中考数学总复习 第一篇 考点聚焦 第四章 图形的初步认识与三角形 第16讲 特殊三角形课件
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4.《图形的初步认识与三角形》页数:9
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中考数学复习 第4章 图形的初步认识与三角形 第16讲 三角形课件
B ∵AF⊥BF，D是AB边上的中点(zhōnɡ diǎn)，∴DF＝BD＝ AB＝5.∴∠DBF ＝∠DFB.∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF＝∠BFD.∴DE∥BC，故DE是 △ABC的中位线．∴DE＝ BC＝8.∴EF＝DE－DF＝8－5＝3.
第十页，共十九页。
六年真题全练 命题(mìng tí)点1 三角形边和角的关系
技法点拨►已知一个中点考虑三角形中线的性质，已知两个或多 个中点考虑三角形中位线的性质．
第九页，共十九页。
变式运用►2.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于 点F，D为AB的中点，连接DF并延长(yáncháng)交AC于点E.若 AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
第十八页，共十九页。
内容 总结 (nèiróng)
第四章 图形的初步认识与三角形。C ∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠DCE＝ ∠ACE＝60°.∴∠ACD＝120°.又∵∠ACD＝∠B＋∠A，∠B＝35°，∴∠A＝120°－35°＝85°.。PA、PB的 长度随点P的移动(yídòng)而变化，∴△PAB的周长会随点P的移动(yídòng)而变化。∠APB的大小随 点P的移动(yídòng)而变化．综上所述，会随点P的移动(yídòng)而变化的是②⑤.
第十九页，共十九页。
第十二页，共十九页。
命题(mìng tí)点2 三角形角的关系
2．[2014·河北，4,2分]如图，平面上直线a，b分别过线段(xiànduàn)OK两
端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是ห้องสมุดไป่ตู้ )
A．20°
B．30°
C．70°
D．80°
B 设直线(zhíxiàn)a，b相交于点M，如图所示，100°角是△KOM的一个外
第十页，共十九页。
六年真题全练 命题(mìng tí)点1 三角形边和角的关系
技法点拨►已知一个中点考虑三角形中线的性质，已知两个或多 个中点考虑三角形中位线的性质．
第九页，共十九页。
变式运用►2.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于 点F，D为AB的中点，连接DF并延长(yáncháng)交AC于点E.若 AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
第十八页，共十九页。
内容 总结 (nèiróng)
第四章 图形的初步认识与三角形。C ∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠DCE＝ ∠ACE＝60°.∴∠ACD＝120°.又∵∠ACD＝∠B＋∠A，∠B＝35°，∴∠A＝120°－35°＝85°.。PA、PB的 长度随点P的移动(yídòng)而变化，∴△PAB的周长会随点P的移动(yídòng)而变化。∠APB的大小随 点P的移动(yídòng)而变化．综上所述，会随点P的移动(yídòng)而变化的是②⑤.
第十九页，共十九页。
第十二页，共十九页。
命题(mìng tí)点2 三角形角的关系
2．[2014·河北，4,2分]如图，平面上直线a，b分别过线段(xiànduàn)OK两
端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是ห้องสมุดไป่ตู้ )
A．20°
B．30°
C．70°
D．80°
B 设直线(zhíxiàn)a，b相交于点M，如图所示，100°角是△KOM的一个外
中考数学总复习 第四章 三角形 第16讲(课堂本)课件
第三页，共三十七页。
3．(2018 临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC.AD⊥CE，BE⊥
CE，垂足分别是点 D，E，AD＝3，BE＝1，则 DE 的长是( B )
A.23
B．2
C．2 2
D． 10
第四页，共三十七页。
4．(2018 东莞一模)如图，已知△ABC≌△ADE，若 AB＝7， AC＝3，则 BE 的值为 4 .
第七页，共三十七页。
6．(2018 铜仁)如图，已知点 A，D，C，B 在同一条直线上， AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥BF.
第八页，共三十七页。
证明：∵AD＝BC，∴AC＝BD， AC＝BD
在△ACE 和△BDF 中，AE＝BF ， CE＝DAE∥BF.
