高考数学专题-椭圆及其标准方程

高考数学专题复习椭圆【考纲要求】一、考点回顾1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 椭圆的参数方程4 椭圆的简单几何性质5 点与椭圆的位置关系6 关于焦点三角形与焦点弦7 椭圆的光学性质8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法二 典例剖析1 求椭圆的标准方程【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连-方程为____________（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点，若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，且2PQ =u u u r ，则椭圆方程为_____________________【例2】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =u u u r u u u r（1）求椭圆的离心率。

（2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x ++=相切，求椭圆的方程。

【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，斜率为k 的直线过右焦点2F与椭圆交于,A B 两点，与y 轴交于点M 点，且22MB BF =u u u r u u u r（1）若k ≤（2）若k =AB 的中点到右准线的距离为10033，求椭圆的方程【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q 两点 （1）求椭圆的方程（2）若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求直线l 的方程（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '过定点 （4）求OPQ V 的最大面积【例5】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程=+与椭圆交于,A B两点（,A B不是左，右顶点）且以（2）若直线:l y kx mAB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标2 椭圆的性质【例6】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=u u u r u u u r（1）求椭圆离心率e 的取值范围（2）当离心率e 取最小值时，12PF F V 的面积为16，设,A B 是椭圆上两动点，若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。

椭圆及标准方程椭圆是平面上到定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

设F1(-c,0)，F2(c,0)，点P(x,y)，则PF1+PF2=2a。

椭圆的标准方程为，x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。

椭圆的性质：1.椭圆的离心率0<e<1，焦点到中心的距离为ae。

2.椭圆的长轴2a，短轴2b，焦距2ae。

3.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。

4.椭圆的面积为πab。

5.椭圆的焦点到直径的距离等于直径的一半。

6.椭圆的焦点到切线的距离等于焦点到法线的距离。

7.椭圆的切线与法线的交点坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1)。

8.椭圆的渐近线方程为y=±b/ax。

9.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

10.椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+ecosθ)。

椭圆的标准方程推导：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，中心为O(0,0)，点P(x,y)。

则有PF1+PF2=2a，根据两点之间的距离公式可得。

√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。

整理得到。

(√((x+c)^2+y^2))^2+(√((x-c)^2+y^2))^2=4a^2。

化简得到。

x^2/a^2+y^2/b^2=1。

从而得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程性质：1.椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。

2.椭圆的中心在原点O(0,0)。

3.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。

4.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率e=c/a。

5.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距2ae。

6.椭圆的面积为πab。

7.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。

8.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

椭圆的定义及标准方程主标题：椭圆的定义及标准方程副标题：为学生详细的分析椭圆的定义及标准方程的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：椭圆，椭圆的定义，椭圆标准方程难度：2重要程度：5考点剖析：1.理解椭圆的定义；2．掌握椭圆的标准方程及其几何性质，命题方向：1.从考查内容看，椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考的重点，其中直线与椭圆位置关系的问题更是高考考查的热点．2．从考查形式看，对定义、标准方程和几何性质的考查常以选择题、填空题的形式出现，属中档题；直线与圆锥曲线位置关系的问题以及与向量、不等式、方程结合的问题常以解答题的形式出现，具有一定的综合性和难度．规律总结：椭圆的定义及标准方程规律总结：一条规律：椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系： 给出椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m ＞n ＞0；椭圆的焦点在y 轴上⇔n >m >0. 两种方法：求椭圆方程的两种方法：(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程；(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．知识梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫 椭圆 ．这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做 焦距 ．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：(1)若 22a c > ，则集合P 为椭圆；(2)若 22a c = ，则集合P 为线段；(3)若 22a c < ，则集合P 为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质。

椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，且椭圆的长轴是以焦点为端点的线段的长度的两倍。

椭圆也可以用数学方程来描述，下面我们来介绍椭圆的标准方程以及相关性质。

1. 椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程是指在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行的情况下，椭圆的方程。

假设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，则椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

当椭圆的中心不在原点时，可以通过平移坐标轴的方法将椭圆的中心移动到原点，然后再求解标准方程。

2. 椭圆的性质。

椭圆有许多独特的性质，下面我们来介绍其中的一些重要性质：（1）焦点和离心率，椭圆的焦点到中心的距离称为椭圆的焦距，用2c表示。

椭圆的离心率定义为e=c/a，表示焦点到中心的距离与长轴长度的比值。

离心率是一个重要的参数，可以描述椭圆的形状。

（2）焦点和直角坐标系，椭圆的焦点与坐标系有着重要的几何关系。

设椭圆的焦点为F1（c,0）和F2（-c,0），则椭圆上任意一点P(x,y)到焦点的距离之和等于常数2a，即PF1+PF2=2a。

（3）椭圆的参数方程，椭圆还可以用参数方程来描述，参数方程为x=acosθ，y=bsinθ，其中θ为参数，取值范围为0到2π。

参数方程可以直观地描述椭圆上的点的位置，方便进行曲线的分析和计算。

3. 椭圆的图形和应用。

椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

在数学领域，椭圆是圆锥曲线中的一种，具有独特的几何性质和数学特征，是研究曲线和几何形状的重要对象。

在物理学中，椭圆的运动规律被广泛应用于天体运动、机械振动等领域。

在工程领域，椭圆的形状被广泛应用于建筑设计、轨道设计等领域。

总之，椭圆是一种重要的几何图形，具有独特的几何性质和广泛的应用价值。

通过了解椭圆的标准方程和相关性质，我们可以更好地理解和应用椭圆，为实际问题的分析和解决提供更多的可能性。

高三数学椭圆常考题型一、椭圆的基本性质椭圆是一种常见的二次曲线，具有以下基本性质：1. 椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。

2. 椭圆的焦点距离为：c = sqrt(a^2 - b^2)。

3. 椭圆的离心率e = c/a，离心率的取值范围是[0,1]。

4. 椭圆的准线方程为：x = ±a^2/c。

二、常考题型及解析1. 椭圆的定义与标准方程【例1】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为1/2，且椭圆C上一点到两焦点的距离之和为4。

(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若AB是过椭圆C中心的弦，M是AB的中点，且|AB| = 4√5，求线段AB 的长。

【解析】(1) 根据题意，设椭圆C的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。

由离心率的定义，我们有e = c/a = 1/2。

再根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为4，所以2a = 4，即a = 2。

由离心率的定义和已知条件，我们可以得到b = sqrt(a^2 - c^2) = sqrt(4 - 1) = sqrt3。

所以椭圆C的标准方程为：x^2/4 + y^2/3 = 1。

(2) 设AB的方程为y = kx + t。

代入椭圆方程得到二次方程(3 + 4k^2)x^2 +8ktx + 4t^2 - 12 = 0。

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1 + x2 = -8kt/(3 + 4k^2)，x1x2 = (4t^2 - 12)/(3 + 4k^2)。

由弦长公式得|AB| = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = sqrt((1 + k^2)(x1 - x2)^2) = sqrt((1 + k^2)[(x1 + x2)^2 - 4x1x2])。

将已知条件代入得到k 和t 的关系，进一步求出线段AB的长为8sqrt(3-k^2)。

椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，距离为2c。

椭圆的长轴是通过焦点的直线段，短轴是长轴的垂直平分线段。

椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(a>b)。

椭圆的标准方程可以通过椭圆的几何特征进行推导。

首先，我们知道椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

根据点到直线的距离公式，可以得到椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和为2a的方程，√((x+c)²+ y²) + √((x-c)² + y²) = 2a。

然后，我们可以对这个方程进行整理，得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。

通过标准方程，我们可以直观地得到椭圆的中心、长轴、短轴等信息。

同时，我们也可以通过标准方程来求解椭圆的焦点坐标和离心率等参数。

在实际问题中，椭圆的标准方程可以帮助我们进行图形的分析和计算。

例如，当我们需要绘制椭圆的图形时，可以通过标准方程来确定椭圆的中心、长轴、短轴，进而绘制出准确的图形。

另外，当我们需要求解椭圆上的点的坐标或者求解椭圆的焦点坐标时，也可以通过标准方程来进行计算。

除了标准方程外，椭圆还有其他形式的方程，例如参数方程和一般方程。

参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标，而一般方程则是通过平移、旋转等变换得到的一般形式的方程。

这些不同形式的方程都可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质和特点。

总之，椭圆及其标准方程是解析几何中重要的内容，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际问题中有着广泛的应用。

通过深入理解椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，从而更好地应用椭圆解决实际问题。

椭圆知识点总结一、椭圆的定义：（1）第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. （2）第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e ，当10<<e 时，点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离.椭圆定义的表达式：()0222121>>=+F F a a PF PF ;(){}.02,22121>>=+=F F a a PF PFP M 二、椭圆方程 1. 椭圆的标准方程:焦点在x 轴:()012222>>=+b a b y a x ； 焦点在y 轴:()012222>>=+b a b x a y .a 是长半轴长，b 是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满足.222c b a += 2. ()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件为：122=+CBy C Ax ，122=+BC y A C x . 所以只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B CA C >时，椭圆的焦点在x 轴上； 当BCA C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 三、椭圆的几何性质（以()012222>>=+b a by a x 为例）1. 有限性:b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题.2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--4. 长轴、短轴、焦距：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.21F F 叫椭圆的焦距；为()c 2.5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比ac e =（2）22F OB Rt ∆,2222222OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆。

