第二章 控制系统的数学模型 2.1 线性连续系统微分方程的建立 2.2 传递函数 2.3 控制系统的动态结构图 2.4 信号流图本章主要内容本章重点 线性定常系统微分方程 的建立 非线性系统的线性化方 法 传递函数概念与应用 方框图及其等效变换 梅逊公式的应用等 传递函数的概念及其 求取方法、 控制系统方框图的构 成和等效变换方法 典型闭环控制系统的 传递函数 梅逊公式的应用。
概述1. 数学模型:描述系统变量之间关系的数学表达式 2. 建模的基本方法:(1) 机理建模法(解析法)(2) 实验辩识法 3. 控制系统数学模型的主要形式:(1) 外部描述法:输入--输出描述 (2) 内部描述法:状态变量描述在控制系统的分析中,线性定常系统的分析 有特别重要的意义。
工程控制中常用的数学模型有三种： 微分方程----------时域描述 传递函数----------复域描述 频率特性----------频域描述本节主要介绍传递函数与微分方程两种数学模型作业：P48 2-1(b), 2-3, 2-42.1 线性连续系统微分方程的建立在控制系统的分析和设计中，建立合理的控制系统 数学模型是一项极为重要的工作，它直接关系到系统分 析结果的正确性和系统设计结果的可用性。
因此，在建 立系统的数学模型时，既要考虑数学模型的精确性，又 要注重数学模型的简易性。
一个合理的数学模型应该能 够以最简形式来正确描述系统的性能。
2.1 线性连续系统微分方程的建立建立控制系统微分方程的步骤(1)根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，将系 统正确划分为若干环节，并确定出各环节乃至整个 系统的输入量和输出量。
(2)从输入端开始，根据各环节所遵循的各种定律，依 次列写出相应微分方程，组成联立方程组。
(3) 消去中间变量，求取只包含系统（或元件）输入量和输 出量的微分方程。
(4) 将系统的微分方程整理成标准形式。
即把含有输出量的 各项移至方程的左边，把含有输入量的各项及其常数项统统 移至方程的右边，两边都按降阶排列，并将有关系数化为具 有一定物理意义的表示形式，如时间常数和比例系数等。
例2.1 编写如图所示RC电路的微分方程式。
解: (1) 定输入输出量: u1 (t) ----输入量 u2(t) ----输出量(2) 列写微分方程 i(t) ----中间变量u1 = iR+u2 式中 u2 = q/c i = dq/dt(3)消去中间变量,可得电路微分方程式RCdu2 dt+ u2=u1LCd 2u2 dt 2+RCdu2 dt+ u2=u1例2-2 图所示为一具有质量、弹簧、阻尼器的机械位移系统。
编写以f(t)为输入量xr，位移x(t)为输出量xc的系统的运动微分方程式。
解: 定输入输出量: 力 f(t) ----输入量 位移 x(t) ----输出量微分方程f (t) = M d 2 x(t) + B dx(t) + Kx(t)dt 2dtK——弹簧弹性系数； M——物体的质量， B——粘性摩擦系数。
只要参数M、B、K和外力F(t)已知，就可 以求出方程解x(t)，这样就可以研究参数m、f、 K在不同的数值下，质量m位移的运动规律。
例2-3 图为弹簧、质量、阻尼器机械旋转运动单元，试写出在 输入转矩M(t)作用下转动惯量为J的物体的运动方程，输出量 为角位移。
解: 定输入输出量: 转矩M(t) ----输入量角位移 θ (t) ----输出量弹簧的阻力与角位移成正比，阻尼 器的阻力与角速度成正比。
M(t)Jk1θf1微分方程Jd2θ(t dt 2)+f1dθ(t dt)+k1θ(t)=M(t)例2－4图中L、R分别为电枢回路的总电感和总电阻。
假设励磁电流恒定不变，试建立在ur(t) 作用下电动机转轴的运动方程。
