【精品】高中数学选修1-1 椭圆及其标准方程 知识讲解 讲义+巩固练习

9.椭圆及其标准方程教学目标 班级____姓名________1.掌握椭圆的定义、标准方程及图形.2.能完成简单的椭圆计算问题.教学过程一、椭圆的标准方程.1.椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点1F 、2F 叫做椭圆的焦点. 两焦点的距离||21F F 叫做椭圆的焦距. 要点归纳：（1）在平面内；（2）a PF PF 2||||21=+（P 为椭圆上任意一点，a 为常数）； （3）c F F 2||21=；（4）||||||2121F F PF PF >+.2.椭圆定义的应用：（1）判断：符合该定义的轨迹是椭圆；（可用待定系数法求椭圆方程）（2）求值：a PF PF 2||||21=+（可求a 的值）. 3.椭圆的标准方程：焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 )0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a b x a y 图象焦点坐标 （-c ，0）和（c ，0） （0，-c ）和（0，c ） a 、b 、c 的关系c F F 2||21=，222b a c -=4.椭圆中的a ，b ，c .（1）椭圆中a 最大，b 、c 大小不确定，满足222c b a =-；（2）椭圆标准方程：①左边平方和，右边为1；②分母大的为2a ，分母小的为2b ；③2a 作谁的分母，焦点就在什么轴上.二、例题分析.1.椭圆的定义.例1：已知1F 、2F 为定点，8||21=F F ，动点M 满足8||||21=+MF MF ，则点M 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段练1：已知椭圆1162522=+y x 的焦点为1F 、2F ，直线CD 过点1F ，交椭圆于C 、D 两点，则CD F 2∆的周长为______.3.椭圆中的参数问题.例3：已知方程110422=---k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围.练3：若方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围.作业：椭圆19822=++y k x 中c a 2=，求实数k 的值.。

椭圆及标准方程、几何性质一、椭圆定义及标准方程【知识要点】 1. 椭圆的定义第一定义：平面内,到两定点21,F F 距离之和等于定长（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆. 第二定义：平面内与一定点F 和一条定直线)(l F l ∉的距离之比是常数))1,0((∈e e 的点的轨迹叫椭圆. 2. 椭圆的方程(1)标准方程: )0(12222>>=+b a b y a x 或 )0(12222>>=+b a by a y(2)一般方程：),0,0(122B A B A By Ax ≠>>=+ 【基础训练】1．已知点)2,0(1-F ,)2,0(2F ，动点P 满足621=+PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ） A.椭圆B.双曲线C.线段D.射线2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.2B.3C.4D.53．到两定点)0,2(),0,2(B A -的距离之和为8的动点的轨迹方程为 。

4．两个焦点的坐标分别为)0,2(),0,2(-，并且经过)3,2(的椭圆的标准方程是 。

【典例精析】例1．【标准方程的识别】方程13522=++-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的范围是（ ）A.53<<-mB.51<<mC.13<<-mD.43<<-m 例2．【求标准方程】根据下列条件分别求出椭圆的的方程. (1)和椭圆364922=+y x 有相同的焦点,经过点)3,2(-Q .(2)中心在原点,焦点在x 轴上,从一个焦点看短轴的两端点的视角为直角且这个焦点到长轴上较近的顶点的距离为510-.例3．（2011全国）在平面直角坐标系中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为22 过点1F 的直线l 交C 于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 。

§2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程(一)学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．梳理焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b21．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(×)2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(×)3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(√)类型一椭圆的标准方程命题角度1求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B⎝⎛⎭⎫12，3；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x225＋y29＝1有共同的焦点．考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解(1)方法一当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∵点A(0,2)，B⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4b2＝1，⎝⎛⎭⎫122a2＋(3)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，b2＝4，这与a>b相矛盾，故应舍去．当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为a 2b 2∵点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1， 综上可知，椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. 方法二 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝1，14m ＋3n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，故椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. (2)方法一 椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得 2a ＝(3＋4)2＋(15－0)2＋(3－4)2＋(15－0)2，∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二 由题意可设椭圆的标准方程为 x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得25＋λ9＋λ解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a ，b ，c 的等量关系；④求a ，b 的值，代入所设方程．特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )， ∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，∴代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.命题角度2 由标准方程求参数(或其取值范围)例2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 (0,1)解析 ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1.反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式； (2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2 (1)已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为________．考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 (7,10)解析 化成椭圆标准形式得x 2k －4＋y 210－k ＝1，根据其表示焦点在x 轴上的椭圆， 得⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.(2)已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝_______________.考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 4或8解析 ①当焦点在x 轴上时，10－m －(m －2)＝4， 解得m ＝4.②当焦点在y 轴上时，m －2－(10－m )＝4， 解得m ＝8. ∴m ＝4或8.类型二 椭圆定义的应用例3 已知P 为椭圆x 212＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 解 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝43， 即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3. 引申探究若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠F 1PF 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． 解 由椭圆x 212＋y 23＝1，知|PF 1|＋|PF 2|＝43，|F 1F 2|＝6，因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝36， 所以|PF 1|·|PF 2|＝6， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝3. 反思与感悟 (1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量． (2)焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练3 已知AB 是过椭圆49x 2＋y 2＝1的左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝4，其中F 2为椭圆的右焦点，则|AB |＝________. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 2解析 由椭圆定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6. 所以|AF 1|＋|BF 1|＝6－4＝2，即|AB |＝2.1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件考点 椭圆的定义 题点 由椭圆定义确定轨迹 答案 A解析 若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件． 2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2. 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，故|PF 2|＝8.3．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 A解析 c ＝1，a ＝12×((2＋1)2＋0＋(2－1)2＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________． 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 4解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，且PF 1⊥PF 2， ∴△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.5．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则m 满足的条件是________．考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >12且m ≠1 解析 由方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，解得m >12且m ≠1.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.一、选择题1．设椭圆x2m2＋y2m2－1＝1(m>1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m等于()A．6 B．3 C．2 D．4考点椭圆的标准方程题点给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 C解析∵m2>m2－1，∴椭圆焦点在x轴上，∴a＝m，则2m＝3＋1＝4，∴m＝2.2．设P是椭圆x216＋y212＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案 B解析由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，不妨设|PF1|>|PF2|，∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．3．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为() A．1 B．－1C. 5 D ．－ 5 考点 椭圆的标准方程 题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 A 解析 原方程可化简为x 2＋y 25k ＝1， 由c 2＝5k－1＝4，得k ＝1. 4．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( ) A ．2B ．8C ．4D.32考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 C解析 如图，F 2为椭圆右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8， ∴|ON |＝4.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 B解析 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝ 3.因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 6．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距答案 B解析 曲线x 225＋y 29＝1焦点在x 轴上．对于曲线x 29－k ＋y 225－k ＝1，∵0<k <9，∴25－k >9－k >0，∴焦点在y 轴上，故两者的焦点不同．∵25－9＝(25－k )－(9－k )＝16＝c 2，∴2c ＝8，故两者焦距相等．故选B.7．方程x 24＋m ＋y 22－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件是() A ．m ∈(－1,2)B ．m ∈(－4,2)C ．m ∈(－4，－1)∪(－1,2)D ．m ∈(－1，＋∞)考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 B解析 方程x 24＋m ＋y 22－m ＝1表示椭圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m >0，2－m >0，4＋m ≠2－m ，即m ∈(－4，－1)∪(－1,2)．由题意可得， 所求m 的取值范围包含集合(－4，－1)∪(－1,2)．观察选项，故选B.8．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233B.263C.33D. 3考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→，由|MF 1|＋|MF 2|＝4，①又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12，②由①与②可得，|MF 1|·|MF 2|＝2，设M 到x 轴的距离为h ，则|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|·h ，h ＝223＝33. 9．已知椭圆x 2100＋y 264＝1的左焦点为F ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长的最大值为( )A ．16B ．20C ．32D ．40考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 D解析 设右焦点为A ，一动直线与椭圆交于M ，N 两点，则△FMN 的周长l ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋2a －|MA |＋2a －|NA |＝4a ＋(|MN |－|MA |－|NA |)，由于|MA |＋|NA |≥|MN |，所以当M ，A ，N 三点共线时，△FMN 的周长取得最大值4a ＝40.二、填空题10．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________． 考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 3或5解析 当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5.当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3，∴m ＝3或5.11．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________． 考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 x 216＋y 212＝1 解析 方法一 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. 方法二 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. 12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 3解析 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12PF F S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9，又∵b >0，∴b ＝3.三、解答题13．求过点(0,4)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点的椭圆的方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 由9x 2＋4y 2＝36，得x 24＋y 29＝1，则c ＝9－4＝5，焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1，则a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝11，∴所求椭圆方程为x 211＋y 216＝1.四、探究与拓展14．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 方法一 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 方法二 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2. 由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a； 在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a. 依题意有b 2a＝3，得b 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1.15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题解 (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1.又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)如图所示，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35.。

