历年初三数学中考辅导之—简单的二元二次方程组及答案

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初中数学中考复习：49二元二次方程组(含答案)

中考总复习：二元二次方程组--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．下列方程中，是二元二次方程的是（）A 、x 2+=1B 、x 2–y 2=1C 、x 2+3x–4=0D 、2．利用代入法解方程组，消去x 可得方程（）A 、y 2+17y+60=0 B 、y 2-17y+60=0C 、2y 2+17y+120=0 D 、2y 2-17y+120=03．下列各对未知数的值中，是方程组的解的是（）A 、B 、C 、D 、4. 如果是方程组的一组解，那么这个方程组的另一组解是（）A 、B 、C 、D 、5．方程组有两组不同的实数解，则（）A 、≥B 、＞C 、＜＜D 、以上答案都不对6．方程组的解有（）组. A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题7．二元二次方程2x 2+3xy －6y 2+x －4y=3中，二次项是，一次项是，常数项是_______________.8. 若(2x 2-3y 2-10y+5)2+=0，则x= ，y=9．已知方程组是关于x 、y 的二元二次方程组，则k= .10．方程组的解是.11．已知是方程组的一个解，那么这个方程组的另一个解是.12. 已知和是方程的两个解，则.;三、解答题13. 解下列方程组：（1）（2）14. 已知方程组的一个解是，求m及另一个解.15. k为何值时，方程组只有唯一解？16. 已知：矩形的面积是，对角线长，那么矩形的长和宽是多少？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】A、D选项均含有分式；C选项中仅含有一个未知数.2.【答案】B3.【答案】A【解析】将各选项代入原方程，看是否满足方程的左右两边相等.4.【答案】A.【解析】将代入方程组求得，再解方程组.5.【答案】B【解析】两个方程消去y得，，方程组有两组不同的实数解，需要△＞0，即1+4m＞0，所以＞.6.【答案】D.二、填空题7．【答案】2x，3xy，－6y；x，－4y；－3.8.【答案】x=2，y=1.【解析】根据平方数和二次根式的非负性列方程组，解这个方程组即可.9.【答案】3；【解析】根据二元二次方程组的定义，最高次数应该是2，所以要求k-1=2，所以k=3.10.【答案】.【解析】可以采用代入法消元.11.【答案】.【解析】将代入原方程组求得，所以原方程组是，再解此方程组即可.12.【答案】1或-3【解析】将和分别代入方程得，，解得或，所以a＋b=1或-3.三、解答题13.【答案与解析】（1）解：由①得，x=2y……③，将③代入②整理得，,解得，，将分别代入③式得，，所以原方程组的解为.（2）解：①式左边分解因式得，，∴x-y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i）或（ii），解方程组（i）得，解方程组（ii）得，,所以，原方程组的解是14.【答案与解析】∵方程组的一个解是，将代入方程组得，m=4，∴原方程为，采用代入消元解得，∴m=4，另一组解是15.【答案与解析】由（2）得，y=x-k（3）将（3）代入（1）得，，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即，解得，k=.所以当k=时，方程组只有唯一解.16.【答案与解析】设矩形的长是xcm，宽是ycm. 由题意得，，解得，，，考虑到实际情况，长应该大于宽，所以符合题意.答：矩形的长是4cm，宽是3cm.。

九年级数学二元二次方程组人教版

初三数学二元二次方程组人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：二元二次方程组二. 学习目标：1. 弄清二元二次方程组的概念及类型（1）含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程。

其一般式：ax bxy cy dx ey f 220+++++= （a ，b ，c 不同为0）（2）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，叫“一二型二元二次方程组”一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组，叫“二二可分型方程组”2. 掌握解二元二次方程组的基本思路：降次，消元。

3. 熟练求解二元二次方程组的步骤4. 能使方程组中两方程都成立的未知数的值，叫方程组的解，二元二次方程组解的个数不定，至多有四组解。

5. 对于形如x y a xy b+==⎧⎨⎩的方程组，可通过构造以x ，y 为根的方程z az b 20-+=，达到消元目的。

三. 重点与难点：1. 重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，重点掌握方程组的解法。

2. 难点：降次、消元的方法是解题的难点。

【典型例题】例1. 解方程组261560222x y x xy y -=-+=⎧⎨⎩()()解：解法1：由()()1263y x =-（3）代入（2）x x x x x x 2225266260538720----=-+=()()∴==x x 124185，代入（3）中，y y 12265==， ∴原方程组的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解法2：由（2）()()x y x y --=230 ∴-=-=x y x y 2030或∴原方程组可化为26202630x y x y x y x y -=-=⎧⎨⎩-=-=⎧⎨⎩ ∴原方程的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 点拨：解法1代入消元法，先消元，再把方程组转化为一元二次方程；解法2分解因式法，先降次，再把方程组转化为两个二元一次方程组。

(专题精选)初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编含答案

（专题精选）初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编含答案一、选择题1．解方程组：231437xy y y x ⎧-=⎨-=⎩①② 【答案】32x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】由②得出y=7+3x③，把③代入①得出3x(7+3x)-(7+3x)2=14，求出x ，把x=-3代入③求出y 即可．【详解】解：由②得：y=7+3x(3)，把③代入①得：3x(7+3x)-(7+3x)2=14，解得：x=-3，把x=-3代入③得：y=-2，所以原方程组的解为32x y =-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键．2．解方程组：222920x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩．【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】【分析】先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【详解】22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩，由（1）得出x+y=3，x+y=-3，故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．3．解方程组：2223,44 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧⎨-+=⎩ 由②得：()221x y -=即：21x y -=或21x y -=-所以原方程组可化为两个二元一次方程组：23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.4．22x -y -3x 10y ⎧=⎨++=⎩，①，②【答案】x 1y -2=⎧⎨=⎩【解析】【分析】根据解二元二次方程组的步骤求解即可.【详解】解：由方程①得：()()x y x-y -3+⋅=，③由方程②得：x y -1+=，④联解③④得x-y=3，⑤联解④⑤得x 1y -2=⎧⎨=⎩所以原方程组的解为x 1y -2=⎧⎨=⎩【点睛】本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.5．解方程组：22694(1)23(2)x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩【答案】1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将①中的x 2 -6xy+9y 2分解因式为：（x-3y ）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩ 解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则6．222620x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ 【答案】42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【解析】【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．【详解】解：原方程组变形为()()2620x y x y x y -=⎧⎨-+=⎩ ∴2620x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或260x y x y -=⎧⎨+=⎩∴原方程组的解为 42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 故答案为：42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【点睛】本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．7．解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩【答案】113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】将原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，所以有3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．【详解】原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝，解这四个方程组为：113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩.8．解方程组：222232()x y x y x y ⎧-=⎨-=+⎩. 【答案】111,1x y =⎧⎨=-⎩；223232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；331252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】分析：把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次，转化为两个一次方程，再分别和第一方程组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解.详解：由方程222()x y x y -=+可得，0x y +=，2x y -=；则原方程组转化为223,0.x y x y ⎧-=⎨+=⎩（Ⅰ）或 223,2.x y x y ⎧-=⎨-=⎩ （Ⅱ），解方程组（Ⅰ）得21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩，解方程组（Ⅱ）得43341,1,21;5.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩，∴原方程组的解是21123,1,21;3.2x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩ 331,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第1个方程组合成两个新的方程组；（2）将两个新的方程组消去y ，即可得到关于x 的一元二次方程.9．解方程组：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩ 【答案】1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将第1个方程变形为x ＋2y ＝3，x ＋2y ＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①② 方程①可变形为()229x y +=得：23x y +=，23x y +=-它们与方程②分别组成方程组，得； 230x y x y +=⎧⎨+=⎩或230x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 所以，原方程组的解是1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．10．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩．【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【解析】【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①②由②得：（x +2y ）2＝9，即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩；得1111x y =⎧⎨=⎩；解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．11．解方程组222221690x xy y x y ⎧-+=⎨=-⎩．【答案】1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩．【解析】【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】解：222221690x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩①②由①，得(x ﹣y )2＝16，所以x ﹣y ＝4或x ﹣y ＝﹣4．由②，得(x +3y )(x ﹣3y )＝0，即x +3y ＝0或x ﹣3y ＝0所以原方程组可化为：430x y x y -=⎧⎨+=⎩，430x y x y -=⎧⎨-=⎩，430x y x y -=-⎧⎨+=⎩，430x y x y -=-⎧⎨-=⎩解这些方程组，得1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩．所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.12．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩①②．【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.【详解】解：由②得()()310x y x y ---+=，得30x y --=或10x y -+=，原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.13．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①② 将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．14．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．【解析】【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．【详解】设前年乙厂全年的产值为x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ，根据题意得 ()()()()21210161210101 3.2x x y x x y ++-+=⎧⎪⎨+++=+-⎪⎩ 解得8020%x y =⎧⎨=⎩80+12=92（万元），答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，故答案为：92，80，20%．【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．15．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩（2）217,11 1.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩ 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案．（2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案．【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y =+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-，所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．16．解方程组：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩．【答案】7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y =⎧⎨=⎩．【解析】【分析】将方程22210x y xy +--=变形整理求出1x y -=或1x y -=-，然后分别与25x y +=组成方程组，求出对应的x ，y 的值即可．【详解】解：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩①②，对②变形得：()21x y -=，∴1x y -=③或1x y -=-④，①－③得：34y =，解得：43y =，把43y =代入①得：4253x +⨯=，解得：73x =； ①－④得：36y =，解得：2y =，把2y =代入①得：225x +⨯=，解得：1x =，故原方程组的解为：7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”，掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键．17．已知方程组222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的解.【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-⎧⎨=⎩;当1m =-时 21x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；【详解】解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩①②把②代入①后计算得()222112120m x mx +++=，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，解得：1m =±，当1m =时，解得21x y =-⎧⎨=⎩当1m =-时，解得21x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．18．一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.【答案】306【解析】【分析】设百位数字是x ，个位数字是y ．则依据“两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组．【详解】设百位数字是x ，个位数字是y ．则9100339x y y x xy +⎧⎨++⎩＝＝，解得36x y ⎧⎨⎩＝＝，90x y ⎧⎨⎩＝＝（不符合题意，舍去）．答：这个三位数是306．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．19．()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】3022x y =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】运用代入法进行消元降次，即可得解.【详解】 ()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①② 由①，得8x y +=-③将③代入②，得6424x +=，解得30x =-④将④代入①，得22y =∴方程组的解为3022x y =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②【答案】11613{113x y ==-,221{1x y ==. 【解析】【分析】先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩，所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩．故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。

初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附答案

面积的 1 ？若存在，求出所有满足条件的 Q 点的坐标；若不存在，说明理由． 2
【答案】（1）16 3 ；（2）①A（0， 2 3 ），B（2，0），C（6，0）；②存在，满足
条件的 Q 点有（0， 2 3 ），（14，16 3 ），（8， 2 3 ）和（6，0）．
【解析】【分析】（1）当⊙P 分别与两坐标轴相切时，PA⊥y 轴，PK⊥x 轴，x 轴⊥y 轴，且 PA＝PK，进而得出 PK2，即可得出 OP2 的值；（2）①连接 PB，设 AP＝m，过 P 点向 x 轴作垂线，垂足为 H，则 PH＝
M
、N（6，-4），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线 MN 的解析
式，解由方程
和
【详解】
（1）解：设直线 AB 的解析式为 y=kx+b
的解即可得出 P、Q 的坐标．
直线
与 x 轴、y 轴交点分别为（-2，0），（0，），沿 x 轴翻折，
∵直线
，
直线 AB 与 x 轴交于同一点（-2，0）
∴
＝24，
解得 k＝= 或 k=2 （舍去），
∴FM=6，FT= ，MT= ，GN=4，TG= ，
∴M（，））、N（6，-4），代入得： = k+b 且-4=6k+b，
解得：k= ，b=4，
∴y＝ x+4，
联立 y＝ x+4 与 y＝
,
求得 P（1，），Q（3，0）．
答：存在 P 的坐标是（1，），Q 的坐标是（3，0）．
在数轴上表示解集.
【详解】解：（1）原式=-3+4- 3 = 1 22
3x 5y 3① （2） 4x 10 y 6②
①×2+②，得 x=0

