数值之差来求得二次函数在给定范围内的面积。

简而言之，求解二次函数在给定范围内的面积可以通过以下步骤来实现：
1. 将x1和x2代入二次函数方程，计算对应的y值。

2. 采用数值积分或定积分方法，计算二次函数f(x)在这两个点之间的面积。

需要注意的是，如果x1和x2是两个实根，那么函数图像将在这两个点之间与
x轴相交，并形成一个三角形。

在这种情况下，求解面积就等于计算这个三角形的
面积。

二次函数与面积专题 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-重庆市巴川中学初2019级九上数学专题训练三——二次函数与面积问题班级______姓名_______等级________题型一：在抛物线上求一点，与已知三角形的面积相等（或成倍数）．例1、定义：如图1，抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 在抛物线上（点P 与A ，B 两点不重合），如果△ABP 的三边满足AP 2+BP 2=AB 2，则称点P 为抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的勾股点．（1）直接写出抛物线y=-x 2+1的勾股点的坐标；（2）如图2，已知抛物线C ：y=ax 2+bx(a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，点P(1,3)是抛物线C 的勾股点，求抛物线C 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，点Q 在抛物线C 上，求满足条件S △ABQ ＝S △ABP 的点Q （异于点P ）的坐标．练习1.如图，已知抛物线322++-=x x y 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E,D 是抛物线的顶点．（1）直接写出点A 、B 、C 、D 的坐标，并求出S △ABD ； （2）求出直线BC 的解析式；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP ＝4S △COE ，求P 点坐标．题型二：已知二定点，在抛物线上求一动点，使三角形面积最大例2. 如图，已知抛物线y=ax 2+bx-3与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是(-1,0)，C 点坐标是(-4,-3)．（1）求抛物线的解析式；图1 图2A B CE Dxy o 题图26（2）若点E 是位于直线AC 的上方抛物线上的一动点，试求△ACE 的最大面积及E 点的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在异于点E 的P 点，使S △PAC ＝S △EAC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．变式：在抛物线上是否存在点P ，使S △PAC ＝S △ABC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．[练习]1.如图,已知抛物线y=21x 2+bx+c 与yA 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.2．在平面直角坐标系xoy 中，规定：抛物线y=a(x-h)2+k 的伴随直线为y=a(x-h)+k.例如：抛物线y=2(x+1)2-3的伴随直线为y=2(x+1)-3，即y=2x-1 （1）在上面规定下，抛物线y=(x+1)2-4的顶点为.伴随直线为；抛物线y=(x+1)2-4与其伴随直线的交点坐标为和；（2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m(x-1)2-4m 与其伴随直线相交于点A,B(点A 在点B 的右侧)与x 轴交于点C ，D ．①若∠CAB ＝90°求m 的值；②如果点P(x,y)是直线BC 上方抛物线的一个动点，△PBC 的面积记为S ，当S 取得最大值427时，求m 的值. 3.抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0)．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=0.6x 2+3相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N,连结PC 、PD ，在点P 运动过程中，△PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点Q ，使S △QCD =S △PCD ，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣5交y 轴于点A ，交x 轴于点B （﹣5，0）和点C （1，0），过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D ．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求△EAD 的面积；（3）若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，△ABP 的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积．题型三：抛物线中，以面积为条件的几何问题例3.如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．练习3:1.如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC=3，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b，c的值；（2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（2，﹣9），该函数的图象与y轴交于点A（0，﹣5），与x轴交于点B，C（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点A作AD∥x轴，交二次函数的图象于点D，M为二次函数图象上一点，设点M的横坐标为m，且0＜m≤5，过点M作MN∥y轴，交AD于点N，连接AM，MD，设△AMD的面积为s．①求s关于m的函数解析式；②判断出当点M在何位置时，△AMD的面积最大，并求出最大面积．3.二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）的图象交y轴于C点，交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式．（2）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q 作QD∥AC交于BC点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．（3）如图3，线段MN是直线y=x上的动线段（点M在点N左侧），且MN=，若M点的横坐标为n，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由．4.如图，已知点C（0，3），抛物线的顶点为A（2，0），与y轴交于点B（0，1），F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线CF于点H，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线CF下方的抛物线上，用含m的代数式表示线段PH的长，并求出线段PH 的最大值及此时点P的坐标；（3）当PF﹣PM=1时，若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．。