全等三角形的性质 (6 年 4 考) 5．(2018 广州一模)已知△ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝67°， BC＝15 cm，则∠F＝ 61 度，EF＝ 15 cm. 6．(2018 泰州)如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC，DB 相 交于点 O.求证：OB＝OC.
第十九页，共三十七页。
第二十六页，共三十七页。
10.(2018 广州)如图，AB 与 CD 相交于点 E，AE＝CE，DE＝ BE.求证：∠A＝∠C.
第二十七页，共三十七页。
AE＝CE 证明：在△AED 和△CEB 中，∠AED＝∠CEB ，
DE＝BE ∴△AED≌△CEB(SAS)，∴∠A＝∠C.
第二十八页，共三十七页。
能判定△ABE≌△ACD( D )
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．BD＝CE
D．BE＝CD
第十三页，共三十七页。
2．(2018 金华)如图，△ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F， 请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅 助线)，你添加的条件是 AC＝BC(答案(dáàn)不唯．一)
3．(2018 临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC.AD⊥CE，BE⊥
CE，垂足分别是点 D，E，AD＝3，BE＝1，则 DE 的长是( B )
A.23
B．2
C．2 2
D． 10
第四页，共三十七页。
4．(2018 东莞一模)如图，已知△ABC≌△ADE，若 AB＝7， AC＝3，则 BE 的值为 4 .
第七页，共三十七页。
6．(2018 铜仁)如图，已知点 A，D，C，B 在同一条直线上， AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥BF.
第八页，共三十七页。
证明：∵AD＝BC，∴AC＝BD， AC＝BD
在△ACE 和△BDF 中，AE＝BF ， CE＝DAE∥BF.
全等三角形的性质 (6 年 4 考) 5．(2018 广州一模)已知△ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝67°， BC＝15 cm，则∠F＝ 61 度，EF＝ 15 cm. 6．(2018 泰州)如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC，DB 相 交于点 O.求证：OB＝OC.
第十九页，共三十七页。
第二十六页，共三十七页。
10.(2018 广州)如图，AB 与 CD 相交于点 E，AE＝CE，DE＝ BE.求证：∠A＝∠C.
第二十七页，共三十七页。
AE＝CE 证明：在△AED 和△CEB 中，∠AED＝∠CEB ，
DE＝BE ∴△AED≌△CEB(SAS)，∴∠A＝∠C.
第二十八页，共三十七页。
能判定△ABE≌△ACD( D )
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．BD＝CE
D．BE＝CD
第十三页，共三十七页。
2．(2018 金华)如图，△ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F， 请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅 助线)，你添加的条件是 AC＝BC(答案(dáàn)不唯．一)
中考数学冲刺复习 第四章 三角形 第16课 三角形的基础知识课件
三边都____相__等____的三角形是等边三角形．三个角
都____相__等____的三角形是等边三角形；有一个角是60°
的__等__腰__三__角__形是等边三角形．
第三页，共十五页。
二、例题(lìtí)与变式
【考点(kǎo diǎn)1】等边对等角，三角形的内角与外角 【例1】如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝AC， CD平分(píngfēn)∠ACB.求∠ADC的度数．
第十五页，共十五页。
交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数(dùshu)；
(2)若CD＝2，求DF的长．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60° ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°.
∴∠F=90°－∠EDC=30°. （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.
解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2.
∵MN∥BC，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴OE=OC. 同理可得OF=OC.∴OE=OF.
（2）CE平分(píngfēn)∠ACB，CF平分(píngfēn)∠ACD， ∴∠1=∠2，∠4=∠5.∴∠2+∠4=90°.
∴∠ECF=∠2+∠4=90°.
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4.
第七页，共十五页。
【考点3】等腰三角形三线(sān xiàn)合一
【例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC
＝4，D为BC边的中点(zhōnɡ diǎn)，E，F分别在AB，AC上， 且DE⊥DF.求AE＋AF的值．
解：连接(liánjiē)AD，∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC.
都____相__等____的三角形是等边三角形；有一个角是60°
的__等__腰__三__角__形是等边三角形．
第三页，共十五页。
二、例题(lìtí)与变式
【考点(kǎo diǎn)1】等边对等角，三角形的内角与外角 【例1】如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝AC， CD平分(píngfēn)∠ACB.求∠ADC的度数．
第十五页，共十五页。
交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数(dùshu)；
(2)若CD＝2，求DF的长．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60° ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°.
