2020年广东省深圳市宝安中学高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(含解析)

广东省深圳市宝安中学2020届高三下学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数()cos24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x的图象，则()g x（）A．为奇函数，在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增C．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D．最大值为1，图象关于直线2xπ=对称2．已知三棱锥P ABC-的体积为433，4APCπ∠=，3BPCπ∠=，PA AC⊥，PB BC⊥，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P ABC-外接球的体积为（）A．43πB．823πC．1233πD．323π3．函数f（x）=a x+log a（x+1）（a＞0，且a≠1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（）A．14B．12C．2 D．44．一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24 B．48 C．72 D．965．定义在R上的奇函数()y f x=满足(4)0f=，且当0x>时，不等式3()'()f x xf x>-恒成立，则函数3()()lg1g x x f x x=++的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．56．异面直线a，b所成的角为6π，直线a c⊥，则异面直线b与c所成角的范围为（）A．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2，若四面体容器内完全放进一个球，则该球的半径最大值为（）A．21-B．22-C．1 D．28．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．163C．203D．89．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2log101-B．22log31-C．92D．610．若不等式1ln x m m ex+-≤+对1[,1]xe∈成立，则实数m的取值范围是（）A．1 [,)2-+∞B．1(,]2-∞-C．1[,1]2-D．[1,)+∞11．将函数()f x的图像上的所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x的图像，若函数()()sin0,0,2g x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则函数()f x的解析式为A．()5sin12f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭B．()sin26f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭C．()5sin26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭D．()7sin212f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭12．已知点F1，F2是椭圆2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的动点，动点Q在射线F1P 的延长线上，且|PQu u u r|=|2PFu u u r|，若|PQu u u r|的最小值为1，最大值为9，则椭圆的离心率为（）A．35B．13C．45D．19二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

深圳市2020高考高三数学4月月考模拟试题（含答案）（时间：1 2 0分钟,分数：1 5 0分）第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知复数22cos sin33z i ππ=+（i 为虚数单位），则3z 的虚部为A ．-1B ．0C ．iD ．l2．已知集合**{|2,},{|2,}nA x x n NB x x n n N ==∈==∈，则下列不正确的是A ．AB ⊆B ．A B A ⋂=C ．()Z B A φ⋂=ðD ．A B B ⋃=3．若实数11ea dx x=⎰．则函数()sin cos f x a x x =+的图像的一条对称轴方程为A ．x=0B ．34x π=-C ．4π-D ．54x π=-4．甲乙丙3位同学选修课程，从4门课程中选。

甲选修2门，乙丙各选修3门，则不同的选修方案共有 A ．36种 B ．48种 C ．96种 D ．1 92种5．已知不共线向量,,2,3,.()1,a b a b a b a ==-=r r r r r r r 则b a -r rA 3B ．22C 7D 236．若22*1()1,()1,(),2f n n n g n n n n n N nϕ=+=-=∈，则(),(),()f n g n n ϕ的大小关系 A ．()()()f n g n n ϕ<< B ．()()()f n n g n ϕ<<C ．()()()g n n f n ϕ<<D ．()()()g n f n n ϕ<<7．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体三视图如下，则此几何体的体积是（ ） A ．64 B ．1223 C ．1883D ．4768．执行如图所示的程序框图，若输出a= 341，判断框内应填写（ ） A ．k<4? B ．k<5? C ．k<6? D ．k<7?9．若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A 中的那部分区域面积为（ ） A ．2 B ．1C ．34D ．7410．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB（O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1B ． 2C ．2D ．411．平行四边形ABCD 中，AB u u u r ·BD u u u r=0，沿BD 折成直二面角A 一B D －C ，且4AB 2 +2BD 2 =1，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．48πD．2412．已知R 上的函数y=f （x ），其周期为2，且x ∈（-1,1]时f （x ）=1+x 2，函数g （x ）=1sin (0)11,(0)x x x xπ+>⎧⎪⎨-<⎪⎩，则函数h （x ）=f （x ）－g （x ）在区间[-5,5]上的零点的个数为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．8第Ⅱ卷本卷分为必做题和选做题两部分，13—21题为必做题，22、23、24为选考题。

广东深圳市2020届高三4月模拟试卷文 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,1}A =-，{0,1,2,3}B =，则A B =I （ ） A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1}D ．{1,0,1,2,3}-2．等差数列{}n a 中，27a =，623a =，则4a =（ ） A ．11B ．13C ．15D ．173．已知π(,π)2a Î，π3cos()23a +=-，则sin 2a =（ ）A ．23B ．223 C ．23-D ．223-4．传承传统文化再掀热潮，在刚刚过去的假期中，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（ ）A ．甲的平均数大于乙的平均数B ．甲的中位数大于乙的中位数C ．甲的方差大于乙的方差D ．甲的方差小于乙的方差5．已知双曲线22221(0, 0)a b x y a b >>-=的离心率为e ，若3a be a-=，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．430x y ±=D ．340x y ±=6．“4k <”是“04k <<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设点(,)P a b 在函数1y x=（0x >，1x ≠）的图像上，则函数xy b =与函数log a y x =的图像在同一个坐标系中可能正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC ∠=︒，则DE AC ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．4B ．3-C 3D ．39．若函数3()()3x f x e x ax a =--有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,)2+∞C ．(10,4)D ．(1,4)+∞10．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，π4C =，4tan 3B =， 则ABC △的面积等于（ ） A ．87B ．7210C ．2D ．9811．围棋起源于中国，春秋战国时期已有记载．隋唐时经朝鲜传入日本，后流传到欧美各国．围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现．围棋使用方形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜．围棋状态空间的复杂度上限为3613P =，据资料显示宇宙中可观测物质原子总数约为8010Q =，下列数中最接近数值PQ的是（ ）（参考数据：lg30.477≈） A ．9010B ．9110C ．9210D ．931012．已知函数3()ln f x x x =+与3()g x x ax =--的图象上存在关于y 轴对称的对称点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a e ≤ B ．1a e≥C ．a e ≤D ．a e ≥第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知i 为虚数单位，复数12i z =-，21i z =+，那么12z z =________．14．若实数x 、y 满足约束条件320210280x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为________．15．已知P 为ABC △所在平面内一点，且满足()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，(12)BP BC μ=-u u u r u u u r(,)λμ∈R ，则λμ+=________．16．已知三棱锥A BCD -的四个顶点都在球O 的球面上，且AC =，2BD =，AB BC CD AD ====O 的表面积为________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2222sin ()sin c B b c a C =+-，且9AB AC?uu u r uuu r ．（1）求ABC △的面积；（2）D 为BC 边上的点，且满足2BD DC =，当a 取得最小值时，求AD 的长．18．（12分）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且3242S S a -=． （1）若11a =，求n a ；（2）若40a <，求使得1815n S a ≥成立的n 的取值范围．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，π2BCD ∠=，PA BD ⊥，2AB =，1PA PD CD BC ====．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求点C 到平面PBD 的距离．20．（12分）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点0(,3)P x 为抛物线C 上一点，且点P 到焦点F 的距离为4，过(,0)A a 作抛物线C 的切线AN （斜率不为0），切点为N ．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）求证：以FN 为直径的圆过点A ．21．（12分）已知函数2()1ln f x x a x =-+，其中a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意1x ≥，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C的极坐标方程为)4πρθ=+．（1）求圆1C 的普通方程和圆2C 的直角坐标方程； （2）判断圆1C 与圆2C 的位置关系．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】函数()|2|f x ax =+，其中a ∈R ，若()f x a ≤的解集为[2,0]-． （1）求a 的值；（2）求证：对任意x ∈R ，存在1m >，使得不等式1(2)(2)1f x f x m m -+≥+-成立．深圳市2020届高三4月文科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】由已知得{1}A B =I ，故选A ． 2．【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，27a =，623a =，2647231522a a a ++===． 3．【答案】D【解析】因为π(,π)2a Î，πcos()sin 23a a +=-=-，所以sin 3a =，cos 3a =-，sin 22sin cos 3a a a ==-． 4．【答案】C 【解析】11(594532382426111214)299x =++++++++=， 21(514330342025272812)309x =++++++++=，∴222222222121[301639(5)(3)(18)(17)(15)]235.39S =++++-+-+-+-+-≈，222222222221[211304(10)(5)(3)(2)(18)]120.99S =++++-+-+-+-+-≈，又甲的中位数为26，乙的中位数为28． ∴甲的平均数小于乙的平均数，所以A 不正确； 甲的中位数小于乙的中位数，所以B 不正确； 甲的方差大于乙的方差，所以C 正确，D 不正确． 5．【答案】C【解析】3c a b a a -=，3c a b =-，2222296a b c a ab b +==-+，43b a =， 所以该双曲线的渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，故选C ．6．【答案】B【解析】“04k <<”包含于“4k <”这一范围，反之“4k <”则不一定有“04k <<”， 根据小范围推大范围得到“4k <”是“04k <<”的必要而不充分条件．7．【答案】C【解析】∵(,)P a b 在1y x=（0x >，1x ≠）上， ∴1a b ⋅=，则有1a >，10b >>或10a >>，1b >， 观察选项可知，当10a >>，1b >时，C 正确． 8．【答案】B【解析】菱形ABCD 的边长为2，120ABC ∠=︒， ∴2AB BD AD ===，∵E 为AB 的中点，∴12DE DA AB =+u u u r u u u r u u u r ，AC AD AB =+u u ur u u u r u u u r ，∴221114222cos603222DE AC AD AB AB AD ⋅=-+-⋅=-+-⨯⨯⨯︒=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．9．【答案】D【解析】令3()3g x x ax a =--，若()()xf x eg x =有3个零点，则()g x 有3个零点，2()33g x x a '=-． 当0a ≤时，()0g x '≥，()g x 是增函数，至多有一个零点； 当0a >时，令()0g x '=，解得x =由题意知(0g >，0g <，∴14a >，故选D ． 10．【答案】A 【解析】因为π4C =，4tan 3B =，所以4sin 5B =，3cos 5B =，所以πsin sin()sin()cos )4210A B C B B B =+=+=+=， 因为sin sin a c A C =，所以2sin 10sin 7a C c A ===， 所以ABC △的面积111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=． 11．【答案】C【解析】令36180310P x Q ==，取对数得lg 361lg3803610.4778092.197x =⋅-=⨯-≈，故9210最接近． 12．【答案】A【解析】函数3()ln f x x x =+与3()g x x ax =--的图象上存在关于y 轴对称的对称点， ∴方程()()f x g x =-在(0,)+∞上有解，即方程33ln x x x ax +=+在(0,)+∞上有解，∴方程ln x ax =在(0,)+∞有解．设ln y x =，y ax =，则两函数的图象有公共点， 由ln y x =，得1y x'=， 若y ax =为ln y x =的切线，且切点为00(,)x y ，则有00001ln a x y ax x⎧=⎪⎨⎪==⎩，解得1a e =，结合函数图象可得若两函数的图象有公共点，则需满足1a e≤， 所以实数a 的取值范围是1(,]e-∞．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】3i +【解析】复数12i z =-，21i z =+，所以12(2i)(1i)3i z z =-+=+． 14．【答案】11【解析】由约束条件320210280x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩作出可行域如图阴影部分所示：由3z x y =+，得3y x z =-+，平移直线3y x z =-+，由图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值．由210280x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得(3,2)A ，所以max 33211z =⨯+=． 15．【答案】34【解析】因为(12)(,)BP BC μλμ=-∈R u u u r u u u r ，所以(12)()BA AP BA AC μ+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r，故(12)()AP AB AC AB μ=--++u u u r u u u r u u u r u u u r ，2(12)AP AB AC μμ=+-u u u r u u u r u u u r，因为AB u u u r 、AC u u u r 不共线，()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，所以212λμλμ=⎧⎨=-⎩，解得1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即34λμ+=． 16．【答案】4π【解析】取BD 中点O ，由2AB BC CD AD ====2BD =，知1OA OB OC OD ====，∴球半径为1，表面积为4π，故答案是4π．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（193；（214 【解析】（1）由正弦定理得2222222()c b b c a c b c a bc =+-?-=，所以1cos 2A =， 又因为(0,π)A Î，所以π3A =，cos 918AB ACbc A bc ???uuu r uuu r ，所以193sin 22ABC S bc A △==． （2）由（1）得22218a b c bc bc=+-?，当且仅当32b c ==a 取得最小值为32此时三角形为等边三角形，1233AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，∴1121418218181493329AD =?创创+?uuu r ．18．【答案】（1）11()2n n a -=；（2）{|14,}n n n ≤≤∈N ．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，∵3242S S a -=，∴342a a =，∴4312a q a ==， 又∵11a =，∴1111()2n n n a a q --==． （2）∵3411()02a a =<，∴10a <，∵1815n S a ≥，∴1111()28()15112na a -≥-，∴116(1)152n -≤， ∴1151216n -≤，∴41112162n ≥=， ∴14n ≤≤，n ∈N ，即{|14,}n n n ≤≤∈N ．19．【答案】（1）证明见解析；（2）12． 【解析】（1）∵AB CD ∥，π2BCD ∠=，1PA PD CD BC ====，∴2BD =，π2ABC ∠=，π4DBC ∠=，∴π4ABD ∠=，∵2AB =，∴2AD =，∴222AB AD BD =+，∴AD BD ⊥，∵PA BD ⊥，PA AD A =I ，∴BD ⊥平面PAD ， ∵BD ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ． （2）取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，且22PO =， 由平面PAD ⊥平面ABCD ，知PO ⊥平面ABCD ， 由BD ⊥平面PAD ，得BD PD ⊥， 又1PD =，2BD =，∴PBD △的面积为22， 又BCD △的面积为12，P BCD C PBD V V --=， 设点C 到平面PBD 的距离为d ，则1211232322d ⨯=⨯⨯，∴12d =， 即点C 到平面PBD 的距离为12．20．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）由题知，||2P p PF y =+，∴432p=+，解得2p =， ∴抛物线C 的标准方程为24x y =．（2）设切线AN 的方程为()y k x a =-，0k ≠，联立24()x yy k x a ⎧=⎨=-⎩，消去y ，可得2440x kx ka -+=，由题意得216160Δk ka =-=，即a k =，∴切点2(2,)N a a ， 又(0,1)F ，∴2210AF AN a a u u u r u u u r⋅=-+⋅=．∴90FAN ∠=︒， 故以FN 为直径的圆过点A ．21．【答案】（1）见解析；（2）(,2]-∞．【解析】（1）由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且22()2a x af x x x x-+'=-+=．当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，从而函数()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0a >时，由()0f x '≤，得2a x ≥()0f x '≥，得20a x <≤， 所以，函数()f x 在2a 上递增；在2)a+∞上递减， 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0a >时，函数()f x 在2a 上为增函数；在2[)a +∞上为减函数． （2）由（1），得0a ≤时，函数()f x 在[1,)+∞上为减函数，要使()0f x ≤恒成立，则(1)0f ≤，而(1)0f =，所以0a ≤满足题意；当0a >21a≤，即02a <≤，函数()f x 在[1,)+∞上为减函数，由上述讨论，02a <≤满足题意；若12>，即2a >， 由（1）函数()f x 在[1,)+∞上最大值为1ln (1)2222a a af f =-+>， 而(1)0f =，即知0f >，不符合题意， 综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞．22．【答案】（1）212:(2)4x y C +-=，222(1)(1:)2x C y -++=；（2）相交．【解析】（1）圆的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），可得2cos 22sin x y αα=⎧⎨-=⎩，平方相加转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．由圆2C的极坐标方程)4πρθ=+，可得22cos 2sin ρρθρθ=-， 转换为直角坐标方程为2222x y x y +=-，即22(1)(1)2x y -++=．（2）由（1）知圆1C 的半径12r =，圆心坐标为(0,2)； 圆2C的半径2r =(1,1)-，则圆心距d ==222121261())0(r r d r r +=+>=>-， 所以，圆1C 与圆2C 相交．23．【答案】（1）2a =；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意知0a ≤不满足题意；当0a >时，由|2|ax a +≤，得2a ax a -≤+≤，∴2211x a a--≤≤-， 则212210a a⎧--=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则2a =． （2）设()(2)(2)|22||42|g x f x f x x x =-+=-++， 对于任意实数x ，存在1m >，使得不等式1(2)(2)1f x f x m m -+≥+-， 只需min min 1()()1g x m m ≥+-， ∵6,11()24,1216,2x x g x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，当12x =-时，min ()3g x =，由1111311m m m m +=-++≥--，仅当2m =取等号， ∴原不等式成立．。

