数学运算
一、 数的整除特性
（1）被2整除 偶数
（2）被3整除 看各位数字和能不能被3整除
（3）被4/25整除 看数的后两位可不可以被4/25整除
（4）被5整除 数的末位是0或5
（5）被6整除 能够同时被2和3整除
（6）被12整除 能够同时被3和4整除
被72整除 能够同时被8和9整除
由（5）（6）可总结出：如果一个数可以表示为两个互质的数的乘积，那么它的整除性就是要同时满足这两个互质的数的整除性。
（7）被7/11/13整除 划后三位，用大数减小数，看能不能被7/11/13整除
例 12568 568-12=556 由于556不能被7/11/13整除，所以12568也不能被7/11/13整除。
（8）被8/125整除 看数的后三位可不可以被8/125整除
（9）被11整除的另外一种情况 奇偶数位数字分别相加后做差
例 12345 首先奇数位相加1+3+5=9，再偶数位相加2+4=6，由于9-6=3，而3不能被11整除，所以12345也不能被11整除。
二、 余数的性质（其实与整除性是相通的）
（1） 和的余数等于余数的和
例 （89+78）/7的余数
先看各个数的余数，89除7余5，78除7余1，5+1=6，而6除7余6，所以（89+78）除7也余6.
（2） 倍数的余数等于余数的倍数
例 89除以7的余数为5，那么89*3除以7的余数为？
因为89除以7的余数为5，又因为3*5=15，而15除以7的余数是1，所以89*3除以7的余数是1.
（3） 积的余数等于余数的积
例 （89*78）除以5
先分别求各个数的余数，89除5的余数是4，78除5的余数是3，用4*3除以5，余数为2，所以89*78除以5的余数也是2.
（4） 多次方的余数等于余数的多次方
例1 2010^2009除以7的余数
求底数除以7的余数，2010除以7余数为1，所以原式就是求1^2009除以7的余数，即1除以7的余数。1除以7余数是1，所以2010^2009除以7余数也是1.
例2 2008^2009除以7的余数
求底数除以7的余数，2008除以7余数为6，余数为6其
实相当于余（-1），所以原式就是求（-1）^2009除以7的余数，即（-1）除以7的余数。（-1）除以7余数为（-1），相当于余6，所以2008^2009除以7的余数是6.
三、 数的分解
分解质因数（可求约数的个数）
例 求1440的约数有多少个
1440分解质因数=2^5*3^2*5
约数的个数等于（指数的个数+1）的乘积
所以1440的约数个数=6*3*2=36个。
另：一个数有几个大于1的奇约数，就有几种连续自然数分解。
例 将450拆分成若干连续自然数的和，共有几种拆法？
450=2*3^2*5^2
所以共有（2+1）*（2+1）-1=8种。
利用公式求极值
a^2+b^2>=2ab
ab<=[(a+b)/2]^2当且仅当a=b时，使得等号成立。
例1 a、b都是自然数，且a+b=12，求ab的范围。
当a、b相差最大时，取得ab的最小值为0
当a、b相差最小是，即a=b=6时，取得ab的最大值36
所以0<=ab<=36
例2 已知3a+2b=12，求ab的范围。
当3a、2b相差最大时，取得ab的最小值为0
当3a、2b相差最小时，即3a=2b=6时，也就是a=2、b=3时，ab取得最大值 为6，所以0<=ab<=6
例3 已知ab=36，求a+b的范围。
当a、b相差最小时，即a=b=6时，a+b取得最小值12
当a、b相差最大时，a+b取得最大值37
所以12<=a+b<=37
四、 奇数和偶数
性质： 奇数+奇数=偶数
偶数+偶数=偶数
奇数=偶数=奇数
奇数*偶数=偶数
奇数*奇数=奇数
例 某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少。
A 33 B 39 C 17 D 16
设答对X道，答错Y道。
3X-Y=82，由于82是偶数，所以3X和Y同为奇数或同为偶
数，又因为3X的奇偶性完全取决于X，所以X和Y同为奇数或同为偶数。所以X-Y肯定是偶数，看选项，只有D符合。
五、 公倍数和公约数
性质：若A=2^3*3^2*5
B=2^5*3^5*7
则A、B的最大公约数=2^3*3^2
最小公倍数=2^3*3^2*5*2^5*3^5*7/2^3*3^2
六、 尾数计算（前提是选项4和答案尾数完全不同）
例 1+2+3+4+……+N=2005003，则自然数N=？
A 2000 B 2001 C 2002 D 2003
根据等差数列求和公式，可得到2005003=N+(N^2-N)/2
整理以后是4010006=N(N+1)，看选项，尾数能得到6的只有2002，。
七、 提取公因式
13又4/19+89又9/19*0.25+0.625*89又9/19+89又9/19*0.125=？
A 75 B 100 C 89又9/19 D 93又6/19
八、 重复数字的因式分解
2007*200620062006-2006*200720072007=？
2007*2006*100010001-2006*2007*100010001=0
9039030/43043=？
903*10010/43*1001=210
九、 整体代换
（1+1/2+1/3）*(1/2+1/3+1/4)-(1+1/2+1/3+1/4)*(1/2+1/3)=？
把（1/2+1/3）看作一个整体，比如A，(1/2+1/3+1/4)看作一个整体，比如B，所以整个式子就化为了（1+A）*B-(1+B)*A=B-A=1/2+1/3+1/4-1/2-1/3=1/4
十、 利用公式法计算
20*20-19*19+18*18-17*17+……+2*2-1*1=?
