第一可数性公理的推广数学与计算机科学学院 数学与应用数学105012005036 阮玉兰 指导教师：朱金才【摘要】列举论证了更多的第一可数性公理的性质,并定义了条件较弱的三个序列空间,论证了空间与序列空间之间的关系,并将第一可数性公理的若干性质推广到了三个序列空间中.1A 【关键词】序列空间;第一可数性公理;性质;收敛. 1. 引言众所周知,在函数的范畴中, 我们可以用收敛点列来定义函数的连续性与点集的聚点,这说明了一个重要的事实,即：点列的收敛性可以完全决定欧氏空间的拓扑,而这些性质的理论基础就是第一可数性公理．第一可数性公理是在1914年由豪斯多夫在他的著作《集论基础》中提出的,在欧氏空间的子集类中,康托尔曾导入并研究过开集、闭集、闭包、内部等概念,豪斯多夫将它们推广于抽象空间,并建立了两个可数性公理．第一可数性公理针对每一点,要求空间中的每一点都要存在可数的邻域基；第二可数性公理的条件则比较强,要求空间具有可数的拓扑基．在第一可数性公理下，一些拓扑问题可以借助于点列收敛来描述，这是因为此时的网收敛就是通常的点列收敛．比如，对于闭集的刻划可以写成其中任一点均存在收敛的点列收敛于该点；从第一可数空间到拓扑空间的映射在某一点连续，对任一收敛于该点的序列的像也收敛于该点的像，这就是映射保持性．对于拓扑学中考虑的绝大多数空间，这一点均是成立的．但第一可数性公理是给出空间的局部信息，而第二可数性公理给出了整体的信息．第一可数性公理在拓扑学中扮着重要角色，有着广泛的应用．在熊金城老师编著的《点集拓扑讲义》里是这样定义满足第一可数性公理的空间的：定义1.1 一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间或简称为空间．其中邻域基的定义是：对于拓扑空间[1]1A X ，x X ∀∈，x 都有一个邻域基，即：x μ为x 的邻域系，x μ的子族x υ满足以下条件：对于任何x U μ∈，存在x V υ∈使得.V U ⊂2. 空间的性质1A 2.1 空间的一般性质1A 第一可数性公理作为拓扑学中的重要定理，满足第一可数性公理的空间即空间必然具备了许多性质.1A 定理 每一个度量空间都满足第一可数性公理.[1]2.1.1定理 设[1]2.1.2X 和Y 是两个拓扑空间, :f X Y →是一个满的连续开映射.如果X 满足第一可数性公理,则Y 也满足第一可数性公理．定理 满足第一可数性公理的空间的任何一个子空间是满足第一可数性公理的空间．[1]2.1.3定理 [1]2.1.4X 是一个拓扑空间,如果在点x X ∈处有一个可数邻域基,则在点x 处有一个可数邻域基{}使得对于任何i i i Z U +∈Z +∈有112,.i i i U U U U U +⊃⊃⊃⊃⊃L L 即： 2.2 空间中序列的性质1A 前面已经列举出很多空间的性质了,我们对空间的其他性质进行更进一步的说明．1A 1A 定理 设[2]2.2.1X 为满足第一可数性公理的拓扑空间,则：如果x 是序列{}n x 的聚点，则存在{}n x 的子序列收敛于x ．证明:假设x 为序列{}n x 的聚点,并且序列是使得对每一个都有V V 的01,,V V L n 1n n +⊂x 的邻域系的基,对每一个非负整数i ,选,使得并且i N i N ≥i i i N S V ∈.这时{,i N S i Z +∈}就是{}n x 的一个收敛子序列．定理 设[1]2.2.2X 是一个满足第一可数性公理的空间, 是集合A 的一个凝聚点的充分必要条件是在集合,A X x X ⊂∈则点{}A x −中有一个序列收敛于x ．定理 设[1]2.2.3X 和Y 是两个拓扑空间,其中X 满足第一可数性公理,x X ∈,则映射:f X Y →在点x X ∈处连续的充分必要条件是：如果X 中的序列{i x }收敛于x , 则Y 中的序列{()}i f x 收敛于()f x ．定理 设[1]2.2.4X 和是两个拓扑空间,其中Y X 满足第一可数性公理, 则映射:f X Y →是一个连续映射的充分必要条件是：如果X 中的序列{i x }收敛于x X ∈, 则中的序列{(Y )}i f x 收敛于()f x ．