整式的乘除因式分解计算题精选1(含答案)剖析

整式的乘除因式分解习题精选一．解答题（共12小题）1．计算：①；②[（﹣y 5）2]3÷[（﹣y ）3]5?y 2③④（a ﹣b ）6?[﹣4（b ﹣a ）3]?（b ﹣a ）2÷（a ﹣b ）2．计算：①（2x ﹣3y ）2﹣8y 2；②（m+3n ）（m ﹣3n ）﹣（m ﹣3n ）2；③（a ﹣b+c ）（a ﹣b ﹣c ）；④（x+2y ﹣3）（x ﹣2y+3）；⑤（a ﹣2b+c ）2；⑥[（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）（2y ﹣x ）﹣2x （2x ﹣y ）]÷2x ．⑦（m+2n ）2（m ﹣2n ）2 ⑧．3．计算：（1）6a 5b 6c 4÷（﹣3a 2b 3c ）÷（2a 3b 3c 3）．（2）（x ﹣4y ）（2x+3y ）﹣（x+2y ）（x ﹣y ）．（3）[（﹣2x 2y ）2]3?3xy 4．（4）（m ﹣n ）（m+n ）+（m+n ）2﹣2m 2．4．计算：（1）（x 2）8?x 4÷x 10﹣2x 5?（x 3）2÷x ．（2）3a 3b 2÷a 2+b?（a 2b ﹣3ab ﹣5a 2b ）．（3）（x ﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y ）（2x ﹣y ）+（x+y ）2﹣2（2x 2﹣xy ）．5．因式分解：①6ab 3﹣24a 3b ；②﹣2a 2+4a ﹣2；③4n 2（m ﹣2）﹣6（2﹣m ）；④2x 2y ﹣8xy+8y ；⑤a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）；⑥4m 2n 2﹣（m 2+n 2）2；⑦；⑧（a 2+1）2﹣4a 2；⑨3x n+1﹣6x n +3x n ﹣1 ⑩x 2﹣y 2+2y ﹣1；4a 2﹣b 2﹣4a+1；4（x ﹣y ）2﹣4x+4y+1；3ax 2﹣6ax ﹣9a ；x 4﹣6x 2﹣27；（a 2﹣2a ）2﹣2（a 2﹣2a ）﹣3．6．因式分解：（1）4x 3﹣4x 2y+xy 2．（2）a 2（a ﹣1）﹣4（1﹣a ）2．7．给出三个多项式：x 2+2x ﹣1，x 2+4x+1，x 2﹣2x ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．8．先化简，再求值：（2a+b ）（2a ﹣b ）+b （2a+b ）﹣4a 2b ÷b ，其中a=﹣，b=2．9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x 2﹣（x+y ）（x ﹣y ）][（﹣x ﹣y ）（﹣x+y ）+2y 2]的值．10．解下列方程或不等式组：①（x+2）（x ﹣3）﹣（x ﹣6）（x ﹣1）=0；②2（x ﹣3）（x+5）﹣（2x ﹣1）（x+7）≤4．11．先化简，再求值：（1）（x+2y ）（2x+y ）﹣（x+2y ）（2y ﹣x ），其中，．（2）若x﹣y=1，xy=2，求x3y﹣2x2y2+xy3．12．解方程或不等式：（1）（x+3）2+2（x﹣1）2=3x2+13．（2）（2x﹣5）2+（3x+1）2＞13（x2﹣10）．整式的乘除因式分解习题精选参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2③；④（a ﹣b ）6?[﹣4（b ﹣a ）3]?（b ﹣a ）2÷（a ﹣b ）考点：整式的混合运算．专题：计算题．分析：①原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；②原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，即可得到结果；③原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果；④余数利用同底数幂的乘除法则计算即可得到结果．解答：解：①原式=5a 2b ÷（﹣ab ）?（4a 2b 4）=﹣60a 3b 4；②原式=y 30÷（﹣y ）15?y 2=﹣y 17；③原式=a 2b ﹣ab 2﹣；④原式=4（a ﹣b ）10．点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．计算：①（2x ﹣3y ）2﹣8y 2；②（m+3n ）（m ﹣3n ）﹣（m ﹣3n ）2；③（a ﹣b+c ）（a ﹣b ﹣c ）；④（x+2y ﹣3）（x ﹣2y+3）；⑤（a ﹣2b+c ）2；⑥[（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）（2y ﹣x ）﹣2x （2x ﹣y ）]÷2x ．⑦（m+2n ）2（m ﹣2n ）2⑧．考点：整式的混合运算．专题：计算题．分析：①原式利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；②原式第一项利用平方差公式计算，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；③原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果；④原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果；⑤原式利用完全平方公式展开，即可得到结果；⑥原式中括号中利用完全平方公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果；⑦原式逆用积的乘方运算法则变形，计算即可得到结果；⑧原式利用平方差公式计算即可得到结果．解答：解：①原式=4x 2﹣12xy+9y 2﹣8y 2=4x 2﹣12xy+y 2；②原式=m 2﹣9n 2﹣m 2+6mn ﹣9n 2=6mn ﹣18n 2；③原式=（a ﹣b ）2﹣c 2=a 2﹣2ab+b 2﹣c 2；④原式=x 2﹣（2y ﹣3）2=x 2﹣4y 2+12y ﹣9；⑤原式=（a ﹣2b ）2+2c （a ﹣2b ）+c 2=a 2﹣4ab+4b 2+2ac ﹣4bc+c 2；⑥原式=（x 2﹣4xy+4y 2﹣x 2+4xy ﹣4y 2﹣4x 2+2xy ）÷2x=（﹣4x 2+2xy ）÷2x=﹣2x+y ；⑦原式=[（m+2n ）（m ﹣2n ）]2=（m 2﹣4n 2）2=m 4﹣8m 2n 2+16n 4；⑧原式=a （﹣a+b+c ）=﹣a 2+ab+ac ．点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．计算：（1）6a 5b 6c 4÷（﹣3a 2b 3c ）÷（2a 3b 3c 3）．（2）（x ﹣4y ）（2x+3y ）﹣（x+2y ）（x ﹣y ）．（3）[（﹣2x 2y ）2]3?3xy 4．（4）（m ﹣n ）（m+n ）+（m+n ）2﹣2m 2．考点：整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）原式利用单项式除以单项式法则计算即可得到结果；（2）原式两项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（3）原式先利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算即可得到结果；（4）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．解答：解：（1）原式=﹣2a 3b 3c 3÷（2a 3b 3c 3）=﹣1；（2）原式=2x 2﹣5xy ﹣12y 2﹣x 2﹣xy+2y 2=x 2﹣6xy ﹣10y 2；（3）原式=64x 12y 6?3xy 4=192x 13y 10；（4）原式=m 2﹣n 2+m 2+2mn+n 2﹣2m 2=2mn ．点评：此题考查了整式的混合运算，涉及的整式有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4．计算：（1）（x 2）8?x 4÷x 10﹣2x 5?（x 3）2÷x ．（2）3a 3b 2÷a 2+b?（a 2b ﹣3ab ﹣5a 2b ）．（3）（x ﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y ）（2x ﹣y ）+（x+y ）2﹣2（2x 2﹣xy ）．考点：整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）原式先利用幂的乘方运算法则计算，再利用同底数幂的乘除法则计算，合并即可得到结果；（2）原式利用单项式除以单项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（3）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（4）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果．解答：解：（1）原式=x16?x 4÷x 10﹣2x 5?x 6÷x=x 10﹣2x 10=﹣x 10；（2）原式=3ab 2+a 2b 2﹣3ab 2﹣5a 2b 2=﹣4a 2b 2；（3）原式=x 2﹣9﹣x 2﹣4x ﹣3=﹣4x ﹣12；（4）原式=4x 2﹣y 2+x 2+2xy+y 2﹣4x 2+2xy=x 2+4xy ．点评：此题考查了整式的混合运算，涉及的整式有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．5．因式分解：①6ab 3﹣24a 3b ；②﹣2a 2+4a ﹣2；③4n 2（m ﹣2）﹣6（2﹣m ）；④2x 2y ﹣8xy+8y ；⑤a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）；⑥4m 2n 2﹣（m 2+n 2）2；⑦；⑧（a 2+1）2﹣4a 2；⑨3x n+1﹣6x n +3x n ﹣1⑩x 2﹣y 2+2y ﹣1；?4a 2﹣b 2﹣4a+1；?4（x ﹣y ）2﹣4x+4y+1；?3ax 2﹣6ax ﹣9a ；?x 4﹣6x 2﹣27；?