(易错题精选)初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及答案解析

（易错题精选）初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及答案解析一、选择题1．解方程组： 222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩．【答案】1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可.【详解】222403260x y x xy x y ⎧-=⎨-+++=⎩①② 由①得：2x ﹣y ＝0，2x +y ＝0，原方程组化为：①2203260x y x xy x y -=⎧⎨-+++=⎩，②2203260x y x xy x y +=⎧⎨-+++=⎩，解方程组①得： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩，方程组②无解，所以原方程组的解为： 1124x y =-⎧⎨=-⎩， 2236x y =-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查解二元二次方程组，难度不大，熟练掌握二元二次方程组求解是解题关键.2．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩【答案】1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩【解析】【分析】根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．【详解】解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩①②，由①，得x=17+y③，把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，解之，得y 1=-15，y 2=-2．把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．故原方程组的解为1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩. 【点睛】本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．3．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？【答案】甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.【解析】试题分析：根据题意，设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件，然后根据根据题目中的两种工作方式列出方程组，解答即可.试题解析：设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件. 根据题意，得解这个方程组，得答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.4．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①②, 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．5．已知1132x y =⎧⎨=-⎩是方程组22x y m x y n ⎧+=⎨+=⎩的一组解，求此方程组的另一组解. 【答案】22-23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n ⎧+=⎨+=⎩中求出m 、n 的值，然后再求方程组的另一组解．【详解】解：将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n ⎧+=⎨+=⎩中得：131m n =⎧⎨=⎩ ，则方程组变形为：22131x y x y ⎧+=⎨+=⎩，由x+y=1得：x=1-y ，将x=1-y 代入方程x 2+y 2=13中可得：y 2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：22-23x y =⎧⎨=⎩ . 【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m 和n 的值是解题的关键.6．解方程组：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩【答案】11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩由②得：()()250x y x y -+=原方程组可化为620x y x y -=⎧⎨-=⎩或650x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得：11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩． ∴原方程组的解为11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．7．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①② 由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝，把1x ＝③，得1413y ＝﹣（把1x ③，得2413y ＝﹣（所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.8．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =−32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3，解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.9．（1）解方程组：221104100x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩【答案】（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.【详解】（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①②由②410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --= 解得：3y =或139y = 将3y =代入②12100-+=，解得：x =将139y =代入②1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② +①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.10．21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩【答案】10x y =-⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y ，求出未知数x 的值后，进而求得这个方程组的解．【详解】解：由①得：1y x =+③把③代入②，得22(1)20x x x -+-=,整理得：220x x --=，解得11x =-，22x =．当11x =-时，1110y =-+=当22x =时，2213y =+=∴原方程组的解为1110x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．11．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①②将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．12．解方程组：2256021x xy y x y ⎧+-=⎨-=⎩ ①② 【答案】12216113,1113x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩【解析】【分析】把①方程变形为(6)()0x y x y +-=，从而可得60x y +=或0x y -=，把这两个方程分别和原方程组中的②方程组合得到两个新的二元一次方程组，解这两个方程组即可.【详解】方程①可变形为(6)()0x y x y +-=，得60x y +=或0x y -=，将它们与方程②分别组成方程组，得：（Ⅰ）6020x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，11x y =⎧⎨=⎩ .13．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩（2）217,11 1.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案．（2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案．【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①②所以①＋②得：36x y =+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-，所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．14．解方程组：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩ 【答案】1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将第1个方程变形为x ＋2y ＝3，x ＋2y ＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①②方程①可变形为()229x y +=得：23x y +=，23x y +=-它们与方程②分别组成方程组，得； 230x y x y +=⎧⎨+=⎩或230x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 所以，原方程组的解是1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．15．解方程组：222,{230.x y x xy y -=--=【答案】1111x y =⎧⎨=-⎩2231x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】【详解】x 2-2xy-3y 2="0"(x-y)2-4y 2=0又因：x-y=2代入上式4-4y 2=0y=1或y=-1再将y=1、y=-1分别代入x-y=2则 x=1、x=3∴1111x y =⎧⎨=-⎩2231x y =⎧⎨=⎩16．已知方程组222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的解.【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-⎧⎨=⎩;当1m =-时 21x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；【详解】解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩①② 把②代入①后计算得()222112120m x mx +++=，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，解得：1m =±，当1m =时，解得21x y =-⎧⎨=⎩当1m =-时，解得21x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．17．一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.【答案】306【解析】【分析】设百位数字是x ，个位数字是y ．则依据“两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组．【详解】设百位数字是x ，个位数字是y ．则9100339x y y x xy +⎧⎨++⎩＝＝，解得36x y ⎧⎨⎩＝＝，90x y ⎧⎨⎩＝＝（不符合题意，舍去）．答：这个三位数是306．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．18．解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩ 【答案】111,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】首先将由22230x xy y --=得30x y -=或0x y +=，分别与223x xy y -+=求解即可. 【详解】解： 22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩①②由①得30x y -=或0x y +=，原方程组可化为22303x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩；2203x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩解这两个方程组得原方程组的解为11,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩227x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩331,1,x y =-⎧⎨=⎩441,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.19．()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】3022x y =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】运用代入法进行消元降次，即可得解.【详解】()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②由①，得8x y +=-③将③代入②，得6424x +=，解得30x =-④将④代入①，得22y =∴方程组的解为3022x y =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②【答案】11613{113x y ==-,221{1x y ==. 【解析】【分析】先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩，所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩．故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。

初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案(1)

初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案(1)一、选择题1．解方程组：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩【答案】11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．【详解】解：2263100x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩由②得：()()250x y x y -+=原方程组可化为620x y x y -=⎧⎨-=⎩或650x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得：11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩． ∴原方程组的解为11126x y =⎧⎨=⎩，1151x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．2．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩．【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．【详解】由①得25y x =-+．③把③代入②，得22(25)70x x x --+++=．整理后，得2760x x -+=．解得11x =，26x =．由11x =，得1253y =-+=．由26x =，得21257y =-+=-．所以，原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩. 3．直角坐标系xOy 中，有反比例函数()830y x =＞上的一动点P ，以点P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切时，求OP 2的值．（2）设圆P 运动时与x 轴相交，交点为B 、C ，如图2，当四边形ABCP 是菱形时， ①求出A 、B 、C 三点的坐标．②设一抛物线过A 、B 、C 三点，在该抛物线上是否存在点Q ，使△QBP 的面积是菱形ABCP 面积的12？若存在，求出所有满足条件的Q 点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）32）①A （0，3B （2，0），C （6，0）；②存在，满足条件的Q 点有（0，314，1638，36，0）．【解析】【分析】（1）当⊙P 分别与两坐标轴相切时，PA ⊥y 轴，PK ⊥x 轴，x 轴⊥y 轴，且PA ＝PK ，进而得出PK 2，即可得出OP 2的值；（2）①连接PB ，设AP ＝m ，过P 点向x 轴作垂线，垂足为H ，则PH ＝sin60°BP 3=，P （m 3），进而得出答案； ②求直线PB 的解析式，利用过A 点或C 点且平行于PB 的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的Q 点坐标即可．【详解】解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切，∴PA ⊥OA ，PK ⊥OK ．∴∠PAO ＝∠OKP ＝90°．又∵∠AOK ＝90°，∴∠PAO ＝∠OKP ＝∠AOK ＝90°．∴四边形OKPA 是矩形．又∵AP ＝KP ，∴四边形OKPA 是正方形，∴OP 2＝OK 2+PK 2＝2PK •OK ＝2xy ＝=（2）①连结BP ，则AP ＝BP ，由于四边形ABCP 为菱形，所以AB ＝BP ＝AP ，△ABP 为正三角形，设AP ＝m ，过P 点向x 轴作垂线，垂足为H ，则PH ＝sin60°BP =，P （m），将P 点坐标代入到反比例函数解析式中，2＝解得：m ＝4，（m ＝﹣4舍去），故P （4，），则AP ＝4，OA ＝OB ＝BH ＝2，CH ＝BH ＝2，故A （0，B （2，0），C （6，0）；②设过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣6），将A 点坐标代入得，a =，故解析式为2y =+ 过A 点作BP 的平行线l 抛物线于点Q ，则Q 点为所求．设BP 所在直线解析式为：y ＝kx +d ，则204k d k d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：k d ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故BP所在的直线解析式为：y =-故直线l的解析式为y =+l与抛物线的交点是方程组2y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩解得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，2214x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故得Q （0，Q （14，同理，过C 点作BP 的平行线交抛物线于点Q 1，则设其解析式为：y 3=x +e ，则0＝63+e ，解得：e ＝﹣63，故其解析式为：y 3=x ﹣63，其直线与抛物线的交点是方程组23432363363y x x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩的解，可求得Q 1（8，23）和（6，0）．故所求满足条件的Q 点有（0，23），（14，163），（8，23）和（6，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．4．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．5．解方程组：222023x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩．【答案】原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】分析：由①得出（x+y ）（x-2y ）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．详解：222023x xy y x y ⎧--⎨+⎩＝①＝②由①得：（x+y ）（x-2y ）=0，x+y=0，x-2y=0，即原方程组化为023x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，2023x y x y -⎧⎨+⎩＝＝，解得：1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．6．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩ 【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩即可．【详解】由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，x 3y 3∴-=，解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．7．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1•k 2＝﹣1．解决问题：①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m 的值是____；②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值．【答案】（1）y ＝﹣12x 2+12x+1；（2）①-12；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3. 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标；（3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值【详解】解：（1）将A ，B 点坐标代入，得10(1)11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，抛物线的解析式为y ＝211x x 122-++；（2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得2m ＝﹣1，即m ＝﹣12；故答案为﹣12； ②AB 的解析式为1122y x =+ 当PA ⊥AB 时，PA 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，联立PA 与抛物线，得21112222y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=--⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩（舍），614x y =⎧⎨=-⎩，即P （6，﹣14）；当PB ⊥AB 时，PB 的解析式为y ＝﹣2x+3，联立PB 与抛物线，得21112223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩（舍）45x y =⎧⎨=-⎩，即P （4，﹣5），综上所述：△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）如图：，∵M （t ，﹣12t 2+12t+1），Q （t ，12 t+12）， ∴MQ ＝﹣12t 2+12 S △MAB ＝12MQ|x B ﹣x A | ＝12（﹣12t 2+12）×2 ＝﹣12t 2+12，当t ＝0时，S 取最大值12，即M （0，1）．由勾股定理，得AB 2221+5设M 到AB 的距离为h ，由三角形的面积，得h 55．点M 到直线AB 5．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键8．解方程组：224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】把2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.【详解】由②得：()()20x y x y +-=所以200x y x y +=-=或 44200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或, 121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】考查二元二次方程组的解法，把方程2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.9．解方程组：22694(1)23(2)x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩【答案】1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将①中的x 2 -6xy+9y 2分解因式为：（x-3y ）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则10．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩【答案】1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩【解析】【分析】根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．【详解】解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩①②，由①，得x=17+y③，把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，解之，得y 1=-15，y 2=-2．把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．故原方程组的解为1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩. 【点睛】本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．11．222620x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【解析】【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．【详解】解：原方程组变形为()()2620x y x y x y -=⎧⎨-+=⎩ ∴2620x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或260x y x y -=⎧⎨+=⎩∴原方程组的解为 42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 故答案为：42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【点睛】本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．12．解方程组：231437xy y y x ⎧-=⎨-=⎩①②【答案】32x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】由②得出y=7+3x③，把③代入①得出3x(7+3x)-(7+3x)2=14，求出x ，把x=-3代入③求出y 即可．【详解】解：由②得：y=7+3x(3)，把③代入①得：3x(7+3x)-(7+3x)2=14，解得：x=-3，把x=-3代入③得：y=-2，所以原方程组的解为32x y =-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键．13．已知正比例函数()()249m n y m n xm -=++-的图像经过第二、四象限，求这个正比例函数的解析式.【答案】19y x =-【解析】【分析】根据正比例函数的定义可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可求出m 、n 的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可.【详解】解：∵该函数为正比例函数，∴2190m n m -=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩或34m n =-⎧⎨=-⎩，∵该函数图像经过第二、四象限，∴40m n +<，∴34m n =-⎧⎨=-⎩， ∴函数解析式为：19y x =-.【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键.14．已知1132x y =⎧⎨=-⎩是方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩的一组解，求此方程组的另一组解. 【答案】22-23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩ 中求出m 、n 的值，然后再求方程组的另一组解．【详解】解：将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩中得：131m n =⎧⎨=⎩ ，则方程组变形为：22131x y x y ⎧+=⎨+=⎩，由x+y=1得：x=1-y ，将x=1-y 代入方程x 2+y 2=13中可得：y 2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：22-23x y =⎧⎨=⎩ . 【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m 和n 的值是解题的关键.15．解方程：【答案】【解析】解：原方程组即为···································· （2分）由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分）解得，························································ （2分）代人得16．解方程22220x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①② 【答案】114,2x y =⎧⎨=⎩，221,1x y =⎧⎨=-⎩．【解析】【分析】先把2220x xy y --=化为(2)()0x y x y -+=，得到20x y -=或0x y +=，再分别联立2x y -=求出x,y 即可．【详解】2220x xy y --=可以化为：(2)()0x y x y -+=，所以：20x y -=或0x y +=原方程组可以化为：2,20x y x y -=⎧⎨-=⎩（Ⅰ）与2,0x y x y -=⎧⎨+=⎩（Ⅱ）解（Ⅰ）得4,2x y =⎧⎨=⎩，解（Ⅱ）得1,1x y =⎧⎨=-⎩ 答：原方程组的解为114,2x y =⎧⎨=⎩与221,1x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】此题主要考查二元方程的求解，解题的关键是把原方程变形成两个二元一次方程组进行求解．17．某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.【答案】四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%【解析】【分析】设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可.【详解】解：设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.根据题意，可列方程组()()()()2251232513254y x y x ⎧+=+⎪⎨+++⨯=⎪⎩ 解得：x=12,y=0.2答：四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%.【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系.18．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm ，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm ，故杆顶着地处比前次远10dm ，求此杆的高度．【答案】此竿高度为50dm【解析】【分析】由题中条件，作如下示意图，可设第一次折断时折断处距地面AB 的高为x dm ，余下部分BC 长为y dm ，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．【详解】解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm ，余下部分为BC 为ydm ．由题意得22222220;(5)(5)30.y x y x ⎧=+⎨+=-+⎩解得 2129x y =⎧⎨=⎩此杆的高度为x+y=21+19=50 dm答：此竿高度为50dm【点睛】本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．19．解方程组22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩．【答案】原方程组的解是114,32;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩224,32;3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩334,2;x y =⎧⎨=⎩444,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由①得x+2y=0，或x-2y=0，由②得x-y=2，或x-y=-2，从而可将原方程组化为4个二元一次方程组求解．【详解】 22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩①②，由①得(x+2y)(x-2y)=0，∴x+2y=0或x-2y=0，由②得(x-y)2=4，∴x-y=2或x-y=-2，∴原方程组可化为202x y x y +=⎧⎨-=⎩，202x y x y +=⎧⎨-=-⎩，202x y x y -=⎧⎨-=⎩，202x y x y -=⎧⎨-=-⎩，分别解这四个方程组得114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩， ∴原方程组的解是114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，将原方程组化为4个二元一次方程组求解是解答本题的关键．20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②【答案】11613{113x y ==-,221{1x y ==. 【解析】【分析】先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩ 解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩，所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩．故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。

初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点(1)

