实际问题与一元二次方程传播问题

一、传播问题
1.母体在传播过程中每次都参与 探究1.有一个人患了流感，经过两轮 传染后共有121个人患了流感，每轮 传染中平均一个人传染几个人？
2.母体只参与一次传播便停止
变形1.某种植物的主干长出若干数目枝干，每 个枝干又长出同样数目的小分支。主干、枝 干和小分支的总数是13，则每个枝干长出多 少小分支？
第二十一章 一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程
—传播问题
主讲人：何萍萍
内蒙古乌海市第二中学
学习目标：
1.通过对实际问题的数量关系的探索，进一 步体验方程是反映现实世界数量关系的一个 有效的数学模型； 2.能根据具体的问题中数量关系，列出一元 二次方程解决传播问题，并根据实际意义检 验方程是否合理，同时感受数学知识与现实 生活的联系，增强应用数学的意识。
3.分裂（分裂后母体消失）
变形2.某生物实验室需要培育一群有益菌，现 有60个活体样本，经过两轮培植后总和达到 24000个，其中每个有益菌每一次分裂成相同 数目的有益菌。问：每轮分裂中平均每个有 益菌可以分裂成多少个有益菌？
课堂练习
1.某种细菌，若一个细菌经过两轮繁殖后，共 有256个细菌，则每轮繁殖中平均一个细菌繁 殖了多少个细菌？
2.乌海市创建文明城市，小明写了一篇倡议书， 决定用微博转发方式传播，他设计了如下传 播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再 邀请若干个好友转发倡议书，每个好友转发 倡议书之后，又邀请相同数量的不相同的好 友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传 播后，共有111人 参与了该传播活动。问：每 个人传播给多少人倡议书？
课堂小结
1.你学到了哪些知识点？ 2.它们之间有什么区别和联系？
作业
书P22习题4

x
1
2.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两 队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个 球队参加比赛? 3.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划 安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共 握手10次,有多少人参加聚会?
…… ……
被 传 染 人
被 传 染 人
被 传 染 人
被 传 染 人
x
被传染人
x
被传染人
……
……
……
x
开始传染源
x
开始传染源
1
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则第一轮的传染源有 1 人，有 x 人被传染， 第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染.
x+1+x(x+1) 人患 用代数式表示,第二轮后共____________ 了流感
x+1+x(x+1)=121
解方程,得 10 -12 (. 不合题意,舍去) _____, ______ x1 x2
10 答:平均一个人传染类问题是传播问题. 2,计算结果要符合问题的实际意义.
思考:如果按照这样的传播速度,n轮后 有多少人患流感?
(1 x)
实际问题与一元二次方程
（传播问题）
传播问题
例 1： 有一人患了流感 经过两轮传染后共 有121人患了流感， 每轮传染中平均一 个人传染了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则第一轮的传染源有 1 人，有 x 人被传染， 第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染.
被 传 染 人 被 传 染 人

支
x
支干
……
小 分
小 分
支
支
x
…… 支干
x
1
主 干
1.在分析探究一和例1中的数量关系时它们有何区别？ 每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2.解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
· ·
探究一：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,
每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1 x x(1 x) 121
解方程,得 x1= 10 , x2= -12 . (不合题意,舍去) 答:平均一个人传染了___1_0____个人.
注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行 检验.
例2：某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数
目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分
支? 解:设每个支干长出x个小分支, 则 1+x+x2=91
即 x2 x 90 0
解得,
x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
…… ……
小
7.【例5】某电器企业计划用两年的时间把某型号电冰箱的成 本降低36%，若每年下降的百分数相同，求这个百分数． 解：设下降的百分数为x，依题意，得 1(1－x)2＝1－36%， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)． 答：下降的百分数为20%. 小结：解决这类问题时，如果没有给出初始值，通常设初始
21.某厂去年利润为100万元，若每年利润增长率为20%，则：

