2016-2017学年四川省成都七中高一(下)期末数学试卷及答案

成都七中2019届高一下学期期末考试数学试题一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分.）1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S =（ ） A ． 18 B ．36 C ．54 D ．722.已知点(),P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A．10 B ． 8 C ． 10 D ． 163.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()251021,25n n n a a a a a ++=+=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ）A ．2nB ． 3nC ．2n- D ． 3n-4.如图0,,,45AB AC BAD CAD αβαβ⊥⊂⊂∠=∠=，则BAC ∠=（ ）A ．90°B ． 60° C. 45° D ．30°5.若直线()()2130a x a y ++--=与直线()()12320a x a y -+++=互相垂直，则a 的值为（ ） A ． 1 B ． -1 C. 1± D ．32-6.若ABC ∆的内角AB C 、、的对边分别为a b c 、、，且sin sin 2sin sin a A c C a C b B +=，则B 等于（ ）A ．6π B ．4π C. 3πD ．34π7.直线10ax y ++=与连接()()2,33,2A B -、的线段相交，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,2- B ． [)(]2,,1+∞-∞- C. []2,1- D ．(][),21,-∞-+∞8.已知某几何体的三视图中，正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接直角三角形构成，如图所示，根据图中的数据可得几何体的体积为（ ）A ．2132π+ B ．4136π+ C. 2166π+ D ．2132π+ 9. ()()001tan171tan 28++的值是（ ） A ．-1 B ．0 C. 1 D ． 210.设000020132tan151cos50cos 2sin 2,,21tan 152a b c -=-==+，则有（ ） A ．c a b << B ．a b c << C. b c a << D ．a c b << 11.若sin cos 24παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值可以为（ ） A ．12-或1 B ．12 C. 34 D ．34- 12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC. 三棱锥B AEF -的体积为定值 D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角大小为 ．14.过点()1,3且与原点的距离为1的直线共有 条. 15.已知关于x 的不等式()2110ax a x +-->的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则a = ． 16.数列{}n a 满足，123231111212222n na a a a n ++++=+，写出数列{}n a 的通项公式 ．三、解答题 （共6小题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 是AB 的中点. （1）在棱11A B 上找一点1D ，当1D 在何处时可使平面11//AC D 平面1CDB ，并证明你的结论； （2）求二面角1B CD B --大小的正切值.18. 已知直线():120l kx y k k R -++=∈，直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B . （1）记ABO ∆的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程； （2）直线l 过定点M ，求MA MB 的最小值.19.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M N 、分别为AB PC 、的中点，045,2,1PDA AB AD ∠===.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求PC 与面PAD 所成角大小的正弦值； （3）求证：MN ⊥面PCD .20. 已知()1sin ,,3cos sin ,12a x b x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()f x a b =，ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .（1）若1,3,12B C f a b +⎛⎫===⎪⎝⎭，求ABC ∆的面积S ；（2）若()30,45f παα<<=，求cos2α的值. 21. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=. （1）求tan :tan A B 的值； （2）若4b =，求ABC S ∆的最大值.22.已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+.（1）设2nn na b =，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()()211422nnn n n nn c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T .试卷答案一、选择题1-5:DCABC 6-10:BDCDA 11、12：AD二、填空题13. 3π14. 2 15. -2 16. 16,12,2n n n a n +=⎧=⎨≥⎩三、解答题17.解：（1）当1D 在棱11A B 中点时，可使平面11//AC D 平面1CDB ，证明略.（2）在平面ABC 内，过点B 作直线CD 的垂线，记垂足为E ，连接1B E ，1B EB ∠即为二面角1B CD B --的平面角.由已知，结合勾股定理得ABC ∆为直角三角形，125345BE BE =⨯⇒=，从而1145tan 123BB B EB BE ∠===. 二面角1B CD B --大小的正切值为53. 18.解：由题意，分别令0x =，0y =解得 ()10,12,2,0B k A k ⎛⎫+--⎪⎝⎭且0k >. （1）()111112244,022S k k k k k ⎛⎫⎛⎫=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时114244k k k k +≥=，当且仅当12k =时取等.所以S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=.（2）易得()2,1M -，∴()1,1,2,2MA MB k k ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，224MA MB MA MB k k =-=-+≥，当且仅当1k =时取到，MA MB 的最小值为4. 19.解：记PD 中点为E ，易得EN 平行且等于AM ， （1）证明：如图，取PD 的中点E ，连结AE EN 、， 则有////EN CD AM ，且1122EN CD AB MA ===， ∴四边形AMNE 是平行四边形.∴//MN AE .∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴//MN 平面PAD ；（2）易得CPD ∠即为PC 与面PAD 所成角，sin CD CPD PC ∠==，所以，PC 与面PAD 所成角（3）证明：∵PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面,ABCD ADC ⊂平面ABCD . ∴,PA CD PA AD ⊥⊥， ∵,CD AD PAAD A ⊥=，∴CD ⊥平面PAD ，又∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥， ∵045PDA ∠=，E 为PD 中点， ∴AE PD ⊥，又∵PD CD D =，∴AE ⊥平面PCD . ∵//MN AE ， ∴MN ⊥平面PCD .20.解：()2113sin cos sin 2cos 2sin 2226f x a b x x x x x x π⎛⎫==+-=-=- ⎪⎝⎭，（1）由12B C f +⎛⎫=⎪⎝⎭，结合,,A B C 为三角形内角得2,33B C A ππ+==而1a b ==.由正弦定理得,62B C ππ==，所以122S ab ==. （2）由()3sin 2,0654f ππααα⎛⎫=-=<< ⎪⎝⎭时，2663πππα-<-<，∴4cos 265πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21.解析：（1）由正弦定理，结合三角形中和差角公式得：()3sin cos sin cos sin cos sin cos 5A B B A A B B A -=+， 从而sin cos 4sin cos A B B A =，即tan :tan 4A B =；（2）由（1）知内角A B 、均为锐角，如图所示过C 作CD 垂直于AB 垂足为D . 设,CD m AD n ==，由题意结合tan :tan 4A B =得4BD n =，且22216m n b +==，所以m n ==22555162022222ABCm n S mn ∆+=≤==. 22.答案：（1）易得n b n =；（2）易得2nn a n =，其前n 项和()1122n n S n +=-+；（3）()()()()()()()()()()22211114221421212121212nnnnn nn n n nn nn nn n n c n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()111111111111221222212nn n n nn n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()22312122311111111111222212222232212n n nn n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()11121136212n nn n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()114123312n n n n +++---+.。

成都七中2017～2018 学年度下期高2020 届数学期末考试考试时间： 120 分钟 满分： 150 分一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题 目要求的 )1 1 1 1⋯⋯的一个通项公式为（1. 数列） 1, , 3 , ,24 5( 1) n1( 1) n 11A.C.B.D.nnnn2．已知 acos75 ,sin15 ,bcos15 ,sin 75 ，则 a b 的值为（）A. 01 C.3 D. 1B.223. 在 ?ABC 中， AB4， BC 3， CA 2 ，则 ?ABC 为（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 以下不等式正 确的是（）．．A. x 3 2x 2 x 4B. x 2 y 22 x y 1 C. 237 4 103145．两平行直线 3x 4y1 0 与 6x ay 18 0 的距离为（）19B. 28 D. 1A.C.51 x 256. 若对于 x 的不等式2x mx 的解集为 (0, 4) ，则实数 m 的值为（ ）2A. 1B. 0C. 1D. 27.过点 P(2 ， 3) ，而且在两坐标轴上的截距互为相 反数的直线方程为（）．．．A. x y 1 0或 3x 2y 0B. x y 5 0C. x y 1 0D. x y 5 0或 3x 2y 08.一个棱长为 5cm 的表面涂为红色的立方体，将其适合切割成棱长为1cm 的小正方体， 则两 面涂色的小．．．．正方体的个数为（） A. 12B. 24C. 36D. 489. 如图是某正方体的平面睁开图，则在这个正方体中：①AF 与 BM 成60 角. ② AF 与 CE 是异面直线 .③BN DE.④平面 ACN // 平面 BEM .以上四个命题中，正 确命题的个数是（）．．A. 4B. 3C. 2D. 1高一数学（共 4页，第 1页）10.已知数列a n 的前 n 项，前 2n 误的是（）项，前 3n 项的和分别为 a ， b ， c ，则以下说法错．．A. 若 a n 是等差数列，则3b 3a cB.若 a n 是等差数列，则 a, b a, c b 也为等差数列C. 若 a n 是等比数列，则 a 2b 2 ab acD.若 a n 是等比数列，则 a, ba, c b 也为等比数列11. 已知直线 l 过点 P(1,3) ，交 x 轴， y 轴的正半轴分别为 A ， B 两点，则 PA PB 的最大值为（）A. 6B. 3C. 3D. 612.在锐 角三角形 ABC 中， sin A k cos B cos C k 为常数 ， 则 tan Btan C 的取值范围是（）．．A.0, kB.0,1 k 2k 2C. 1，D. k,44二、填空题 (本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在答卷横线上 )13. 已知 ?ABC 中， A(5 ， 0)， B(3 ， 3 )， C(0， 2)，则 BC 边上的高所在直线的方程为；14. 数列a n 的前 n 项和为 n ，且 S 2 2a n ，则 an；S n15．某几何体为长方体的一部分，其三视图如图，则此几何体的体积 为；16. 在平 面四边形 ABCD 中， CD= 6 ，对角线 BD= 83 ， BDC 90 sin A3则对角线 AC 的最大值．．2为．高一数学（共 4页，第 2页）三、解答题（17 题 10 分， 18～22 每题12 分，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知数列a n是等差数列，a1 3 ，前三项和为15.数列b n 是等比数列，公比为2，前五项和为 62．．．．．（）1 求数列 a n ， b n的通项公式；（）2 求数列 a n b n的前 n 项和．.81 在 ?ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为a, b, c，且 A ，B，C 成等差数列， acos A bcosB ．．．（1）求cosA的值；（2）若a5，求?ABC的面积．.91如图，一辆汽车在一条水平的公路上向西行，到 A 处时测得公路北侧远处一山顶 D 在西偏北30°的方向上，行驶 10km 后抵达 B 处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°．（注：山高 CD平面ABC）．（1）求直线DA与平面ABC所成角的正切值；（2）求二面角 D AB C 的正切值．高一数学（共4页，第 3页）20.如图，已知直线l1∥ l2，A为l1，l2之间的定点，而且 A 到的 l1，l2距离分别为 2， 3，点 B，C 分别是直线 l1，l2上的动点，使得BAC . 过点 A 做直线 DE⊥l1，交l1于点 D，交l2于点 E，设 ACE.（1）当90 时，求 ?ABC 面积的最小值；（2）当60 时，求 ?ABC 面积的最小值．21. 如图，在矩形 ABCD 中， AB= 3，AD= 6，点 E，F 分别在 AD ， BC 上，且 AE= 1， BF= 4，沿 EF 将四边形 AEFB 折成四边形A EFB，使点B在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上．（1）求证：平面 B CD 平面 BHD ；（2）求证：AD//平面BFC（3）求直线HC 与平面A ED所成角的正弦值．.2已知数列 a 是正项数列，知足 a a a 2 3 a 3 a 3．an 1 2 n 1 2 n（1）求数列a n的通项公式；（2）求证：数列a 1 的前 n 项和T n 3 ；a4n n 2a n1 2（3）若 0 1， b n 2 ，求证：11 1 1 1 ．1 1b 2 3 b n 4b b高一数学（共4页，第 4页）。

