第7讲 数阵图

三年级尖子班第七讲数阵图【例1】(难度★)∼分别填入下图的○中，①将19使得横、竖五个数相加的和都等于25。

②(难度★★)请你把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等．应怎样填？【分析】①（1）这9个自然数+++++之和：123456+++=；78945（2）这个图形共有2条边，2×=；条边总和为25250（3）而中间数被重复计算了1−=；次，所以，中间数=50455（4）剩下8个数之和为40，所以每边剩下2数之和为÷=；40220=+++=（5）凑数，209731+++，那么可得填法如右8642上图（答案不唯一）②1~7这七个自然数的和为：123456728++++++=； 而中心数被重复计算了两次，假设中心数为a ，三条直线上的三个数总和为S ，则2823a S +=，即282a +能被3整除，所以，中心数a 的可能取值为：1、4、7；（1）当a 的取值为1时，除中心数外其它两数和为9273645=+=+=+（2）当a 的取值为4时，除中心数外其它两数和为8172635=+=+=+（3）当a的取值为7时，除中心数外其它两数和为=+=+=+7162534答案如图所示。

【例2】(难度★★)将1~6这六个自然数分别填入下图的六个○中使得三角形每条边上的三个数之和都相等【分析】（1）这6个自然数之和：12345621+++++=；（2）假设每条边上的数字和为S,重复数为a 、b 、c ，则213a b c S +++=，而3S 是3的倍数，所以21a b c +++也是3的倍数， 所以，a b c ++可能的取值为：6、9、12、15；⑶凑数，当6123a b c ++==++时，答案如图所示； 当9135a b c ++==++时，答案如图所示；当12246a b c ++==++时，答案如图所示；当15456a b c ++==++时，答 案如图所示。

三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

数阵图
1、把1~7这七个数字填在下图中，使得横行、竖列之和都等于15。

如果和是16、17又怎样填呢？请你试一试：
2、把1、2、
3、
4、
5、6六个数分别填入圆圈内，使横行三个数的和与竖行四个数的和分别等于11。

3、在一个魔术三角形里，把10到15这六个数分别填入圆圈中，要求三角形每条边上的三个数之和S都相等，那么S最小是多少？
4、将1、2、3、4、
5、6六个数字填入图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和都是15。

5、请你把1、2、3、4、5、
6、
7、8八个数分别填入图中，使每个五边形上的五个数的和是21。

6、把1~7这七个数填在下图中，使得每条线上三个数的和都相等，且最大。

7、将1~4四个数填在下图的四个空格中，使横行三个数的和与纵列两个数的和相等。

8、将1~7这七个数填入图中，使得每条线上三个数的和相等。

`
参考答案：
1题：（1）6、2、7与1、3、2、4、
5。

（2）中间填4，
（3）中间填6.
2题：4、1、6与1、2、3、5.
3题：从某一顶点起10、15、11、
13、12、14。

4题：中间数3、6.两边为1、5与2、
4.
5题（1）中间1、5.两边6、2、7与
3、4、8。

（2）中间2、4两边3、
5、7与1、
6、8
6题：中间数7.
7题：中间数2或4.
8题：中间数1、4、7。

数阵图
一、数阵图定义及分类：
定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.
数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；
第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．
简单数阵图
一、辐射型数阵图
从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和
数和+中心数×重复次数＝公共的和×线数
数和：指所有要填的数字加起来的和
中心数：指中间那数字，即重复计算那数字
重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1
公共的和：指每条直线上几个数的和
线数：指算公共和的线条数
二、封闭型数阵图
多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。

突破关键：确定顶点上的数字，公共的和
数和+重叠数的和＝公共的和×边数
数和、公共的和跟辐射型数阵图一样的意思
重叠数的和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和
边数：指封闭图形的边数。

数阵图一、把1~6这六个数，分别填在下图，使每条线上三个数的和都等于①9 ②10 ③11 ④12，应如何填二、把1～12这十二个数，分别填在下图的圆圈里，使每条线上四个数的和分别等于22和30三、把四、把22五、把1~9这九个数分别填在下图中的九个圆圈里，使内，外两个三角上六个数的和都等于26六、将1~11七、把1~7这七个数分别填在下图的圆圈里，使每条线上三个数的和与每个圆上三个数的和都等于12。

八、在图中空格内填上适当的数，使每行、每列，每条对角线上的数和为27。

（必须写出2种）九、将5~1455。

十、1．把3，4，5，6，7都是14。

十一、下面是一个九宫图，第一行第三列上的数是6，第二行第一列上的数是7，请你在其他位置填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和为30十二、将1~25填在5×5的方格内，制成五阶幻方。

十三、将1~16填在4×46．将1~67．把1~8这89．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数，分别填入下图的九个方格中，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍。

10．将1~10这十个自然数分别填入图中的十个圆内，使各条线段上四个圈内数的和相等，每11．把1~8这八个数填入下图正方体的八个顶点的圆圈里，使每个面上的四个圆圈里的四个数之和都相等。

补充：幻方构造方法幻方，亦称纵横图。

台湾称为魔术方阵。

将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。

例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。

n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。

n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。

数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。

目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】17 89411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k （A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

顿悟教育三年级数学培优训练第七讲数阵图在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。