教学反思一、关于方程模型的处理在“实际问题与一元二次方程”这一课的教学过程中，“实际问题”与“方程”的转化，是贯穿始终的一条主线．主要反映在以下二个方面．第一，实际问题一直都是学生的难点，学生主要的困难就是在较复杂的实际问题中抽象出数学模型，找到等量关系来列出方程，本节课教师设置了多个问题，由易到难，引导学生的思维层层递进，很自然地列出式子表示每一轮的患病人数，从而列出方程，突破了本节课的难点.第二，本节课紧扣“模型思想”安排大量的探究学习，改变了以前“老师讲，学生听”的模式，让学生真正经历问题的解决过程，逐步学会自己解决问题，这样才能真正培养学生的“模型思想”．于是，在教学中，关注了对“等量关系”的分析．二、关于教学效果的反思在实际授课过程中，教学环节的展开是自然、顺畅的，如“观察探究，形成新知”环节，学生能够在教师的引导下，说出用一元一次方程解决实际问题的步骤和方法，并通过类比一元一次方程应用的研究方法，完成审、设、列、解、答的过程，也可以通过分析传播问题中的等量关系，列出一元二次方程模型和检验得到符合要求的解．然而，由于学生刚刚接触一元二次方程模型，一元二次方程根的个数（2个）与一元一次方程根的个数（1个）之间存在差异，学生还缺乏对一元二次方程“整体形象”的把握．一方面，在解方程中不能选用恰当方法求解，学生还不能有意识地从“实际问题，实际背景”来考虑问题，传播问题的三种类型题中，传染源的参与情况分析不好，这致使学生在课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差．此外，展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比”．在教学过程中，教师极力引导学生要“类比一元一次方程学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”的因素，以确保学习知识的“正迁移”效应．事实上，这样也会带来另一些负面的影响，学生往往对属于一元一次方程和一元二次方程“共性”的结论印象比较深刻，而对于新的一元二次方程“个性”的结论，在理解上反而会受到一些干扰．三、关于教学设计的改进基于上述思考，我认为在教学设计中，还存在需要改进的地方．应关注“类比”中的“差异性”实际问题与一元二次方程的学习，可以类比一元一次方程的研究方法进行，从而体现了方程学习的一般规律和方法．本教学设计尊重人教版课标教材的编写意图，其中所呈现的通过“实际问题”背景，到“一元二次方程”，到利用一元二次方程模型“解决实际问题”，这一探究的过程和方法，是学习方程时不可或缺的．无疑，“类比”是一种重要的方法，对于学生理解一元二次方程应用、建立完善的认知结构具有重要的意义．但是，我们在运用“类比”的方法研究一元二次方程应用的过程中，还应注意“趋同求异”，关注一元二次方程与一元一次方程之间的“差异性”，如方程的根“2个”与“1个”、“一轮后”与“两轮后”等，这样的认识，在本课教学时，应加以强调，并传达给学生．。

2．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间， 红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这 种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传 染健康鸡的只数为( C )传播第三轮后感染的鸡有 2197 只 A．10只 B．11只 C．12只 D．13只
探究2：某种植物的主干长出若干数目的支干， 每个支干又长出同样数目的小分支，主干、 支干、小分支的总数是111.求每个支干长出 多少个小分支．设：每个支干长出x个小分支
每两人赠两次
1个人
赠送(x-1)人
共计 x(x-1)图书
探究一：循环问题
2、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参
加这次聚会，则列出方程正确的是( B )
A．x(x－1)＝10
B. xx 1 10
C. x(x + 1)＝10
D. xx2 1 10
2
1个人
3、某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降 到80元，则平均每次降价的百分率为____2_0_%__．
小结
本节课我们学习了几种问题： 传播问题、增长率问题 解决问题的步骤： 审、设、列、解、答
探究一：循环问题
1、“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互
赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送
设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则第一轮的传染源有 1 人，有 x 人被传染，
第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染.
1 x 传染源 1人
每人传染x人
传染了
传染后
结果
（x+1）人
传染源
每人传染x人
传染后

《实际问题与一元二次方程》第一课时教学设计一、教学内容分析本课的主要内容是以列一元二次方程解应用题为中心，深入探究传播问题中的数量关系。

活动的侧重点是列方程解应用题，提高学生应用方程分析解决问题的能力。

活动中涉及了一元二次方程解法，列方程解应用题的一般规律等。

这些问题在现实世界中有许多原型，让学生理解三类传播问题可以用一元二次方程作为数学模型，使问题得到解决。

二、学情分析1、学生已经学习了用一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题，本节讨论如何利用一元二次方程分析解决实际问题。