（a 2﹣2a ）2﹣2（a 2﹣2a ）﹣3．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分组分解法；因式分解-十字相乘法等．分析：①直接提取公因式6ab ，进而利用平方差公式进行分解即可；②直接提取公因式﹣2，进而利用完全平方公式分解即可；③直接提取公因式2（m ﹣2）得出即可；④直接提取公因式2y ，进而利用完全平方公式分解即可；⑤直接提取公因式（x ﹣y ），进而利用平方差公式进行分解即可；⑥直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解即可；⑦首先提取公因式﹣，进而利用平方差公式进行分解即可；⑧首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解即可；⑨直接提取公因式3x n ﹣1，进而利用完全平方公式分解即可⑩将后三项分组利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解即可；?首先将4a 2﹣4a+1组合，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解即可；?将（x ﹣y ）看作整体，进而利用完全平方公式分解因式即可；?首先提取公因式3a ，进而利用十字相乘法分解因式得出；?首先利用十字相乘法分解因式进而利用平方差公式分解即可；?将a 2﹣2a 看作整体，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．解答：解：①6ab 3﹣24a 3b=6ab （b 2﹣4a 2）=6ab （b+2a ）（b ﹣2a ）；②﹣2a 2+4a ﹣2=﹣2（a 2﹣2a+1）=﹣2（a ﹣1）2；③4n 2（m ﹣2）﹣6（2﹣m ）=2（m ﹣2）（2n 2+3）；④2x 2y ﹣8xy+8y=2y （x 2﹣4x+4）=2y （x ﹣2）2；⑤a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）=（x ﹣y ）（a 2﹣4b 2）=（x ﹣y ）（a+2b ）（a ﹣2b ）；⑥4m 2n 2﹣（m 2+n 2）2=（2mn+m 2+n 2）（2mn ﹣m 2﹣n 2）=﹣（m+n ）2（m ﹣n ）2；⑦=﹣（n 2﹣4m 2）=﹣（n+2m ）（n ﹣2m ）；⑧（a 2+1）2﹣4a 2=（a 2+1+2a ）（a 2+1﹣2a ）=（a+1）2（a ﹣1）2；⑨3xn+1﹣6x n +3x n ﹣1=3x n ﹣1（x 2﹣2x+1）=3x n ﹣1（x ﹣1）2；⑩x 2﹣y 2+2y ﹣1=x 2﹣（y ﹣1）2=（x+y ﹣1）（x ﹣y+1）；?4a 2﹣b 2﹣4a+1=（4a 2﹣4a+1）﹣b2=（2a ﹣1）2﹣b 2=（2a ﹣1+b ）（2a ﹣1﹣b ）；?4（x ﹣y ）2﹣4x+4y+1=4（x ﹣y ）2﹣4（x ﹣y ）+1=[2（x ﹣y ）﹣1]2=（2x ﹣2y ﹣1）2；?3ax 2﹣6ax ﹣9a=3a （x 2﹣2x ﹣3）=3a （x ﹣3）（x+1）；?x 4﹣6x 2﹣27=（x 2﹣9）（x 2+3）=（x+3）（x ﹣3）（x 2+3）；?（a 2﹣2a ）2﹣2（a 2﹣2a ）﹣3=（a 2﹣2a ﹣3）（a 2﹣2a+1）=（a ﹣3）（a+1）（a ﹣1）2．点评：此题主要考查了提取公因式法、公式法十字相乘法和分组分解法分解因式，熟练应用公式法以及分组分解法分解因式是解题关键．6．因式分解：（1）4x 3﹣4x 2y+xy 2．（2）a 2（a ﹣1）﹣4（1﹣a ）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：计算题．分析：（1）原式提取公因式x 后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式第二项变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解答：解：（1）原式=x （4x 2﹣4xy+y 2）=x （2x ﹣y ）2；（2）原式=（a ﹣1）（a 2﹣4a+4）=（a ﹣1）（a ﹣2）2．点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（2009?漳州）给出三个多项式：x 2+2x ﹣1，x 2+4x+1，x 2﹣2x ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．考点：提公因式法与公式法的综合运用；整式的加减．专题：开放型．分析：本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了．解答：解：情况一：x 2+2x ﹣1+x 2+4x+1=x 2+6x=x （x+6）．情况二：x 2+2x ﹣1+x 2﹣2x=x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1）．情况三：x 2+4x+1+x 2﹣2x=x 2+2x+1=（x+1）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．熟记公式结构是分解因式的关键．平方差公式：a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）；完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2．8．（2008?三明）先化简，再求值：（2a+b ）（2a ﹣b ）+b （2a+b ）﹣4a 2b ÷b ，其中a=﹣，b=2．考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．分析：根据平方差公式，单项式乘多项式，单项式除单项式的法则化简，再代入求值．解答：解：（2a+b ）（2a ﹣b ）+b （2a+b ）﹣4a 2b ÷b ，=4a 2﹣b 2+2ab+b2﹣4a 2，=2ab ，当a=﹣，b=2时，原式=2×（﹣）×2=﹣2．点评：考查了整式的混合运算，主要考查了整式的乘法、除法、合并同类项的知识点．注意运算顺序以及符号的处理．9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x 2﹣（x+y ）（x ﹣y ）][（﹣x ﹣y ）（﹣x+y ）+2y 2]的值．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 、y 的值代入进行计算即可．解答：解：原式=[2x 2﹣x 2+y 2][（﹣x ）2﹣y 2+2y 2]=（x 2+y 2）（x 2+y 2）=（x 2+y 2）2，当x=﹣1，y=﹣2时，原式=（1+4）2=25．点评：本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．10．解下列方程或不等式组：①（x+2）（x ﹣3）﹣（x ﹣6）（x ﹣1）=0；②2（x ﹣3）（x+5）﹣（2x ﹣1）（x+7）≤4．考点：整式的混合运算；解一元一次方程；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：①方程去括号，移项合并，将x 系数化为1，即可求出解；②不等式去括号，移项合并，将x 系数化为1，即可求出解集．解答：解：①去括号得：x 2﹣x ﹣6﹣x 2+7x ﹣6=0，移项合并得：6x=12，解得：x=2；②去括号得：2x 2+4x ﹣30﹣2x 2﹣13x+7≤4，移项合并得：﹣9x ≤27，解得：x ≥﹣3．点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．先化简，再求值：（1）（x+2y）（2x+y）﹣（x+2y）（2y﹣x），其中，．（2）若x﹣y=1，xy=2，求x3y﹣2x2y2+xy3．考点：整式的混合运算—化简求值．分析：（1）先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把x，y的值代入进行计算即可；（2）先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把x﹣y=1，xy=2的值代入进行计算即可．解答：解：（1）原式=（x+2y）（2x+y﹣2y+x）=（x+2y）（3x﹣y）=3x 2+5xy﹣2y2，当x=，y=时，原式=3×+5××﹣2×=；（2）原式=xy（x﹣y）2，当x﹣y=1，xy=2时，原式=2×1=2．点评：本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．12．解方程或不等式：（1）（x+3）2+2（x﹣1）2=3x2+13．（2）（2x﹣5）2+（3x+1）2＞13（x2﹣10）．考点：整式的混合运算；解一元一次方程；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：（1）方程左边两项利用完全平方公式展开，移项合并后，将x系数化为1，即可求出解；（2）不等式左边两项利用完全平方公式展开，移项合并后，将x系数化为1，即可求出范围．解答：解：（1）整理得：x2+6x+9+2x2﹣4x+2=3x2+13，移项合并得：2x=2，解得：x=1；（2）不等式整理得：4x2﹣20x+25+9x2+6x+1＞13x2﹣130，移项合并得：﹣14x＞﹣156，解得：x＜11．点评：此题考查了整式的混合运算，涉及的整式有：完全平方公式，平方差公式，单项式乘除单项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．。

