语文版中职数学拓展模块《简单的二元二次方程组》word教案

高中数学教案：解二元二次方程组二元二次方程组是高中数学中的重要知识点之一，解二元二次方程组是我们在解决现实生活中许多问题时经常遇到的一种数学思维方法。

本教案将带领学生逐步理解和掌握如何解二元二次方程组的求解方法，通过具体的例子和练习，培养学生分析和解决实际问题的能力。

一、引入在开始学习解二元二次方程组之前，首先了解什么是二元二次方程组以及它的一般形式。

一个含有两个未知量的等式系统称为二元方程组。

当这个等式系统中含有两个二次项且其中不含有斜线时，我们称其为二元二次方程组。

一般来说，一个二元方程组可表示为如下形式：(ax^2+bx+c = 0)(dy^2+ey+f=0)其中a、b、c、d、e、f都是已知系数。

接下来以具体例子引导学生理解，并通过观察及尝试列出相关步骤。

例：求解以下方程组x^2+y^2-3x-y-10=04x^2+y^2-9x-y-6=0二、将一般形式改写成矩阵形式为了方便求解，我们将二元二次方程组改写成矩阵形式。

首先，将未知数用列向量表示。

例如：(X = [x y]^T)接着，构建一个系数矩阵A和一个常数矩阵B，使得AX = B。

在这个例子中，我们可以得到以下系数矩阵A和常数矩阵B：A ：[[1 -3][4 -9]]B： [[10][6]]三、利用行列式求解接下来，我们将利用行列式的性质去求解该二元方程组。

利用矩阵上的方法可以很容易地得到两个方程的行列式值。

例如，在这个例子中，我们定义D为系数矩阵A计算的行列式。

D：det(A) = 3进一步，我们还需要计算两个增广矩阵Ad和Ax的值来辅助求解。

Ad是将常数项替换到第i列后生成的增广矩阵。

Ax是将第i列替换成常数组成的增广矩阵。

对于这个例子：Ad：[[10 -3][6 -9]]Ax：[[1 10][4 6]]四、利用克拉默法则求解接下来使用克拉默法则（Cramer's rule）求解方程组。

克拉默法则使用比例关系，通过行列式求解未知量。

初中数学教案解二元二次方程组二元二次方程组是初中数学中的重要内容之一，它能够帮助我们解决实际问题、提高解题能力和逻辑思维能力。

下面，将以一个具体的教案为例，来介绍如何有效地教授初中生解二元二次方程组。

1. 教学目标通过本课的学习，学生应能够：- 掌握二元二次方程组的定义和基本性质；- 能够利用消元法和代入法解决简单的二元二次方程组；- 了解二元二次方程组在实际问题中的应用。

2. 教学准备- 板书准备：在黑板上书写二元二次方程组的定义和基本形式；- 教具准备：准备适量的练习题、解法示例以及实际问题样例。

3. 教学过程（1）引入- 老师可以先通过一个生活实例引入二元二次方程组的概念，如：小明和小红两人一起去买水果，小明买了苹果和梨共计10个，小红买了苹果和梨共计12个，请问他们各自买了多少个苹果和梨？- 引导学生思考这个问题如何用数学语言来表达。

- 将学生的思考结果整理出来，得出类似于"x+y=10"和"x+y=12"的方程组。

（2）定义和基本形式- 老师在黑板上讲解二元二次方程组的定义和基本形式，即两个未知数的二次方程的组合；- 引导学生理解方程组中每个方程的含义，即每个方程代表其中一个未知数与其他未知数之间的关系。

（3）解法示例- 介绍消元法的基本思路和步骤：1) 通过相加或相减的方式，消除一个未知数的系数，使得方程组中一方程的未知数系数相同；2) 将第一个方程乘以一个适当的数，使得未知数的系数在两个方程中相等；3) 将两个方程相减，得到一个一元二次方程；4) 解一元二次方程，得到一个未知数的值；5) 将求得的未知数的值代入其中一个方程，求得另一个未知数的值。

