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内在规律，做出一些必要的简化假设，还用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2.数学模型的一般步骤：模型准备、模型假设、模型的构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。
3.数学建模的过程描述：表述、求解、解释、验证几个阶段。
并且通过这些阶段阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实兑现的循环。
4.量纲其次原则：以若干物理量为基本量纲，运用物理学公式，对相关的物理问题求解，用数学公式表示一些物理量之间的关系时，公式等号两端必须有相同的量纲。
5.量纲分析：就是利用量纲其次原则建立的物理量之间的数学模型。
6.层次分析法的基本步骤：建立层次结构模型、构造成对比较矩阵、计算权向量并做一致性检验、计算组合权向量并做组合一致性检验。
7.模型的逼真性：即为根据客观事物的特性，作出能真实反映其内部机理，较直观模型的可行性：即根据内部机理的数量规律，通过对数据的测量和统计分析，按照一定准侧做出的与数据拟合最好的模型。
模型的逼真性和可行性相辅相成，只有相互依存，才能使模型构成的更好。
8.（效用函数）无差别曲线：描述甲对物品x和y的偏爱程度，如果占有x1数量的x和y1数量和占有x2的x和y2的y，对甲某来说是同样满足的话，称p2和p1对甲是无差别的。
9.无差别曲线的特点：无差别曲线有无数条、无差别曲线是下凸的、单调的、互不相交的。
10.对无差别曲线做下凸形状作如下解释：当人们占有的x较少时，人们宁愿用较多的△y 换取较少的△x，当人们占有较多的△x时，人们愿意用较多的△x换取较少的△y满足这种特性的曲线是下凸的。
11.数学规划模型属于多元函数的条件极值问题的范围，其决策变量个数n和约束条件个数一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，数学规划是解决这类问题的有效方法。
分类：①线性规划②非线性规划③整数规划12.数学建模的重要意义：①在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
②在高新技术领域，数学模型几乎是必不可少的工具。
数学模型知识点总结Mathematical modeling is a crucial concept in the field of mathematics that involves creating a representation of a real-world problem using mathematical structures and methods. 数学建模是数学领域中一个至关重要的概念，它涉及使用数学结构和方法创建一个真实世界问题的表示。
One of the key components of mathematical modeling is the abilityto simplify complex real-world problems into mathematical equations and models that can be analyzed, simulated, and used to make predictions. 数学建模的关键组成部分之一是将复杂的现实世界问题简化为可以分析、模拟和用于预测的数学方程和模型。
Mathematical modeling requires a deep understanding of mathematical concepts and techniques, as well as the ability to apply this knowledge creatively to various problems in different fields such as physics, engineering, economics, and biology. 数学建模需要对数学概念和技术有深刻的理解，同时也需要有创造性地将这些知识应用到物理学、工程学、经济学和生物学等不同领域的各种问题中。
The process of mathematical modeling involves identifying the key variables and parameters of a problem, formulating assumptions and constraints, building a mathematical model, validating the model against real-world data, and finally using the model to analyze and solve the problem at hand. 数学建模的过程包括确定问题的关键变量和参数、制定假设和约束、构建数学模型、将模型与真实世界数据进行验证，最终使用模型分析和解决手头的问题。
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题09阿氏圆问题A 、B ，则所有符合＝k （k ＞0且k ≠1）的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．模型解读：如图1所示，⊙O 的半径为 r ，点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r ＝k ·OB ．连接 P A 、PB ，则当“P A ＋k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP 、OB ； 2：计算连接线段OP 、OB 长度；3：计算两线段长度的比值OP OB =k ；4：在OB 上截取一点C ，使得OC OP =OP OB 构建母子型相似：5：连接AC ，与圆0交点为P ，即AC 线段长为P A ＋KPB 的最小值．本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC ＝k ·r ，则可说明⊙BPO 与⊙PCO 相似，即 k ·PB ＝PC ．