2、本节课是在学生学习了一元二次方程的解法后学习用一元二次方程解决实际问题的第一课时，因此学生对应用恰当的方法解一元二次方程还存在一定的问题，教学过程中要继续加强练习。

3、学生对列方程解应用题的一般步骤已经很熟悉，适合自主探究、合作交流的数学学习方式。

4、此时的学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理，本节从生活中的实际问题入手，容易开发他们的主观能动性，适合由特殊到一般的探究方式。

三、教学目标知识与技能： 1、会根据具体问题：传染病、病毒传播问题、支干问题、细胞分裂问题中的数量关系列一元二次方程并求解．体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。

2、能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。

3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。

过程与方法：经历由实际问题转化为一元二次方程的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对其进行描述，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

情感、态度与价值观： 1、使学生体会到数学来源于生活，服务于生活的数学思想。

2、使学生通过解决实际问题的过程感知探究学习的乐趣。

四、教学重点、难点重点：使学生学会用列一元二次方程的方法解决传播问题。

难点：提高学生转化实际问题为数学问题的能力以及分析问题、解决问题的能力。

五、教学策略在本课的学习中，应重视相关内容与实际的联系，加强对一元二次方程是解决现实问题的一种数学模型的认识。

人教版数学九年级上21.3第一课时教学设计探究1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流 感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?思考：1.本题中有哪些数量关系？2.如何理解“两轮传染”？3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了______人；第一轮传染后，共有______ 人患了流感；在第二轮传染中，传染源是____人，这些人中每一个人又传染了______人，那么第二轮传染了______人，第二轮传染后，共有______人患流感.4.根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121 解方程得x1=10， x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人． 5.为什么要舍去一解？6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流题的突破口，从而学会运用列一元二次方程解决实际问题。

根据实际举一反三，引导数学知识解决传染病问题，为运用一元二次方程解决实际问题做铺垫。

让学生通过探究问题，体会运用一元二次方程解决实际问题过程，体会数学思想。

感？注意:1.此类问题是传播问题.2.计算结果要符合问题的实际意义. 学生自主解决问题，老师总结解决传播问题的注意事项。

三、重难点精讲例题：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解得 x1＝9，x2＝－11(舍去) ．∴ x＝9.归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．传播问题：学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导，并总结解题注意事项。

实际问题与一元二次方程一、引入：同学们我们平时可能会经常遇到或听说传染病，你知道传染病是如何传播的吗？我们今天就来专题学习一下。

二、教学流程：在教学实际问题与一元二次方程中的“传染病”问题时，为了控究“传染病”问题的规律，我出示了这样一道题目：例：流感具有传染性，有一个人患流感，在每轮传染中平均一个人能传给5个人，那么经过两轮传染后共有多少人患流感？教师：“你会计算吗？”学生都争先恐后的回答。

学生甲：一轮后：（1+5）=6人二轮后：6+5×6=36人你能说说依据吗？学生说“原来的一个是传染源，经过一轮后一个人就传给了5个人，所以一轮后就有6个人患了流感，在第二轮时，第一轮被传染的6个人，都变成了传染源，所以第二轮就有6+5×6=36人。

教师：“你真聪明！”如果经过三轮传染呢？学生乙：三轮后：36+5×36=216人。

教师：你发现其中的规律吗？学生表示困难。

教师：我们将等式变形：一轮后：（1+5）人。

二轮后：（1+5）+5（1+5）三轮后：（1+5）2+5（1+5）学生丙：我发现了规律，第几轮就是（1+5）的几次方。

教师：你太棒了！大家给他鼓掌！你能总结一个计算公式吗？学生丁：（1+x）n（ x代表每轮传染的人数，n 代表传染的轮数）然后，我出示了例题：流感具有传染性，有一个人患流感，经过两轮传染后共有121人患流感，平均每轮传染中一个人传给了几个人？学生类比前面的问题很快列出方程：解：设每轮传染中平均一个人传给了x个人（1+x）n=121学生集体完成了这道题的解答过程。