高考数学专题复习题：椭圆的标准方程一、单项选择题（共8小题）1.已知P是椭圆x225+y29=1上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（）A. 2B. 4C. 8D. 162.方程√ (x−4)2+y2+√ (x+4)2+y2=10的化简结果是（）A. x25+y23=1 B. x23+y25=1 C. x225+y29=1 D. x29+y225=13.椭圆x225+y29=1与椭圆x225−k+y29−k=1(0<k<9)的（）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为√ 33，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4√ 3，则C的方程为（）A. x23+y22=1 B. x23+y2=1 C. x212+y28=1 D. x212+y24=15.椭圆C的焦点为F1(−1,0),F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若AF2=2F2B，AB=BF1，则C的方程为（）A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=16.已知椭圆C:x29+y26=1的两个焦点为F1，F2，若点P在椭圆C上，且|PF1|=2，则∠F1PF2=（）A. π6B. π3C. 2π3D. 5π67.已知动圆过点A(−3,0)，并且在圆B：(x−3)2+y2=100的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A. x216+y27=1 B. x216+y29=1 C. x225+y29=1 D. x225+y216=18.椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的动点，m=|PF1|，n=|PF2|，则m2+5m+4nm的最小值为（）A. 9B. 18C. 283D. 313二、多项选择题（共2小题）9.椭圆E ：x 25+y 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，O 是坐标原点，P(x 0，y 0)是椭圆E 上一点，则（ ）A. △PF 1F 2的周长是2√ 5+4B. 当PF 1⊥PF 2时，△PF 1F 2面积最大C. |OP|的最大值是5D. 当x 02+y 02=4时，△PF 1F 2面积为110.某位法国数学家发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆。

高三数学专题练习30 椭圆的定义、标准方程及性质小题基础练○30一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的离心率为( ) A.12 B.32C.52 D ．2 答案：B解析：由题意得a ＝2，b ＝1，则c ＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32，故选B.2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则m n ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43 答案：D解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43.故选D.3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2答案：B解析：因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.故选B.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－ 3C.3－12 D.3－1 答案：D解析：在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.故选D.5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△P AB 的面积为( )A ．2 B.24 C.12 D ．1 答案：D解析：由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △P AB ＝12×2a ×22＝1，故选D.6．[2019·河南安阳模拟]已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·(OF1→＋OP →)＝0(O为坐标原点)．若|PF1→|＝2|PF 2→|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.6－32C.6－ 5D.6－52 答案：A解析：以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP |＝|OF 1|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋12x ，c ＝32x ，∴e ＝c a ＝32＋1＝6－3，故选A.7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3C ．6D ．8 答案：C解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.故选C.8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c,0)，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎝⎛⎦⎥⎤0，22C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 答案：C解析：由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA |＝|OF |＝c ，由|OA |>b ，即c >b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e <1.故选C.二、非选择题9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为________．答案：x 24＋y 2＝1解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.又|EF |＝23<4，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆即x 24＋y 2＝1.10．[2019·金华模拟]如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________．答案： 5解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2k ＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝ 5.11．[2019·陕西检测]已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．答案：33解析：易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a23＝4c 2，即a ＝3c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33.12．[2019·“超级全能生”联考]已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1与圆M ：x 2＋y 2＋22x ＋2－r 2＝0(0<r <2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于P 点)，则直线P A 与直线PB 的斜率之积等于________．答案：1解析：由题可得，圆心为M (－2，0)，P (0，2)．设切线方程为y ＝kx ＋ 2.由点到直线的距离公式得，d ＝|－2k ＋2|1＋k2＝r ，化简得(2－r 2)k 2－4k ＋(2－r 2)＝0，则k 1k 2＝1.课时增分练○30一、选择题 1．[2019·河北省五校联考]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案：D解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb ＝1⇒bc ＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.2．[2019·深圳模拟]过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1答案：C解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y210＝1.故选C.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案：A解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y26＝1.故选A.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14 答案：D解析：如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F 1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1， 由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1， 故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠P AB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14. 故选D. 5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点．若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，则椭圆的离心率e 为( )A.53B.13C.23D.12 答案：A解析：∵点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 2F 1＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2x ，由椭圆定义知x ＋2x ＝2a ，∴x ＝2a 3，∴|PF 2|＝2a3，则|PF 1|＝4a 3.由勾股定理知|PF 2|2＋|PF 1|2＝|F 1F 2|2，解得c ＝53a ，∴e ＝c a ＝53.故选A.6．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )A ．6B ．5C ．4D ．3 答案：A解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.故选A.7．[2019·贵州遵义联考]已知m 是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的离心率为( )A.32或52B.32或 5C.32 D. 5 答案：B解析：由题意得m 2＝16，解得m ＝4或m ＝－4.当m ＝4时，曲线方程为x 2＋y 24＝1，故其离心率e 1＝c a ＝ 1－b 2a 2＝ 1－14＝32；当m ＝－4时，曲线方程为x 2－y 24＝1，故其离心率e 2＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝ 1＋4＝ 5.所以曲线的离心率为32或 5.故选B.8．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫0，25C.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，55答案：A解析：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎨⎧a >b2＋c ，b <b2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2>14(a 2－c 2)，a 2－c 2<2c ，解得55<e <35.故选A.二、非选择题9．[2019·铜川模拟]已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．答案：3 解析：如图，设椭圆的右焦点为E ，连接AE 、BE .由椭圆的定义得，△F AB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |.∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0，∴|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a .当直线AB 过点E 时取等号，此时直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴当△F AB 的周长最大时，△F AB的面积是12×3×|EF |＝12×3×2＝3.10．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 是C 的长轴的两个端点，点M 是C 上的一点，满足∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°.设椭圆C 的离心率为e ，则e 2＝________.答案：1－33 解析：由椭圆的对称性，设M (x 0，y 0)，y 0>0，A (－a,0)，B (a,0)．因为∠MAB ＝30°，∠MBA ＝45°，所以k BM ＝y 0x 0－a ＝－1，k AM ＝y 0x 0＋a＝33.又因为x 20a 2＋y 20b 2＝1，三等式联立消去x 0，y 0可得b 2a 2＝33＝1－e 2，所以e 2＝1－33.11．[2019·云南昆明一中月考]已知中心在原点O ，焦点在x轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解析：(1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)．当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，22，此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43.11因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k ·－4k 21＋2k 2＋2k ＝2k 1＋2k 2， y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝4k 2(1＋2k 2)2＋4k 21＋2k 2＝43，所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。