整式的乘除与因式分解考点归纳知识网络归纳22222()(,,)()()()():()()()2m n m n m n mn n n n a a a a a m n a b ab a b m a b ma mb m n a b ma mb na nb a b a b a b a b a ab b +⎧⎫⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⋅⎩⎭⨯⎧⎪⨯+=+⨯++=+++⎨⎧+-=-⎪−−−→⎨±=±+⎪⎩特殊的=幂的运算法则为正整数，可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：整式的乘法平方差公式 乘法公式完全平方公式：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩互逆22222()():2()a b a b a b a ab b a b⎧⎪⎪⎪⎧-=+-⎨⎨⎪⎨⎪⎪±+=±⎪⎩⎩⎪⎪⎩因式分解的意义提公因式法因式分解因式分解的方法平方差公式:运用公式法完全平方公式因式分解的步骤 专题归纳专题一：基础计算【例1】 完成下列各题：1.计算：2x 3·（－3x ）2__________． 2.下列运算正确的是（ ）A. x 3·x 4＝x 12B. （－6x 6）÷（－2x 2）＝3x 3C. 2a －3a ＝－aD. （x －2）2＝x 2－43.把多项式2mx 2－4mxy ＋2my 2分解因式的结果是__________．4分解因式：（2a －b ）2＋8ab ＝____________．专题二：利用幂的有关运算性质和因式分解可使运算简化 【例2】用简便方法计算．（1）0. 252009×42009－8100×0. 5300． （2）4292－1712．整式的乘法专题三：简捷计算法的运用【例3】设m 2＋m －2＝0，求m 3＋3m 2＋2000的值． ．专题四：化简求值【例4】化简求值：5（m+n ）(m-n )–2(m+n)2–3(m-n)2,其中m=-2,n= 15.专题五：完全平方公式的运用【例5】已知()211a b +=，()25a b -=，求（1）22a b +；（2）ab例题精讲基础题【例1】填空：1. (-a b)3·(a b 2)2= ; (3x 3+3x)÷(x 2+1)= . 2. (a +b)(a -2b)= ;(a +4b)(m+n)= . 3. (-a +b+c)(a +b-c)=[b-( )][b+( )].4. 多项式x 2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .5. 如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为 . 【例2】选择：6.从左到右的变形，是因式分解的为 （ ）A.m a +mb-c=m(a +b)-cB.(a -b)(a 2+a b+b 2)=a 3-b 3C.a 2-4a b+4b 2-1=a (a -4b)+(2b+1)(2b-1) D.4x 2-25y 2=(2x+5y)(2x-5y) 7.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）（A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052- （C ）22y x -- （D ）92+-x8. 如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的 正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积 为4，若用x ，y 表示小矩形的两边长(x ＞y)，请观察 图案，指出以下关系式中，不正确的是 ( ) A.x+y=7 B.x-y=2C.4xy+4=49D.x 2+y 2=25【例3】9计算：（1）（－3xy 2）3·（61x 3y ）2； （2）4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21a 5xy 2）；(3)(9)(9)x y x y -++- (4)2[(34)3(34)](4)x y x x y y +-+÷-(5)22)1)2)(2(x x x x x +-+-－（ (6) [（x+y ）2－（x －y ）2]÷(2xy)中档题【例1】10.因式分解：21(1)4x x -+ (2)22(32)(23)a b a b --+（3）2x2y－8xy＋8y （4）a2(x－y)－4b2(x－y)(5)2222x xy y z-+- (6)1(1)x x x+++（7）9a2(x-y)+4b2(y-x)；（8）(x+y)2＋2(x＋y)＋1 【例2】11.化简求值：（1）.2)3)(3()2)(3(2-=-+-+-aaaxx其中，x=1【例3】12若（x2＋px＋q）（x2－2x－3）展开后不含x2，x3项，求p、q值．【例4】13对于任意的正整数n，代数式n(n+7)－(n+3)(n-2)的值是否总能被6整除，请说明理由能力题【例1】14下面是对多项式（x 2－4x +2）（x 2－4x +6）+4进行因式分解的过程．解：设x 2－4x =y原式=（y +2）（y +6）+4 （第一步） = y 2+8y +16 （第二步） =（y +4）2 （第三步） =（x 2－4x +4）2 （第四步） 回答下列问题：（1）第二步到第三步运用了因式分解的_______． A ．提取公因式 B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式 （2）这次因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2－2x ）（x 2－2x +2）+1进行因式分解．【例2】已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足2220a b c ab bc ac ++---= （1）说明△ABC 的形状；（2）如图①以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，D 是y 轴上一点，连DB 、DC ，若∠ODB=60°，猜想线段 DO 、DC 、DB 之间有何数量关系，并证明你的猜想。