∴∠F=90°－∠EDC=30°. （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.
解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2.
∵MN∥BC，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴OE=OC. 同理可得OF=OC.∴OE=OF.
（2）CE平分(píngfēn)∠ACB，CF平分(píngfēn)∠ACD， ∴∠1=∠2，∠4=∠5.∴∠2+∠4=90°.
∴∠ECF=∠2+∠4=90°.
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4.
第七页，共十五页。
【考点3】等腰三角形三线(sān xiàn)合一
【例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC
＝4，D为BC边的中点(zhōnɡ diǎn)，E，F分别在AB，AC上， 且DE⊥DF.求AE＋AF的值．
解：连接(liánjiē)AD，∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC.
2024年中考总复习数学课件第一部分 第四章 第16课时 图形的基本认识
答案：矩形 扇形
平行线的性质和判定
1.(2021·桂林)如图，直线 a，b 相交于点 O，
∠1＝110°，则∠2 的度数是( )
A.70° B.90° 答案：C
C.110°
D.130°
2.(2022·郴州)如图所示，直线 a∥b，且直线 a，b 被直线 c，d 所截，则下列条件不能判定直线 c∥d 的
答案：B
3.(2023·深圳)如图，已知 AB＝AC，BC＝6，由尺 规作图痕迹可求出 BD＝( )案：B
4.(2022·济南)如图所示，AB∥CD，点 E 在 AB 上， EC 平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2 的度数为( )
A.45° B.50° 答案：B
C.57.5°
图1
图2
答案：3 cm 6 cm 4 cm AOC BOC PM PN
4.如图，点 O 是直线 AB 上的一点，射线 OC 将平 角分为 1∶5 的两部分，OD 平分∠BOC.
(1)求∠BOD 的度数； (2)若∠DOE＝90°，试说明 OE 平分∠AOC.
解：(1)∵∠BOC∶∠AOC＝1∶5，
答案：线段 两点 垂线段 一条 平行 平行 相等
2.若α，β互为余角，则α＋β＝________°.若α， β互为补角，则α＋β＝________°.若α，β互为对顶
角，则________.1°＝________′＝________″.
答案：90 180 α＝β 60 3 600
3.两直线平行，________相等.两直线平行， ________相等.两直线平行，________互补.同位角相 等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互 补，两直线平行.
3.掌握角平分线、线段垂直平分线的概念及其性 质.
平行线的性质和判定
1.(2021·桂林)如图，直线 a，b 相交于点 O，
∠1＝110°，则∠2 的度数是( )
A.70° B.90° 答案：C
C.110°
D.130°
2.(2022·郴州)如图所示，直线 a∥b，且直线 a，b 被直线 c，d 所截，则下列条件不能判定直线 c∥d 的
答案：B
3.(2023·深圳)如图，已知 AB＝AC，BC＝6，由尺 规作图痕迹可求出 BD＝( )案：B
4.(2022·济南)如图所示，AB∥CD，点 E 在 AB 上， EC 平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2 的度数为( )
A.45° B.50° 答案：B
C.57.5°
图1
图2
答案：3 cm 6 cm 4 cm AOC BOC PM PN
4.如图，点 O 是直线 AB 上的一点，射线 OC 将平 角分为 1∶5 的两部分，OD 平分∠BOC.
(1)求∠BOD 的度数； (2)若∠DOE＝90°，试说明 OE 平分∠AOC.
解：(1)∵∠BOC∶∠AOC＝1∶5，
答案：线段 两点 垂线段 一条 平行 平行 相等
2.若α，β互为余角，则α＋β＝________°.若α， β互为补角，则α＋β＝________°.若α，β互为对顶
角，则________.1°＝________′＝________″.
答案：90 180 α＝β 60 3 600
3.两直线平行，________相等.两直线平行， ________相等.两直线平行，________互补.同位角相 等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互 补，两直线平行.
3.掌握角平分线、线段垂直平分线的概念及其性 质.
中考数学总复习第四单元图形的初步认识与三角形第16课时全等三角形
且 EM=FN,连接 AN,CM.
解:(1)证明:由于四边形 ABCD 是平行四
边形,
所以 AB∥CD,
(1)求证:△ AFN≌△CEM.