椭圆1.椭圆的定义平面内与两个定点21F ,F 的距离之和等于常数（大于|F F |21）的点的轨迹叫做椭圆。

其中定点21F ,F 叫做椭圆的焦点，|F F |21叫做焦距.（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<4.直线与椭圆的位置关系设直线l 的方程为：Ax+By+C=0，椭圆12222=+by a x （a ﹥b ﹥0），联立组成方程组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定：（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； 5.弦长公式设直线b kxy +=与椭圆的交点坐标分别为)y ,x (A 11，)y ,x (B 22，则△=|AB ||x x |k 1212-+]x x 4)x x )[(k 1(212212-++=△2122122124)(1111y y y y ky y k AB -++=-+= 基础巩固：1.设P 是椭圆+=1上的点.若F 1、F 2是椭圆的两个焦点,|PF 1|=3,则|PF 2|等于_______.2.设F 1、F 2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM|=3,则P 点到椭圆左焦点距离为 .3.已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为_________________. 4.如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为_______________. 5.椭圆221625400x y +=的长轴长为__________，焦点坐标为_________________,上顶点坐标为6.已知椭圆的焦点在y 轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为8,离心离为,则此椭圆的标准方程为____________________.7.经过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 8．已知点F 1、F 2分别是椭圆+=1（k ＞﹣1）的左、右焦点，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的周长为8，则椭圆的离心率为____________.9.P 为椭圆+=1上一点,F 1,F 2为该椭圆的两个焦点,若∠F 1PF 2=60°,则·等于____________.10.若点O 和点F 分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则·的最大值为___________.例题讲解：例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两焦点坐标分别为（-3,0）和（3,0），且过点（3，516）. （2）经过)1,32(-和)2,3(-两点.（3）长轴长是短轴长的2倍，且过点)6,2(-.变式训练：求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点. （2）过点(3,0),离心率36e =.例2 椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A 、B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,求椭圆的离心率.变式训练：设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，求椭圆C 的离心率.例3 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，中心在原点，且其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．变式训练：已知椭圆C:12222=+b y a x (a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为22,直线y=k(x-1)与椭圆C 交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C 的方程; (2)当△AMN 的面积为310时,求k 的值.课后练习：1.已知△ABC 的顶点B,C 在椭圆1y 3x 22=+上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点F 在BC 边上,则△ABC 的周长是__________.2.已知椭圆的中心在原点,焦点在y 轴上,若其离心率为12,焦距为8,则该椭圆的方程是_________________. 3.已知椭圆，长轴在y 轴上、若焦距为4，则m 等于____________.4.已知椭圆C ：12222=+by a x (a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3)．则椭圆C 的方程为________________．5.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________.6.如图所示，F 1，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x (a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．。

►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 22.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆； 当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的状况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，依据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1． 3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C ) A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排解A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D. 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．。