- 以具体的例子进行讲解和练习，引导学生掌握消元法的步骤和技巧。

（4）实际问题应用- 将二元二次方程组的解法应用到实际问题中，如物体抛射问题、面积问题等；- 提供实际问题样例，引导学生构建方程组并解答问题。

第三讲简单的二元二次方程组教案3.1 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组学习目标：1.了解二元二次方程、二元二次方程组的概念.2.掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解.3.通过“代入消元法”解方程组进一步理解“消元”“降次”的方法.4.通过“逆用根与系数的关系”解方程组了解“转化”的数学思想方法.教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用代入法和逆用根与系数的关系解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组.教学难点:理解解二元二次方程组的基本思想.教学过程：由于学生已经学过二元一次方程、二元一次方程组的意义，所以在进行二元二次方程和二元二次方程组的概念教学时，通过具体的二元二次方程和二元二次方程组的实例，通过相同点和不同点的分析，得出二元二次方程及二元二次方程组的定义，以加深学生的理解，在二元二次方程组的解法教学时，应向学生指出，解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，解二元二次方程组的基本思想是消元和降次.由于学生已经学过二元一次方程及二元一次方程组的概念,所以通过具体的二元二次方程及二元二次方程组,让学生进行分析和比较,得出二元二次方程的定义及常见的二元二次方程组的判别方法,使学生容易接受和理解新的知识.用消元法解方程组对学生来说并不陌生,学生在学习二元一次方程组的解法时,就是用消元法来解的,因此在进行本节教学时,通过教师的启发引导,学生分析二元二次方程组的特点,探求消元的方法,从而从整体上看学生在课堂上讨论热烈,能调动学生学习的积极性,激发学生的学习情趣,提高学生分析问题和解决问题的能力.一、 新课引入:1. 举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组?2. 解二元一次方程组的基本思路是什么?3. 解二元一次方程组有哪几种方法?问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.二、 新课讲解:我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.(1)二元二次方程及二元二次方程组定义①:含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程的一般形式为022=+++++f ey dx cy bxy ax ，其中二次项的系数c b a ,,至少有一个不为0.定义②:由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组.（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法.我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次,消元就是化二元为一元,降次就是把二次降为一次,因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说,代入消元法是解这类方程组的基本方法.【例1】代入消元法解方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(03)1(0222 y x y x 分析：二元二次方程组的代入消元解法与二元一次方程组的代入消元解法类似，都是把二元方程化为一元方程由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ．解：由(1)得：2y x = (3)将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把11x =代入(3)得：12y =；把21x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：12121122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，或． 说明：(教师和学生可以共同总结)代入消元法是解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解.【例2】逆用根与系数的关系解方程组⎩⎨⎧==+)2(12)1(8 xy y x 分析：仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以y x ,为根的一元二次方程来求解.解法一：由(1)得x y -=8 (3)把(3)代入(2)，整理得01282=+-x x .解得6,221==x x .把21=x 代入(3)，得61=y .把62=x 代入(3)，得22=y .所以原方程组的解是⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==26,622211y x y x 或.解法二：根据根与系数的关系可知：y x ,是一元二次方程，01282=+-z z 的两个根，解这个方程，得6,221==z z .∴所以原方程组的解是⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==26,622211y x y x 或. 说明：逆用根与系数的关系的具体步骤是：①对形如 x y a xy b +=⎧⎨=⎩的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x 、y 看做一元二次方程02=+-b az z 的两个根，解这个方程，求得的1z 和2z 的值，就是y x ,的值。

简单的二元二次方程组在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法． 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩ 分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ．解：由(1)得：2y x = (3)将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或 把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或．说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：① 由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；② 把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；③ 解消元后得到的一元二次方程；④ 把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；⑤ 写出答案．(2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记．【例2】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩ 分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解．解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，解方程得：4z =或z=7．∴ 原方程组的解是：11114774x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或．二、由两个二元二次方程组成的方程组1．可因式分解型的方程组 方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成．【例3】解方程组2222560 (1)10 (2)x xy y x y ìï-+=ïíï+=ïî 分析：注意到方程22560x xy y -+=，可分解成(3)(2)0x y x y --=，即得30x y -=或20x y -=，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程．说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程． 【例4】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．解：(1) –(2)3⨯得：223()0x xy xy y +-+=即 22230(3)()0x xy y x y x y --=⇒-+=∴ 300x y x y -=+=或 ∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44x y x y xy y xy y -=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩． 说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例5】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩分析：(1) +(2)2⨯得：2()36 (3)x y +=，(1) -(2)2⨯得：2()16 (4)x y -=，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．解：(1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或， (1) -(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或．解此四个方程组，得原方程组的解是： 312412341515,,,1551x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩． 说明：对称型方程组，如22x y a x y b ⎧+=⎨+=⎩、22x y a xy b⎧+=⎨=⎩都可以通过变形转化为x y m xy n +=⎧⎨=⎩的形式，通过构造一元二次方程求解．2．可消二次项型的方程组【例6】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩ 分析：注意到两个方程都有xy 项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组．解：(1) 3(2)⨯-得：313 1 (3)x y y x -=⇒=-代入(1)得：212(31)33311x x x x x x -+=⇒=⇒==-或． 分别代入(3)得：1224y y ==-或．∴ 原方程组的解是：12121124x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或．说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解．二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决．A 组1．解下列方程组：(1) 26x y y x⎧+=⎨=⎩(2) 22282x y x y ⎧+=⎨+=⎩ (3) 221235x y x xy y +=⎧⎨++=⎩(4) 2203210x y x xy -=⎧⎨+=⎩ 2．解下列方程组：(1) 32x y xy +=-⎧⎨=⎩(2) 16x y xy +=⎧⎨=-⎩ 3．解下列方程组：(1) 2(23)01x x y x -=⎧⎨=-⎩(2) (343)(343)0325x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩ (3) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩(4) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩ 4．解下列方程组：(1) 222230x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩(2) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩B 组 1．解下列方程组：(1) 2232320x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩(2) 22231234330x y x xy y x y -=⎧⎨-+-+-=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩(2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩ 3．解下列方程组：(1) 2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(2) 224221x y xy ⎧+=⎨=-⎩ 4．解下列方程组：(1) 2252x y xy⎧+=⎨=-⎩(2) 22410x y x y +=⎧⎨+=⎩习题4后面的作为参考！！！4. 简单的二元二次方程组求解观察方程2226x xy y x y ++++=，此方程的特点：①含有两个未知数；②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程. 二元二次方程的一般形式是：220ax bxy cy dx ey f +++++=（a 、b 、c 不同时为零）.其中22 ax bxy cy 、、叫做二次项， dx ey 、叫做一次项，f 叫做常数项.定义②：二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：22255x y x y ìï+=ïíï+=ïî ，222212231x xy y x y x xy x y ìï++++=ïíï+++=ïî 都是二元二次方程组. 二元二次方程组求解的基本思想是“消元”和“降次”，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程。