可编辑修改精选全文完整版Array第十四章、整式乘除与因式分解14.1 整式的乘法（1）(－3x)2(x＋1)(x＋3)＋4x(x－1)(x2＋x＋1)，其中x=－1；解：原式=9x2(x2＋3x＋x＋3)＋4x(x3＋x2＋x－x2－x－1)=9x2(x2＋4x＋3)＋4x(x3－1)=9x4＋36x3＋27x2＋4x4－4x=13x4＋36x3＋27x2－4x当x=－1时原式=13×(－1)4＋36×(－1)3＋27×(－1)2－4×(－1)=13－36＋27＋4=8（2）y n(y n＋3y－2)－3(3y n＋1－4y n)，其中y=－2，n=2．解：原式=y2n＋3y n＋1－2y n－9y n＋1＋12y n=y2n－6y n＋1＋10y n当y=－2，n=2时原式=(－2)2×2－6×(－2)2＋1＋10×(－2)2=16＋48＋40=10415、已知不论x、y为何值时(x＋my)(x＋ny)=x2＋2xy－8y2恒成立.求(m＋n)mn的值.解：x2＋nxy＋mxy＋mny2＝x2＋2xy－8y2x2＋(m＋n)xy＋mny2＝x2＋2xy－8y2∴m＋n＝2，mn＝－8∴(m＋n)mn＝2×(－8)＝－166、已知31=+a a，则221a a +＝（ B ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．117、如果x 2＋kx ＋81是一个完全平方式，则k 的值是（ D ）A ．9B ．－9C ．±9D ．±188、下列算式中不正确的有（ C ）①(3x 3－5)(3x 3＋5)＝9x 9－25②(a ＋b ＋c ＋d)(a ＋b －c －d)＝(a ＋b)2－(c ＋d)2③22)31(5032493150-=⨯ ④2(2a －b)2·(4a ＋2b)2＝(4a －2b)2(4a －2b)2＝(16a 2－4b 2)2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9、代数式2)(2y x +与代数式2)(2y x -的差是（ A ） A ．xy B ．2xy C ．2xy D ．0 10、已知m 2＋n 2－6m ＋10n ＋34＝0，则m ＋n 的值是（ A ）A ．－2B ．2C ．8D ．－8二、解答题11、计算下列各题：(1)(2a ＋3b)(4a ＋5b)(2a －3b)(5b －4a)(2)(x ＋y)(x －y)＋(y －z)(y ＋z)＋(z －x)(z ＋x);(3)(3m 2＋5)(－3m 2＋5)－m 2(7m ＋8)(7m －8)－(8m)2(1) 解：原式＝(2a ＋3b)(2a －3b)(4a ＋5b)(5b －4a)＝(4a 2－9b 2)(25b 2－16a 2)＝100a 2b 2－64a 4－225b 4＋144a 2b 2＝－64a 4＋244a 2b 2－225b 4(2) 解：原式＝x 2－y 2＋y 2－z 2＋z 2－x 2＝0(3) 解：原式＝25－9m 4－m 2(49m 2－64)－64m 2＝－58m 4＋2512、化简求值：(1)4x(x 2－2x －1)＋x(2x ＋5)(5－2x)，其中x ＝－1(2)(8x 2＋4x ＋1)(8x 2＋4x －1)，其中x ＝21 (3)(3x ＋2y)(3x －2y)－(3x ＋2y)2＋(3x －2y)2，其中x ＝31，y ＝－21 (1) 解：原式＝4x 3－8x 2－4x ＋x(25－4x 2)＝4x 3－8x 2－4x ＋25x －4x 3＝－8x 2＋21x当x ＝－1时原式＝－8×(－1)2＋21×(－1)＝－8－21＝－29(2) 解：原式＝(8x 2＋4x)2－1当x ＝时，原式＝[8×()2＋4×]2－1＝(2＋2)2－1＝15(3) 解：原式＝9x 2－4y 2－9x 2－12xy －4y 2＋9x 2－12xy ＋4y 2＝9x 2－24xy －4y 2当x ＝，y ＝－时原式＝9×()2－24××(－)－4×(－)2＝1＋4－1＝413、解下列方程：(1)(3x)2－(2x ＋1)2＝5(x ＋2)(x －2)解：9x 2－4x 2－4x －1＝5x 2－205x 2－4x －1＝5x 2－204x ＝19∴x ＝419(2)6x ＋7(2x ＋3)(2x －3)－28(x －21)(x ＋21)＝4解：6x ＋28x 2－63－28x 2＋7＝46x －56＝46x ＝60∴x ＝1014、解不等式：(1－3x)2＋(2x －1)2>13(x －1)(x ＋1)解：1－6x ＋9x 2＋4x 2－4x ＋1>13x 2－1313x 2－10x ＋2>13x 2－13－10x>－15∴x<2315、若n 满足(n －2004)2＋(2005－n)2＝1，求(2005－n)(n －2004)的值.解：(n －2004)2＋2·(n －2004)·(2005－n)＋(2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)(n －2004＋2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)1＝1＋2(2005－n)(n －2004)∴(2005－n)(n －2004)＝014.3 因式分解一、选择题1、下列各式，从左到右的变形是因式分解的为（ B ）A ．x 2－9＋5x ＝（x ＋3）（x －3）＋5xB ．x 2－4x ＋4＝（x －2）2C ．（x －2）（x －3）＝x 2－5x ＋6D ．（x －5）（x ＋2）＝（x ＋2）（x －5）2、把多项式x 2－mx －35分解因式为(x －5)(x ＋7)，则m 的值是（ B）A ．2B ．－2C ．12D ．－123、分解因式：x 2－2xy ＋y 2＋x －y 的结果是（ A ）A ．（x －y ）（x －y ＋1）B ．（x －y ）（x －y －1）C ．（x ＋y ）（x －y ＋1）D ．（x ＋y ）（x －y －1）4、若9x 2－12xy ＋m 是一个完全平方公式，那么m 的值是（ B ）。