2.3 空间的积空间和商空间1A 根据定理,我们知道第一可数性公理是可遗传性质，下面将根据空间的积拓扑以及商拓扑来研究空间的的可积性以及商空间是否满足第一可数性公理．2.1.31A 1A 定理 设[1]2.3.112,,,n X X X L 是个满足第一可数性公理的空间,则积空间n 12n X X X ×××L 满足第一可数性公理．但是对于不可数个满足第一可数性公理的拓扑空间，其积空间未必满足第一可数性公理．例 令[3]1A X Z λαα∈=∏，其中Z Z α+=为自然数集并取离散拓扑，A 为不可数的指标集，λ为A的势．显然，Z α满足第一可数性公理．但是，X λ并不满足第一可数性公理．事实上，设{i B }是点i p X ∈的一个可数的局部基．据乘积拓扑的定义，对每一i ，除了有限个α外，都有，其中i P α+（B）=Z P α是X λ到Z α上的射影．因{i }是可数集，故可选取某个B α,使对任意i 而有，设0i P α+（B）=Z 0P α是点p 的第0α个坐标，即：0P Z αα∈，则因Z α上拓扑是离散的，故0000{}i P y X y p αααα∈=（p ）=是点p 在X λ中的开领域，因对任意I,都有，故这个开邻域不包含任何一个0i P α+（B）=Z i B ，即{i B }不是点p 的局部基，因此，X λ不满足第一可数性公理．满足第一可数性公理的拓扑空间，它的一个商空间未必满足第一可数公理．例 若[4]2X 是带有通常拓扑的实数空间，则X 满足第一可数性公理，设Z 为整数集，再设Y 是X 的一个这样的分解，它的元素为Z 及所有的单元素集{x }，其中\x X Z ∈,容易证明，商空间不满足第一可数性公理．Y 本文将会把上述满足第一可数性公理空间的若干性质推广到与空间类似但相对条件消弱的空间．1A 3. 三个序列空间的定义及相互关系3.1 三个序列空间的定义第一可数性公理作为一个重要的数学工具，有着广泛的应用．满足第一可数性公理的空间有一个非常有用的特性,就是在这样的空间里,只要借助收敛序列就足以确定集合的极限点并可以验证函数的连续性.但这公理条件要求较高，使用起来还是会遇到一些问题，因此在本课题中我们消弱了一些条件，根据高国士老师编写的《拓扑空间论》中一些定理和命题,定义了以下相类似的公理.定义 3.1.1在拓扑空间X 中，称X 为序列1空间，如果对拓扑空间X 中的递减序列{}及点n A n n n A x N n A x ∈∈∈存在),(，使得{}收敛于n x x ．定义 3.1.2 在拓扑空间X 中，称X 为序列2空间，如果对于每一个,,A x X A ∈⊂每一个都存在A 中的序列{}n x 收敛于x ．定义3.1.3 在拓扑空间X 中，称X 为序列3空间，如果对于每一个当且仅当收敛于是开集A X A ,⊂A 的某一点x 的序列{}n x 终留于A ．其中,序列{}n x 终留于A ,即:N Z +∃∈，使得当时,有n N >n x A ∈．3.2 三个序列空间与空间的关系1A 由于第一可数性公理的条件比较强,很多空间达不到这个要求,我们消弱了条件获得了三个序列空间,下面我们将讨论这三个序列空间与空间之间的关系．1A 定理3.2.1 若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则拓扑空间X 是序列1空间．证明：设拓扑空间X 满足第一可数性公理，则：在拓扑空间X 中的递减序列，即：}{n A N n A A A n ∈⊃⊃⊃,21L 对于n A x ∈，在x 处有一个可数邻域基，+∈Z i i U }{使得对任何，112,i i i i Z U U U U U ++∈⊃⊃⊃⊃⊃L L 有即：({})i n U A x ∩−≠∅， 选取({}i i i )x U A x ∈∩−． 下面证明：lim i i x x →∞=： 如果U 是x 的一个邻域，则由于是+∈Z i i U }{x 处的一个邻域基，故存在>0，使得N U U N ⊂,于是当时，都有，综上所述，N i ≥U U U x N i i ⊂⊂∈X 是序列1空间．若拓扑空间X 是序列1空间, X 未必满足第一可数性公理．例 设S 是实数集合{0≤[2]3x ≤1}，令非空开集为S C −，是的任一可数子集，C S 从Demorgan 公式容易验证：这么确定的开集全体形成的一个拓扑S τ，有拓扑空间X =(,S τ) ．