初中数学教案解二元二次方程组一、教学目标1. 理解二元二次方程组的定义和概念。

2. 掌握解二元二次方程组的方法和步骤。

3. 能够应用解二元二次方程组解决实际问题。

二、教学准备1. 教师准备：黑板、粉笔、教材、习题册。

2. 学生准备：教材、习题册、尺子、计算器等。

三、教学过程本节课通过引入问题，引发学生对二元二次方程组的学习兴趣，再通过教师的讲解和学生的练习，帮助学生掌握解二元二次方程组的方法。

1. 问题引入教师可提出一个实际问题，如：小明和小红的年龄之和是35岁，小红的年龄是小明的两倍，求他们各自的年龄。

通过这个问题，引导学生思考如何建立二元二次方程组。

2. 二元二次方程组的定义和概念教师向学生介绍二元二次方程组的定义和概念，即包含两个未知数的二次方程组。

并给出二元二次方程组的一般形式：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 03. 解二元二次方程组的步骤教师向学生讲解解二元二次方程组的步骤，并结合示例进行说明。

步骤一：整理方程组，使其标准化通过合并同类项、整理方程组，消去一些项的系数，使得方程组变为标准形式。

步骤二：利用消元法解方程组通过消去一个未知数的方法，将二元二次方程组化简为一个一元二次方程。

步骤三：求解一元二次方程使用配方法、因式分解法、求根公式等方法，求解一元二次方程。

步骤四：带回求解另一个未知数将已解得的一个未知数的值带入另一个方程中，求解另一个未知数的值。

4. 解题练习教师布置一些二元二次方程组的求解题目，让学生进行练习。

可以分组合作，共同解题，并互相交流和讨论解题方法与过程。

5. 实际问题应用教师提供一些实际问题，并引导学生建立相应的二元二次方程组，通过解方程组求解实际问题。

如：甲、乙两人同时从A、B两地出发，速度分别是10km/h、12km/h，相向而行4小时后相遇，求A、B两地的距离。

通过以上的讲解和练习，学生能够掌握解二元二次方程组的方法和步骤，并能够应用所学知识解决实际问题。

(完整版)二次方程教案1. 简介本教案旨在帮助学生理解和解决二次方程。

通过本教案的研究，学生将能够掌握二次方程的基本概念、求解方法和应用技巧。

2. 目标- 理解二次方程的定义和性质- 掌握二次方程的求解方法- 能够应用二次方程解决实际问题3. 教学内容1. 二次方程的定义和一般形式2. 二次方程的性质和特点3. 二次方程的求解方法（配方法、因式分解、根的性质）4. 应用二次方程解决实际问题的例题4. 教学步骤第一步：导入- 创造一个引入二次方程的场景，激发学生研究的兴趣。