⊙本题求“P A ＋k ·PB ”的最小值转化为求“P A ＋PC ”的最小值，即 A 、P 、C 三点共线时最小（如图 3），时AC 线段长即所求最小值．1，在RT ⊙ABC 中，⊙ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求：BP，⊙AP+12⊙2AP+BP，AP+BP，⊙13⊙AP+3BP的最小值．【例2】（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，与y．轴交于点C，其中点A的坐标为(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=32(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点QBQ+FQ的最小值．为⊙C上的一个动点，求√24【例3】（2019秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程（部分）：解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．【例4】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，点E在OA上，且点E也在格点上．（I）的值为；（Ⅱ）是以点O为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°）连接E'A，E'B，当E'A+E'B 的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E′，并简要说明点E'的位置是如何找到的（不要求证明）．一．填空题（共13小题）1．（2022•南召县开学）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．2．（2021秋•龙凤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则P A+PB 的最小值为．3．（2022春•长顺县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E 分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+ PB的最小值为．。
清明扫墓老师发言导读：本文是关于清明扫墓老师发言，希望能帮助到您！1935年中华民国政府明定4月5日为国定假日清明节，也叫做民族扫墓节，今天就给大家准备了清明节老师发言稿，希望对大家有所帮助。
清明扫墓老师发言稿一：同学们，历史上，有多少关于清明的诗句，那清明时节雨纷纷，路上行人欲断魂。
是人们对清明的描述，每到清明，人们都会扫墓，以祭奠亲人，可是，我们的亲人是谁?是那些为了捍卫人民自由、生命不受威胁，而献出宝贵生命的革命烈士。
每到这时，我想起那些为国捐躯的革命烈士们，敬佩之情便油然而生。
当年，革命烈士们在战场上浴血奋战，奋勇杀敌的景象仿佛浮现在我的眼前毛主席在人民纪念杯上的题词革命烈士永垂不朽。
是对革命胜利的纪念，是对革命烈士的无限眷恋。
我们会在心里默默地、反复地默读这个句子，他们现在长眠于地下，可精神却永世长存，他们的故事流传甚广，威名千古流芳。
我们的耳畔仿佛想起了低沉的、节奏缓慢的乐声，这更加体现出了浓浓的悼念烈士的沉痛心情。
那些烈士的事迹我们耳熟能详，朗朗上口。
毛主席曾经说：生的伟大，死的光荣。
他们的降生是新中国的希望，他们的牺牲是为了新中华共和国的诞生。
革命烈士并不是成年人，那些和我们年龄相符的少年英雄才更令人佩服，像少年英雄王小二、雨来，他们都是为了新中国的解放，他们没有童年，战争和炮火无情地夺走了亲人的生命，他们则挺身而出，在新中国需要他们的地方生根发芽，抛头颅，洒热血，把宝贵的生命和青春无私的奉献歌当时一穷二白地中国。
现在的中国，没有战争，没有硝烟，可是各种各样的灾难接踵而至，5.12大地震时，中华儿女不离不弃，灾情就是命令，时间就是生命!的呼唤声生生不息，灾难无处不在，却打不到坚强的中国人民，这次救援行动，涌现出了多少英雄事迹，感天动地，让无数人为此潸然流泪甘肃舟曲特大泥石流时，中国人民也更加团结，顿时凝聚成一股力量，每个人心里共同呼唤：舟曲，我们与你同舟共济!泥石流冲毁的我们的美好家园，但并不是冲倒了我们的信心，为了救援，有多少消防员，医生护士，志愿者献出了生命。
专题09 背靠背模型解直角三角形【模型展示】【中考真题】1、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB ）是1.7m ，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M 在同一条直线上，测得旗杆顶端M 仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD ）是1.5m ，用同样的方法测得旗杆顶端M 的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B 、N 、D 在同一条直线上）．求出旗杆MN 的高度．（参考数据：4.12≈，7.13≈，结果保留整数．）解： 过点A 作AE⊥MN 于E ，过点C 作CF⊥MN 于F ……………………1分 则EF=5.17.1CD AB -=-=0.2 ……………2分 在Rt⊥AEM 中，⊥⊥MAE=45°，⊥AE=ME …………………………………3分 设AE=ME=x（不设参数也可）⊥MF=x ＋0.2，CF=28x - …………………………………………………………………4分 在Rt⊥MFC 中，⊥MFC=90°，⊥MCF=30°⊥MF=CF·tan⊥MCF ……………………………………………………………………5分 ⊥)28(332.0x x -=+ …………………………………………………………………… 6分 ⊥≈x 10.0 …………………………………………………………………………………7分 ⊥MN ≈12 ……………………………………………………………………………………8分 答：旗杆高约为12米． 【精典例题】1、由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．