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数学模型分类
数学模型是指用数学语言和符号来描述现实世界中的事物和现
象的抽象化描述。
数学模型可以分为多种类型，包括确定性模型、随机模型、线性模型、非线性模型、离散模型和连续模型等。
确定性模型是指模型中的所有参数和变量都是确定的，不受随机因素的影响。
比如，一条直线方程 y=ax+b 就是一个确定性模型。
随机模型则是指模型中的某些参数或变量受到随机因素的影响，其结果不是确定的。
比如，用概率分布函数表示的随机变量模型就是一个随机模型。
线性模型是指模型中的参数和变量之间的关系是线性关系，可以用线性方程来描述。
而非线性模型则是指模型中的参数和变量之间的关系不是线性关系。
比如，用指数函数来描述的模型就是一个非线性模型。
离散模型是指模型中的参数和变量都是离散的，包括离散时间模型和离散空间模型。
而连续模型则是指模型中的参数和变量都是连续的，包括连续时间模型和连续空间模型。
在实际应用中，常常需要选取适合特定问题的数学模型进行建模。
根据不同问题的特点，可以选择不同类型的数学模型进行建模，以达到最好的预测和分析效果。
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初中数学模型初中数学模型指的是将抽象的数学知识应用于解决实际问题的过程。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和分析现实世界中的各种情况，并提出解决方案。
在初中阶段，数学模型的应用范围涵盖了各个领域，如代数、几何、概率等。
本文将从几个角度介绍初中数学模型的定义、特点、应用以及解决实际问题的方法。
定义和特点初中数学模型是将实际问题通过数学符号和关系转化为数学表达式或方程的过程。
数学模型可以是线性的，也可以是非线性的；可以是确定的，也可以是随机的。
通过数学模型，我们可以描述事物之间的数量关系、空间位置关系或变化规律，从而更好地理解和分析问题。
数学模型的特点包括抽象性、简化性和实用性。
首先，数学模型对实际问题进行了抽象和简化，忽略了问题中的一些细节，从而使问题更易于处理和分析。
其次，数学模型提供了一种理论工具，可以用来预测和解决实际问题，具有一定的实用性和指导性。
应用领域初中数学模型在各个领域都有广泛的应用。
在代数领域，数学模型可以用来描述两个或多个变量之间的关系，如线性函数模型、指数函数模型等；在几何领域，数学模型可以用来描述平面图形或立体图形的性质和变化规律，如面积、体积等；在概率领域，数学模型可以用来描述随机事件的发生规律和可能性。
解决实际问题的方法解决实际问题的方法主要包括以下几个步骤：首先，分析问题，明确问题的背景、条件和要求；其次，建立数学模型，将实际问题转化为数学表达式或方程；然后，求解模型，通过数学方法解出问题的答案；最后，验证结果，检查答案是否符合实际情况，如有必要，可以对模型进行修正和完善。
综上所述，初中数学模型是一种重要的数学工具，通过数学模型，我们可以更好地理解和分析实际问题，并提出合理的解决方案。
初中生在学习数学时，应注重培养数学建模的能力，提高解决实际问题的水平，从而更好地应对未来的挑战。
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
数学建模-模型优缺点评价
数学建模中模型的优劣评价主要从以下几个方面考虑：
1.模型的准确性：模型的准确性是评价一个模型好坏的重要指标。
模型要能够准确地描述和解释问题的本质和内在规律，并能够预测未知情况或进行决策。
2.模型的简化程度：模型要尽可能简化而不失准确性，避免过度复杂和冗余的参数和结构。
简化的模型更易理解、计算和应用，降低了建模和计算的复杂度。
3.模型的可用性和通用性：模型应具有广泛的适用性和通用性，能够解决多个相关的问题，而不仅仅是特定场景下的一个问题。
模型能够应用于实际情境中，并能得到可靠的结果。
4.模型的稳定性和可靠性：模型应具备良好的稳定性和可靠性，保证模型在不同数据条件下有一致的表现，减小误差和波动。
此外，模型应该对输入数据和参数的变化具有一定的鲁棒性。
5.模型的可解释性：一个好的模型应该具备可解释性，即模型能够清晰地解释和说明问题的本质，能够对模型的结果进行合理的解读和解释。
模型解释能够帮助人们理解问题背后的原理和规律。
综上所述，模型的优劣评价需要综合考虑准确性、简化程度、可用性、通用性、稳定性、可靠性和可解释性等多个因素，并根据具体问题的需求和应用背景进行综合评估。
数学模型第五版姜启源课件1. 引言数学模型是一种以数学方法描述、分析和解决实际问题的工具。
它是现代科学、工程和社会学科中不可或缺的一部分。