- 引出二次方程的定义和例子，让学生了解二次方程的一般形式。

第二步：讲解- 通过导入的例子，引出二次方程的基本性质和一些重要概念。

- 详细讲解二次方程的求解方法，包括配方法、因式分解和利用根的性质。

第三步：练- 提供一些简单的练题，让学生巩固对二次方程的求解方法的掌握。

- 引导学生分析解题思路，帮助他们理解并克服常见的错误和困难。

第四步：应用- 给出一些实际问题，引导学生利用二次方程解决问题。

- 鼓励学生大胆尝试，培养他们应用数学知识解决实际问题的能力。

第五步：总结- 概括本节课的研究内容和要点。

- 强调二次方程在数学和实际生活中的重要性和应用。

5. 教学评价- 在课堂上观察学生的参与度和理解程度。

- 检查学生完成的练和作业，评价他们在应用二次方程解决实际问题方面的能力。

- 鼓励学生相互交流和讨论，提高他们的研究效果。

6.延伸拓展- 鼓励学生深入研究二次方程的相关知识，例如解二次不等式、二次函数等。

- 提供更多的挑战性问题和应用题，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

7. 课后作业- 练册的相关题。

- 设计并解决一个实际问题，用二次方程进行建模和求解。

8. 结束语本教案通过引入二次方程的定义和性质，详细讲解了二次方程的求解方法并引导学生应用二次方程解决实际问题。

通过这次学习，希望学生能够对二次方程有一个更深入的理解，并能够灵活运用到实际生活中。

初中数学教案解二元二次方程组二元二次方程组是中学数学学习的重要内容之一，在初中阶段就开始接触和学习了。

本教案将从基础概念的讲解、解题方法的介绍以及练习题的提供三个方面，详细解析二元二次方程组的解法，以帮助学生更好地理解和掌握。

I. 概念讲解1. 二元二次方程组的定义二元二次方程组是由两个二次方程联立而成的方程组，通常形式为： a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 解的定义解是指使方程组中的所有方程同时成立的一组数值，也就是满足同时解方程组的变量值。

3. 二元二次方程组的解法解二元二次方程组可以通过以下两种方法进行：a) 代入法：将一方程的解代入另一方程中，消去一个变量，从而转化为一元二次方程，最后求解。

b) 消元法：利用消元法将方程组转化为较简单的形式，然后通过求解此简化方程组的方法得到解。

II. 解题方法的介绍1. 代入法的步骤a) 选择一个方程，通常选择其中一个系数较为简单的方程，用其中一变量表示，并将其代入另一方程。

b) 将代入后的方程化简为一元二次方程。

c) 求解一元二次方程得出解。

d) 将所求解代入原方程中，求出另一变量的值。

2. 消元法的步骤a) 通过消元法将其中一个变量的系数抵消，使方程组化简。

b) 将化简后的方程组转化为一元二次方程，求解得到一个变量的值。

c) 将所得的变量值代入原方程组中，求解得到另一变量的值。

III. 练习题1. 解下列二元二次方程组：a)2x² + 3xy + 2y² - 5x - 2y + 3 = 03x² + xy - 3y² - 2x - 5y + 1 = 0b)x² - xy - y² - 4x + 6y - 3 = 02x² + xy + 3y² + 16x - 2y - 1 = 0c)4x² + xy - 7y² + 3x - 2y - 7 = 0x² - 2xy - 3y² + 3x - 6y - 1 = 0IV. 解题步骤与答案1. 解题步骤a) 使用代入法解题的步骤：- 选取一个方程进行变量的代入，并将结果代入另一个方程中得到一元二次方程。

中考数学辅导之—简单的二元二次方程组一、学习目标1、 了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。

2、 把握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组、由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。

3、 通过解简单的二元二次方程组，进一步明白得“消元、降次”的数学方法，获得对事物能够相互转化的进一步认识。

二、基础知识及应注意的问题1、 关于二元二次方程、二元二次方程组的概念的学习，应注意联系二元一次方程、二元一次方程组的意义，在对比中加深对概念的明白得。

2、 解二元二次方程组确实是求方程组中两个方程的公共解(或者说明那个方程组无解)；解二元二次方程组的差不多思想是消元和降次，消元确实是把二元化为一元，降次确实是把二次降为一次；其目的确实是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。

3、 关于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，通常用“代入消元法”进行消元、降次，这是把二元方程转化为一元方程的差不多途径。

4、 关于形如 x ＋y ＝a 的方程组，不仅能够用代入法来解，而且能够联系 xy ＝b已学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解。

5、 关于由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，求解时应注意把握如下三点：(1)分析方程组，找出能够分解因式的那个二元二次方程的特点，并把它变形为两个二元一次方程。