解：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，由题意得∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AB ＝80. 在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AB·sin60°＝40 3. 在Rt △BCD 中，∠BCD ＝45°， ∴BC ＝BDsin45°＝40 6.答：BC 的长为406海里．2、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是__33＋9__m(结果保留根号)．3、放置在水平桌面上的台灯的平面示意图如图所示，灯臂AO 长为40 cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°.由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA ，∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC .(不考虑其他因素，结果精确到0.1cm.温馨提示：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，3≈1.73)解：在Rt △ACO 中，sin 75°＝OC OA ＝OC40≈0.97， 解得OC ≈38.8 cm.在Rt △BCO 中，tan 30°＝OC BC ≈38.8BC ≈1.733，解得BC ≈67.3 cm.答：该台灯照亮水平面的宽度BC 大约是67.3 cm.4、如图，A ，B 两市相距150km ，国家级风景区中心C 位于A 市北偏东60°方向上，位于B 市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C 为圆心、50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A ，B 两市的高速公路，高速公路AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）解：高速公路AB 不穿过风景区．过点C 作CH ⊥A B 于点H ，如图所示． 根据题意，得：⊥CAB ＝30°，⊥CBA ＝45°，在Rt⊥CHB 中，⊥tan⊥CBH ＝＝1，⊥CH ＝BH ．设BH ＝tkm ，则CH ＝tkm ，在Rt⊥CAH 中，⊥tan⊥CAH ＝＝，⊥AH ＝tkm ．⊥AB ＝150km ，⊥t +t ＝150，⊥t ＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．⊥54.75＞50，⊥高速公路AB 不穿过风景区．5、在一次海上救援中，两艘专业救助船A ，B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B 在A 的正北方向，事故渔船P 在救助船A 的北偏西30°方向上，在救助船B 的西南方向上，且事故渔船P 与救助船A 相距120海里．(1)求收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离；(2)若救助船A ，B 分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．解：(1)过点P 作PC ⊥AB 于点C ，则∠PCA ＝∠PCB ＝90°. 由题意，得PA ＝120海里，∠A ＝30°，∠B ＝45°， ∴PC ＝12PA ＝60海里，PB ＝PC sinB＝602海里．答：收到求救讯息时事故渔船P 与救助船B 之间的距离为602海里． (2)救助船A 所用的时间为12040＝3(小时)，救助船B 所用的时间为60230＝22(小时)，⊥3＞22，⊥救助船B 先到达．6、如图，要在江苏省某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B的北偏西60°方向上．（1）MN是否穿过原始森林保护区？为什么？（参考数据：≈1.732）（2）若修路工程工程需尽快完成．如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数．解：（1）NM不穿过原始森林保护区．理由如下：作CD⊥AB于D，设CD＝x米，⊥⊥CAD＝45°，⊥AD＝CD＝x米，⊥⊥DCB＝60°，⊥BD＝CD•tan⊥DCB＝x，⊥AD+BD＝AB，⊥x+x＝600，解得，x＝300（﹣1）≈219.6＞200．⊥MN不会穿过森林保护区．（2）设甲工程队单独完成此项工程需要y天，则乙工程队单独完成此项工程需要（y+10）天．根据题意得：+＝，解得：y＝20．经检验知：y＝20是原方程的根．则y+10＝30．答：甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数分别是20天、30天．7、如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路AC的长（结果保留整数）．参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；≈1.732．解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，根据题意，得⊥ABD＝67°，AB＝520，⊥CBD＝30°，在Rt⊥ABD中，AD＝AB•sin67°，BD＝AB•cos67°，在Rt⊥CBD中，CD＝BD•tan30°，⊥AC＝AD+CD＝AB•sin67°+AB•cos67°•tan30°≈520×0.92+520×0.38×≈592（km）．答：A地到C地之间高铁线路AC的长592km．8、如图，一架无人机在距离地面高度为21.4米的点B处，测得地面点A的俯角为47°，接着，这架无人机从点B沿仰角为37°的方向继续飞行20米到达点C，此时测得点C恰好在地面点D的正上方，且A，D两点在同一水平线上，求A，D两点之间的距离．