整式的乘除与因式分解一、选择题：1．下列计算正确的是（ ）A ．105532a a a =+B ．632a a a =⋅C ．532)(a a =D ． 8210a a a =÷2．下列计算结果正确的是（ ）A ．4332222y x xy y x -=⋅-B ．2253xy y x -=y x 22-C ．xy y x y x 4728324=÷D ．49)23)(23(2-=---a a a3．两个三次多项式相加，结果一定是 （ ）A ．三次多项式B ．六次多项式C ．零次多项式D ．不超过三次的多项式4．把多项式()()()111---+x x x 提取公因式()1-x 后，余下的部分是（ ）A ．()1+xB ．()1+-xC ．xD ．()2+-x5．计算24(1)(1)(1)(1)x x x x -++--的结果是 （ ）A 、2B 、0C 、－2D 、－56．已知代数式12x a －1y 3与－3x －b y 2a+b 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ）A ．2,1a b =-⎧⎨=-⎩B ．2,1a b =⎧⎨=⎩C ．2,1a b =⎧⎨=-⎩D ．2,1a b =-⎧⎨=⎩7．已知2239494b b a b a n m =÷，则（ ）A ．3,4==n mB ．1,4==n mC ．3,1==n mD ．3,2==n m8．如图，是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形，则该图形的面积为（）A ．m 2+12mnB ．22mn n -C ．22m mn+ D ．222m n +9．若2()9a b +=，2()4a b -=，则ab 的值是（ ）A 、54B 、－54C 、1D 、－1 二、填空题： 1．分解因式2233ax ay -= ．2．分解因式ab b a 8)2(2+- =_______．3．分解因式221218x x -+= ．4．若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ ．5．代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________．6. 已知a+b=5，ab=3，求下列各式的值：（1）a 2+b 2= ；（2）-3a 2+ab-3b 2= ．7. 已知522=+b a ，()()223232a b a b --+＝－48，则a b +＝________． 8. 已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x >0，y >0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 ．9．观察下列等式： 第一行 3＝4－1第二行 5＝9－4第三行 7＝16－9第四行 9＝25－16… …按照上述规律，第n 行的等式为____________ ．三、解答题：1．计算题（1）（－3xy 2）3·（61x 3y ）2 （2）4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21a 5xy 2）（3）222)(4)(2)x y x y x y --+（ （4）221(2)(2))x x x x x-+-+－（2．因式分解（1）3123x x - （2）2222)1(2ax x a -+（3）xy y x 2122--+ （4）)()3()3)((22a b b a b a b a -+++-3．解方程：41)8)(12()52)(3(=-+--+x x x x4．已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋3的值5．若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值．四．综合拓展：1．已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状．2．已知2006x+2006y=1，x+3y=2006，试求2x 2+8xy+6y 2的值五．巩固练习：1．若n221623=÷，则n 等于（ ）A ．10B ．5C ．3D ．62．计算：xy xy y x y x 2)232(2223÷+--的结果是（ ） A ．xy y x 232- B ．22322+-xy y x C ．1232+--xy y x D ．12322+--xy y x3．下列计算正确的是（ ）A ．x y x y x 221222223=⋅÷ B ．57222257919n m n m m n n m =÷⋅ C ．mn mn n m n m =⋅÷24322)(2 D ．22242231043)3012(y x y x y x y x +=÷+4．已知一个多项式与单项式457y x -的积为2234775)2(72821y x y y x y x +-，则这个多项式为＿＿＿5．若（a+b ）2=13（a-b ）2=7求a 2+b 2和ab 的值。

2023年中考数学《整式的运算与因式分解》专题知识回顾及练习题（含答案解析）1. 合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。

2. 整式的加减的实质：合并同类项。

3. 整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。

②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。

④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。

4. 乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a −=−+。

②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。

5. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a −+=−22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。

③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则： ()()n x m x c bx x ++=++2。

31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21． 【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21． 【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时， 原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣ ＝1+1+2×+﹣1﹣2 ＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值． 【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值： （1）（x ﹣x 1）2； （2）x 4+41x． 【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵＝， ∴＝ ＝ ＝﹣4x • ＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2 ＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°； （2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。

整式的乘除难题解析整式的乘除是初中数学中的一个难点，需要掌握一定的技巧和方法。

下面将针对不同类型的乘除难题进行解析。

测试1：积的乘方若 $2^n=a$，$3^n=b$，则 $6^n=$______。

解析：根据指数的性质，$6^n=(2\cdot 3)^n=2^n\cdot3^n=a\cdot b$。

选择题：1.$\times (-0.2)^{2010}$，$(-5)\times 67\times (-6)$ 的积为：A。

$-.6$，$-2010$B。

$-.8$，$-2010$C。

$-.6$，$2010$D。

$-.8$，$2010$2.若 $(9x^2)^3\cdot (8)^{-4}=4$，求 $x^3$ 的值。

解析：化简得 $x^3=\frac{1}{2}$。

3.比较 $216\times 310$ 与 $210\times 314$ 的大小。

若$3x^1\cdot 2x-3x\cdot 2x^1=22\cdot 32$，求 $x$。

解析：$216\times 310>210\times 314$。

化简得 $x=4$。

测试2：整式的乘法(一)已知 $x^3a=3$，则 $x^6a+x^4a\cdot x^5a=$______。

解析：根据整式乘法的分配律，$x^6a+x^4a\cdotx^5a=x^3a\cdot x^3a+x^3a\cdot x^4a=x^6a+x^7a=3x+a$。

选择题：1.下列各题中，计算正确的是：A。

$(-m^3)^2(-n^2)^3=m^6n^6$B。

$(-m^2n)^3(-mn^2)^3=-m^9n^9$C。

$(-m^2n)^2(-mn^2)^3=-m^9n^8$D。

$[(-m^3)^2(-n^2)^3]^3=-m^{18}n^{18}$2.若 $x=2m+1$，$y=3+4m$，(1)请用含 $x$ 的代数式表示$y$；(2)如果 $x=4$，求此时 $y$ 的值。

