2014年折教版数学八上能力培优2.2等腰三角形

练.求证：等腰三角形两腰上的中线相等
做一做:
1、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它 的周长是（ D ） （A）14 （B）15 （C）16 （D）14或16
2、等腰三角形的周长是30，一边长是12，则 另两边长是__1_2_、__6_或__9_、__9__
请回答下列问题：
（1）等腰三角形的一边长为3，一边长为5， 那么它的周长是__1_1_或__13
分析：已知等腰三角形三边长，说明必 有两边相等，但必须分三种情况分析 .同时 当计算完毕后，注意要满足三角形三边的关 系。
在平面内,分别用3根、５根、６根火柴首尾顺次相 接搭三角形，多少根火柴棒能搭成等腰三角形? 等 边三角形呢？
火柴数 3
5
6
78
9
示意图
形状
等边 等腰 等边
等腰
等腰 等边或等腰
三角形 三角形 三角形 三角形 三角形 三角形
如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线
,E、F是AB上的点,请在AD上找一点P,使
PE+PF的值最小.
A
E
E’
P F
B
C
D
如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC,腰AC的中垂
线EF交BC于E，交AC于F，已知△ABC的
周长为11，AC=4，则△ABE的周
长是
；
C
F
E
A
B
有一个等腰三角形，三边分别是3x-2, 4x-3,6-2x,求等腰三角形的周长。
B
DE∥BC。
A
E
P
C
3) 分别在AD、CE上任取一点F、H，请你任意选 择其中的一点, 作出它关于AP的对称点。 A
F
G

你的判定。 A
解: 点D，E关于AP对称，且DE∥BC.
理由如下：
∵AP是∠BAC的平分线，AB=AC，AD=AE
D
E
∴当把图形沿直线AP对折时，线段AB与
AC重合，线段AD与AE重合，
∴点B，C关于直线AP对称. 点D，E也关于直线AP对称.
B
P
C
∴BC ⊥ AP， DE⊥ AP，∴DE ∥ BC
3、会用圆规直尺作等腰三角形；
4、在解决等腰三角形的计算题时，要考虑到分类讨论 和方程思想。
Thank you!
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争

合作学习
在透明纸上任意画一个等腰三角形ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD
所在的直线把△ABC对折，你发现了什么？由此你得出什么结论？
A
B
D
A
C
D
C (B)
直线AD两侧的图形能够完全重合
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线
是它的对称轴
讲授新知
三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是一类特殊的等腰三角形。
∵ AB=AC（已知）
且∵ ∠A=∠A（公共角）
∴ △ABE ≌ △ACD（AAS）
全等三角形的对应边相等
∴ BE=CD（___________________________）
B
C
举一反三
5.如图，将矩形ABCD纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，
ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG=66°，则∠BGE=
相等的两边都叫做腰，
腰
底角
底边
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
C
腰和底边的夹角叫做底角.
做一做
1、如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。你能在图中找到几个等腰三角形？
分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。
A
D
B
等腰三角形
C
腰
底边
△ABC
AB和AC
BC
顶角
∠A
△ABD
AD和BD
AB
∠ADB
如图，AB=BC=AC，△ABC是一个等边三角形
A
B
想想等边三角形有几条对称轴？
C
有3条对称轴
例题讲解
例2:如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB，AC上的点，且AD=AE，

y
2A
O 2B
x
变式训练
(2).如图，若把第1题的点A的坐标改为（3,1），其它条 件不变，求符合条件的P点的坐标。
y
A(3,1)
1
a1
O a P 3-a D
x
回顾·体会·分享
我们回顾了……
我们体会到…… 我们能从复杂图形中寻找……
有些烦恼都是自找的，因为怀里揣着过去而 现在的努力。有些痛苦也是自找的，因为无 而一直活在未来的憧憬里。决定一个人成就 是靠天，也不是靠运气，而是坚持和付出， 地做，重复的做，用心去做，当你真的努力 了，你会发现自己潜力无限！再大的事，到 就是小事，再深的痛，过去了就把它忘记， 世界都抛弃了你，——你依然也要坚定前行 你就是自己最大的底气。埋怨只是一种懦弱 努力，才是人生的态度。不安于现状，不甘 就可能在勇于进取的奋斗中奏响人生壮美的 原地徘徊一千步，抵不上向前迈出第一步；
等腰三角形复习
（一）回顾
A
如图是一张等腰三角形的纸片， 根据图形你能得到哪些结论？
∟
B
C
D
（二）能工巧匠
这张纸片，被撕去了一部分，恰巧从顶点A撕开，剩下 部分如下图所示，你能把这个等腰三角形补全吗？
A
B
（二）能工巧匠
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.
A
B
C
（二）能工巧匠
这张纸片，被撕去了一部分，恰巧从顶点C撕开，剩下 部分如下图所示，你还能把这个等腰三角形补全吗？
腰
分类讨论思想 当边的身份不明确时
注意：
底边
根据三角形的三边关系判断三边是否能构成三角形
（三）小试身手
2.等腰三角形的一个角是50°，则它的顶角