然后，我又出示了同种类型题，进行强化，本节课教学效果很好。

我本节课，我改变了教材中例题的呈现方式，遵循了由“特殊到一般”的数学思想，由浅入深，层层递进，符合学生的认知规律，真正达到了深入浅出的目的，事实证明，这种对课程的处理方式很成功，达到了预期的教学效果。

人教版数学九年级上册
人教版数学九年级上册
第21.3实际问题与一元二次方程 （第1课时传播问题）
学习目标
人教版数学九年级上册
1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次 方程. 2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系. 3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题. 4.了解一元二次方程在实际问题中的应用价值.
拓展训练
人教版数学九年级上册
1.某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒， 经两轮传播后，就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个 人会传染给几个人？若病毒得不到有效控制，三轮传播后将有 多少人被感染？ 解：设每轮传播中平均一个人会传染给x个人，
根据题意列方程： 2+2x+x(2+2x)=50， 整理得：2(1+x)2=50， 解得：x1=4，x2=-6.（不合题意，舍去）， ∴50×(1+4)=250（人）. 答：每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得 不到有效控制，三轮传播后将有250人被感染.
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 1+x+x(1+x)=121
解方程，得x1=10，x2=-12(不合题意，舍去) 答:平均一个人传染了10个人.
思考 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
121+121×10=1331(人)
典例精析
人教版数学九年级上册
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又 长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91， 每个支干长出多少个小分支？
第2轮传染后患病人数_[_1_+_x_+_(_1_+_x_)_x_]人. 规律发现

-鼓励学生提出创新性的解题思路，培养学生的发散性思维。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程1——传播问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过信息或病毒传播的情况？”（如微信朋友圈的谣言传播、流感病毒传播等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索传播问题的奥秘。
4.培养学生数据分析素养，使学生能够通过对传播问题的研究，理解数据背后的规律，为现实生活中的类似问题提供解决思路。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解传播问题背景，能从实际问题中抽象出一元二次方程。
-通过案例分析，让学生明确如何从传播问题中提炼出一元二次方程，掌握方程构建的方法。
-强调一元二次方程在解决传播问题中的应用，如病毒传播、信息传播等。
3.通过传播问题，掌握解决实际问题时如何列出相关的一元二次方程，并求解。
4.分析以下案例：
（1）病毒传播问题：在某次疫情中，病毒通过接触传播，假设每个感染者在接触一个人后，有50%的概率将病毒传播给对方。如果已知病毒最初由一个人传播，求经过5次传播后，预计有多少人可能感染病毒。
（2）信息传播问题：在社交网络上，一个热门话题最初由一名用户发布，如果每个阅读该话题的用户有20%的概率转发，求经过3次转发后，预计有多少人看到该话题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。

实际问题与一元二次方程题型知识点归纳总结典型题型归纳1、传播问题：公式：(a+x)n=M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？2、平均增长率问题：M=a(1±x)n， n为增长或降低次数 ,M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率例1、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

练习：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.2、从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？3、商品销售问题例1、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？练习：1、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。

当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。

该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。

经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。

综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。

实际问题与一元二次方程传播问题公式一、实际问题与一元二次方程在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的问题，其中有些可以通过一元二次方程来进行建模和求解。