知识点一 高中数学选择性必修第一册：椭圆及其标准方程椭圆的定义我们把平面内与两个定点F F ,12的距离的和等于常数(大于F F 12)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点M 与焦点F F ,12的距离的和等于a 2.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集=+=P M MF MF a {|2}12．知识点二 椭圆的标准方程-c c 0()(,0,,) −c c 0()(0,,,)重难点1根据椭圆的定义求方程1．已知椭圆C 上任意一点P x y ,)(=4，则椭圆C 的标准方程为 . 【答案】+=x y 43122【分析】根据椭圆定义可得答案.【详解】由题可知椭圆C 的焦点在x 轴上，其坐标分别为−1,0,1,0)()(，=a 24，故==a c 2,1，=b 32，所以椭圆C 的标准方程为+=x y 43122.故答案为：+=x y 43122.2．已知两定点F (5,0)1，−F (5,0)2，曲线上的点P 到F 1、F 2的距离之和是12，则该曲线的标准方程为 .【答案】+=x y 3611122【分析】根据椭圆的定义，再结合a b c ,,222的关系确定椭圆方程.【详解】由条件可知，+=>PF PF 121012，所以点P 的轨迹是以点F F ,12为焦点的椭圆， 且=c 210，=a 212，=a 362，=−=b a c 11222，所以椭圆的标准方程为+=x y 3611122.故答案为：+=x y 36111223．椭圆的焦点坐标为−(3,0)和(3,0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为 .【答案】+=x y 2516122【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出椭圆方程作答.【详解】依题意，椭圆长轴长=a 210，则=a 5，而椭圆半焦距=c 3，因此椭圆短半轴长===b 4，所以所求椭圆标准方程是+=x y 2516122.故答案为：+=x y 25161224．已知动点M 到定点⎝⎭ ⎪−⎛⎫A 4,09与⎝⎭⎪⎛⎫B 4,09的距离的和是225，则点M 的轨迹方程是 ．【答案】+=x y 1634625122【分析】根据椭圆的定义直接写出该曲线的方程.【详解】因为M 到顶点−A 4(,0)9和B 4(,0)9的距离的和为>=AB 22259，所以M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，设方程为+=a bx y 12222（>>a b 0），则=c 49，=a 2225，所以=a 425，=−=b a c 34222，M 的轨迹方程为+=x y 1634625122. 故答案为：+=x y 1634625122. 5．已知B ，C 是两个定点，=BC 8，且ABC 的周长等于18．求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．【答案】+=≠±x x y 2591522)(【分析】以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，根据三角形周长公式，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由=BC 8，可知点−B C 4,0,4,0)()(． 由ABC 的周长等于18．得+=AB AC 10，因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，但点A 不在x 轴上．设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为a b c 2,2,2，则这个椭圆上的点与两焦点的距离之和=⇒=a a 2105， =c 4，得=−=−=b a b 25169222，所以动点A 的轨迹方程是+=≠±x x y 2591522)(.6．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点分别是−F F (3,0),(3,0)12，椭圆上的点P 与两焦点的距离之和等于8；(2)两个焦点分别是−F F (0,4),(0,4)12，并且椭圆经过点．【答案】(1)+=x y 167122(2)+=y x 204122【分析】（1）根据椭圆定义以及焦点坐标可计算出=a 4，=c 3，即可求得椭圆方程； （2）由焦点坐标可知=c 4且在y 轴上，设出标准方程代入计算即可. 【详解】（1）由已知得=a 28，因此=a 4． 又因为=c 3，所以=−=−=b a c 43722222， 易知椭圆的焦点在x 轴上，所以所求椭圆的标准方程为+=x y 167122．（2）因为椭圆的焦点在y 轴上，设它的标准方程为+=>>a b a b y x 1(0)2222．由已知得=c 4，又因为=−c a b 222，所以=+a b 1622．因为点=1，即+=a b 15322． 从而有++=b b1615322， 解得=b 42或=−b 122（舍去）． 因此=+=a 416202，从而所求椭圆的标准方程为+=y x 204122．7．分别写出满足下列条件的动点P 的轨迹方程： (1)点P 到点−F 3,01)(、F 3,02)(的距离之和为10； (2)点P 到点−F 0,21)(、F 0,22)(的距离之和为12； (3)点P 到点−F 4,01)(、F 4,02)(的距离之和为8．【答案】(1)+=x y 2516122(2)+=y x 3632122 (3)=−≤≤y x 0(44)【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果； （2）根据椭圆的定义可求出结果；（2）+=PF PF F F ||||||1212可知动点P 的轨迹是线段F F 12. 【详解】（1）因为+=>=PF PF F F ||||10||61212， 所以动点P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆， 这里=a 210，=c 26，即=a 5，=c 3， 所以=−=−=b a c 25916222， 所以动点P 的轨迹方程为+=x y 2516122. （2）因为+=>=PF PF F F ||||12||41212， 所以动点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆， 这里=a 212，=c 24，即=a 6，=c 2， 所以=−=−=b a c 36432222，所以动点P 的轨迹方程为+=y x 3632122.（3）因为+===PF PF F F ||||8||81212，所以动点P 的轨迹是线段F F 12，其方程为=−≤≤y x 0(44).重难点2根据a b c ,,求标准方程8．已知椭圆的两焦点为−F F 4,0,4,012)()(，点P 在椭圆上．若△PF F 12的面积最大为12，则椭圆的标准方程为 ．【答案】+=x y 259122【分析】由题意可知当P 在y 轴上时△PF F 12的面积最大，从而可求出b ，再结合c 可求出a ，从而可求出椭圆的标准方程.【详解】如图，当P 在y 轴上时△PF F 12的面积最大，所以⨯=b 28121，所以=b 3．又=c 4，所以=+=a b c 25222，所以椭圆的标准方程为+=x y 259122．故答案为：+=x y 2591229．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)中心在原点，一个焦点坐标为0,5)(，短轴长为4；(2)中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.【答案】(1)+=y x 294122(2)+=x y 43122【分析】（1）根据题意求出a b ,，再由焦点位置得出椭圆方程； （2）由题意求出a b ,，根据焦点在x 轴写出方程. 【详解】（1）由题意得：=c 5，=b 24， 故=+=+=a b c 42529222，因为焦点在y 轴上，故椭圆方程为+=y x294122.（2）如图，由题意得：==a AF ||2，=−=BF a c ||1， 所以=c 1，=−=−=b a c 413222，结合焦点在x 轴上，故椭圆方程为：+=x y 43122.10．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距为−0,4)(；(2)焦距为4，且经过点)．【答案】(1)+=x y 16122(2)+=y x 5122或+=y x 95122【分析】（1）利用待定系数法求出a b ,可得结果； （2）讨论焦点位置，求出a b ,可得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b y x 1(0)2222，依题意得⎩⎪⎪=+⎪⎨=⎪⎪⎪+=⎧a b c c a b 2116022222，解得⎩=⎪⎨=⎪=⎧c b a 14，所以该椭圆的标准方程为+=x y 16122.（2）当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为+=>>a ba b x y 1(0)2222，依题意得=c 2，=a ，则=−=−=b a c 541222，故椭圆的标准方程为+=y x 5122.当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为+=>>a b a b y x 1(0)2222，依题意得=c 2，=b =+=+=a b c 549222， 故椭圆的标准方程为+=y x 95122.11．求焦点在x轴上，焦距为的椭圆的标准方程．【答案】+=x y 93122【分析】根据题意，设椭圆方程为+=>>a b a b x y 102222)(，结合题意，列出方程组，求得a b ,的值，即可求解.【详解】由椭圆焦点在x 轴上，所以可设其方程为+=>>a ba b x y 102222)(，因为椭圆的焦距为=c 2，所以c =+a b 622，又因为椭圆过点，所以+=a b13222，联立方程组，可得==a b 9,322，所以所求的方程为+=x y 93122．12．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)+=a c 4，−=a c 2；(2)焦点坐标为−0,4)(，0,4)(，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；(3)焦点在x 轴上，=a 4，且经过点A (；(4)=c 4，且经过点P 0,(.【答案】(1)198x y 22或+=y x 98122(2)+=y x 259122(3)+=x y 164122 (4)+=x y 4024122或+=y x 248122 【分析】(1)直接联立方程组，求出a 、c 的值，再利用椭圆的基本性质求出b 的值，然后分别讨论焦点所在的坐标轴，直接写出标准方程即可；(2)由椭圆的定义，直接写出a 、c 的值，并可判断焦点所在坐标轴，再利用椭圆的基本性质求出b 的值，即可直接写出椭圆的标准方程；(3)由题意，设出椭圆的标准方程，再把点代入求解即可；(4)由题意结合椭圆的性质，可列出a 、b 的关系式，再设出椭圆的标准方程，然后把点代入求解即可.【详解】（1）由题意，联立⎩−=⎨⎧+=a c a c 24，解得：⎩=⎨⎧=c a 13， 则由椭圆的性质得：=−=b a c 8222，所以当椭圆的焦点落在x 轴上时，椭圆的标准方程为：198xy 22；当椭圆的焦点落在y 轴上时，椭圆的标准方程为：+=y x 98122，故椭圆的标准方程为：198x y 22或+=y x 98122.（2）由题意可得，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为=a 210，即=a 5， 又椭圆的两个焦点坐标为−0,4)(，0,4)(，则=c 4，且焦点落在y 轴上，所以由椭圆的性质得：=−=b a c 9222，故椭圆的标准方程为：+=y x 259122.（3）因为椭圆的焦点在x 轴上，且=a 4，所以可设椭圆的标准方程为+=b x y 161222，又因为椭圆经过点A (， 所以+=b161432，解得：=b 42， 故椭圆的标准方程为：+=x y 164122. （4）因为=c 4，由椭圆的性质得=−=c a b 16222，则=+a b 1622，所以可设椭圆的标准方程为++=b b x y 1612222或++=b b y x 1612222又因为椭圆经过点P 0,(， 所以=b 1242或+=b 161242，解得：=b 242或=b 82， 所以，当=b 242时，椭圆的焦点落在x 轴上，此时椭圆的标准方程为：+=x y 4024122；当=b 82时，椭圆的焦点落在y 轴上，此时椭圆的标准方程为：+=y x248122，故椭圆的标准方程为：+=x y 4024122或+=y x 248122.13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为−5,0)(和5,0)(，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26； (2)焦点坐标为−0,3)(和0,3)(，且椭圆经过点8,3)(.【答案】(1)+=x y 169144122(2)+=y x 8172122 【分析】（1）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b x y 102222)(，根据椭圆的定义求出a 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b y x 102222)(，根据椭圆的定义求出a 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆的标准方程.【详解】（1）解：因为椭圆的焦点坐标为−5,0)(和5,0)(，设椭圆的标准方程为+=>>a b a b x y 102222)(， 因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26，则=a 226，可得=a 13，所以，==b 12，因此，椭圆的标准方程为+=x y 169144122.（2）解：因为焦点坐标为−0,3)(和0,3)(，设椭圆的标准方程为+=>>a ba b y x102222)(，因为椭圆经过点8,3)(，由椭圆定义可得==a 218，所以，=a 9，则=b ，因此，椭圆的标准方程为+=y x 8172122.14．