所以∠CEM=∠AFN,
(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF 的度数.
而 AF=CE,EM=FN,
所以△ AFN≌△CEM.
图 16-12
12/9/2021
12/9/2021
第二十二页，共二十七页。
当堂效果检测
3.如图 16-20,在△ ABC 和△ DEF 中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ ABC≌△DEF,这
个条件是(
D
)
图 16-20
A.∠A=∠D
B.BC=EF
C.∠ACB=∠F
D.AC=DF
12/9/2021
而∠CMF=∠CEM+∠ECM,
所以∠ECM=∠CMF-∠CEM
(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF 的度数.
=107°-72°=35°.
由(1)知△ AFN≌△CEM,
所以∠NAF=∠ECM=35°.
图 16-12
12/9/2021
因此∠NAF 的度数是 35°.
第十五页，共二十七页。
相等,来证明两个三角形全等,故添加 A,
图 16-13
A.∠A=∠D
12/9/2021
B.∠ACB=∠DBC
B,D 均可以使△ ABC≌△DCB.
C.AC=DB
D.AB=DC
第十六页，共二十七页。
故选择 C.
高频考向探究
[方法模型] 求解此类问题时注意挖掘题目中的隐含条件,如公共边、公共角、对顶角等.已知一角一边,可考
解:(1)证明:由于四边形 ABCD 是平行四
边形,
所以 AB∥CD,
(1)求证:△ AFN≌△CEM.
所以∠CEM=∠AFN,
(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF 的度数.
而 AF=CE,EM=FN,
所以△ AFN≌△CEM.
图 16-12
12/9/2021
12/9/2021
第二十二页，共二十七页。
当堂效果检测
3.如图 16-20,在△ ABC 和△ DEF 中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ ABC≌△DEF,这
个条件是(
D
)
图 16-20
A.∠A=∠D
B.BC=EF
C.∠ACB=∠F
D.AC=DF
12/9/2021
而∠CMF=∠CEM+∠ECM,
所以∠ECM=∠CMF-∠CEM
(2)若∠CMF=107°,∠CEM=72°,求∠NAF 的度数.
=107°-72°=35°.
由(1)知△ AFN≌△CEM,
所以∠NAF=∠ECM=35°.
图 16-12
12/9/2021
因此∠NAF 的度数是 35°.
第十五页，共二十七页。
相等,来证明两个三角形全等,故添加 A,
图 16-13
A.∠A=∠D
12/9/2021
B.∠ACB=∠DBC
B,D 均可以使△ ABC≌△DCB.
C.AC=DB
D.AB=DC
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故选择 C.
高频考向探究
[方法模型] 求解此类问题时注意挖掘题目中的隐含条件,如公共边、公共角、对顶角等.已知一角一边,可考
中考数学 第一部分 基础知识过关 第四章 图形的初步认识与三角形 第16讲 等腰三角形与证明课件
∴△ABD≌△ACE,
∴BD=CE.
(2)∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE. 又∵∠ADB=∠CDF, ∴∠ABD+∠ADB=∠ACE+∠CDF=90°, ∴∠BFC=90°.
12/6/2021
第三十五页，共三十六页。
内容(nèiróng)总结
第16讲 等腰三角形与证明。(2)等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.。推论:推 论是由公理或定理推出的正确结论,它是真命题.。(3)反证法:从原命题结论的反面出发,通过正确的逻辑 推理过程,。∵FB=BC,CF⊥BE,。D.平行四边形的四条边不一定相等,故错误(cuòwù).。当等腰三角形的顶 角是锐角时,腰上的高在其内部,。(2)延长BD,交CE于点F,求∠BFC的度数.。∴∠BFC=90°.
12/6/2021
第十七页，共三十六页。
考点二 等边三角形的性质和判定 中考解题指导 等边三角形是特殊的三角形,三条边相等、三个
角都等于60°.在遇到等边三角形的问题时,注意(zhù yì)从边和角两个方
面分析并进行解答.