（2）是否存在实数 ，使得 为定值？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由．
某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有 名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取 人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．
（1）规定预赛成绩不低于 分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于 分的学生中随机地抽取 人，求恰有 人预赛成绩优良的概率；
④函数 的最小正周期是 ．
其中所有正确结论的编号是（）
A.②③B.①④C.②③④D.①②
12.将边长为 的菱形 沿对角线 折起，顶点 移动至 处，在以点 ， ， 为顶点的四面体 中，棱 、 的中点分别为 、 ，若 ＝ ，且四面体 的外接球球心落在四面体内部，则线段 长度的取值范围为（）
A. B. C. D.
A. B. C. D.
10.已知过抛物线 ＝ 焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点， 为线段 的中点，连接 ，则 的最小面积为（）
A. B. C. D.
11.已知定义在 上的函数 在 上有且仅有 个零点，其图象关于点 和直线 对称，给出下列结论：
① ；
②函数 在 上有且仅有 个极值点；
③函数 在 上单调递增；
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合 ，集合 ＝ ，则 ＝（）
A. B. C. D.
2.下列函数中为奇函数的是（）
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D.
3.已知复数 ＝ ，则 的共轭复数
（2）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ＝ ，求 的面积．

2020年高考模拟高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3]C．（0，3）D．（0，3]2．设z＝，则z的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．23．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测．若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（）34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42A．25B．23C．12D．074．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36B．32C．28D．245．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．26．已知tanα＝﹣3，则＝（）A．B．C．D．7．的展开式中x3的系数为（）A．168B．84C．42D．218．函数f（x）＝ln|e2x﹣1|﹣x的图象大致为（）A．B．C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（）A．B．32πC．36πD．48π10．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为（）A．2B．4C．8D．1611．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（）A．B．C．D．12．已知定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为．14．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n﹣n，则a6＝．15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”（如0123），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为．16．已知点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣）（m≠n），若线段MN上的任意一点P 都满足：经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3）相切，则|m﹣n|的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2+b2﹣c2＝2S．（1）求cos C；（2）若a cos B+b sin A＝c，，求b．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在棱C1C，A1A上，且C1M＝2MC，A1N＝2NA．（1）求证：NC1∥平面BMD；（2）若A1A＝3，AB＝2AD＝2，∠DAB＝，求二面角N﹣BD﹣M的正弦值．19．已知以F为焦点的抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点P（1，﹣2），直线l与C交于A，B两点，M为AB中点，且．（1）当λ＝3时，求点M的坐标；（2）当＝12时，求直线l的方程．20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．21．已知函数f（x）＝e x﹣aln（x﹣1）．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）若a∈R，求函数f（x）的极值点个数；（2）若函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，证明：+＞a．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，3]C．（0，3）D．（0，3]【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出A与B的并集．解：集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），则A∪B＝（﹣1，3]，故选：B．2．设z＝，则z的虚部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝＝，∴z的虚部为1．故选：B．3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测．若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（）34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42A．25B．23C．12D．07【分析】根据随机数表依次进行选取即可．解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，依次为07，04，08，23，12，则抽取的第5个零件编号为，12，故选：C．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝3，a5＝9，则S6为（）A．36B．32C．28D．24【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．解：S6＝＝3×（3+9）＝36．故选：A．5．若双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】由（1，﹣2）在直线上，可得．由e＝．即可求解．解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（1，﹣2），∴点（1，﹣2）在直线上，∴．则该双曲线的离心率为e＝．故选：C．6．已知tanα＝﹣3，则＝（）A．B．C．D．【分析】由＝cos2α＝＝，代入即可求解．解：因为tanα＝﹣3，则＝cos2α＝＝＝＝．故选：D．7．的展开式中x3的系数为（）A．168B．84C．42D．21【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．解：由于的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r x7﹣2r，则令7﹣2r＝3，求得r＝2，可得展开式中x3的系数为•4＝84，故选：B．8．函数f（x）＝ln|e2x﹣1|﹣x的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由特殊点的函数值运用排除法得解．解：，故排除CD；f（﹣1）＝ln|e﹣2﹣1|+1＝ln（1﹣e﹣2）+lne＝，故排除B．故选：A．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（）A．B．32πC．36πD．48π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，最后求出表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体A﹣BCD：如图所示：设外接球的半径为r，则：（2r）2＝42+42+42，解得r2＝12，所以：S＝4π×12＝48π．故选：D．10．已知动点M在以F1，F2为焦点的椭圆上，动点N在以M为圆心，半径长为|MF1|的圆上，则|NF2|的最大值为（）A．2B．4C．8D．16【分析】N在圆上，由题意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|＝|F2M|+|MF1|，当N，M，F2三点共线时取得最大值，再由椭圆的定义可得|NF2|的最大值．解：由椭圆的方程可得焦点在y轴上，a2＝4，即a＝2，由题意可得|NF2|≤|F2M|+|MN|＝|F2M|+|MF1|，当N，M，F2三点共线时取得最大值而|F2M|+|MF1|＝2a＝4，所以|NF2|的最大值为4，故选：B．11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则（）A．B．C．D．【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．解：如图所示的Rt△ABC，其中角B为直角，则垂心H与B重合，∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点，又∵M为BC中点，∴，∵M为BC中点，∴＝＝＝．故选：D．12．已知定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，则正实数ω的取值个数最多为（）A．4B．3C．2D．1【分析】由定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，可得：0＜≤1，解得0＜ω≤3，因此：≤ωx﹣≤．分类讨论：①0＜ω≤时，sin（ω﹣）＝，利用函数零点定理即可判断出结论．②＜ω≤3，sin（ωx﹣）＝1，必须ω＝3，x＝＜．即可得出结论．解：∵定义在[0，]上的函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最大值为，∴0＜≤1，解得0＜ω≤3，∴≤ωx﹣≤．①0＜ω≤时，则sin（ω﹣）＝，令g（ω）＝sin（ω﹣）﹣，∵g（0）＝﹣＜0，g（）＝1﹣＝＞0，因此存在唯一实数ω，使得sin（ω﹣）＝．②＜ω≤3，sin（ωx﹣）＝1，必须ω＝3，x＝．综上可得：正实数ω的取值个数最多为2个．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为﹣3．【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图象求出最优解，再计算目标函数的最小值．解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；结合图象知目标函数z＝x﹣2y过A时，z取得最小值，由，解得A（1，2），所以z的最小值为z＝1﹣2×2＝﹣3．故答案为：﹣3．14．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n﹣n，则a6＝63．【分析】直接利用数列的递推关系式的应用，求出数列的通项公式，进一步求出结果．解：数列{a n}的前n项和为S n，由于S n＝2a n﹣n，①所以当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣（n﹣1）②，①﹣②得：a n＝2a n﹣1+1，整理得（a n+1）＝2（a n﹣1+1），所以（常数），所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，整理得．所以．故答案为：6315．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”（如0123），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为．【分析】分别求出基本事件的总数为，其中该验证码的首位数字是1的包括的事件个数为．利用古典概率计算公式即可得出．解：基本事件的总数为，其中该验证码的首位数字是1的包括的事件个数为．∴该验证码的首位数字是1的概率＝＝．故答案为：．16．已知点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣）（m≠n），若线段MN上的任意一点P 都满足：经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3）相切，则|m﹣n|的最大值为．【分析】由条件可得M，N在直线y＝x﹣上，联立曲线的方程可得它们无交点，求得函数y＝+x的导数，可得在x＝﹣1和x＝3的切线的斜率和方程，联立直线y＝x ﹣，求得交点E，F，可得所求最大值．解：由点M（m，m﹣）和点N（n，n﹣），可得M，N在直线y＝x﹣上，联立曲线C：y＝+x（﹣1≤x≤3），可得x2＝﹣，无实数解，由y＝+x的导数为y′＝x+1，可得曲线C在x＝﹣1处的切线的斜率为0，可得切线的方程为y＝﹣，即有与直线y＝x﹣的交点E（0，﹣），同样可得曲线C在x＝3处切线的斜率为4，切线的方程为y＝4x﹣，联立直线y＝x﹣，可得交点F（，），此时可设M（0，﹣），N（，），则由图象可得|m﹣n|的最大值为﹣0＝，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2+b2﹣c2＝2S．（1）求cos C；（2）若a cos B+b sin A＝c，，求b．【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求cos C，（2）由已知结合正弦定理及和差角公式可求A，然后结合诱导公式及和角正弦可求sin B，再由正弦定理即可求解b．解：（1）∵a2+b2﹣c2＝2S，所以2ab cos C＝ab sin C，即sin C＝2cos C＞0，sin2C+cos2C＝1，cos C＞0，解可得，cos C＝，（2）∵a cos B+b sin A＝c，由正弦定理可得，sin A cos B+sin B sin A＝sin C＝sin（A+B），故sin A cos B+sin B sin A＝sin A cos B+sin B cos A，所以sin A＝cos A，∵A∈（0，π），所以A＝，所以sin B＝sin（A+C）＝sin（）＝＝，由正弦定理可得，b＝＝＝3．18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在棱C1C，A1A上，且C1M＝2MC，A1N＝2NA．（1）求证：NC1∥平面BMD；（2）若A1A＝3，AB＝2AD＝2，∠DAB＝，求二面角N﹣BD﹣M的正弦值．【分析】（1）连接BD，AC交于E，取C₁M的中点F，连接AF，ME，先证明平行四边形C1FAN，所以C1N∥FA，最后得出结论；（2）根据题意，以D为原点，以DA，DB，DD₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用夹角公式求出即可．解：（1）连接BD，AC交于E，取C1M的中点F，连接AF，ME，由C1M＝2MC，A1N＝2NA，故C1F＝AN，以且C1F∥AN，故平行四边形C1FAN，所以C1N∥FA，根据中位线定理，ME∥AF，由ME⊂平面MDB，FA⊄平面MDB，所以FA∥平面MDB，NC1∥FA，故NC1∥平面BMD；（2）AB＝2AD＝2，∠DAB＝，由DB2＝1+4﹣2×1×2×cos＝3，由AB2＝AD2+DB2，得AD⊥BD，以D为原点，以DA，DB，DD₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，D（0，0，0），B（0，，0），M（﹣1，，1），N（1，，1），＝（0，，0），＝（﹣1，，1），＝（1，，1），设平面MBD的一个法向量为＝（x，y，z），由，令x＝1，得＝（1，0，1），设平面NBD的一个法向量为＝（a，b，c），由，得，由cos＜＞＝，所以二面角N﹣BD﹣M为，正弦值为1．19．已知以F为焦点的抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点P（1，﹣2），直线l与C交于A，B两点，M为AB中点，且．（1）当λ＝3时，求点M的坐标；（2）当＝12时，求直线l的方程．【分析】（1）将P代入抛物线方程，求得p的值，根据向量的坐标运算，即可求得M 的值；（2）方法一：根据向量的坐标运算，求得M的纵坐标，利用抛物线的“点差法”求得直线的斜率，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l的方程；方法二：设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理，中点坐标公式，及向量的坐标运算，即可求得直线l的方程．解：（1）将P（1，﹣2）代入抛物线C：y2＝2px方程，得p＝2，所以C的方程为y2＝4x，焦点F（1，0），设M（x0，y0），当λ＝3时，，可得M（2，2）．（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由．可得（x0+1，y0﹣2）＝（λ，0），所以y0＝2，所以直线l的斜率存在且斜率，设直线l的方程为y＝x+b，联立，消去y，整理得x2+（2b﹣4）x+b2＝0，△＝（2b﹣4）2﹣4b2＝16﹣16b＞0，可得b＜1，则x1+x2＝4﹣2b，，，所以，解得b＝﹣6，b＝2（舍），所以直线l的方程为y＝x﹣6．方法二：设直线l的方程为x＝my+n，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立方程组，消去x，整理得y2﹣4my﹣4n＝0，△＝16m2+16n＞0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，则，则M（2m2+n，2m），由．得（2m2+n+1，2m﹣2）＝（λ，0），所以m ＝1，所以直线l的方程为x＝y+n，由△＝16+16n＞0，可得n＞﹣1，由y1y2＝﹣4n，得，所以，解得n＝6或n＝﹣2，（舍去）所以直线l的方程为y＝x﹣6．20．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期≤6天潜伏期＞6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：P（K2≥k0）0.050.0250.010k0 3.841 5.024 6.635，其中n＝a+b+c+d．【分析】（1）根据统计数据计算平均数即可；（2）根据题意补充完整列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（3）根据题意知随机变量X～B（20，），计算概率P（X＝k），列不等式组并结合题意求出k的值．解：（1）根据统计数据，计算平均数为＝×（1×85+3×205+5×310+7×250+9×130+11×15+13×5）＝5.4（天）；（2）根据题意，补充完整列联表如下；潜伏期＜6天潜伏期≥6天总计50岁以上（含506535100岁）50岁以下5545100总计12080200根据列联表计算K2＝＝≈2.083＜3.841，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关；（3）根据题意得，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为＝，设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X，则X～B（20，），P（X＝k）＝••，k＝0，1，2， (20)由，得，化简得，解得≤k≤；又k∈N，所以k＝8，即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人．21．已知函数f（x）＝e x﹣aln（x﹣1）．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数）（1）若a∈R，求函数f（x）的极值点个数；（2）若函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，证明：+＞a．【分析】（1）求导后，分a≤0及a＞0讨论即可得出结论；（2）结合题意分析可知1+e﹣a﹣lna＞a，由及可证，进而得出结论．解：（1）易知，①若a≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）无极值点，即此时极值点个数为0；②若a＞0，易知函数y＝e x的图象与的图象有唯一交点M（x0，y0），∴，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）有较小值点x0，即此时函数f（x）的极值点个数为1；综上所述，当a≤0时，函数f（x）的极值点个数为0；当a＞0时，函数f（x）的极值点个数为1；（2）证明：∵函数f（x）在区间（1，1+e﹣a）上不单调，∴存在为函数f（x）的极值点，由（1）可知，a＞0，且，即，两边取自然对数得1﹣a+e﹣a＞lna，即1+e﹣a﹣lna＞a，要证+＞a，不妨考虑证，又易知e x≥1+x，∴，即，又，∴，∴，即，∴，∴+＞a．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求C2的直角坐标方程；（2）直线C1与C2相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若2|EF|＝|PE|+|PF|，求直线C1的普通方程．【分析】（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，利用互化公式可得普通方程．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＞0，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．利用根与系数的关系可得：|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，解出α即可得出．解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ．即ρ2＝4ρsinθ，可得普通方程：x2+y2＝4y．（2）点P的极坐标为，可得直角坐标为（﹣2，0）．把直线C1的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），代入C2方程可得：t2﹣（4cosα+4sinα）t+12＝0，△＝﹣48＞0，可得：sin（α+）＞，或sin（α+）＜﹣，由α为锐角．可得：sin（α+）＞，解得：0＜α＜．则t1+t2＝4cosα+4sinα，t1t2＝12．∴|EF|＝＝4，|PE|+|PF|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝8|sin（α+）|，∴8＝8|sin（α+）|，∴化为：sin（α+）＝1，∴α＝+2kπ，k∈Z．α满足0＜α＜．可得α＝．∴直线C1的参数方程为：，可得普通方程：x﹣y+2＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（1）≥9；（2）ac+bc+ab﹣abc≤．【分析】（1）利用乘一法，结合基本不等式即可求证；（2）ac+bc+ab﹣abc）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），再利用基本不等式即可求证．【解答】证明：（1）＝，当且仅当时，等号成立；（2）∵a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，∴c＝1﹣a﹣b，1﹣a＞0，1﹣b＞0，1﹣c＞0，∴ac+bc+ab﹣abc＝（a+b﹣ab）c+ab＝（a+b﹣ab）（1﹣a﹣b）+ab＝（b﹣1）（a﹣1）（a+b）＝（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c），∴ac+bc+ab﹣abc≤，当且仅当时，等号成立．。