初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点(1)一、选择题1．解方程组：222920x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩．【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】【分析】先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【详解】22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩，由（1）得出x+y=3，x+y=-3，故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．2．21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩【答案】231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 【解析】【分析】将x 和z 分别都用y 表示出来，代入第三个方程，解出y ，然后就可以解出x 、z ．【详解】解：21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩①②③ 由①得：12y x y -=-④ 由②得：382y z y -=-⑤ 将④⑤代入③得：1384(38)3(1)82222y y y y y y y y ----=+-----g ，去分母整理得：2422300y y -+=，∴2(3)(25)0y y --=，3y ∴=或52=，将3y =分别代入④⑤得：2x =，1z =；将52y =分别代入④⑤得：3x =，1z =-；综上所述，方程组的解为：231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了三元二次方程组的解法，解方程的基本思想是消元，任意选择两个方程将两个未知数用第三个未知数表示，即可代入第三个方程，解出一个未知数之后，剩下两未知数就可直接算出．3．已知()22221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩①② 求证：()()2222222220a b m y mnb y n a b +++-=．【答案】详见解析【解析】【分析】先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．【详解】证明：把②代入①，得2222()1my n y a b++=， ()222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．4．解方程组：（1）4{526y x x y =-+= ；（2） 358{32x y x y +=-= 【答案】（1）22x y =⎧⎨=-⎩；（2）【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．解：(1) ①代入②得x =2把x =2代入①得y =-2∴(2) ①-②得y =1把y =1代入①得x =1∴“点睛”本题通过“代入”“加减”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.5．解方程组： 2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩．【答案】1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可【详解】2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩①②由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，2x ﹣3y ＝±4，即原方程组化为23234x y x y -=⎧⎨-=⎩和23234x y x y -=⎧⎨-=-⎩，解得： 1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，即原方程组的解为：1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩．【点睛】本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组6．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①② 由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝，把1x ＝③，得1413y ＝﹣（把1x ③，得2413y ＝﹣（所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.7．解方程组:223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩ 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【解析】【分析】由代入消元法，消去一个未知数x ，得到关于y 的一元二次方程，然后用公式法解出y 的值，然后计算出x ，即可得到方程组的解.【详解】解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②，由②得：3x y =+③，把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，整理得：26390y y +-=，∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，∴用求根公式法，得326y -±=⨯，解得：1=1y ，232y =-； ∴14x =，232x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.8．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩【答案】12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.【详解】22222()08x y x yx y⎧-++=⎨+=⎩①②,①式左边分解因式得，()20x y x y-++=（），∴x-y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i）22208x yx y-+=⎧⎨+=⎩或（ii）22+08x yx y=⎧⎨+=⎩解方程组（i）得，12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，解方程组（ii）得，3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩,所以，原方程组的解是:12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.9．解方程组：22694(1)23(2)x xy yx y⎧-+=⎨-=⎩【答案】1151xy=⎧⎨=⎩或22135xy=⎧⎨=⎩【解析】【分析】先将①中的x2 -6xy+9y2分解因式为：（x-3y）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩ 解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则10．解方程组：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】先将第2个方程变形为x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩①②，由②得：x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，原方程组可化为2860x y x y +=⎧⎨+=⎩或280x y x y +=⎧⎨-=⎩，故原方程组的解为11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．11．如图，要建一个面积为45 m 2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m 的墙，另几条边用总长为22 m 的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m 的门.求这个养鸡场的长与宽.【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.【解析】试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：322245x y xy +-=⎧⎨=⎩，且x <14，解得y =3或5；当y =3时，x =15；∵x <14，∴不合题意，舍去；当y =5时，x =9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.12．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①②, 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．13．解方程组：2220 23x xy yx y⎧--=⎨+=⎩．【答案】原方程组的解为123 3x y =⎧⎨=-⎩，226535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】分析：由①得出（x+y）（x-2y）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．详解：2220 23x xy yx y⎧--⎨+⎩＝①＝②由①得：（x+y）（x-2y）=0，x+y=0，x-2y=0，即原方程组化为23x yx y+⎧⎨+⎩＝＝，2023x yx y-⎧⎨+⎩＝＝，解得：123 3x y =⎧⎨=-⎩，226535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即原方程组的解为123 3x y =⎧⎨=-⎩，226535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．14．计算：（1（2）解方程组：3534106x yx y-=-⎧⎨-+=⎩（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：6234 2111 32x xx x-≥-⎧⎪--⎨-<⎪⎩【答案】（1）12-；（2）35xy=⎧⎪⎨=⎪⎩；（3）21137x-≤≤.【解析】【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再在数轴上表示解集.【详解】解：（1）原式=-3+4-32=12-（2）3534106x yx y-=-⎧⎨-+=⎩①②①×2+②，得x=0把x=0代入①式 y=35所以，方程组的解是35xy=⎧⎪⎨=⎪⎩（3）6234211132x xx x-≥-⎧⎪⎨---<⎪⎩①②由①式得，x≥-23由②式得，x＜117所以，不等式组的解集是21137x-≤≤，把解集在数轴上表示：【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关解法.15．解方程组221444y xx xy y=+⎧⎨-+=⎩【答案】1143xy=-⎧⎨=-⎩，221xy=⎧⎨=⎩【解析】【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.【详解】解：221?444y xx xy y①②=+⎧⎨-+=⎩由②得，()224x y -= ③，把①代入③，得 ()2214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，即：()224x +=，所以，x+2=2或x+2=-2所以，x 1=-4,x 2=0,把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.所以，方程组的解是 1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.16．已知方程组222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的解.【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-⎧⎨=⎩;当1m =-时 21x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；【详解】解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩①② 把②代入①后计算得()222112120m x mx +++=，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，解得：1m =±，当1m =时，解得21x y =-⎧⎨=⎩当1m =-时，解得21x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．17．解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩【答案】1122x y =⎧⎨=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；3322x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，3322x y =⎧⎨=⎩，4422x y =-⎧⎨=-⎩.18．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC 的值．【答案】（1）见解析;（2）26 ; （3）57. 【解析】【分析】（1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得EC BC =CH CD，即可推出CE•CD=CH•BC ；（2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出HE=HF=6，即可解决问题．（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴EC CH BC CD=，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12（180°﹣∠BAC）=90°+12BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AEH=∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AE EH HF FB=，∴FH2=6，∴HE=HF=6，∴EF=26．（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，∴HM=HN=52，53，∵3∴3322213EM HM+∵S△HCF：S△HCE=FH：EH=FC：EC，∴x（）：，又∵x 2=y 2+（52）2，解得∴∵∠CEF=∠B ，∠ECF=∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ， ∴EC CF BC AC=，∴AC CF BC EC ===57．【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．19．解方程组：2234021x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩．【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】方程组中第一个方程可因式分解为两个二元一次方程，这两个方程与组中的另一个方程组成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组即可求得原方程组的解．【详解】解：2234021x xy y x y ①②⎧--=⎨+=⎩，由①得：(x ﹣4y )(x +y )＝0，∴x ﹣4y ＝0或x +y ＝0．原方程组可化为4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩．解4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，得112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；解021x y x y +=⎧⎨+=⎩，得，2211x y =-⎧⎨=⎩． ∴原方程组的解为112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握解法是求解的关键.20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②【答案】11613{113x y ==-,221{1x y ==. 【解析】【分析】先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩，所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩．故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。

2020年中招数学复习考前考点模拟导航练：二元二次方程组(含解析)

2020年中招数学复习考前考点模拟导航练二元二次方程组（解析版)1．下列方程中，（）是二元二次方程？A ．B ．C ．D ． 2．下列方程式中二元二次方程是（）A ．22310x x +-=B ．24y x =-C ．2370x y +--=D ．2103y x +=- 3．下列方程组中，二元二次方程组是（）A ．51x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．210618x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩C ．2211x y x xy y -=⎧⎨++=⎩D ．312x y xy y x⎧+=⎨=+⎩ 4．方程组221{x y x== 的解有（） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组5．二元二次方程组22220,4 2.x xy y x y ⎧+-=⎨+=-⎩的解的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．下列方程中，不是二元二次方程的是（）A ．2 30x xy +-=B ．()23x y x x -=+C ．() 27x y -=D ．2 23y x x =-+ 7．下列各对未知数的值中，是方程组()()22229320x xy y x y x y ⎧++=⎪⎨---+=⎪⎩的解的是（） A ．21x y =⎧⎨=⎩ B ．5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．1252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩8．已知下列四对数值不是方程的解是（）： A ． B ． C ． D ．9．下列方程中，判断中错误的是（）A ．方程20316x x x +-=+是分式方程B ．方程3210xy x ++=是二元二次方程C20+=是无理方程D ．方程()()226x x +-=-是一元二次方程10．一次函数y ＝kx ＋b 的图像与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．已知OA ＋OB ＝6（O 为坐标原点），且ABO S ∆＝4，则这个一次函数的解析式为（）A ．y ＝－12x ＋2 B ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝12x ＋2D ．y ＝－12x ＋2或y ＝－2x ＋411．方程组2222135x y x y ⎧+=⎨-=⎩的解有（）组.A ．1B ．2C ．3D ．412．下列方程组中，属于二元二次方程组的是（）A ．2322y x xy x =⎧⎨+-=⎩B ．221201y x xy x y ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩C ．531x y x y +=⎧⎨-=-⎩ D．23135y x y ⎧=-⎪=13．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩15．解方程组：222023x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩．16．k 为何值时，方程组2216x y x y k ⎧+=⎨-=⎩只有唯一解？17．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②． 18．解方程组：222,{230.x y x xy y -=--=19．解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩20．二元二次方程2x²+3xy－6y²+x－4y=3中，二次项是__________，一次项是__________，常数项是_______________.21．方程组x y 5{xy 6+==的解是 . 22．像22121x y x y ⎧+=-⎨+=⎩这样的二元二次方程组，是由一个________方程和一个_________方程组成，可以用________法解这个方程．参考答案1．A【解析】二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程，根据定义判断即可．【详解】解：A 、是二元二次方程，故本选项符合题意；B 、不是二元二次方程，只含有一个未知数，故本选项不符合题意；C 、不是二元二次方程，不是整式，故本选项不符合题意；D 、不是二元二次方程，不含二次项，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了二元二次方程的定义，能熟记二元二次方程的定义是解题的关键．2．B【解析】本题根据二元二次方程的定义解答．二元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有两个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、22310x x +-=是一元二次方程，故A 错误；B 、整理得24=0y x +是二元二次方程，故B 正确；C 、整理得223(7)y x -=-，不是二元二次方程，故C 错误；D 、2103y x +=-，不是整式方程，则不是二元二次方程，故D 错误；故选择：B.【点睛】本题考查了二元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有两个未知数，且未知数的最高次数是2．3．C【解析】二元二次方程组的定义要素：含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是2，A 中含未知数的项的最高次数是1，所以错误，B 是分式方程组，所以错误，C 符合定义，正确，D 中含未知数的项的最高次数是3，所以错误．【详解】解：由方程组的定义知：A 是二元一次方程组，B 是分式方程组，C 是二元二次方程组，D 是二元三次方程组，所以C 正确．故选C ．【点睛】本题考查的是二元方程组的定义，熟练掌握定义是解题的关键．4．B【解析】由2x 1=，得x=±1, 当x=1时，2y 1=，得y=±1, 当x=-1时，2y 1=-，无解，故方程组22x 1y x⎧=⎨=⎩的解为11x y =⎧⎨=⎩,11x y =⎧⎨=-⎩, 故选B ．5．B【解析】由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：2042x y x y -=⎧⎨+=-⎩③④或22042x y x y +=⎧⎨+=-⎩⑤⑥，然后用代入消元法求解即可．【详解】 2222042x xy y x y ⎧+-=⎨+=-⎩①②，由①得(x-y)(x+2y)=0，∴x-y=0或x+2y=0，∴原方程组可变为：2042x y x y -=⎧⎨+=-⎩③④或22042x y x y +=⎧⎨+=-⎩⑤⑥，由③得x=y ，把x=y 代入④得y 2+4y=-2，解得y=-2，∴1122x y ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩2222x y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩由⑤得x=-2y ，把x=-2y 代入⑥得4y 2+4y+2=0，即2y 2+2y+1=0，∆=4-8=-4＜0，∴此时方程无实数根，综上可知，方程组有两组解：1122x y ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩2222x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩．故选B ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键．6．B【解析】二元二次方程就是含有两个未知数，并且最高次数是二次的整式方程，据此即可判断．【详解】A 、C 、D 都是二元二次方程，故正确；B 、化简以后是：y+3x=0，是二元一次方程，故选项错误．故选B ．【点睛】本题主要考查了二元二次方程的定义，正确理解二元、二次的含义是解题的关键． 7．A【解析】此题根据方程组的解的定义，运用代入排除法即可作出选择．【详解】把四个选项的答案分别代入方程组，发现只有A 中的答案适合两个方程．故选A ．【点睛】本题主要考查了方程组的解的定义．8．A【解析】将各选项代入方程进行验证即可．【详解】解：A 、当x=-5，y=-2时，左边=(-5)²+(-2)² =29≠13，左边≠右边，故A 错误；B 、当x=-2，y=3时，左边=(-2)²+3² =13，左边=右边，故B 正确；C 、当x=2，y=3时，左边=2²+3² =13，左边=右边，故C 正确；D 、当x=-3，y=2时，左边=(-3)²+2² =13，左边=右边，故D 正确；故选：A ．【点睛】本题考查了二元二次方程的解的定义，掌握二元二次方程的解得定义是解题的关键． 9．C【解析】逐一进行判断即可．【详解】A. 方程20316x x x +-=+是分式方程，正确，故该选项不符合题意； B. 方程3210xy x ++=是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；C. 20=是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；D. 方程()()226x x +-=-是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．10．D【解析】首先根据题意设A （x ，0），B （0，y ），再根据“OA+OB=6（O 为坐标原点）．且S △ABO =4，”可得方程组1426xy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，再解出x 、y 的值，进而得到A 、B 两点坐标．然后再利用待定系数法求出一次函数解析式．【详解】解：∵一次函数y=kx+b 的图象与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点．∴设A （x ，0），B （0，y ），∵OA+OB=6（O 为坐标原点）．且S △ABO =4， ∴1426xy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：24x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩， ∴A （2，0）、B （0，4）或A （4，0）、B （0，2），当过点A （2，0）、B （0，4）时024k b b =+⎧⎨=⎩，解得：24k b =-⎧⎨=⎩；当过点A （4，0）、B （0，2）时，042k b b =+⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴这个一次函数的解析式为122y x =-+或24y x =-+ 故选：D ．此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是根据题意计算出一次函数图象所经过的点的坐标．11．D【分析】由①+②得：2x²=18，解出x 的值，分别代入①求出y 即可．【详解】解：2222135x y x y ⎧+=⎨-=⎩①②，①+②得：2x²=18,解得：123,3x x ==-; 把x=3代入①得：122,2y y ==-，把x=-3代入①得：342,2y y ==-∴方程组的解为：312412343333,,2222x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-==-⎩⎩⎩⎩，，故选D. 【点睛】本题考查了二元二次方程组和解一元二次方程的应用，关键是能把方程组转化成一元二次方程．12．A【解析】根据二元二次方程组的定义逐一进行分析判断即可.【详解】A 、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以A 选项正确；B 、有一个方程是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B 选项不正确；C 、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以C 选项不正确；D 、有一个方程带根号，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以D 选项不正确，故选A.【点睛】本题考查了二元二次方程组，熟知方程组中共有两个未知数，并且最高次数为2次，方程均为整式方程是解题的关键.13．C【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．【详解】解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C【点睛】本题考查了对二元二次方程的定义的应用，解题的关键是掌握二元二次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是二元二次方程.14．12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 3322x y =-⎧⎨=⎩ 4422x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.【详解】22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩①②, ①式左边分解因式得，()20x y x y -++=（），∴x -y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i ）22208x y x y -+=⎧⎨+=⎩或（ii ）22+08x y x y =⎧⎨+=⎩ 解方程组（i ）得，12121111x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，解方程组（ii）得，3 32 2x y =-⎧⎨=⎩4422 xy=⎧⎨=-⎩,所以，原方程组的解是:12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.15．原方程组的解为1233xy=⎧⎨=-⎩，226535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】分析：由①得出（x+y）（x-2y）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．详解：222023x xy yx y⎧--⎨+⎩＝①＝②由①得：（x+y）（x-2y）=0，x+y=0，x-2y=0，即原方程组化为23x yx y+⎧⎨+⎩＝＝，2023x yx y-⎧⎨+⎩＝＝，解得：1233xy=⎧⎨=-⎩，226535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即原方程组的解为1233xy=⎧⎨=-⎩，226535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．16．k=±.【解析】将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.【详解】2216(1)(2)x y x y k ⎧+=⎨-=⎩由（2）得， y=x-k （3）将（3）代入（1）得，2222160x kx k -+-=，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即22(2)42(16)0k k --⨯⨯-=，解得，k=±所以当k=±时，方程组2216x y x y k ⎧+=⎨-=⎩只有唯一解. 【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．17．110{1x y ==-，2243{13x y =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-．解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．18．111 1x y =⎧⎨=-⎩2231 xy=⎧⎨=⎩【解析】x2-2xy-3y2="0"(x-y)2-4y2=0又因：x-y=2代入上式4-4y2=0y=1或y=-1再将y=1、y=-1分别代入x-y=2 则x=1、x=3∴111 1x y =⎧⎨=-⎩2231 xy=⎧⎨=⎩19．114 4x y =⎧⎨=⎩，2263xy=⎧⎨=⎩【解析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．【详解】解：由（2）得（x−y）（x−2y）＝0．∴x−y＝0或x−2y＝0，原方程组可化为212x yx y+=⎧⎨-=⎩，21220x yx y+=⎧⎨-=⎩，解这两个方程组，得原方程组的解为：114 4x y =⎧⎨=⎩，2263xy=⎧⎨=⎩.【点睛】本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．20．2x2，3xy，－6y2x，－4y －3.【解析】根据二元二次方程的一般形式：ax+bxy+cy+dx+ey+f=0解答即可.【详解】二元二次方程2x ²+3xy－6y²+x－4y=3中，二次项是: 2x 2，3xy ，－6y 2;一次项是: x ，－4y;常数项是:-3,故答案为 (1). 2x 2，3xy ，－6y 2 (2). x ，－4y (3). －3.【点睛】本题考查了二元二次方程的一般形式，二元二次方程的一般形式是：ax+bxy+cy+dx+ey+f=0，在一般形式中bxy 叫二次项，ax,cy,dx,ey 叫一次项，f 是常数项．21．1212x 2x 3{,{y 3y 2====. 【解析】∵x y 5{xy 6+==，∴x ，ｙ是一元二次方程2z 5z 60-+=的两个根.解2z 5z 60-+=得，12z 2,z 3==.∴方程组x y 5{xy 6+==的解是1212x 2x 3{,{y 3y 2====，故答案为1212x 2x 3{,{y 3y 2====. 22．二元二次二元一次代入【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解.【详解】由题意，得该方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解，故答案为：二元二次；二元一次；代入.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.。