2015—2016学年四川省成都七中高一（下)期末数学模拟试卷一、选择题1．不等式≤0的解集是( ）A．（﹣∞,﹣1）∪(﹣1,2） B．[﹣1,2] C．(﹣∞，﹣1)∪［2，+∞) D．（﹣1,2］2．已知等差数列1，a，b,等比数列3，a+2，b+5，则该等差数列的公差为（）A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．3 D．﹣33．设=（1,2），=(1，1）,=+k，若,则实数k 的值等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．4．已知a,b∈R，且ab＞0,则下列不等式不正确的是（）A．|a+b｜＞a﹣b B．|a+b｜＜｜a｜+｜b｜C． D．5．已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m;③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确的两个命题是（）A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④6．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ）A．6 B．9 C．12 D．187．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A 的取值范围是（）A．（0,］B．[，π）C．（0，] D．[，π）8．若正数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值为( ）A．24 B．25 C．28 D．309．如果长方体三面的面积分别是，那么它的外接球的半径是（)A．B．C．D．10．在平面直角坐标系中,O是坐标原点，两定点A，B满足｜｜=|｜=•=2，则点集{P｜=λ+μ，|λ｜+｜μ｜≤1，λ，μ∈R｝所表示的区域的面积是( ）A．B．C．D．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N为线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有( ）A．0条B．1条 C．2条 D．3条12．数列｛a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830二、填空题13．已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为．14．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是．15．若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．16．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a(a＞0）,P为线段AD（含端点）上一个动点,设=x,=y，对于函数y=f(x），给出以下三个结论：①当a=2时，函数f（x）的值域为［1，4］；②∀a∈(0，+∞),都有f（1）=1成立;③∀a∈(0，+∞），函数f(x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题17．已知｛a n｝是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列,且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*,求数列｛c n｝的前n项和．18．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6,CD=DA=4，求四边形ABCD的面积．19．已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0,3），C（cosα,sinα），α∈（)．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1,求的值．20．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O,M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2)求证：平面MOC⊥平面VAB（3)求三棱锥V﹣ABC的体积．21．如图,等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E,CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2,DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE,CF折起，使A,B两点重合,记为点M,得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G,N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；(3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．22．已知：数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣2n=S n，(1）求证:数列{a n﹣n•2n﹣1}是等比数列；(2）求：数列｛a n}的通项公式；（3）若数列{b n｝中b n=，求:b n的最小值．2015—2016学年四川省成都七中高一（下)期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题1．不等式≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1,2）B．［﹣1，2］C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣1,2］【考点】其他不等式的解法．【分析】将“不等式≤0”转化为“不等式组"，有一元二次不等式的解法求解．【解答】解：依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选D2．已知等差数列1，a，b,等比数列3,a+2，b+5，则该等差数列的公差为（）A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．【分析】利用等差中项和等比中项的定义，列出关于a、b的方程组，求解即可．【解答】解:由题意可得，解得．因此该等差数列的公差为3．故选C．3．设=（1，2），=（1,1)，=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由题意可得的坐标,进而由垂直关系可得k 的方程，解方程可得．【解答】解：∵=（1，2），=（1，1）,∴=+k=（1+k，2+k）∵，∴•=0,∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故选：A4．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式不正确的是（）A．|a+b|＞a﹣b B．｜a+b｜＜｜a｜+｜b｜C． D．【考点】基本不等式．【分析】当a＞0，b＞0时，|a+b｜=｜a｜+|b｜进而判定B选项中的不等式不一定成立．【解答】解：当a＞0，b＞0时，｜a+b|=｜a｜+|b｜，故B选项中的不等式不正确．故选B5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β,有如下四个命题:①若α∥β,则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m;③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m,则α∥β．其中正确的两个命题是（）A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①根据面面平行的性质判断．②利用面面垂直的性质判断．③利用面面垂直的判定定理判断．④利用面面平行的判定定理判断．【解答】解：①根据面面平行的性质可知，若α∥β，当l⊥α时,有l⊥β，因为m⊂β，所以l⊥m成立，所以①正确．②若α⊥β,当l⊥α时,有l∥β或l⊂β，无法判断，l与m 的位置关系,所以②错误．③若l∥m,当l⊥α时,则m⊥α，因为m⊂β，所以α⊥β，所以③正确．④若l⊥m，m⊂β，则l和β关系不确定，所以α∥β不一定成立，所以④错误．故选B．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（)A．6 B．9 C．12 D．18【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解:该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．7．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A 的取值范围是( ）A．（0，］ B．［，π）C．(0，］D．［,π）【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围,进而求得A的范围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB,c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是(0，］故选C8．若正数x，y满足x+3y=xy,则3x+4y的最小值为( )A．24 B．25 C．28 D．30【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数x,y满足x+3y=xy，∴．则3x+4y=（3x+4y)=13+≥13+2=25，当且仅当x=2y=5时取等号．∴3x+4y的最小值为25．故选:B．9．如果长方体三面的面积分别是，那么它的外接球的半径是（)A．B．C．D．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】根据题意建立方程组，解出长方体的长、宽、高分别为，1,，从而算出长方体的对角线长l=，可得外接球的直径，即可算出长方体外接球的半径．【解答】解:设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，∵长方体共顶点的三个面的面积分别是,∴xy=，yz=,xz=，解之得x=,y=1,z=，可得长方体的对角线长l=．设长方体外接球的半径为R,则2R=l=，可得R=,故选：B．10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|｜=｜｜=•=2，则点集｛P|=λ+μ，｜λ|+|μ｜≤1，λ，μ∈R｝所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模．【分析】由两定点A,B满足==2，说明O,A,B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标,再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A,B的坐标及λ，μ表示，把不等式｜λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．【解答】解：由两定点A，B满足==2, =﹣，则｜|2=（﹣）2=﹣2•+=4,则|｜=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．由，得：．所以，解得①．由｜λ｜+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域,则区域面积为．故选D．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N为线段AC上的动点,则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有（）A．0条B．1条 C．2条 D．3条【考点】棱柱的结构特征．【分析】先由MN与DB1相交,利用平面的基本性质证明点N一定在线段BD上，从而点N的位置确定，再由MN与B1D互相平分，在矩形DBB1D1内可知M必为B1D1的中点，从而点M确定,故线段MN确定【解答】解：∵MN与DB1相交，故MN在平面D1B1D，即平面DBB1D1内，∴点N定在BD上∵N为线段AC上的动点，故点N定为AC与BD的交点O,∵MN与B1D互相平分，在矩形DBB1D1内可知M必为B1D1的中点O1∴符合条件的线段MN只有一条即OO1故选B12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1,则｛a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830【考点】数列的求和．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97,变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和．