12/6/2021
第十八页，共三十六页。
例2 如图,已知△ABC和△ECD都是等边三角形,B、C、D在一
第16讲 等腰三角形与证明(zhèngmíng)
12/6/2021
第一页，共三十六页。
总纲(zǒnggāng)目录 泰安考情分析 基础知识过关 泰安考点聚焦 随堂巩固练习
12/6/2021
第二页，共三十六页。
泰安考情分析
12/6/2021
第三页，共三十六页。
基础知识过关
知识点一 等腰三角形 知识点二 等边三角形 知识点三 命题、定理与证明
∴BD=CE.
(2)∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE. 又∵∠ADB=∠CDF, ∴∠ABD+∠ADB=∠ACE+∠CDF=90°, ∴∠BFC=90°.
12/6/2021
第三十五页，共三十六页。
内容(nèiróng)总结
第16讲 等腰三角形与证明。(2)等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.。推论:推 论是由公理或定理推出的正确结论,它是真命题.。(3)反证法:从原命题结论的反面出发,通过正确的逻辑 推理过程,。∵FB=BC,CF⊥BE,。D.平行四边形的四条边不一定相等,故错误(cuòwù).。当等腰三角形的顶 角是锐角时,腰上的高在其内部,。(2)延长BD,交CE于点F,求∠BFC的度数.。∴∠BFC=90°.
12/6/2021
第十七页，共三十六页。
考点二 等边三角形的性质和判定 中考解题指导 等边三角形是特殊的三角形,三条边相等、三个
角都等于60°.在遇到等边三角形的问题时,注意(zhù yì)从边和角两个方
面分析并进行解答.
12/6/2021
第十八页，共三十六页。
例2 如图,已知△ABC和△ECD都是等边三角形,B、C、D在一
第16讲 等腰三角形与证明(zhèngmíng)
12/6/2021
第一页，共三十六页。
总纲(zǒnggāng)目录 泰安考情分析 基础知识过关 泰安考点聚焦 随堂巩固练习
12/6/2021
第二页，共三十六页。
泰安考情分析
12/6/2021
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基础知识过关
知识点一 等腰三角形 知识点二 等边三角形 知识点三 命题、定理与证明
人教版中考数学第一轮复习第四章图形的认识与三角形
第四章图形的认识与三角形第十五讲图形初步及相交线、平行线【基础知识回顾】一、直线、射线、线段线段公理：直线公理：【名师提醒：一条直线上有n个点，则这条直线上存在条线段】二、角1、定义：有公共端点的两条组成的图形叫做角，角也可以看做是一条绕它的从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形【名师提醒：角的表示方法：可以用三个大写字母表示，如：∠AOB，也可用一个大写字母，如∠A表示，或用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠α等，注意善于选择合适、简洁的方法表示角】2、角的分类：角按照大小可分为：周角、、锐角等。
其中1周角= 度= 平角直角1度= 分1分= 秒【名师提醒：钟表转动过程中常见时针，分针的夹角问题，要牢记一个前提：即时针每分转动度，分针每分转动度】3、角的平分线一条射线把一个角分成的角，这条叫做这个角的平分线【名师提醒：有公共顶点的n条射线，一共可形成个小于平角的角】1、互为余角互为补角①互为余角：若∠1+∠2=则称∠1与∠2互为余角②互为补角：若∠1+∠2=则称∠1与∠2互为补角3性质：同角或等角的余角，同角或等角的补角【名师提醒：1、互补和互余是指两个角的关系2、一个锐角的补角比它的余角大度】三、相交线1、对顶角及其性质：对顶角和邻补角：两条直线相交所成的四个角中如图：对顶角有邻补角有对顶角性质：2、垂线及其性质互相垂直：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的。
性质：1、过一点与已知直线垂直2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，最短，（简称：）【名师提醒：注意三个距离的区别1、两点间的距离是指：2、点到直线的距离是指3、两平行线间的距离是指】四、平行线：1、三线八角：如图：两条直线AB与CD被第三条直线EF所截，构成八个角其中同位角有 对，分别是 ，内错角有 对，分别是 同旁内角有 对，分别是2、平行线的定义：在同一平面内 的两条直线叫平行线3、平行公理：经过已知直线外一点 条直线与已知直线平行4、平行线的性质和判定两直线平行 ————→【名师提醒：平行线的常用判定方法还有两条：1、平行于同一直线的两条直线互相 2、 同一直线的两条直线互相平行】 五、 命题、公理、定理和证明1、命题： 的语句叫命题，一个命题由 和 两部分构成，可分为 和 两类【名师提醒：1、判断一个命题是真命题要能给出 判断一个命题是假命题可以举出2、任何一个命题一定有它的逆命题：对于任意一个定理 有它的逆定理】 【重点考点例析】1.如果一个角的补角是150○，那么这个角的余角是____________2.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE ，则∠AOE= ．3.下列命题是真命题的有（ ）①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； ④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4.如图，直线l 1∥l 2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（ ） A ．70° B ．80° C ．65° D ．60° 5.把15°30′化成度的形式，则15°30′= 度．6.如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= ．7.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 2、l 3上．若∠1=70°，∠2=50°，相等 同旁内角 性质 判定相等则∠ABC= 度．8.如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4= ．9.如图，直线AD与AB、CD相交于 A、D两点，EC、BF与AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．10.