用反证法来证明X 不满足第一可数性公理：设点A x ∈，而且}{n C S −是可数的点x 处的一个拓扑基，这里是n C X 的可数子集，因为不可数，S 中存在一点S n nC x a ∪∉≠，然后－{a }是S x 的一个邻域，但不包含任一个，这与假设矛盾，因而n C S −X 不满足第一可数性公理．定理 设拓扑空间[5]3.2.2X 满足第一可数性公理，则有：（i ） 设点x 是集A X ⊂的聚点，则存在A －{x }中的序列收敛于x ；(ii) 集A 是开集当且仅当收敛于A 中某一点的序列都终留于x ．根据定理3.2.2可知，若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则：拓扑空间X 既是序列2空间又是序列3空间．但是，若拓扑空间X 是序列2空间, X 未必满足第一可数性公理．例 设[2]4X 为自然数集,对每个自然数p >1，令的开邻域为{p p }；对p =1,令p 的开邻域V 为含有1且存在自然数的无穷序列，使中其余的点都是形如12,,l l L V 2(21)k l −的自然数，这里均为自然数且．易见，这样定义的开邻域确定了,k l k l l >X 上的一个拓扑，从而X 为一个拓扑空间，显然，X 还是一个Hausdorff 空间．(1) X 不是第一可数空间.事实上，设{}是含有1的无限的开集序列，是给定的自然数．k V k 因为1的每一个邻域都含有{的无穷多个元，所以1是数集{聚点，于是存在自然数，使2(．令V 为所有形如2(21)}k k l l l >−2(21)}k k l l l >−k l 21)k k l V −∈2(21)kl −的自然数及1所成之集．这里=1,2,…,而,则k k l l >X 是1的一个邻域,从而是开集,但是由于, 2(21)(1,2,)k l V k −∉−L 故\V ,可见k V ≠∅L （k=1,2,）X 不是第一可数空间． (2) X 是序列2空间.事实上，对于每一个,A x X A ∈⊂每一个存在自然数，k 使得对于无穷多个自然数l ,有．于是，存在2(21)kl −∈A 12,,,l m m =L 使 12m m <<L ，且． lim 2(21)1k l l →∞−=根据定理,我们可以知道度量空间满足第一可数性公理．因此,度量空间也是序列1、2、3空间．同理，欧几里得空间、列紧度量空间、有限的拓扑空间都满足第一可数性公理．从而，上述空间均为序列1、2、3空间．2.1.13.3 三个序列空间的相互关系从上文的证明来看,若拓扑空间X 满足第一可数性公理,则X 必为序列1空间 (序列2空间) ．那么,三个序列空间的条件到底谁强谁弱,这是接下来讨论的重点．定理3.3.1 若拓扑空间X 是序列1空间，则拓扑空间X 是序列2空间．证明：设拓扑空间X 是序列1空间，集合,,A x X A ∈⊂任取即：对点x 的任意一个邻域U ，,取∅≠∩A U ∅≠∩⊂11,A U A A 使得,取:21,A A ⊂使得2,U A ∩≠∅L取,故是一个递减序列并且∅≠∩⊂−n n n A U A A 使得,1}{n A n A x ∈．由于拓扑空间X 是序列1空间，故存在n n A x ∈，使得收敛于}{n x x ，即： 对于任意,,A x X A ∈⊂任取都存在A 中的序列收敛于}{n x x ．定理3.3.2 若拓扑空间X 是序列2空间，则拓扑空间X 是序列3空间．证明：设拓扑空间X 是序列2空间，对于任意的设,X A ⊂A 不是开集，则X A −不是闭集． 根据闭集定义可知：存在X A −的凝聚点x 不属于X A −，则：A x ∈．由于X 是序列2空间， 故存在X A −中的序列收敛于x ，这一收敛序列显然不能终留于A ． 从而A 是开集当且仅当收敛于A 中某一点的序列都终留于A ．综上所述，拓扑空间X 是序列3空间．4. 序列空间的性质4.1 序列空间的遗传性拓扑空间的某种性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个子空间也都具有这个性质．拓扑空间的某种性质称为对于开子空间可遗传的性质，如果一个拓扑空间具有这个性质那么它的任何一个开子空间也都具有这个性质．