(专题精选)初中数学方程与不等式之二元二次方程组分类汇编含答案解析

（专题精选）初中数学方程与不等式之二元二次方程组分类汇编含答案解析一、选择题1．解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩．【答案】1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】【分析】先由②得(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩最后分别解这两个方程组即可．【详解】解：2226691,x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，所以原方程组变为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩解这两个方程组得：41x y =⎧⎨=⎩，16575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以原方程组的解为1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．2．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①②, 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．3．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩ 【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分别求出对应的x 的值即可；（2）设1A x y =+，1B x y=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．【详解】解：（1）由1x y -=得：1x y =+，将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()221120y y y y +-+-=，整理得：2201y y --=，解得：1y =或12y =-，将1y =代入1x y -=得：2x =，将12y =-代入1x y -=得：12x =，故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）设1A x y =+，1B x y=-，则原方程组变为：5121526A B A B +=⎧⎨-=⎩，解得：656A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是方程组的解．【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．4．直角坐标系xOy中，有反比例函数)0y x =＞上的一动点P ，以点P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切时，求OP 2的值．（2）设圆P 运动时与x 轴相交，交点为B 、C ，如图2，当四边形ABCP 是菱形时， ①求出A 、B 、C 三点的坐标．②设一抛物线过A、B、C三点，在该抛物线上是否存在点Q，使△QBP的面积是菱形ABCP面积的12？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）32）①A（0，3B（2，0），C（6，0）；②存在，满足条件的Q点有（0，314，1638，36，0）．【解析】【分析】（1）当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA＝PK，进而得出PK2，即可得出OP2的值；（2）①连接PB，设AP＝m，过P点向x轴作垂线，垂足为H，则PH＝sin60°BP3=，P（m3），进而得出答案；②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的Q点坐标即可．【详解】解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO＝∠OKP＝90°．又∵∠AOK＝90°，∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°．∴四边形OKPA是矩形．又∵AP＝KP，∴四边形OKPA是正方形，∴OP2＝OK2+PK2＝2PK•OK＝2xy＝3=3（2）①连结BP，则AP＝BP，由于四边形ABCP为菱形，所以AB＝BP＝AP，△ABP为正三角形，设AP＝m，过P点向x轴作垂线，垂足为H，则PH＝sin60°BP32m=，P（m，32m），将P点坐标代入到反比例函数解析式中，则2m 2＝解得：m ＝4，（m ＝﹣4舍去），故P （4，），则AP ＝4，OA ＝OB ＝BH ＝2，CH ＝BH ＝2，故A （0，B （2，0），C （6，0）；②设过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣6），将A 点坐标代入得，a =，故解析式为2y =+ 过A 点作BP 的平行线l 抛物线于点Q ，则Q 点为所求．设BP 所在直线解析式为：y ＝kx +d ，则204k d k d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：k d ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故BP所在的直线解析式为：y =-故直线l的解析式为y =+l与抛物线的交点是方程组2y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩解得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，2214x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故得Q （0，Q （14，同理，过C 点作BP 的平行线交抛物线于点Q 1，则设其解析式为：y =+e ，则0＝e ，解得：e ＝﹣，故其解析式为：y =﹣其直线与抛物线的交点是方程组263y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩可求得Q 1（8，6，0）．故所求满足条件的Q 点有（0，14，8，6，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．5．已知正比例函数()()249m n y m n xm -=++-的图像经过第二、四象限，求这个正比例函数的解析式.【答案】19y x =-【解析】【分析】根据正比例函数的定义可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可求出m 、n 的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可.【详解】解：∵该函数为正比例函数，∴2190m n m -=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩或34m n =-⎧⎨=-⎩， ∵该函数图像经过第二、四象限，∴40m n +<，∴34m n =-⎧⎨=-⎩， ∴函数解析式为：19y x =-.【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键.6．解方程组： 2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩．【答案】1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩【解析】【分析】根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可【详解】2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，2x ﹣3y ＝±4，即原方程组化为23234x y x y -=⎧⎨-=⎩和23234x y x y -=⎧⎨-=-⎩，解得： 1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，即原方程组的解为：1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩．【点睛】本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组7．解方程组： 22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩．【答案】1111x y =⎧⎨=⎩,2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【解析】【分析】由完全平方公式，组中②可变形为（x +2y ）2＝9，即x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3．这样原方程组可变形为关于x 、y 的两个二元一次方程组，这两个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】22320449x y x xy y -+=⎧⎨++=⎩①② 由②得：（x +2y ）2＝9，即：x +2y ＝3或x +2y ＝﹣3所以原方程组可化为3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩； 3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=⎩；得1111x y =⎧⎨=⎩；解方程组3223x y x y -=-⎧⎨+=-⎩．得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴原方程组的解是得1111x y =⎧⎨=⎩；得2213515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法．把二元二次方程组转化为一元一次方程组是解决本题的关键．8．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩．【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】 222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩；所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．9．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0-=---=．【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】注意到22x xy 2y --可分解为，从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解.【详解】解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.10．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩．【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩．【解析】【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．【详解】由②得：()()30x y x y -+=；所以，0x y -=或30x y +=；整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩；解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．11．解方程组：⑴3{351x yx y-=+=⑵3+10{2612x y zx y zx y z-=+-=++=【答案】（1）2{1xy==-；（2）3{45xyz===【解析】（1）先用代入消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．（2）先利用加减消元法去z得到关于x、y的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x、y，然后利用代入法求z，从而得到原方程组的解.（1）2{1xy==-； (2)3{45xyz===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.12．解方程组：（1）4{526y xx y=-+=；（2）358{32x yx y+=-=【答案】（1）22xy=⎧⎨=-⎩；（2）【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．解：(1) ①代入②得x=2把x=2代入①得y=-2∴(2) ①-②得y=1把y=1代入①得x=1∴“点睛”本题通过“代入”“加减”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.13．如图，要建一个面积为45 m2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙，另几条边用总长为22 m的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m的门.求这个养鸡场的长与宽.【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.【解析】试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：322245x y xy +-=⎧⎨=⎩，且x <14，解得y =3或5；当y =3时，x =15；∵x <14，∴不合题意，舍去；当y =5时，x =9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.14．已知方程组222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的解.【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-⎧⎨=⎩;当1m =-时 21x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；【详解】解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩①②把②代入①后计算得()222112120m x mx +++=，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，解得：1m =±，当1m =时，解得21x y =-⎧⎨=⎩当1m =-时，解得21x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．15．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②【答案】5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.【详解】 2220{25x xy y x y --=+=①②由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩.16．（探究证明）(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.，求证：=EF AD GH AB；（结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM；（联系拓展）(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DN AM的值．【答案】（1）证明见解析；(2)1115；（3）45.【解析】分析：(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，根据矩形的性质证明△PDA∽△QAB；(2)根据(1)的结论可得BNAM；(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，SC＝x，DS＝y，在Rt△CSD，Rt△ARD中，用勾股定理列方程组求出AR，AB，结合(1)的结论求解.详解：(1)如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.∴AP ADBQ AB＝，∴EF ADGH AB＝.(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，∴由(1)的结论可得EF ADGH AB＝，BN ADAM AB＝，∴1115 BN EFAM GH＝＝.(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得DN AR AM AB＝．设SC ＝x ，DS ＝y ，则AR ＝BS ＝5＋x ，RD ＝10﹣y ，∴在Rt △CSD 中，x 2＋y 2＝25①，在Rt △ARD 中，(5＋x )2＋(10﹣y )2＝100②，由②﹣①得x ＝2y ﹣5③，222525x y x y ⎧⎨-⎩＋＝＝，解得34x y ⎧⎨⎩＝＝，50x y -⎧⎨⎩＝＝(舍)，所以AR ＝5＋x ＝8，则84105DN AR AM AB ＝＝＝.点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.17．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②．【答案】110{1x y ==-，2243{13x y =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-．解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．18．解方程：【答案】【解析】解：原方程组即为····································（2分）由方程（1）代人（2）并整理得：·······························································（2分）解得，························································（2分）代人得19．有一直立杆，它的上部被风吹折，杆顶着地处离杆脚20dm，修好后又被风吹折，因新断处比前次低5dm，故杆顶着地处比前次远10dm，求此杆的高度．【答案】此竿高度为50dm【解析】【分析】由题中条件，作如下示意图，可设第一次折断时折断处距地面AB的高为x dm，余下部分BC长为y dm，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．【详解】解：设第一次折断时，折断处距地面AB=x dm，余下部分为BC为ydm．由题意得22222220;(5)(5)30.y x y x ⎧=+⎨+=-+⎩ 解得 2129x y =⎧⎨=⎩ 此杆的高度为x+y=21+19=50 dm答：此竿高度为50dm【点睛】本题主要考查了简单的勾股定理的应用问题，能够熟练掌握．20．解方程组22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩．【答案】原方程组的解是114,32;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩224,32;3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩334,2;x y =⎧⎨=⎩444,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由①得x+2y=0，或x-2y=0，由②得x-y=2，或x-y=-2，从而可将原方程组化为4个二元一次方程组求解．【详解】 22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩①②，由①得(x+2y)(x-2y)=0，∴x+2y=0或x-2y=0，由②得(x-y)2=4，∴x-y=2或x-y=-2，∴原方程组可化为202x y x y +=⎧⎨-=⎩，202x y x y +=⎧⎨-=-⎩，202x y x y -=⎧⎨-=⎩，202x y x y -=⎧⎨-=-⎩，分别解这四个方程组得114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩， ∴原方程组的解是114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，将原方程组化为4个二元一次方程组求解是解答本题的关键．。

初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案解析(1)