(2)把两个二元一次方程分别与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。

(3)用代入法分别解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的这两个二元二次方程组。

三、例题例1：解方程组 x 2＋y 2＝25 …①4x －3y ＝0 …②分析：(1)这是一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，与解二元一次方程组类似，能够用代入法来解。

数学课教案解二元二次方程教案名称：解二元二次方程教案主题：数学课教案内容：导入部分：引出问题：假设有一个农场，农场里有兔子和鸡的总数是x只，它们的脚的总数是y只。

现在，我向大家提出一个问题：如果已知脚的总数，我们能否计算出兔子和鸡的数量呢？请同学们思考一下。

解释二元二次方程：为了解决上述问题，我们需要学习二元二次方程的解法。

二元二次方程是指含有两个未知数且最高次数为2的方程。

通常的表示形式为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0其中，a、b、c、d、e是已知的常数，x和y是未知数。

理清思路与建立方程：1. 设兔子的数量为t只，鸡的数量为j只。

2. 根据题意，我们可以设定以下两个条件：(1) 兔子和鸡的总数为x只，即：t + j = x(2) 兔子和鸡的脚的总数为y只，即：4t + 2j = y求解二元二次方程：通过上述两个条件，我们可以建立一个二元二次方程组，将其转化为标准形式，得到：① t + j = x② 4t + 2j = y进一步求解：1. 通过等式(1)，我们可以解出t的值：t = x - j2. 将t的值代入等式(2)，我们可以得到：4(x - j) + 2j = y3. 化简上述方程：4x - 4j + 2j = y，化简后可得：4x - 2j = y经过以上步骤，我们得到了一个二元一次方程：4x - 2j = y实例演练与解析：我们以一个具体例子来演示解二元二次方程的过程。

假设农场里兔子和鸡的总数为15只，它们的脚的总数为40只。

将条件代入方程，得到以下方程：① t + j = 15② 4t + 2j = 40根据方程①，我们可以得到：t = 15 - j将t的值代入方程②，得到：4(15 - j) + 2j = 40通过化简，得到：60 - 4j + 2j = 40化简后的方程为：60 - 2j = 40继续化简，得到：-2j = -20解方程可得：j = 10将j的值代入t = 15 - j，得到：t = 15 - 10 = 5因此，兔子和鸡的数量分别为5只和10只。

初中数学教案：解二元二次方程组的基本方法和步骤解二元二次方程组的基本方法和步骤一、引言二元二次方程组是初中数学中的重要内容。

解决这类方程组需要掌握一定的基本方法和步骤。

本文将介绍解二元二次方程组的基本思路以及具体步骤，帮助初中生更好地理解和掌握这一知识点。

二、基本思路解决二元二次方程组的基本思路是通过变量消去或代入法将原方程组化简为一个关于单个变量的一元二次方程，然后求得该方程的解，再根据已知条件找到另一个未知数。

下面将详细介绍这一过程。

三、步骤详解（一）观察方程组，并进行分类在开始解题之前，我们首先要观察给定的方程组，判断其形式并进行合理分类。

具体来说，我们需要注意以下几点：1. 方程是否已经排列成标准形式：每个方程项都写在等式右边，并按照降序排列。

2. 方程是否都为完全平方式，并且系数存在公因数。

3. 方程是否可以直接应用变量消去法。

（二）应用变量消去法1. 将两个方程中含有相同未知数的项作差，从而消去该未知数。

例如，如果两个方程中都有$x$这个未知数，则将第二个方程乘以一个适当的常数$k$，使得两个方程中$x$的系数相等。

然后将两个方程相减，即可将$x$消去。

2. 重复上述步骤，直至将所有未知数都消去。

（三）解得一元二次方程1. 将经过变量消去后得到的含有单个未知数 $y$ 的一元二次方程通过化简、配方法等步骤转化为标准形式$a_1y^2+b_1y+c_1=0$。

2. 根据解一元二次方程的方法，求出 $y$ 的值。

（四）求另一个未知数1. 将已经求得的 $y$ 值代入其中一方程中，并通过继续化简、配方法等步骤求出另一个未知数。

四、实例演示为了更好地理解解二元二次方程组的方法和步骤，我们来看一个具体的实例：已知如下二元二次方程组：$$\begin{cases}x^2+y^2=4 \\xy=1\end{cases}$$首先，我们观察到这是一个已经排列成标准形式且没有公因子的方程组，可以直接应用变量消去法。