一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。

通过解一元二次方程，我们可以得到问题的解决方案，帮助我们更好地理解和应对实际问题。

下面就让我们通过一些实际问题，来看看一元二次方程在解决实际问题中的应用。

二、抛物线运动问题与一元二次方程抛物线运动是我们生活中常见的一种运动状态，比如抛出的物体在空中运动，下落到地面的运动轨迹就是一个抛物线。

而描述抛物线运动的运动方程，正是一元二次方程。

根据抛物线的运动特点，我们可以建立出物体的运动方程，进而解一元二次方程，从而求解出物体的运动轨迹、最大高度、最远距离等相关问题。

通过这样的方式，我们可以更好地理解抛物线运动问题，并且通过一元二次方程得到准确的解答。

三、满足条件问题与一元二次方程在某些情况下，我们遇到的问题可能会给出一些条件，要求我们找到满足这些条件的未知数的取值范围。

这时候，我们可以通过建立一元二次方程来解决这类问题。

某一数的平方与另一数之和的平方等于第三个数的平方，这就可以通过一元二次方程来建立并求解。

通过一元二次方程的解，我们可以找到满足条件的未知数取值范围，从而解决实际中的类似问题。

四、个人观点和总结通过以上的例子，我们可以看到一元二次方程在解决实际问题中的广泛应用。

在现实生活中，我们遇到的问题可能需要通过一元二次方程进行建模和求解，从而得到问题的解决方案。

通过掌握一元二次方程的应用，我们可以更深入地理解和应对实际问题，为实际问题的解决提供强有力的数学工具支持。

一元二次方程通过对实际问题的建模和求解，可以帮助我们更好地理解和应对现实生活中的各种问题，具有重要的理论和实际意义。

希望通过本文的共享，你能对实际问题与一元二次方程的传播问题公式有更深入的理解和认识。

一元二次方程是数学中的重要内容，它不仅在理论上有着重要的意义，更在实际生活中有着广泛的应用。

人教版九年级上册数学21.3实际问题与一元二次方程--传播问题一、选择题1.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑会感染x台其他电脑，由题意可列方程为( )A．1+2x=100B．x(1+x)=100C．(1+x)2=100D．1+x+x2=1002.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，设每个支干长出x个小分支，根据题意列出方程为( )A．1+x+x(1+x)=57B．1+x+x2=57C．x+x(1+x)=57D．1+2x2=573.病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人感染了病毒，经过两轮传染后共有625个人感染了病毒，每轮传染中平均一个人传染m个人，则m的值为( ) A．24B．25C．26D．274.元旦期间，一个小组有若干人互送新年贺卡一张，已知全组共送贺卡56张，则这个小组共有( )A．6人B．7人C．8人D．9人5.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( )A．4B．5C．6D．76.一次聚会，每个参加聚会的人都要送给其他人每人一件小礼物，有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，那么根据题意可列方程为( )A．x(x+1)=56B．x(x−1)=56C．2x(x+1)=56D．x(x−1)=56×27.秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为( )A．7B．8C．9D．10二、填空题（共4题）8.某摄影小组互送相片作纪念，已知全组共送出相片132张，则该摄影小组有人．9.网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给n个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为．10.（1）3名同学互赠礼物，每位同学送出份礼物，共送出礼物份；（2）4名同学互赠礼物，每位同学送出份礼物，共送出礼物份；（3）x名同学互赠礼物，每位同学送出份礼物，共送出礼物份．11.有一台电脑感染了病毒，经过两轮传播后共有121台电脑被感染，求每轮传播中平均一台电脑感染几台电脑．分析：设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑．则：第一轮新增加台电脑感染了病毒，第一轮后共有台电脑感染了病毒；第二轮新增加台电脑感染了病毒，第二轮后共有台电脑感染了病毒．列方程为，解得．答：．三、解答题12.2020年3月，疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：(1) 每轮传染中平均每个人传染了几个人？(2) 如果这些病毒携带者未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？13.疫情在全球开始持续蔓延．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传播的人已经确定为新冠肺炎病毒的携带者，那么这个传播者就称为“超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设1名病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．(1) 请判断最初的这名病毒携带者是否为“超级传播者”，并求出每人每轮传染的人数；(2) 若不加以控制传染渠道，经过3轮传染后，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？14.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，共签订了78份合同，则有多少家公司参加了这次交易会？15.研究所在研究某种流感病毒时发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患病（假设每轮每人传染的人数相同）．(1) 求每轮传染中平均一个人传染了几个人；(2) 如果这些病毒携带者未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？16.对某种细菌进行培养，若3个细菌经过两轮繁殖后，共有768个细菌．(1) 求每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌．(2) 经过三轮繁殖后，求细菌的数量．17.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．(1) 若参加聚会的人数为6，则共握手次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次．(2) 若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数．(3) 小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），则线段总数为多少条？请直接写出结论．答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B3. 【答案】A4. 【答案】C5. 【答案】C6. 【答案】B7. 【答案】B二、填空题8. 【答案】129. 【答案】910. 【答案】2；6；3；12；(x−1)；x(x−1)11. 【答案】x；(1+x)；(1+x)x；[1+x+(1+x)x]；1+x+(1+x)x=121；x1=10，x2=−12（舍）；每轮传播中平均一台电脑感染10台电脑三、解答题12. 【答案】(1) 设每轮传染中平均每个人传染了x个人，依题意，得1+x+x(1+x)=169.解得x1=12,x2=−14(不合题意,舍去)故每轮传染中平均每个人传染了12个人．(2) 169×(1+12)=2197（人）故按照这样的传染速度，第三轮传染后共有2197人患病．13. 【答案】(1) 设每人每轮传染的人数为x人依题意，得1+x+(1+x)x=81.解得x1=8,x2=−10(不合题意,舍去).∵8<10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”，每人每轮传染的人数为8人．(2) 81×(1+8)=729（人）．答：新冠肺炎病毒的携带者共有729人．14. 【答案】设有x家公司参加了这次交易会．x(x−1)=78.解得x1=13,x2=−12(舍).答：有13家公司参加了这次交易会．根据题意，得1215. 【答案】(1) 设每轮传染中平均一个人传染了x个人．根据题意，得1+x+x(x+1)=169.解得x1=12,x2=−14(不合题意,舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．(2) 169×(1+12)=2197（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．16. 【答案】(1) 设每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了x个细菌．根据题意，得3+3x+x(3+3x)=768.解得x1=15,x2=−17(舍去).答：每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了15个细菌．(2) 768×(1+15)=12288（个）．答：经过三轮繁殖后，细菌的数量为12288个．17. 【答案】n(n−1)(1) 15；12(2) 设参加聚会的人数x人，x(x−1)=36.解得x1=9,x2=−8(不合题意,舍去).答：参加聚会的人数为9人．根据题意，得12(m+2)(m+1)条．(3) 线段总数为12。