的中点．直线
DB1 与平面
EFC
的交点 O
,则
DO OB1
的值为
D1
F A1
A． 4 5
B． 3 5
C． 1 3
D． 2 3
D
A
E
C1 B1
C B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 x 轴为曲线 f (x) = 4x3 + 4(a −1)x +1的切线，则 a 的值为
2
3
得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论：
①函数 f (x) 的图象关于直线 x = 5π 对称 12
②函数 f (x) 的图象关于点 ( π , 0) 对称 12
③函数
f
(x)
在区间
−
π 2
,
−
π 12
上单调递减
④函数
f
(x)
在
π 4
,
3π 2
上有
3
个零点
其中所有正确结论的编号是
A．①②
S
A B
D C
19．（本小题满分 12 分）
_________.
16．在平面直角坐标系中，过椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(
a b 0)的左焦点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点，
C 为椭圆的右焦点，且 ABC 是等腰直角三角形，且 A = 90 ，则椭圆的离心率为
．
三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）

2020广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）（带解析）一、选择题：1.若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A. {2，4}B. {4，6}C. {6，8}D. {2，8}2.若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A. 2B. 3C. ﹣2D. ﹣33.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A. B. C. D.4.等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，则=（）A. ﹣3B. ﹣1C. 1D. 35.直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A. B. C. D. 26.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A. 4πB. πh2C. π（2﹣h）2D. π（4﹣h）27.函数f（x）= •cosx的图象大致是（）A. B.C. D.8.已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）A. ac＞bcB. a c＞b cC. log a（a﹣c）＞log b（b﹣c）D. ＞9.执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）A. 335B. 336C. 337D. 33810.已知F是双曲线E：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A. B. 2 C. 3 D. 411.已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）= ，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+ ﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A. （0，）B. （2 ，+∞）C. （e+ ，+∞）D. （+ ，+∞）二、填空题：13.已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则| + |=________．14.（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为________（用数字作答）．15.若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=________．16.已知数列{a n}满足na n+2﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n+1对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________．三、解答题：17.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a= csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c= ，求△ABC的面积S的最大值．18.如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE= ，∠EAD=∠EAB．（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b 的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．20.已成椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2= 为菱形A1B1A2B2的内切圆．（1）求椭圆C的方程；（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN 的面积不小于n2，求n的取值范围．21.已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．22.在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出这个定值．23.已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．（1）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；（2）若[﹣1，1]⊆M，求实数a的取值范围．答案解析部分一、<b >选择题：</b>1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】C8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】D12.【答案】C二、<b >填空题：</b>13.【答案】514.【答案】-515.【答案】316.【答案】[0，+∞）三、<b >解答题：</b>17.【答案】（1）∵2a= csinA﹣acosC，∴由正弦定理可得：2sinA= sinCsinA﹣sinAcosC，∵sinA≠0，∴可得：2= sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣）=1，∵C∈（0，π），可得：C﹣∈（﹣，），∴C﹣= ，可得：C=（2）∵由（1）可得：cosC=﹣，∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当b=a时取等号）∴S△ABC= absinC= ab≤ ，可得△ABC面积的最大值为18.【答案】（1）证明：连接EG，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，在△EAD和△EAB中，AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，∴△EAD≌△EAB，∴ED=EB，则BD⊥EG，又AC∩EG=G，∴BD⊥平面ACEF，∵BD⊂平面ABCD，∴平面ACEF⊥平面ABCD（2）解法一：过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，∵EF⊥GM，EF⊥BD，∴EF⊥平面BDM，∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角，可求得MG= ，DM=BM= ，在△DMB中，由余弦定理可得：cos∠BMD= ，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为；解法二：如图，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，∵MG⊥平面ABCD，∴直线GM、GA、GB两两互相垂直，分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，则D（0，﹣1，0），B（0，1，0），E（），F（），，，设平面BEF的一个法向量为，则，取z=2，可得平面BEF的一个法向量为，同理可求得平面DEF的一个法向量为，∴cos＜＞= = ，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为．19.【答案】（1）解：当0≤x≤200时，y=0.5x；当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，所以y与x之间的函数解析式为：y=（2）解：由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020（3）解：由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的概率分布列为：所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.520.【答案】（1）解：由题意知2a=4，所以a=2，所以A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），则直线A2B2的方程为，即bx+2y﹣2b=0，所以= ，解得b2=3，故椭圆C的方程为（2）解：由题意，可设直线l的方程为x=my+n，m≠0，联立，消去x得（3m2+4）y2+6mny+3（n2﹣4）=0，（*）由直线l与椭圆C相切，得△=（6mn）2﹣4×3×（3m2+4）（n2﹣4）=0，化简得3m2﹣n2+4=0，设点H（mt+n，t），由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），则• =﹣1，解得：t=﹣，所以△F1HN的面积= （n+1）丨﹣丨= ，代入3m2﹣n2+4=0，消去n化简得= 丨m丨，所以丨m丨≥ n2= （3m2+4），解得≤丨m丨≤2，即≤m2≤4，从而≤ ≤4，又n＞0，所以≤n≤4，故n的取值范围为[ ，4]21.【答案】（1）解：对函数f（x）求导得f′（x）=lnx+1，∴f′（e﹣2）=lne﹣2+1=﹣1，又f（e﹣2）=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2，∴曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程为y﹣（﹣2e﹣2）=﹣（x﹣e﹣2），即y=﹣x﹣e﹣2；（2）解：记g（x）=f（x）﹣λ（x﹣1）=xlnx﹣λ（x﹣1），其中x＞0，由题意知g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，下面求函数g（x）的最小值，对g（x）求导得g′（x）=lnx+1﹣λ，令g′（x）=0，得x=eλ﹣1，当x变化时，g′（x），g（x）变化情况列表如下：min极小值=g（eλ﹣1）=（λ﹣1）eλ﹣1﹣λ（eλ﹣1﹣1）=λ﹣eλ﹣1，∴λ﹣eλ﹣1≥0，记G（λ）=λ﹣eλ﹣1，则G′（λ）=1﹣eλ﹣1，令G′（λ）=0，得λ=1，当λ变化时，G′（λ），G（λ）变化情况列表如下：（）max（λ）极大值=G（1）=0，故λ﹣eλ﹣1≤0当且仅当λ=1时取等号，又λ﹣eλ﹣1≥0，从而得到λ=1（3）解：先证f（x）≥﹣x﹣e﹣2，记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，则h′（x）=lnx+2，令h′（x）=0，得x=e﹣2，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况列表如下：。