第十四章 整式的乘法与因式分解考查题型一 幂的乘方运算典例1．（2021·广东·惠州市惠港中学八年级阶段练习）若3•9m•27m ＝321，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】先利用幂的乘方、同底数幂乘法的运算法则把等式的左边进行整理，从而可得到关于m 的方程求解即可．【详解】解：3•9m•27m＝3×32m×33m＝31＋2m ＋3m＝31＋5m ，∵3•9m•27m ＝321，即31＋5m=321∵1＋5m ＝21，解得：m ＝4．故选：C ．【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂乘法法则，解答本题的关键是灵活运用相关运算法则．变式1-1．（2020·海南·儋州川绵中学八年级期中）计算()323a a ⋅的结果是（ ）A ．9aB ．8aC ．7aD ．6a 【答案】A 【分析】根据幂的乘方和同底数幂乘法法则计算即可．【详解】()632933a a a a a ⋅==⋅，故选A ． 【点睛】本题考查幂的混合计算，涉及幂的乘方和同底数幂乘法．掌握运算法则是解题关键．变式1-2．（2021·江西育华学校八年级期末）已知2m+3n ＝5，则4m•8n ＝（ ）A ．10B ．16C ．32D ．64【答案】C【分析】根据幂的乘方m n mn a a =（）以及同底数幂的乘法（·m n m n a a a +=）则解答即可． 【详解】∵m 、n 均为正整数，且235m n +=，∵2323548222232m n m n m n +⋅=⋅===， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．变式1-3．（2021·福建·上杭县第三中学八年级阶段练习）下列运算正确的是（ ）A ．326·y y y ＝B ．33(·)·a b a b ＝C ．235x x x ＋＝D ．248()m m -＝【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则计算，利用排除法即可得到答案．【详解】解：A. 应为：23352·y y y y +=＝， 故本选项错误； B. 应为：333()··a b a b ＝， 故本选项错误； C. 235x x x +≠， 故本选项错误；D. 应为：248()m m -＝， 故本选项正确；故选D ．【点睛】考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．考查题型二 积的乘方运算典例2．（2022·山东淄博·期末）2312mn ⎛⎫- ⎪⎝⎭的计算结果是（ ） A ．64mn B ．264m n - C ．2314m n - D ．2614m n【答案】D【分析】直接根据幂的乘方与积的乘方的法则进行计算，即可得出答案．【详解】解：2312mn ⎛⎫- ⎪⎝⎭=2614m n故选D ．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是解决问题的关键．变式2-1．计算3(2)a 的结果是（ ）A ．36aB ．8aC ．32aD ．38a【答案】D【分析】根据积的乘方可进行求解．【详解】解：33(2)8a a =； 故选D ．【点睛】本题主要考查积的乘方，熟练掌握积的乘方是解题的关键．变式2-2．（2022·山东淄博·中考真题）计算3262(2)3a b a b --的结果是（ ）A ．﹣7a6b2B ．﹣5a6b2C ．a6b2D ．7a6b2【答案】C【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．【详解】解：原式62626243a b a b a b =-=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则． 变式2-3．（2020·北京市朝阳外国语学校八年级期中）下列运算结果正确的是（ ）A ．3412a a a ⋅=B ．325()a a =C ．22(3)9a a -=D ．752a a a -=【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 347a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意；B. 326()a a =，故该选项不正确，不符合题意；C. 22(3)9a a -=，故该选项正确，符合题意；D. 7a 与5a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，正确的计算是解题的关键．考查题型三 化简求值典例3．（2022·北京·101中学八年级阶段练习）先化简，再求值：3(21)(23)(5)x x x x +-+-，其中2x =-．【答案】241015x x ++，11【分析】先利用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则计算，再合并同类项完成化简，然后将x 的值代入求解即可．【详解】解：原式2263(210315)x x x x x =+--+-2263210315x x x x x =+-+-+241015x x =++，当2x =-时，原式24(2)10(2)15=⨯-+⨯-+11=．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 变式3-1．化简求值：()()()()23432x x x x +---+，其中1x =-【答案】246x x --，-1【分析】先计算整式的乘法，然后合并同类项，代入求解即可．【详解】解：原式()2228312236x x x x x x =-+--+--2225126x x x x =---++24 6.x x =--当1x =-时，原式146=+-1=-．【点睛】题目主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．变式3-2．先化简，再求值：()()()()2234342323321m m m m m m ---++-+-，其中52m =- 【答案】323240932m m m --+-，791【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【详解】解：()()()()2234342323321m m m m m m ---++-+- ()()2232316949424323232m m m m m m =+--+---22324827361672323232m m m m m m =+-++---323242930m m m =-+--当52m =-时， 原式235553223240229⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-⨯⎭+⨯- 125253284321009⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭+⨯+- 5002001009+=+-8009=-791=．【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．变式3-3．如图，在某一禁毒基地的建设中，准备在一个长为()65a b +米，宽为()5b a -米的长方形草坪上修建两条宽为a 米的通道．(1)求剩余草坪的面积是多少平方米？（用含a ，b 的字母代数式表示）(2)若1a =，3b =，求剩余草坪的面积是多少平方米？【答案】(1)()22101525a ab b -++平方米(2)260平方米【分析】（1）根据题意可得剩余草坪的面积是()()655a b a b a a +---，再根据整式的乘法计算，即可求解；（2）把1,3a b ==代入（1）中结果，即可求解．（1）解：剩余草坪的面积是：()()655a b a b a a +---()()5552a b b a =+-()22101525a ab b =-++平方米；（2）解：当1,3a b ==时，22101525a ab b -++221011513253=-⨯+⨯⨯+⨯=260，即1,3a b ==时，剩余草坪的面积是260平方米．【点睛】本题主要考查了整式的乘法的应用，平移的性质，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．考查题型四 多项式乘积不含某项求字母的值典例4．（2021·山东烟台·期中）已知（x2+mx-3）（2x+n ）的展开式中不含x2项，常数项是-6．(1)求m ，n 的值．(2)求（m+n ）（m2-mn+n2）的值．【答案】(1)m=-1，n=2；(2)7【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m ，n 的值；（2）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．（1）解：（x2+mx-3）（2x+n ）=2x3+2mx2-6x+nx2+mnx-3n=2x3+2mx2+nx2+mnx-6x-3n=2x3+（2m+n ）x2+（mn-6）x-3n ，由于展开式中不含x2项，常数项是-6，则2m+n=0且-3n=-6，解得：m=-1，n=2；（2）解：由（1）可知：m=-1，n=2，∵（m+n ）（m2-mn+n2）=m3-m2n+mn2+m2n-mn2+n3=m3+n3=（-1） 3+23=-1+8=7．