初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含答案解析(1)一、选择题1．解方程组：22694(1)23(2)x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩【答案】1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将①中的x 2 -6xy+9y 2分解因式为：（x-3y ）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则2．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩．【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．【详解】由①得25y x =-+．③把③代入②，得22(25)70x x x --+++=．整理后，得2760x x -+=．解得11x =，26x =．由11x =，得1253y =-+=．由26x =，得21257y =-+=-．所以，原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩.3．已知A ，B 两地公路长300km ，甲、乙两车同时从A 地出发沿同一公路驶往B 地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物，于是甲车立即原路返回C 地，取了货物又立即赶往B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x 小时后，甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR ．（1）求乙车从A 地到B 地所用的时问；（2）求图中线段PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（3）在甲车返回到C 地取货的过程中，当x= ，两车相距25千米的路程.【答案】（1）5h （2）90360y x =-+（3）67h 30或77h 30【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A 地到B 地所花时间；即可求出乙车从A 地到B 地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x 的值.（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290÷=（km/h ）甲车行驶的总路程为： ()2180105300450⨯-+=（km)甲车从A 地到B 地所花时间为： 450905÷=（h ）又∵两车同时到达B 地，∴乙车从A 地到B 地所用用的时间为5h.（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575-=（km)，所需时间为575906÷=（h ），517266+=.∴Q 点的坐标为（105， 176）.设线段PQ 的解析式为： y kx b =+，把（2，180）和（105， 176）代入得： 1802{171086k b k b =+=+，解得90360k b =-=，， ∴线段PQ 的解析式为90360y x =-+.（3）6730 h 或7730“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数型结合的思想解答问题．4．解方程组：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩. 【答案】1121x y =⎧⎨=-⎩，2212x y =⎧⎨=-⎩，3321x y =-⎧⎨=⎩，4412x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可．试题解析：解：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①② 由①得：（x ﹣y ）2=9所以x ﹣y =3③，x ﹣y =﹣3④③②与④②联立得：22223355x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩，解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，得：12122112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，；解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：34342112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，．所以原方程组的解为：3124312422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，．点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．5．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩①②由②得2(2)1x y -=，所以21x y -=③，21x y -=-④由①③、①④联立，得方程组：2321x y x y +=⎧-=⎨⎩，2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组2321x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{11x y == 解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以原方程组的解为：1111x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．6．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1•k 2＝﹣1．解决问题：①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m 的值是____；②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值．【答案】（1）y ＝﹣12x 2+12x+1；（2）①-12；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3. 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标；（3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值【详解】解：（1）将A ，B 点坐标代入，得10(1)11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，抛物线的解析式为y ＝211x x 122-++；（2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得2m ＝﹣1，即m ＝﹣12；故答案为﹣12； ②AB 的解析式为1122y x =+ 当PA ⊥AB 时，PA 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2，联立PA 与抛物线，得21112222y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=--⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩（舍），614x y =⎧⎨=-⎩，即P （6，﹣14）；当PB ⊥AB 时，PB 的解析式为y ＝﹣2x+3，联立PB 与抛物线，得21112223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩（舍）45x y =⎧⎨=-⎩，即P （4，﹣5），综上所述：△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）如图：，∵M （t ，﹣12t 2+12t+1），Q （t ，12 t+12）， ∴MQ ＝﹣12t 2+12 S △MAB ＝12MQ|x B ﹣x A | ＝12（﹣12t 2+12）×2 ＝﹣12t 2+12，当t ＝0时，S 取最大值12，即M （0，1）．由勾股定理，得AB 2221+5设M 到AB 的距离为h ，由三角形的面积，得h 55．点M 到直线AB 5．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键7．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=．原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．8．阅读材料，解答问题材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组．如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程：，将代入得：，方程组的解为请你用代入消元法解方程组：【答案】解：由（1）得，代入（2）得化简得：，把，分别代入得：，，【解析】这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可9．解方程:22310x y x y ⎧-=-⎨++=⎩ 【答案】12x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y ，代入方程1，得到一个关于y 的一元二次方程，求出y 值，进而求x ．【详解】解：()()2231102x y x y ⎧-=-⎪⎨++=⎪⎩ 由（2）得：1x y =--（3）把（3）代入（1）：22(1)3y y ---=-∴2y =-∴1x =原方程组的解是12x y =⎧⎨=-⎩【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．10．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩ 【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分别求出对应的x 的值即可；（2）设1A x y =+，1B x y=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．【详解】解：（1）由1x y -=得：1x y =+，将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()221120y y y y +-+-=，整理得：2201y y --=，解得：1y =或12y =-，将1y =代入1x y -=得：2x =，将12y =-代入1x y -=得：12x =，故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）设1A x y =+，1B x y=-，则原方程组变为：5121526A B A B +=⎧⎨-=⎩，解得：656A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是方程组的解．【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．11．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩【答案】1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．【详解】解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩①②，由①，得x=17+y③，把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，解之，得y 1=-15，y 2=-2．把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．故原方程组的解为1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩. 【点睛】本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．12．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm 、16cm 、20cm.【解析】【分析】设两直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩，经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12a b ⎧⎨⎩cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.【点睛】此题运用三角形面积表示出1=962ab13．解方程组222221690x xy y x y ⎧-+=⎨=-⎩．【答案】1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩．【解析】【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】解：222221690x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩①② 由①，得(x ﹣y )2＝16，所以x ﹣y ＝4或x ﹣y ＝﹣4．由②，得(x +3y )(x ﹣3y )＝0，即x +3y ＝0或x ﹣3y ＝0所以原方程组可化为：430x y x y -=⎧⎨+=⎩，430x y x y -=⎧⎨-=⎩，430x y x y -=-⎧⎨+=⎩，430x y x y -=-⎧⎨-=⎩解这些方程组，得1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩．所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.14．已知()22221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩①② 求证：()()2222222220a b m y mnb y n a b +++-=．【答案】详见解析【解析】【分析】先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．【详解】证明：把②代入①，得2222()1my n y a b++=， ()222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．15．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①②将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．16．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ （2）217,11 1.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩ 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案．（2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案．【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ 把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y =+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-，所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．17．解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩．【答案】1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】【分析】先由②得(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩最后分别解这两个方程组即可．【详解】解：2226691,x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，所以原方程组变为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩解这两个方程组得：41x y =⎧⎨=⎩，16575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以原方程组的解为1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．18．（探究证明）(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.，求证：=EF AD GH AB；（结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM；（联系拓展）(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，BC＝CD＝5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求DNAM的值．【答案】（1）证明见解析；(2)1115；（3）45.【解析】分析：(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，根据矩形的性质证明△PDA∽△QAB；(2)根据(1)的结论可得BNAM；(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，SC＝x，DS＝y，在Rt△CSD，Rt△ARD中，用勾股定理列方程组求出AR，AB，结合(1)的结论求解.详解：(1)如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.∴AP ADBQ AB＝，∴EF ADGH AB＝.(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，∴由(1)的结论可得EF ADGH AB＝，BN ADAM AB＝，∴1115 BN EFAM GH＝＝.(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得DN AR AM AB＝．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5＋x，RD＝10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2＋y2＝25①，在Rt△ARD中，(5＋x)2＋(10﹣y)2＝100②，由②﹣①得x＝2y﹣5③，222525x yx y⎧⎨-⎩＋＝＝，解得34xy⎧⎨⎩＝＝，5xy-⎧⎨⎩＝＝(舍)，所以AR＝5＋x＝8，则84105DN ARAM AB＝＝＝.点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.19．一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.【答案】306【解析】【分析】设百位数字是x，个位数字是y．则依据“两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组．【详解】设百位数字是x，个位数字是y．则9100339x yy x xy+⎧⎨++⎩＝＝，解得36xy⎧⎨⎩＝＝，9xy⎧⎨⎩＝＝（不符合题意，舍去）．答：这个三位数是306．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．20．解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩【答案】1131x y =⎧⎨=⎩ 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．【详解】解：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②，由①得：x 3y 0-= 或 x y 0+=原方程组化为： 302x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得：1131x y =⎧⎨=⎩ 或 2211x y =⎧⎨=-⎩ ∴ 原方程组的解为1131x y =⎧⎨=⎩ 或 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．。

(易错题精选)初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题附答案解析(1)

（易错题精选）初中数学方程与不等式之二元二次方程组经典测试题附答案解析(1)一、选择题1．解方程:22310x y x y ⎧-=-⎨++=⎩【答案】12x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y ，代入方程1，得到一个关于y 的一元二次方程，求出y 值，进而求x ．【详解】解：()()2231102x y x y ⎧-=-⎪⎨++=⎪⎩ 由（2）得：1x y =--（3）把（3）代入（1）：22(1)3y y ---=-∴2y =-∴1x =原方程组的解是12x y =⎧⎨=-⎩【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．2．解方程组：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩. 【答案】1121x y =⎧⎨=-⎩，2212x y =⎧⎨=-⎩，3321x y =-⎧⎨=⎩，4412x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】试题分析：变形方程组中的①，得两个一元一次方程，与组中的②联立得方程组，求解方程组即可．试题解析：解：2222295x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①② 由①得：（x ﹣y ）2=9所以x ﹣y =3③，x ﹣y =﹣3④③②与④②联立得：22223355x y x y x y x y -=-=-⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩，解方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，得：12122112x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，；解方程组2235x y x y -=-⎧⎨+=⎩，得：34342112x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，．所以原方程组的解为：3124312422111122x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩，，，．点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，由两个二元二次方程组成的方程组，通常采用变形组中的一个二次方程为两个一元一次方程用代入法求解．3．解方程组：222023x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩．【答案】原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】分析：由①得出（x+y ）（x-2y ）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．详解：222023x xy y x y ⎧--⎨+⎩＝①＝② 由①得：（x+y ）（x-2y ）=0，x+y=0，x-2y=0，即原方程组化为023x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，2023x y x y -⎧⎨+⎩＝＝，解得：1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．4．已知1132x y =⎧⎨=-⎩是方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩的一组解，求此方程组的另一组解. 【答案】22-23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n ⎧+=⎨+=⎩中求出m 、n 的值，然后再求方程组的另一组解．【详解】解：将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩中得：131m n =⎧⎨=⎩ ，则方程组变形为：22131x y x y ⎧+=⎨+=⎩，由x+y=1得：x=1-y ，将x=1-y 代入方程x 2+y 2=13中可得：y 2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：22-23x y =⎧⎨=⎩ . 【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m 和n 的值是解题的关键.5．解方程组：224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩ 【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】把2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.【详解】由②得：()()20x y x y +-=所以200x y x y +=-=或44200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或, 121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】考查二元二次方程组的解法，把方程2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.6．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=．原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：沿x 轴翻折后，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F （点F 在点E 的右侧）．（1）求直线AB的解析式；（2）若线段DF∥x轴，求抛物线的解析式；（3）如图，在（2）的条件下，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，在抛物线上是否存在P、Q两点（点P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N，使得直线PQ既平分△AFH的周长，又平分△AFH面积，如果存在，求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）（1，），（3，0）．【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，先求出直线与x轴、y轴交点坐标，根据沿x轴翻折，得到A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线AB的解析式y=kx+b，即可求出直线AB的解析式；（2）设抛物线的顶点为P（h，0），得出抛物线解析式为：，根据DF∥x轴，得出F的坐标，把F的坐标代入直线AB 的解析式即可求出h的值，即可得到答案；（3）过M作MT⊥FH于T，得到Rt△MTF∽Rt△AGF，得到FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出△MNF和△AFH的面积，根据之间的等量关系即可求出k的值，设直线MN的解析式为：y=kx+b，把M、N（6，-4），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线MN的解析式，解由方程和的解即可得出P、Q的坐标．【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b直线与x轴、y轴交点分别为（-2，0），（0，），沿x轴翻折，∵直线，直线AB与x轴交于同一点（-2，0）∴A（-2，0）．与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称∴B（0，），∴解得k＝，b＝，∴直线AB的解析式为.（2）解：设抛物线的顶点为Q（h，0），抛物线解析式为：∴D（0，）．∵DF∥x轴，∴点F（2h，），又点F在直线AB上，∴，解得 h1=3，h2＝（舍去），∴抛物线的解析式为.（3）解：过M作MT⊥FH于T，∴Rt△MTF∽Rt△AGF．∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，则FN=AH+HF+AF)-FM=16-5k，∴S△MNF＝(AH+HF+AF)-FM=16-5k，又∵S△MNF＝S△AFH．∴＝24，解得k＝=或k=2 （舍去），∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=，∴M（，））、N（6，-4），代入得：=k+b且-4=6k+b，解得：k=，b=4，∴y＝x+4，联立y＝x+4与y＝,求得P（1，），Q（3，0）．答：存在P的坐标是（1，），Q的坐标是（3，0）．【点睛】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．8．解方程组：2223,44 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧⎨-+=⎩由②得：()221x y -=即：21x y -=或21x y -=-所以原方程组可化为两个二元一次方程组： 23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;x y x y +=⎧⎨-=-⎩分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.9．解方程组：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩．【答案】7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y =⎧⎨=⎩．【解析】【分析】将方程22210x y xy +--=变形整理求出1x y -=或1x y -=-，然后分别与25x y +=组成方程组，求出对应的x ，y 的值即可．【详解】解：2225210x y x y xy +=⎧⎨+--=⎩①②，对②变形得：()21x y -=，∴1x y -=③或1x y -=-④，①－③得：34y =，解得：43y =，把43y =代入①得：4253x +⨯=，解得：73x =； ①－④得：36y =，解得：2y =，把2y =代入①得：225x +⨯=，解得：1x =，故原方程组的解为：7343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”，掌握好消元和降次的方法和技巧是解二元二次方程组的关键．10．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？【答案】甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.【解析】试题分析：根据题意，设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件，然后根据根据题目中的两种工作方式列出方程组，解答即可.试题解析：设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件.根据题意，得解这个方程组，得答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.11．解方程组：222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】先由②得x ＋y ＝0或x−2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩，然后解这两个方程组即可．【详解】 222(1)20(2)x y x xy y -=⎧⎨--=⎩，由②得：（x ＋y ）（x−2y ）＝0，x ＋y ＝0或x−2y ＝0，原方程组可变形为：20x y x y -=⎧⎨+=⎩或220x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得：12121412x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，. 【点睛】此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．12．解方程组：222449{0x xy y x xy ++=+=. 【答案】0{1.5x y ==，3{3x y =-=，0{ 1.5x y ==-，3{3x y ==-. 【解析】【分析】先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．【详解】 2224490x xy y x xy ⎧++=⎨+=⎩①②由①得：（x+2y ）2＝9，x +2y ＝±3，由②得：x （x+y ）＝0，x ＝0，x +y ＝0，即原方程组化为：230x y x +=⎧⎨=⎩，230x y x y +=⎧⎨+=⎩，230x y x +=-⎧⎨=⎩，230x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩，所以原方程组的解为：01.5x y =⎧⎨=⎩，33x y =-⎧⎨=⎩，01.5x y =⎧⎨=-⎩，33x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．13．解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 【答案】1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．【详解】解：由（2）得（x−y ）（x−2y ）＝0．∴x −y ＝0或x−2y ＝0，原方程组可化为2120x y x y +=⎧⎨-=⎩，21220x y x y +=⎧⎨-=⎩，解这两个方程组，得原方程组的解为：1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．14．解方程组:223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩ 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【解析】【分析】由代入消元法，消去一个未知数x ，得到关于y 的一元二次方程，然后用公式法解出y 的值，然后计算出x ，即可得到方程组的解.【详解】解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②，由②得：3x y =+③，把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，整理得：26390y y +-=，∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，∴用求根公式法，得y =，解得：1=1y ，232y =-； ∴14x =，232x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.15．（1）解方程组：221104100x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩【答案】（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.【详解】（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①②由②410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --=解得：3y =或139y = 将3y =代入②12100-+=，解得：x =将139y =代入②1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② +①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.16．解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩．【答案】1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】【分析】先由②得(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩最后分别解这两个方程组即可．【详解】解：2226691,x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，所以原方程组变为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩解这两个方程组得：41x y =⎧⎨=⎩，16575xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以原方程组的解为1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．17．温州三垟湿地的瓯柑名气很大，但今年经济不景气，某经销商为了打开销路，对1220斤瓯柑进行包装优惠出售．包装方式及售价如下图．假设用这两种包装方式恰好装完全部瓯柑．（1）若销售2箱纸盒装和3筐萝筐装瓯柑的收入共元(请直接写出答案).（2）假如预计这批瓯柑全部售完，总销售额为3210元时．请问纸盒装包装了多少箱，箩筐装包装了多少筐？（3）但由于天气原因，瓯柑腐烂了a 斤（不能出售），在售价不变的情况下，为了保证总．销售额为．．．．3210元，剩余瓯柑必须用以上两种方式重新包装，且恰好装完,那么纸盒装箱, 箩筐装箱.(请直接写出答案)【答案】（1）495；（2）纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐；（3）41，6【解析】（1）根据题意可得出方程解出即可；（2）设纸盒装包装了x 箱，箩筐装包装了y 筐，根据等量关系列出方程组，解出即可；（3）根据（3）问的条件直接写出答案即可.解：（1）495元（2）设纸盒装包装了x 箱，箩筐装包装了y 筐，根据题意得：20501220601253210x y x y +=⎧⎨+=⎩1618x y =⎧⎨=⎩解得答：纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐.（3）41箱，6箱.“点睛”本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是仔细审题，理解题目所给条件，转化为方程思想求解.18．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC的值．【答案】（1）见解析;（2）6 ; （3）57. 【解析】【分析】（1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得EC BC =CH CD，即可推出CE•CD=CH•BC ；（2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出6，即可解决问题．（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴EC CH BC CD=，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12（180°﹣∠BAC）=90°+12BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AEH=∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AE EH HF FB=，∴FH2=6，∴HE=HF=6，∴EF=26．（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，∴HM=HN=52，53，∵∴∵S △HCF ：S △HCE =FH ：EH=FC ：EC ， ∴x（）：，又∵x 2=y 2+（52）2，解得∴CF=7， ∵∠CEF=∠B ，∠ECF=∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ， ∴EC CF BC AC=，∴AC CF BC EC ===57．【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．19．一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.【答案】306【解析】【分析】设百位数字是x ，个位数字是y ．则依据“两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组．【详解】设百位数字是x ，个位数字是y ．则9100339x y y x xy +⎧⎨++⎩＝＝，解得36x y ⎧⎨⎩＝＝，90x y ⎧⎨⎩＝＝（不符合题意，舍去）．答：这个三位数是306．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．20．解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩【答案】111,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】首先将由22230x xy y --=得30x y -=或0x y +=，分别与223x xy y -+=求解即可.【详解】解： 22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩①② 由①得30x y -=或0x y +=，原方程组可化为22303x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩；2203x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩解这两个方程组得原方程组的解为11,7,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩227x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩331,1,x y =-⎧⎨=⎩441,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.。