姜启源的《数学模型》是国内外广泛采用的教材之一，这份课件是对第五版《数学模型》的经典章节进行概要的总结和讲解。
2. 背景与目的数学模型的研究对象可以是自然界的现象、社会经济问题或工程技术等。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解问题的本质，并探索解决问题的方法。
数学模型的建立需要一定的理论基础和技巧，本课件旨在帮助读者快速掌握数学模型的基本概念和建模方法。
3. 数学模型的基本概念数学模型是对实际问题进行抽象和描述的数学形式。
它由问题的假设、变量、关系和约束等要素组成。
本部分介绍了数学模型的基本概念，包括：3.1 假设与逼近数学模型的建立需要对实际问题进行适当的假设和逼近。
假设是对问题中不确定因素的简化和规定，而逼近是对问题中不精确因素的近似和描述。
3.2 变量与参数变量是数学模型中描述问题状态的符号，它可以是数值、向量、矩阵等。
参数是数学模型中的固定值，它们可以是已知的或未知的。
3.3 关系与方程关系是数学模型中描述变量之间相互关系的数学表达式。
方程是关系中等号左右两边相等的表达式。
3.4 约束条件与目标函数约束条件是数学模型中描述问题限制条件的不等式或等式。
目标函数是数学模型中描述问题目标的数学表达式。
4. 常见的数学模型本部分介绍了一些常见的数学模型及其应用场景，包括：4.1 线性模型线性模型是最简单的数学模型之一，它的关系和约束条件可以表示为线性方程或线性不等式。
线性模型广泛应用于经济学、管理学、物理学、工程学等领域。
4.2 非线性模型非线性模型是一类不满足线性关系的数学模型。
它的关系和约束条件可以表示为非线性方程或非线性不等式。
非线性模型常用于生物学、化学、地球物理学等领域的研究。
4.3 动态模型动态模型是描述系统随时间变化的数学模型。
它可以采用微分方程、差分方程或积分方程等形式进行建模。
第二章 控制系统的数学模型 2.1 线性连续系统微分方程的建立 2.2 传递函数 2.3 控制系统的动态结构图 2.4 信号流图本章主要内容本章重点 线性定常系统微分方程 的建立 非线性系统的线性化方 法 传递函数概念与应用 方框图及其等效变换 梅逊公式的应用等 传递函数的概念及其 求取方法、 控制系统方框图的构 成和等效变换方法 典型闭环控制系统的 传递函数 梅逊公式的应用。
概述1. 数学模型:描述系统变量之间关系的数学表达式 2. 建模的基本方法:(1) 机理建模法(解析法)(2) 实验辩识法 3. 控制系统数学模型的主要形式:(1) 外部描述法:输入--输出描述 (2) 内部描述法:状态变量描述在控制系统的分析中,线性定常系统的分析 有特别重要的意义。
工程控制中常用的数学模型有三种： 微分方程----------时域描述 传递函数----------复域描述 频率特性----------频域描述本节主要介绍传递函数与微分方程两种数学模型作业：P48 2-1(b), 2-3, 2-42.1 线性连续系统微分方程的建立在控制系统的分析和设计中，建立合理的控制系统 数学模型是一项极为重要的工作，它直接关系到系统分 析结果的正确性和系统设计结果的可用性。
因此，在建 立系统的数学模型时，既要考虑数学模型的精确性，又 要注重数学模型的简易性。
一个合理的数学模型应该能 够以最简形式来正确描述系统的性能。
2.1 线性连续系统微分方程的建立建立控制系统微分方程的步骤(1)根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，将系 统正确划分为若干环节，并确定出各环节乃至整个 系统的输入量和输出量。
(2)从输入端开始，根据各环节所遵循的各种定律，依 次列写出相应微分方程，组成联立方程组。
(3) 消去中间变量，求取只包含系统（或元件）输入量和输 出量的微分方程。
(4) 将系统的微分方程整理成标准形式。
即把含有输出量的 各项移至方程的左边，把含有输入量的各项及其常数项统统 移至方程的右边，两边都按降阶排列，并将有关系数化为具 有一定物理意义的表示形式，如时间常数和比例系数等。
例2.1 编写如图所示RC电路的微分方程式。
解: (1) 定输入输出量: u1 (t) ----输入量 u2(t) ----输出量(2) 列写微分方程 i(t) ----中间变量u1 = iR+u2 式中 u2 = q/c i = dq/dt(3)消去中间变量,可得电路微分方程式RCdu2 dt+ u2=u1LCd 2u2 dt 2+RCdu2 dt+ u2=u1例2-2 图所示为一具有质量、弹簧、阻尼器的机械位移系统。
编写以f(t)为输入量xr，位移x(t)为输出量xc的系统的运动微分方程式。