3.2 由两个二元二次方程组成的方程组学习目标：1.掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法.2.掌握两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法.3.通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元”、“降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一步认识,提高学生的分析问题和解决问题的能力. 教学重点：通过把一个二元二次方程分解为两个二元一次方程来解由两个二元二次方程组成的方程组.教学难点：正确地判断出可以分解的二元二次方程.教学过程：我们已经学过常见的两种类型的二元二次方程组的解法，这一节课我们将进一步系统的复习二元二次方程组的解法.关于本节复习课，是对已学过的二元二次方程组有关内容的复习，所以直接明确本节课的目标，可以充分地调动学生的积极性，使学生能积极思考本节的内容，以提高学生的分析问题和解决问题的能力.一、复习提问：1.我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型?2.解二元二次方程组的基本思想是什么?3.解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的基本方法是什么,其主要步骤是什么?4.把下列各式分解因式：(1)2265y xy x +- (2)1222-++y xy x (3)2)(3)(2++-+y x y x二、新课讲解【例3】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩分析：注意到方程（1）225()x y x y -=+，可分解成()(5)0x y x y +--=，即得0x y +=或50x y --=，从而可分别和方程（2）组成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，从而解出这两个方程组，得到原方程组的解.解：由(1)得：225()0()()5()0()(5)0x y x y x y x y x y x y x y --+=⇒+--+=⇒+--= ∴ 0x y +=或50x y --=∴ 原方程组可化为两个方程组：22225004343x y x y x xy y x xy y --=+=⎧⎧⎨⎨++=++=⎩⎩或 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：312412341661x x x x y y y y ⎧⎧==-==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-===⎩⎩⎪⎪⎩⎩，，说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程．【例4】 解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=--)2(144)1(0432222 y xy x y xy x分析：题中两个方程都可以分解，方程（1）分解为0)()4(=+⋅-y x y x ，方程（2）可分解为0)12()12(=-+⋅++y x y x ，因而此题可用本节介绍的方法来解. 解：由（1）得：0)()4(=+⋅-y x y x ，0)4(=-∴y x ，或0)(=+y x .由（2）得：0)12()12(=-+⋅++y x y x ，0)12(=++∴y x ，或0)12(=-+y x .因此，原方程组可化为四个方程组⎩⎨⎧=++=-01204y x y x ；⎩⎨⎧=-+=-01204y x y x ；⎩⎨⎧=++=+0120y x y x ；⎩⎨⎧=-+=+0120y x y x . 分别解这四个方程组，得原方程组的解为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=613211y x ；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==613222y x ；⎩⎨⎧-==1133y x ；⎩⎨⎧=-=1144y x . 说明:当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解.即时突破：解下列方程组2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩ 即时突破由学生独立完成，教师应对学生的解题格式给予强调.作业：解下列方程组(1) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩ (2) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩ (3)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+065202222y xy x y x。

初中数学教案：解二元二次方程组解二元二次方程组一、引言解二元二次方程组是初中数学中的重要内容，理解和掌握解方程组的方法对于学习数学具有重要意义。

本教案将从理论与实践相结合的角度出发，全面介绍解二元二次方程组的方法和思路。

二、理论部分1. 二元二次方程组的概念二元二次方程组是指包含两个未知数的二次方程的方程组，通常表示为： a1x² + b1xy + c1y² + d1x + e1y + f1 = 0a2x² + b2xy + c2y² + d2x + e2y + f2 = 02. 解二元二次方程组的一般思路解二元二次方程组的一般思路包括以下几个步骤：a) 将方程组中的一元二次方程转化为因式分解的形式；b) 利用已知条件将含有另一个未知数的一元二次方程消去；c) 再次转化为一元二次方程，解得一个未知数的值；d) 将求得的未知数的值代入方程组中的一个方程，解得另一个未知数的值；e) 验证解是否正确。

3. 解二元二次方程组的方法a) 代入法将一个方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示出来，然后代入另一个方程中求解。

b) 消元法利用方程组中的两个方程进行消元，消去一个未知数，转化为一元二次方程求解。

c) 降次法将二元二次方程组通过配方法，降低为二次项的系数较小的方程组，进而解得未知数的值。

三、实践部分以一个具体的例子来说明如何解二元二次方程组。

例题：解方程组：x² + y² = 25x + y = 7解题步骤：1. 利用第二个方程，将y表示为x的函数。

例如，将y = 7 - x。

2. 将y的表达式代入第一个方程，得到：x² + (7 - x)² = 253. 化简方程，得到一个一元二次方程：2x² - 14x + 24 = 04. 解一元二次方程，求得x的值：x = 2 或 x = 65. 将x的值代入y的表达式中，得到对应的y的值：当x = 2 时，y = 7 - 2 = 5当x = 6 时，y = 7 - 6 = 16. 验证解的正确性，将x和y的值代入原方程组中验证。