例1
如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC
A
上的点，且AD=AE.AP是△ABC的角平分线.点D，E关于
AP对称吗？DE与BC平行吗？请说明理由.
解:
点D，E关于AP对称，且DE∥BC.
理由如下： ∵AP是∠BAC的平分线，AB=AC，AD=AE ∴等腰三角形ABC和等腰三角形ADE都是 以直线AP为对称轴的轴对称图形 ∴点B，C关于直线AP对称.点D，E也关于 直线AP对称. B
1、如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。
你能在图中找到几个等腰三角形？说 出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。
B
等腰三角形 腰 底边 顶角
A
D C
△ABC △ABD
AB和AC AD和BD
BC AB
∠A ∠ADB
如图，五角星中有 10 个等腰三角形。
2.已知线段a,b(如图）.用直尺和圆规作等
∴此时三角形的周长为5×2+3=13.
跟踪练习：
等腰三角形的两边长分别为2和7，那么它 的周长是多少？
3、已知（如图）AB，AC是等腰△ABC的两腰，AD平分
∠BAC， △BCD是等腰三角形吗？说明理由。
A
B
D
C
课内练习：书本P55 第二题
1. 等腰三角形的概念
2. 会画等腰三角形
3. 等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是 轴对称图形， 顶角平分线所在的直线是 它的对称轴
腰三角形ABC，使AB=AC=b,BC=a.
a
b
例1 求证：等腰三角形两腰上的中线相等
合作学习：
做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰
三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，

E B
G
F C B
E
F G C
3.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，说 明∠1=∠2的理由。
A
1
B D
2
E C
1.如图，AB=AC，D是BC上一点，AD=AE， ∠BAD=40°，求∠CDE的度数。
A AB AC, B C 解 通过以上的解答大家发现当哪个角 BAD 的度数为定值时, ∠CDE为定值 . AD AE, ADE AED E AED CDE C B C ADC CDE ADE D B BAD CDE AED CDE CDE C BAD 2CDE 1 1 CDE BAD 40 20 2 2
如图所示,量出AC的长,就可知道河的 宽度AB,你知道为什么吗?
请在纸上任意画线段BC,分别以点B和点C 为顶点,以BC为一边,在BC的同侧画两个相 等的角,两角的终边相交于点A.
请同学们观察并思考:
线段AB与AC相等吗?
B
A
C
从中你发现了什么规律呢?
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形 是等腰三角形. 简单地说,在同一个三角形中,等角对等边。 用符号语言表示为：
∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角的性质） ∴ ∠ABC=∠DAC－∠C=60°－ 30°= 30° ∴ ∠ABC= ∠C ∴ AB= AC
B
想一想：你还有其他的 测量方法吗？
1.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判断 △ABC是什么三角形，为什么?
△ABC是等腰三角形, 因为∠B=65°, ∠A=50°, 所以
2.如图，GF⊥AF于F，且AB=BC=CD=DE=EF=FG， 求∠A的度数。