（结果精确到1米；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07，≈2.45）解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点A作AF⊥BE于点F，由题意可知：CD⊥AD，⊥四边形AFED是矩形，⊥AD＝EF，在Rt⊥BCE中，BC＝20，⊥CBE＝37°，⊥BE＝BC•cos37°＝20×0.80≈39.2，在Rt⊥ABF中，AF＝21.4，⊥ABF＝47°，⊥BF＝＝≈20，⊥EF＝BE﹣BF≈39.2﹣20≈19，⊥AD＝EF≈19（米）．答：A，D两点之间的距离约为19米．9、如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时，望见渔船D在南偏东45°方向，又航行半小时到达C处望见渔船D在南偏东62°方向，若海监船的速度为40海里/小时，求A、B之间的距离．（精确到0.1海里，参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）解：过点D作DE⊥AB于点E，⊥⊥ADE＝⊥BDE＝45°，⊥AE＝BE＝DE，设BE＝x，则DE＝x，⊥BC＝，⊥CE＝x+20，在Rt⊥CDE中，⊥CDE＝62°，，⊥，⊥，⊥AB＝2x＝2×22.72≈45.4，答：A、B之间的距离为45.4海里．10、科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60方向行驶8千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．（结果保留根号）解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt⊥ABD中，BD＝AB•sin⊥BAD＝8×＝4（千米），⊥⊥BCD中，⊥CBD＝45°，⊥⊥BCD是等腰直角三角形，⊥CD＝BD＝4（千米），⊥BC＝BD＝4（千米）．答：B，C两地的距离是4千米．。
线性代数复习提纲（09级信管）夯实基础理解概念注重能力把握例题及作业题型第一章行列式注意行列式是个数（er）！行列式是方的！行列式的记号是x xx x！1、二、三阶行列式定义（P2-P3）注意：顺便再看一下克莱姆法则P4，注意克莱姆法则的适用条件。
2、余子式、代数余子式概念，它们之间的关系（P5—6）3、n阶行列式定义（P7）4、行列式按行（列）展开定理（P7定理1.1）注意用该定理计算行列式时的一般原则，哪行（列）零元素多，就按哪行（列）展开5、行列式的性质（P10-14）注意：哪些性质行列式的值不变，哪些性质行列式的值为0，哪些性质行列式的值变了，怎么变的。
6、行列式的一般计算方法（1）直接利用按行（列）展开定里降阶计算（如果行列式中没有0元素多的行或列，该法不经济）（2）利用行列式的性质将行列式化为上（下）三角行列式（就是将矩阵化为行阶梯形的方法，不过注意变换过程中保持行列式的值不变！！）（3）利用行列式的性质将行列式某行（列）只含一个非0元素，再按该行（列）展开（作为手算来说，该法比较经济）建议：看教材P14例1-8，例1-9。
7、看：P21-22定理1.3，定理1.4，推论1.2，推论1.3，例1-14。
第二章矩阵！！！注意，这章是后面各章的基础。
1、矩阵的概念；注意：矩阵是个“数表”；矩阵的记号是中括号或圆括号；不要和行列式混淆，只有方阵才有行列式。
2、矩阵运算：加法，数量乘法，矩阵与矩阵的乘法，矩阵的转置；注意：矩阵进行上述运算的条件，特别是矩阵乘法的条件；矩阵乘法不满足交换律！！！3、可逆矩阵定义(P37)逆矩阵的定义可以结合数中倒数的概念理解。
4、方阵可逆的充要条件，求矩阵的逆矩阵的方法P37—38，定理2.1；定理2.2给出了判断矩阵可逆的充要条件，并给出了一个求逆矩阵的公式。
伴随矩阵的理解及定理2.2的使用可结合例2-8。
5、矩阵的初等变换，几类？（P49）注意：矩阵变换过程中用箭头“→”或“～”，不可以用等号“＝”，因为由前一个矩阵变到下一个已经不相等了。
1、什么是数学模型、模型、原型，理想模型、物质模型（什么是线性规划）数学模型是指对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。
原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。
模型指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提练而构造的原型替代物。
物质模型=形象模型：（直观模型、物理模型）理想模型=抽象模型：（数学模型、符号模型、思维模型）线性规划是指目标函数和约束条件都是线性函数的优化问题2、各种模型的关系及优缺点3、什么是数学建模，何时（什么条件下）使用数学模型数学建模就是构造数学模型的过程，即用数学语言——公式、符号、图表等刻画和描述一个实际问题，然后经过数学的处理——计算、迭代等得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制。
4、如何建立数学模型（步骤）：思想方法论（四个步骤）、写论文的步骤一、将现实对象的信息表达归纳为数学模型；二、将数学模型求解演绎出一个解答（分析、预报、决策或控制）；三、对数学模型的解答进行解释，解释现实对象；四、将现实对象的解答与现实对象验证模型准备—模型假设—模型建立—模型求解—模型分析—模型检验—模型应用论文步骤：1、题目；2、摘要；3、问题重述；4、模型假设；5、分析与建立模型；6、模型求解；7、模型检验；8、模型推广；9、参考文献；10、附录。
5、建模的目的是什么利用数学知识解决实际生活中复杂的问题？每个实际问题的目的都不同？6、应用题：建立模型（不计算）7、单纯形表（两阶段法，人工变量）8、下降迭代算法（4个步骤）：最佳一维搜索(如0.618法)，梯度法（最速下降法）9、动态规划的递推法，动态规划的最优化原理10、最短路算法11、最大最小赋权匹配（写出步骤）12、课后习题13、分析题：Q：为什么要建立多个模型？A：（1、基于不同理解；2、基于不同求解方法；3、由深入浅；4、问题的不同表达（不同模型的表达方法）；5、便于比较（常规与非常规））Q:如何提高建模水平？(展开写)A：1、实践上升到理论2、理论指导实践3、思路要发散4、建立模型的每一步都要有理论支持5、论文书写规范6、类比的方法（多个模型的比较）。