深圳市2020届普通高中高三年级统一模拟测试数 学（理科）本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 }3210{，，，=A }032|{2<--=x x x B A B = A ． )3,1(-B ．]3,1(-C ．)3,0(D ．]3,0(2．设，则的虚部为 23i32iz +=-z 3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 4．记为等差数列的前项和，若，，则为n S {}n a n 23a =59a =6S 5．若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心22221x y a b-=0a >0b >(1,2)-率为6．已知，则tan 3α=-πsin 2()4α+=7．的展开式中的系数为 7)2(xx -3x A ．1-B ．1C ．2-D ．2A ．25B ．23C ．12 D.07A ．36B ．32C ．28 D. 24ABC D.2A ．35B ．35-C ．45D ．45-A ．168B ．84C ．42 D.218．函数的图像大致为()2ln |e 1|xf x x =--9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体 1的三视图，则该四面体的外接球表面积为AB ． 32πC ．36πD ．48π10．已知动点在以，为焦点的椭圆上，动点在以为圆心，半径长M 1F 2F 2214yx +=N M 为 的圆上，则的最大值为 1||MF 2||NF 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则O H ABC M BC A ． 33AB AC HM MO +=+B ．33AB AC HM MO +=- C ． 24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-12．已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的π[04，π()sin()(0)6f x x ωω=->3ωω取值个数最多为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分．13．若满足约束条件，则的最小值为 ___________．y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+101022x y x y x y x z 2-=14．设数列的前项和为，若，则___________． {}n a n n S n a S n n -=2=6aA BC DA ．2B ．4C ．8D ．16A ．4B ．3C ． 2 D.1 （第9题图）15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验012…9证码称为“递增型验证码”(如)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码0123的首位数字是的概率为___________．116．已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经1(,)2M m m -1(,2N n n -()m n ≠MN P 过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线相切，则P 21:2C y x x =+(13)x -≤≤的最大值为___．||m n -三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，ABC A B C a b c ABC S .222+2a b c S -=（1）求；cos C （2）若，，求. cos sin a B b A c +=a =b18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面是平行四边形， 点，分别1111ABCD A B C D -ABCD M N 在棱，上，且，.1C C 1A A 12C M MC =12A N NA =（1）求证：平面；1//NC BMD （2）若，，， 13A A =22AB AD ==π3DAB ∠=求二面角的正弦值. N BD M --19．（本小题满分12分）已知以为焦点的抛物线过点，直线与交于，两点，F 2:2(0)C y px p =>(1,2)P -l C A B 为中点，且.M AB OM OP OF λ+=u u u r u u u r u u u r （1）当时，求点的坐标；3λ=M （2）当时，求直线的方程. 12OA OB ⋅=u u r u u u rl 20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天6≤潜伏期天6>总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？20附：0.05 0.025 0.0103.8415.0246.635，其中. ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=d c b a n +++=)(02k K P ≥0k21．（本小题满分12分） 已知函数.（其中常数，是自然对数的底数） ()e ln(1)xf x a x =--e=2.718 28⋅⋅⋅（1）若，求函数的极值点个数；a ∈R ()f x （2）若函数在区间上不单调，证明：. ()f x (1,1+e )a-111a a a +>+（二）选考题：共 10 分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为倾斜xOy 1C ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x t α角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为x 2C ．θρsin 4=（1）求的直角坐标方程；2C（2）直线与相交于两个不同的点，点的极坐标为，若1C 2C F E ,P π)，求直线的普通方程．PF PE EF +=21C23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知为正数，且满足 证明： ,,a b c 1.a b c ++=（1）； 1119a b c++≥（2） 8.27ac bc ab abc ++-≤理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.D12.C12.解析：当πππ462ω->时，即83ω>时，max ()13f x ω==，解得3ω=；当πππ462ω-≤时，即803ω<≤时，max ππ()sin()463f x ωω=-=，令ππ()sin()46g ωω=-，()3h ωω=，如图，易知()y g ω=，()y h ω=的图象有两个交点11(,)A y ω，22(,)B y ω，所以方程ππsin()463ωω-=有两个实根12ωω，，又888()1()393g h =>=，所以易知有1283ωω<<，所以此时存在一个实数1ωω=满足题设，综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选C.二、填空题：13.3-14.6315.41516.4316.解析：由对称性不妨设m n <，易知线段MN 所在直线的方程为12y x =-，又21122x x x +>-，∴点P 必定不在曲线C 上，不妨设1(,)2P t t -，()m t n ≤≤，且过点P 的直线l 与曲线C 相切于点20001(,)2Q x x x +，易知0|x x PQ y k ='=，即2000011()()221x x t x x t +--+=-，整理得200210x tx --=，（法一）显然00x ≠，所以0012t x x =-，令1()f x x x=-，[1,0)(0,3]x ∈-U ，如图，直线2y t =和函数()y f x =的图象有两个交点，又(1)0f -=，且8(3)3f =，∴8023t ≤≤，即403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．（法二）由题意可知013x -≤≤，令2()21f x x tx =--，∴函数()f x 在区间[1,3]-上有两个零点，则2(1)20(3)86013440f t f t t t -=≥⎧⎪=-≥⎪⎨-<<⎪⎪=+>⎩V ，解得403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=.（1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，a =，求b .解：（1）2221=sin 22S ab C a b c S +-= ，，222sin a b c ab C ∴+-=，…………………………………………………………………2分在△ABC 中，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===，sin =2cosC C ∴，…………………………………………………………………………4分又22sin +cos C=1C，25cos C=1cosC=5∴±，，由于(0,π)C ∈，则sin 0C >，那么cosC>0，所以cosC=5.………………………6分（2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，……………7分sin sin[π()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ ，………………………8分sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B ∴+=+，即sin sin cos sin B A A B =，又,(0,π)A B ∈ ，sin 0B ∴≠，sin =cosA A ，得4A π=.……………………………9分sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+，……………………………………………10分sin sin cos cos sin 252510B AC A C ∴=+=⨯+⨯=，………………11分在△ABC中，由正弦定理得310sin 103sin 22a Bb A==.……………………………12分（法二）cos sin a B b A c += ，又cos cos a B b A c += ，cos sin cos cos a B b A a B b A ∴+=+，…………………………………………………8分即sin cos A A =，又(0,π)A ∈ ，π4A ∴=.……………………………………………9分在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分cos cos b C A a C =+，325c ∴==.………………………………………………………12分（法三）求A 同法一或法二在△ABC中，由正弦定理得25sin 5sin 22a Cc A===………………………10分又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2230b b --=，解得1b =-或3b =.所以3b =.……………………………………………………………………………12分（余弦定理2222cos a b c b A =+-，得2430b b -+=，解得1b =或3b =.因为当1b =时，222+-20a b c -=<，不满足cosC>0(不满足222+22a b c S -=-≠)，故舍去，所以3b =）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.E GMDN 1D 1C 1B 1A CBAGEMDN1D 1C 1B 1A CBAMDN1D 1C 1B 1A CBA （第18题图）18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若1322A A AB AD ===，，π3DAB ∠=，求二面角N BD M --的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接AC 交BD 于点G ，连接MG ．设1C M 的中点为E ，连接AE ．………2分,G M 是在△ACE 边,CA CE 的中点，∴//MG AE ，……………………………………3分又 12C M MC =，12A N NA =，11//AA CC ，∴四边形1ANC E 是平行四边形，故1//NC AE ，∴1//NC GM ，…………………………………4分 GM ⊂平面BMD ，∴1//NC 平面BMD .…………………………………5分（法二）如图，设E 是1BB 上一点，且12BE B E =，连接1EC .设G 是BE 的中点，连接GM .……………………1分11//BE MC BE MC =，，∴四边形1BEC M 是平行四边形，故1//EC BM ，……2分又 BM ⊂平面BMD ，∴1//EC 平面BMD ，…………………………………3分同理可证//NE AG ，//AG DM ，故//NE DM ，MDN1D 1C 1B 1A CBA ∴//NE 平面BMD ，…………………………………4分又 1EC NE ⊂，平面1NEC ，且1NE C E E = ，∴平面1//NEC 平面BMD ，又1NC ⊂平面1NEC ，所以1//NC 平面BMD .……………5分（2）（法一）设二面角N BD M --为α，二面角N BD A --为β，根据对称性，二面角M BD C--的大小与二面角N BD A --大小相等，故π2αβ=-，sin sin(π2)sin 2αββ=-=.下面只需求二面角M BD C --的大小即可.………7分由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………8分四棱柱1111ABCD A B C D -为直棱柱，∴1DD ⊥底面ABCD ，1DD BD ⊥，……………………9分又 1,AD D D ⊂平面11ADD A ，1AD D D D = ，BD ∴⊥平面11BDD B ，…………………………………10分ND ⊂ 平面11ADD A ，ND BD ∴⊥，所以二面角N BD A --的大小为NDA ∠，即NDA β∠=，在Rt NAD ∆中，sin 2AN ND β===，…………11分∴π4β=，π2α=，∴二面角N BD M --的正弦值为1.…………………12分（法二）由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，故222AB AD BD =+，AD BD ⊥.……………………6分以D 为坐标原点O ，以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.zyxMDN1D 1C 1B1A CBA依题意有(0,0,0)D ，B ，(M -，N ，DB = ，(DM =-，DN =，……7分设平面MBD 的一个法向量为(,,)n x y z=，00n DB n DM⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x z=∴-+=⎪⎩，令1x =，则1z =，0y =，(1,0,1)n∴=，……………9分同理可得平面NBD 的一个法向量为(1,0,1)m=-，……10分所以cos ,0||||m nm n m n ⋅<>===，……………11分所以二面角N BD M --的大小为π2，正弦值为1.…12分【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当=3λ时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=uur uu u r时，求直线l 的方程.解：（1）因为(1,2)P -在22y px =上，代入方程可得2p =，所以C 的方程为24y x =，焦点为(1,0)F ，…………………………………2分设00(,)M x y ，当=3λ时，由3OM OP OF +=uuu r uu u r uu u r，可得(2,2)M ，………………4分（2）（法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，可得00(1,2)(,0)x y λ+-=，所以0=2y ，所以l 的斜率存在且斜率121212042=1y y k x x y y y -===-+，……………7分可设l 方程为y x b =+，联立24y x by x=+⎧⎨=⎩得22(24)0x b x b +-+=，2244=16160b b b ∆=--->（2），可得1b <，………………………………9分则1242x x b +=-，212x x b =，2121212()4y y x x b x x b b =+++=，所以21212=412OA OB x x y y b b ⋅=++=uur uu u r，…………………………………11分解得6b =-，或2b =（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分（法二）设l 的方程为x my n =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩得2440y my n --=，216160m n ∆=+>，………………6分则124y y m +=，124y y n =-，21212()242x x m y y n m n +=++=+，所以2(2,2)M m n m +，…………………………………………………………7分由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，得2(21,22)(,0)m n m λ++-=，所以1m =，…………8分所以l 的方程为x y n =+，由16160n ∆=+>可得，1n >-，……………………………………………9分由124y y n =-得221212()16y y x x n ==，所以21212=412OA OB x x y y n n ⋅=+-=uu r uu u r，………………………………………11分解得6n =，或2n =-（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-.……………………………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位:天）]2,0[]4,2(]6,4(]8,6(]10,8(]12,10(]14,12(人数85205310250130155（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6≤天潜伏期6>天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，．．．．（即概率最大其中潜伏期超过6天的人数最有可能．．．．．）是多少？附：)(02k K P ≥0.050.0250.0100k 3.8415.0246.635))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.解：（1） 5.45131511130925073105205385110001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=）（x 天.……………………………………………………………………………2分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期6<天潜伏期6≥天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则212510001080120200)35554565(22=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯=K 2.083≈，………………………………………5分经查表，得 3.8412 2.083<≈K ，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关.……6分（3）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为521000400=，……7分设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ，则)52,02(~B X ,kk k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==02025352)(，0=k ，1，2，…，20，………8分由⎩⎨⎧-=≥=+=≥=)1()()1()(k X P k X P k X P k X P 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++-k k k k k k kk k kk k C C C C 121102020291110202025352535253525352，…………10分化简得⎩⎨⎧≥--≥+kk k k 3)12(2)02(2)1(3，解得542537≤≤k ,又N ∈k ,所以8=k ,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.…12分【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.71828⋅⋅⋅，是自然对数的底数）（1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+.解：（1）易知(1)e ()1x x af x x --'=-，1x >，………………………………………1分①若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，∴函数()f x 无极值点，即函数()f x 的极值点个数为0；……………………2分②若0a >，（法一）考虑函数(1)e (1)x y x a x =--≥，Q 1(1)e 0a y a a a a a ++=->-=，(1)0y a =-<，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有零点0x ，且011x a <<+，Q e 0x y x '=>，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥为单调递增函数，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有唯一零点0x ，∴(1)e ()1x x af x x --'=-亦存在唯一零点0x ，…………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（法二）易知函数e x y =的图象与1ay x =-(0)a >的图象有唯一交点00(,)M x y ，∴00e 1x ax =-，且01x >，…………………………………………………………………3分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣1分，即总分不得超过4分）（法三）对于0a ∀>，必存在*n N ∈，使得2ln an a->，即2ln na a -<，Q e 1na -<，∴1e 2ln e e e 0nana na a a a a --+--<-<-=，∴1e e e (1e )0e nana nanaa f --+---'+=<，又11e (1)=e 10a aa a f a a++-'+=->，∴函数(1)e ()1x x af x x --'=-有零点，不妨设其为0x ，显然()e (1)1xa f x x x '=->-为递增函数，∴0x 为函数()f x '的唯一零点，…………………………………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1，……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1.（2）Q 函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，∴存在0(1,1+e )a x -∈为函数()f x 的极值点，……………………………………6分∴由（1）可知0a >，且1+e e e (1+e )0eaa aaa f ----⋅-'=>，即1+e e aa a -->，两边取对数得1+e ln a a a -->，即1+e ln a a a -->，………………………………7分（法一）欲证111a a a +>+，不妨考虑证111+e ln 1a a a a -+≥-+，先证明一个熟知的不等式：e 1x x ≥+，令g()e 1x x x =--，则g ()e 1x x '=-，∴g (0)0'=，不难知道函数g()x 的极小值（即最小值）为g(0)0=，∴e 10x x --≥，即e 1x x ≥+，……………………………………………………8分（思路1：放缩思想）∴11e =e 1a a a -≤+，即1e 1a a -≥+，………………………9分又111eaa-≥，∴11e a a -≤，∴11ln a a -≤，即11ln a a ≥-，………………………11分∴111+e ln 1a a aa -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………12分（思路2：构造函数）令1()ln 1a a a ϕ=+-，则22111()a a a a aϕ-'=-=，不难知道，函数()a ϕ有最小值(1)0ϕ=，∴()0a ϕ≥，…………………………10分当0a >时，1e 1e 01(1)ea aaa a a ----=>++，…………………………………………11分∴11ln 1e 01a a a a -+-+->+，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，∴111a a a +>+.…………………………………………………………………12分（法二）令()1+e ln x F x x x -=--，则1()e 10x F x x-'=---<，∴函数()F x 为单调递减函数，显然(2)2ln 220F <--<，且()0F a >，∴02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，不难证明1114173a a a +≥++，只需证明141+e ln 73a a a -≥-+，…………………………9分令14()e ln 173a G a a a -=-+-+，12a ≤≤，则22198198()e (73)(73)a G a a a a a -'=+->-++，当12a ≤≤时，22219849569(73)(73)a a a a a a -+-=++，显然函数249569y a a =-+在[1,2]上单调递增，且(1)20y =>，∴()0G a '>，即函数()G a 为单调递增函数，………………………………………10分∴当12a ≤<时，212e 5()(1)05e 5eG a G -≥=-=>，即()0G a >，………………11分141+e ln 73a a a -∴≥-+，即111a a a +>+，综上所述，必有111a a a +>+成立.…………………………………………………12分（法三）同（法二）得02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立；…………………………8分②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+，令11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤，则222111()e e (1)(1)a a a G a a a a ---'=-+≥-++，下证当12a ≤≤时，21e 0(1)aa -->+，即证2e (1)a a <+，即证2e 1aa <+，………9分令2()e 1a H a a =--，12a ≤≤，则21()e 12aH a '=-，当2ln 2a =时，()0H a '=，不难知道，函数()H a 在[1,2ln 2)上单调递减，在(2ln 2,2]上单调递增，∴函数()H a 的最大值为(1)H ，或(2)H 中的较大值，显然(1)20H =-<，且(2)e 30H =-<，∴函数()H a 的最大值小于0，即()0H a <，亦即2e 1a a <+，…………………………10分∴21e 0(1)a a -->+，即()0G a '>，∴函数11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤单调递增，易知11(1)02eG =->，∴()0G a >，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，………………………11分∴当12a ≤<时，有111a a a +>+成立，综上所述，111a a a +>+.…………………………………………………………12分【命题意图】本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为θρsin 4=，所以θρρsin 42=，………………1分又θρθρsin ,cos ==y x ，………………2分代入上式化简可得，0422=-+y y x ，………………3分所以2C 的直角坐标方程4)2(22=-+y x ．………………4分（2）易得点P 的直角坐标为)0,32(-，将⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x 代入2C 的直角坐标方程，可得012)sin 4cos 34(2=++-t t αα，………………5分22π4sin )48=[8sin()]4803ααα∆=+-+->，解得πsin()3α+>πsin()3α+<，不难知道α必为锐角，故π3sin()32α+>，所以ππ2π333α<+<，即π03α<<,………………6分设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则ααsin 4cos 3421+=+t t ，1221=⋅t t ，………………7分所以1t 与2t 同号，由参数t 的几何意义可得，1212π8sin()3PE PF t t t t α+=+=+=+，12EF t t =-==，………………8分所以π28sin()3α⨯=+，两边平方化简并解得πsin()13α+=，所以π2π6k α=+，k ∈Z ,因为π03α<<，所以π6α=，………………9分所以直线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,21,2332t y t x 消去参数t ，可得直线1C 的普通方程为0323=+-y x ．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c 为正数，且满足 1.a b c ++=证明：（1）1119a b c++≥；（2）8.27ac bc ab abc ++-≤证明：（1）因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭3b a c a c ba b a c b c=++++++3≥++（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………5分（2）（法一）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，所以ac bc ab abc++-()a b ab c ab =+-+()1a b ab a b ab=+---+（）(1)(1)()b a a b =--+(1)(1)(1)a b c =---3(1)(1)(1)8327a b c -+-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦，所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c ===时，等号成立）.………………10分（法二）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，()1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc ++-=-+++++-()()()()1111a b a c a bc a =-+-+-+-()()11a b c bc =--++⎡⎤⎣⎦()()()111a b c =---()338327a b c -++⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c===时，等号成立）.………………10分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．深圳市2020年普通高中高三年级统一测试数学（理科）试题参考答案第16页共16页。