中考数学《二元二次方程组》精选例题

2 013中考数学[二元二次方程组精]例题知识考点：了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组。

精典例题：【例1】解下列方程组：1、⎩⎨⎧=+--=-01101222x y x y x ； 2、⎩⎨⎧==+67xy y x ； 3、⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+023102222y xy x y x 分析：（1）（2）题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；（2）题也可用根与系数的关系求解。

（3）为Ⅱ型方程组，应将02322=+-y xy x 分解为0=-y x 或02=-y x 与1022=+y x 配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。

答案：（1）⎩⎨⎧-==1011y x ，⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22122y x ；（2）⎩⎨⎧==1611y x ，⎩⎨⎧==6122y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧==5511y x ， ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=5522y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==22233y x ，⎩⎨⎧-=-=22244y x 【例2】已知方程组⎩⎨⎧+==+--201242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。

分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。

略解：由②代入①并整理得：01)42(22=+-+x k x k⎪⎩⎪⎨⎧>+-=--=∆≠016164)42(0222k k k k 即⎩⎨⎧<≠10k k ∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。

【例3】方程组⎩⎨⎧=+=+52932y x y x 的两组解是⎩⎨⎧==1111βαy x ，⎩⎨⎧==2222βαy x 不解方程组，求1221βαβα+的值。

分析：将x y -=5代入①得x 的一元二次方程，1α、2α是两根，可用根与系数的关系，将115αβ-=，225αβ-=代入1221βαβα+后，用根与系数的关系即可求值。