《数学模型》复习提纲考试题型填空题(16分)（基本概念）简答题(24分)计算题(60分)（基本概念）复习重点章节：Ch1.建立数学模型（基本概念）§1 数学建模的背景及重要意义；§2数学建模的基本方法和步骤；§3数学模型的分类与特点、数学建模的全过程；Ch2.初等模型（基本计算）§1公平席位分配§10量纲分析与无量纲化；Ch3.简单的优化模型（基本概念）§1存储模型§2生猪的出售时机；§3森林救火Ch4.数学规划模型（基本计算）§1奶制品的生产与销售；Ch5. 微分方程模型（基本概念及计算）§1传染病模型；§3正规战与游击战Ch6.稳定性模型（基本概念及计算）§1捕鱼业的持续收获；§2军备竞赛Ch7. 差分方程模型（基本计算）§1市场经济中蛛网模型Ch8.离散模型（基本概念）§1 层次分析模型；§2循环比赛的名次Ch9.概率模型（基本概念）§1传送系统的效率；§2 报童的诀窍；§3 随机存贮策略，（s，S）随机存储策略；典型题型（仅作参考）1．建立数学模型的基本步骤为：模型准备、 模型假设 、 模型构成 、 模型求解 、模型分析 、模型检验 、模型应用等.2．数学模型按照应用领域分类的数学模型名称有：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、经济模型等.3．每对顶点之间都有一条边相连的 有向图 称为竞赛图．4个顶点的竞赛图共有 4 种形式．4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法有： 幂法 、 和法 、 根法 ．5．写出5个按照建模目的分类的数学模型名称． 答: 描述模型,预报模型,优化模型,决策模型,控制模型6. 写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称以及5个按照应用领域分类的模型名称.答:按数学方法分类:初等模型,几何模型,微分方程模型,统计回归模型,数学规划模型7.基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A 、电影B 、电影C 这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.答： 目标层准则层方案层8. ．写出数学建模过程的流程图.思想性艺术性娱乐性 票房A BC评选影片数学建模过程的流程图：9. 有4支球队A 、B 、C 、D 进行单循环赛，比赛结果是这样的：A 胜B 和C ，B 胜C 和D ，C 胜D ，D 胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次．这4支球队的竞赛图对应的邻接矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100011000110A ，它是双向连通的.； 令T e )1,,1,1( =，分别计算8,,3,2,1,)1()( ===-k e A sA s k k k .从而可得这4支球队A 、B 、C 、D 的名次为{A ，B ，D ，C}．实际 问题 抽象、简化、假设、确定变量、参数 归结数学模型数学地、数值地求解模型估计参数检验模型(用实例或有关知识)符合否评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益10．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(21010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y 得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.9．某工厂生产甲、乙两种化工产品,生产每吨产品需要电消耗、煤消耗、劳动力（以一个工作日计算）及产值如下表所示：已知每天电消耗不超过200 千瓦；煤消耗不超过360 吨；全厂劳动力满员为300 人.试安排每天的生产任务,使产值最大,并求出最大产值.解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨．获得利润z万元…（1分）依题意可得约束条件： 9x+4y≤360 4x+5y≤200 3x+10y≤300 x≥0 y≥0 …（4分）利润目标函数z=6x+12y …（8分）如图，作出可行域，作直线l：z=6x+12y，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=6x+12y取最大值．解方程组 3x+10y=300 4x+5y=200 ，得M（20，24）…（11分）所以生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润…（12分）11．某糕点厂生产两种糕点产品：精制糕点和普通糕点，已知每千克精制和普通糕点的原料（面粉、糖、蛋）和利润如下表：品种面粉（千克）糖（千克）蛋（千克）利润（千元）精制0.1 0.2 0.3 0.3普通0.3 0.2 0.1 0.2已知库存面粉、糖、蛋分别为15千克、12千克和15千克.假设生产的糕点可以全部卖掉，试决定生产精制糕点和普通糕点的产量，使厂商获得的利润最大.解：为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x 千克和10y 千克，糕点的利润为Z （千元），由题意得此问题的数学模型为： y x Z 23max +=s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,01531222153y x y x y x y x 这是一个线性规划问题.模型的求解：用图解法.可行域为：由直线,0153:1222:153:3:21===+=+=+y x y x l y x l y x l 及组成的凸五边形区域.直线C y x l =+23:在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l 过32l l 与的交点时，Z 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+1531222y x y x 解得：23,29==y x ，5.16232293max =⨯+⨯=Z （千元）.故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千元）.12．试求Gompertz 模型：()Ex xNrx dt t dx -=ln 的非零平衡点，并讨论其稳定性．