广东深圳市2020年高考数学（理）模拟试卷年高考数学（理）模拟试卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U = R ，A =10x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，则U A=（ ）． A ．10x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.｛x | x > 0｝ C.｛x | x ≥0｝ D.1x x ⎧⎨⎩≥0⎭⎬⎫ 2．是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的”的 ( ) ( )． A ．充分不必要条件．充分不必要条件 B B ．必要不充分条件．必要不充分条件 C C ．充要条件．充要条件 D D ．既不充分也不必要条件．既不充分也不必要条件3 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为项为 （ ）． A ．25B ．6C ．7D ．84.4.设两个非零向量设两个非零向量12,e e v v 不共线，若12ke e +v v 与12e ke +v v也不共线，则实数k 的取值范围为的取值范围为 （ ）．A ．(,)-∞+∞B ．(,1)(1,)-∞-⋃-+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞ 5.5.曲线曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则，…，则|P |P 2P 4|等于（等于（ ）． A ．π B ．2π C ．3π D ．4π6．右图为函数log n y m x =+ 的图象，其中m ，n 为常数，为常数，则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（ ）．A ．m < 0 , n >1B ．m > 0 , n > 1C ．m > 0 , 0 < n <1D ．m < 0 , 0 < n < 1 7．一水池有2个进水口，个进水口，1 1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. .某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）（至少打开一个水口）给出以下3个论断：个论断：①0点到3点只进水不出水；②点只进水不出水；②33点到4点不进水只出水；③点不进水只出水；③ 4 4点到6点不进水不出水点不进水不出水..则一定能确定正确的论断是则一定能确定正确的论断是A ．①．①B B ．①②．①②C C ．①③．①③D D ．①②③．①②③ 8.下列程序执行后输出的结果是( C )A 、-1B 、0C 、1D 、2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案写在横线上）．9、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130-140分数段的人数为90人，则90-100分数段的人数为分数段的人数为n=5 s=0WHILE s<14 s=s+nn=n-1 WAND PRINT n END1010．．0000sin168sin 72sin102sin198+= ．1111．已知．已知i ， j为互相垂直的单位向量，a = i – 2j ， b = i + λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是的取值范围是． 12已知函数()f x ,对任意实数,m n 满足()()(),f m n f m f n +=⋅且 (1)(0),f a a =≠则()f n =()n N +∈. 13符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数{}[]x x x -=，那么下列命题中正确的序号是那么下列命题中正确的序号是 ． （1）函数{}x 的定义域为R ，值域为[]1,0； （2）方程{}21=x ，有无数解；，有无数解；（3）函数{}x 是周期函数；是周期函数； （4）函数{}x 是增函数是增函数. . 14.14.在平面直角坐标系中，已知曲线在平面直角坐标系中，已知曲线c ：2cos sin xy θθ=-+⎧⎨=⎩，（3,[,]22ππθθ∈为参数）则曲线c 关于y=x 对称的曲线方程是对称的曲线方程是三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 1515．．（本题满分12分）分） 已知02cos 22sin=-xx ，（Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．的值．16．（本题满分13分）分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．的分布列和数学期望．17．（本题满分13分）分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长； （Ⅱ）（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小；的大小；（Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．的距离． ABCD1A 1B 1C18．（本小题满分14分）分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．的坐标．19．（本题满分14分）分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；20．（本题满分14分）分）已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．的最大值．参考答案一、选择题：一、选择题：1. 答案：答案：C. C. {}A |0,U x x C A =<∴=Q ｛x | x ≥0｝,故选C.2.C3. （理）对于(1)n n +中，当n ＝６时，有6721,⨯=所以第２５项是７．选C.4.D5.5.Ａ．Ａ．Ａ． ∵)4cos()4sin(2ππ-+=x x y ＝2sin()sin()1cos(2)1sin 2442x x x x πππ++=-+=+，∴根据题意作出函数图象即得．选A ．6. 答案：Ｄ．当x=1时，时，y y ＝m ,由图形易知由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,0<n<1,故选Ｄ．故选Ｄ．故选Ｄ．7.A8.C二、填空题：二、填空题：9.810 1010．答案：．答案：12． 0sin168sin 72sin102sin198+=0sin12cos18cos12sin18sin30+=1.2=11. 答案：),2()2,(21---∞Y .2221+(-2)12121cos , 2.2515(1)5(1)λλλθθλλλλλ⋅--==⇒<≠-⋅+++由是锐角得是锐角得0<0<<1且12.na13. （2）、（3）14.22(2)1(32)x y y ++=-≤≤- 1515．．（本题满分12分）分） 已知02cos 22sin=-xx ，（Ⅰ）求x tan 的值；的值； （Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．的值．解：（Ⅰ）由02cos 22sin =-xx , 22tan =⇒x，………………………2分 342122tan12tan2tan 22-=-⨯=-=∴x xx ． …………………5分（Ⅱ）（Ⅱ） 原式＝原式＝ x x x xx sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--xx x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-= xx x sin sin cos +=…………………10分1cot +=x 1)43(+-= 41=．…………………12分 16．（本题满分13分）分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）x Θ、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． ……………3分 因此，随机变量ξ的最大值为3．Θ有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，种，92)3(==∴ξP ． 答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为91． ………5分（Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξΘ时，只有2,2==y x 这一种情况，这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况，四种情况，2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ．…………11分 则随机变量ξ的分布列为：的分布列为：ξ0 1 2 3P91 94 92 92 因此，数学期望914923922941910=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………13分17．（本题满分13分）分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ）（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小；的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆Θ是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=o． …………………………22分在AED Rt ∆中，23tan 4514AE EDx ==+o ，解得22x =．……………………33分 ∴此正三棱柱的侧棱长为22． …………………………………………44分 注：也可用向量法求侧棱长．注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE Θ侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角．的平面角．…………………………………………………………66分 在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又，又22231,sin 32(2)CD BE EBF BD =∠===+， ∴33EF =． A BCD 1A 1B 1C EFGH I又3,AE =∴在AEF Rt ∆中，tan 3AEAFE EF∠==．……………………………………………………88分 故二面角C BD A --的大小为arctan3． ……………………………………………………99分解法2：（向量法，见后）（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ．……………………1010分 在AEF Rt ∆中，2233303103(3)()3AE EF EG AF⨯⨯===+．……………………1212分Q E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD 的距离为230210EG =．……………………1313分解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．离．解法3：（思路）等体积变换:由C ABDA BCDVV--=可求．可求．解法4：（向量法，见后）（向量法，见后） 题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系xyz o -． 则(0,0,3),(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0)A B C D --．设1(,,)n x y z =r为平面ABD 的法向量．的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,021AD n AB n ρρ 得3230y z x y z ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩． 取1(6,3,1).n =--u r……………………66分又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =u u r……………………77分ABCD 1A 1B 1C x yzo∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ρρρρρρ． ……………………88分 结合图形可知，二面角C BD A --的大小为10arccos10． ……………………99分（Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(6,3,1),n =--u r (0,1,3).CA =-u u u r……………………1010分∴点C 到平面ABD 的距离11nn CA dρρ⋅=2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302．13分18． （本小题满分14分）分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．的坐标．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n且032212=+--⋅n m ．……2分解得52,59=-=n m ， 因此，点因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分 （Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义，，根据椭圆定义， 得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ．………………………………7分（Ⅲ）22=ca Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ．…………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离．的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ． 22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ，……………………………10分 令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ， Θ当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ，34-=t ，0)(='t f ． ∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值．时取得最小值．………………………………13分 因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分 注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心率．的最小值即为椭圆的离心率．19．（本题满分14分）分）已知数列}{na 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n nn n a a，*N n ∈．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；的通项公式； （Ⅱ）设nn na ab 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；解：（Ⅰ）经计算33=a，414=a ，55=a ，816=a ． 当n 为奇数时，22+=+nn a a ，即数列}{na 的奇数项成等差数列，的奇数项成等差数列，122)1(112-=⋅-+=∴-n n a an ；当n 为偶数，nn a a 212=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列，的偶数项成等比数列， n n n a a )21()21(122=⋅=∴-．因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()21()( 2为偶数为奇数n n n a n n ．（Ⅱ）Θnn n b )21()12(⋅-=，n n n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴-Λ……（……（11） 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ…（…（22） （1）、（2）两式相减，）两式相减，得132)21()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n nn S Λ 11)21()12(211])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ． n n n S )21()32(3⋅+-=∴．20．（本题满分14分）分） 已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 ,0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[n n +内总存在1+m 个实数个实数 m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，Θ 21)(x t x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t xy--=+-， 又Θ切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x--=+-， 即02121=-+t tx x，………………………………………………（………………………………………………（11） ………… 2分 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x．…………（．…………（22） 由（由（11）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根，的两根，⎩⎨⎧-=⋅-=+∴.,22121t x x t x x ………………（………………（ * * ） ……………………………………………… 4分 22211221)()(x tx x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x tx x -+-=])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=，把（把（ * * ）式代入）式代入）式代入,,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝1222--+x x t x ，即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ， 21x x ≠Θ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（………………（33） ………………………… 7 7分 把（把（**）式代入（）式代入（33），解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且三点共线，且21=t ． ……………………9分 （Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[n n +上为增函数，上为增函数，∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i Λ，则)64()()()()2(21nn g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅Λ． 依题意，不等式)64()2(n n g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立，恒成立， …………11分 )64(20)n6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅，即)]64()n64[(n 612n n m +++<对一切的正整数n 恒成立，．1664≥+n n Θ， 3136]1616[61)]64()n64[(n 6122=+≥+++∴n n ， 3136<∴m ．由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====ma a a Λ，161=+m a，对所有的n 满足条件．满足条件．因此，m 的最大值为6． ……………………………14分解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．最大值，即是所求值．1664≥+nn Θ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分当]16,2[∈ia)1,,2,1(+=m i Λ时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅，解得3136<m ． ……………………………13分 后面解题步骤与解法1相同（略）．。

，S
ABC
1 b c sin A 2
由双曲线定义可知： 2a =| NF1 | − | NF2 |=| MN | + | MF1 | − | NF2 | ，
| MN |=| NF2 | + | OF2 | ，且| OF2 |= c ， 2a = b + c ， b = c − 2a ，
b2 = (c − 2a)2 = c2 − 4ac + 4a2 ，
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试题类型：A
2020 年深圳市高三第一次调研考试
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1. C
2. D
3. C
4. A
5. D
6. A
7. D
8. B
9. C
10. B
11. A
12. B
11. 解析：
曲线
y
=
f
(x) 关于点 ( 1 ,0) 4
对称，
1 4
+
=
k1π ，（k1 Z)
1 12
(k
Z)
，
令0
k 3
+
1 12
1 ，则可取
k
=Leabharlann 0,1, 2 ，x0=
1,5, 12 12
3 4
，结论②正确；
令−
π 2
+ 2kπ
3πx
+
π 4
π 2
+ 2kπ
，则
f
(
x)
的递增区间为
−
1 4
+
2 k, 1 3 12
+
2 3
k
(k Z)