初中数学
知识点3：等边三角形的概念及轴对称性 7．等边三角形对称轴的条数是( C ) A．1条 B ．2 条 C ．3 条 D ．4 条
8．有一条边长为6 cm，且周长是18 cm的等腰三角形是 ____________ 等边三角形 ．
初中数学
初中数学
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE＝BD＝CE＝BC，EF＝DF， 则图中的等腰三角形的个数是( B ) A．11个 B．12个
初中数学
顶角平分线 所在直线是它的 2．等腰三角形是轴对称图形，___________ 对称轴． 练习2：已知AD是等腰△ABC的顶角平分线，∠BAD＝60°，则 30 ° ∠B＝ _______ ． 3．三条边都相等的三角形叫做 ____________． 等边三角形 练习3：已知等边三角形的周长为3，则其边长为_______. 1
初中数学
初中数学
16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，E为BC上一点，点A和点E关于 BD对称，点B和点C关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．
解：∵点A与点E关于BD对称，∴∠ABD＝∠DBC.又∵
点B和点C关于DE对称，∴∠DBC＝∠C.∵∠A＋∠ABC＋
∠C＝180°，∠A＝90°，∴∠ABD＋∠DBC＋∠C＝90°，
直平分BC，∴DB＝DC，∴△BCD是等腰三角形
初中数学
15．如图，已知一个等腰三角形底边的长为5 cm，一腰上的中线把 其周长分成的两部分的差为1 cm，求等腰三角形的腰长．
解：设腰长为 x cm，①当腰长和腰长的一半比腰长的一半 1 1 和底边的和大时 ，(x＋ x)－ ( x ＋5) ＝1， 解得 x ＝6；②当 2 2 1 腰长和腰长的一半比腰长的一半和底边的和小时，( x ＋5) 2 1 －(x＋ x)＝1，解得 x＝4.综上所述，腰长为 6 cm 或 4 cm 2

B
C
①
②
（二）能工巧匠
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 即：在同一个三角形中，等角对等边。A
B
C
（二）能工巧匠
性质：等腰三角形是轴对称图形.
A
B
C
（三）小试身手
1、等腰三角形有两边长分别为2cm、3cm，
则其周长为__7_或__8____cm.
变式:若两边长为2cm、5cm,则其周长为___1_2_____cm.
腰
分类讨论思想 当边的身份不明确时
注意：
底边
根据三角形的三边关系判断三边是否能构成三角形
（三）小试身手
2.等腰三角形的一个角是50°，则它的顶角
为 50°或80°. 变式：等腰三角形的一个角是150°，则它 的顶角为 150°.
顶角
分类讨论思想 当角的身份不明确时
底角
注意：钝角和直角在等腰三角形中只能作顶角.
D B
A
P
E
C
变式训练 ★基本图形：角平分线+平行线
等腰三角形
如图，若P为∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线的交点， （2）中结论是否还成立；若成立，请说明理由；若不成立，请 探求新的数量关系.
A
D
E
P
B
C
F
(六)挑战自我
(1).如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点， 点A的坐标为（2,2），在数轴上取一点P，使得△OAP 为等腰三角形，求符合条件的P点的坐标。
y
2A
O 2B
x
变式训练
(2).如图，若把第1题的点A的坐标改为（3,1），其它条 件不变，求符合条件的P点的坐标。
y

画一画:
已知线段a，b（如图）用直尺和圆规 作等腰三角形ABC，使AB=AC=b， BC=aa。
b
2.2 等腰三角形
A
腰
顶 角
腰
底角 B
底角 C
底边
有两边相等的三角形叫等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角叫做底角.
例1
求证：等腰三角形两腰上的中线相等。
图形:
已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD、 CE是AC、AB边上的中线。
求证：BD=CE
用一用
如图，BE，CF是等腰⊿ABC的两腰AC，AB 边上的高，则BE与CF相等吗？为什么？
A
F
E
B
C
合作学习
在透明纸上任意画一个等腰三角形ABC，画出它的顶 角平分线AD（如图1），然后沿着AD所在的直线把△ ABC对折（如图2），你发现了什么？由此，你得出了 什么结论？
4、如图，正五角星中有几个等腰三角形？
10个
能力提升
1、如图,点D在AC上
,AB=AC=BD,AD=CD。
你能在图中找到几个等腰三角形？
说出每个等腰三角形的腰、底边
和顶等角腰。三角形
腰
底边
顶角
今天你学到了哪 些内容?
1. 等腰三角形的概念 2. 会画等腰三角形 3. 等腰三角形是轴对称图形， 4. 顶角平分线所在的直线是它
A
AHale Waihona Puke B DCC(B) D
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角 平分线所在的直线是它的对称轴。
题组一
1、已知等腰三角形的两边分别是4和6，则它 的周长是（ D ） （A）14 （B）15 （C）16 （D）14或16