二元二次方程组的解法一、教材分析学习二元二次方程组，对传授知识、培养学生运算和解决实际问题的能力，都有重要的意义。

在教学上，既是复习旧知识，又为后续内容（特别是高中的平面解析几何）提供工具，起着承上启下的作用，所以在教学中应该重视。

解方程和方程组时，用到的“降次”、“消元”、“转化”等重要数学思想方法。

因此，在教学中，要引导学生注意掌握解题的思路，有计划，有目的地介绍某些有规律的解题技巧，全面归纳和总结解题方法，以达到抓住关键，突破难点的目的。

二、教学目标1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。

2、掌握用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组。

3、通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次”、 “转化”的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。

三、教学重点、难点教学重点：用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组。

教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想。

四、教学过程（一）复习提问：1、举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？2、解二元一次方程组的基本思路是什么？3、解二元一次方程组有哪几种方法？问题设计的目的是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法。

（二）新课讲解：我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组。

这节课，我们将学习二元二次方程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法。

关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了然，并且能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容。

1、二元二次方程及二元二次方程组观察方程0624422=--++-y x y xy x 和01322=-+-y xy x ，这两个方程的特点：（1）含有两个未知数；（2）是整式方程；（3）含有未知数的项的最高次数是2。

定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程。

初中数学教案：解二元二次方程组解二元二次方程组的教学案例引言：数学是一门抽象而又实用的学科，解二元二次方程组作为初中阶段重要的数学内容之一，对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的指导作用。

本文将以解二元二次方程组为例，设计一份初中数学教案，旨在帮助学生理解并掌握这一知识点。

第一部分：引入与目标1. 引入从小区域内一个小河流到某大湖、大江、大河等不等的汇聚关系，都可以用方程描述。

但是，当我们需要了解两个或以上个体（对象）之间关联变化关系情况时，需要引入方程组来表示。

先给出一个简单例子：“亭子里只有公鸡和兔子两种动物。

假设它们全部拥有8只头以及26条腿，请问各有几只？”通过这个问题来引出方程组，并说明其重要性。

2. 目标- 理解什么是二元二次方程组；- 掌握通过消元法求解二元二次方程组；- 能够应用所学知识解决实际问题。

第二部分：知识讲解与示范1. 知识背景介绍解二元二次方程组的关键在于化简，通过消去变量的方法得到方程组的解。

需要掌握一些基本的数学运算技巧，如平方与配方法。

2. 解法示范- 提供一个具体的二元二次方程组的例子，并逐步演示求解过程；- 介绍不同情况下可能出现的解：有唯一解、无实数解、无穷多实数解；- 强调充分理解题目中所给条件，并进行合理建立与运用公式。

第三部分：练习与评估1. 练习题：设计一系列练习题，包括不同难度和类型，覆盖课堂所学内容。

例如：（1）请求以下方程组的解：{x^2 + y^2 = 25,y = x + 3}（2）设a为任意非零常数，b为任意实数，求下列方程组的通解：{ax + by = a - b,bx - ay = a + b}2. 检验与评估- 鼓励学生多思考多动手，在小组或个人形式下完成课后习题；- 合理利用教师提供答疑时间以及其他资源进行问题交流和解答。