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为−4,0)(和4,0)(，且椭圆经过点5,0)(； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点0,2)(和1,0)(； (3)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M 3,2)(．【答案】(1)+=x y 259122(2)+=x y 4122(3)+=y x 1612122 【分析】（1）设标准方程+=>>a ba b x y 102222)(，由条件分别计算出a c ,，再求b 即可；（2）设标准方程+=>>a ba b y x 102222)(，将两点代入利用待定系数法计算即可；（3）由题意可得焦点坐标，再利用椭圆定义可得长轴长，从而得椭圆标准方程. 【详解】（1）由题意知，椭圆的焦点在x 轴上，可设它的标准方程为+=>>a b a b x y 102222)(，易知=a 210，∴=a 5，又=c 4，∴=−=b a c 9222，故所求椭圆的标准方程为+=x y 259122；（2）∵椭圆的焦点在y 轴上，∴可设它的标准方程为+=>>a b a b y x 102222)(，∵椭圆经过点0,2)(和1,0)(， ∴⎩⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎧a b a b 1011402222，解之得==a b 4,122， 故所求椭圆的标准方程为+=x y 4122；（3）根据题意可知=c 2，又焦点在y 轴上，故焦点坐标为−0,2,0,2)()(， ∵椭圆经过点M 3,2)(， ∴由椭圆的定义可得=a 28，即=a 4，∴=−=b a c 12222，故椭圆的标准方程为+=y x 1612122.重难点3根据方程表示椭圆求参数15．若方程−++=m m x y 259122表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．−9,25)(B ．−⋃9,88,25)()(C ．8,25)(D ．+∞8,)(【答案】B【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得m 的取值范围. 【详解】依题意，方程−++=m m x y 259122表示椭圆，则⎩+≠−⎪⎨+>⎪⎧−>m m m m 92590250， 解得−<<m 98或<<m 825， 即实数m 的取值范围是−⋃9,88,25)()(. 故选：B16．已知方程+−+=k kx y 53122表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围为（ ）A ．−∞−⋃+∞,13,)()(B ．−∞−,1)(C ．−1,3)(D ．+∞3,)(【答案】C【分析】根据题意列出含有参数k 的不等式组求解即可.【详解】根据题意,要使方程+−+=k kx y 53122表示焦点在x 轴上的椭圆,需满足⎩+>−⎪⎨−>⎪⎧+>k k k k 533050,解得−<<k 13. 故选:C.17．若关于x ，y 的方程−−+=t t x y 31122表示的是曲线C ，给出下列三个条件：①若曲线C 是椭圆，②焦点在y 轴上，③焦点在x 轴上．请选择其中2个条件与已知组成命题，并求出t 的取值范围．【答案】选①②时，<<t 23，选①③时，<<t 12.【分析】根据曲线方程选①②，选①③时，由长轴位置列出不等式求解即可. 【详解】若选①若曲线C 是椭圆，②焦点在y 轴上， 则−>−>t t 130，解得<<t 23，若选①若曲线C 是椭圆，③焦点在x 轴上， 则−>−>t t 310，解得<<t 12，综上，当选①②时，<<t 23，当选①③时，<<t 12.18．已知曲线C ：−−+=−k k x y 53122，则“≤<k 45”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，列不等式求出k 的取值范围，结合充分必要条件的定义即可判断.【详解】将曲线C 的方程化为−−+=k k x y 53122，若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则−>−>k k 350，即<<k 45， 而“≤<k 45”不能推出“<<k 45”；“<<k 45”可以推出“≤<k 45”，故“≤<k 45”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：A.19．若方程−−+=t t x y 83122表示焦点在y 轴上的椭圆，则t 的取值范围为 .【答案】⎝⎭⎪⎛⎫2,811 【分析】由焦点在y 轴上的椭圆方程的特征求解即可．【详解】∵已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩−>−⎪⎨−>⎪⎧−>t t t t 38,30,80,解得<<t 2811.∴t 的取值范围是⎝⎭⎪⎛⎫2,811. 故答案为：⎝⎭⎪⎛⎫2,811. 20．“>>m n 0是“方程+=mx ny mn 22表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】把方程化为+=n mx y 122，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，方程+=mx ny mn 22，可化为标+=n mx y 122，当>>m n 0时，方程+=n mx y 122表示焦点在y 上的椭圆，即充分性成立； 若方程表示焦点在y 上的椭圆，则满足>>m n 0，即必要性成立，所以>>m n 0时方程+=mx ny mn 22表示焦点在y 上的椭圆的充要条件.故选：A.21．已知P ：<<m 13，Q ：−−+=m mx y 13122表示椭圆，则P 是Q 的 条件．【答案】必要不充分【分析】先求出方程−−+=m m x y 13122表示椭圆时m 的范围，再利用充分条件与必要条件的定义判定即可．【详解】若方程−−+=m mx y 13122表示椭圆，则⎩−≠−⎪⎨−>∴<<⎪⎧−>m m m m m 1330,1310且≠m 2， {13m m <<∣且≠m 2} ∣<<m m {13}，∴<<m 13是方程−−+=m mx y 13122表示椭圆的必要不充分条件，即P 是Q 的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分．重难点4根据椭圆方程求a b c ,,22．已知椭圆+=x ky 222的焦点在y 轴上，若椭圆的焦距为4，则k 的值为（ ）A ．31B ．41C ．3D ．4【答案】A【分析】将椭圆方程化为标准式，即可得到a 2，b 2，从而求出c ，即可得解.【详解】椭圆+=x ky 222即+=kx y 22122，焦点在y 轴上， 所以=k a 22，=b 22，所以=c 又椭圆的焦距为4=2，解得=k 31. 故选：A23．已知椭圆+=x y 259122上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O为坐标原点，那么线段ON 的长是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．23【答案】B【分析】不妨设点M 到该椭圆左焦点F 的距离为2，设右焦点为F 1，作出图象，根据椭圆的定义可求出MF 1，再根据中位线定理即可求出线段ON 的长. 【详解】不妨设点M 到该椭圆左焦点F 的距离为2，如图所示：设椭圆左焦点为F ，右焦点为F 1.∵=a 210，=MF 2，∴=−=MF a MF 281. 又∵N 为MF 的中点，O 为FF 1的中点， ∴==ON MF 2411. 故选：B.24．已知两椭圆+=ax y 822与+=x y 92510022的焦距相等，则a 的值为 ． 【答案】179或9/9或179 【分析】讨论焦点所在位置，根据题意列式求解.【详解】因为两椭圆方程分别为+=ax y 88122，+=x y 94100122，由题意可得：⎩⎪−=−⎪⎨⎪⎪>⎧a a 984810088或⎩⎪−=−⎪⎨⎪⎪<<⎧a a9848100088，解得=a 179或=a 9.故答案为：179或9 25．F F ,12是椭圆+=x y 164122的两个焦点，P 是椭圆上的一点，则△F PF 12的周长是 ．【答案】8【分析】根据椭圆定义可得△F PF 12的周长为+a c 22，代入数值即得结果. 【详解】根据椭圆定义可得△F PF 12的周长为为+a c 22， 所以△F PF 12的周长为++=+=PF PF F F a c 2281212 故答案为: 826．已知F F ,12是椭圆198x y 22的左、右焦点，P 是椭圆上的一点，若PF =21，则=PF 2【答案】4【分析】由椭圆的方程及定义可求得结果.【详解】由椭圆的方程198x y 22，可知=a 3，又P 是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，+==PF PF a ||||2612， 又PF =21，则=PF ||42. 故答案为：4.重难点5椭圆的焦点三角形问题27．已知椭圆+=C x y 2516:122的左､右焦点分别为F F ,12，点P 在椭圆C 上，则△PF F 12的周长为（ ）A ．14B ．16C ．18D ．+10【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程得出椭圆中的a b c ,,，利用椭圆的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由+=x y 2516122，得==a b 25,1622，即==a b 5,4，所以=−=−=c a b 25169222，即=c 3.由椭圆的定义知，+====PF PF a F F c 210,261212, 所以△PF F 12的周长为++=+=PF PF F F 106161212. 故选：B.28．已知F F ,12为椭圆+=x y916122的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若+=F A F B 1022，则=AB ||（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.【详解】由+=x y 916122，即+=y x 169122，可得=a 4，根据椭圆的定义+++==F A F A F B F B a 4161212，所以=+=AB F A F B 611. 故选：B.29．已知F 1，F 2为椭圆+=x y 95122的两个焦点，P 为椭圆上一点且=PF PF 212，则△PF F 12的面积为（ ）A ．BC ．4D 【答案】B【分析】利用椭圆定义求得PF PF ,12的值，判断△PF F 12为等腰三角形，即可求得答案.【详解】由椭圆+=x y 95122可知====a b c 3,2，故+==PF PF a 2612，结合=PF PF 212， 可得==PF PF 4,212，而==F F c 2412，故△PF F 12为等腰三角形，其面积为⨯=221故选：B30．已知点F F ,12为椭圆+=C x y 43:122左右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则⋅PF PF 12的取值范围为（ ）A ．[3,4]B ．2,3][C ．1,4][D ．1,7][【答案】A【分析】利用三角换元的方法，结合三角函数的值域求得正确答案.【详解】椭圆+=C x y 43:122的焦点−F F 1,0,1,012)()(，设≤<θθθP π2cos ,02)(，⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⋅=++⨯−+⎡⎤⎡⎤θθθθPF PF 2cos 12cos 112222222))())(=−⨯+=−θθθcos 2cos 2cos 42222)()()(，所以⋅==−θPF PF 4cos 122，由于≤≤θ0cos 12，≤−≤θ34cos 42， 所以⋅PF PF 12的取值范围为[3,4]. 故选：A31．（多选）F 1，F 2是椭圆+=x y 259122的两个焦点，A 是椭圆上一点，△AF F 12是直角三角形，则△AF F 12的面积为（ ）A ．9B ．536C ．D ．【答案】AB【分析】对△AF F 12的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】由+=x y 259122得c ==4，不妨−F 4,01)(，F 4,02)(，则=F F 812，当⊥AF AF 12时，则 ②①⎩⎪+=⎨⎪+=⎧AF AF AF AF 6410122212 ①平方减去②得⋅=AF AF 1812， ∴12AF F SAF AF =⨯⋅=29112， 当⊥AF F F 112 (或者⊥AF F F 212)时，−F 4,01)(，令=−x 4，则+=−y 2591422)(，解得=±y 59， 则==a AF b 5912，12AF F S =⨯⨯=25581936.故选：AB.32．如图所示，已知F F ,12是椭圆+=x y10036122的两个焦点．(1)求椭圆的焦点坐标；(2)过F 1作直线与椭圆交于A B ,两点，试求△ABF 2的周长． 【答案】(1)−F F 8,0,8,012)()(． (2)40【分析】（1）根据椭圆的标准方程计算即可； （2）由椭圆的定义计算即可.【详解】（1）设焦距为c 2，由+=x y 10036122得=c 8，所以椭圆的焦点坐标为−F F 8,0,8,012)()(．（2）设椭圆长轴长a 2，则易得==a 220， 又△ABF 2的周长2ABF C为++=+++=+++AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF 2211221212)()()(,由椭圆的定义可知+==+AF AF a BF BF 21212，故2ABF C=40.33．已知椭圆的焦点在x 轴上，且过点⎝ ⎛23，焦距为P 为椭圆上的一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若∠=F PF 6012，求：(1)椭圆的标准方程；(2)△PF F 12的面积． 【答案】(1)+=x y 94122【分析】）（1设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；）（2利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为+=>>a b a b x y 1(0)2222，由已知得，，⎩⎪=+⎪⎨+=⎪⎪=⎧a b c a b c 4193222222解得=a 3，=c ，=b 2，故椭圆的标准方程为+=x y 94122．