如图所示，在△ABC中，∠A＝50°，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB．求∠BOC的度数．11.已知：如图，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF⊥AB于F．∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ACB．第十六讲三角形与全等三角形一：【知识梳理】1.三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：（2）三角形的中线：（3）三角形的高： (4) 三角形的中位线：2.三角形的边角关系（1）三角形边与边的关系：（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o．一个外角等于3.三角形的分类（1）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形4.中位线性质定理：三角形中位线：12 AD BD DE BC AE BEDE BC⎧==⎫⎪⇒⎬⎨=⎭⎪⎩∥5.全等三角形的性质：全等三角形的判定：【重点考点例析】1.如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．82.如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．E DA3.如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件，就得△ABC≌△DEF．4.如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°5.如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：△ABC≌△AED．6.如图，已知AB、CD相交于点O，AC∥BD，OC=OD，E、F为AB上两点，且AE=BF，试说明CE＝DF．第十七讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是2、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。
中考数学复习 第4章 图形的初步认识与三角形 第16讲 等腰三角形与直角三角形课件
No 三角形三个顶点的距离相等，称为三角形的外心。(2)三角形三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边
的距离相等，称为三角形的内心。(2)判定：角的内部到角两边(liǎngbiān)距离相等的点在角的⑥ 平分线 上
Image
12/8/2021
第十八页，共十八页。
(1)定义：① 垂直 于一条线段且② 平分 这条
线段的直线叫做线段的垂直平分线；
线段的垂直 (2)性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
平分线 ③ 相等 ；
(3)判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段
的④ 垂直平分线 上
(1)性质：角平分线上的点到这个角两边的距离⑤
角的平分线
相等 ； (2)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的⑥
技法点拨►等腰三角形常见的分类有：(1)对于解决已知某角求另外两角度数
的问题时，要分所给的角是底角还是顶角，看顶角是锐角、钝角，还是直角， 同时在确定角后注意三角形的内角和等于180°；(2)对于解决已知某条边求另 外两条边或周长的问题时，要分这条边是底边还是腰，同时在确定底边和腰后， 要根据三角形的三边关系判断能否够成三角形；(3)解决有关三角形的高或边 的垂直平分线时，按等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
对等边 ”
(1)等边三角形的每个内角都⑪ 相等 ，都等于⑫
等边三 角形
性质
60 °； (2)等边三角形是⑬
轴
对称图形，它有⑭
称轴
(1)有三个角相等的三角形是等边三角形；
3
条对
2021/12/8
判定 (2)有一个角是⑮ 60 °的⑯ 等腰 三角形是等边
三角形
第二页，共十八页。
考点(kǎo diǎn)2 线段的垂直平分线和角的平分线 6年2考
的距离相等，称为三角形的内心。(2)判定：角的内部到角两边(liǎngbiān)距离相等的点在角的⑥ 平分线 上
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12/8/2021
第十八页，共十八页。
(1)定义：① 垂直 于一条线段且② 平分 这条
线段的直线叫做线段的垂直平分线；
线段的垂直 (2)性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
平分线 ③ 相等 ；
(3)判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段
的④ 垂直平分线 上
(1)性质：角平分线上的点到这个角两边的距离⑤
角的平分线
相等 ； (2)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的⑥
技法点拨►等腰三角形常见的分类有：(1)对于解决已知某角求另外两角度数
的问题时，要分所给的角是底角还是顶角，看顶角是锐角、钝角，还是直角， 同时在确定角后注意三角形的内角和等于180°；(2)对于解决已知某条边求另 外两条边或周长的问题时，要分这条边是底边还是腰，同时在确定底边和腰后， 要根据三角形的三边关系判断能否够成三角形；(3)解决有关三角形的高或边 的垂直平分线时，按等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
对等边 ”
(1)等边三角形的每个内角都⑪ 相等 ，都等于⑫
等边三 角形
性质
60 °； (2)等边三角形是⑬
轴
对称图形，它有⑭
称轴
(1)有三个角相等的三角形是等边三角形；
3
条对
2021/12/8
判定 (2)有一个角是⑮ 60 °的⑯ 等腰 三角形是等边
三角形
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考点(kǎo diǎn)2 线段的垂直平分线和角的平分线 6年2考
中考数学复习方案 第四单元 图形的初步认识与三角形 第16课时 三角形的基本知识及全等三角形课件
代换等方法转化到同一个三角形中,再利用三角形的内角和定理及其推论解决问题.