2.1.1椭圆及其标准方程(二)学习目标加深理解椭圆的定义及其标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题．知识点椭圆方程的求法思考1用待定系数法求椭圆的标准方程x2a2＋y2b2＝1，需要几个独立条件？答案需要两个独立条件，因为方程中有两个独立参数a，b.思考2椭圆方程的求法，除待定系数法外，还有哪些方法？答案定义法、直接法等．梳理方法名称适用条件待定系数法已知是椭圆，且知椭圆长、短轴、焦点、焦距、或椭圆上的点等条件中的某些条件直接法等量关系比较明确(推导椭圆标准方程采用的就是直接法)定义法能得出动点到两定点的距离之和为定值相关点法所求动点与已知条件的另一动点存在坐标相关关系1．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×) 2．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√)3．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(×)类型一定义法求轨迹方程例1如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ，求点Q 的轨迹方程． 考点 椭圆的定义 题点 由椭圆定义确定轨迹解 ∵直线AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ， ∴|AQ |＝|PQ |，∴|AQ |＋|BQ |＝|PQ |＋|BQ |＝6>|AB |＝4， ∴点Q 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆， 且2a ＝6,2c ＝4，∴a ＝3，c ＝2，即b 2＝a 2－c 2＝5， ∴点Q 的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.反思与感悟 用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a ，b ，c .跟踪训练1 如图所示，已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 考点 椭圆的定义 题点 由椭圆定义确定轨迹解 设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动圆圆心P 到两定点A (－3,0)和B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8>|AB |，所以动圆圆心P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的椭圆，其中c ＝3，a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－32＝7，其轨迹方程为x 216＋y 27＝1. 类型二 相关点法求轨迹方程例2 已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法 题点 相关点法求轨迹方程解 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)．利用中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y . ∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1.将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式， 得(2x －1)24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝⎛⎭⎫x －122＋4y 2＝1. 反思与感悟 当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 跟踪训练2 如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 相关点法求轨迹方程解 设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25， 即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.该曲线表示焦点在x 轴上的椭圆．类型三 直接法求轨迹方程例3 如图，设点A ，B 的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是－34，求点M 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法 题点 直接法求椭圆方程解 设点M 的坐标为(x ，y )，因为点A 的坐标是(－2,0)， 所以直线AM 的斜率k AM ＝yx ＋2(x ≠－2)； 同理，直线BM 的斜率k BM ＝yx －2(x ≠2)． 由已知得y x ＋2×y x －2＝－34(x ≠±2)，化简，得点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．引申探究若将本例中的－34改为a (a <0)，曲线形状如何？解 设点M (x ，y )，则y x ＋2·yx －2＝a (x ≠±2)．化简得y 2－4a ＋x 24＝1(x ≠±2)．(1)当a ＝－1时，曲线表示圆x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，去掉两点(±2,0)． (2)当a ≠－1时，曲线表示椭圆，去掉两点(±2,0)． 当－1<a <0时，椭圆焦点在x 轴上； 当a <－1时，椭圆焦点在y 轴上．反思与感悟 通过本例的学习，体会椭圆的另一种生成方法：一个动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数(不等于－1)，轨迹即为椭圆，但要注意除去不符合题意的点． 跟踪训练3 已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|.求动点P 的轨迹C 的方程． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 直接法求椭圆方程 解 设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )， 由已知得－3(x －4)＝6(1－x )2＋(－y )2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x24＋y23＝1.即点P的轨迹C的方程是x24＋y23＝1.1．方程(x－2)2＋y2＋(x＋2)2＋y2＝10化简结果是()A.x225＋y216＝1 B.x225＋y221＝1C.x225＋y24＝1 D.y225＋x221＝1考点椭圆标准方程的求法题点定义法求椭圆的标准方程答案 B解析方程(x－2)2＋y2＋(x＋2)2＋y2＝10表示动点M(x，y)到两个定点(±2,0)的距离之和为定值10＝2a，且10>2＋2，由题意可得，动点M的轨迹是椭圆，且b2＝a2－c2＝52－22＝21，可得椭圆的方程为x225＋y221＝1，故选B.2．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－6,0)，B (6,0)，△ABC 的周长为32，则顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 2100＋y 264＝1 B.y 2100＋x 264＝1(y ≠0) C.x 236＋y 264＝1(y ≠0) D.x 2100＋y 264＝1(y ≠0) 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 D解析 由题意知|CA |＋|CB |＋|AB |＝32，又|AB |＝12， ∴|CA |＋|CB |＝20>|AB |，由椭圆定义知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(去掉长轴的两个端点)， 其方程为x 2100＋y 264＝1(y ≠0)．3．已知椭圆的两个焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．射线 D ．直线 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 A解析 由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∵|PQ |＝|PF 2|，∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ，即|F 1Q |＝2a ，则动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆．4．已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP 的中点Q 的轨迹方程为________．考点 椭圆标准方程的求法 题点 相关点法求轨迹方程 答案x 2＋y 22＝1 解析 由题意，设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )， ∵Q 为线段OP 的中点，∴由中点坐标公式得x ＝x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ，y 1＝2y ，∵P 是椭圆x 24＋y 28＝1上的点，∴x 214＋y 218＝1，即(2x )24＋(2y )28＝1， 化简得Q 点的轨迹方程为x 2＋y 22＝1. 5．已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线PP ′，垂足为P ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 相关点法求轨迹方程 解 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y . ∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，∴x 20＋y 20＝9. 将x 0＝x ，y 0＝3y 代入，得x 2＋9y 2＝9，即x 29＋y 2＝1. ∴点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 29＋y 2＝1.1．解答与椭圆有关的轨迹问题的一般思路是：2．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.一、选择题1．平面内，若点M 到定点F 1(0，－1)，F 2(0,1)的距离之和为2，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．直线F 1F 2C ．线段F 1F 2D ．直线F 1F 2的垂直平分线考点 椭圆的定义 题点 由椭圆定义确定轨迹 答案 C解析 由|MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|知，点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线 考点 椭圆的定义 题点 由椭圆定义确定轨迹 答案 B解析 设右焦点为F 2，由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆．3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2) 考点 椭圆标准方程的求法 题点 直接法求椭圆方程 答案 A解析 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ). 由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.4．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆的方程为( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 24＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 B解析 ∵△PF 1F 2的最大面积为12×2c ×b ＝12，即bc ＝12，又∵c ＝4，∴b ＝3， ∴a ＝5，∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1.5．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段考点 椭圆的定义 题点 由椭圆定义确定轨迹 答案 D 解析 ∵a ＋9a≥2a ·9a＝6， 当且仅当a ＝9a ，即a ＝3时取等号，∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|， 点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|， 点P 的轨迹是椭圆．6．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1 B. 2 C.32D. 3考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 D解析 当l ⊥x 轴时，|AF 2|＋|BF 2|的值最大， 此时，|AF 2|＝52，由椭圆定义知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 1|＝32，|F 1F 2|＝24－b 2.则|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2， 即254＝94＋4(4－b 2)， 解得b ＝ 3.7．长度为2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，点M 分AB 的比为23，则点M 的轨迹方程为( ) A.925x 2＋425y 2＝1 B.2536x 2＋2516y 2＝1 C.259x 2＋254y 2＝1 D.3625x 2＋1625y 2＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 相关点法求轨迹方程 答案 B解析 设点M 的坐标为(x ，y )，则A 的坐标为⎝⎛⎭⎫53x ，0，B 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，52y . 因为|AB |＝2，所以⎝⎛⎭⎫53x 2＋⎝⎛⎭⎫52y 2＝4， 即259x 2＋254y 2＝4， 所以点M 的轨迹方程是259x 2＋254y 2＝4.即2536x 2＋2516y 2＝1. 8．过已知圆内一个定点作圆C 与已知圆相切，则圆心C 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．圆或椭圆 D ．线段考点 椭圆的定义 题点 由椭圆定义确定轨迹 答案 C解析 如图，设已知圆的圆心为A ，半径为R ，圆内的定点为B ，动圆的半径为r .若点A 与点B 不重合，由于两圆相内切，则|AC |＝R －r ，由于r＝|BC |，∴|AC |＝R －|BC |⇒|CA |＋|CB |＝R .∴动点C 到两个定点A ，B 的距离和为常数R .∵B 为圆内的定点，∴|AB |<R .∴动点C 的轨迹为椭圆．若A ，B 重合为一点，则此时动点C 的轨迹为以已知圆的半径为直径的圆．二、填空题9．设△ABC 的三个顶点A ，B ，C 对应三边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c (a >b >c )成等差数列，A ，C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，则顶点B 的轨迹方程为_____________________． 考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 x 24＋y 23＝1(－2<x <0) 解析 设点B 的坐标为(x ，y )．∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，即|BC |＋|BA |＝2|AC |，∴|BC |＋|BA |＝4.根据椭圆的定义易知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1. 又∵a >b >c ，∴a >c ，即|BC |>|AB |，∴(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，∴x <0，∴点B 的轨迹是椭圆的一半，方程为x 24＋y 23＝1(x <0)． 又当x ＝－2时，点B ，A ，C 在同一直线上，不能构成△ABC ，∴x ≠－2.∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)． 10．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的___________倍．考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 7解析 依题意，不妨设椭圆的两个焦点坐标分别为 F 1(－3,0)，F 2(3,0)， 设P 点的坐标为(x 1，y 1)，由线段PF 1的中点的横坐标为0，知x 1－32＝0，∴x 1＝3. 把x 1＝3代入椭圆方程x 212＋y 23＝1， 得y 1＝±32， 即P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3，±32，∴|PF 2|＝|y 1|＝32. 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝43，∴|PF 1|＝43－|PF 2|＝43－32＝732. 即|PF 1|＝7|PF 2|.11．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ＋3，y )，b ＝(x －3，y )，且|a |＋|b |＝4，则点M (x ，y )的轨迹C 的方程是________________．考点 椭圆标准方程的求法题点 直接法求椭圆方程答案 x 24＋y 2＝1 解析 ∵a ＝(x ＋3，y )，b ＝(x －3，y )，|a |＋|b |＝4，∴(x ＋3)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝4，由椭圆的定义可知，M 点的轨迹是椭圆．则该椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. 12.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 2 3解析 由题意知34c 2＝3，则c ＝2， ∴P (1，3)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1， 得1b 2＋4＋3b2＝1，得b 2＝2 3. 三、解答题13．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 相关点法求椭圆的方程解 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2，又P 点在椭圆上， ∴⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b2＝1(a >b >0)． 四、探究与拓展14．已知△ABC 的顶点A (－2,0)和B (2,0)，顶点C 在椭圆x 216＋y 212＝1上，则sin A ＋sin B sin C ＝________.考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 2解析 ∵A (－2,0)和B (2,0)，顶点C 在椭圆x 216＋y 212＝1上， ∴|CA |＋|CB |＝8，|AB |＝4，∴由正弦定理得，sin A ＋sin B sin C ＝|CB |＋|CA ||AB |＝84＝2. 15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，且a ＝2，c ＝1的椭圆(左顶点除外)，其方程为 x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．。