A. 1B. 0C. 1007D. ﹣1006
【答案】A
【解析】
直接利用数列的关系式的应用归纳关系式所表现的规律，进一步求出结果．
【详解】由于 ，
所以 .
故选：A．
7.已知变量 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过A时，最大，从而得出目标函数z＝﹣2x+y的取值范围．
又 , .故 . ,
因为 ,所以 .
又 .故 .
故 当且仅当 时取等号.
故选：B
12.已知函数 ，对于函数 有下述四个结论：①函数 在其定义域上为增函数；②对于任意 ， ，都有 成立；③ 有且仅有两个零点；④若 ，则 在点 处的切线与 在点 处的切线为同一直线.其中所有正确的结论有( )
A. ①②③B. ①③C. ②③④D. ③④
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
利用定义求出 ， ，根据双曲线的对称性可得 为平行四边形，从而得出 ，在 内使用余弦定理可得出 与 的等量关系，从而得出双曲线的离心率.
【详解】由题意， ， ， ， .
连接 、 ，根据双曲线的对称性可得 为平行四边形，
， ，
由余弦定理可得 ， ， ，
故选B.
10.设 是定义在R上的偶函数，且当 时， .若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数a的最大值是（ ）
【答案】B
【解析】
由题意，得 ，所以 ．因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ，即 ，当 时， 取得最小值 ，故选B．
6.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，则 （ ）

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，集合，则A. B. C. D.2.下列函数中为奇函数的是A. B. C. D.3.已知复数，则z的共轨复数A. B. C. D.4.已知是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是A. B.C. D.5.将直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，则直线的方程为A. B.C. D.6.已知数列为等比数列，若，，则A. B. 8 C. D. 167.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.8.已知过原点O的直线l与曲线C：相切，则l的斜率为A. B. C. D. e9.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的数术记遗年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”未记数或表示零时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为A. B. C. D.10.已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PF的中点，连接OM，则的最小面积为A. 1B.C. 2D. 411.已知定义在R上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：；函数在上有且仅有3个极值点；函数在上单调递增；函数的最小正周期是2．其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.12.将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起，顶点B移动至B处，在以点，A，C，为顶点的四面体中，棱AC、的中点分别为E、F，若，且四面体的外接球球心落在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记为等差数列的前n项和，若，则数列的公差为______．14.某地为了解居民的每日总用电量万度与气温之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温19139每日总用电量万度24343864经分析，可用线性回归方程拟合y与X的关系．据此预测气温为时，该地当日总用电量万度为______．15.已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为______．16.已知点、分别为双曲线C：的左、右焦点，点为C的渐近线与圆的一个交点，O为坐标原点，若直线与C的右支交于点N，且，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数．求函数的最小正周期；已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求的面积．18.已知三棱柱的所有棱长都相等，平面平面ABC，C.求证：平面；求二面角的余弦值．19.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为，左顶点为A，过点A的直线l与C交于另一个点M，且与直线交于点N．求椭圆C的方程；是否存在实数t，使得为定值？若存在，求实数t的值；若不存在，请说明理由．20.某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值同一组数据用该组区间的中点值代替，且利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均为100分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉即减去一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为；每答对一题加分，答错既不加分也不减分；答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？参考数据：；若，则，，．21.已知函数．当时，求的导函数在上的零点个数；若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．22.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，，，，，弧所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧．分别写出，的极坐标方程：点E，F位于曲线上，且，求面积的取值范围．23.已知．若，求实数t的取值范围；求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，集合，故选：C．求出集合A，集合B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其定义域为R，有，且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于B，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；对于C，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；对于D，，有，解可得，即其定义域为，有，为奇函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，关键是函数奇偶性的定义，属于基础题．3.答案：C解析：解：，复数，的共轨复数．故选：C．直接利用复数运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数的高次乘方运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4.答案：A解析：解：函数对数和在上单调递增，且，，又，，故选：A．利用对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．5.答案：D解析：解：直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，设直线的斜率为k，则根据到角公式的应用，，解得，所以直线的方程为，整理得．故选：D．直接利用到角公式的应用和点斜式的应用求出结果．本题考查的知识要点：到角公式的应用，直线方程的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.答案：A解析：解：数列为等比数列，若，所以：，由于，所以，整理得．故选：A．直接利用关系式的变换和等比性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：D解析：解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．如图所示：故．故选：D．首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：由题意设切点为，，．，由切线过原点得，所以，所以．故选：B．设切点为，然后利用导数求出切线方程，将代入即可求出切点坐标，问题可解．本题考查导数的几何意义与切线的求法，属于基础题．9.答案：C解析：解：选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，基本事件总数，这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6个，这个数能被3整除的概率为．故选：C．基本事件总数，利用列举法求出这个数能被3整除包含的基本事件有6个，由此能求出这个数能被3整除的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：设，，设P在x轴上方，由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为，联立直线与抛物线的方程，整理可得，，，因为M为PF的中点，所以，所以，所以，故选：B．由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程，与抛物线联立球心两根之和及两根之积，可得PF的中点M的纵坐标，由，整理可得由，而为定值可得的面积的最小值本题考查直线与抛物线的综合及均值不等式的应用，属于中档题．11.答案：A解析：解：曲线关于点对称，所以：；又因为其图象关于直线对称，所以：，；由可得：即，；因为数在上有且仅有3个零点，所以，即，；由可得；，，又，；；所以易知；错误；令，则，；令，则可取，1，2；，，；正确；令；；当时，为的一个递增区间，而，在上单调递增，正确；；；错误．综上所述，其中正确的结论为；故选：A．先根据条件求得函数的解析式，再结合三角函数的性质判断选项即可．本题主要考查命题的真假判断以及三角函数的图象和性质，属于中档题目，也是易错题目．12.答案：B解析：解：如图，由已知可得，，且，平面，是AC的中点，到点A、C的距离相等的点位于平面ACF内，同理可知，到点、D的距离相等的点位于平面ACF内，球心O到点A，，C，D的距离相等，球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上．球心O落在线段EF上不含端点E、，显然，由题意，，则，且．，，则，显然，，即．又，．故选：B．由题意画出图形，可证平面，得到球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上，由勾股定理结合，，可得线段EF长度的取值范围．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，属中档题．13.答案：解析：解：设等差数列的公差为d．，，则数列的公差．故答案为：．利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：32解析：解：由题意可知：，，所以，解得．线性回归方程，预测气温为时，可得．故答案为：32．求出样本中心，代入回归直线方程，求出a，然后求解该地当日总用电量．本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．15.答案：3解析：解：以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，．故答案为：3．以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，再分别写出C、D、E三点坐标，结合平面向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查平面向量在几何中的应用，在规则平面多边形中建立坐标系求解可事半功倍，考查学生的运算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：如图，由题意可得，直线与圆O相切于点M，且，由双曲线的定义可知，，，且，，即，，又，联立解得，即．故答案为：．由题意画出图形，可得直线与圆O相切于点M，且，再由双曲线的定义及隐含条件列式求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：解：，函数的最小正周期；，，，，即，由正弦定理以及可得，由余弦定理可得，可得，，．解析：根据三角函数恒等变换的应用和正弦函数的性质即可求出；先求出A的值，再根据正弦定理余弦定理即可求出b的值，根据三角形的面积公式可得．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：设直线与直线交于点G，连结，四边形是菱形，，，G为的中点，，，平面．解：取BC中点O为坐标原点，如图，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设棱柱的棱长为2，则1，，0，，0，，，0，，1，，2，，设平面的一个法向量y，，则，取，得，设平面的一个法向量为b，，则，取，得0，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．解析：设直线与直线交于点G，连结，推导出，，由此能证明平面．取BC中点O为坐标原点，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19.答案：解：由题意可得，即，，，解得，，则椭圆C的方程为；假设存在实数，使得为定值．由题意可得直线l的斜率存在，由，可设直线l的方程为，，联立，可得，由韦达定理可得，即，，即，将代入，可得，则，若为定值，则，解得，此时为定值，所以存在实数，使得为定值．解析：由题意可得，运用椭圆的离心率的公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，进而得到椭圆方程；假设存在实数，使得为定值．可设直线l的方程为，，联立椭圆的方程，运用韦达定理，求得M的坐标，将代入，求得N的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，结合定值，可得所求值．本题以直线和椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查椭圆的基本量，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积的运算，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思维能力，属于中档题．20.答案：解：由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有：人，其中成绩优良的人数为人，记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件C，则恰有1人预赛成绩优良的概率：．由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，又由，，，估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数为：，即全市参赛学生中预赛成绩不低于91分的人数为182．以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，，依题意为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，设甲答完n题的分数为，则，由于，当时，取最大值105，即复赛成绩的最大值为105．若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10．解析：求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，由此能求出恰有1人预赛成绩优良的概率．样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，由，得，从而，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，，为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，设甲答完n题的分数为，则，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n的值．本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：易知，显然，所以是的一个零点，令，则时，，所以在单调递减，在单调递增，则的最小值为，又，且，所以在上存在唯一零点，则在上亦存在唯一零点，因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，综上所述，当时，的导函数在上的零点个数为3；不等式恒成立，即不等式恒成立，令，则等价于不等式恒成立，若，即时，不等式显然成立，此时，若时，不等式等价于设，当时，，令则，已知，，且，则在，上单调递减，在上单调地增，又，，所以在上恒成立，所以在上单调递减，则，显然函数为偶函数，故函数在上的最大值为1，因此，综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．解析：易知，显然，对导函数求导得到，在单调递减，在单调地增，则可得在上存在唯一零点，所以在上亦存在唯一零点，因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，故共3个零点；条件等价于不等式恒成立，令，则等价于不等式恒成立，则若，即时，不等式显然成立，此时，若时，不等式等价于，构造函数，利用导数求得单调性进而可判断a的范围．本题考查函数导数的综合应用，考查利用导数判断函数零点个数，导数求函数单调性，属于难题．22.答案：解：由题意可知：的极坐标方程为．记圆弧AD所在圆的圆心易得极点O在圆弧AD上．设为上任意一点，则在中，可得所以：，的极坐标方程为和设点，点，，所以，．所以．由于，所以．故．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．曲线是弧，本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：，取等号的条件为，解得，即实数t的取值范围为；证明：易知，，，，．解析：利用绝对值不等式的性质可得，解出即可；利用绝对值不等式及基本不等式即可得证．本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大．。