第二十三页，共三十五页。
| 考向精练
( jīngliàn) |
1.[2019·
绍兴]如图16-8,墙上钉着三根木条a,b,c,量得∠1=70°,∠2=100°,那么木条a,b所在直
线(zhíxiàn)所夹的锐角是 (
A.5°
第二十一页，共三十五页。
D.85°
)
例1(3)[2019·江西10题]如图16-7,在△ABC中,点D是
[答案(dáàn)] 20
BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着(yán
[解析]∵∠BAD=∠ABC=40°,
zhe)AD翻折得到△AED,则∠CDE=
∴∠ADC=∠BAD+∠ABC=40°+40°=80°.
第十六页，共三十五页。
题组二
易错题
【失分点】
混淆三角形中位线与中线(zhōngxiàn),涉及三角形的边长或周长的计算时忽略三角形三边关系.
6.如图16-4,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFC=90°,若AC=10,BC=16,则DF的长为
(
)
A.5
B.3
C.8
D.10
图16-4
第十七页，共三十五页。
3.[2019·徐州]下列长度(chángdù)的三条线段,能组成三角形的是
A.2,2,4
B.5,6,12
C.5,7,2
D.6,8,10
( D)
4.如图 16-2,CD,CE,CF 分别是△ ABC 的高,角平分线,中线,则下列各式中错误的是
( C )
A.AB=2BF
1
B.∠ACE= ∠ACB
第二十三页，共三十五页。
| 考向精练
( jīngliàn) |
1.[2019·
绍兴]如图16-8,墙上钉着三根木条a,b,c,量得∠1=70°,∠2=100°,那么木条a,b所在直
线(zhíxiàn)所夹的锐角是 (
A.5°
第二十一页，共三十五页。
D.85°
)
例1(3)[2019·江西10题]如图16-7,在△ABC中,点D是
[答案(dáàn)] 20
BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着(yán
[解析]∵∠BAD=∠ABC=40°,
zhe)AD翻折得到△AED,则∠CDE=
∴∠ADC=∠BAD+∠ABC=40°+40°=80°.
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题组二
易错题
【失分点】
混淆三角形中位线与中线(zhōngxiàn),涉及三角形的边长或周长的计算时忽略三角形三边关系.