【解答】解:由于数列{a n｝满足a n+1+(﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1,a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9,a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2,a4+a2=8，a7+a5=2,a8+a6=24,a11+a9=2,a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56,…从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．｛a n｝的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选D．二、填空题13．已知函数f(x）=,则不等式f(x)≥x2的解集为．【考点】其他不等式的解法．【分析】分x小于等于0和x大于0两种情况根据分段函数分别得到f（x）的解析式,把得到的f（x）的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式,分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：当x≤0时，f（x)=x+2，代入不等式得：x+2≥x2，即（x﹣2）(x+1）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以原不等式的解集为［﹣1，0］；当x＞0时，f(x)=﹣x+2，代入不等式得:﹣x+2≥x2，即（x+2）（x﹣1）≤0,解得﹣2≤x≤1，所以原不等式的解集为[0，1]，综上，原不等式的解集为[﹣1，1]故答案为：［﹣1,1］14．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台)．【分析】通过侧面展开图是一个边长为1的正方形，求出底面半径,求出圆柱的高，然后求圆柱的体积．【解答】解:∵圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，∴该圆柱的高h=1,底面周长2πr=1，∴底面半径r=，∴该圆柱的体积V=π••1=故答案为：．15．若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k的取值范围．【解答】解:不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k ＞1﹣x2∵x∈（1，2）∴k＜=1+x∴y=1+x是一个增函数∴k≤1+1=2∴实数k取值范围是(﹣∞,2]故答案为：（﹣∞,2]16．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1,BC=a（a＞0)，P为线段AD（含端点）上一个动点，设=x，=y,对于函数y=f（x），给出以下三个结论:①当a=2时，函数f（x）的值域为［1，4]；②∀a∈(0，+∞），都有f（1）=1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f(x)的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过建立如图所示的坐标系,可得y=f（x）==（a2+1）x2﹣（4+a2)x+4．x∈［0，1］．通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可判断出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC,AB=2，CD=1，BC=a（a＞0)，∴B（0，0），A（﹣2,0)，D（﹣1，a），C（0，a)．∵=x，（0≤x≤1）．∴=（﹣2，0）+x（1,a）=（x﹣2，xa），∴==（0，a）﹣（x﹣2，xa)=（2﹣x，a﹣xa）∴y=f(x）==（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）=(2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）=(a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．①当a=2时，y=f（x)=5x2﹣8x+4=，∵0≤x≤1,∴当x=时,f(x）取得最小值；又f（0）=4,f（1)=1，∴f(x）max=f（0）=4．综上可得：函数f（x）的值域为．因此①不正确．②由y=f（x)=(a2+1)x2﹣（4+a2）x+4．可得：∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立，因此②正确；③由y=f（x）=（a2+1）x2﹣(4+a2)x+4．可知：对称轴x0=．当0＜a≤时,1＜x0,∴函数f（x）在［0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f(x)取得最大值4．当时,0＜x0＜1，函数f（x）在［0，x0)单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x)max=f（0）=4．因此③正确．综上可知：只有②③正确．故答案为：②③．三、解答题17．已知｛a n｝是各项均为正数的等比数列，{b n｝是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n｝和｛b n｝的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N＊,求数列｛c n｝的前n项和．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ)设出数列｛a n｝的公比和数列｛b n}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q,d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求;（Ⅱ)由题意得到,然后利用错位相减法求得数列｛c n｝的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n｝的公比为q，数列｛b n}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2,∴d=2，∴数列｛a n｝的通项公式为，n∈N＊;数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N＊．（Ⅱ）由(Ⅰ）有，设{c n}的前n项和为S n，则，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣(2n﹣1)×2n=﹣(2n﹣3）×2n﹣3．∴．18．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4,求四边形ABCD的面积．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先由已知条件圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，连接对角线然后由边长求得夹角的度数，再分别求得三角形的面积，再求解即可得到答案．【解答】解:如图：连接BD，则有四边形ABCD的面积，．∵A+C=180°，∴sinA=sinC．∴=．由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=22+42﹣2×2×4cosA=20﹣16cosA，在△CDB中BD2=CB2+CD2﹣2CB•CDcosC=62+42﹣2×6×4cosC=52﹣48cosC,∴20﹣16cosA=52﹣48cosC∵cosC=﹣cosA，∴64cosA=﹣32，，∴A=120°，∴．故答案为．19．已知点A，B,C的坐标分别为A（3,0)，B（0，3）,C(cosα，sinα）,α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．【考点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tanα的值，根据α的范围求得α．（2)根据向量的基本运算根据求得sinα和cosα的关系式，然后同角和与差的关系可得到，再由可确定答案．【解答】解：（1）∵，∴化简得tanα=1∵．∴．(2)∵，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，∴∴，∴．20．如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1)求证：VB∥平面MOC;（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】(1）利用三角形的中位线得出OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC；(2）证明:OC⊥平面VAB，即可证明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等体积法求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点,∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC,∴VB∥平面MOC；(2)∵AC=BC，O为AB的中点,∴OC⊥AB,∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=,∴AB=2,OC=1,∴S△VAB=，∵OC⊥平面VAB，∴V C﹣VAB=•S△VAB=,∴V V﹣ABC=V C﹣VAB=．21．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD,DE⊥AB于E，CF⊥AB于F,且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE,CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G,N,H分别是MC，MD，EF的中点．(1）求证：GH∥平面DEM；(2）求证：EM⊥CN;(3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH 是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH∥平面DEM;（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF,以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为｜cos＜＞|,从而得出所求线面角的大小．【解答】证明：（1）连结NG,EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD,NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，∴NG∥EH,NG=EH,∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN,又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF,∴△MEF是等边三角形,∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH,则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM,HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0)，M（,0,0),C（0，1,2),N（，﹣，1)．∴=（,1，0），=（﹣，,1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3)F（0，1，0），H（0,0，0)，G(，，1）,∴=（，，1）,=（0,0,2)，=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则,即．令y=1得=(，1，0）,∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为,∴直线GH与平面NFC所成角为．22．已知：数列{a n｝的前n项和为S n，且2a n﹣2n=S n，(1)求证:数列{a n﹣n•2n﹣1｝是等比数列；（2)求：数列｛a n}的通项公式;(3)若数列{b n}中b n=，求:b n的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1)由2a n﹣2n=S n，得出，两式相减得出递推公式，计算a n+1﹣（n+1）•2n整理即可得出a n+1﹣(n+1）•2n=;（2)由（1）的结果得出{a n﹣n•2n﹣1}的通项公式，从而得出a n；(3）求出b n，计算b n+1﹣b n,得出{b n}的单调性,从而确定{b n}的最小项．【解答】解：（1）证明:∵，∴．两式相减得，∴=,∵，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1)知，即．（3），∴b n+1﹣b n=2(﹣）=．令n2+3n﹣18≥0解得n≥3，令n2+3n﹣18＜0解得n ≤2．∴n=1，2，3时，数列递减；n=4，5，6,…时，数列递增;∵，,∴当n=3或n=4时，(b n）min=14．2016年10月11日。