课题：椭圆及其标准方程（第一课时）教材：人教版普通高中课程标准试验教科书——数学（选修1-1）第二章第一节 1、教学目标知识目标——理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；会根据条件写出椭圆的标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，再次熟悉求曲线方程的一般方法．能力目标——提高动手能力、合作学习能力和运用知识解决实际问题的能力，体会数形结合的基本思想。

情感目标——在形成知识、提高能力的过程中，让学生体验数学发现和创造是历程，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

2、教学重点与难点教学重点——椭圆的定义及其标准方程 教学难点——椭圆标准方程的推导 3、教法与学法教学方法——探究式教学教学手段——使用多媒体辅助教学与自制教具相结合 学习方法——动手实践、自主探索与合作交流教具准备 圆形白纸、硬纸板、图钉、细绳（10cm ） 4教学过程思路： 具体 一般 一般抽象环节教学内容教师活动 学生活动 设计意图情境引入阶段 10 分钟情境引入：生活中充满美，各种各样不同的形状将生活变得多姿多彩。

（图片展示）有些形状我们很容易就能画出来，而有些则不然。

同学们能只用尺子画出椭圆吗？今天我教大家用纸折出一个椭圆来。

折纸游戏：（5分钟）几何画板展示：将圆周上的点增多，让学生进一步确认。

请学生将圆形纸片拿出来， 并按如下步骤进行操作： 1．将圆心记作点1F ，然后在圆内任取一定点2F ，如图 2．在圆周上任取10个点记作12310N N N N 、、…… 3．折叠圆形纸片，使点1N 与点2F 重合，将折痕画出来；依此类推，直至点10N 与点2F 重合。