绝密★启用前2019-2020学年度???学校5月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合11|22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=<≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭,则()R A B =( ) A ．∅B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-2．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是（ ） A ．724a -<< B ．7a =或24a = C ．7a <或24a >D ．247a -<<4．已知()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭…………○………………○……A．B．2C．3D6．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）A B．C．13D．7．在等差数列{}n a中，n S为其前n项的和，已知81335a a=，且1a>，若nS取得最大值，则n为（）A．20 B．21 C．22 D．238．已知抛物线28y x=，过点()2,0A作倾斜角为的直线3π，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为（）A．163B．83C．3D．9．已知函数()()sinf x xωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论：①函数()f x的图象关于直线512xπ=对称②函数()f x的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()f x在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减④函数()f x在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．③④C．②③D．①③10．甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以3:1获胜的概率是（）A．0.0402 B．0.2592 C．0.0864 D．0.172811．设()f x是定义在R上以2为周期的偶函数，当[]2,3x∈时，()f x x=，则…………○……：___________…………○……[]2,0x ∈-时，()f x 的解析式为（ ）A ．()21f x x =++B ．()31f x x =-+C ．()2f x x =-D ．()4f x x =+12．如图，长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点.直线1DB 与平面EFC 的交点O ，则1DOOB 的值为（ ）A ．45B ．35C ．13D ．23第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________. 14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54–S S =________. 15．某市公租房的房源位于,,A B C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是_________.16．在平面直角坐标系中，过椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，C 为椭圆的右焦点，且ABC ∆是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，则椭圆的离心率为_________. 三、解答题17．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知2sin sin sin B A C =.…………○…………※※答※※题※※…………○…………g x 相切年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫日，该省已累计确诊由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布,15().22N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（70≥）的患者比例；（2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n （120n <<且n 是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值. 参考数据：若()2,ZN μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Y μσμσ-<<+=，40.90.66≈，50.90.59≈，100.90.35≈.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C ：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值. 23．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】求解指数不等式与对数不等式化简集合A 、B ，再由交、并、补集的混合运算得答案． 【详解】1{|22}{|11}2x A x x x =<=-<，113{|()0}{|}222B x ln x x x =-=<， 3{|2R B x x ∴=>或1}2x，则12(1,)A B ⎛⎤- ⎥⎝⎦=R ． 故选：B ． 【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查集合的交、并、补混合运算，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】由题意666cos sin cos sin5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据复数的几何意义结合6cos 05π<、6sin05π<即可得解. 【详解】由题意666cos sin cos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴该复数在复平面内所对应的点为66cos ,sin 55ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 6cos5π<，6sin 05π<，∴该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于基础题.3．A 【解析】 【分析】由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解. 【详解】点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，∴()()332134260a a ⨯-⨯+⋅⨯--⨯+<⎡⎤⎣⎦即()()7240a a +-<，解得724a -<<. 故选：A. 【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为不等式，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】由分段函数的单调性可转化条件得10201132a a a a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解不等式组即可得解.【详解】()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数， ∴10201132a a a a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得1162a ≤<.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数单调性的问题，属于基础题. 5．D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ． 6．D 【解析】 【分析】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解. 【详解】由题意结合原图与直观图的面积比为S =则该四棱锥的体积为11333V Sh ==⨯=故选：D. 【点睛】本题考查了原图与直观图之间的关系，考查了棱锥体积的计算，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】 转化条件得1392a d =-，进而可得200a >，210a <，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由81335a a =可得()()1137512a d a d +=+即1392a d =-，10a >，∴0d <，数列{}n a 为递减数列，∴12011902a a d d =+=->，12112002a a d d =+=<，∴当20n =时，n S 取得最大值.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最大值的问题，属于基础题. 8．A 【解析】 【分析】由题意可得直线:2BC x =+，联立方程组即可求得BC中点103M ⎛ ⎝⎭，进而可得直线10:333MP y x ⎫-=--⎪⎝⎭，求出点22,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭后即可得解. 【详解】由题意可得直线:2BC x =+，设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 中点()00,M x y ，联立方程组282y x x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x得2160y y -=，易得>0∆，∴1102y y y +==，∴001023x y =+=，∴点103M ⎛ ⎝⎭， 又 MP BC ⊥，∴1MP BC k k =-=， ∴直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭， 令0y =可得223x =即点22,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴线段2216233AP =-=. 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题. 9．D 【解析】 【分析】利用函数最小正周期和平移后的对称性可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；代入512x π=即可判断①；代入12x π=即可判断②；由,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦即可判断③；由3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦即可判断④；即可得解.【详解】函数()f x 的最小正周期是T π=，∴222T ππωπ===， 函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数， ∴函数()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭即2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， ∴()23k k Z πϕ=π-+∈即()23k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ<可得3πϕ=-，∴()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭； 当512x π=时，()5sin 2sin 11232f x πππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，故①正确； 当12x π=时，()1sin 2sin 12362f x πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②错误；当,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时， 432,,33222x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，故④错误.故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了整体法的应用，属于中档题. 10．B 【解析】 【分析】由题意可得甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，由独立性重复实验的概率公式计算即可得解. 【详解】由题意若要甲以3:1获胜则需要甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，则所求概率()()2230.610.60.60.2592p C =⋅⋅-⋅=.故选：B. 【点睛】本题考查了独立性重复实验概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题. 11．B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和周期性可得[]2,1x ∈--、[]1,0x ∈-时()f x 的解析式，即可得解. 【详解】()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，∴当[]2,1x ∈--时，[]42,3x +∈，()()44f x f x x =+=+；当[]1,0x ∈-时，[]22,3x -+∈，()()()22f x f x f x x =-=-+=-+，∴当[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+.故选：B. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和周期性确定函数的解析式，属于中档题. 12．A 【解析】 【分析】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ， 设BDCE M =，连接MN ，由平面相交的性质可得1MN DB O ⋂=，利用三角形相似求得11156B N B D =、23DM DB =，再利用三角形相似即可得解.【详解】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ， 设BDCE M =，连接MN ，由E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点易得//FG CE ，即G ⊂面EFC ， 由11//B D BD 可知1D ⊂面1B BD ，所以面EFC ⋂面1B BD NM =， 又 1DB ⊂面1B BD ，所以直线1DB 与平面EFC 的交点O 即为MN 与1DB 的交点，取11B D 的中点Q ，由1DGN QFN ∽可得112D N QN =，所以11156B N B D =， 由BEM DCM ∽可得12BM DM =，所以23DM DB =，由11B D BD =可得145DM B N =， 由1DMO B NO ∽可得1145DM D O B B N O ==. 故选：A.【点睛】本题考查了平面的性质和平面相交的性质，考查了空间思维能力和转化化归思想，属于中档题. 13．14【解析】 【分析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解. 【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()302004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为：14. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题. 14．32 【解析】 【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩结合题意可得2nn a =，再利用545–S S a =即可得解.【详解】当1n =时，11122a S a ==-解得12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，1222n n n a -=⋅=，所以54553–22S S a ===. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了n a 与n S 关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题. 15．1427【解析】 【分析】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况共有4381=种，分别求出有三人在同一区域另一人在另一区域的情况数和有两人在同一区域另两人在另一区域的情况数，利用古典概型概率的公式即可得解. 【详解】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况共有4381=种；若4位申请人中，有三人在同一区域另一人在另一区域的情况共有324324C A ⋅=种；有两人在同一区域另两人在另一区域的情况共有2224232218C C A A ⋅⋅=种； 故所求概率2418148127p +==. 故答案为：1427. 【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，考查了古典概型概率的求解，属于中档题.16-【解析】 【分析】设AC m ，由题意结合椭圆性质可得2AFa m ，242BC a BF a m ，由等腰直角三角形性质可得1224am m ，再由直角三角形性质可得222FCAFAC ，最后利用ce a=即可得解. 【详解】 如图所示，设ACm，由椭圆定义可得2AF a m ，ABC 是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，∴AC AB m ，22BF AB AFm a ，242BC a BF a m ，∴422BC a mACm，∴1224am m ，∴22m AF ， 在Rt AFC 中，222232FC AF ACm ，∴624FC mc ， ∴646312224c eam m .-【点睛】本题考查了椭圆性质的应用和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题. 17．（1）证明见解析（2）(【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合条件得2b ac =，再由余弦定理结合基本不等式可得1cos 2B ≥，由三角函数的性质即可得证；（2）由三角函数的性质化简得22sinsin 124A C B B π+⎛⎫++= ⎝-⎪⎭，结合（1）中03B π<≤即可得74412B πππ<+≤，即可得解. 【详解】（1）证明：由正弦定理可得2b ac =,∴22221cos 222a c b ac ac B ac ac +--=≥=，0B π<<,03B π∴<≤.（2）由题意222sinsin 1A CB +-+()cos sin AC B =-++cos sin 4B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知03B π<≤，∴74412B πππ<+≤，∴14B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即222sinsin 1A CB +-+的取值范围是(. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角函数的综合问题，考查了基本不等式的应用，属于中档题.18．（1）存在；证明见解析（2）14【解析】 【分析】（1）当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB ；取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，由已知结合中位线的性质可得//FP BC 且FP BC =，进而可得//CP BF ，由线面平行的判定即可得证；（2）由题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求出平面SAB 的一个法向量为1n 与平面SCD 的一个法向量为2n ，利用121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅即可得解.【详解】（1）当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB . 证明如下：取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，则//FP AD 且12FP AD =， //AD BC ，112BC AD ==， ∴//FP BC 且FP BC =， ∴四边形FBCP 为平行四边形， ∴//CP BF ，CP平面SAB ，BF ⊂平面SAB ，∴//CP 平面SAB .（2）在平面ABCD 内过点A 作直线AD 的垂线Ax ，SA ⊥平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA Ax ⊥，∴直线AS 、Ax 和AD 两两垂直，以点A 为原点，分别以直线Ax 、AD 和AS 为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，过点B 作BE AD ⊥交直线AD 于E ，//AD BC ，1AB BC CD ===，2AD =，∴12AE =，2BE =， 从而可得()0,0,0A，1,,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0D ，()0,0,1S ， 则()0,0,1AS =，31,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,1SD =-，31,022DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面SAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则1100n AS nAB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11101022z x y =⎧+=⎪⎩，取1x ()13,3,0n =-，设平面SCD 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n SD nDC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220102yz x y -=⎧-=，取2x ()23,3,6n =∴121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅14=-，∴平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值为14.【点睛】本题考查了线面平行的判定和利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题. 19．（1）AMB ∠的最大值为23π；证明见解析（2）2,13⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）设()00,M x y ，（0x -<002y <≤），过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，由三角函数的概念可得00tan A H y x M +∠=，0tan BMH y x ∠=，由两角和的正切公式可得tan AMB∠0220012x y =+-，求出tan AMB ∠≤（2）由题意可知202012y k k x '⋅=-，利用22001124x y +=即可得13k k '⋅=-，由k 的取值范围即可求得k '的取值范围，即可得解. 【详解】（1）根据椭圆的对称性，不妨设()00,M x y ，（0x -<<002y <≤）. 过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，则()0,0Hx (0x -<<，于是，有0tan AH AMH M H ∠==，0tan BH BMH MH ∠==， ∴()tan tan AMB AMH BMH ∠=∠+∠=tan tan 1tan tan AMH BMHAMH BMH∠+∠-∠∠22000012x y =+-， 点()00,M x y 在椭圆C 上，∴22001124x y +=，∴2200123x y =-，∴0tan AMB y ∠=-而002y <≤，∴0tan AMB y ∠=-≤0AMB π<∠<，∴AMB ∠的最大值为23π，此时02y =，即点M 为椭圆C 的上顶点. 根据椭圆的对称性，当点M 为椭圆C 的短轴的顶点时，AMB ∠取最大值，其最大值为23π. （2）设直线BM 的斜率为k '，()00,M x y ，则k =，k '=，∴22012y k k x '⋅=-，又22001124x y +=，∴2200123x y =-，∴13k k '⋅=-，11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∴213k '<<，故直线BM 的斜率的取值范围为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆和三角函数、椭圆和直线的综合问题，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.20．（1）当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数()x ϕ求导得()()221x ax ax x xϕ++'=+，令()2h x x ax a =++，分类讨论()h x 有无零点以及零点与1-、0的相对位置即可得解； （2）由题意可得切线l 的方程可表示为()00011y x y x x -=-+，设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,xB x e ，由题意可得()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，进而可得()0001ln 10x x x ++-=，由（1）中结论即可证明()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根，即可得证. 【详解】（1）由题意()()x a x f x x ϕ+=-()ln 1x ax x+=+-)0x ≠且()1121m x x +>+， 则()()222111a x ax ax x x x x ϕ++'=+=++， 令()2h x x ax a =++，24a a ∆=-，①当240a a ∆=-≤即04a ≤≤时，()0x ϕ'≥，此时，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，()x ϕ无极值点； ②当240a a ∆=->时，即当0a <或4a >时， 函数()2h x x ax a =++有两个零点，12a x -=，22a x -=， （i ）当0a <时，因为11x --==0<，所以2101x x >>>-，所以函数()x ϕ在()11,x -单调递增，在()1,0x 和()20,x 上单调递减，在()2x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ有两个极值点；（ii ）当4a >时，因为2212a x -+--==02>，所以121x x <<-，此时()0x ϕ'>，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，无极值点. 综上所述，当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点. （2）证明：因为()11f x x '=+，所以切线l 的方程可表示为()00011y x y x x -=-+， 设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,xB x e ，因为()xg x e '=，所以()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，消去1x 并整理得()0001ln 10x x x ++-=，由（1）可知，当1a =时，函数()()1ln 1x x x xϕ+=+-()1x >-在()0,∞+单调递增， 又()1101e e ϕ-=-<-，()2222101e e e ϕ--=>-. 所以函数()x ϕ在()21,1e e --上有唯一的零点，又因为()x ϕ在()0,∞+单调递增， 所以方程()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根， 故在区间()0,∞+上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点和零点个数问题，考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想和推理能力，属于中档题. 21．（1）15.87%（2）4n = 【解析】 【分析】（1）由题意计算出54.8μ=，由正态分布的性质可得()39.6700.6826P Z <<=，即可得解；（2）由题意n 的可能取值为2，4，5，10，1,10nX B n ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布的概率公式结合题意可得某组的化验次数Y 满足()9110nP Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，表示出()E Y ，进而可得化验总次数()f n ，代入比较即可得解.【详解】 （1）由题意21562512351845225522651275485295100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=54.8=，所以()54.815.254.815.2P Z -<<+()39.6700.6826P Z =<<=，()()139.670702P Y P Z -<<≥==10.68260.158715.87%2-==， 则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例为15.87%. （2）根据题意，每名密切接触者确诊为新冠肺炎的概率均为110， n 的可能取值为2，4，5，10，当{}2,4,5,10n ∈时，1,10nX B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 对于某组n 个人，化验次数Y 的可能取值为1，1n +，()9110n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()91110nE Y n ⎛⎫=⋅++⋅ ⎪⎝⎭99111010n nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则20人的化验总次数为()209110nf n n n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1920110n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 经计算()213.8f =，()411.8f ≈，()512.2f ≈，()1015f ≈. 所以，当4n =时符合题意，即按4人一组检测，可使化验总次数最少. 【点睛】本题考查了正态分布的应用，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题. 22．（1）28sin 120ρρθ-+=；点A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭（2）16 【解析】 【分析】（1）消去参数得1C 的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得1C 的极坐标方程；由题意得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，代入1C的极坐标方程后利用0∆=即可得解；（2）由题意可得()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2C 后即可得126ρρ+=，122ρρ=，再利用三角形面积公式可得112S ρ=，222S ρ=，化简即可得解. 【详解】（1）消去参数可得1C 的直角坐标方程为()2244x y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得1C 的极坐标方程为28sin 120ρρθ-+=， 又1l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，02πα<<），可得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈， 将θα=代入1C 得28sin 120ρρα-+=， 则()28sin 4120α∆=-⨯=，sin α=， 又02πα<<，所以sin α=，3πα=，此时ρ=A的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭. （2）由2C的极坐标方程为2cos 20ρθ-+=， 可得2C的直角坐标方程为(2210x y -+=，所以圆心()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得2620ρρ-+=，280∆=>，所以126ρρ+=，122ρρ=，所以10ρ>，20ρ>，又因为1111sin 2362A S ππρρρ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭，22221sin 26S OC πρρ=⋅⋅=， 所以12122121S S S S ρρρρ+=+=()221212122622162ρρρρρρ+--⨯==.【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题.23．（1）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）()6,m ∈+∞ 【解析】 【分析】（1）由题意得221x x ->+，分2x ≥、2x <两种情况讨论即可得解； （2）由绝对值三角不等式结合题意得()22222111f x x a a a a a ++≥+=+---，利用基本不等式求出221a a +-的最小值即可得解. 【详解】（1）当1a =时，即解不等式221x x ->+，①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-， 所以不等式()21f x x >+的解集为空集，②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <， 综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()221f x x x a a ++=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +<-在()1,+∞上有解，又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=， 当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式的应用和有解问题的求解，属于中档题.。