实际问题与一元二次方程（一）-------传播问题和比赛问题列方程解应用题的一般步骤：（1）__________（2）__________（3）__________（4）__________（5）__________（6）__________。

1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有点121人患了流感，（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?2、有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数是_________，如果不及时控制，第三轮将又有_________人被传染？3、某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若小分支、枝干和主干的总数是73，则每个枝干长出_________个分支？4、某生物实验室需培养一群有益菌。

现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到目24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌。

（1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？、（2）按照这样的分裂速度，经过三轮后有多少个有益菌？5、（1）参加一次足球比赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？（2）参加一次篮球比赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛15场，共有多少个队参加比赛？6、生物兴趣小组的同学将自己制作的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，则该兴趣小组共有多少名同学？7、在某次聚会上，每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，则有多少个人参加这次聚会？8、某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场多少个？9、（1）两个相邻偶数的积是168，求这两个偶数。

（2）两个连续偶数的和为6和8，则这两个连续偶数是________。

21.3实际问题与一元二次方程（传播问题）教学设计平安堡中学 李占军一、教学目标：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

3.通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．二、学情分析：1、知识掌握方面:学生对列方程解应用题的一般步骤已经很熟悉，认知水平存在差异，适合自主探究、合作交流的数学学习方式。

2、学生年龄特点：九年级学生具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理。

容易开发他们的主观能动性。

适合由特殊到一般的探究方式。

三、教学重点、难点：教学重点：列出一元二次方程解应用题。

教学难点：分析数量关系。

四、教学程序：（一）、知识链接1、若全班34名同学每两个人都互相握手一次，总共握手 次。

2、中秋节我班34名学生，互发短信祝贺，共发送短信 条，3、解方程：（二）、探究新知探究一：4、在老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么老师所教的班级共有多少名学生？分析：（设老师所教班级有 名学生）1、则每个人与 人握手。

2、全班共握手 次（用含有 的式子表示）3、依题意，可列方程为 。

归纳：1列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、找、列、解、答．这里要特别注意．)(780121=-x x2在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．（设计意图：数形结合、多媒体辅助演示将找规律的难点分开化解，激发学生兴趣）针对训练一5、参加一场篮球比赛的每两队之间都要进行一次比赛，总共比赛45场，则共有多少个球队参加比赛？6、某小组互发短信拜年，共发送短信110条，则这个小组有多少个成员？（只设未知数列出方程）总结：何时乘以试一试：据调查，初春是流感盛行的季节，（1）经研究流感在每轮传染中平均一个人传染10人，请问:一人患流感一轮传染后共有 人患了流感；经过两轮传染后共有 人患了流感。