4．观察折痕围成的形状，你有何发现？问题：这个椭圆实际上是由折痕上的点围成，这些点又是怎么形成的呢？请大家将圆周上的点与圆心连接，看看。

跟着老师完成折纸，并观察所得图形，得到：围成的形状近似一个椭圆。

根据教师提示进行连线，并发现围成椭圆的点是折痕与相应圆半径的交点。

选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》§2.1.1 椭圆及其标准方程【知识要点】● 椭圆的定义：到两个定点 F 1、F 2的距离之和等于定长（12F F >）的点的轨迹．● 标准方程：（1）()222210x y a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（－c ，0），F 2（c ，0）；（2）()222210y x a b a b+=>>，22c a b =-，焦点是 F 1（0，－c ），F 2（0，c ）．【例题精讲】【例 1】两个焦点坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10，写出椭圆的标准方程．【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0，2）且过35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求椭圆的标准方程．点评：题（1）根据定义求．若将焦点改为(0，－4)、(0，4)其结果如何；题（2）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．【例 3】判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出 a ，b ，c 的值．【例4】已知ΔABC 的一边BC 的长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．【基础达标】1．椭圆221259x y +=上一点 P 到一个焦点的距离为 5，则 P 到另一个焦点的距离为（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．102．椭圆2211312x y +=上任一点 P 到两个焦点的距离的和为（ ） A ．26 B ．24 C ．2 D ．2133．已知 F 1，F 2是椭圆221259x y +=的两个焦点，过 F 1的直线交椭圆于 M ，N 两点，则△MNF 2周长为（ ）A ．10B ．16C ．20D ．324．椭圆的两个焦点分别是F 1(－8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20，则此椭圆的 标准方程为（ ）A ．2212012x y += B ．22140036x y += C ．22110036x y += D ．22136100x y +=5．椭圆2214x y m +=的焦距是 2，则 m 的值为（ ） A ．5或 3 B ．8 C ．5 D ．166．椭圆221169x y +=的焦距是 ，焦点坐标为 ． 7．焦点为（0，4）和（0，－4），且过点()533，-的椭圆方程是 ．1～5 ADCCA【能力提高】8．如果方程 x 2+ky 2=2表示焦点在 y 轴上的椭圆，求实数 k 的取值范围．9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4，b =3，焦点在x 轴； （2）a =5，c =2，焦点在y 轴上．10．求到定点（2，0）与到定直线x =8的距离之比为22的动点的轨迹方程．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（一）【知识要点】● 熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点，离心率等简单几何性质． ● 掌握标准方程中a ，b ，c 的几何意义，以及a ，b ，c ，e 的相互关系． ● 理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法．【例题精讲】【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且离心率为22，求椭圆的方程．【例 2】已知 x 轴上的一定点 A （1，0），Q 为椭圆2214x y +=上的动点，求 A Q 中点 M 的轨迹方程．【例 3】椭圆22110036x y +=上有一点 P ，它到椭圆的左焦点 F 1的距离为 8，求△PF 1F 2的面积．【例 4】设P 是椭圆()22211x y a a+=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值．【基础达标】1．已知P 是椭圆22110036x y +=上的一点，若P 到椭圆右焦点的距离是345，则P 点到椭圆左焦点的距离是（ ） A ．165 B ．665 C ．758D ．778 2．若焦点在 x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则 m =（ ） A ．3 B ．32 C ．83 D ．233．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为13，则椭圆的方程是（ ）A ．221144128x y += B ．2213620x y += C ．2213236x y += D ．2213632x y += 4．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．若椭圆短轴长等于焦距的3倍，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．14 B ．22 C ．24 D ．126．已知椭圆C 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆C 的离心率等于 ． 7．离心率12e =，一个焦点是 F （0，－3）的椭圆标准方程为 ．1～5 BBDDD【能力提高】8．求过点A（－1，－2）且与椭圆22169x y+=的两个焦点相同的椭圆标准方程．9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率23e=，短轴长为85，求椭圆的方程．10．设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此卫星离地球相距m万千米和43m万千米时，经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该卫星与地球的最近距离．§2.1.2 椭圆的简单几何性质（二）【知识要点】●掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质．●能利用椭圆的有关知识解决实际问题，及综合问题．【例题精讲】【例 1】已知椭圆C 的焦点F 1()22,0-和F 2()22,0，长轴长6，设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．【例 2】椭圆的中心为点E （－1，0），它的一个焦点为F （－3，0），且椭圆的离心率255e =，求这个椭圆的方程．【例 3】已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点，求过点O 、F ，并且与直线l ：x =－2相切的圆的方程．【例 4】如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成 8等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则123++PF P F P F +45++P F P F67+P F P F = ．【基础达标】1．椭圆22110036x y +=上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是（ ） A ．15 B ．12 C ．10 D ．82．已知椭圆()2221525x y a a +=>的两个焦点为F 1、 F 2，且|F 1F 2|=8，弦 A B 过点 F 1，则△ A BF 2的周长为（ ）A ．10B ．20C ．241D ．4413．椭圆221259x y +=的焦点 F 1、F 2，P 为椭圆上的一点，已知 P F 1⊥PF 2，则△ F 1PF 2的 面积为（ ） A ．9 B ．12 C ．10 D ．84．椭圆221164x y +=上的点到直线 x +2y 2-=0 的最大距离是（ ） A ．3 B ．11 C ．22 D ．105．如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ． x －2 y =0 B ． x +2 y －4=0 C ． 2x +3y －12=0 D ． x +2 y －8=06．与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，3-）的椭圆的标准方程是 ． 7．离心率53e =，一个焦点的坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭的椭圆的标准方程是 ． F1～5 DDBAD 【能力提高】8．已知椭圆22194x y+=上的点P到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，求P点坐标．9．过椭圆22194x y+=内一点D（1，0）引动弦A B，求弦A B的中点M的轨迹方程．10．椭圆221164x y+=上有两点P、Q，O是原点，若O P、OQ斜率之积为14-．求证22OP OQ+为定值．§2.2.1双曲线及其标准方程【知识要点】●掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程；●掌握双曲线标准方程的推导，会求动点轨迹方程；● 会按y 2特定条件求双曲线的标准方程； ● 理解双曲线与椭圆的联系与区别．【例题精讲】【例 1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量 a ，b ，c 的值．【例 2】已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点()13,42P -、29,54P⎛⎫ ⎪⎝⎭在此双曲线上，求双曲线的标准方程．【例 3】点 A 位于双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上， F 1，F 2是它的两个焦点，求△AF 1F 2的重心G 的轨迹方程．【例 4】已知三点 P （5，2）、 F 1（－6，0）、 F 2（6，0）．（1）求以F 1、F 2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；（2）设点 P 、F 1、F 2关于直线 y =x 的对称点分别为 P '、F 1'、F 2'，求以F 1'、F 2'为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．【基础达标】1．双曲线22221124x y m m-=+-的焦距是（ ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与 m 有关2．椭圆222+134x y n =和双曲线222116x y n -=有相同的焦点，则实数 n 的值是（ ） A ．±5 B ．±3 C ．5 D ．93．若0k a <<，双曲线22221x y a k b k -=-+与双曲线22221x y a b-=有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点4．过双曲线221169x y -=左焦点 F 1的弦 A B 长为 6，则 △ABF 2（F 2为右焦点）的周长是（ ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．125．设F 1，F 2是双曲线2214x y -=的焦点，点 P 在双曲线上，且 ∠F 1PF 2=90°，则点 P 到x 轴的距离为（ ）A ．1B ．55C ．2D ．5 6．到两定点F 1（－3，0）、F 2（3，0）的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹是 ．7．方程22+111x y k k=+-表示双曲线，则 k 的取值范围是 ．1～5 CBDAB【能力提高】8．求与双曲线221164x y -=有公共焦点，且过点（32，2）的双曲线方程．9．如图，某农场在 P 处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路 P A 或 P B 送到庄稼地 A BCD 中去，已知 P A =100 m ，PB =150m ，∠APB =60°．能否在田地 A BCD 中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路 P A 送肥较近；而另一侧的点，沿道路 P B 送肥较近? 如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程．10．已知点()3,0A -和()3,0B，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为 2，点 C 的轨迹与直线 y =x －2 交于 D 、E 两点，求线段 D E 的长．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（一）【知识要点】● 掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质． ● 掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念．【例题精讲】【例 1】求双曲线2214y x -=的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程．【例 2】求一条渐近线方程是 3x +4y =0，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．【例 3】求与双曲线221169x y -=共渐近线且过 A (33，－3)的双曲线的方程．【例 4】已知△ABC 的底边 B C 长为 12，且底边固定，顶点 A 是动点，使sin B －sin C =12sin A ，求点 A 的轨迹．【基础达标】1．下列方程中，以x ±2y =0为渐近线的双曲线方程是（ ）A ．221164x y -= B ．221416x y -= C ．2212x y -= D ．2212y x -= 2．已知双曲线的离心率为 2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= 3．过点（3，0）的直线 l 与双曲线 4x 2－9y 2=36只有一个公共点，则直线 l 共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．方程mx 2＋ny 2＋mn =0（m <n <0）所表示的曲线的焦点坐标是（ ）A ．()0m n ±-，B ．()0n m ±-，C ．()0m n ±-，D ．()0n m ±-，5．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点A (－3，23)的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）A．8 B．4 C．2 D．16．双曲线9y2－4x2=36的渐近线方程是．7．经过点M（3，－1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是．1～5 AACBC【能力提高】8．求一条渐近线方程是3x+4y=0，一个焦点是（5，0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．9．求以椭圆22+16416x y=的顶点为焦点，且一条渐近线的倾斜角为56π的双曲线方程．10．已知双曲线的方程是16x2－9y2=144．（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．§2.2.2 双曲线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例 1】如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3，0)、F 2 (3，0)，一条渐近线方程为2y x =，那么它的离心率是（ ）A ．63B ．4C ．2D ．