根据定理，满足第一可数性公理的拓扑空间具有可遗传性，根据推理证明，序列1空间和序列2空间具有可遗传性．2.1.3定理4.1.1 序列1空间的子空间仍是序列1空间．证明：设X 是序列1空间，Y 是X 的任意子空间，则：由于X 是序列1空间，故存在{}是n A X 中的递减序列．从而，{}i i N Y A ∈∩是Y 中的一个递减序列，则： 存在(n n )x Y A ∈∩ 以及 n x Y A ∈∩ 使得收敛于}{n x x ．因此，子空间Y 也是序列1空间．定理4.1.2 序列2空间的子空间仍是序列2空间．序列2空间的遗传性可以类似序列1空间的证明，但对于序列3空间X ，其任一个子空间Y 中的开集A 是否存在收敛于A 的某一点x 的序列{}n x 终留于A ，取决于A 在X 中是否为开集．如果是拓扑空间Y X 的一个开子空间，则A Y ⊂是Y 中的开集当且仅当A 是X 的一个开集．因此，当序列3空间的子空间为开子空间时，空间特性是可遗传的．也就是说，序列3空间的空间特性具有对于开子空间可遗传性．4.2 序列空间的有限可积性根据空间的性质可知,满足第一可数性定理的拓扑空间具有有限可积性,但是序列2空间不具有有限可积性．1A 例 设[2]4.2.1X =[0,1]并在X 上取普通拓扑，则X 是序列2空间．又设2R 是带有通常拓扑的实平面，A 是形如（x ,0）的点的全体，其中x R ∈．Y 是2R 的一个分解，它是由以及一切单点集{(A x ,y )}所构成，其中(,)x y ∉A ．在上取商拓扑，显然，Y 中每个集的每个聚点必是该集中某个序列的极限．Y 令11{(,()),1,2,}B n n m X n m=⋅=⊂L Y ×，则(0, )是集A B 的一个聚点，但B 中没有序列能收敛于（0，A ）． 4.3 序列空间的映射保持性根据定理,满足第一可数性公理的拓扑空间具有映射保持性．条件稍微减弱的序列1和序列2空间也同样具有这种映射保持性，证明如下：2.2.4定理4.3.1 设X 和Y 是两个拓扑空间，其中X 是序列1空间，则映射:f X Y →是一个连续映射当且仅当如果X 中的序列收敛于}{n x x X ∈，则Y 中的序列{()}n f x 收敛于f (x ) ．证明：“”如果⇒f 是连续的，设U 是f (x )的任意邻域，则1()f U −是x 的一个邻域．因为序列收敛于}{n x x X ∈，所以100,(n n N x f U −∃∈∈使得当n>n 时，有),0因此,当n>n 时，()n f x U ∈，故序列{()}n f x 收敛于f (x ) ．“”假设⇐X 中的序列收敛于}{n x x X ∈，且Y 中的序列{()}n f x 收敛于f (x )而f (x )不连续，则存在x X ∈，使得：在Y 中存在f (x )的一个邻域U ，x 不是1()f U −的一个内点因为X 是序列1空间，故存在递减序列{及点}n A n A x ∈ 存在n n x A ∈使得序列收敛于}{n x x X ∈ 100,(),n n N A f U −∃∈⊄使得当n>n 时，有0n n n n x >∈时，存在故当A 1()n x f U −∉使得． 显然，是0{}n n n x >X 中收敛于点x 的一个序列．对任意的，0n>n ()n f x U ∉,可见序列{()}n f x 不收敛于f (x )．与假设矛盾，因此，f (x )是连续的．引理 拓扑空间[6]4.3.1X 到拓扑空间Y 内的函数f 是连续的X A ⇔∀拓扑空间的子集，总有 (()f f A ⊂．证明：“⇒”设A 是空间X 的任意点集,那么,显然11[()][()]f f A f f A −−⊂又, 因此, 1(())A f f A −⊂1(())A f f A −⊂.由f 的连续性可知：1(())f f A −是X 中的闭集， 所以1(())A f f A −⊂,于是 ()()f A f A ⊂．“”设为空间的任意闭集，由⇐F Y 11((F))(())f f f f F F −−⊂⊂F =,则有：11()()f F f F −−⊂但是11()()f F f F −−⊂．由此可见, 11()()f F f F −−=.故1()f F −是闭集，从而f 是连续的．