四川省成都市第七中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题-Word版含答案数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{0,1,2}A =,{2,3}B =，则A B ⋃=（ ） A ．{0,1,2,3} B ．{0,1,3} C ．{0,1} D ．{2}2. 下列函数中，为偶函数的是（ ） A ．2log y x = B ．12y x = C ． 2xy -=D ．2y x -=3. 已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为（ ）A ． 3B ． 6C ． 9D ． 12 4. 已知点A (0,1) , B (-2,1)，向量(1,0)e =，则AB 在e 方向上的投影为（ ）A ． 2B ． 1 C. -1 D ．-2 5. 设α是第三象限角，化简:2cos 1tan αα+=（ ）A ． 1B ． 0 C. -1 D ． 26. 已知α为常数，幂函数()f x x α=满足1()23f =，则(3)f =（ ）A ． 2B ． 12 C. 12- D ． -2 7. 已知(sin )cos 4f x x =，则1()=2f （ ） A ．3B ． 12 C. 12- D. 3-2 8. 要得到函数2log (21)y x =+的图象，只需将21log y x =+的图象（ ）A ．向左移动12个单位B ．向右移动12个单位C. 向左移动1个单位 D ．向右移动1个单位9. 向高为H 的水瓶(形状如图)中注水，注满为止，则水深h 与注水量v 的函数关系的大致图象是（ ）10. 已知函数12log ,1()13,1x x f x x x ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩，若0[()]2f f x =-，则0x 的值为（ ）A ． -1B ． 0 C. 1 D ．2 11. 已知函数21tan ()log1tan x f x x -=+，若()12f a π+=，则()2f a π-=（ ） A ．1 B ． 0 C. -1 D ．-2 12. 已知平面向量a ，b ，c 满足3a b ∙=，2a b -=，且()()0a cbc -∙-=，则c 的取值范围是（ ）A ．[0,2]B ．[1,3] C. [2,4] D ．[3,5]第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，答案写在答题卡相应横线上）13. 设向量1e ,2e 不共线，若1212(2)//(4)e e e e λ-+，则实数λ的值为 ．14. 函数2tan 2y x x x π=-的定义域是 ．15. 已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象(如图所示)，则()f x 的解析式为 ．16. 设e 为自然对数的底数，若函数2()(2)(2)1x x x f x e e a e a =-++⋅--存在三个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）设向量(,4)a x =, (7,1)b =-，已知a b a +=. (I)求实数x 的值;(II)求a 与b 的夹角的大小. 18. （本小题满分12分）已知sin 4cos 22sin cos αααα-=+. (I)求tan α的值;(II)若0πα-<<，求sin cos αα+的值. 19. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，M 为BC 的中点，3AN NB =.(I)以CA ，CB 为基底表示AM 和CN ;(II)若1204ABC CB ∠=︒=，，且AM CN ⊥，求CA 的长 20. （本小题满分12分）某地政府落实党中央“精准扶贫”政策，解决一贫困山村的人畜用水困难，拟修建一个底面为正方形(由地形限制边长不超过10m )的无盖长方体蓄水池，设计蓄水量为8003m .已知底面造价为160元/2m ，侧面造价为100元/2m .(I)将蓄水池总造价()f x (单位:元)表示为底面边长x (单位: m )的函数;(II)运用函数的单调性定义及相关知识，求蓄水池总造价()f x 的最小值. 21. （本小题满分12分） 已知函数()2sin()13f x x πω=-+，其中0ω>. (I)若对任意x R ∈都有5()()12f x f π≤，求ω的最小值; (II)若函数lg ()y f x =在区间[,]42ππ上单调递增，求ω的取值范围·22. （本小题满分10分） 定义函数()4(1)2xx af x a a=-+⋅+，其中x 为自变量，a 为常数.(I)若当[0,2]x ∈时，函数()af x 的最小值为一1，求a 之值；(II)设全集U R =，集{}{}32|()(0),|()(2)(2)a a a A x f x f B x f x f x f =≥=+-=，且()U A B φ≠ð中，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ;;;;;A D B D C 6-10: ;;;;;B C A D A 11、12：;.C B 二、填空题13. -2 14. 0,;2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭15.2sin(2);6y x π=+ 16.()1,2 三、解答题 17.解：（Ⅰ）,(,+=∴22a b a a +b)=a 即0=22a b +b.······2分代坐标入，得2(74)500,x -+=解得 3.x =- ······5分(Ⅱ)设,a b 夹角为,(3,4),(7,1),θ=-=-a b,∴⋅=a b -21-4=-25 ······6分且2222(3)45,7(1)52=-+=+-=a b .······8分2cos 2552θ⋅∴===-⨯a b a b ······9分[]30,,,4πθπθ∈∴=即,a b 夹角为3.4π······10分18.解:(I)原式可化3sin 6cos ,αα=-(或化为tan α的分式齐次式)······3分 sin tan 2.cos ααα∴==-······6分(Ⅱ)(,0),απ∈-且tan 2,sin αα=-∴=······9分sin 5cos tan ααα∴== ·····11分 5sin cos αα∴+=·····12分19.解：（Ⅰ）1;2AM AC CM CA CB =+=+ ·····3分3313()4444CN CA AN CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+.·····6分（Ⅱ）由已知,AM CN ⊥得0,AM CN ⋅=即113()()0,248CA CB CA CB -+⋅+=展开得221530488CA CA CB CB --⋅+=.·····8分又120,4,ACB CB ∠=︒=25240,CA CA ∴--=·····10分即(8)(3)0,CA CA -+= 解得8,CA =即8CA =为所求. ·····12分20.解：（Ⅰ）设蓄水池高为h ，则2800,h x=·····2分222800()16010041601004f x x x h x x x ∴=+⋅⋅=+⋅⋅·····4分22000160(),(010)x x x=+<≤.·····6分（注：没有写定义域，扣1分） （Ⅱ）任取(]12,0,10,x x ∈且12,x x <则2212121220002000()()160[()()]f x f x x x x x -=+-+121212121212122000160()()160()[()2000].x x x x x x x x x x x x x x =-+----=·····8分 1212121212010,0,0,()2000,x x x x x x x x x x <<≤∴>-<+<12()(),y f x f x ∴=-即12()(),f x f x > ()y f x ∴=在(]0,10x ∈上单调递减.·····10分 故10x =当时，min()(10)48000fx f ==·····11分答：当底面边长为10m 时，蓄水池最低造价为48000元·····12分21.解：（Ⅰ）由已知()f x 在512x π=处取得最大值，52,.1232k k Z πππωπ∴-=+∈·····2分解得242,,5k k Z ω=+∈·····4分 又0,ω>∴当0k =时，ω的最小值为2.·····5分 （Ⅱ）[,],0,,4243323x x πππππππωωωω∈>∴-≤-≤- ·····6分 又lg ()y f x =在[,]42x ππ∈内单增，且()0,f x > 2436,.2232k k Z k πππωππππωπ⎧->-+⎪⎪∴∈⎨⎪-≤+⎪⎩ ·····8分 解得：2584,.33k k k Z ω+<≤+∈ ·····10分 25184,334k k k +<+∴<且k Z ∈，·····11分又0,0,k ω>∴=故ω的取值范围是25,33⎛⎤⎥⎝⎦·····12分 （另解，2,,04,2242T T ππππωω≥-∴=≥∴<≤结合2584,33k k k Z ω+<≤+∈可得，0,k ω=的取值范围是25,33⎛⎤⎥⎝⎦） 22.解：（Ⅰ）令2,[0,2],[1,4],xt x t =∈∴∈设2()(1),[1,4].t ta t a t ϕ=-++∈·····1分1°当11,2a +≤即1a ≤时，min()(1)0,fx ϕ==与已知矛盾；·····2分 2°当114,2a +<<即22min 11(1)17,()()()1,222a a a a f x a ϕ+++<<==-+=-解得3a =或1,17,3;a a a =-<<∴=·····3分3°当14,2a +≥即min7,()(4)16441,a fx a a ϕ≥==--+=解得133a =，但与7a ≥矛盾，故舍去. ·····4分综上所述，a 之值为3。

2017-2018学年四川省成都七中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）数列﹣1，…的一个通项公式为（）A．B．C．D．2．（5分）已知＝（cos75°，sin15°），＝（cos15°，sin75°），则的值为（）A．0B．C．D．13．（5分）在△ABC中，AB＝4，BC＝3，CA＝2，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．（5分）以下不等式正确的是（）A．（x﹣3）2＜（x﹣2）（x﹣4）B．x2+y2＞2（x+y﹣1）C．2+＞4D．＞5．（5分）两平行直线3x+4y﹣1＝0与6x+ay+18＝0的距离为（）A．B．2C．D．16．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为（0，4），则实数m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．27．（5分）过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（）A．x﹣y+1＝0或3x﹣2 y＝0B．x+y﹣5＝0C．x﹣y+1＝0D．x+y﹣5＝0或3x﹣2 y＝08．（5分）一个棱长为5cm的表面涂为红色的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，则两面涂色的小正方体的个数为（）A．12B．24C．36D．489．（5分）如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①AF与BM成60°角．②AF与CE是异面直线．③BN⊥DE．④平面ACN∥平面BEM．以上四个命题中，正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．110．（5分）已知数列{a n}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为a，b，c，则下列说法错误的是（）A．若{a n}是等差数列，则3b﹣3a＝cB．若{a n}是等差数列，则a，b﹣a，c﹣b也为等差数列C．若{a n}是等比数列，则a2+b2＝ab+bcD．若{a n}是等比数列，则a，b﹣a，c﹣b也为等比数列11．（5分）已知直线l过点P（1，3），交x轴，y轴的正半轴分别为A，B两点，则⋅的最大值为（）A．6B．3C．﹣3D．﹣612．（5分）在锐角三角形ABC中，sin A＝k cos B cos C（k为常数），则tan B tan C的取值范围是（）A．（0，k]B．（0，1）C．（1，]D．（k，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上）13．（5分）已知△ABC中，A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），则BC边上的高所在直线的方程为；14．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2＝2a n，则a n＝；15．（5分）某几何体为长方体的一部分，其三视图如图，则此几何体的体积为；16．（5分）在平面四边形ABCD中，CD＝6，对角线BD＝8，∠BDC＝90°，sin A＝，则对角线AC的最大值为．三、解答题（17题10分，18～22每小题10分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，a1＝3，前三项和为15．数列{b n}是等比数列，公比为2，前五项和为62．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a cos A＝b cos B．（1）求cos A的值；（2）若a＝5，求△ABC的面积．19．（12分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向西行，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶10km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°．（注：山高CD⊥平面ABC）．（1）求直线DA与平面ABC所成角的正切值；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．20．（12分）如图，已知直线l1∥l2，A为l1，l2之间的定点，并且A到的l1，l2距离分别为2，3，点B，C分别是直线l1，l2上的动点，使得∠BAC＝α．过点A做直线DE⊥l1，交l1于点D，交l2于点E，设∠ACE＝θ．（1）当α＝90°时，求△ABC面积的最小值；（2）当α＝60°时，求△ABC面积的最小值．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E，F分别在AD，BC上，且AE ＝1，BF＝4，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上．（1）求证：平面B′CD⊥平面B′HD；（2）求证：A′D∥平面B′FC；（3）求直线HC与平面A′ED所成角的正弦值．22．（12分）已知数列{a n}是正项数列，满足（a1+a2+…+a n）2＝++…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{}的前n项和T n＜；（3）若0＜λ＜1，b n＝，求证：2017-2018学年四川省成都七中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）数列﹣1，…的一个通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：设此数列的通项公式为a n，∵奇数项为负，偶数项为正数，∴符号为（﹣1）n．每一项的绝对值为，故其通项公式公式为a n＝．故选：A．2．（5分）已知＝（cos75°，sin15°），＝（cos15°，sin75°），则的值为（）A．0B．C．D．1【解答】解：＝（cos75°，sin15°），＝（cos15°，sin75°），则＝cos75°cos15°+sin15°sin75°＝cos（75°﹣15°）＝cos60°＝．故选：B．3．