简单的二元二次方程

二元二次方程练习题及解析一、练习题1. 解方程组：{(x + y)² = 25(x - y)² = 92. 解方程组：{(x + y)² = 144(x - y)² = 163. 解方程组：{(2x + y)² = 25(4x - y)² = 814. 解方程组：{(3x + 2y)² = 16(2x - y)² = 95. 解方程组：{(2x + y)² = 36(3x - y)² = 49二、解析1. 解方程组：{(x + y)² = 25(x - y)² = 9解：将两个方程展开得到：(x² + 2xy + y²) = 25 (1)(x² - 2xy + y²) = 9 (2)将(2)式两边同时乘以4，并与(1)式相加得到： 5x² = 61解得：x = ±√(61/5)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。

2. 解方程组：{(x + y)² = 144(x - y)² = 16解：将两个方程展开得到：(x² + 2xy + y²) = 144 (1)(x² - 2xy + y²) = 16 (2)将(2)式两边同时乘以9，并与(1)式相加得到： 10x² = 208解得：x = ±√(208/10)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。

3. 解方程组：{(2x + y)² = 25(4x - y)² = 81解：将两个方程展开得到：(4x² + 4xy + y²) = 25 (1)(16x² - 8xy + y²) = 81 (2)将(2)式两边同时乘以1/9，并与(1)式相加得到： 5x² = 74/9解得：x = ±√(74/45)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。

第10章 简单的二元二次方程的解法【知识衔接】————初中知识回顾————含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．————高中知识链接————二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决．【经典题型】初中经典题型【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩【例2】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩ 高中经典题型【例1】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩ 【例2】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 【例3】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩【例4】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．解下列方程组：(1) 26x y y x ⎧+=⎨=⎩(2) 22282x y x y ⎧+=⎨+=⎩(3) 221235x y x xy y +=⎧⎨++=⎩(4) 2203210x y x xy -=⎧⎨+=⎩ 2．解下列方程组：(1) 32x y xy +=-⎧⎨=⎩ (2) 16x y xy +=⎧⎨=-⎩ 3．解下列方程组：(1) 2(23)01x x y x -=⎧⎨=-⎩ (2) (343)(343)0325x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩(3) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩ (4) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩ 4．解下列方程组：(1) 222230x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ (2) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩ ————再战高中题 —— 能力提升————B 组1．解下列方程组：(1) 2232320x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩ (2) 22231234330x y x xy y x y -=⎧⎨-+-+-=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩ (2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩ 3．解下列方程组：(1) 2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩ (2) 224221x y xy ⎧+=⎨=-⎩4．解下列方程组：(1)2252x yxy⎧+=⎨=-⎩(2)22410x yx y+=⎧⎨+=⎩。

二元二次方程组的概念1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个数学小话题——二元二次方程组。

听起来有点高大上，但其实呢，它就像一杯刚泡好的茶，细细品味，里面其实藏着不少有趣的东西！可能你一听到方程就想：“哎呀，这可又要费脑筋了！”别担心，今天我会把它说得轻松点，让大家都能听懂。

2. 什么是二元二次方程组？2.1 概念解析首先，我们得搞清楚什么是二元二次方程。

简单来说，二元二次方程就是那种形式像 (ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0) 的方程。

听上去是不是有点拗口？没关系，咱们把字母换成数字就简单多了。

比如，(x^2 + y^2 1 = 0) 就是个典型的二元二次方程。

这个方程其实描绘的是一个圆，想象一下那温柔的圆形，真是太美了！2.2 方程组的定义那么，什么是方程组呢？简单来说，方程组就是几道题放在一起，你需要同时解出来。

比如，你有两个方程：(x^2 + y = 4) 和 (x + y^2 = 5)。

这些方程好比是两个小朋友在讨论：嘿，我们一起来找找 (x) 和 (y) 的答案吧！所以，解这个方程组的过程就是找出两个小朋友同时都满意的答案。

3. 解二元二次方程组的方法3.1 代入法说到解方程组的方法，咱们可以先聊聊代入法。

想象一下，这就像你把一个朋友的喜好带到另一个朋友那儿。

比如，先从第一个方程出发，找到 (y) 的值，然后把这个 (y)的值代入到第二个方程里去。

最后，再解出来 (x) 和 (y)。

听起来是不是简单得像和朋友去吃饭，最后大家都找到了想要的餐厅？3.2 消元法再来说说消元法。

这种方法就像是在两个人争论时，你要让其中一个先闭嘴。

我们可以把一个方程的某个部分消掉，接着再解另一个方程。

就像是把一堆烦恼先放到一边，专心解决眼前的问题。

这种方法能让你事半功倍，真是聪明又高效。

4. 二元二次方程组的应用4.1 现实生活中的应用那么，二元二次方程组到底有什么用呢？其实，它们在生活中无处不在！比如说，你在规划一个花园，想知道放几种花才能既美观又节省空间。

二元二次方程基本公式
二元二次方程基本公式为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。

二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程，叫做二元二次方程，且a、b、c中至少有一个不是零；当b=0时，a与d以及c与e分别不全为零。