2020年深圳市宝安中学高考数学模拟试卷(理科)(2月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若a ∈R ，复数z =(a 2−2a)+(a 2−a −2)i 是纯虚数，则( )A. a ≠2且a ≠−1B. a =0C. a =2D. a =0或a =22. 设z =i+1i−1，f(x)=x 2−x +1，则f(z)=( )A. iB. −iC. −1+iD. −1−i3. 设向量a ⃗ =(2tanα,tanβ)，向量b ⃗ =(4,−3)，且a ⃗ +b ⃗ =0⃗ ，则tan(α+β)等于( ) A. 17B. −15C. 15D. −174. (cos15°−cos75°)(sin75°+sin15°)=( )A. 12B. √22 C. √32D. 15. 已知f(x)=xlnx −ax ，g(x)=x 3−x +6，若对任意的x ∈(0,+∞)，2f(x)≤g′(x)+2恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [−2,−13]B. [−2,+∞)C. (−∞,−13]D. (−∞,−2]6. 若实数x ，y 满足{x −2y +2≥0,3x −2y −3≤0,x +y −1≥0,则x 2+y 2的最小值为( )A. 0B. 12C. √22D. 17. 已知x +y −3=0，则√(x −2)2+(y +1)2的最小值为 ( )A. √2B. 2C. √3D. 18. 过双曲线x 2−y 23=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则AB =( )A. 4√33B. 2√3C. 6D. 4√39. 已知函数f(x)=sin (ωx +φ)在区间[0,4π3]上单调，且f(π3)=0,f(4π3)=1，则f(0)的值为( ) A. −1B. −12C. −√32D. 010. 若数列{a n }满足1an+1=2a n +1a n ，a 1=1，则a 6=( )A. 111B. 113C. 10D. 1111. 已知函数f (x )=x 2−cosx ，x ∈[−π2,π2]，则( )A. f (32)>f (0)>f (−1) B. f (−1)>f (0)>f (32) C. f (32)>f (−1)>f (0)D. f (−1)>f (32)>f (0)12. 已知A(3,2)，若点P 是抛物线y 2=8x 上任意一点，点Q 是圆(x −2)2+y 2=1上任意一点，则|PA|+|PQ|的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在(x −2)5(√2+y)4的展开式中，x 3y 2的系数为_______． 14. 已知数列{a n }中，a 1=2，a n+1=(n+1)a n n+2a n(n ∈N ∗)，则∑ka kn k=1=______．15. 已知α为锐角，向量a ⃗ =(cosα,sinα)、b⃗ =(1,−1)满足a ⃗ ⋅b ⃗ =2√23，则_________．16. 已知直线kx −y +1−k =0恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny −2=0(m 、n >0)上，则1m +1n的最小值_____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tanC =2√6．(1)求cos C ；(2)若ab =20，且a +b =1，求△ABC 的周长．18.如图，在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，AE=DE=2，F为线段DE中点．(1)求证：平面ADE⊥平面ABCD；(2)求平面ACF与平面ACD所成锐角大小的余弦值．19.已知圆E：(x+√2)2+y2=12，点F(√2,0)，点P为圆E上的动点，线段PF的垂直平分线交半径PE于点M.直线l：y=kx+m交M的轨迹于不同的两点A，B，原点O到直线l的距离为√3．2 (Ⅰ)求动点M的轨迹方程；(Ⅱ)求△OAB面积的最大值．20.9月22日秋分，在第三个“中国农民丰收节”到来之际，全国处处五谷丰登、瓜果飘香，广大农民共庆丰年、分享喜悦。

广东省深圳市宝安中学(高中部)2020年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数在上是增函数，则实数a的最大值是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据正弦型函数的单调性，结合已知、数轴进行求解即可.【详解】当时，即时，函数单调递增，已知函数在上是增函数，所以有：，当时，不等式组的解集为空集；当时，；当时，不等式组的解集为空集，综上所述：实数的最大值.故选：A【点睛】本题考查了正弦型函数的单调性，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力，考查了集合的应用.2. 与直线x+2y﹣3=0垂直且过点P（2，3）的直线方程是（）A．2x﹣y﹣1=0 B．2x﹣y+1=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．x﹣2y+1=0 参考答案：A3. 在△中，若，则等于（）A. B. C. D.参考答案：D4. 等比数列{}各项为正数，且，则的值为（）A、3B、6C、9D、12参考答案：A5. 已知，则的大小关系是（）A．B． C．D．参考答案：D略6. 已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：D略7. 已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（）参考答案：D略8. 在△ABC中，若，则△是（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形参考答案：B略9. 如图是一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图，如果主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为A． B． C． D．不确定参考答案：C10. 从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，则互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有1个红球和全是白球B.至少有1个白球和全是白球C.恰有1个白球和恰有两个白球D.至少有1个白球和全是红球参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为．参考答案：2略12. （5分）从30名男生和20名女生中，采用分层抽样方法抽取一个容量为10的样本，则抽到每个人的概率是．参考答案：考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义和概率的性质进行求解即可．解答：根据概率的性质可知用分层抽样方法抽取一个容量为10的样本，则抽到每个人的概率是=，故答案为：点评：本题主要考查分层抽样和概率的计算，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．13. 若方程组有解，则实数的取值范围是．参考答案：[1,121]，化为，要使方程组有解，则两圆相交或相切，，即或，，故答案为.14. 已知，则________．参考答案：－6【分析】利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示，准确运算，即可求解．【详解】由题意，向量，则，，所以．故答案为：－6【点睛】本题主要考查了向量内积的坐标运算，以及向量模的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15. 已知，则的最小值为_____．参考答案：2【分析】首先分析题目，由已知，求的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用基本不等式代入已知条件，化简为不等式，解不等式即可，．【详解】解：由题可得：（当且仅当时取等号），整理得：，即：，又：，所以：（当且仅当时取等号），则：的最小值是2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。

广东深圳市2020年高考数学（理）模拟试卷一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设全集U = R ，A =10xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，则U A=（ ）． A ．10xx ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B.｛x | x > 0｝ C.｛x | x ≥0｝ D.1x x ⎧⎨⎩≥0⎭⎬⎫ 2．是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3 在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）． A ．25B ．6C ．7D ．84.设两个非零向量12,e e v v 不共线，若12ke e +v v 与12e ke +v v也不共线，则实数k 的取值范围为 （ ）．A ．(,)-∞+∞B ．(,1)(1,)-∞-⋃-+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞ 5.曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ）．A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．右图为函数log n y m x =+ 的图象，其中m ，n 为常数，则下列结论正确的是（ ）．A ．m < 0 , n >1B ．m > 0 , n > 1C ．m > 0 , 0 < n <1D ． m < 0 , 0 < n < 17．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是A．① B．①② C．①③ D．①②③8.下列程序执行后输出的结果是( C )n=5s=0WHILE s<14s=s+nn=n-1WANDPRINT nENDA、-1B、0C、1D、2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案写在横线上）．9、某市高三数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130-140分数段的人数为90人，则90-100分数段的人数为10．0000sin168sin 72sin102sin198+= ．11．已知i ， j 为互相垂直的单位向量，a = i – 2j ， b = i + λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 ．12已知函数()f x ,对任意实数,m n 满足()()(),f m n f m f n +=⋅且 (1)(0),f a a =≠则()f n = ()n N +∈.13符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数{}[]x x x -=， 那么下列命题中正确的序号是 ．（1）函数{}x 的定义域为R ，值域为[]1,0； （2）方程{}21=x ，有无数解； （3）函数{}x 是周期函数； （4）函数{}x 是增函数.14.在平面直角坐标系中，已知曲线c ：2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，（3,[,]22ππθθ∈为参数）则曲线c 关于y=x 对称的曲线方程是三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分） 已知02cos 22sin=-xx ，（Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．16．（本题满分13分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ． （Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望．17．（本题满分13分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．ABCD1A 1B 1C18．（本小题满分14分）一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．19．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且*2,0]1)1[(22])1(3[N n a a n n n n ∈=--+--++．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；20．（本题满分14分）已知函数)0()(>+=t xtx x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64, 2[nn +内总存在1+m 个实数m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．参考答案一、选择题：1. 答案：C. {}A |0,U x x C A =<∴=Q ｛x | x ≥0｝,故选C.2.C3. （理）对于(1)2n n +中，当n ＝６时，有6721,2⨯=所以第２５项是７．选C.4.D5.Ａ． ∵)4cos()4sin(2ππ-+=x x y ＝2sin()sin()1cos(2)1sin 2442x x x x πππ++=-+=+， ∴根据题意作出函数图象即得．选A ．6. 答案：Ｄ．当x=1时，y ＝m ,由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,故选Ｄ．7.A8.C二、填空题： 9.810 10．答案：12． 0000sin168sin 72sin102sin198+=00000sin12cos18cos12sin18sin30+=1.2=11. 答案：),2()2,(21---∞Y.1cos 2.2θθλλ==⇒<≠-由是锐角得且12.na13. （2）、（3）14.22(2)1(32)x y y ++=-≤≤- 15．（本题满分12分）已知02cos 22sin=-xx ， （Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．解：（Ⅰ）由02cos 22sin =-x x , 22tan =⇒x， ………………………2分3421222tan12tan2tan 22-=-⨯=-=∴x x x ． …………………5分（Ⅱ） 原式＝x x x x x sin )sin 22cos 22(2sin cos 22--xx x x x x x sin )sin (cos )sin )(cos sin (cos -+-=x xx sin sin cos +=…………………10分1cot +=x1)43(+-= 41=． …………………12分16．（本题满分13分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（Ⅰ）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）x Θ、y 可能的取值为1、2、3， 12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． ……………3分 因此，随机变量ξ的最大值为3．Θ有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ．答：随机变量ξ的最大值为4，事件“ξ取得最大值”的概率为91． ………5分（Ⅱ）ξ的所有取值为3,2,1,0．0=ξΘ时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． …………11分则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． ……………………13分17．（本题满分13分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o．（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆Θ是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB CC ，且交线为BC ．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=o． ……………2分在AED Rt ∆中，tan 45AEED==o，解得x =． …………3分∴此正三棱柱的侧棱长为． ……………………4分注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE Θ侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角． ……………………………6分 在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又1,sin CD BE EBF BD =∠=== ∴EF =．A BCD 1A 1B 1C EFG H I又AE =∴在AEF Rt ∆中，tan 3AEAFE EF∠==． …………………………8分 故二面角C BD A --的大小为arctan3． …………………………9分解法2：（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ． …………10分在AEF Rt ∆中，10AE EFEG AF⨯===． …………12分 Q E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD的距离为2EG =． …………13分 解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离．解法3：（思路）等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求． 解法4：（向量法，见后）题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系则(0,1,0),(0,1,0),(A B C D -设1(,,)n x y z =r为平面ABD 的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,021AD n n ρρ 得0y y ⎧=⎪-=取1(n =u r…………6分又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =u u r…………7分1∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ρρρρρρ． …………8分 结合图形可知，二面角C BD A --的大小为． …………9分 （Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(n =ur (0,CA =-u u u r …………10分∴点C 到平面ABD的距离d =2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302．13分 18． （本小题满分14分） 一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032212=+--⋅n m ．……2分 解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分 （Ⅱ）11PF F P ='Θ，根据椭圆定义，得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分 2=∴a ，112=-=b ． ∴所求椭圆方程为1222=+y x ． ………………………………7分（Ⅲ）22=ca Θ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分 设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离． 则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分 令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ， Θ当0)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ， 34-=t ，0)(='t f ． ∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值． ………………………………13分 因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分 注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心率． 19．（本题满分14分）已知数列}{n a 满足：,21,121==a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n n n n a a ，*N n ∈．（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a a b 212⋅=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；解：（Ⅰ）经计算33=a ，414=a ，55=a ，816=a ． 当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列，122)1(112-=⋅-+=∴-n n a a n ；当n 为偶数，n n a a 212=+，即数列}{n a 的偶数项成等比数列， n n n a a )21()21(122=⋅=∴-． 因此，数列}{n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧=)()21()( 2为偶数为奇数n n n a n n ．（Ⅱ）Θnn n b )21()12(⋅-=， n n n n n S )21()12()21()32()21(5)21(3211132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=∴-Λ ……（1） 1432)21()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n S Λ…（2） （1）、（2）两式相减， 得132)21()12(])21()21()21[(2211 21+⋅--++++⋅=n n n n S Λ 11)21()12(211])21(1[2121+-⋅----⋅+=n n n 1)21()32(23+⋅+-=n n ． n n n S )21()32(3⋅+-=∴．20．（本题满分14分） 已知函数)0()(>+=t xt x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64 , 2[nn +内总存在1+m 个实数 m a a a ,,,21Λ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g Λ成立，求m 的最大值．解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，Θ 21)(x t x f -='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12111x x x t x t x y --=+-， 又Θ切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(012111x x t x t x --=+-， 即02121=-+t tx x ， ......................................................（1） ...... 2分 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得02222=-+t tx x ． (2)由（1）、（2），可得21,x x 是方程022=-+t tx x 的两根， ⎩⎨⎧-=⋅-=+∴. ,22121t x x t x x ………………（ * ） ……………………… 4分 22211221)()(x t x x t x x x MN --++-=])1(1[)(221221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+=， 把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=,因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=t t t t g ． ……………………5分（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴01111--+x x t x ＝01222--+x x t x ， 即21121x x t x -+＝22222x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，21x x ≠Θ，1212)(x x x x t =+∴． ………………（3） …………… 7分 把（*）式代入（3），解得21=t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 21=t ． ……………………9分 （Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64,2[nn +上为增函数， ∴)64()()2(nn g a g g i +≤≤)1,,2,1(+=m i Λ， 则)64()()()()2(21n n g m a g a g a g g m m +⋅≤+++≤⋅Λ． 依题意，不等式)64()2(nn g g m +<⋅对一切的正整数n 恒成立， …………11分 )64(20)n 6420(n 22022022nn m +++<⋅+⋅， 即)]64()n 64[(n 612nn m +++<对一切的正整数n 恒成立，． 1664≥+nn Θ， 3136]1616[61)]64()n 64[(n 6122=+≥+++∴n n ， 3136<∴m ． 由于m 为正整数，6≤∴m ． ……………………………13分 又当6=m 时，存在221====m a a a Λ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． ……………………………14分解法2：依题意，当区间]64,2[nn +的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值． 1664≥+nn Θ，∴长度最小的区间为]16,2[， …………………11分 当]16,2[∈i a )1,,2,1(+=m i Λ时，与解法1相同分析，得)16()2(g g m <⋅， 解得3136<m ． ……………………………13分 后面解题步骤与解法1相同（略）．。