（5分）在△ABC中，AB＝4，BC＝3，CA＝2，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解答】解：在△ABC中，由AB＝4，BC＝3，CA＝2，可知∠C为最大角，∵cos C＝＜0，∴△ABC为钝角三角形．故选：C．4．（5分）以下不等式正确的是（）A．（x﹣3）2＜（x﹣2）（x﹣4）B．x2+y2＞2（x+y﹣1）C．2+＞4D．＞【解答】解：A．（x﹣3）2﹣（x﹣2）（x﹣4）＝1＞0，（x﹣3）2＞（x﹣2）（x﹣4），因此不正确；B．x2+y2﹣2（x+y﹣1）＝（x﹣1）2+（y﹣1）2≥0，因此不正确；C.﹣4＝﹣2＝﹣＜0，∴＜4，因此不正确；D．∵﹣＝7+10+2﹣（3+14+2）＝2（﹣）＞0，∴＞，可得：+＞+．因此正确．故选：D．5．（5分）两平行直线3x+4y﹣1＝0与6x+ay+18＝0的距离为（）A．B．2C．D．1【解答】解：两平行直线3x+4y﹣1＝0与6x+ay+18＝0，可得a＝8，所以：两平行直线3x+4y﹣1＝0与3x+4y+9＝0的距离为：＝2．故选：B．6．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为（0，4），则实数m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：关于x的不等式﹣x2+2x＞mx可化为﹣x2+（2﹣m）x＞0，即x[x﹣（4﹣2m）]＜0，不等式对应方程的两根为0和4﹣2m，令4﹣2m＝4，解得m＝0．故选：B．7．（5分）过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（）A．x﹣y+1＝0或3x﹣2 y＝0B．x+y﹣5＝0C．x﹣y+1＝0D．x+y﹣5＝0或3x﹣2 y＝0【解答】解：过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距互为相反数，当横截距a＝0时，纵截距b＝0时，直线过点P（2，3），（0，0），∴直线方程为，即3x﹣2y＝0．当横截距a≠0时，纵截距b＝﹣a，直线方程为＝1，∵直线过点P（2，3），∴直线方程为＝1，解得a＝﹣1，∴直线方程为﹣x+y＝1，即x﹣y+1＝0．综上，所求直线方程为x﹣y+1＝0或3x﹣2y＝0．故选：A．8．（5分）一个棱长为5cm的表面涂为红色的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，则两面涂色的小正方体的个数为（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：根据题意，这个正方体的一共可以分成5×5×5＝125个棱长为1cm的小正方体，其中位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，总共有3×12＝36个；故选：C．9．（5分）如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①AF与BM成60°角．②AF与CE是异面直线．③BN⊥DE．④平面ACN∥平面BEM．以上四个命题中，正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：展开图复原的正方体ABCD﹣EFMN如图，由正方体ABCD﹣EFMN的结构特征，得：①由AN∥BM，可得AF与BM所成角即为∠NAF，在等边三角形NAF中，∠NAF＝60°，故①正确；②由异面直线的判定可得AF与CE是异面直线，故②正确；③由ED⊥AN，ED⊥AB可得ED⊥平面ABN，即有BN⊥DE，故③正确；④由AC∥EM，AN∥BM，以及面面平行的判定定理可得平面ACN∥平面BEM，故④正确．故选：A．10．（5分）已知数列{a n}的前n项，前2n项，前3n项的和分别为a，b，c，则下列说法错误的是（）A．若{a n}是等差数列，则3b﹣3a＝cB．若{a n}是等差数列，则a，b﹣a，c﹣b也为等差数列C．若{a n}是等比数列，则a2+b2＝ab+bcD．若{a n}是等比数列，则a，b﹣a，c﹣b也为等比数列【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：a，b﹣a，c﹣b也成等差数列．∴2（b﹣a）＝a+c﹣b，则3b﹣3a＝c，故A，B正确；由等比数列的前n项和公式的性质可得：a，b﹣a，c﹣b也成等比数列，∴（b﹣a）2＝a（c﹣b），即a2+b2＝ab+ac，故C错误，D正确．∴说法错误的是C．故选：C．11．（5分）已知直线l过点P（1，3），交x轴，y轴的正半轴分别为A，B两点，则⋅的最大值为（）A．6B．3C．﹣3D．﹣6【解答】解：设直线l方程为y＝k（x﹣1）+3＝kx﹣k+3，∴A（1﹣，0），B（0，3﹣k），∴＝（﹣，﹣3），＝（﹣1，﹣k），∴＝+3k，∵直线l与x轴，y轴的正半轴相交，∴k＜0，∴+3k≤﹣2＝﹣6，当且仅当﹣＝﹣3k即k＝﹣1时取等号．故选：D．12．（5分）在锐角三角形ABC中，sin A＝k cos B cos C（k为常数），则tan B tan C的取值范围是（）A．（0，k]B．（0，1）C．（1，]D．（k，]【解答】解：由sin A＝k cos B cos C，得sin（B+C）＝k cos B cos C，即sin B cos C+cos B sin C＝k cos B cos C，两边同除以cos B cos C，得k＝tan B+tan C，∵tan B＞0，tan C＞0，∴k＝tan B十tan C≥，即tan A tan B≤，又B+C∈（，π），∴tan（B十C）＝＜0，即1﹣tan B tan C＜0，则tan B tan C＞1．∴tan B tan C∈（1，]，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷横线上）13．（5分）已知△ABC中，A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），则BC边上的高所在直线的方程为3x﹣5y+15＝0；【解答】解：k BC＝＝﹣，可得BC边上的高所在直线的斜率为．∴BC边上的高所在直线的方程为：y﹣0＝（x+5），化为：3x﹣5y+15＝0．故答案为：3x﹣5y+15＝0．14．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2＝2a n，则a n＝2n；【解答】解：∵s n+2＝2a n，∴当n＝1时，a1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1＝（2a n﹣2）﹣（2a n﹣1﹣2）＝2a n﹣2a n﹣1，∴a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n＝2•2n﹣1＝2n，当n＝1时，也成立，∴a n＝2n．故答案为：2n．15．（5分）某几何体为长方体的一部分，其三视图如图，则此几何体的体积为；【解答】解：由题目所给的几何体的三视图可得该几何体的形状如下图所示：该几何体是底面边长为1的正方形，高为2的长方体切去如图所示的一角，∴剩余几何体的体积等于正方体的体积减去窃取的直三棱锥的体积，∴V＝2﹣××1×1×2＝．故答案为：．16．（5分）在平面四边形ABCD中，CD＝6，对角线BD＝8，∠BDC＝90°，sin A＝，则对角线AC的最大值为8+2．【解答】解：根据题意，建立如图的坐标系，则D（0，0），C（6，0），B（0，8），BD中点为G，则G（0，4），设A、B、D三点都在圆E上，其半径为R，在Rt△ADB中，由正弦定理可得＝＝2R＝16，即R＝8，即EB＝8，BG＝4，则EG＝4，则E的坐标为（﹣4，4），∴点A在以点E（﹣4，4）为圆心，8为半径的圆上，当且仅当C、E、A三点共线时，AC取得最大值，此时AC＝8+EC＝8+＝8+2．故答案为：8+2．三、解答题（17题10分，18～22每小题10分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}是等差数列，a1＝3，前三项和为15．数列{b n}是等比数列，公比为2，前五项和为62．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，a1＝3，前三项和为15．∴3a1+d＝15，解得d＝2，∴数列{a n}的通项公式a n＝3+（n﹣1）×2＝2n+1．∵数列{b n}是等比数列，公比为2，前五项和为62．∴＝62，解得b1＝2，∴数列{b n}的通项公式b n＝2×2n﹣1＝2n．（2）∵a n+b n＝2n+1+2n，∴数列{a n+b n}的前n项和：S n＝2（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）+n＝2×++n＝1+n+2n+1﹣2+n＝2n+2n+1﹣1．18．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a cos A＝b cos B．（1）求cos A的值；（2）若a＝5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由题意A，B，C成等差数列，可得2B＝A+C，∵A+B+C＝180°，∴B＝60°∵a cos A＝b cos B，由正弦定理：cos A sin A＝sin B cos B，即A＝B或A＝90°﹣B．①当A＝B时，可得A＝B＝C＝60．∴△ABC是等边三角形．cos A＝cos60°＝②当A＝90°﹣B．可得A＝30．∴cos A＝cos30°＝（2）根据（1）可知，当△ABC是等边三角形．a＝5，∴△ABC的面积S＝×5×5×sin60°＝．当△ABC是直角三角形．a＝5，可得b＝5；∴△ABC的面积S＝×5×5＝19．（12分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向西行，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶10km后到达B处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°．（注：山高CD⊥平面ABC）．（1）求直线DA与平面ABC所成角的正切值；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值．【解答】解：（1）如图，由题意可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝120°，AB＝10，则∠ACB＝30°，BC＝AB＝10，由正弦定理可得：，得AC＝．由题意可得∠DBC＝30°，又BC＝10，则CD＝BC tan30°＝．在Rt△ACD中，得tan∠DAC＝，即直线DA与平面ABC所成角的正切值为；（2）过C作CG⊥AB，垂直为G，连接DG，则DG⊥AB，即∠DGC为二面角D﹣AB﹣C的平面角，在Rt△BGC中，由∠CBG＝60°，BC＝10，可得CG＝BC sin60°＝5，∴tan．即二面角D﹣AB﹣C的正切值为．20．（12分）如图，已知直线l1∥l2，A为l1，l2之间的定点，并且A到的l1，l2距离分别为2，3，点B，C分别是直线l1，l2上的动点，使得∠BAC＝α．过点A做直线DE⊥l1，交l1于点D，交l2于点E，设∠ACE＝θ．（1）当α＝90°时，求△ABC面积的最小值；（2）当α＝60°时，求△ABC面积的最小值．【解答】解：（1）在RT△ACE中，sinθ＝，∴AC＝，同理可得AB＝，∴△ABC的面积S＝•AB•AC＝×＝，∵θ∈（0°，90°），∴2θ∈（0°，180°）．故当2θ＝90°，即θ＝45°时，S取得最小值6．（2）在RT△ACE中，sinθ＝，∴AC＝，同理可得AB＝，∴△ABC的面积S＝•AB•AC sin60°＝×＝，∵θ∈（0°，90°），∴2θ+30°∈（30°，210°）．故当2θ+30°＝90°，即θ＝30°时，S取得最小值12．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E，F分别在AD，BC上，且AE ＝1，BF＝4，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上．（1）求证：平面B′CD⊥平面B′HD；（2）求证：A′D∥平面B′FC；（3）求直线HC与平面A′ED所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：矩形ABCD中，CD⊥BE，点B′在平面CDEF上的射影为H，则B′H⊥平面CDEF，且CD⊂平面CDEF，∴B′H⊥CD，又B′H∩BE＝H，∴CD⊥平面B′HD，又CD⊂B′CD，∴平面B′CD⊥平面B′HD；（2）证明：∵A′E∥B′F，A′E⊄平面B′FC，B′F⊂平面B′FC．∴A′E∥平面B′FC，由DE∥FC，同理可得DE∥平面B′FC，又∵A′E∩DE＝E．∴平面A′ED∥平面B′FC，∴A′D∥平面B′FC；（3）如图所示，过E作ER∥DC，过E作ES⊥平面EFCD，分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，设B′（0，y，z）（y，z∈R+）；∵F（3，3，0），且B′E＝，B′F＝4；∴，解得；∴B′（0，2，）；∴＝（﹣3，﹣1，），∴＝＝（﹣，﹣，）；且＝（0，5，0），设平面A′DE的法向量为＝（a，b，c），，解得b＝0，令a＝1，得c＝，得到平面A′DE的法向量为＝（1，0，）；又C（3，5，0），H（0，2，0），∴＝（﹣3，﹣3，0），∴直线HC与平面A′ED所成角的正弦值为sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝．22．（12分）已知数列{a n}是正项数列，满足（a1+a2+…+a n）2＝++…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{}的前n项和T n＜；（3）若0＜λ＜1，b n＝，求证：【解答】解：（1）数列{a n}是正项数列，满足（a1+a2+…+a n）2＝++…，可得a12＝a13，解得a1＝1；n＝2时，（a1+a2）2＝+，解得a2＝2；n≥2时，（a1+a2+…+a n﹣1）2＝++…+，又（a1+a2+…+a n）2＝++…，相减可得a n2+2a n（a1+a2+…+a n﹣1）＝，即有2（a1+a2+…+a n﹣1）＝a n2﹣a n，将n换为n﹣1可得，2（a1+a2+…+a n﹣2）＝a n﹣12﹣a n﹣1，相减可得2a n﹣1＝a n2﹣a n﹣a n﹣12+a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，则a n﹣a n﹣1＝1，则a n＝2+n﹣2＝n，对n＝1，2均成立，故a n＝n，n∈N*；（2）证明：＝＝（﹣），则前n项和T n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＜；（3）证明：0＜λ＜1，b n＝＝，＝＜（）2•＝（﹣），则++…+＜（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＜．。