3【例 2】过双曲线221916x y -=的左焦点F 1，作倾斜角为=4πα的直线与双曲线交于两点A 、B ，求AB 的长．【例 3】已知动点 P 与双曲线 x 2－y 2=1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且 c os ∠F 1PF 2的最小值为13-．求动点P 的轨迹方程．【例 4】已知不论 b 取何实数，直线 y =kx +b 与双曲线 x 2－2y 2=1总有公共点，试求实数 k 的取值范围．【基础达标】1．到两定点F 1(－3，0)、F 2 (3，0) 的距离之差的绝对值等于 6的点 M 的轨迹（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 4．双曲线的两个顶点将焦距三等分，则它的离心率为（ ） A ．32 B ．3 C ．43D ．3 5．已知 m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y +n =0与 n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ ）A B C D6．双曲线22197x y -=的右焦点到右顶点的距离为 ． 7．与椭圆22+11625x y =有相同的焦点，且离心率为355的双曲线方程为 ．1～5 DDCBC【能力提高】8．设双曲线()222210x y a b a b-=<<的半焦距为c ，直线l 过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线lyox yox yox yox的距离为34c ，求此双曲线的离心率．9．求过点M (3，－1)且被点M 平分的双曲线2214x y -=的弦所在直线方程．10．设双曲线 C 1的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线 C 1上的任意一点，引 Q B ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与 B Q 交于点 Q ，求 Q 点的轨迹方程．§2.3.1 抛物线及其标准方程【知识要点】● 掌握抛物线的定义．● 标准方程的不同形式及其推导过程．● 熟练画出抛物线的草图，求出抛物线的标准方程、焦点、准线方程．【例题精讲】【例 1】已知抛物线的标准方程是：（1）y 2=12x ，（2）y =12x 2，求它的焦点坐标和准线方程．【例2】求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）；（2）经过点A（2，－3）【例3】直线y=x－3与抛物线y2=4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形A PQB的面积为（）A．48 B．56 C．64 D．72【例4】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段A B 的长．【基础达标】1．抛物线y 2=ax （a ≠0）的准线方程是 （ ） A ．4a x =-B ．4ax = C ．4a x =- D ．4a x =2．抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x －4y －12=0上，此抛物线的方程是（ ） A ．y 2=16x B ．y 2=12x C ．y 2=－16x D ．y 2=－12x 3．焦点在直线 3x －4y －12=0上的抛物线标准方程是（ ） A ．y 2=16x 或 x 2=16y B ．y 2=16x 或 x 2=12y C ．x 2=－12y 或 y 2=16x D ．x 2=16y 或 y 2=－12x4．已知 M （m ，4）是抛物线 x 2=ay 上的点，F 是抛物线的焦点，若|MF |=5，则此抛物线的焦点坐标是（ ）A ．（0，－1）B ．（0，1）C ．（0，－2）D ．（0，2） 5．过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 作倾斜角为34π的直线交抛物线于 A 、B 两点，则 A B 的长是（ ） A ．42 B ．4 C ．8 D ．26．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是 ． 7．平面上的动点P 到点 A （0，－2）的距离比到直线 l ：y =4的距离小 2，则动点P 的轨迹方程 是 ．1～5 AACBC【能力提高】8．点M 到点（0，8）的距离比它到直线 y =－7的距离大 1，求 M 点的轨迹方程．9．抛物线 y 2=16x 上的一点 P 到 x 轴的距离为 12，焦点为 F ，求｜PF ｜的值．10．抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?§2.3.2 抛物线的简单几何性质（一）【知识要点】● 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；● 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；注意数与形的结合．【例题精讲】【例 1】已知抛物线关于x 轴为对称轴，它的顶点在坐标原点，并且经过点()2,22M -，求它的标准方程．xy O【例2】过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以A B为直径的圆和这抛物线的准线相切．【例3】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px()0p>上，求这个正三角形的边长．【例４】抛物线x2=4y的焦点为F，过点（0，－1）作直线L交抛物线A、B两点，再以A F、BF为邻边作平行四边形F ARB，试求动点R的轨迹方程．【基础达标】1．过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，如果126x x +=，那么|AB | =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．42．顶点在原点，焦点在 y 轴上，且过点 P （4，2）的抛物线方程是（ ） A ．x 2=8y B ．x 2=4y C ．x 2=2y D ．x 2=12y 3．已知 M 为抛物线y 2=4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点 P （3，1），则MP MF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知抛物线 y 2=－12x 上一点 P (x 0，y 0)到焦点的距离为 8，则 x 0的值为（ ） A ．－5 B ．5 C ．－4 D ．45．抛物线 y 2=8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是（ ） A ．()2,4 B ．()2,4± C ．()1,22 D ．()1,22± 6．抛物线 2y 2＋5x =0 的准线方程是 ．7．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、B 两点，若 A 、B 在准线上的射影是 A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于 ．1～5 BABAD【能力提高】8．抛物线顶点在原点，它的准线经过双曲线22221x y a b-=的一个焦点，并且这条准线与双曲线的实轴垂直，又抛物线与双曲线交于点362⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求二者的方程．9．顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15，求抛物线的方程．p>的焦点F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准10．设抛物线y2=2px()0线上，且B C∥轴．证明：直线AC经过原点O．§2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）【例题精讲】【例１】过抛物线y2=2x的顶点作互相垂直的二弦O A、OB．（1）求A B中点的轨迹方程．（2）证明：AB与x轴的交点为定点．【例２】已知点 A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线 y 2=2px 上，△ABC 的重心与此抛 物线的焦点 F 重合．（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点 M 的坐标； （3）求 B C 所在直线的方程．【例 3】抛物线 y =－x 2上的点到直线 4x +3y －8=0距离的最小值是（ ）A ．43 B ．75 C ．85D ．3【基础达标】1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 3x －4y －12=0时，则此抛物线的方 程是（ ）A ．y 2=16xB ．x 2=－12yC ．y 2=8x 或x 2=－6yD ． y 2=16x 或x 2=－12y 2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点()5,25-到焦点距离是6，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2=－4x B 、y 2=－2x C 、 y 2=2x D 、 y 2=－4x 或x 2=－36y 3．在抛物线 y =x 2上有三点 A 、B 、C ，其横坐标分别为－1，2，3，在y 轴上有一点D 的纵坐标为 6，那么以 A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是（ ）A ．正方形B ．平行四边形C ．菱形D ．任意四边形4．抛物线 y 2=4x 的焦点F ，准线为l ，交 x 轴于 R ，过抛物线上一点 P （4，4）作 P Q ⊥ l 于Q ，则梯形 PFRQ 的面积是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 5．抛物线 y 2=－4x 关于直线 x +y =2对称的曲线的顶点坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（0，0）C ．（－2，－2）D ．（2，0） 6．若动点M （x ，y ）到点F （4，0）的距离比它到直线x +5=0的距离小1，则M 点的轨迹方程 是 ．7．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．1～5 DABBA【能力提高】8．经过抛物线 y 2=－8x 的焦点且和抛物线的对称轴成 60°角的直线与抛物线交 A 、B 两点，求|AB |．9．求过A（－1，1），且与抛物线y=x2+2有一个公共点的直线方程．10．已知抛物线C：y=x2+4x+72，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．若C在点M的法线的斜率为12-，求点M的坐标（x0，y0）．第二章圆锥曲线复习（一）【知识要点】●椭圆定义，椭圆的标准方程，椭圆的性质．●双曲线的定义，双曲线的标准方程及特点，双曲线的几何性质．●抛物线定义，抛物线的几何性质．【例题精讲】【例1】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴上较近顶点的距离是105-，求椭圆方程．【例 2】已知双曲线2214x y -=和定点12,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）过 P 点可以做几条直线与双曲线 C 只有一个公共点；（Ⅱ）双曲线C 的弦中，以 P 点为中点的弦 P 1P 2是否存在? 并说明理由．【例 3】已知点 A （0，2）及椭圆22+14x y =，在椭圆上求一点 P 使PA 的值最大．【例 4】己知点P 在抛物线 x 2=y 上运动，Q 点的坐标是（－1，2），O 是原点，OPQR （O 、P 、Q 、R顺序按逆时针）是平行四边形，求 R 点的轨迹方程．【基础达标】1．平面上到定点 A (1，1)和到定直线 l ：x +2 y =5距离相等的点的轨迹为（ ）A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆2．若椭圆2kx2＋ky2=1 的一个焦点坐标是（0，4），则k的值为（）A．18B．132C．2D．3163．椭圆22+1259x y=上的点M到焦点F1的距离是2，N是M F1的中点，则ON为（）A．4 B．2 C．8 D．3 24．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为（）A．32B．62C．32D．25．椭圆22+1259x y=的两焦点F1，F2，过F2引直线L交椭圆于A、B两点，则△ABF1的周长为（）A．5 B．15 C．10 D．206．在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为．7．若椭圆的两个焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，椭圆的弦A B过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．1～5 BBACD【能力提高】8．若双曲线的两条渐进线的夹角为60°，求该双曲线的离心率．9．正方形的一条边A B在直线y=x+4上，顶点C、D在抛物线y2=x上，求正方形的边长．10．若椭圆x2+4（y－a）2=4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围．第二章 圆锥曲线复习（二）【例题精讲】【例 1】已知直线 l 交椭圆22+12016x y =于 M 、N 两点，B （0，4）是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线 l 的方程．【例 2】已知倾斜角为4π的直线 l 被双曲线 x 2－4y 2=60截得的弦长82AB =，求直线l 的方程及以AB 为直径的圆的方程．【例 3】已知直线l ：x =－1，点F （1，0），以F 为焦点，l 为准线的椭圆中，短轴一端点为B ，P为FB 的中点．（Ⅰ）求 P 点的轨迹方程，并说明它是什么曲线； （Ⅱ）M （m ，0）为定点，求｜PM ｜的最小值．【例 4】已知两定点A （－2，0），B （1，0），如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹所包围的图形的面积．【基础达标】1．已知 M （－2，0），N （2，0），4P M P N -=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支2．若圆 x 2+y 2=4上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是（ ） A ．22+1412x y = B ．22+1436x y = C ．229+144x y = D ．22+1364x y = 3．已知 F 1，F 2是椭圆22+1169x y =的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于点A ，B ，若5AB =，则12AF BF -=（ ）A ．3B ．8C ．13D ．164．曲线()()22346225x y x y ---+-=的离心率为（ ） A ．110 B ．12C ．2D ．无法确定5．抛物线y2=14x 关于直线x－y=0对称的抛物线的焦点坐标是（）A．（1，0）B．116⎛⎫⎪⎝⎭，C．（0，1）D．116⎛⎫⎪⎝⎭，6．与椭圆4x2+ 9y2=36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为．7．以双曲线22145x y-=的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．1～5 C CABD 【能力提高】8．设F1，F2为双曲线2214xy-=的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积．9．设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，求直线l的斜率的取值范围．10．设椭圆22+162x y=和双曲线2213xy-=的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，求cos∠F1PF2的值．。