定理4.3.2 设:f X Y →是从序列2空间X 到拓扑空间Y 的映射，如果X 中的序列收敛于}{n x x X ∈，Y 中的序列{()}n f x 收敛于f (x )，则f 是连续的．证明：根据引理，只需证明：对于4.3.1X 的任一非空子集A ，()()f f A ⊂． 设点()y f A ∈，则存在点x A ∈，使得f (x )=y ,现在有两种可能：①x A ∈ ②x A ∉ 在情况①下，显然地，点()()y f A f A ∈⊂．在情况②下，因为X 是序列2空间，x A ∈，存在中的序列收敛于A }{n x x X ∈，根据假设，Y 中的序列{()}n f x 收敛于f (x ) ．对于f (x )的每一个邻域U ，存在M Z +∈ 使得 当>M 时，有．根据闭包的定义可知：n (),()n f x U U f A ∈∩≠故∅(),y f A ∈(()f f A ⊂于是,因而f 是连续的．根据上文的证明，我们可以看到从序列1空间或序列2空间到拓扑空间的映射是连续的，这就是映射保持性．至于序列3空间是否具有相同的映射保持性，有待更深入的研究．综上所述,第一可数性公理作为一个拓扑学和函数论中很重要的工具,它的性质是多样的,而我所定义的三个序列空间较第一可数性公理条件较弱,对空间的要求不高,但具有空间的大部分性质,这样的空间比较容易构造,因此会有更多的用处有待深入研究．1A参考文献[1] 熊金城.点集拓扑讲义[M].北京：高等教育出版社，2003，87-146.[2] 儿玉之宏，永见启应.拓扑空间论[M].北京：科学出版社，1984，27-28.[3] 汪林，杨富春.拓扑空间中的反例[M].北京：科学出版社，2000，28-56.[4] J.R.曼克勒斯.拓扑学基本教程[M].北京：科学出版社，1987，202-206.[5] 高国士.拓扑空间论[M].北京：科学出版社，2000，42-48.[6] 李孝传，陈玉清.一般拓扑学导引[M].北京：高等教育出版社，1982，71-157.[7] 江泽涵.拓扑学引论[M].上海：上海科学技术出版社，1978，38-42.[8] J.L.凯莱.一般拓扑学 [M].北京：科学出版社，1982，28-97.[9] 野口 宏.拓扑学的基础和方法[M].北京：科学出版社，1986，115-127.[10] 刁兴国，贾保国.用收敛类刻画第一可数性公理[J]. 河北地质学院学报，1994，17（5）：486-488.[11] 秦桂香. 关于Fuzzy 拓扑空间的可数性[J]. 湖南农业大学学报，1999，25（5）：415-418.[12] 赵建红. 第一可数性公理空间的性质[J]. 通化师范学院学报，2004，25（10）：5-7.Some Generalizations of First Axiom of CountabilityRUAN Yu-lan 105012005036 Advisor ：ZHU Jin-caiMajor in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science【Abstract 】In this paper, I give proof on some more complexions of first axiom of countability, by defining three sequence spaces with weaker condition,proving a point to the relation between the three sequence spaces and the space meet the conditions of first axiom of countability ,and generalizing some complexions of the space to the three sequence spaces.1A 【Keywords 】sequence spaces; first axiom of countability; complexion;convergency.。
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