解: 定输入输出量: 电压ur(t) ----输入量转速 ω (t) ----输出量LR+ia+ur(t)Ea-负 Jmω 载 fmEa(t)=C' e⋅n(t)=Ce⋅ω(t)-+if-Ldi a (t) dt+Ria(t)+Ea(t)=ur(t)Jdω(t) dt=M(t)−M c (t)M(t) = Cmia (t)TlTmd2ω(t) dt 2+Tmdω(t) dt+ω(t)=Kuur(t)−Km(TldM c dt(t)+Mc(t))TlTmd2ω(t) dt 2+Tmdω(t) dt+ω(t)=Kuur(t)−Km(TldM c (t) dt+Mc(t))式中Tl=L， RTm=JR C eC m；Ku=1 Ce，K m=Tm J对于恒转矩负载TlTmd 2ω(t) dt 2+Tmdω(t) dt+ω(t)=u r(t) Ce−R C eC mMc对小容量的测速发电机，近似有u(t) = Ceω(t)例2－5 图是直流电动机输出轴带齿轮减速机构拖动负载的 单元。
试列写该单元的微分方程。
解: 定输入输出量:Mmf1 r1 Z1 M1电磁转矩Mm(t) ----输入量转速 ω1(t) ----输出量J1ω1ω1(t)r1 = ω2 (t)r2i = N 2 = r2 N1 r1J2ω2 r2 Z2 M2f2 McM1(t)ω1(t) = M 2 (t)ω2 (t)J1dω1(t) dt+f1ω1(t)=Mm(t)−M1(t)J2dω2 (t) dt+f2ω2(t)=M2(t)−Mc(t)Jdω1(t) dt+fω1(t)=Mm(t)−M' c(t)J=J1+J2 i2、f=f1+f2 i2、M' c(t)=M c (t) i将负载轴上的J1、J2折算到电 动机轴上时要除以齿轮比i的 平方，将负载转矩折算到电动 机轴上要除以齿轮比i 。
二、非线性特性的近似线性化处理图中，在A点附近做小信号线性化处理时可在 x=x0 的 邻域内将 y=f(x) 展开成泰勒级数。
y=f(x)=f(x0)+⎛ ⎜⎝df (x) dx⎞ ⎟⎠ x 0(x−x0)+1⎛ 2!⎜⎝d 2f (x) dx 2⎞ ⎟ ⎠x0(x−x0)2+L忽略（x-x0）的所有高次项后得到 yL L1My1y=f(x)=f(x0)+⎛ ⎜⎝df (x) dx⎞ ⎟⎠x0(x−x0)y0Ay=f(x)B⎛ df (x) ⎞式在中平，衡⎜⎝ 点dx处切⎟⎠ x0线表的示斜非率线。
性特性曲线 0x0 x1x有两个输入量时，非线性元件的小信号线性化表达式为f(x1,x2)−f( x 10,x20)=⎛ ⎜ ⎝∂f( x 1, x ∂x 12)⎞ ⎟ ⎠x10,x20(x1−x10)+⎛ ⎜ ⎝∂f( x 1, x ∂x 22)⎞ ⎟ ⎠x10,x20(x2−x20)式中，⎛⎜⎝∂f( x 1, x ∂x 12)⎞ ⎟ ⎠x10,x20为变量x1 对输出改变量的参数；式中，⎛⎜⎝∂f( x 1, x ∂x 22)⎞ ⎟ ⎠x10,x20为变量 x 2 对输出改变量的参数；三、控制系统的微分方程+EurR1R0 A+R0Rb+ u1R0 BR0++ u+2Rb功率 放大器uf+-负载减速器+ua -M ωω1ωMc-TG+图2-7 具有负反馈的速度给定控制系统原理图M 'curue运算u1放大器反相器u2功率 放大器ua直流 电动机ω− uf测速机与反馈 电位器图2-8 图2-7控制系统方块图1. 运算放大器单元− u1 = ur − uf R1 R0 R0u1=−R1 R0(ur−uf)=−K1(u r−uf)=−K 1ue2. 反相器单元u2=−R R0 0u1=−u1u2=R1 R0ue=K1u e3. 功率放大器单元u a = K 2u 24. 他励直流电动机单元TlTmd 2ω(t) dt 2+Tmdω(t) dt+ω(t)=ua (t) Ce−R C eC mM' c5. 测速发电机与反馈电位器单元u(t) = Cetω(t)u f (t) = α 2Cetω(t) = K f ω(t)K f = α 2CetTlTm 1+ Kd 2ω(t) dt 2+Tm 1+ Kdω(t) dt+ω(t)=K 1K C（e 1+K2 ）ur(t)−R C eC m（1+K）M' cK = K1K 2K f Ce例2-6 用机理分析法列写图示转速控制系统的微分方程。