（2）如图，由椭圆的定义可得+=PF PF 612， 由余弦定理可得||2cos6020+−=PF PF PF PF 121222，整理得+−=PF PF PF PF ||20121222，又++=PF PF PF PF ||236121222，所以⨯=PF PF 31612， 故121116223PF F SPF PF =⨯⨯=⨯=sin601234．如图所示，已知椭圆的方程为+=x y 43122，若点P 为椭圆上的点，且∠=︒PF F 12012，求△PF F 12的面积．【分析】在1PF F 中，利用余弦定理结合椭圆的定义可求出PF 1，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】由已知==a b 2,，得==c 1， 则==F F c 2212，+==PF PF a 2412，在1PF F 中，由余弦定理，得︒=+−PF PF F F PF F F 2cos1202112112222，所以=++PF PF PF 4221122，由+==PF PF a 2412，得=−PF PF 421， 所以−=++PF PF PF 44211122)(，化简解得=PF 561，所以△PF F 12的面积为︒=⨯⨯PF F F 225sin1202116112 重难点6与椭圆有关的轨迹问题35．古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线．这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义．若平面内一动点P x y ,)(到定点A 1,0和到定直线=x 4的距离之比是21，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B【分析】利用轨迹的直接法求解.=21，整理得：+=x y 43132，所以点P 的轨迹为椭圆． 故选：B ．36．已知动圆过点,−A 30)(，并且在圆B ：−+=x y (3)10022的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）A ．+=x y 167122B ．+=x y 169122C ．+=x y 259122D ．+=x y 2516122【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案. 【详解】由圆−+=B x y :310022)(，则其圆心B 3,0)(，半径为=R 10，设动圆的圆心为C ，半径为r ，由圆C 在圆B 的内部与其相切，则−=R r CB ， 由圆C 过点A ，则−=R CA CB ，即=+CA CB 10， 所以动点C 的轨迹为以A B ,为焦点的椭圆，则=a 5，==c AB23，==b 4，所以其轨迹方程为+=x y 2516122. 故选：D.37．已知A 是圆C 内异于圆心的一定点，动点P 满足：在圆C 上存在唯一点Q ，使得0QA QP ⋅=，则P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】C【分析】根据向量垂直关系可确定Q 点轨迹是以AP 为直径的圆，且该圆与圆C 相内切；根据圆与圆的位置关系可确定=+>r MC MA AC ，知M 点轨迹为椭圆；采用相关点法可确定P 点轨迹方程，由此可得结论.【详解】0QA QP ⋅=，∴⊥QA QP ，∴Q 点轨迹是以AP 为直径的圆， 又Q 在圆C 上且唯一，∴以AP 为直径的圆与圆C 相内切， 设AP 中点为M ，圆C 半径为r ， ∴由两圆内切且点A 在圆C 内可得：−=r AP MC 21，∴=+>r MC MA AC ，∴点M 轨迹是以A C ,为焦点，r 为长轴长的椭圆，以A C ,所在轴为x 轴，AC 中点为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，不妨设−A c ,0)(，C c ,0)(，点M 轨迹为+=>>a b a b x y 102222)(， 设M x y ,00)(，P x y ,)(，则⎩⎪=⎪+⎨⎪⎪=⎧−y y x x c20200，∴+=−a b y x c 4412222)(，∴P 点轨迹为椭圆. 故选：C.38．如图，已知定圆A 的半径为4，B 是圆A 内一个定点，且=AB 2，P 是圆上任意一点.线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，则点Q 的轨迹是（ ）A ．面积为π的圆B ．面积为π2的圆C ．离心率为41的椭圆 D ．离心率为21的椭圆【答案】D【分析】连接BQ ，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得+==>=AQ BQ AP AB 42，再由椭圆的定义可得其轨迹.【详解】连接BQ ，因为线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q ，所以=BQ PQ ，因为+==>=AQ PQ AP AB 42， 所以+==>=AQ BQ AP AB 42，所以点Q 的轨迹是以A B ,为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆， 所以椭圆的离心率为====a a e c c 242221， 故选：D39．若线段AB 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，=AB 6，点M 是线段AB 上一点，且=AM 2，则动点M 的轨迹方程是 . 【答案】+=x y 164122【分析】利用M x y A x B y ,,,0,0,00)()()(，根据题意可得⎩=⎪⎨⎪=⎧y yx x22300，进而结合两点间距离公式运算求解.【详解】设M x y A x B y ,,,0,0,00)()()(， 则()(,,,AM x x y AB x y =−=−000)， 如图，因为=AB 6，=AM 2，可得1AM AB =3， 则⎩⎪=⎪⎨⎪⎪−=−⎧y y x x x 3131000，解得⎩=⎪⎨⎪=⎧y y x x 32300， 又因为===AB 6，整理得+=x y 164122， 则所求动点M 的轨迹方程为+=x y 164122故答案为：+=x y 164122.40．在ABC 中，已知点−A 1,0)(和点C 1,0)(．若边>>a b c ，且满足=+B A C 2sin sin sin ，求顶点B 的轨迹方程．【答案】+=−<<x x y 4312022)(【分析】根据正弦定理，结合椭圆的定义进行求解即可.【详解】根据正弦定理由=+⇒=+⇒+=>B A C b a c BA BC AC 2sin sin sin 24， 所以顶点B 的轨迹是以−A 1,0)(和点C 1,0)(为焦点的椭圆， 因此半焦距为1，半长轴长为2=，所以该椭圆的方程为+=x y 43122，设B x y ,)(，点B x y ,)(是三角形的顶点，所以−<<x 22又因为>>a b c ，所以<>⇒−<<⎪+=⎧x x y 222043122，所以顶点B 的轨迹方程为+=−<<x x y 4312022)(.41．如图，在圆+=x y 922上任取一点P ，过点P 向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.【答案】+=x y 499122【分析】根据相关点代入法求得M 的轨迹方程.【详解】设点M 的坐标为x y ,)(，点P 的坐标为x y ,00)(， 则=x x 0，=y y 2. 因为点P x y ,00)(在圆+=x y 922上，所以+=x y 90022.把=x x 0，=y y 20代入上述方程，得+=x y 4922.即所求轨迹方程为+=x y 499122. 点M 的轨迹是长轴长为6，短轴长为3的椭圆.重难点7椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值42．（多选）已知点F 为椭圆C ：+=x y 43122的左焦点，点P 为C 上的任意一点，点A 的坐标为1,3)(，则下列正确的是（ ）A ．+PA PFB ．+PA PF 的最大值为7C ．−PF PAD ．−PF PA 的最大值为1 【答案】ABD【分析】根据三点共线、椭圆的定义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，===a b c 2,1，所以−F 1,0)(，+PA PF 的最小值，即是AF 的长，当点P 在'P 位置时取到，所以+PA PF 的最小值为==AF A 正确； 设椭圆的右焦点为'F ，所以+=+−'PA PF PA PF 4， 则当点P 在''P 位置时取到最大值，所以+PA PF 的最大值为+=437，故B 正确； −PF PA 的最小值当P 在'''P 位置时取到，即−PF PA 的最小值为−=AF C 错误； 由−=−−=−+''P A A PF A P PF PF P 44()， 则当点P 在''''P 位置时取到最大值，所以−PF PA 的最大值为−=431，故D 正确. 故选:ABD43．已知椭圆+=C x y 32:122的左、右焦点分别为F F M ,,12为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：−+−=x y (5)(3)122上任意一点，则−MN MF 1的最小值为 .【答案】−4【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得≥−MN ME ||||1，再结合椭圆定义将−MN MF 1化为+−MN MF ||||2≥−MN ME ||||1以及图形的几何性质即可求得答案.【详解】由题意知M 为椭圆+=C x y 32:122上任意一点，N 为圆E ：−+−=x y (5)(3)122上故F E 105,,,32)()(，故+=≥−MF MF MN ME ||||||||112，当且仅当M N E ,,共线时取等号，所以=−−N F N MF M M M ||||21)(=+−≥+−≥−MN MF ME MF EF ||||||||1||1222，当且仅当M N E F ,,,2共线时取等号，而=EF ||52,故−MN MF 1的最小值为−=−514，故答案为：−444．设F 1是椭圆+=x y95122的左焦点，P 为椭圆上任一点，点Q 的坐标为−1,4)(，则+PQ PF 1的最大值为 .【答案】11【分析】先确定焦点的坐标，再利用椭圆的定义转化，结合线段差的特点可得答案.【详解】由题意可得==a b 3,===c 2， 所以−F F 2,0,2,012)()(, 因为+==PF PF a ||||2612，所以+=−+≤+PF PQ PF PQ QF ||||6||||6||122;因为==QF ||52，所以+≤PF PQ ||||111.45．已知椭圆C ：+=x y 43122的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆C 上任意一点，N 为圆E ：−+−=x y 32122)()(上任意一点，则−MN MF 1的最小值为 .【答案】5/−+5【分析】根据椭圆定义可将−MN MF 1转化为+−MN MF ||||42，再根据≥−MN ME ||||1可得−MN MF 1的最小值为−EF ||52，结合两点间距离公式即得答案. 【详解】由题意椭圆C ：+=x y 43122，M 为椭圆C 上任意一，N 为圆E ：−+−=x y 32122)()(上任意一点，故+=≥−MF MF MN ME ,||||4||||112，当且仅当M N E ,,共线时等号成立， 故−=−−=+−MN MF MN MF MN MF ||||||4||||||4|122)( ≥+−≥−ME MF EF ||||5||522，当且仅当M N E F ,,,2共线时等号成立，而F E 3,10,,22)()(，故EF ||2即−MN MF 1的最小值为5，故答案为：546．已知椭圆C ：+=x y 2516122，F 1，F 2为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，点A 的坐标为（2，1），则+PA PF 1的范围为 ．【答案】[10【分析】利用椭圆定义可得=−PF PF 1012，再根据三角形三边长的关系可知，当A P F ,,2共线时即可取得+PA PF 1最值.【详解】由椭圆标准方程可知==a c 5,3，−F F (3,0),(3,0)12又点P 在椭圆上，根据椭圆定义可得+==PF PF a 21012，所以=−PF PF 1012 所以+=+−PA PF PA PF 1012易知−≤−≤AF PA PF AF 222，当且仅当A P F ,,2三点共线时等号成立；又==AF 2≤+≤PA PF 10101；即+PA PF 1的范围为[10.故答案为：[1047．椭圆+=C x y 2516:122，F F ,12是左、右焦点，点Q 2,2)(，点P 为椭圆上一动点，则＋PF PQ 1的最大值为 ，最小值为 ．【答案】 1010 1010【分析】根据椭圆的定义进行转化，结合图象求得＋PF PQ 1的取值范围，进而确定正确答案.【详解】椭圆+=C x y 2516:122，∴===a b c 5,4,3，∴−F F 033,0,,12)()(.如图所示，点Q 在椭圆内部，∵点P 为椭圆上的点，则+==PF PF a 21012，∴=−PF PF 1012， ∵＋=−+PF PF PQ PQ 1021，又−≤=PQ PF QF 22≤−≤PQ PF 2即＋⎣∈⎡PF PQ 101.故答案为：+101048．已知A (4,0)､B (2,2)是椭圆+=x y259122内的点，M 是椭圆上的动点，则+MA MB ||||的最大值为 ；最小值为 .【答案】 +1010 −10/−10【分析】由题意可得A 为椭圆右焦点，设左焦点为−F (4,0)，B 在椭圆内，根据椭圆的定义得+=+−MA MB MB MF ||||10||||，由图可知当M 在直线BF 与椭圆交点上时，+MA MB ||||取得最值.【详解】由题意可得A 为椭圆右焦点，设左焦点为−F (4,0)，B 在椭圆内， 则由椭圆定义+==MA MF a ||||210， 于是+=+−MA MB MB MF ||||10||||.当M 不在直线BF 与椭圆交点上时，M ､F ､B 三点构成三角形， 于是−<MB MF BF ||||||，而当M 在直线BF 与椭圆交点上时， 在第一象限交点时，有−=−MB MF BF ||||||， 在第三象限交点时有−=MB MF BF ||||||.显然当M 在直线BF 与椭圆第一象限交点时，+MA MB ||||有最小值，其最小值为+=+−=−==−MA MB MB MF BF 10101010当M 在直线BF 与椭圆第三象限交点时，+MA MB ||||有最大值，其最大值为+=+−=+==+MA MB MB MF BF ||||10||||10||1010故答案为：+10−10.。