6.如图16-4,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFC=90°,若AC=10,BC=16,则DF的长为
(
)
A.5
B.3
C.8
D.10
图16-4
第十七页，共三十五页。
3.[2019·徐州]下列长度(chángdù)的三条线段,能组成三角形的是
A.2,2,4
B.5,6,12
C.5,7,2
D.6,8,10
( D)
4.如图 16-2,CD,CE,CF 分别是△ ABC 的高,角平分线,中线,则下列各式中错误的是
( C )
A.AB=2BF
1
B.∠ACE= ∠ACB
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(2)(2015·北海)如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD 相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝__8__ 【点评】 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题 意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．
[对应训练] 2．(1)(2015·桂林)下列各组线段能构成直角三角形的一组是( A ) A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 (2)(2016·哈尔滨)在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3， 点 P 为边 BC 的三等分点，连接 AP，则 AP 的长为___1_3_或___1_0___．
【点评】 在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底 ，也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类 讨论．
பைடு நூலகம்对应训练]
1．(1)(2015·南宁)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，
则∠C的度数为( A )
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
(2)(2016·贺州)如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形 ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB的度数为 _1_2_0_°．
等腰三角形、等边三角形 【例1】 (1)(2016·通辽)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48° ，则该等腰三角形的底角的度数为____6_9_°__或__2_1_°_______. (2)(2016· 南 宁 ) 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD 的 外 侧 ， 作 等 边 △ ADE ， 则 ∠BED的度数是_4_5_°_．
1．(2016·贺州)一个等腰三角形的两边长分别为 4，8，则它的周长为( C ) A．12 B．16 C．20 D．16 或 20 2．(2016·百色)如图，△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12， 则 BC＝( A ) A．6 B．6 2 C．6 3 D．12
3．(2016·柳州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝_4___．
(3)(2016·桂林)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3， CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝_3__5_5_____．
点拨：如解图，在 BD 上截取 BE＝CH，连接 OE，OC，∵AC＝BC＝3， CD＝1，∴BD＝ 10，易证△CDH∽△BDC，∴CBHC＝CBDD，∴CH＝31010，
(5)两直角边的平方和等于斜边的
三角形
平方
30°
1．计算有关线段长度问题，如果所求线段是在直角三角形中，一般应用 勾股定理求解，即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和． 2．有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一 边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件； 同时，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进 行讨论．注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然． 3．面积法：用面积法证题是常用的技巧方法之一，使用这种方法时一般 是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而 得到要证明的结论． 4．在涉及折叠的相关问题中，若原图形中含有直角或折叠后产生直角， 常常把所求的量与已知条件利用折叠的性质，借助等量代换转化到一个 直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解．
广西专用
第16讲 特殊三角形
等腰(边)三角形、直角三角形的性质及判定
性质
判定
等 腰
(1)两腰相等，两底角相等； (2)顶角的平分线，底边上的
(1)有两条边相等的三角形是等 腰三角形；
三 角
中线，底边上的高互相重合； (3)是轴对称图形，有一条对
(2)有两个角相等的三角形是等 腰三角形
形
称轴
等
(1)三条边相等的三角形是等边
边
(1)三边相等；
三角形；
三 角
(2)各角相等，且都等于60°； (2)三个角都相等的三角形是等
(3)是轴对称图形，有三条对
边三角形；
称轴
(3)有一个角等于60°的
形
__等__腰__三__角__形_____是等边三角形
(1)两锐角之和等于90°；
直 角 三
(2)斜边上的中线等于斜边的 ________；
4．(2016·河池)如图的三角形纸片中，AB＝AC，BC＝12 cm，∠C ＝30°，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那 么BF的长为_____13_4_______cm.
点拨：过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，过点 D 做 DG⊥FC，交 FC 于点 G， 根据题意可得 AH 的长，进而求出 DG 的长．设 BF＝DF＝x，易得 FG ＝12－3－x，DG＝ 3，根据勾股定理得方程(9－x)2＋( 3)2＝x2，解方 程即可得到 BF 的长
ACD(SAS) ， ∴ ∠ B ＝ ∠ C( 也 可 过 点 A 作 BC 边 上 的 中 线 ， 证 △ABD≌△ACD)
直角三角形、勾股定理
【例2】 (1)(2016·北京)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点 M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为 ( D) A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km
(3)(2016·柳州)求证：等腰三角形的两个底角相等．
(请根据右图符号表示已知和求证，并写出证明过程)
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C. 证明：如解图，过点 A 作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D，则∠BAD
＝∠CAD，在△ABD 和△ACD 中，A∠BB＝ADAC＝，∠CAD，∴△ABD≌△ AD＝AD，
(3)30°角所对一的半直角边等于斜边 的一半；
(1)有一个角为90°的三 角形是直角三角形；
(2)一边上的中线等于这 条边的一半的三角形是
直角三角形；
角 形
(4)若有一条直角边等于斜边的一 半，那么这条直角边所对的锐角
等于______；
(3)如果三角形两边的平 方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角