二元二次方程和方程组及其解法

21.5-21.6二元二次方程和方程组及其解法知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理一、二元二次方程1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点：（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.二、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.22ax bxy cy dx ey f o +++++=22,,ax bxy cy ,dx ey三、二元二次方程组的解法1.代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；　②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；　③解这个一元二次方程，求得未知数的值；　④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；　⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法　(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. (2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.典型例题例题1．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C例题2．下列方程组中，属于二元二次方程组的为（）A．2x yx y+=ìí-=îB．123234x yx yì+=ïïíï-=-ïîC．11xx yì+=ïí+=ïîD．324xxy=ìí=î【答案】D【解析】根据一元一次方程组的定义对A进行判断；根据整式方程组的定义对B、C进行判断；根据二元二次方程组的定义对D进行判断．解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A 选项不正确；B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确；D、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确．例题3．已知：方程组îíì-==+)2(1)1(122x y y x ，把（2）代入（1），得到正确的方程是（）x 2+2（1﹣x ）=1B ．x 2+2（x ﹣1）=1C ．x 2+（1﹣x ）2=0D ．x 2+（1﹣x ）2=1【答案】D【解析】运用代入消元法解方程组即可．解：把（2）代入（1）得x 2+（1﹣x ）2=1四个答案中只有D 合题意．故选D ．例题4．二元二次方程组îíì=-=+1522y x y x 的一个解是（）îíì-=-=21y xB ．îíì=-=21y xC ．îíì-==21y xD ．îíì==21y x 【答案】A【解析】用代入法即可解答，把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=求解即可．解：把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=5，整理得，2y 2+2y ﹣4=0解得y 1=﹣2，y 2=1，分别代入②得当y 1=﹣2时，x 1=﹣1，当，y 2=1时，x 2=2，故原方程组的解为îíì-=-=2111y x ，îíì==1222y x ．故选A ．例题5．方程组 îíì-=--=-12122x y x y x 的实数解个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】把方程①变形成x=y+1，代入②即可求得y 的值，进而求得方程组的解，从而判断．解：îíì-=--=-）（）（2121122x y x y x 由①得：x=y+1代入方程②得：2（y+1）2﹣y 2﹣（y+1）=﹣1即：y 2+3y+2=0解得：y 1=﹣1，y 2=﹣2把y=﹣1代入①得：x=0把y=﹣2代入①得：x=﹣1则方程组的解是：îíì-==10y x ，和îíì-=-=21y x 只两个解．故选C ．例题6．方程组îíì==+022xy y x 的解是（）îíì==0011y x ，ïîïíì==12122y x B ．îíì==2011y x ，îíì==0122y x C ．îíì==2011y x ，îíì=-=0122y x D ．îíì-==2011y x ，îíì==0122y x 【答案】B 【解析】由①得出y=2﹣2x ③，把③代入②得出x （2﹣2x ）=0，求出x ，把x 的值分别代入③求出y 即可．解：îíì==+）（20)1(22xy y x ，由①得：y=2﹣2x ③，把③代入②得：x （2﹣2x ）=0，x=0，2﹣2x=0，解得：x 1=0，x 2=1，把x 1=0，x 2=1分别代入③得：y 1=2，y 2=0，即原方程组的解为：îíì==2011y x ，îíì==0122y x ．故选B ．例题7．方程ïîïíì+-=-++=+yx a y x y x a y x 2)(2)(22有解但无不同的解时，a=（）A ．1 B ．0 C ．﹣21 D ．﹣1【答案】D【解析】由题意知，原方程组有解，并且有相同的解，由一元二次方程根的判别式可以知道△=0，将原方程组转化成一元二次方程就利用△=0就可以求出a=的值．解：ïîïíì+-=-++=+)2(2)()1(2)(22y x a y x y x a y x 由①﹣②，得4xy=2x4xy ﹣2x=02x （2y ﹣1）=0∴x=0或y=21（与条件不符合，∵y=21时方程①、②不相等）∴当x=0时y 2=a+2y∴y 2﹣2y ﹣a=0∴△=（﹣2）2﹣4（﹣a ）=0∴4+4a=0∴a=﹣1．故D 答案正确．故选D ．例题8．方程组ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x 在实数范围内（）1.有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解【答案】D【解析】根据题意，分析分别就a 、当x≥0、y≥0时；b 、当x≥0、y≤0时；c 、当x≤0、y≥0时；当x≤0、y≤0时四种情况，去掉决定值符号，分解因式联立方程，利用根据与系数的关系即是否符号题意，来判断方程组的解．解：a 、当x≥0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=+-=+-)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或 x=y+5 ③当x=﹣y 时，解得x=0，y=0，当x=y+5时，②③联立得y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．b 、当x≥0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=++=--)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或x=y+5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x 当x=y+5时，②③联立得 y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．c 、当x≤0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y+5）=0，即x=﹣y 或x=y ﹣5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2﹣3y=0解得 îíì==00y x 或îíì=-=33y x ，当x=y ﹣5时，②③联立得 y 2﹣5y+5=0∵△=25﹣20=5＞0，∴方程有两解．d 、当x≤0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=-+=-+)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x ﹣y ）=0⇒（x ﹣y ）（x+y ﹣5）=0，即x=y 或x=﹣y+5③当x=y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x （不合题意，舍去）当x=﹣y+5时，②③联立得 y 2+5y ﹣5=0∵△=25+20=45＞0，∴方程有两解．综上所述，方程有7个解．故选D ．例题9．已知，实数x ，y ，z 满足，则x 4+y 4+z 4=（）A ．4B ．C ．D ．以上都不对【答案】C【解析】根据已知条件先求出xy+xz+yz=，再求出xyz=，根据完全平方公式即可求解．解：∵，∴由（1）代入上式得：xy+xz+yz=（4），而x 3+y 3+z 3﹣3xyz=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2﹣xy ﹣xz ﹣yz ），把（3）（4）代入上式得：xyz=（5），由（4）平方得：；把（5）代入上式得：，∴．故选C ．一、单选题1．下列方程中，判断中错误的是（）A ．方程20316x x x +-=+是分式方程B ．方程3210xy x ++=是二元二次方程C 20+=是无理方程D ．方程()()226x x +-=-是一元二次方程【答案】C逐一进行判断即可．A. 方程20316x x x +-=+是分式方程，正确，故该选项不符合题意； B. 方程3210xy x ++=是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；C.20+=是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；D. 方程()()226x x +-=-是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．2．下列方程组中，是二元二次方程组的是（）A ．12x y x y +=ìí-=îB ．22231310x y x y ì-=ïïíï+=ïîC ．21x y xy -=ìí=îD ．313x y xy y xì+=í=-î【答案】C【解析】根据二元二次方程组的定义依次判断即可.A 、是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；B 、是分式方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；C 、是二元二次方程组，故本选项符合题意；D 、是二元三次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；故选：C.此题考查二元二次方程组的定义，熟记定义是解题的关键.3．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C【点睛】本题考查了对二元二次方程的定义的应用，解题的关键是掌握二元二次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是二元二次方程.4．解方程组2222129x y x xy y ì-=í++=î①②的可行方法是（）A ．将①式分解因式B ．将②式分解因式C ．将①②式分解因式D ．加减消元【答案】C【解析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先因式分解组中的两个二元二次方程，再解答即可．解：∵因式分解①得： ()()1x y x y +-=，因式分解②得：()29x y +=∴3x y +=或3x y +=-，将3x y +=或3x y +=-代入()()1x y x y +-=中得到13x y -=或13x y -=-，得到方程组313x y x y +=ìïí-=ïî或313x y x y +=-ìïí-=-ïî，解得：115343x y ì=ïïíï=ïî，225343x y ì=-ïïíï=-ïî故答案为：C ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是根据二元二次方程组的特点，进行因式分解．5．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，则（）A ．m ≥14-B ．m ＞14-C ．14-＜m ＜14D ．以上答案都不对【答案】B【解析】将y=x²与y=x+m 函数联立，根据解的个数求解即可．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，两个方程消去y 得，20x x m --=，需要△＞0，即1+4m ＞0，所以m ＞14-,故选B.【点睛】本题考查了二元二次方程，用到的知识点是加减消元法解方程组，根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是根据根的判别式求出m 的值．6．方程组2211x y ì=í=î的实数解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据平方根的性质，正数的平方根有两个，互为相反数即可求解.解：解21x =得1x =±，解21y =得1y =±，∴方程组的解为：11111111x x x x y y y y ===-=-ììììíííí==-==-îîîî，，，，故选D.【点睛】本题考查解二元二次方程组，二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二•一”型和“二•二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型．“二•一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二•二”型是由两个二元二次方程组成的方程．7．二元二次方程组的解是A．B．C．D．【答案】C本题可将选项中的四组答案代入检验看是否符合二元二次方程组．也可根据第一个式子，得出与的关系，代入第二个式子求解依题意得=3-∴y=（3-）=-10-2+3+10=02-3-10=0（-5）（+2）=0=5，2=-21∴方程的解为：，故选C8．已知下列四对数值不是方程的解是（）：A．B．C．D．【答案】A【解析】将各选项代入方程进行验证即可．解：A、当x=-5，y=-2时，左边=(-5)²+(-2)² =29≠13，左边≠右边，故A错误；B、当x=-2，y=3时，左边=(-2)²+3² =13，左边=右边，故B正确；C、当x=2，y=3时，左边=2²+3² =13，左边=右边，故C正确；D、当x=-3，y=2时，左边=(-3)²+2² =13，左边=右边，故D正确；【点睛】本题考查了二元二次方程的解的定义，掌握二元二次方程的解得定义是解题的关键．9．方程组20230x y x x y +=ìí++-=î的解的情况是（）A ．有两组相同的实数解B ．有两组不同的实数解C ．没有实数解D ．不能确定【答案】B【解析】首先运用代入法，将方程组进行变形，然后利用根的判别式即可判定.20230x y x x y +=ìí++-=î①②将①代入②，得2230x -=240423240b ac =-=+´´=△＞故方程有两组不同的实数解，故选：B.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.10．如果14x y =ìí=î 是方程组x y a xy b +=ìí=î的一组解，那么这个方程组的另一组解是（）A ．41x y =ìí=îB ．14x y =-ìí=-îC ．41x y =-ìí=-îD ．41x y =ìí=-î【答案】A将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î求得54a b =ìí=î，再解方程组54x y xy +=ìí=î即可得解.将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î中得：1414a b +=ìí´=î，解得：54a b =ìí=î，则方程组变形为：54x y xy +=ìí=î，由x+y=5得：x=5-y ，将x=5-y 代入方程xy=4中可得：y 2-5y+4=0，解得y=4或y=1，将y=1代入xy=4中可得：x=4，所以方程的另一组解为：41x y =ìí=î．故选A ．【点睛】本题考查了高次方程，二元一次方程组的解法，熟记解二元一次方程的解法是解题的关键．11．方程组2220x y m y x ì-=í-=î有四组不同的实数解，则m 的取值范围是（）A ．14m <-B ．14m >-C ．104m -<>D ．14m >-，且0m ¹【答案】D首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解.2220x y m y x ì-=í-=î①②由②，得2x y =③将③代入①，得420y y m --=∵方程组有四组不同的实数解，∴()()224141140b ac m m =-=--´´-=+△＞且0m ¹∴14m >-，且0m ¹故选：D.【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式.12．二元二次方程组22220,4 2.x xy y x y ì+-=í+=-î的解的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，然后用代入消元法求解即可．2222042x xy y x y ì+-=í+=-î①②，由①得(x-y)(x+2y)=0，∴x-y=0或x+2y=0，∴原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，由③得x=y ，把x=y 代入④得y 2+4y=-2，解得，∴1122x y ì=-ïí=-ïî2222x y ì=-+ïí=-ïî；由⑤得x=-2y ，把x=-2y 代入⑥得4y 2+4y+2=0，即2y 2+2y+1=0，∆=4-8=-4＜0，∴此时方程无实数根，综上可知，方程组有两组解：1122x y ì=--ïí=-ïî，2222x y ì=-+ïí=-ïî．故选B ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键．二、填空题13．12x y =ìí=-î_______方程组22245x y x y -=ìí-=î的解（填“是”或“不是”）．【答案】不是【解析】把12x y =ìí=-î代入原方程组的两个方程即可得到答案．解：把12x y =ìí=-î代入原方程组22245x y x y -=ìí-=î中的225x y -=中，方程左边＝221(2)143--=-=-¹右边，所以12x y =ìí=-î不是原方程组的解．故答案为：不是．【点睛】本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．14．像22121x y x y ì+=-í+=î这样的二元二次方程组，是由一个________方程和一个_________方程组成，可以用________法解这个方程．【答案】二元二次二元一次代入【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解.由题意，得该方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解，故答案为：二元二次；二元一次；代入.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.15．已知12x y =ìí=-î是方程组x y m x y n +=ìí×=î的一个解，那么这个方程组的另一个解是__________.【答案】21x y =-ìí=î.【解析】将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，所以原方程组是12x y xy +=-ìí=-î，再解此方程组即可.解：将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，∴原方程组是12x y xy +=-ìí=-î①②，由①，得x=-y-1③，把③代入②式，化简得y 2+y-2=0，解之，得y 1= -2，y 2= 1．把y 1=-2代入x=-y-1，得x 1=1，把y 2=1代入x=-y-1，得x 2=-2．∴原方程组的解为：121212,21x x y y ==-ììíí=-=îî.故答案为：21x y =-ìí=î.【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．解方程组24221x y xy +=ìí=-î①② 的解为_______________【答案】121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî【解析】由①得出x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，求出y 1 = 72 ，y 2 = - 32，分别代入③，求出x 即可．解： 24221x y xy +=ìí=-î①②由①得：x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，解得：y 1 =72 ，y 2 = - 32 ，把y 1 = 72代入③得：x 1 =-3，把y 2 =- 32代入③得：x 2 =7，即原方程组的解是 121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî .【点睛】本题考查了解高次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把二元变成一元．17．解方程组224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î的解为_______________【答案】21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【解析】首先把方程②变形为y=1132x -，然后利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．解：224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î①②，由②得:y=1132x -③ 把③代入①得:x 2-4(113)2x x -+4(1132x -)2+x-2(113)2x --2=0. 整理得:4x 2-21x+27=0∴x 1=3 x 2=94. 把x=3代入③　得:y=1把x=94代入④　得:y=178. ∴原方程组的解为: 21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．18．二元二次方程()()23320x y +-=有__________个解．【答案】无数【解析】根据()()23320x y +-=可得230x +=或320y -=，从而得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，确定方程有无数个解．解：∵()()23320x y +-=∴230x +=或320y -=∴32x =-或23y =，当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，∴方程有无数个解，故答案为：无数．【点睛】本题考查了方程的因式分解解法，解题的关键是得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数．19．解方程组224915235x y x y ì-=í-=î时，采用“_________”的方法，将二元二次方程224915x y -=化为_________方程，这是一种“__________”的策略．【答案】因式分解二元一次消元降次【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，其中二元二次方程可以进行因式分解化为二元一次方程，这是采用了“消元降次”的策略.由题意，得该方程组可采用因式分解的方法，将二元二次方程224915x y -=化为二元一次方程，这是一种消元降次策略，故答案为：因式分解；二元一次；消元降次.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．如果222461461,461a a b c b b c a c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î，那么a b c ++的值为_________________．【答案】32-【解析】方程组的三个方程轮循环对称，可把组中的三个方程相加，利用完全平方公式和非负数的和先求出a 、b 、c 的值，再计算a b c ++．解：222461461461a a b c b b a c c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î①②③①+②+③，得222461461461a a b b c c b c a c a b ++++++++=+++++，整理，得2224414414410a ab bc c ++++++++=所以222(441)(441)(441)0a ab bc c ++++++++=即222(21)(21)(21)0a b c +++++=因为2(21)0a +…，2(21)0b +…，2(21)0c +…，所以210a +=，210b +=，210c +=所以12a =-，12b =-，12c =-，所以32a b c ++=-．故答案为：32-【点睛】本题考查了完全平方公式、非负数的和等知识点．观察题目，发现三个方程的特点是解决本题的关键．三、解答题21．解方程组：22449(1)6(2)x xy y x y ì++=í-=î．【答案】33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î【解析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解．解：224496x xy y x y ì++=í-=î①②，由方程①可得x +2y ＝﹣3或x +2y ＝3，则方程组可变为236x y x y +=-ìí-=î或236x y x y +=ìí-=î，解得33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î．【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．22．解方程组：222220560x y x xy y ì+=í-+=î．【答案】1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî【解析】由22560x xy y -+=得()()230x y x y --=，从而得到20x y -=或30x y -=，即2x y =或3x y =；再将2x y =或3x y =分别代入到2220x y +=，通过求解即可得到答案．由22560x xy y -+=得：()()230x y x y --=∴20x y -=或30x y -=∴2x y =或3x y=将2x y =代入2220x y +=，得：22420y y +=∴2y =±∴1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î将3x y =代入2220x y +=，得：22920y y +=∴y =∴33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî∴方程组的解是：1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî．【点睛】本题考查了二元二次方程、因式分解、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解、二元二次方程的性质，从而完成求解．23．解方程组：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②【答案】11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î【解析】解①，用含y 的代数式表示x ，然后代入②求出y ，再求出方程组的解．解：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②，由①，得()0x x y +=，所以0x =或x y =-．把0x =代入②，得226y =，解得y =．把x y =-代入②，得222326y y y ++=，整理，得21y =，所以1y =±．所以1x =-或1．故原方程组的解为：11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î．【点睛】本题考查了高次方程组的解法．变形①用代入法把二元二次方程组转化为一元二次方程，是解决本题的关键．24．2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î【答案】112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î【解析】根据二元二次方程组的解法进行求解即可．解：2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î①②，由①得：23x y x y=ìí=î，当x=2y 时，代入②可得：25920y y --=，解得：121,25y y =-=，∴122,45x x =-=；当x=3y 时，代入②可得：210820y y --=，解得：341,15y y =-=，∴343,35x x =-=，综上所述：方程组的解为112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查二元二次方程方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．25．解方程组：22312230x y x xy y +=ìí--=î【答案】1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【解析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．解：22312230x y x xy y +=ìí--=î①②由②得()()30x y x y -+=30x y -=或0x y +=原方程组可化为31230x y x y +=ìí-=î；3120x y x y +=ìí+=î解得1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î所以原方程组的解是1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【点睛】本题考查高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．26．解下列方程（组）（1）33(2019)(2018)1x x -+-=；（2）22222293,19293,19293.192x y xy z yz x z ì=ï+ïï=í+ïï=ï+î【答案】（1）2019或2018；（2）111(,,)333或(0,0,0)【解析】（1）运用换元法的思想令2019,2018m x n x =-=-，联立方程组可得m 和n 的等式，再利用完全平方公式的变形即可得出答案；（2）根据条件易得x=0,y=0,z=0时方程成立，当,,x y z 不为0时，把三个方程相加222111(1)(1)(1)0333x y z-+-+-=，然后根据平方数的非负性可得三个式子分别为零，即可求出结果．解：（1）令2019,2018m x n x =-=-;则3311m n m n +=ìí+=î;∴222()31-+=+-=m mn n m n mn ;∴0mn =即0m =或n=0;∴2019x =或2018；（2）易知(,,)(0,0,0)x y z = 为一组解;若,,x y z 不为0;则222121,93121,93121.93x y yz zx ì+=ïïï+=íïï+=ïî相加得222111(1)(1)(1)0333x y z -+-+-=;∴111(,,)(,,333x y z =;综上：111(,,)(,,333x y z =或()0,0,0.【点睛】本题主要考查方程的解法，灵活利用换元法、乘法公式变形及分类讨论思想是解题的重要环节．27．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ì+=í-+=î（2）217,11 1.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）112512x y ì=ïïíï=ïî【解析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î再分别解这两个方程组可得答案．（2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案．解：（1）因为222220560x y x xy y ì+=í-+=î把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î因为222020x y x y ì+=í-=î把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =ìí=î 或42x y =-ìí=-î同理解222030x y x y ì+=í-=î得方程组的解是x y ì=ïí=ïî或x y ì=ïí=ïî所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）因为217,111.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î①②所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入②得：13x y -=-，所以1213x y x y ì+=ïïíï-=-ïî，解得：112512x y ì=ïïíï=ïî 经检验112512x y ì=ïïíï=ïî是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ì=ïïíï=ïî【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．28．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元【解析】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；（3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费1.4m元，租用乙种货车(n)1-辆，根据总费用=每辆车所需费用´租用该种车的辆数，即可得出关于m，n的二元二次方程组，解之即可得出结论．解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，依题意，得：2313 5628 x yx y+=ìí+=î，解得：23 xy=ìí=î．答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．（2）设租用a 辆甲种货车，b 辆乙种货车，依题意，得：2320a b +=，3102a b \=-．a Q ，b 均为非负整数，b \为偶数，\当0b =时，10a =；当2b =时，7a =；当4b =时，4a =；当6b =时，1a =．\共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．（3）设甲种货车每辆需运费m 元，租用甲种货车n 辆，则乙种货车每辆需运费1.4m 元，租用乙种货车(n )1-辆，依题意，得：8001.4(1)980mn m n =ìí-=î，解得：1008m n =ìí=î，1.4140m \=．答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．。

初中数学方程与不等式之二元二次方程组图文解析(1)