【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．变式4-1．（2022·山东济南·期末）若代数式()()212-+-x mx x 的计算结果中不含有x 的一次项，求m 的值．【答案】12m =-【分析】根据多项式乘多项式将代数式进行变形得()()322122x m x m x -+++-，再根据题意进行求值即可；【详解】解：()()212-+-x mx x 322222x mx x x mx =-+-+-()()322122x m x m x =-+++-，因为计算结果中不含一次项，所以120m +=，则12m =-． 【点睛】本题主要考查整式的乘除中多项式乘多项式，正确将代数式变形是解题的关键． 变式4-2．（2022·江苏·江阴市第一初级中学一模）已知计算()()()2323536231x mx x x x x nx -+-⋅---+-的结果中不含4x 和2x 的项，求m 、n 的值． 【答案】m ＝1.5，n ＝−10．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，由结果中不含x4和x2项，求出m 与n 的值即可．【详解】解：（5−3x ＋mx2−6x3）•（−2x2）−x （−3x3＋nx−1）＝−10x2＋6x3−2mx4＋12x5＋3x4−nx2＋x＝12x5＋（3−2m ）x4＋6x3＋（−10−n ）x2＋x ，由结果中不含x4和x2项，得到3−2m ＝0，−10−n ＝0，解得：m ＝1.5，n ＝−10．【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式4-3．（2020·四川乐山·八年级期末）已知()()223x x ax b -++的展开项中不含2x 和x项，求a b +的值．【答案】3.75【分析】把两个多项式相乘，合并同类项后使结果的x 与x2项的系数为0，求解即可．【详解】解：()()223x x ax b -++=2x3+2ax2+2bx-3x2-3ax-3b=2x3+（2a-3）x2+（-3a+2b ）x-3b ．由题意得2a-3=0，-3a+2b=0，解得a=1.5，b=2.25．∵a+b=1.5+2.25=3.75．故a+b 的值为3.75．【点睛】本题考查了多项式相乘法则以及多项式的项的定义．注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．考查题型五 乘法公式的运算典例5．计算(1)()()22232xy x y ⋅- (2)()()()212141a a a a +---【答案】(1)4518x y - (2)41a -【分析】（1）根据幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法可以解答；（2）根据平方差公式及单项式乘以多项式可以解答．（1）解：原式=()24292x y x y ⋅-=4518x y -；（2）()()()212141a a a a +---=()224144a a a ---=224144a a a --+=41a -【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．变式5-1．计算：(1)()31233a b a a -÷； (2)()()()22a b a b a b -+-+．【答案】(1)241a b - (2)23ab b --【分析】（1）直接利用多项式除以单项式的法则计算即可；（2）利用多项式与多项式的乘法法则及完全平方公式计算即可．（1） 解：()31233a b a a -÷ 312333a b a a a =÷-÷241a b =-；（2）()()()22a b a b a b -+-+()2222222a ab ab b a ab b =+---++ 2222222a ab ab b a ab b =+-----23ab b =--．【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键．变式5-2．已知x+y ＝3，xy ＝2．(1)求(x+3)(y+3)的值；(2)求22x x y y +-的值．【答案】(1)20(2)3【分析】（1）先根据多项式与多项式的乘法法则化简，然后再将x+y ＝3，xy ＝2代入求值即可；（2）先利用完全平方公式变形，再将x+y ＝3，xy ＝2代入求值即可．（1）解：(x+3)(y+3)=xy+3(x+y)+9将x+y ＝3，xy ＝2代入得：原式=2+3×3+9=20（2）解：22x x y y +- =()23x y xy +-将x+y ＝3，xy ＝2代入得：原式=2323-⨯=3【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法法则和完全平方公式的变形求值，熟练掌握运算法则和完全平方公式是解题的关键．变式5-3．运用乘法公式简便计算：(1)2998(2)2123124122-⨯ 【答案】(1)996004(2)1【分析】（1）将998写成（1000-2），再用完全平方公式进行计算即可；（2）将124×122写成（123+1）×（123-1），再用平方差公式进行计算即可；（1）解：原式=2（1000-2） =222100022-⨯⨯+1000 =40004-+1000000=996004；（2）解：原式=212312311231-+⨯-（）（）=2221231231-+=1．【点睛】本题主要考查了用完全平方公式和平方差公式进行简便计算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．考查题型六 因式分解典例6．（2022·甘肃·临泽县第三中学八年级期中）分解因式．(1)32232a b a b ab -+(2)()()()24104254x x x x x -+-+-【答案】(1)()2ab a b - (2)()()245x x -+【分析】（1）先提取公因式ab ，再根据完全平方公式分解；（2）先提取公因式()4x -，再根据完全平方公式分解．（1）解：32232a b a b ab -+ =()222ab a ab b -+ =()2ab a b -（2）解：()()()24104254x x x x x -+-+-=()()241025x x x -++=()()245x x -+【点睛】本题考查了用提公因式法和完全平方公式进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．变式6-1．（2022·山东·济南锦苑学校八年级期中）分解因式：(1)228x － ；(2)244x y xy y ++ 【答案】(1)2（x+2）（x －2）(2)221y x +（）【分析】（1）提取公因式再利用平方差分解因式；（2）提取公因式再利用用完全平方公式分解因式；（1）228x －=224x （－）=222x x +（）（－） （2）244x y xy y ++=2441y x x ++（）=221y x +（）【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握用公式法分解因式是解题关键．变式6-2．（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）分解因式：(1)244x x -+(2)()()24a x y x y ---【答案】(1)()41x x -- ； (2)()(2)(2)x y a a -+-．【分析】（1）提取公因式-4x 即可分解；（2）先取公因式(x-y)，再运用平方差公式继续分解即可．（1）解：2444(1)x x x x -+=--； （2）解：()()24a x y x y --- ()2(4)x y a =-- ()(2)(2)x y a a =-+-．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 变式6-3．（2022·甘肃·张掖育才中学八年级期中）已知a ，b ，c 是∵ABC 的三边，且满足222222a b c ab ac ，试判断∵ABC 的形状，并说明理由．【答案】∵ABC 为等边三角形，理由见解析【分析】将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a-b=0，b-c=0，c-a=0，即可判断出∵ABC 的形状．【详解】解：∵ABC 为等边三角形，理由如下：∵222222ab c ab ac ， ∵2222220a ab b a ac c ， ∵()()220a b a c -+-=， ∵220,0a b a c ，∵a ﹣b ＝0，a ﹣c ＝0，∵a＝b，a＝c，∵a＝b＝c，∵∵ABC为等边三角形．【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断．解题的关键是将已知等式利用完全平方公式变形，利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系．。