第五节椭圆第1课时椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于01常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的03焦距．2．椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围04－a≤x≤a且－b≤y≤b05－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点06A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)07A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为082b，长轴长为092a焦点10F1(－c，0)，F2(c，0)11F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝122c对称性对称轴：13x轴和y轴，对称中心：14原点离心率e＝ca(0<e<1)a，b，c的关系15a2＝b2＋c2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．(2)S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．()(3)y2 m2＋x2n2＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相等．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1T3改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32答案D解析把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得y 214＋x 2116＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T5改编)已知点P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的一点，B 1，B 2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB 1B 2的面积为6，则满足条件的点P 的个数为()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析在椭圆x 216＋y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，则短轴|B 1B 2|＝2b ＝6，设椭圆上点P 的坐标为(m ，n )，由△PB 1B 2的面积为6，得12|B 1B 2|·|m |＝6，解得m ＝±2，将m ＝±2代入椭圆方程，得n ＝±332，所以符合题意的点P ，22，共4个满足条件的点P .故选C.(3)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T1改编)已知点M (x ，y )在运动过程中，总满足关系式x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8，则点M 的轨迹方程为________________．答案x 212＋y 216＝1解析因为x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8>4，所以点M 的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，由题意得2a ＝8，即a ＝4，则b 2＝a 2－c 2＝12，所以点M 的轨迹方程为x 212＋y 216＝1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T4改编)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则椭圆C 的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可)．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以ca＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a2＝14，则b 2a 2＝34.所以椭圆C 的方程可以为x 24＋y 23＝1(答案不唯一)．考点探究——提素养考点一椭圆的定义及其应用(多考向探究)考向1利用椭圆的定义求轨迹方程例1(2024·山东烟台一中质检)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案x 29＋y 25＝1解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，故所求的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.【通性通法】在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程．【巩固迁移】1．△ABC 的两个顶点为A (－3，0)，B (3，0)，△ABC 的周长为16，则顶点C 的轨迹方程为()A ．x 225＋y 216＝1(y ≠0)B ．y 225＋x 216＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题意，知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故顶点C 的轨迹为以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.其方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．故选A.考向2利用椭圆的定义解决焦点三角形问题例2(1)如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案43解析因为a 2＝3，所以a ＝ 3.△ABC 的周长为|AC |＋|AB |＋|BC |＝|AC |＋|CF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ＝43.(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．答案433解析解法一：由题意，知c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos60°＝4a 2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－16，∴|PF 1||PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×163×32＝433解法二：S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝4tan30°＝433.【通性通法】将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题．【巩固迁移】2．(2023·全国甲卷)已知椭圆x 29＋y 26＝1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos∠F 1PF 2＝35，则|PO |＝()A ．25B ．302C ．35D ．352答案B解析解法一：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1||PF 2|＝152，|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，而PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)，所以|PO |＝|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|，即|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|＝12|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝1221＋2×152×35＝302.故选B.解法二：设∠F 1PF 2＝2θ，0＜θ＜π2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan∠F 1PF 22＝b 2tan θ，由cos ∠F 1PF 2＝cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝35，解得tan θ＝12.由椭圆的方程可知，a 2＝9，b 2＝6，c 2＝a 2－b 2＝3，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y P |＝12×23×|y P |＝6×12，解得y 2P ＝3，所以x 2P ＝＝92，因此|PO |＝x 2P ＋y 2P ＝3＋92＝302.故选B.解法三：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO |)2＋|F 1F 2|2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝42，易知|F 1F 2|＝23，解得|PO |＝302.故选B.考向3利用椭圆的定义求最值例3已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216＋y 212＝1的两个焦点，点M ，N 在C 上，若|MF 2|＋|NF 2|＝6，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为()A ．9B ．20C ．25D ．30答案C解析根据椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝8，|NF 1|＋|NF 2|＝8，因为|MF 2|＋|NF 2|＝6，所以8－|MF 1|＋8－|NF 1|＝6，即|MF 1|＋|NF 1|＝10≥2|MF 1|·|NF 1|，当且仅当|MF 1|＝|NF 1|＝5时，等号成立，所以|MF 1|·|NF 1|≤25，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为25.故选C.【通性通法】在椭圆中，结合|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值．【巩固迁移】3．(2024·河北邯郸模拟)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－2解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆的右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2或最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.考点二椭圆的标准方程例4(1)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则椭圆C 的方程为()A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 29＋y 26＝1D ．x 25＋y 24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，∴将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 221.故选B.(2)(2024·山西大同模拟)过点(2，－3)，且与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________．答案x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1解析椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是e ＝12，当焦点在x 轴上时，设所求椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋3b 2＝1，2＝8，2＝6，∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1；当焦点在y 轴上时，设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋4b 2＝1，2＝253，2＝254，∴所求椭圆的标准方程为y 2253＋x 2254＝1.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.【通性通法】1．求椭圆方程的常用方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．2．椭圆标准方程的两个应用(1)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2a 2＋y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ>0)有相同的离心率．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k ＝1(a >b >0，k ＋b 2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便．【巩固迁移】4．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)的两个焦点，若P |PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆C 的方程为________________．答案x 24＋y 23＝1解析由|PF 1|＋|PF 2|＝4得2a ＝4，解得a＝2.又P C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，所以1222＋1，解得b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点，则该椭圆的方程为________________．答案x29＋y23＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，m＋n＝1，m＋2n＝1，＝19，＝13.所以所求椭圆的方程为x29＋y23＝1.考点三椭圆的简单几何性质(多考向探究)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距例5已知椭圆x225＋y29＝1与椭圆x225－k＋y29－k＝1(k<9，且k≠0)，则两椭圆必定() A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．有相同的离心率答案B解析由椭圆x225＋y29＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，所以长轴长是10，短轴长是6，焦距是8.在椭圆x225－k＋y29－k1(k<9，且k≠0)中，因为a1＝25－k，b1＝9－k，c1＝4，所以其长轴长是225－k，短轴长是29－k，焦距是8.所以两椭圆有相等的焦距．故选B.【通性通法】求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为()A．2B．23C．233D．4答案C解析因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，所以a＝2c，所以b2＝a 2－c 2＝3c 2，所以b ＝3c ，故2a 2b ＝a b ＝2c 3c ＝233，所以长轴长与短轴长之比为233.故选C.7．(2024·河北沧州统考期末)焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 23＝1的长轴长为43，则其焦距为________．答案6解析由题意，得2a ＝43，所以a 2＝12，c 2＝a 2－b 2＝12－3＝9，解得c ＝3，故焦距2c ＝6.考向2椭圆的离心率例6(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为________．答案33解析由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x＝c ，由椭圆的对称性，可设它与椭圆的交点为，因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，又|AF 1|＝|BF 1|，则△AF 1B 为等边三角形．解法一：由|F 1F 2|＝3|AF 2|，可知2c ＝3·b 2a ，即3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．解法二：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AF 1|＝|BF 1|＝|AB |＝43a ，又|AF 1|sin60°＝|F 1F 2|，所以43a ×322c ，解得c a ＝33，即e ＝33.解法三：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AB |＝|AF 1|＝|BF 1|＝43a ，即2b 2a ＝43a ，即2a 2＝3b 2，所以e ＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝33.(2)(2024·广东七校联考)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．解法一：设M (x 0，y 0)，MF 1→·MF 2→＝0⇒(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝0⇒x 20－c 2＋y 20＝0⇒y 20＝c2－x 20，点M (x 0，y 0)在椭圆内部，有x 20a 2＋y 20b 2<1⇒b 2x 20＋a 2(c 2－x 20)－a 2b 2<0⇒x 20>2a 2－a 4c2，要想该不等式恒成立，只需2a 2－a 4c 2<0⇒2a 2c 2<a 4⇒2c 2<a 2⇒e ＝c a <22，而e >0⇒0<e <22，即椭圆离心解法二：由MF 1→·MF 2→＝0，可知点M 在以F 1F 2为直径的圆上，即圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内部，所以c <b ，则c 2<b 2，即c 2<a 2－c 2，所以2c 2<a 2，即e 2<12，又e >0，所以0<e <22，【通性通法】求椭圆离心率的方法方法一直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解方法二由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解方法三构造a ，c 的齐次式，可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e注意：解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式．【巩固迁移】8．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，C 2：x 24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．6答案A解析由e 2＝3e 1，得e 22＝3e 21，因此4－14＝3×a 2－1a 2，而a >1，所以a ＝233.故选A.9．(2024·广东六校联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是________．答案33，解析设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2，得|PF 2|＝|F 1F 2|，即2c ，得m 2＝4c 2＝－a 4c2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1，即椭圆离心率的取值范围是33，考向3与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题例7(2024·石家庄质检)设点M 是椭圆C ：x 29＋y 28＝1上的动点，点N 是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，且直线MN 与圆E 相切，则|MN |的最小值是________．答案3解析由题意知，圆E 的圆心为E (1，0)，半径为1.因为直线MN 与圆E 相切于点N ，所以NE ⊥MN ，且|NE |＝1.又E (1，0)为椭圆C 的右焦点，所以2≤|ME |≤4，所以当|ME |＝2时，|MN |取得最小值，又|MN |＝|ME |2－|NE |2，所以|MN |min ＝22－12＝ 3.【通性通法】与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略【巩固迁移】10．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意，知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.因为F (－1，0)，A (2，0)，所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.课时作业一、单项选择题1．已知动点M 到两个定点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为()A ．x 29＋y 2＝1B ．y 29＋x 25＝1C ．y 29＋x 2＝1D ．x 29＋y 25＝1答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.故选D.2．(2024·九省联考)椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为12，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．2答案A解析由题意得e ＝a 2－1a＝12，解得a ＝233.故选A ．3．(2024·河南信阳模拟)与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是()A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1答案B解析由9x 2＋4y 2＝36，可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e k 的取值范围是()A ．(0，3)BC ．(0，3)D ．(0，2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件，知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件，知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C.5．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部，且与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是()A ．x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1答案D解析设动圆的圆心M (x ，y )，半径为r ，因为圆M 与圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169内切，与圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9外切，所以|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r .因为|MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，由椭圆的定义，知M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝82－42＝48，动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.故选D.6．(2023·全国甲卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 25＋y 2＝1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝()A ．1B ．2C ．4D ．5答案B解析解法一：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，从而S △F 1PF 2＝b 2tan45°＝1＝12|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.解法二：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，由椭圆方程可知，c 2＝5－1＝4⇒c ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝42＝16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝16＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.7．(2023·甘肃兰州三模)设椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，△ABF周长的最大值为()A ．4＋5B ．6C ．25＋2D ．8答案D解析设F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF |＋|BF |＋|AB |＝2a －|AF 1|＋2a －|BF 1|＋|AB |＝4a ＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝8＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|，当A ，B ，F 1三点共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝0，当A ，B ，F 1三点不共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|<0，所以当A ，B ，F 1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值8.8．(2024·安徽三市联考)已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P ，Q 为C 上两点，2PF 2→＝3F 2Q →，若PF 1→⊥PF 2→，则C 的离心率为()A ．35B ．45C ．135D ．175答案D解析设|PF 2→|＝3m ，则|QF 2→|＝2m ，|PF 1→|＝2a －3m ，|QF 1→|＝2a －2m ，|PQ |＝5m ，在△PQF 1中，得(2a －3m )2＋25m 2＝(2a －2m )2，即m ＝215a .因此|PF 2→|＝25a ，|PF 1→|＝85a ，|F 2F 1→|＝2c ，在△PF 1F 2中，得6425a 2＋425a 2＝4c 2，故17a 2＝25c 2，所以e ＝175.故选D.二、多项选择题9．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下列说法中正确的是()A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1＜k ＜4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1＜k ＜2.5”的充要条件答案CD解析对于A ，当1＜k ＜4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，A 错误；对于B ，当k ＝2.5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，－k >0，－1>0，－1>4－k ，解得2.5＜k ＜4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，－1>0，－k >0，－k >k －1，解得1＜k ＜2.5，D 正确．故选CD.10．(2024·海口模拟)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为6答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |，∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6，为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，∵|AF |＋|BF |为定值6，|AB |的取值范围是6)，∴△周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，解得－332，又F (6，0)，∴AF →·BF →＝0，∴AF ⊥BF ，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)，∴S △ABF＝12×26×1＝6，D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·四川南充三诊)若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．答案14解析将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m，b 2＝1，所以a ＝1m ，b ＝1，所以1m＝2，m ＝14.12．(2024·南昌模拟)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，c ＝22－2，＝22，＝22，＝2，从而a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.13．(2024·河南名校教研联盟押题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，下顶点为A ，AF 的延长线交C 于点B ，若|AF |∶|BF |＝2∶1，则C 的离心率为________．答案33解析解法一：如图，设椭圆C 的右焦点为F ′，则|AF |＝|AF ′|＝a ，因为|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BF |＝a 2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝3a 2，又|BF |＋|BF ′|＝2a ，所以|BF ′|＝2a －|BF |＝3a2，由余弦定理可知cos ∠BAF ′＝|AB |2＋|AF ′|2－|BF ′|22|AB ||AF ′|＝13，设O 为坐标原点，椭圆C 的焦距为2c ，则离心率e ＝ca ＝sin ∠OAF ′，因为∠BAF ′＝2∠OAF ′，故cos ∠BAF ′＝1－2sin 2∠OAF ′＝1－2e 2，所以e ＝33.解法二：设B 在x 轴上的射影为D ，由于|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BD |＝|OA |2＝b 2，|FD |＝|OF |2＝c 2，即－3c 2，将B 的坐标代入C 的方程，得9c 24a 2＋b 24b 2＝1，得e ＝33.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________．答案[1，4]解析由已知，得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32，∴a －c＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1|·|PF 2|＝2a|PF 1|（2a －|PF 1|）＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1，4]．四、解答题15．(2024·辽宁阜新校考期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 1P C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A (0，－1)，点M 是椭圆C 上任意一点，求|MA |的最大值．解(1)因为P 3，P 4关于坐标轴对称，所以P 3，P 4必在椭圆C 上，有1a 2＋34b 2＝1，将点P 1(1，1)代入椭圆方程得1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2＝1，所以P 1(1，1)不在椭圆C 上，P 2(0，1)在椭圆C 上，所以b 2＝1，a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)点A (0，－1)是椭圆C 的下顶点，设椭圆上的点M (x 0，y 0)(－1≤y 0≤1)，则x 204＋y 20＝1，即x 20＝4－4y 20，所以|MA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＝4－4y 20＋(y 0＋1)2＝－3y 20＋2y 0＋5＝－0＋163，又函数y ＝－＋163在∞，＋，所以当y 0＝13时，|MA |2取到最大值，为163，故|MA |的最大值为433.16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的标准方程．解(1)由题意，得A (－a ，0)，直线EF 2的方程为x ＋y ＝c ，因为A 到直线EF 2的距离为62b ，即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)，所以2c 2＋ac －a 2＝0，因为离心率e ＝ca ，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，所以12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝3，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°＝（2c ）2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②，得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.17．(多选)(2023·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆CD ．若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17答案ACD解析由题意知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |，又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以b ＞1，2b ＞2，所以B 错误；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2－a 2b 2＜0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)＜0，化简可得a 4－3a 2＋1＞0(a >1)，解得a 2＞3＋52或a 2＜3－52(舍去)，则椭圆C 的离心率e ＝ca＜13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 所以C 正确；由PF 1→＝F 1Q →可得，F 1为PQ 的中点，而P (1，1)，F 1(－1，0)，所以Q (－3，－1)，|QF 1|＋|QF 2|＝（－3＋1）2＋（－1－0）2＋（－3－1）2＋（－1－0）2＝5＋17＝2a ，所以D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·辽宁大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是()A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±453答案CD解析由椭圆方程，知a ＝4，b ＝3，c ＝7，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误；当P 在椭圆上、下顶点时，cos ∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2的最大值小于π2，B 错误；若P (x ′，y ′)，则k P A 1＝y ′x ′＋4，k P A 2＝y ′x ′－4，有k P A 1·k P A 2＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)，即有k P A 1·k P A 2＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27，即2c ·|y ′|2＝27，故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 正确．故选CD.19．(2023·河北邯郸二模)已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为B ，线段BF 的中垂线交C 于M ，N 两点，交y 轴于点P ，BP →＝2PO →，△BMN 的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解如图，由题意可得|BP |＝23b ，|PO |＝13b ，连接PF .由题意可知|BP |＝|PF |，在Rt △POF 中，由勾股定理，得|PO |2＋|OF |2＝|PF |2，＋c 2，整理得b 2＝3c 2，所以a 2－c 2＝3c 2，即a 2＝4c 2，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.在Rt △BOF 中，cos ∠BFO ＝|OF ||BF |＝c a ＝12，所以∠BFO ＝60°.设直线MN 交x 轴于点F ′，交BF 于点H ，在Rt △HFF ′中，有|FF ′|＝|HF |cos ∠BFO ＝a ＝2c ，所以F ′为椭圆C 的左焦点，又|MB |＝|MF |，|NB |＝|NF |，所以△BMN 的周长等于△FMN 的周长，又△FMN 的周长为4a ，所以4a ＝16，解得a ＝4.所以c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.20．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解(1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23.又因为|PF 1|·|PF 2|＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)，所以c a ≥12，所以e ≥12.又因为0<e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是12，(2)证明：由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2，所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。