2015-2016学年四川省成都七中高一（下）期末数学模拟试卷一、选择题1．（5分）不等式≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣1，2]2．（5分）已知等差数列1，a，b，等比数列3，a+2，b+5，则该等差数列的公差为（）A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．3 D．﹣33．（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．4．（5分）已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式不正确的是（）A．|a+b|＞a﹣b B．|a+b|＜|a|+|b| C．D．5．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确的两个命题是（）A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．187．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）8．（5分）若正数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值为（）A．24 B．25 C．28 D．309．（5分）如果长方体三面的面积分别是，那么它的外接球的半径是（）A．B．C．D．10．（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N 为线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830二、填空题13．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为．14．（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是．15．（5分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是．16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设=x，=y，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：①当a=2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是．三、解答题17．（10分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，AD=CD=4．（1）求角A的度数；（2）求四边形ABCD的面积．19．（12分）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．20．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．21．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF 的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．22．（12分）已知：数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣2n=S n，（1）求证：数列{a n﹣n•2n﹣1}是等比数列；（2）求：数列{a n}的通项公式；（3）若数列{b n}中b n=，求：b n的最小值．2015-2016学年四川省成都七中高一（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）不等式≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）D．（﹣1，2]【解答】解：依题意，不等式化为，解得﹣1＜x≤2，故选：D．2．（5分）已知等差数列1，a，b，等比数列3，a+2，b+5，则该等差数列的公差为（）A．3或﹣3 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3【解答】解：由题意可得，解得．因此该等差数列的公差为3．故选：C．3．（5分）设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵=（1，2），=（1，1），∴=+k=（1+k，2+k）∵，∴•=0，∴1+k+2+k=0，解得k=﹣故选：A．4．（5分）已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式不正确的是（）A．|a+b|＞a﹣b B．|a+b|＜|a|+|b| C．D．【解答】解：当a＞0，b＞0时，|a+b|=|a|+|b|，故B选项中的不等式不正确．故选：B．5．（5分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有如下四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确的两个命题是（）A．①与②B．①与③C．②与④D．③与④【解答】解：①根据面面平行的性质可知，若α∥β，当l⊥α时，有l⊥β，因为m⊂β，所以l⊥m成立，所以①正确．②若α⊥β，当l⊥α时，有l∥β或l⊂β，无法判断，l与m的位置关系，所以②错误．③若l∥m，当l⊥α时，则m⊥α，因为m⊂β，所以α⊥β，所以③正确．④若l⊥m，m⊂β，则l和β关系不确定，所以α∥β不一定成立，所以④错误．故选：B．6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．7．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，]B．[，π）C．（0，]D．[，π）【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选：C．8．（5分）若正数x，y满足x+3y=xy，则3x+4y的最小值为（）A．24 B．25 C．28 D．30【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=xy，∴．则3x+4y=（3x+4y）=13+≥13+2=25，当且仅当x=2y=5时取等号．∴3x+4y的最小值为25．故选：B．9．（5分）如果长方体三面的面积分别是，那么它的外接球的半径是（）A．B．C．D．【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，∵长方体共顶点的三个面的面积分别是，∴xy=，yz=，xz=，解之得x=，y=1，z=，可得长方体的对角线长l=．设长方体外接球的半径为R，则2R=l=，可得R=，故选：B．10．（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由两定点A，B满足==2，=﹣，则||2=（﹣）2=﹣2•+=4，则||=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选：D．11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N 为线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【解答】解：∵MN与DB1相交，故MN在平面D1B1D，即平面DBB1D1内，∴点N定在BD上∵N为线段AC上的动点，故点N定为AC与BD的交点O，∵MN与B1D互相平分，在矩形DBB1D1内可知M必为B1D1的中点O1∴符合条件的线段MN只有一条即OO1故选：B．12．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．1830+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a 16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故选：D．二、填空题13．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集为[﹣1，1] ．【解答】解：当x≤0时，f（x）=x+2，代入不等式得：x+2≥x2，即（x﹣2）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤2，所以原不等式的解集为[﹣1，0]；当x＞0时，f（x）=﹣x+2，代入不等式得：﹣x+2≥x2，即（x+2）（x﹣1）≤0，解得﹣2≤x≤1，所以原不等式的解集为[0，1]，综上，原不等式的解集为[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]14．（5分）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是．【解答】解：∵圆柱的侧面展开图是边长为1的正方形，∴该圆柱的高h=1，底面周长2πr=1，∴底面半径r=，∴该圆柱的体积V=π••1=故答案为：．15．（5分）若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：不等式x2﹣kx+k﹣1＞0可化为（1﹣x）k＞1﹣x2∵x∈（1，2）∴k≤=1+x∴y=1+x是一个增函数∴k≤1+1=2∴实数k取值范围是（﹣∞，2]故答案为：（﹣∞，2]16．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设=x，=y，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：①当a=2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立；③∀a∈（0，+∞），函数f（x）的最大值都等于4．其中所有正确结论的序号是②③．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．∵=x，（0≤x≤1）．∴=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），∴==（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）∴y=f（x）==（2﹣x，﹣xa）•（2﹣x，a﹣xa）=（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．①当a=2时，y=f（x）=5x2﹣8x+4=，∵0≤x≤1，∴当x=时，f（x）取得最小值；又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．综上可得：函数f（x）的值域为．因此①不正确．②由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可得：∀a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立，因此②正确；③由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．可知：对称轴x0=．当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4．当时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．因此③正确．综上可知：只有②③正确．故答案为：②③．三、解答题17．（10分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*；数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{c n}的前n项和为S n，则，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n ﹣3）×2n﹣3．∴．18．（12分）如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，AD=CD=4．（1）求角A的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）由余弦定理得BD2=4+16﹣2×2×4cosA=20﹣16cosA，又BD2=16+36﹣2×4×6cosC=52﹣48cosC，∵A+C=180°，∴20﹣16cosA=52+48cosA，∴，∴A=120°．（2）S ABCD=S△ABD+S△CBD=．19．（12分）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．【解答】解：（1）∵，∴化简得tanα=1∵．∴．（2）∵，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，∴∴，∴．20．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S=，△VAB∵OC⊥平面VAB，∴V C=•S△VAB=，﹣VAB=V C﹣VAB=．∴V V﹣ABC21．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF 的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．∴=（，1，0），=（﹣，，1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．令y=1得=（，1，0），∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，∴直线GH与平面NFC所成角为．22．（12分）已知：数列{a n}的前n项和为S n，且2a n﹣2n=S n，（1）求证：数列{a n﹣n•2n﹣1}是等比数列；（2）求：数列{a n}的通项公式；（3）若数列{b n}中b n=，求：b n的最小值．【解答】解：（1）证明：∵，∴．两式相减得，∴=，∵，∴数列是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，即．（3），∴b n +1﹣b n =2（﹣）=．令n 2+3n ﹣18≥0解得n ≥3，令n 2+3n ﹣18＜0解得n ≤2． ∴n=1，2，3时，数列递减；n=4，5，6，…时，数列递增； ∵，，∴当n=3或n=4时，（b n ）min =14．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2016-2017学年四川省成都七中实验学校高一（下）期中数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案. 1．