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。

由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

1、有两组相等的实数解。

2、有两组不相等的实数解；
3、没有实数解。

解：将②代入①，整理得二次方程③的判别式。

4、当a<2时，方程③有两个不相等的实数根，则原方程有不同的两组实数解。

5、当a=2时，方程③有两个相等的实数根，则原方程有相同的两组实数解。

6、当a>2时，方程③没有实数根，因而原方程没有实数解。

“代入消元法”和“加减消元法”解方程组：
代入消元法是将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解。

这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法。

加减消元法是当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

简单的二元二次方程组二元二次方程组是指由两个二次方程组成的方程组。

二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。

二元二次方程组则是由两个二次方程组成的方程组，其中每个方程都有两个未知数。

解二元二次方程组的一种常见方法是将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。

具体步骤如下：假设我们有以下二元二次方程组：方程组1：a1x^2+b1y^2+c1xy+d1x+e1y+f1=0方程组2：a2x^2+b2y^2+c2xy+d2x+e2y+f2=0我们可以先将方程组1转化为关于x的一元二次方程。

假设我们固定y的值为y0，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于x的一元二次方程：a2x^2+b2y0^2+c2xy0+d2x+e2y0+f2=0解这个一元二次方程，可以得到两个解x1和x2。

将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与y0相关的解y1和y2。

重复以上步骤，我们可以固定x的值，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于y的一元二次方程：a1x0^2+b1y^2+c1x0y+d1x0+e1y+f1=0解这个一元二次方程，可以得到两个解y3和y4。

将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与x0相关的解x3和x4。

我们得到了四个解(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)，它们是原方程组的解。

当然，这只是解二元二次方程组的一种方法，还有其他方法可以求解。

无论使用哪种方法，都需要注意方程的特殊情况，例如方程没有解或有无穷多解的情况。

二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，可以使用不同的方法求解。

解二元二次方程组需要将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。

解二元二次方程组需要仔细分析方程的特殊情况，并注意求解过程中的计算准确性。

二元二次方程计算器在线二元二次方程是一种形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。

解一元二次方程可以通过求根公式，即 x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a) 来得到。

而对于二元二次方程，它是二元的，即含有两个未知数，可以通过几种方法来求解，如代入法、凑方程法、用图像法等。

下面将介绍一种通过代入法求解二元二次方程的计算器在线。

我们可以通过代入法将二元二次方程转化为一元二次方程来进行求解。

具体的计算步骤如下：步骤一：将二元二次方程中的一元用另一个未知数表示出来，将其代入到方程中，得到一个一元二次方程。

步骤二：解一元二次方程，得到一元的值。

步骤三：将求得的一元的值代入到方程中，求得另一个未知数的值。

下面是一个简单的二元二次方程求解的计算器的代码：```Pythonimport mathdef solve_quadratic_equation(a, b, c):delta = b * b - 4 * a * cif delta < 0:print("No real solutions.")elif delta == 0:x=-b/(2*a)print("The only real solution is x =", x)else:x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)print("The real solutions are x1 =", x1, "and x2 =", x2) def solve_binomial_quadratic_equation(a, b, c, x):equation = a * x**2 + b * x + csolve_quadratic_equation(a, b, equation)def calculate_binomial_quadratic_equation(:print("Please enter the coefficients of the binomial quadratic equation ax^2 + bx + c = 0:")a = float(input("a = "))b = float(input("b = "))c = float(input("c = "))print("Please enter the value of x:")x = float(input("x = "))solve_binomial_quadratic_equation(a, b, c, x)calculate_binomial_quadratic_equation```此计算器可以通过输入二元二次方程的系数a、b、c，以及x的值来求解二元二次方程。

个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：谭盛德 授课时间：2013 年 8 月 2 日(星期 五 ) 16 : 00 ~ 18 : 00 郭海杰年级 高一 性别男教学课题 简单的二元二次方程组的解法教学目标1. 会用代入解简单的二元二次方程组 2．会用平方法解无理方程 3．熟悉分式方程的解法重点 难点 重点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法 难点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________ 第 4次课第四讲 简单的二元二次方程组的解法在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩ 分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ． 解：由(1)得：2y x = (3)将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或 把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或．说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；。

二元二次方程的解法
升初三的学生在九年级上册【人教版】会学到一元二次方程的解法，相比二次函数、圆与相似，一元二次方程较为简单，但是在竞赛类的考试当中常出现二元二次方程的求解，这对没有接触过类似题型的同学来说，解二元二次方程确是一个不小的挑战！接下来我们就一个例题来探讨二元二次方程的求解方法.
例题：求方程的实数解.
方法一：主元法
【分析】二元二次方程的求解没法直接像一元二次方程那般，直接求根公式或者因式分解.但一元二次方程的求解方法能不能给二元二次的求解提供思路呢？我们可以把x，y其中一者当作未知数，另一个当做常数.不妨把x当做常数，过程如下：
方法二：公式法
【分析】两个方程两个未知数，理论上来说没法求解，而既然要求出二元二次方程的实数解，那说明二元二次方程左边可以化为非负数和为0的题型.过程如下：
方法三：偏导法
【分析】以上两种方法用来做解答题都是比较不错的.但是对于选择填空题花的时间过多，对于理解能力强的孩子可以介
绍一下求偏导的方法.求偏导虽然要大学阶段才会系统学习，但是教会同学们遇到此题如何操作即可！
二元二次方程的解法还有其它，但是百变不离其宗，极客张志航老师就先给大家介绍这三种方法，有兴趣的还可以自己研究哦！。