专题：二次函数和面积问题问题一：在抛物线y=-x 2+2x+3上是否存在一点D (在直线BC 上方)，使S △BCD =S △BCP ?问题二：在抛物线y =-x 2+2x+3上是否存在一点D ，使S △BCD =S △BCP ?问题三：若D 是抛物线y =-x 2+2x+3上(在直线BC 上方)一个动点，△BCD 是否有最大面积？问题四：如图，若D 是抛物线y =-x 2 +2x+3上一点，BC 和DP 相交于点E,满足S △CDE =S △BEP,你知道点D 的坐标吗？问题五：如图，直线DE:y=-0.5x+k 与抛物线y =-x 2+2x+3交于点D,E （点A 在点B 左边），与y轴交于点F.（1）若=5,求k.（2）若S △CEF : S △CDF =8:3,求k.y 2与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，抛物线上一点D （1，n ）,若S △BCD =3，求m 的值。

（你能先尝试画出大致图像吗？）问题七：抛物线y =-x 2+(m-1)x+m(m>1)与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，顶点为点P ，直线：y=x+ 24m 与抛物线交于M,N 两点，S △PMN 是定值吗？FCPEA BD练习：1.如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x 刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标； （2）小球的落点是A ，求点A 的坐标；（3）连接抛物线的最高点P 与点O 、A 得△POA，求△POA 的面积； （4）在OA 上方的抛物线上存在一点M （M 与P 不重合），△MOA 的面积等于△POA 的面积．请直接写出点M 的坐标．2.已知抛物线与x 轴相交于不同的两点,（1）求的取值范围（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标；（3）当时，由（2）求出的点和点构成的的面积是否有最值，若有，求出最值及相对应的值；若没有，请说明理由.3.一次函数y=x 的图象如图所示，它与二次函数y=ax 2﹣4ax+c 的图象交于A 、B 两点（其中点A 在点B 的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C ． （1）求点C 的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为D ．①若点D 与点C 关于x 轴对称，且△ACD 的面积等于3，求此二次函数的关系式； ②若CD=AC ，且△ACD 的面积等于10，求此二次函数的关系式．4.在平面直角坐标系中，O 为原点，直线y=﹣2x ﹣1与y 轴交于点A ，与直线y=﹣x 交于点B ，点B 关于原点的对称点为点C ．（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q ． 若点P 的横坐标为t （﹣1＜t ＜1），当t 为何值时，四边形PBQC 面积最大？并说明理由．。

二次函数与面积问题二次函数是中学数学中一个重要的概念，其应用不仅仅限于代数学习中的求解，还包括了实际生活中的丰富应用。

其中，面积问题是二次函数应用的一个重要方面。

在本文中，我们将重点探讨二次函数与面积问题的应用。

一、二次函数基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指函数 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a,b,c$ 是已知常数，一个非零实数。

2. 二次函数图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或者向下的抛物线，其对称轴在 $x$ 轴上的直线，称为二次函数的轴，其方程为 $x=-\frac{b}{2a}$。

如果 $a>0$，则抛物线开口向上，如果 $a<0$，则抛物线开口向下。

当 $a\neq0$ 时，函数值的范围为 $(-\infty,\frac{4ac-b^2}{4a})$ 或者 $(\frac{4ac-b^2}{4a},\infty)$。