（5分）已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d 2．（5分）若{a n}是等差数列，且a1=﹣1，公差为﹣3，则a8等于（）A．﹣7B．﹣8C．﹣22D．273．（5分）二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣6B．6C．﹣5D．54．（5分）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）A．b=3，ac=9B．b=﹣3，ac=9C．b=3，ac=﹣9D．b=﹣3，ac=﹣9 5．（5分）在△ABC中，已知b=2，a=3，cos A=﹣，则sin B等于（）A．B．C．D．6．（5分）下列各函数中，最小值为4的是（）A．B．C．y=4log3x+log x3D．y=4e x+e﹣x7．（5分）△ABC的三个内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S5=（）A．B．C．D．9．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为不等于1的正数，数列{b n}满足b n=lga n，b3=18，b6=12，则数列{b n}前n项和的最大值等于（）A．126B．130C．132D．13410．（5分）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），设函数，则下列关于函数y=f（x）的性质的描述正确的是（）A．关于直线对称B．关于点对称C．周期为2πD．y=f（x）在上是增函数11．（5分）某同学在研究性学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c）得出如下一些结论：（1）若△ABC是钝角三角形，则tanA+tanB+tanC＞0；（2）若△ABC是锐角三角形，则cosA+cosB＞sinA+sinB；（3）在三角形△ABC中，若A＜B，则cos（sinA）＜cos（tanB）（4）在△ABC中，若，则A＞C＞B其中错误命题的个数是（）A．0B．1C．2D．312．（5分）给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点、、共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数y=b x+r（b≠0，b≠1，b、r均为常数）的图象上，则r的值为﹣1．（4）对于数列{a n}，定义数列{a n﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）求值：cos415°﹣sin415°=．14．（5分）在等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则S11的值为．15．（5分）设正实数x，y满足x+2y=xy，若m2+2m＜x+2y恒成立，则实数m的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（+）的取值范围是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分17．（10分）（1）已知等比数列{a n}中，a1=2且a1+a2=6．求数列{a n}的前n项和S n的值；（2）已知tanθ=3，求的值．18．（12分）已知函数（x∈R）．（1）化简f（x）并求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（12分）已知D为△ABC的边BC上一点，且AB：BC：CA=1：：1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且∠ADC=45°，求BD的长．20．（12分）已知在△ABC中，b（sinB+sinC）=（a﹣c）（sinA+sinC）（其中角A，B，C所对的边分别为a，b，c）且∠A为钝角．（1）求角A的大小；（2）若，求b+c的取值范围．21．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求数列{c n}的前n项和T n的取值范围．22．（12分）对于无穷数列{x n}和函数f（x），若x n+1=f（x n）（n∈N+），则称f（x）是数列{x n}的母函数．（Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且；又数列{a n}满足．（1）求证：f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；（2）求数列{a n}的前项n和S n．（Ⅱ）已知是数列{b n}的母函数，且b1=2．若数列的前n项和为T n，求证：．2016-2017学年四川省成都七中实验学校高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.每个小题只有一个正确答案. 1．（5分）已知a＞b，c＞d，且cd≠0，则（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d【解答】解：∵a＞b，c＞d，且cd≠0，∴a﹣b＞0，c﹣d＞0，由不等式的性质可得a﹣b+c﹣d＞0，a+c＞b+d，故选：D．2．（5分）若{a n}是等差数列，且a1=﹣1，公差为﹣3，则a8等于（）A．﹣7B．﹣8C．﹣22D．27【解答】解：a8=﹣1﹣3×7=﹣22．故选：C．3．（5分）二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则a+b的值为（）A．﹣6B．6C．﹣5D．5【解答】解：∵二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴﹣1，是方程ax2+bx+1=0的两个实数根，且a＜0．∴，解得，∴a+b=﹣5．故选：C．4．（5分）如果﹣1，a，b，c，﹣9成等比数列，那么（）A．b=3，ac=9B．b=﹣3，ac=9C．b=3，ac=﹣9D．b=﹣3，ac=﹣9【解答】解：由等比数列的性质可得ac=（﹣1）×（﹣9）=9，b×b=9且b与奇数项的符号相同，∴b=﹣3，故选：B．5．（5分）在△ABC中，已知b=2，a=3，cos A=﹣，则sin B等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos A=﹣，∴sinA==，∵b=2，a=3，由正弦定理可得sinB==×=，故选：A．6．（5分）下列各函数中，最小值为4的是（）A．B．C．y=4log3x+log x3D．y=4e x+e﹣x【解答】解：对于A，当x→﹣∞时，y→﹣∞，故不对，对于B：若取到最小值，则sinx=2，显然不成立，对于C：4log3x与log x3均不能保证为正数，故对，对于D：y=4e x+e﹣x≥4，当且仅当x=﹣ln2时取等号，故选：D．7．（5分）△ABC的三个内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：∵==1，∴a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，又A为三角形的内角，则A=60°．故选：B．8．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S5=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为=2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离=2﹣，∴S n=2n﹣1+2﹣，∴S5=25+1﹣=32．故选：B．9．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为不等于1的正数，数列{b n}满足b n=lga n，b3=18，b6=12，则数列{b n}前n项和的最大值等于（）A．126B．130C．132D．134【解答】解：由题意可知，lga3=b3，lga6=b6．又∵b3=18，b6=12，则a1q2=1018，a1q5=1012，∴q3=10﹣6．即q=10﹣2，∴a1=1022．又∵{a n}为正项等比数列，∴{b n}为等差数列，且d=﹣2，b1=22．故b n=22+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+24．∴S n=22n+×（﹣2）=﹣n2+23n=+．又∵n∈N*，故n=11或12时，（S n）max=132．10．（5分）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），设函数，则下列关于函数y=f（x）的性质的描述正确的是（）A．关于直线对称B．关于点对称C．周期为2πD．y=f（x）在上是增函数【解答】解：f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，当x=时，sin（2x+）=sin≠±1，∴f（x）不关于直线x=对称；当x=时，2sin（2x+）+1=1，∴f（x）关于点（，1）对称；f（x）得周期T==π，当x∈时，2x+∈（﹣，），∴f（x）在在上是增函数．故选：D．11．（5分）某同学在研究性学习中，关于三角形与三角函数知识的应用（约定三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c）得出如下一些结论：（1）若△ABC是钝角三角形，则tanA+tanB+tanC＞0；（2）若△ABC是锐角三角形，则cosA+cosB＞sinA+sinB；（3）在三角形△ABC中，若A＜B，则cos（sinA）＜cos（tanB）（4）在△ABC中，若，则A＞C＞B其中错误命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：（1）∵tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB），∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC，∴△ABC是钝角三角形，可得：tanAtanBtanC＜0，故错误；（2）∵△ABC为锐角三角形，∴A+B＞90°，B＞90°﹣A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，∴cosB﹣sinA＜0，sinB﹣cosA＞0，∴cosB﹣sinA＜sinB﹣cosA，可得cosA+cosB＜sinA+sinB，故错误；（3）当B=时，tanB不存在，故错误；（4）由tanC=得到0＜C＜90°，且tan30°=＜＜1=tan45°，因为正切函数在（0，90°）为增函数，所以得到30°＜C＜45°；由sinB=可得到0＜B＜90°或90°＜B＜180°，在0＜B＜90°时，sin30°=＞，因为正弦函数在（0，90°）为增函数，得到0＜B＜30°；在90°＜B＜180°时，sin150°=＞，但是正弦函数在90°＜B＜180°为减函数，得到B＞150°，则B+C＞180°，矛盾，不成立．所以0＜B＜30°．由B和C的取值得到A为钝角，所以A＞C＞B，故正确；故选：D．12．（5分）给出下列四个关于数列命题：（1）若{a n}是等差数列，则三点、、共线；（2）若{a n}是等比数列，则S m、S2m﹣S m、S3m﹣S2m（m∈N*）也是等比数列；（3）等比数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的n∈N*，点（n，S n）均在函数y=b x+r（b≠0，b≠1，b、r均为常数）的图象上，则r的值为﹣1．（4）对于数列{a n}，定义数列{a n﹣a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1=2，{a n}+1的“差数列”的通项为2n，则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2其中正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：（1）若{a n}是等差数列，则S n=na1+，∴=a1﹣+n，即是关于n的一次函数，∴{}是等差数列，∴三点、、共线，故（1）正确；（2）若{a n}是公比为﹣1的等比数列，当m为偶数时，有S m=S2m=S3m=0，显然结论错误；故（2）错误；（3）S n=b n+r，当n=1时，a1=S1=b+r，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b n+r﹣（b n﹣1+r）=b n﹣b n﹣1=（b﹣1）b n﹣1，又因为{a n}为等比数列，所以r=﹣1，故（3）正确；（4）n=1时，a1=2；当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=2+=2n；∴S n==2n+1﹣2，故（4）正确．故选：B．二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13．（5分）求值：cos415°﹣sin415°=．【解答】解：cos415°﹣sin415°=（cos215°+sin215°）•（cos215°﹣sin215°）=cos215°﹣sin215°=cos30°=，故答案为：．14．（5分）在等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则S11的值为176．【解答】解：∵等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，∵a2+a10=2a6，a4+a8=2a6，∴5a6=80，∴a6=16，∴S11==11a6=176．故答案为：176．15．（5分）设正实数x，y满足x+2y=xy，若m2+2m＜x+2y恒成立，则实数m的取值范围是（﹣4，2）．【解答】解：正实数x，y满足x+2y=xy，∴+=1，∴x+2y=（x+2y）（+）=2+2++≥4+2=8，当且仅当x=2y，即x=4，y=2时等号成立．不等式m2+2m＜x+2y恒成立，即m2+2m＜8恒成立，解得﹣4＜m＜2；∴实数m的取值范围是（﹣4，2）．故答案为：（﹣4，2）．16．（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对应边，且a，b，c成等比数列，则sinA（+）的取值范围是（，）．【解答】解：∵△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∵a，b，c成等比数列，sin2B=sinAsinC设a，b，c分别为a，aq，aq2．则有⇒⇒．sinA（）=sinA（）=sinA=∴sinA（+）的取值范围是：（，）三、解答题：本大题共6个小题，共70分17．（10分）（1）已知等比数列{a n}中，a1=2且a1+a2=6．求数列{a n}的前n项和S n的值；（2）已知tanθ=3，求的值．