§1椭圆1．1椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理(1)定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．(2)椭圆的集合表示设M为椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点为F1，F2，根据椭圆的定义可知，椭圆可以视为动点M的集合，表示为{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|，a为常数}．知识点二椭圆的标准方程思考椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a，b，c始终满足关系式a2＝b2＋c2.梳理焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0) 图形焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 21．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的集合叫作椭圆．( × ) 2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( × ) 3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a 2＝b 2＋c 2.( √ )类型一 椭圆的标准方程 命题角度1 求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3； (2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点．考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4b 2＝1，⎝⎛⎭⎫122a 2＋(3)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去．当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵点A (0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. 综上可知，椭圆的标准方程为x 2＋y 24＝1. (2)椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得 2a ＝(3＋4)2＋(15－0)2＋(3－4)2＋(15－0)2，∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a ，b ，c 的等量关系；④求a ，b 的值，代入所设方程．特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)． 跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭⎫－32，52； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋ ⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，∵点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，代入得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.命题角度2 由标准方程求参数(或其取值范围)例2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 (0,1)解析 ∵方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，将方程改写为y 22－m 2＋x 2m＝1，∴有⎩⎪⎨⎪⎧2－m 2>m ，m >0，解得0<m <1.反思与感悟 1.利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式． 2.x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练2 (1)已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为________．考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 (7,10)解析 化成椭圆标准形式得x 2k －4＋y 210－k ＝1， 根据其表示焦点在x 轴上的椭圆， 得⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，解得7<k <10.(2)已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝____________________________.考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 4或8解析 ①当焦点在x 轴上时，10－m －(m －2)＝4， 解得m ＝4.②当焦点在y 轴上时，m －2－(10－m )＝4， 解得m ＝8. ∴m ＝4或8.类型二 椭圆定义的应用例3 已知P 为椭圆x 212＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 解 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝43，即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3. 引申探究若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠F 1PF 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． 解 由椭圆x 212＋y 23＝1，知|PF 1|＋|PF 2|＝43，|F 1F 2|＝6，因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝36， 所以|PF 1|·|PF 2|＝6， 所以12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|＝3. 反思与感悟 1.对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF 1|(或|PF 2|)的方程求得|PF 1|(或|PF 2|)；有时把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量． 2．焦点三角形的周长等于2a ＋2c .设∠F 1PF 2＝θ，则焦点三角形的面积为b 2tan θ2.跟踪训练3 已知AB 是过椭圆49x 2＋y 2＝1的左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝4，其中F 2为椭圆的右焦点，则|AB |＝________. 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 2解析 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6. 所以|AF 1|＋|BF 1|＝6－4＝2，即|AB |＝2.1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件考点 椭圆的定义 题点 由椭圆定义确定轨迹 答案 A解析 若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件． 2．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2. 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，故|PF 2|＝8.3．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围) 答案 B解析 由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k ＝1， 又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k ＝2.4．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________． 考点 求椭圆的标准方程 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 y 216＋x 2＝1解析 由已知得2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.5．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积为________． 考点 椭圆的定义 题点 焦点三角形中的问题 答案 4解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，且|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，且PF 1⊥PF 2， ∴△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．一、选择题1．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 考点 求椭圆的标准方程 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 C解析 ∵|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝2×2＝4>|F 1F 2|. ∴点P 的轨迹应是以F 1，F 2为焦点的椭圆． ∵c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.2．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定 答案 B解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因为2a ＝10，c ＝25－9＝4，所以周长为10＋8＝18.3．已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程 答案 A解析 c ＝1，a ＝12×((2＋1)2＋0＋(2－1)2＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m >1)上一点P 到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m 等于( )A ．6B ．3C ．2D ．4考点 椭圆的标准方程题点 给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案 C解析 ∵m 2>m 2－1，∴椭圆焦点在x 轴上，∴a ＝m ，则2m ＝3＋1＝4，∴m ＝2.5．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于() A ．2 B ．4C ．8 D.32考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 如图，F 2为椭圆右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4.6．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a (a >0)，则点P 的轨迹是() A ．椭圆 B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 D解析 ∵a ＋9a ≥2 a ·9a ＝6，当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号， ∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆．7．“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 当方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆时，必有⎩⎪⎨⎪⎧ m －1>0，3－m >0，m －1≠3－m 所以1<m <3且m ≠2；但当1<m <3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝1，它表示一个圆．8．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233 B.263 C.33D.3 考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→，由|MF 1|＋|MF 2|＝4，①又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12，②可得，|MF 1|·|MF 2|＝2，设M 到x 轴的距离为h ，则|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|h ，h ＝223＝33.二、填空题9．若椭圆的两个焦点为F1(－3,0)，F2(3,0)，椭圆的弦AB过点F1，且△ABF2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________．考点椭圆的标准方程题点定义法求椭圆的标准方程答案x225＋y216＝1解析如图，∵△ABF2的周长等于20，∴4a＝20，即a＝5，又c＝3，∴b2＝a2－c2＝52－32＝16.∴椭圆的标准方程为x225＋y216＝1.10．若方程x225－m＋y2m＋9＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____________．考点椭圆的标准方程题点求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案(8,25)解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25－m＞0，m＋9＞0，m＋9＞25－m，解得8<m<25.11．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.考点椭圆的定义题点焦点三角形中的问题答案3解析由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2.又∵PF1→⊥PF2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，即4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，∴12PF F S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝12×2b 2＝b 2＝9， 又∵b >0，∴b ＝3.三、解答题12．求过点(0,4)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点的椭圆的方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 由9x 2＋4y 2＝36，得x 24＋y 29＝1， 则c ＝9－4＝5， 焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 则a ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝11，∴所求椭圆方程为x 211＋y 216＝1. 13．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0，而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5，∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1. 四、探究与拓展14．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 方法一 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 方法二 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2. 由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a； 在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a. 依题意有b 2a＝3，得b 2＝12. 于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1. 15．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题解 (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1. 又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)如图所示，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝(52)2＋(32)2－222×52×32＝35.。