第四部分：拓展与应用1. 拓展问题：引导学生思考解二元二次方程组的实际应用场景，并通过提问方式引导他们深入思考、探索。

二元二次方程教案教案标题：探索二元二次方程教学目标：1. 理解二元二次方程的定义和基本概念。

2. 掌握解二元二次方程的方法，包括因式分解、配方法和求根公式。

3. 能够应用二元二次方程解决实际问题。

教学准备：1. 教材：包含二元二次方程的相关章节。

2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔或马克笔、投影仪。

3. 学具：学生课本和练习册。

教学步骤：引入（5分钟）：1. 利用投影仪或黑板上展示一个实际问题，如“甲、乙两人年龄之和为35岁，甲的年龄是乙的2倍，求甲、乙两人的年龄。

”2. 引导学生思考如何利用方程解决这个问题。

探究（15分钟）：1. 引导学生回顾一元二次方程的概念和解法。

2. 引导学生思考二元二次方程的定义和特点。

3. 利用黑板或白板展示一个简单的二元二次方程，如“x^2 + y^2 = 25”，并指导学生思考如何解决这个方程。

讲解（15分钟）：1. 通过讲解和示例，介绍二元二次方程的解法。

2. 解释因式分解、配方法和求根公式三种解法的基本原理和步骤。

3. 强调每种解法的适用条件和注意事项。

实践（20分钟）：1. 给学生分发练习册，让他们在课堂上完成一些二元二次方程的练习题。

2. 监督学生的解题过程，及时纠正他们的错误，鼓励他们互相讨论和合作解题。

总结（5分钟）：1. 回顾本节课的重点内容，强调二元二次方程的重要性和应用价值。

2. 提醒学生合理利用所学知识解决实际问题。

3. 解答学生提出的问题，并鼓励他们积极参与讨论。

拓展（5分钟）：1. 布置课后作业，要求学生继续完成一些二元二次方程的练习题。

2. 鼓励学生自主学习，寻找更多有关二元二次方程的实际问题，并尝试解决。

教学反思：1. 教学过程中是否引导学生积极思考和参与讨论？2. 学生对二元二次方程的理解和掌握程度如何？3. 学生在解题过程中是否存在常见错误，需要进一步指导和纠正？4. 教学目标是否达到，学生是否能够应用所学知识解决实际问题？注：以上教案仅供参考，具体教学内容和步骤可根据实际教学情况进行调整。

简单的二元二次方程组二元二次方程组【教学内容】简单的二元二次方程组【教学目标】1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解。

*2、掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。

3、通过解简单的二元二次方程组，使学生进一步理解“消元”“降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一步认识。

【知识讲解】1、形如x 2+y=2，x 2+y 2=0,3x 2+2y 2+1=0，4x 2–4xy+y 2+2x –y –12=0这些整式方程，每个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次都是2，像这样的含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次是2的整式方程，称为二元二次方程。

关于x 、y 的二元二次方程式的一般形式是ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0（a 、b 、c 不全为零）其中ax 2、bxy 、cy 2叫做方程的二次项，dx 、ey 叫做方程的一次项，f 叫做常数项。

2、我们所研究的二元二次方程组一般由两个方程联立而成，其中一个是二元二次方程，另一个可能是二元二次方程、二元一次方程、一元二次方程或一元一次方程。

二元二次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元二次方程组的解。

求解二元二次方程组的基本思想是消元或降次，消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次，因此，通过消元或降次可以将其转化为二元一次方程组或一元二次方程甚至一元一次方程，以便求解。

例如在解方程组x –2y –1=0 (1)时，注意到(1)可以转化为x=2y+1(3)，将(3)式代入(2)–4x －y+1=0(2)即可消去(2)中的未知数x ，得到一个关于y 的一元二次方程。

我们把这种解方程组的方法叫代入消元法。

而在解方程组=+-=+)2(065)1(202222y xy x y x 时，显然无法直接使用代入法求解，但由于方程（2）可分解为(x –2y)(x –3y)=0即x –2y=0或x –3y=0，这样一来，原来的二元二次方程立即转化为两个二元一次方程，通过因式分解降低了方程的次数。

初中数学教案：解二元二次不等式组解二元二次不等式组一、引言在初中数学教学中，解二元二次不等式组是一个重要的知识点。

它涉及到多个变量之间的关系，并需要我们掌握一定的代数运算技巧和图像分析方法。

本文将以此为主题，详细介绍解二元二次不等式组的方法和步骤。

二、定义和基本概念1. 二元二次不等式组：由两个关于同一组未知数的二次不等式构成的方程组。

2. 解：使得所有不等式同时成立的变量数值集合。

三、解法与步骤为了解二元二次不等式组，我们可以采用以下步骤：1. 化简方程组：通过合并同类项以及化简形式，将方程组转化为标准形式。

2. 分析图像：利用平面直角坐标系，绘制出每个方程所对应的曲线图像，并确定其凸凹性质和开口方向。

3. 求解交集区域：通过观察曲线图像的交点情况，找到满足所有不等式条件的变量取值范围。

四、具体例子下面我们通过一个具体的例子来说明解二元二次不等式组的过程。

例子：解方程组{ x^2 - y^2 < 4,x + y > -3 }1. 化简方程组：将不等式组化简为标准形式。

{ (x-y)(x+y) < 4,x + y > -3 }2. 分析图像：绘制出每个方程对应的曲线图像。

(x-y)(x+y) < 4 对应一对双曲线，其开口方向确定为上下，凸面朝下。

x + y > -3 对应直线，其斜率为-1，且过原点。

根据斜率和截距的关系，可知这条直线是从左上到右下的倾斜直线。

图像如下所示：[插入示意图]3. 求解交集区域：通过观察曲线图像的交点情况，确定满足所有不等式条件的变量取值范围。

根据双曲线与直线的交点位置，我们可以发现只有一个有效交点，在第四象限中。

因此满足以上不等式条件的变量取值范围为：{ (x, y) | x > -2, y > -5, y < 0 }五、注意事项在解二元二次不等式组时，需要注意以下几点：1. 特殊情况：可能存在没有有效交点或无解的情况，需要进行观察和判断。