记 Ex xNrx x F -=ln)( 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴非零平衡点为r ENe x -=0．又 ()E r xN r x F --=ln '，()00'<-=r x F ．∴ 平衡点o x 是稳定的. y6 5(3/2,9/2) 432 (9/2,3/2) L1 1 x0 1 2 3 4 5 6 x+y=6 3x+y=15 L3 L213开普勒第三定律可由万有引力定律得到.设行星运行的周期t 与其椭圆轨道长半轴l 、太阳与行星的质量m 、万有引力常数k 有关，试用量纲分析方法给出行星运行周期t 的表达式.（万有引力定律公式为：221rm m k f =）解：设t ,l ,m ,k 的关系为(f t ,l ,m ,k )=0.其量纲表达式为100][T M L t =，001][T M L l = ，010][T M L m =，2][-=LMT k 2L 2-M =213--T M L ,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A= )()()()()()()(200111003010k m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==-=+02y - y 0 y y 0y 3y 414342 的基本解为)1,1,3,2(---=Y 由量纲i P 定理 得 1132---=k ml t π. ∴ km l t 3λ=，其中λ是无量纲常数.14. 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品价格k y 的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1）0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3） （1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（5） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（6） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．15．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;（2）．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,并求此时渔场鱼量水平*0x .解：（1）.)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNh N x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；②当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =.Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定； ③ 当0 ∆时，得到两个平衡点： 2411rNh N N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x ， 22Nx ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.（2）．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max Nx rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定.要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N .16. 与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：xNrx dt t dx ln )(.= 其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为Ex h =.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x .解：（1）)(t x 变化规律的数学模型为Ex xNrx dt t dx -=ln )(记Ex x N rx x f -=ln)( ，令0)(=x f ，即 Ex xNrx -ln ＝0 得到两个平衡点：（如图所示）rENex -=0，01=x可证0x 稳定，01=x 不稳定e rN xN rx ln （与E ，r 的大小无关）. ExE r xNr x f --=ln)('0)(0'<-=r x f ， o x∞=)(1'x f eN0x N （2）最大持续产量的数学模型为：max h ＝Ex s.t. 0,0ln≠=-x Ex x Nrx ∴ r EENe h -= r E r E e rEN Ne dE dh ---= 由0=dE dh ，得E r m = ，故最大持续产量erN h m = 此时捕捞强度E r m =，渔场鱼量水平eN x =*0.17. 考虑某地区传染病问题，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为单位.将人群分为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i ，又设每个病人每天有效接触的平均人数是λ.试建立描述()t i 变化的数学模型，并作出i dtdi~图形.精品文档精品文档P13618. 一食品加工厂用牛奶生产21,A A 两种产品，1桶牛奶可以在甲设备上有12小时加工成3公斤1A ，或者在乙设备上有8小时加工成4公斤2A ，每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480个小时，并且甲设备每天至多能加工100公斤1A ，而乙设备的加工能力没有限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大.(线性规划,同11题)。