整式的乘除与因式分解一、复习目标：1.掌握与整式有关的概念；2.掌握同底数幂、幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则；3.掌握单项式、多项式的相关计算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。

5..掌握因式分解的常用方法。

二、知识点分析：1. 同底数幂、幂的运算：a m ·a n =a m+n (m ，n 都是正整数).(a m )n =a mn (m ，n 都是正整数).1、 若6422=-a ，则a= 8 ；若8)3(327-=⨯n ，则n= 5 .()[]()[]m n x y y x 2322--= (x-2y)3n+2m .32=n a ，则n a 6= 27 .点评：考察公式的逆用，一般底不同时，化底相同，或化指数相同。

如：2a -2 = 64，因为64 = 26，所以a -2 = 6，a = 8如：a 2n = 3，那么a 6n = (a 2n )3 = 33 = 272.积的乘方(a b)n =a n b n (n 为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 计算：=()[]()()[]43p p m n n m m n -⋅-⋅- = (n-m)3p+4+4p = (n-m)7p+4点评：积的乘方，同底数幂公式的应用，可以先确定符号，“奇出偶不出”3.乘法公式平方差公式：()()22b a b a b a -=-+ 完全平方和公式：()2222b ab a b a ++=+ 完全平方差公式：()2222b ab a b a +-=- 1.利用平方差公式计算：2009×2007－20082=___-1___2. （a －2b ＋3c －d ）（a ＋2b －3c －d ）=___a 2-2ad+d 2-4b 2+12bc-9c 2___点评：套用公式时，需不拘于样式。

将符号不变的看作一个整体，符号变化的看作另一个整体。

如：(a －2b ＋3c －d )( a ＋2b －3c －d )= [(a-d ) － (2b-3c )]·[(a-d ) +(2b-3c )] ，于是就可以应用平方差公式。

八年级上册数学整式的乘除与因式分解精选练习题及答案一、填空题（每题2分；共32分）1．－x 2·（－x ）3·（－x ）2＝__________． 2．分解因式：4mx +6my =_________． 3．=-•-3245)()(a a ___ ____．4．201()3π+=_________；4101×0.2599＝__________． 5．用科学记数法表示－0.0000308＝___________．6．①a 2－4a +4；②a 2+a +14；③4a 2－a +14；•④4a 2+4a +1；•以上各式中属于完全平方式的有____ __（填序号）． 7．（4a 2－b 2）÷（b －2a ）=________．8．若x ＋y ＝8；x 2y 2＝4；则x 2＋y 2＝_________． 9．计算：832+83×34+172=________．10．=÷-+++++++1214213124)42012(m m m m m m m m b a b a b a b a ＋ ． 11．已知==-=-yx y x y x ，则，21222 ．12．代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式；则m ＝___________． 13．若22210a b b -+-+=；则a = ；b ＝ ． 14．已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x >0；y >0）；利用分解因式；写出表示该正方形的边长的代数式 ．15．观察下列算式：32—12＝8；52—32＝16；72—52＝24；92—72＝32；…；请将你发现的规律用式子表示出来：____________________________． 16．已知13x x +=；那么441x x+=_______． 二、解答题（共68分）17．（12分）计算：（1）（－3xy 2）3·（61x 3y ）2； （2）4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21a 5xy 2）；（3）222)(4)(2)x y x y x y --+（； （4）221(2)(2))x x x x x-+-+－（．18．（12分）因式分解：（1）3123x x -； （2）2222)1(2ax x a -+； （3）xy y x 2122--+； （4）)()3()3)((22a b b a b a b a -+++-． 19．（4分）解方程：41)8)(12()52)(3(=-+--+x x x x ．20．（4分）长方形纸片的长是15㎝；长宽上各剪去两个宽为3㎝的长条；剩下的面积是原面积的53．求原面积．21．（4分）已知x 2＋x －1＝0；求x 3＋2x 2＋3的值． 22．（4分）已知22==+ab b a ，；求32232121ab b a b a ++的值． 23．（4分）给出三个多项式：2112x x +-；21312x x ++；212x x -；请你选择掿其中两个进行加减运算；并把结果因式分解． 24．（4分）已知222450a b a b ++-+=；求2243a b +-的值．25．（4分）若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2；x 3项；求p 、q 的值．26．（4分）已知c b a 、、是△ABC 的三边的长；且满足0)(22222=+-++c a b c b a ；试判断此三角形的形状．答案一、填空题1．x 72．2(23)m x y + 3．26a - 4．10,1695．53.0810--⨯ 6．①②④ 7．2b a - 8．12 9．10000 10．12335m m a b ab ab ++-+ 11．2 12．4± 13．2,1a b == 14．3x y + 15．22(21)(21)8n n n +--= 16．65 二、解答题 17．（1）－43x 9y 8；（2）516ax 4y ；（3）4224168x x y y -+；（4）21()x x-- 18．（1）3(12)(12)x x x +-； （2）222(1)(1)a x x x x ++-+；（3）(1)(1)x y x y -+--；（4）28()()a b a b -+ 19．3 20．180cm 2 21．4 22．4 23．略 24．7 25．2,7p q ==26．等边三角形。