3. 二次函数的变形二次函数除了基本形式 $y=ax^2+bx+c$，还有一些基于基本形式的变形，如 $y=a(x-h)^2+k$，其中 $h,k$ 是常数。

变形后的形式可以更方便地求解问题，但需要熟练运用基本变形公式。

二、二次函数与面积问题1. 抛物线下面积抛物线下面积的计算通常可以通过解析式的积分得出，但是如果需要精确解往往较为困难，尤其是在没有高深数学知识支持的情况下。

在使用二次函数计算抛物线下面积时，可以先求出对应的定积分，即：$$\int_{x_1}^{x_2}ax^2+bx+c\mathrm{d}x=\frac{a} {3}(x_2^3-x_1^3)+\frac{b}{2}(x_2^2-x_1^2)+c(x_2-x_1)$$该式是利用积分的基本公式计算得出的，它可以方便地求解出抛物线在一个给定区间内的面积。

2. 平面图形面积二次函数还可用于计算平面图形的面积。

例如，一个半径为 $r$ 的圆的面积可以表示为 $A=\pi r^2$。

专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

特别是在压轴题中，二次函数和几何综合出现的题型，才是最大的区分度。

与面积有关的问题，更是常见。

本节介绍二次函数考试题型种，与面积问题的常用解法。

同学们，只要熟练运用解法，炉火纯青，在考试答题的时候，能够轻松答题。

【知识点梳理】类型一：面积等量关系类型二：面积平分方法一：利用割补将图形割（补）成三角形或梯形面积的和差，其中需使三角形的底边在坐标轴上或平行于坐标轴；（例如以下4、5两图中，连结BD解法不简便。

）方法二： 铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S方法三 ：其他面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比． 如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3【典例分析】【类型一：面积等量关系】【典例21】（2022•盘锦）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B （4，0）两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣4）．点P 在抛物线上，连接BC ，BP ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；【变式1】（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A （﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【类型二：面积平分】【典例2】（2022•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点B（6，0）和点D（4，﹣3），与x轴的另一个交点为A，与y轴交于点C，作直线AD．（1）①求抛物线的函数表达式；②直接写出直线AD的函数表达式；（2）点E是直线AD下方的抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1＝2S2时，求点E的坐标；【变式2】（2022•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【典例3】（深圳）如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB ＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．【变式3】（2021秋•合川区）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D，交x轴于点E，连接PB．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PBD与△BDE的面积之比为1：2时，求点P的坐标；专题03 二次函数与面积有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数是初中数学的一个重点，一个难点，也是中考数学必考的一个知识点。