椭圆及其标准方程【题型Ⅰ】椭圆及其标准方程 1、若点M 到两定点F 1（0，-1），F 2（0，1）的距离之和为2，则点M 的轨迹是（ ）A .椭圆B .直线21F FC .线段21F FD .线段21F F 的中垂线.变式：6.=表示的曲线为________2、两焦点为)0,3(1-F ，)0,3(2F ，且过点)4,0(A 的椭圆方程是（ ）A ．191622=+y x B ．1162522=+y x C ．192522=+y x D ．以上都不对练习：椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为32，长轴长为6，则椭圆方程为（ ） A ．1203622=+y x B ．15922=+y x C ．15922=+y x 或19522=+y x D ．1362022=+y x 或1203622=+y x3、与圆1)1(22=++y x 外切，且与圆9)1(22=+-y x 内切的动圆圆心的轨迹方程是__________。

练习：已知圆()1003:22=++y x A ，圆A 内一定点B （3，0），圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程.4、椭圆192522=+y x 的左、右焦点为1F 、2F ，1ABF ∆的顶点A 、B 在椭圆上，且边AB 经过右焦点2F ，则1ABF ∆的周长是__________。

练习：已知三角形PAB 的周长为12，其中A(-3,0),B(3,0),求动点P 的轨迹方程5、已知椭圆22121F F A ,195x y +=，，分别为椭圆的左右焦点，点（1）为椭圆内一点，1P PA +PF 点位椭圆上一点，求的最大值6、求与椭圆141622=+y x 有相同焦点，且过点)6,5(--P 的椭圆方程。