实际问题与一元二次方程---传播问题德泽乡中学赵聪梅例题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练习：2003年初夏，“非典”流行，正值初三复习备考的紧张时期，在广州打工回家的某人，因为低烧并伴有咳嗽现象发生，于是被人发现传为“非典”疑似病人，消息不胫而走，只有2天时间，在汉川市内统计将近有2601人知道这个消息，假设第一个人一天传播若干人，第二天每个人又传播同样数量的人数，问：这位传播者第一天传播了多少人？三天后将有多少人知道这个消息？情景一：细菌分裂问题有一种细菌，每小时分裂成若干个新细菌，这些新细菌又以同样的速度进行分裂，成为下一代新细菌。

在一次试验中，科学家取了一个这种细菌进行研究，两小时后总数达到144个，问：每个这种细菌平均每小时分裂成多少个新细菌？情景二：互赠贺年片问题某数学兴趣小组准备去外地参加数学竞赛，在圣诞节将至，他们准备互送贺年片一张，表示鼓励和问候，已知全组人员共送贺年片72张，问该小组共有多少人？情景三：握手问题实验中学九(2)班学生在星期天开展送书下乡活动，受到该校领导的热情接待，在回家途中他们互相握手道别，已知学生之间共握手45次，问参加此活动的学生一共有多少人？相关问题：（比赛：循环赛、淘汰赛的区别）要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?情景四：树分枝问题1某森林中有一种奇特的树，主干长出了若干数目的枝干，每个枝干每天又长出同样数量的小分支，两天后如果主干、枝干和小分支的总数是91，求这个枝干每天长出多少个小分支？2某种植物的根部特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根的三分之一又生长同样数目的小支根，而其余生长出一半数目的小支根，主根，支根，小支根的总数是109个，求这种植物的主根长出多少支根。

通过例题教学，让学生解决此类传播问题，不少学生存在困难，说明学生对传播类问题情境的理解不透彻。

微课《实际问题与一元二次方程------传播问题》设计说明哈巴河中学王凤玲本节课的背景是2022年1月23日武汉人民在武汉新型冠状病毒爆发期，决定封城的义举。

我把这个作为实际问题与一元二次方程中的传播问题的情境导入，更好的阐释数学理念。

传播问题是实际问题与一元二次方程的一个知识点也一个难点，它在生活中疾病传播和电脑上的病毒传播等等这类问题在比较多，所以运用的范围比较广。

我是从以下三个方面进行设计：问题背景分析。

本题是人教版九年级上册第21章一元二次方程中213实际问题与一元二次方程中（1）时中的探究问题1。

2本题取自生活中常见的流感传播问题，是让学生学会应用一元二次方程分析并解决生活中的实际问题，从而让学生直观感受到流感传播的速度非常快，理解连续传播问题的实质，让学生明白预防传染病的重要性，做到自我防护。

3本题涉及的考点是流感连续传播中，每一轮中传染源、传染轮次、被传染人三者之间的关系和总患流感人数的计算方法，考查了一元二次方程的解法和应用。

4它的解决要求是让学生掌握列方程解应用题的步骤，正确无误地根据题意列出一元二次方程，也为我们后面继续学习，用方程解决实际问题，起到了承上启下的作用，也体现了数学、所用解题思想。

在整个解题过程中准确判断流感连续传播问题中数量关系是重难点，能否根据传染源和传染轮次、被传染人列出方程式解决本题的关键，所以教师引导学生根据题意层层分解从传染源、流感传播一轮到流感传播的第二轮建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，进而列方程求解，渗透了转化思想、建模思想，数形结合思想、方程思想。

一、具体分析，突破难点。

学生在前面已经接触过用已经一元二次方程解决实际问题，比如说球类比赛问题，所以用方程思想解决问题的思路—审、设、列、解、验、答大部分学生还是熟知的。

但学生在分析问题和结合问题找等量关系上还不熟悉，特别是本问题中如何理解两轮传染过程，如何找出第二轮的传染源，两轮后共有121人患流感等这些问题学生会存在很大的困难，以及在学生小组合作和教师分析完问题后列方程和解方程上也会存在一定的困难。