二次函数面积专题知识导航：1、求图形面积2、面积最值3、已知面积探寻其他问题第一讲求图形面积考点类型1.三角形面积求法：特殊型：有一条边在坐标轴或者有一条边平行于坐标轴三角形面积主要分成两类：普通型：三边均不平行于坐标轴特殊型：直接选用平行于坐标轴或者在坐标轴的边为底及对应高进行计算例1、(青海）如图，抛物线224233y x x =-++与坐标轴交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C ，作直线BC ．点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的横坐标为(03)t t <<，求ABP ∆的面积S 与t 的函数关系式；1.补形法 一般型2.铅锤法3.面积转化法 1.补形法2. 割法之铅锤线法：公式：三角形面积=铅锤高×水平宽×21 x B -x Ax B -x ABAMPPM AB1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△3：面积转化法转化法——借助平行线转化：AB若S△ABP=S△ABQ，若S△ABP=S△ABQ，当P，Q在AB同侧时，当P，Q在AB异侧时，考点类型2：多边形面积求法多边形面积：主要采用割补法进行计算例1、若抛物线223y x x =--+的顶点为点D ，求四边形ABCD 的面积.练习：已知二次函数y=x 2-2x-3,图象如图所示，求四边形ACBD 及△BCD 的面积.第二讲 面积最值问题例1、如图，已知抛物线215222y x x =-+-，与x 轴交于,A B 两点，交y 轴交于点C ．在直线AC 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得DCA ∆的面积最大？若存在，求出点D 的坐标及DCA ∆面积的最大值；若不存在，请说明理由.练习：1.如图1，在平面直角坐标系中，直线3944y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；抛物线2339424y x x =-++过A ，B 两点，与x 轴交于另一点(1,0)C -，抛物线的顶点为D ，在直线AB 上方的抛物线上有一动点E ，求出点E 到直线AB 的距离的最大值；小结：三角形面积ABD 最大的时候，F 点坐标有什么特点：2.如图，抛物线223y x x =--+与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ．若动点P 在第二象限内的抛物线上，当四边形P ABC 的面积最大时，求四边形P ABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．例2、如图，已知二次函数213222y x x =-++的图象经过()()()1,04,00,2A B C -、、三点． 点P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接P A 分别交BC 、y 轴于点E 、F ，若△PEB 、△CEF 的面积分别为S 1、S 2，求S 1﹣S 2的最大值．第三讲 已知面积求其他问题例1.已知二次函数y=x 2-2x-3,图象如图所示，在抛物线上求出所有点P 的坐标，使△PBD 的面积与△ABC 面积相等.例2、抛物线223y x x =--+是否存在过点C 的直线把ABC ∆面积分成2:1的两部分，若存在，求出直线解析式，若不存在，请说明理由？ xyA C BO变式1、抛物线223y x x =--+上是否存在点P ，使PAB ∆的面积等于BCD ∆的面积的38倍，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；例3、如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ．如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当:3:2COF CDF S S ∆∆=时，求点D 的坐标．变式、已知抛物线228y x x =-++经过点(3,7)A --，(3,5)B ，顶点为点E ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点C ．在抛物线上A ，E 两点之间的部分（不包含A ，E 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCE S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．例4、如图，已知抛物线215222y x x =-+-，与x 轴交于,A B 两点，交y 轴交于点C ． （1）P 是抛物线上一点，且3ABP S ∆=，求点P 的坐标.（2）Q 是抛物线上一点，且2ACQ S ∆=,求点Q 的坐标.（3）在抛物线上是否存在异于A 、C 的点P ，使PAC ∆中AC 25？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．变式、如图，在平面直角坐标系中，A 是抛物线212y x =上的一个动点，且点A 在第一象限内．AE ⊥y 轴于点E ，点B 坐标为（0,2），直线AB 交x 轴于点C ，点D 与点C 关于y 轴对称，直线DE 与AB 相交于点F ，连结BD ．设线段AE 的长为m ，△BED 的面积为S ．（1）当2m =时，求S 的值．（2）求S 关于m （2m ≠）的函数解析式． （3）①若3S =时，求AF BF 的值．②当2m >时，设AF k BF=，猜想k 与m 的数量关系并证明．。