初中数学方程与不等式之二元二次方程组图文解析(1)一、选择题1．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0-=---=．【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】注意到22x xy 2y --可分解为，从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解.【详解】解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.2．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．3．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩即可．【详解】由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，x 3y 3∴-=，解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩得：x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．4．解方程组：【答案】，．【解析】【分析】先由①得x=4+y ，将x=4+y 代入②，得到关于y 的一元二次方程，解出y 的值，再将y 的值代入x=4+y 求出x 的值即可.【详解】解：由①得：x=4+y③，把③代入②得：（4+y）2-2y2=（4+y）y，解得：y1=4，y2=-2，代入③得：当y1=4时，x1=8，当y2=-2时，x2=2，所以原方程组的解为：，．故答案为：，.【点睛】本题考查了解高次方程.5．已知113 2x y =⎧⎨=-⎩是方程组22x y mx y n⎧+=⎨+=⎩的一组解，求此方程组的另一组解.【答案】22-2 3x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】先将113 2x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y mx y n⎧+=⎨+=⎩中求出m、n的值，然后再求方程组的另一组解．【详解】解：将113 2x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y mx y n⎧+=⎨+=⎩中得：131mn=⎧⎨=⎩，则方程组变形为：22131x yx y⎧+=⎨+=⎩，由x+y=1得：x=1-y，将x=1-y代入方程x2+y2=13中可得：y2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：22-2 3x y =⎧⎨=⎩.【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m和n的值是解题的关键. 6．已知A，B两地公路长300km，甲、乙两车同时从A地出发沿同一公路驶往B地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物，于是甲车立即原路返回C 地，取了货物又立即赶往B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x 小时后，甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR ．（1）求乙车从A 地到B 地所用的时问；（2）求图中线段PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（3）在甲车返回到C 地取货的过程中，当x=，两车相距25千米的路程.【答案】（1）5h （2）90360y x =-+（3）67h 30或77h 30【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A 地到B 地所花时间；即可求出乙车从A 地到B 地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x 的值.（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290÷=（km/h ）甲车行驶的总路程为： ()2180105300450⨯-+=（km)甲车从A 地到B 地所花时间为： 450905÷=（h ）又∵两车同时到达B 地，∴乙车从A 地到B 地所用用的时间为5h.（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575-=（km)，所需时间为575906÷=（h ），517266+=.∴Q 点的坐标为（105， 176）.设线段PQ 的解析式为： y kx b =+，把（2，180）和（105， 176）代入得： 1802{171086k b k b =+=+，解得90360k b =-=，， ∴线段PQ 的解析式为90360y x =-+.（3）6730 h 或7730“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数型结合的思想解答问题．7．解方程组：22+2-0110x y x y ⎧=⎨-+=⎩【答案】：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】【分析】把(2)変形后代入(1)便可解得答案【详解】22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①②由②得:x=y-1代入①得:12023y y =⎧⎪⎨=⎪⎩, 分别代入②得:12113x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故原方程组的解为：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【点睛】此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则8．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩．【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩．【解析】【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．【详解】由②得：()()30x y x y -+=；所以，0x y -=或30x y +=；整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩；解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．9．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元【解析】【分析】根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．【详解】解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.根据题意，可列方程组()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩解得：1212800800,2020x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩(舍去)，答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．10．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =−32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3，解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.11．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①② 由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝，把1x ＝③，得1413y ＝﹣（把1x ③，得2413y ＝﹣（所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.12．解二元二次方程组210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩【答案】121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩【解析】【分析】把方程①变形为y=1-x ，利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．【详解】解：210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩①②，把①变形y ＝1﹣x ，代入②得x 2﹣（1﹣x ）﹣2x ﹣1＝0，化简整理得x 2﹣x ﹣2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣1，把x ＝2代入①得y ＝﹣1，把x ＝﹣1代入①得y ＝2，所以原方程组的解为：121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩．【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．13．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩①②．【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.【详解】解：由②得()()310x y x y ---+=，得30x y --=或10x y -+=，原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.14．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ （2）217,11 1.x y x y x y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩ 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案．（2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案．【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ 把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-，所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．15．解方程组：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩【答案】1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将第1个方程变形为x ＋2y ＝3，x ＋2y ＝﹣3，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：224490x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①②方程①可变形为()229x y +=得：23x y +=，23x y +=-它们与方程②分别组成方程组，得； 230x y x y +=⎧⎨+=⎩或230x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 所以，原方程组的解是1133x y =⎧⎨=-⎩，2233x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．16．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②【答案】5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.【详解】2220{25x xy y x y --=+=①②由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩.17．解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩【答案】1122x y =⎧⎨=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；3322x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，3322x y =⎧⎨=⎩，4422x y =-⎧⎨=-⎩.18．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②．【答案】110{1x y ==-，2243{13x y =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-．解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．19．解方程组：222220,21,x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】1123;13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】先对方程①②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成4个二元一次方程组，解之即可．【详解】2222x 2y 0x 2y 1xy xy ⎧--=⎨++=⎩①②，由①得（x+y ）（x-2y ）=0，∴x+y=0或x-2y=0，由②得（x+y ）2=1，∴x+y=1或x+y=-1，所以原方程组化为01x y x y +=⎧⎨+=⎩或01x y x y +=⎧⎨+=-⎩或201x y x y -=⎧⎨+=⎩或201x y x y -=⎧⎨+=-⎩，所以原方程组的解为121222x x 3311y y 33⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩．【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．20．一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.【答案】306【解析】【分析】设百位数字是x ，个位数字是y ．则依据“两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组．【详解】设百位数字是x ，个位数字是y ．则9100339x y y x xy +⎧⎨++⎩＝＝，解得36x y ⎧⎨⎩＝＝，90x y ⎧⎨⎩＝＝（不符合题意，舍去）．答：这个三位数是306．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．。

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中考数学辅导之—简单的二元二次方程组一、学习目标1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。

2、掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组、由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。

3、通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元、降次”的数学方法，获得对事物可以相互转化的进一步认识。

二、基础知识及应注意的问题1、对于二元二次方程、二元二次方程组的概念的学习，应注意联系二元一次方程、二元一次方程组的意义，在对比中加深对概念的理解。

2、解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解(或者说明这个方程组无解)；解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次；其目的就是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。

3、对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，通常用“代入消元法”进行消元、降次，这是把二元方程转化为一元方程的基本途径。

4、对于形如 x ＋y ＝a 的方程组，不仅可以用代入法来解，而且可以联系 xy ＝b已学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解。

5、对于由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，求解时应注意把握如下三点：(1)分析方程组，找出可以分解因式的那个二元二次方程的特点，并把它变形为两个二元一次方程。

(2)把两个二元一次方程分别与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。

(3)用代入法分别解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的这两个二元二次方程组。

三、例题例1：解方程组 x 2＋y 2＝25 …①4x －3y ＝0 …②分析：(1)这是一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，与解二元一次方程组类似，可以用代入法来解。

(2)方程②是一个二元一次方程，把这个方程变形为x y =34，就可把未知数x 用未知数y 的代数式来表示。

(3)把x y =34代入方程①，即可消去未知数x ，得到一个关于y 的一元二次方程，解这个方程即可得y 的值，再把y 的值代入x y =34，就可求出未知数x的值，从而得到方程组的解。

解：由②得：x y =34…③ 把③代入①得，(34y )2＋y 2＝25 解这个方程得：y 1＝4, y 2＝-4把y 1代入③得：x 1＝3把y 2代入③得：x 2＝-3∴原方程组的解为： x 1＝3 x 1＝-3y 1＝4， y 1＝-4；例2 x ＋y ＝12 …①xy ＝7 …②(解法一)由①得：x ＝12－y …③ 把③代入②得：y(12－y)＝7 即：y 2－12y ＋7=0 解得：y y 12629629=+=-,把y 1629=+代入③得：x 1629=-把y 2629=-代入③得：x 2629=+∴原方程组的解为 x 1629=- x 2629=+y 1629=+， y 2629=-；(解法二)根据一元二次方程根与系数的关系可把x 、y 看成一元二次方程z z 21270-+=的两根解得；z z 12629629=+=-,∴原方程组的解为 x 1629=+ x 2629=-y 1629=-， y 2629=+；例3：解方程组 x y 2225+= …①xy ＝12 …②(解法一)：①＋2×②得：(x ＋y)2＝49 ∴x ＋y ＝±7 …③①－2×②得：(x －y)2＝1 ∴x －y ＝±1 …④由③④可组成以下四个二元一次方程组x ＋y ＝7 x ＋y ＝7 x ＋y ＝－7 x ＋y ＝－7x －y ＝1 x －y ＝－1 x －y ＝1 x －y ＝－1解这四个方程组得原方程组的解为：x 1＝4 x 2＝3 x 3＝－3 x 4＝－4 y 1＝3 y 2＝4 y 3＝－4 y 4＝－3(解法二)：①＋2×②得：(x ＋y)2＝49 ∴x ＋y ＝±7 …③由②③可组成以下两个方程组： x ＋y ＝7 和 x ＋y ＝-7xy ＝12 xy ＝12以下如例2的(解法二)，分别解出这两个方程组可得出原方程组的四组解(下略)(解法三)由②得x y=12，代入①消去x 可得关于y 的特殊的四次方程，用换元法解得y 的各值再分别代入x y=12即可求得原方程组的四组解(只写了思路，具体解题过程略)(解法四)由②得：x y 22144⋅=，令u ＝x 2，v ＝y 2则有 u ＋v ＝25u v ⋅=144再如例2的(解法二)求出u 、v ；最后再求出原方程组的四组解。

(只写了思路，具体解题过程略)例4、解方程组 3434022x xy y x y ---+= …①x y 2225+= …②解：由①得()()3410x y x y -+-=∴34010x y x y -=+-=或∴原方程组可化为以下两个方程组： 340x y -= x y +-=10 x y 2225+= x y 2225+= 分别解这两个方程组得原方程组的解为 x 1＝4 x 2＝-4 x 3＝-3 x 4＝4 y 1＝3 y 2＝－3 y 3＝4 y 4＝-3 例5：解方程组： x xy y 2229-+= …①x xy y x y 224422++++= …② 解：由①得：()x y -=29 ∴x －y ＝±3由②得：(x+2y+2)(x+2y-1)=0即：x+2y+2=0或x+2y-1=0∴原方程组可化为以下四个方程组：x-y=3 x-y=3 x-y=-3 x-y=-3x+2y+2=0 x+2y-1=0 x+2y+2=0 x+2y-1=0解这四个方程组，得原方程组的解为： x y 114353==- x y 227323==- x y 338313=-= x y 443543=-=例题注释：解二元二次方程组的基本思想方法是“降次”和“消元”。

初中阶段主要是熟练掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。

前者由上述例1、例2说明用代入消元法解；后者由上述例3、例4、例5说明用降次化为几个二元一次方程组或前者形式的方程再消元求解。

有一种常用的降次方法是利用分解二次多项式为两个一次式乘积而把一个二元二次方程化为两个二元一次方程的，这种降次方法一定要熟悉，对其它的降次方法如例3的(解法一)、(解法二)、(解法四)也需了解并能使用。

例2的(解法二)是利用根与系数关系构造一新未知数的一元二次方程求解的简便方法，对此特殊解法也需熟悉。

总之，消元和降次是数学中两种重要的常见的转化方法，利用消元可把多元转化为少元，通过降次能把高次转化为低次。

四、练习及作业选择题：1、下列各组中x 、y 的值是方程组 x 2+y 2=5的解为：x+y=3A 、 x=-1B 、 x=1C 、 x=2D 、 x=-2y=-2 y=2 y=-1 y=12、解方程 3434022x xy y x y ---+= …①一般应先( ) x 2+y 2=25 …②A 、消去一个未知数B 、消去二次项C 、把方程①的左边分解因式D 、由②得y 2=25-x 2并代入① 3、方程组 x+y=3 中的x 、y 可以看成是一个一元二次方程的两个根， xy=－10这个方程是( )A 、 z z 23100+-=B 、z z 23100-+=C 、z z 23100--=D 、z z 23100++=4、若方程x 2+y 2-16=0和x 2-3y+12=0有一个公共解，则y 应取的值为( )A 、－7B 、4C 、－7和4D 、不小于45、已知方程组 x 2+2y 2=6 有一组实数解，则m 的值为( )mx+y=3A 、－1B 、1C 、±1D 、±26、若 x=1是方程组 ax 2+by 2=9的解，那么，此方程组还有解是( )y=2 bx-ay=3A 、 x=2B 、 x =3019C 、 x =3019D 、 x=1 y=1 y =3919 y =-3919y=-2 填空题：7、方程2332022x xy y x y -+-+-=中，二次项是________，一次项是________，常数项是________。

8、二元二次方程xy=10的整数解为________。

9、方程组 (x-1)(y+3)=0的解有________组。

y=x 210、方程2332022x xy y x y -+-+-=化成两个二元一次方程为________。

解答题：11、解方程组 x=y+4x 2-5xy+6y 2=012、解方程组 x 2-5xy+6y 2=02332022x xy y x y -+-+-=13、用两种不同的方法解方程组： x y +=4xy =3五、答案及提示：1、 B2、C3、C4、B5、C6、C4、提示：求两个方程的公共解可解由这两个方程组成的方程组，由方程x y 23120-+=，得x y 2312=-，代入方程x y 22160+-=消去未知数x ，得y y 23280+-=；解得y 1=4，y 2=-7；由y 1=4得x 2=0。

由y 2=-7得x 2=-33，无实数解。

∴只能取y=45、提示：由方程mx+y=3得y=3-mx ，代入方程x 2+2y 2=6得一系数中含有m 的关于x 的一元二次方程，令∆=0，则可得m =±16、提示：将 x=1代入原方程组可解得 a =-13，从而将原方程组变为 y=2 b =73-+=+=137397313322x y x y 即 x y x y 2272779-=-+=，解得 x y 1112== x y 2230193919==- 7、 233222x xy y x y ,,;,;--8、 x y ==110 x y ==25 x y ==52 x y ==101 x y =-=-110 x y =-=-25 x y =-=-52 x y =-=-1019、 110、2x-y+1=0,x-y-2=0提示：先将原方程化为()()2320x y x y x y ---+-=，再化成：()()()2220x y x y x y ---+--=∴()()2120x y x y -+--=则有：21020x y x y -+=--=,11、 x 1=6 x 2=8y 1=2 y 2=412、 x y 112313=-=- x y 2242== x y 333515=-=- x y 4431== 13、解：令u x v y ==,，则原方程组可化为 u v u v +=⋅=43(方法一)由u+v=4得：u=4-v ，代入u v ⋅=3，得：()43-⋅=v v即：v 2-4v+3=0 ∴v 1=1,v 2=3代回u=4-v ，得： u v 1131== u v 2231==即： x y 1131== x y 2213==。

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