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由已知得a1=2，且a1+a2=2+2q=6，∴q=2，∴a n=2n．从而，S n==2n+1﹣2．（2）∵tanθ=3，∴==2．18．（12分）已知函数（x∈R）．（1）化简f（x）并求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数（x∈R）．化简可得：=．∴f（x）的最小正周期T=．（2）上时，易得，于是，即2≤f（x）≤3，∴当时，f（x）max=3；当时，f（x）min=2．故得f（x）在区间上的最大值为3，最小值为2．19．（12分）已知D为△ABC的边BC上一点，且AB：BC：CA=1：：1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且∠ADC=45°，求BD的长．【解答】解：设AB：BC：CA=1：：1=k，则AB=AC=k，BC=k，（1）由余弦定理得：cosA===﹣，∵A为三角形的内角，∴A=120°；（2）∵AB=CA，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴∠BAD=15°，∵S=AB•AC•sin120°=，△ABC∴AB=AC=2，∵sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=，则由正弦定理=得：BD==﹣1．20．（12分）已知在△ABC中，b（sinB+sinC）=（a﹣c）（sinA+sinC）（其中角A，B，C所对的边分别为a，b，c）且∠A为钝角．（1）求角A的大小；（2）若，求b+c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得b（b+c）=（a+c）（a﹣c），…3分可得：a2=b2+c2+bc，…4分又a2=b2+c2﹣2bccosA，于是，…5分又A∈（0，π），∴．…6分（Ⅱ）∵，∴，且0，…7分由正弦定理可知，，…8分所以b+c=2RsinB+2RsinC=sinB+sinC，…9分===， (10)分又0，可得：＜C+＜，∴，…12分注：用均值不等式求解更易，，得：，…6分从而：，…10分∴b+c≤1，…11分又，∴．…12分．21．（12分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，求数列{c n}的前n项和T n的取值范围．【解答】（1）证明：∵a n=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），+1∴数列{a n+1}是等比数列．（2）解：由（1）及已知{a n+1}是等比数列，公比q=2，首项为a1+1=2，∴a n+1=2•2n﹣1=2n，∴．（3）解：=﹣，∴=＜1，设f（n）=1﹣，则f（n）是增函数，∴当n=1时，f（n）取得最小值f（1）=．∴T n的取值范围是[，1）．22．（12分）对于无穷数列{x n}和函数f（x），若x n+1=f（x n）（n∈N+），则称f（x）是数列{x n}的母函数．（Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且；又数列{a n}满足．（1）求证：f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；（2）求数列{a n}的前项n和S n．（Ⅱ）已知是数列{b n}的母函数，且b1=2．若数列的前n项和为T n，求证：．【解答】解：（Ⅰ）（1）由题知，且．∴f（x）=x+2是数列{2n a n}的母函数；…3分（2）由（1）知：{2n a n}是首项和公差均为2的等差数列，故．∴①∴②两式相减得：．S n=，∴…6分（Ⅱ）由题知：，b1=2．∴．从而是以为首项，为公比的等比数列，∴…8分又，故当n≥2时⇒…12分。

四川省成都七中2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18﹣a5，则S8=（）A．18 B．36 C．54 D．722．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件则x2+y2的最大值为（）A． B．8 C．16 D．103．（5分）已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=（）A．2n B．2n+1C．（）n D．（）n+14．（5分）如图α⊥β，AB⊂α，AC⊂β，∠BAD=∠CAD=45°，则∠BAC=（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．（5分）直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin A+c sin C﹣a sin C=b sin B．则∠B=（）A．B．C．D．7．（5分）直线ax+y+1=0与连接A（2，3）、B（﹣3，2）的线段相交，则a的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[2，+∞）∪（﹣∞，﹣1] C．[﹣2，1] D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）（1+tan17°）（1+tan28°）的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．（5分）设，，，则有（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b11．（5分）若，则sin2α的值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与BC1所成角为．14．（5分）过点（1，3）且与原点的距离为1的直线方程共有条．15．（5分）已知关于x的不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0的解集为，则a=．16．（5分）已知数列{a n}满足则{a n}的通项公式．三、解答题（共6小题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D 是AB的中点．（1）在棱A1B1上找一点D1，当D1在何处时可使平面AC1D1∥平面CDB1，并证明你的结论；（2）求二面角B1﹣CD﹣B大小的正切值．18．（12分）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R），直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B．（1）记△ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；（2）直线l过定点M，求|MA||MB|的最小值．19．（12分）如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别为AB、PC的中点，∠PDA=45°，AB=2，AD=1．（1）求证：MN∥平面P AD；（2）求PC与面P AD所成角大小的正弦值；（3）求证：MN⊥面PCD．20．（12分）已知，函数f（x）=，△ABC 的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．（1）若，b=1，求△ABC的面积S；（2）若0＜α＜，求cos2α的值．21．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．（1）求tan A：tan B的值；（2）若b=4，求S△ABC的最大值．22．（12分）已知数列{a n}满足．（1）设，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n；（3）记，求数列{c n}的前n项和T n．【参考答案】一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）1．D【解析】由题意可得a4+a5=18，由等差数列的性质可得a1+a8=a4+a5=18，∴S8===72故选D.2．D【解析】满足约束条件件的平面区域如下图所示：因为目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方，由图得当为A点时取得目标函数的最大值，可知A点的坐标为（1，3），代入目标函数中，可得z max=32+12=10．故选D．3．A【解析】设等比数列的首项为a1，公比为q，由a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，得，解得：（舍），．∴．故选A．4．B【解析】作BO⊥AD，交AD于O，连结CO，BC，∵α⊥β，AB⊂α，AC⊂β，∠BAD=∠CAD=45°，∴设AO=a，则AO=BO=CO=a，BO⊥AO，CO⊥AO，BO⊥CO，∴AB=AC=BC=，∴∠BAC=60°．故选B．5．C【解析】由题意，∵直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0∴（a﹣1）（a+2﹣2a﹣3）=0∴（a﹣1）（a+1）=0∴a=1，或a=﹣1故选C．6．B【解析】∵a sin A+c sin C﹣a sin C=b sin B由正弦定理可得，由余弦定理可得，cos B==∵0＜B＜π∴故选B.7．B【解析】由直线ax+y+1=0的方程，判断恒过P（0，﹣1），如下图示：∵K P A=﹣1，K PB=2，则实数a的取值范围是：a≤﹣1或a≥2．故选B．8．C【解析】由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．9．D【解析】原式=1+tan17°+tan28°+tan17°•tan28°，又tan（17°+28°）==tan45°=1，∴tan17°+tan28°=1﹣tan17°•tan28°，故（1+tan17°）（1+tan28°）=2，故选D．10．A【解析】∵=sin（30°﹣2°）=sin28°，=sin30°，=sin25°，而函数y=sin x在（0°，90°）上单调递增，25°＜28°＜30°，∴sin30°＞sin28°＞sin25°，即b＞a＞c，故选A．11．A【解析】∵由已知得：cos2α=sin（﹣α），∴cos2α﹣sin2α=（sinα﹣cosα），∴当cosα+sinα=﹣时，两边平方，可得：1+sin2α=，从而可解得：sin2α=﹣．当sinα﹣cosα=0时，两边平方，可得：1﹣sin2α=0，从而可解得：sin2α=1．综上可得：A=﹣，或1，结合选项，故选A．12．D【解析】∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A ﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．60°【解析】连结AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴AB∥D1C1且AB=D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，则∠D1AB1为两异面直线AB1与BC1所成角．连结B1D1，∵正方体的所有面对角线相等，∴△D1AB1为正三角形，所以∠D1AB1=60°．故答案为60°．14．2【解析】因为原点（0，0）到（1，3）点的距离为：=＞1，所以过点（1，3）且与原点距离为1的直线有2条．如图所示：故答案为2．15．﹣2【解析】关于x的不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0的解集为（﹣1，﹣），∴方程ax2+（a﹣1）x﹣1=0的实数根为﹣1和﹣，由根与系数的关系得，﹣1×（﹣）=﹣，解得a=﹣2．故答案为﹣2．16．【解析】∵数列{a n}满足，①∴当n≥2时，仿写一个式子②①﹣②得，∴a n=2n+1n≥2，当n=1时，a1=6，∴{a n}的通项公式a n=故答案为a n=三、解答题（共6小题，第17题10分，18至22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（1）当D1在棱A1B1中点时，可使平面AC1D1∥平面CDB1，证明：设CB1∩C1B=O，连结OD，则O、D分别为C1B，AB的中点，所以OD∥AC1，点D是AB的中点，D1在棱A1B1中点，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以CD∥C1D1，∵AC1∩C1D1=C1，CD∩OD=D，所以平面AC1D1∥平面CDB1．（2）解：在平面ABC内，过点B作直线CD的垂线，记垂足为E，连接B1E，∠B1EB即为二面角B1﹣CD﹣B的平面角．由已知，结合勾股定理得△ABC为直角三角形，，从而．二面角B1﹣CD﹣B大小的正切值为．18．解：由题意，分别令x=0，y=0，解得且k＞0．（1）时，当且仅当时取等．所以S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．（2）kx﹣y+1+2k=0（k∈R）（k＞0），化为k（x+2）+1﹣y=0，令，解得x=﹣2，y=1．易得M（﹣2，1），∴，|MA||MB|=﹣=+2k≥2=4，当且仅当k=1时取到，的最小值为4．19．（1）证明：如图，取PD的中点E，连结AE、EN，则有EN∥CD∥AM，且，∴四边形AMNE是平行四边形．∴MN∥AE．∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD；（2）易得∠CPD即为PC与面P AD所成角，，∴PC与面P AD所成角大小的正弦值为；（3）证明：∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，ADC⊂平面ABCD．∴P A⊥CD，P A⊥AD，∵CD⊥AD，P A∩AD=A，∴CD⊥平面P AD，又∵AE⊂平面P AD，∴CD⊥AE，∵∠PDA=45°，E为PD中点，∴AE⊥PD，又∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．20．解：，函数f（x）=，∴，（1）由，结合A，B，C为三角形内角得而．由正弦定理得，所以．（2）由时，，∴，. 21．解：（1）由正弦定理，结合三角形中和差角公式得：，从而sin A cos B=4sin B cos A，即tan A：tan B=4；（2）由（1）知内角A、B均为锐角，如图所示过C作CD垂直于AB垂足为D．设|CD|=m，|AD|=n，由题意结合tan A：tan B=4，得：|BD|=4n，且m2+n2=b2=16，所以时，．故S△ABC的最大值为20．22．解：（1）数列{a n}满足，可得：，设，数列{b n}是等差数列，公差为1，首项为1，所以b n=n；（2）易得，其前n项和：S n=1•21+2•22+3•23+…+n•2n…①，2S n=1•22+2•23+…+n•2n+1…②，②﹣①可得：S n=﹣1﹣22﹣23﹣…﹣2n+n•2n+1∴；（3）=，=或写成．。