解: 定输入输出量: 力 f(t) ----输入量 位移 x(t) ----输出量微分方程f (t) = M d 2 x(t) + B dx(t) + Kx(t)dt 2dtK——弹簧弹性系数； M——物体的质量， B——粘性摩擦系数。
只要参数M、B、K和外力F(t)已知，就可 以求出方程解x(t)，这样就可以研究参数m、f、 K在不同的数值下，质量m位移的运动规律。
例2-3 图为弹簧、质量、阻尼器机械旋转运动单元，试写出在 输入转矩M(t)作用下转动惯量为J的物体的运动方程，输出量 为角位移。
解: 定输入输出量: 转矩M(t) ----输入量角位移 θ (t) ----输出量弹簧的阻力与角位移成正比，阻尼 器的阻力与角速度成正比。
M(t)Jk1θf1微分方程Jd2θ(t dt 2)+f1dθ(t dt)+k1θ(t)=M(t)例2－4图中L、R分别为电枢回路的总电感和总电阻。
假设励磁电流恒定不变，试建立在ur(t) 作用下电动机转轴的运动方程。
解: 定输入输出量: 电压ur(t) ----输入量转速 ω (t) ----输出量LR+ia+ur(t)Ea-负 Jmω 载 fmEa(t)=C' e⋅n(t)=Ce⋅ω(t)-+if-Ldi a (t) dt+Ria(t)+Ea(t)=ur(t)Jdω(t) dt=M(t)−M c (t)M(t) = Cmia (t)TlTmd2ω(t) dt 2+Tmdω(t) dt+ω(t)=Kuur(t)−Km(TldM c dt(t)+Mc(t))TlTmd2ω(t) dt 2+Tmdω(t) dt+ω(t)=Kuur(t)−Km(TldM c (t) dt+Mc(t))式中Tl=L， RTm=JR C eC m；Ku=1 Ce，K m=Tm J对于恒转矩负载TlTmd 2ω(t) dt 2+Tmdω(t) dt+ω(t)=u r(t) Ce−R C eC mMc对小容量的测速发电机，近似有u(t) = Ceω(t)例2－5 图是直流电动机输出轴带齿轮减速机构拖动负载的 单元。
试列写该单元的微分方程。
解: 定输入输出量:Mmf1 r1 Z1 M1电磁转矩Mm(t) ----输入量转速 ω1(t) ----输出量J1ω1ω1(t)r1 = ω2 (t)r2i = N 2 = r2 N1 r1J2ω2 r2 Z2 M2f2 McM1(t)ω1(t) = M 2 (t)ω2 (t)J1dω1(t) dt+f1ω1(t)=Mm(t)−M1(t)J2dω2 (t) dt+f2ω2(t)=M2(t)−Mc(t)Jdω1(t) dt+fω1(t)=Mm(t)−M' c(t)J=J1+J2 i2、f=f1+f2 i2、M' c(t)=M c (t) i将负载轴上的J1、J2折算到电 动机轴上时要除以齿轮比i的 平方，将负载转矩折算到电动 机轴上要除以齿轮比i 。
二、非线性特性的近似线性化处理图中，在A点附近做小信号线性化处理时可在 x=x0 的 邻域内将 y=f(x) 展开成泰勒级数。
y=f(x)=f(x0)+⎛ ⎜⎝df (x) dx⎞ ⎟⎠ x 0(x−x0)+1⎛ 2!⎜⎝d 2f (x) dx 2⎞ ⎟ ⎠x0(x−x0)2+L忽略（x-x0）的所有高次项后得到 yL L1My1y=f(x)=f(x0)+⎛ ⎜⎝df (x) dx⎞ ⎟⎠x0(x−x0)y0Ay=f(x)B⎛ df (x) ⎞式在中平，衡⎜⎝ 点dx处切⎟⎠ x0线表的示斜非率线。
性特性曲线 0x0 x1x有两个输入量时，非线性元件的小信号线性化表达式为f(x1,x2)−f( x 10,x20)=⎛ ⎜ ⎝∂f( x 1, x ∂x 12)⎞ ⎟ ⎠x10,x20(x1−x10)+⎛ ⎜ ⎝∂f( x 1, x ∂x 22)⎞ ⎟ ⎠x10,x20(x2−x20)式中，⎛⎜⎝∂f( x 1, x ∂x 12)⎞ ⎟ ⎠x10,x20为变量x1 对输出改变量的参数；式中，⎛⎜⎝∂f( x 1, x ∂x 22)⎞ ⎟ ⎠x10,x20为变量 x 2 对输出改变量的参数；三、控制系统的微分方程+EurR1R0 A+R0Rb+ u1R0 BR0++ u+2Rb功率 放大器uf+-负载减速器+ua -M ωω1ωMc-TG+图2-7 具有负反馈的速度给定控制系统原理图M 'curue运算u1放大器反相器u2功率 放大器ua直流 电动机ω− uf测速机与反馈 电位器图2-8 图2-7控制系统方块图1. 运算放大器单元− u1 = ur − uf R1 R0 R0u1=−R1 R0(ur−uf)=−K1(u r−uf)=−K 1ue2. 反相器单元u2=−R R0 0u1=−u1u2=R1 R0ue=K1u e3. 功率放大器单元u a = K 2u 24. 他励直流电动机单元TlTmd 2ω(t) dt 2+Tmdω(t) dt+ω(t)=ua (t) Ce−R C eC mM' c5. 测速发电机与反馈电位器单元u(t) = Cetω(t)u f (t) = α 2Cetω(t) = K f ω(t)K f = α 2CetTlTm 1+ Kd 2ω(t) dt 2+Tm 1+ Kdω(t) dt+ω(t)=K 1K C（e 1+K2 ）ur(t)−R C eC m（1+K）M' cK = K1K 2K f Ce例2-6 用机理分析法列写图示转速控制系统的微分方程。