目录考点一：椭圆的定义及其应用 (2)题型一：利用定义判断轨迹 (2)考点二：椭圆的标准方程及其几何性质 (3)题型二：椭圆的标准方程相应问题 (4)题型三：椭圆简单性质问题 (5)课后综合巩固练习 (7)考点一：椭圆的定义及其应用椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．依椭圆的定义，设P 是椭圆上一点，则有122PF PF a +=，（a 为常数且22)a c >题型一：利用定义判断轨迹1．（2016秋•西夏区校级月考）已知动点(,)P x y 6=，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线B ．线段C ．抛物线D ．椭圆【分析】利用两点之间的距离公式、椭圆的定义即可判断出结论．距离之和，而两个定点1(0,3)F -，2(0,3)F 的距离之和等于6．则动点P 的轨迹是线段12F F ． 故选：B ．【点评】本题考查了两点之间的距离公式、椭圆的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（2017秋•绥滨县校级期中）如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【分析】根据垂直平分线的性质可得||||EA EB =，可得||||||||EO EA OB OA +=>，故点E 的轨迹是以点O 和点A 为焦点的椭圆．【解答】解：根据垂直平分线的性质可得||||EA EB =，||||||||EO EA OB OA ∴+=>， 即点E 到点O 和点A 的距离之和等于圆的半径||OB ，且||||OB OA >， 根据椭圆的定义可得点E 的轨迹是以点O 和点A 为焦点的椭圆， 故选：B ．【点评】本题考查椭圆的定义、线段的垂直平分线的性质，得到||||||||EO EA OB OA +=>，是解题的关键．考点二：椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的标准方程：①22221(0)x y a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 椭圆的几何性质1．范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；2．对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；3．椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； 4．长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ． 5．椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁； 反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．题型二：椭圆的标准方程相应问题1．（2019春•大兴区期末）已知直线2()y kx k R =+∈与椭圆2219x y t+=恒有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(0，4]B ．[4，9)C ．(9,)+∞D ．[4，9)(9⋃，)+∞【分析】根据题意，分析可得直线2()y kx k R =+∈恒过定点(0,2)，分析椭圆与y 轴正半轴29t ≠，解可得【解答】解：根据题意，直线2()y kx k R =+∈恒过定点(0,2)，29t ≠， 解可得4t 且9t ≠，则t 的取值范围为[4，9)(9⋃，)+∞； 故选：D ．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及直线恒过定点的问题，属于基础题．2．（2019春•沙坪坝区校级月考）已知椭圆222212x y m n n m +=--的焦点在x 轴上，若椭圆的短轴长为4，则n 的取值范围是( ) A ．(12,)+∞B ．(4,12)C ．(4,6)D ．(6,)+∞【分析】由题意可得关于m ，n 的不等式，结合椭圆的短轴长为4，转化为关于n 的不等式组，则答案可求．且24n m -=，得24m n =-，故选：A ．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单性质，是基础题．3．（2018•洛阳一模）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点(1，12 )作圆221x y +=的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是( )A ．22194x y +=B ．22145x y +=C ．22154x y +=D ．22195x y +=线l 分别切圆221x y +=相切于点(1,0)A 和(0,2)B ．然后求出直线AB 的方程，从而得到直线AB 与x 轴、y 轴交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，最后根据椭圆的基本概念即可求出椭圆的方程．①当直线l 与x 轴垂直时，k 不存在，直线方程为1x =，恰好与圆221x y +=相切于点(1,0)A ；∴直线AB 交x 轴交于点(1,0)A ，交y 轴于点(0,2)C ．故选：C ．【点评】本题给出过定点直线与单位圆相切于A 、B 两点，直线AB 过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程，着重考查了直线的基本量与基本形式和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题题型三：椭圆简单性质问题1．（2019春•南陵县校级月考）已知F 是椭圆22:132x y C +=的右焦点，P 为椭圆C 上一点，(1A ，，则||||PA PF +的最大值为( )A ．4B ．C ．4+D ．【分析】根据题意，设椭圆的左焦点为F '，由椭圆的方程计算可得a 、c 的值，由椭圆可得【解答】解：根据题意，设椭圆的左焦点为F '，|||2AF '=当P 、A 、F '三点共线时，等号成立，故选：D ．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的定义2．（2019春•广东期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上下顶点分别为A ，B ，右顶点为C ，右焦点为F ，若AC BF ⊥，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C ．12D 【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得A 、B 、C 、F 的坐标，即可得向量AC 、BF的坐标，由数量积的计算公式可得20AC BF ac b =-=，即2b ac =，进而可得22a c ac -=，变形可得：210e e +-=，解可得e 的值，结合椭圆的性质分析可得答案．右焦点为F ，则(0,)A b ，(0,)B b -，(,0)C a ，(,0)F c ， 则(,)AC a b =-，(,)BF c b =，若AC BF ⊥，则20AC BF ac b =-=，即2b ac =， 又由222b a c =-，则有22a c ac -=，即220c ac a +-=， 变形可得：210e e +-=，故选：D ．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，属于中档题．课后综合巩固练习1．（2019•怀化三模）已知抛物线211:4C y x =的焦点F 也是椭圆222:1(0,0)x y C m n m n +=>>的焦点，记1C 与2C 在第一象限内的交点为A ，且5||3AF =，则椭圆离心率为( )A ．12 B ．13C D ．3圆在第一象限内的交点，AF 的距离，求出m ，n ，结合椭圆的离心率公式，可得该椭圆的离心率．解：抛物线A 是抛物线与椭圆在第一象限内的交点，(3A ，可得：83m 故选：A ．【点评】本题在椭圆与已知抛物线共焦点的情况下，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念与简单几何性质和抛物线的几何性质等知识点，属于中档题．2．（2019春•雅安期末）直线1y x =+被椭圆2248x y +=截得的弦长是( )A B C D 【分析】联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．【解答】解：联立22148y x x y =+⎧⎨+=⎩，得25840x x +-=． 设直线被椭圆所截线段的两个端点分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，故选：A ．【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查弦长公式的应用，是基础题．3．（2019春•安徽期末）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭园C 上的点，则椭圆的离心率为( )A B C 1 D 1。