A 3245 B 2548 C 210 D 156
这个观察以下其实就是个等差数列，20*20-19*19=（20+19）（20-19）=39，18*18-17*17=（18+17）（18-17）=35……公差为4，第一项为3，第N项为39，共10项，带入等差数列求和公式可得到结果是
210.
（2+1）*（2^2+1）*(2^4+1)*(2^8+1)=？
看到这个应该会想到平方差公式，所以我们可以在（2^2+1）前面乘以（2^2-1），这样就可以看出可以利用公式计算了，，在乘了以后，一定要记得后面要除去。原式就变为了（2+1）*（2^2+1）*(2^4+1)*(2^8+1)/ （2^2-1）=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)=(2^8-1)(2^8+1)=2^16-1
十一、 裂项相消法
性质：A/n(n+d)=A/d(1/n-1/n+d)
1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5+……+1/n(n+1)(n+2)=？
1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
十二、 错位相减法
通项形如an=An*Bn(其中An为等差数列，Bn为等比数列)的数列的求和问题，可以考虑采用错位相减法。
求和：Sn=1+3x+5x^2+7x^3+……+(2n-1)x^(n-1)=？ 一式
xSn= x+3x^2+5x^3+……+(2n-3)x^(n-1)+ (2n-1)x^n 二式
一式减二式（1-x）Sn=1+2x+2x^22x^3+……+2x^(n-1)- (2n-1)x^n
十三、 放缩法
若X=1/1/1980+1/1981+1/1982……+1/1997,则X的整数部分是？
设A=1/1980+1/1981+1/1982……+1/1997
则A<1/1980+1/1980+1/1980……+1/1980=18/1980
A>1/1997+1/1997+1/1997……+1/1997=18/1997
18/1997 < A < 18/1980
所以1980/18 < 1/A < 1997/18
110 < X < 110又17/18
所以X的整数部分是110
十四、 利用函数的性质(函数的性质这部分，学过去很久了，到底是为什么已经很模糊了，大家见谅哈)
(1) 若f(x)=ax^2+bx+c (a≠0)
函数的对称轴方程是x=-b/2a
顶点坐标是 （-b/2a,（4ac-b^2）/4a）
(2) 若f(a+x)=f(b-x)
函数的对称轴方程是 x=(a+b)/2
(3) 特殊情况，若f(a+x)=f(a-x)
函数的对称轴方程是 x=a
(4) 若f(x)= f(x+a)
函数就具有周期性，周期T=a
已知f(x)=x^2+ax+3,若f(2+x)=f(2-x),则，f(2)=?
A 0 B -1 C -2 D -3
对称轴为X=2，即-a/2*1=2,所以a=-4。f(2)=4-8+3=-1
十五、比例问题
例、有一辆车子，前轮周长是（5又12分之5），后轮周长为（6又3分之1）。则前进多少米？才能使前轮转的圈数比后轮转的圈数多99圈？
A 895 B 1650 C 3705 D 4528
前轮与后轮的周长比=5又12分之5：6又3分之1=65：76
即当前轮转76圈时，后轮转65圈
76-65=11 99/11=9 5又12分之5*76*9=3705
十六、行程问题
相遇问题（核心是速度和问题）
例、甲乙两人从距离为60千米的AB两地同时相向而行，6小时后相遇。如果二人的速度都增加1千米，则相遇地点距前一次相遇地点1千米的距离。已知甲的速度比乙快,则甲的速度为( )千米/小时
A.8 B.15/2 C.7 D.6