R2R2. R1. . R1.+负ugR1— K1 u1C— K2 u2功 率uaSM放-载大ωm ωufTGu1 = K 1(u g − u f )u2=K 2 (τdu1 dt+ u1 )ua = K 3u2电动机轴上的转矩平衡方程Jmd ω m (t) dt+f m ω m (t) = M m (t) − M c(t)LaJmd2ωm (t )dt2+(Lafm+RaJm)dωm (t )dt+(Rafm+CmCe)ωm(t)=Cmua (t)−LadMc (t) dt−Ra M c(t)在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计， 因而上式可化简为Tmdωm (t)dt+ ωm (t)=K4ua (t)−K5M c (t)式中 Tm = RaJm / (Rafm+CmCe) 是电动机机电时间常数；K4=Cm / (Rafm+CmCe)，K5=Ra / (Rafm+CmCe)是电动机的传递系数。
若考虑负载和齿轮系后，上式可变为Tmdωm (t) dt+ωm (t)=K mua (t)−KcM'c (t)式中 Tm、Km、Kc、M`c(t) 均是考虑齿轮系和负载后， 折算到电动机轴上的等效值。
设齿轮系的速比为i，则电动机转速ω 经齿轮系减速后变为mω，故有ω=1 iωm测速发电机的输出电压uf与其转速ω成正比，既有u f = Ktω消去中间变量，经整理后便得到控制系统的微分方程T' mdω+ω=K' gdtdu g dt+Kgug−K'c M' c(t )可用于研究在给定电压ug或有负载扰动转矩Mc(t) 时，速度控制系统的动态性能。
作业：P48 2-1(b), 2-4, 2-6拉普拉斯变换拉氏变换F(s)=∫∞0−f(t)e−stdtf (t) = U1(t) 的拉氏变换为F(s)=∫∞0−f(t)e−stdt=∫∞0−Ue−stdt=−U se−st∞ =U 0− sf (t) = Ue −at 的拉氏变换为∫ ∫ F(s) = ∞ Ue −at e −stdt = ∞ U e −(s+a)tdt = − U e −(s+a)t ∞ = U0−0−s+a0− s + a拉普拉斯变换f (t) = U cos ωt 的拉氏变换为F(s)=∫∞0−U cos ωte −stdt=∫∞0−Uejωt+ e − jωt 2e −stdt=U 2⎛ ⎝⎜ s1 − jω+s1⎞ + jω ⎠⎟=Us s2 + ω2f (t) = e −at sin ωt 的拉氏变换为∫ ∫ ∫ F(s) =∞ e −at sin ωt e −stdt =∞ e −at e jωt − e − jωt e −stdt =∞ e −(s+a− jω)t − e −(s+a+ jω)t dt0−0−2j0−2j=1⎛2j⎜ ⎝s+1 a−jω−s+1 a+jω⎞ ⎟ ⎠=(s+ω a)2+ω2f (t) = 1(t − τ) 的拉氏变换为F(s)=∫∞0−1(t−τ)e −stdt=∫∞τ−1(t−τ)e −stdt=∫∞0−1(u)e−s(u+τ)du=e−sτ∫∞0−1(u)e −sudu=e −sτ sf (t) = δ(t) 的拉氏变换为 F(s) = 1f (t) = Ut1(t)的拉氏变换为F(s)=U s2f (t) = U t 2 2的拉氏变换为F(s)=U s3f (t) = sin ωt的拉氏变换为F(s)=s2ω + ω2f (t) = e −at cos ωt的拉氏变换为F(s)=(s+s+a a)2 +ω2拉氏变换的微分性质：∫∞0−f'(t)e−stdt=sF(s)二阶导函数的拉氏变换为 ；∫0∞− f ''(t) e −stdt = s 2F(s)n阶导函数在零初始条件下的拉氏变换为 ；∫0∞− f (n) (t) e −stdt = s nF(s)拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换的定义将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之为拉普拉斯反变换。