R2R2. R1. . R1.+负ugR1— K1 u1C— K2 u2功 率uaSM放-载大ωm ωufTGu1 = K 1(u g − u f )u2=K 2 (τdu1 dt+ u1 )ua = K 3u2电动机轴上的转矩平衡方程Jmd ω m (t) dt+f m ω m (t) = M m (t) − M c(t)LaJmd2ωm (t )dt2+(Lafm+RaJm)dωm (t )dt+(Rafm+CmCe)ωm(t)=Cmua (t)−LadMc (t) dt−Ra M c(t)在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计， 因而上式可化简为Tmdωm (t)dt+ ωm (t)=K4ua (t)−K5M c (t)式中 Tm = RaJm / (Rafm+CmCe) 是电动机机电时间常数；K4=Cm / (Rafm+CmCe)，K5=Ra / (Rafm+CmCe)是电动机的传递系数。
若考虑负载和齿轮系后，上式可变为Tmdωm (t) dt+ωm (t)=K mua (t)−KcM'c (t)式中 Tm、Km、Kc、M`c(t) 均是考虑齿轮系和负载后， 折算到电动机轴上的等效值。
设齿轮系的速比为i，则电动机转速ω 经齿轮系减速后变为mω，故有ω=1 iωm测速发电机的输出电压uf与其转速ω成正比，既有u f = Ktω消去中间变量，经整理后便得到控制系统的微分方程T' mdω+ω=K' gdtdu g dt+Kgug−K'c M' c(t )可用于研究在给定电压ug或有负载扰动转矩Mc(t) 时，速度控制系统的动态性能。
作业：P48 2-1(b), 2-4, 2-6拉普拉斯变换拉氏变换F(s)=∫∞0−f(t)e−stdtf (t) = U1(t) 的拉氏变换为F(s)=∫∞0−f(t)e−stdt=∫∞0−Ue−stdt=−U se−st∞ =U 0− sf (t) = Ue −at 的拉氏变换为∫ ∫ F(s) = ∞ Ue −at e −stdt = ∞ U e −(s+a)tdt = − U e −(s+a)t ∞ = U0−0−s+a0− s + a拉普拉斯变换f (t) = U cos ωt 的拉氏变换为F(s)=∫∞0−U cos ωte −stdt=∫∞0−Uejωt+ e − jωt 2e −stdt=U 2⎛ ⎝⎜ s1 − jω+s1⎞ + jω ⎠⎟=Us s2 + ω2f (t) = e −at sin ωt 的拉氏变换为∫ ∫ ∫ F(s) =∞ e −at sin ωt e −stdt =∞ e −at e jωt − e − jωt e −stdt =∞ e −(s+a− jω)t − e −(s+a+ jω)t dt0−0−2j0−2j=1⎛2j⎜ ⎝s+1 a−jω−s+1 a+jω⎞ ⎟ ⎠=(s+ω a)2+ω2f (t) = 1(t − τ) 的拉氏变换为F(s)=∫∞0−1(t−τ)e −stdt=∫∞τ−1(t−τ)e −stdt=∫∞0−1(u)e−s(u+τ)du=e−sτ∫∞0−1(u)e −sudu=e −sτ sf (t) = δ(t) 的拉氏变换为 F(s) = 1f (t) = Ut1(t)的拉氏变换为F(s)=U s2f (t) = U t 2 2的拉氏变换为F(s)=U s3f (t) = sin ωt的拉氏变换为F(s)=s2ω + ω2f (t) = e −at cos ωt的拉氏变换为F(s)=(s+s+a a)2 +ω2拉氏变换的微分性质：∫∞0−f'(t)e−stdt=sF(s)二阶导函数的拉氏变换为 ；∫0∞− f ''(t) e −stdt = s 2F(s)n阶导函数在零初始条件下的拉氏变换为 ；∫0∞− f (n) (t) e −stdt = s nF(s)拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换的定义将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之为拉普拉斯反变换。