专题27二次函数与面积压轴问题【例1】（2022·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c +a <0与x 轴分则点A 和点B 1,0，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x =−1，且OA =OC ，P 为抛物线上一动点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC ，当点P 在直线AC 上方时，求四边形PABC 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标；(3)设M 为抛物线对称轴上一动点，当P ，M 运动时，在坐标轴上是否存在点N ，使四边形PMCN 为矩形？若存在，直接写出点P 及其对应点N 的坐标；若不存在，请说明理由．经典例题【例2】（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c过点A(−1,0),B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM=S△BCP若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【例3】（2022·河南洛阳·统考二模）如图，抛物线y=−x2−2x+3的图象与x轴交于A，B两点，（点A在点B 的左边），与y轴交于点C．(1)直接写出A，B，C的坐标；(2)点M为线段AB上一点（点M与点A，点B不重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，若点P在点Q的左侧，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM的面积．【例4】（2022·福建·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【例5】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A−3,0和点B1,0．(1)求抛物线F1的解析式；(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；(3)如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C 在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN 面积的最大值．培优训练1．（2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A1,0，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．(1)求该抛物线的解析式；(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．2．（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已经抛物线经过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为x=2．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；(3)在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA−PB的值最大时，求P的坐标以及PA−PB的最大值3．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；(2)在y轴上有一点M（0，73m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．4．（2019·广东河源·校联考一模）如图，已知抛物线的顶点为A1，4，抛物线与y轴交于点B0，3，与x轴交于C、D两点，点P是抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式．(2)求于C、D两点坐标及三角形△BCD的面积．(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=12S△BCD，求点P的坐标．5．（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点P m,n0<m<6在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE//AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为−1，点M(1,m)是其对称轴上一点，y轴上一点B(0,1)．(1)求二次函数的表达式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A1,0，B3,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，M是抛物线x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标(3)如图3，连接AC､BC，在抛物线上是否存在点N（不与点A重合），使得∠BCN=∠ACB？若存在求出点N的横坐标，若不存在说明理由8．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A−1,0，点B2,−3，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．9．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F 为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0时，−1≤x≤3．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．10．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与直线AB交于A(−4,−4)，B(0,4)两点，且点D是它的顶点，在y轴上有一点C(0,−1)．(1)求出抛物线的解析式及直线AB的解析式；(2)点E在直线AB上运动，若△BCE是等腰三角形时，求点E的坐标；(3)设点N是抛物线上一动点，若SΔBDN=32SΔBDO，求点N的坐标．11．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+43x+c与x轴交于点A−3,0，与y轴交于点C0,−2．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接AC，点D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D作DE∥y轴交线段AC于E点，连接EO，记△ADC的面积为S1，△AEO的面积为S2，求S1−S2的最大值及此时点D的坐标；(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线CB M在原抛物线的对称轴上，点N为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．12．（2023·广西玉林·一模）已知二次函数y=x2+2bx−3b的图象经过点A1,0．(1)求该二次函数的表达式；(2)二次函数图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；(3)在点P、Q运动的过程中，是否存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，如果存在，求出运动时间t，如果不存在，请说明理由．13．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线y=ax2+x+c经过B(3,0)，D−2,−x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；(2)若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）14．（2022·辽宁大连·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−2x−3与x轴相交于点A，B（点A 在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC．(1)求点B，点C的坐标；(2)如图1，点E m,0在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE=OF，连接AF,BF,EF，设△ACF 的面积为S1，△BEF的面积为S2，S=S1+S2，当S取最大值时，求m的值；(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接CD,BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC=∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022·山东济南·模拟预测）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A−1，0和点B3，0，与y轴交于点C，点P为第一象限内抛物线上的动点．连接OP交BC于点D，连接PC．(1)试确定抛物线的解析式；(2)当S△CPD：S△BPD=1：2时，请求出点D的坐标；(3)如图2，连接AC，设P点横坐标为m(0<m<3)，求当m为何值时，四边形BACP的面积最大？并求出点P 的坐标．16．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，已知抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A−1，0，C0，3．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．17．（2022·山东济南·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴相交于B(−1,0)，C(3,0)两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；(3)在（2）的条件下，设抛物线与y轴交于点Q，连接BQ、DQ，点P为抛物线上的一个动点(点P与点Q不重合)，且S△PBD=S△BDQ，请求出所有满足条件的点P的横坐标．18．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c 与直线AB交于A，B两点，其中A（0，1），B(4,−1)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P，Q为直线AB下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m+1，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线AB于C点和D点，连接PQ，求四边形PQDC面积的最大值；(3)在（2）的条件下，将抛物线y=x2+bx+c沿射线AB平移25个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点B，E，F，G构成以EF为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标．19．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A−2,0、B4,0两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m1<m<4，连结AC,BC,DB,DC．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值．(3)当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2022·四川绵阳·校考二模）如图，直角三角形的斜边AB在x轴上，直角顶点在y轴正半轴上，已知A−1,0,C0,2，抛物线y=ax2+bx+c a≠0经过点A,B,C．(1)求抛物线的解析式．(2)如图①，点P是y轴右侧抛物线上一动点，若∠PCB=∠ACO，求点P的坐标．(3)如图②，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PA交BC于点E，交y轴于点F，连接PB．设ΔPBE，ΔCEF的面积分别为S1，S2，求S1−S2的最大值．21．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝43x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．22．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图像交x轴于点A−1,0，B5,0，交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0<t<5）．当t为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？(3)已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．23．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD 与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．。