练习：若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x7、经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 .变式：方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号 （C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆【题型Ⅱ】椭圆的几何性质8、曲线192522=+y x 与)9(192522<=-+-k ky k x 之间有（ ） A ．相同的长短轴 B ．相同的焦距C ．相同的离心率D ．相同的短轴长练习：椭圆22125x y m m +=-+的焦点坐标是（ ） （A ）(±7, 0) （B ）(0, ±7) （C ）(±7,0) （D ）(0, ±7)9、设椭圆的标准方程为22135x y k k+=--，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是 （A ）k >3 （B ）3<k <5 （C ）4<k <5 （D ）3<k <4练习：⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈20,a ，方程122=α+αcos y sin x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是（A ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛π40, （B ） ⎥⎦⎤⎝⎛π40, （C ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ24, （D ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ24, （ ）10、椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点，是一个含︒60角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ） A ．21 B ．23 C ．33 D ．21或23练习：如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （A ）53 （B ）312 （C ）43 （D ）91011、设P 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，1F 、2F 为焦点，若︒=∠7521F PF ，︒=∠1512F PF ，则椭圆的离心率为（ ）A ．22 B ．23 C ．32 D ．36练习：1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF ⊥1，且||||1PQ PF =，则椭圆的离心率_________.12、椭圆12222=+by a x (a >b >0)长轴的右端点为A ，若椭圆上存在一点P ，使∠APO =90°，求此椭圆的离心率的取值范围。