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
D
B
C
如图，正方形上给定8个点，以这些点为 顶点，能构成多少个等腰三角形？
检测题
1、已知等腰三角形的腰长为5，求底边x的取 值范围。
2、已知等腰三角形的三边长a,b,c满足等式 a2b=bc2，证明：这个三角形为等腰三角形。
导学稿11、改为：x+2, 4-x, 8-2x
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月2日星期三2022/3/22022/3/22022/3/2 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/22022/3/22022/3/23/2/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/22022/3/2March 2, 2022 ❖4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/22022/3/22022/3/22022/3/2
找一找:
1、如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。 你能在图中找到几个等腰三角形？
A
D
B
C
合作学习：
如图，把等腰三角形纸片对折，让两腰AB、AC重叠 在一起，折痕为AD.
？等腰三角形的对称轴有几条？
探索: 你发现了什么?
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线 是它的对称轴。
试一试:
DE与BC平行吗？请说明理由。 A
解：点D，E关于AP对称，且DE∥BC.
理由如下：∵AB=AC， AP是∠BAC的平分线，

万向思维精品图书
火3 5
6
柴
棒
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示
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意
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图●
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●
●
7
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●
●
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●●
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●
●
形
等边 三角
等腰 三角
等边三角形
状形
形
等腰三角形
8
9
●
●
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●
●
● ●●
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● ●●
●
●
●
●
●● ●●
等腰三角形
●●
●
●
等边
三角 形
等腰
三角 形
万向思维精品图书
找一找:
A
1、如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。
你能在图中找到几个等腰三角形？
说出每个等腰三角形的腰、底边
D
和顶角。
B
C
等腰三角形
腰
底边Hale Waihona Puke 顶角△ABC △ABD
AB和AC AD和BD
BC ∠A AB ∠ADB
万向思维精品图书
如图，五角星中有 10 个等腰三角形。
万向思维精品图书
例2 在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，
且AD=AE 。AP是△ABC的角平分线。点D，点E关于AP对 称吗？DE与BC有怎样的位置关系？请说明你的判断。
A
D
E
B
P
C
万向思维精品图书
问2：若AE≠AF，那么点E，点F关于AP对称吗？ 你能作出点E，点F和点Q关于AP对称的对称点吗？

A
E
B
D
C
1.如图,AD是等腰三角形ABC的角平分 线（对称轴），点E是腰AB上的任意一 点，你能找到E关于AD的对称点吗？
A
E
F
EF与BC的位置关系 能判断吗？
B
D
C
2.如图，五角星中有__1_0__个等腰三角形
E
A
F
J
D
G
I
H
B
C
2.如图，五角星中有_____个等腰三角形
E
A
F
J
D
G
I
H
B
b
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分 线所在的直线是它的对称轴.
在透明纸上任意画一个等腰三角形ABC，画出
它的顶角平分线AD（如图），然后沿着AD所在的
直线把△ABC对折（如图），你发现了什么？由此
你得出什么结论？
A
A
B
C
D
D
C（B）
例 如图，在△ABC中，AB=AC，D，E 分别是AB，AC上的点，且AD=AE.AP是 △ABC的角平分线.点D，E关于AP对称吗？ DE与BC平行吗？请说明理由.
C
2.如图，五角星中有_____个等腰三角形
E
A
F
J
D
G
I
HBLeabharlann C2.如图，五角星中有_____个等腰三角形
E
A
F
J
D
G
I
H
B
C
2.如图，五角星中有_____个等腰三角形
E
A
F
J
D
G
I
H
B
C
2.如图，五角星中有_____个等腰三角形

解 : ① 若3x-1= x+1，则解得x=1，这时等腰三角形三边分别为2、
2、5，但是2+2<5，所以x=1不合题意，舍去！
②若3x-1= 5，解得x=2，这时等腰三角形三边分别为5、3、5，
（ B ）
A．4或3或2
B．4或3
C．4
D．3
【解析】设腰长为x，那么底边长为9-2 x ，∴2 x ＞9-2
x ；9-2 x ＞0；解得：2.25＜ x ＜4.5，∵ x为整数，∴ x
为3，4．∴腰长为4或3．
合作学习
在透明纸上任意画一个等腰三角形ABC，画出它的顶角平分线
AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC对折，你发现了什么？
∴∠CBE=∠1，
而∠CBE+∠2=60°，
∴∠1+∠2=60°．
故选C．
达标测评
3.如图，在正方形ABCD所在的平面内，画出与正方形各边均
构成等腰三角形的点P，并指出这样的点有几个.
解：符合条件的点P有9个，如图所示.
达标测评
【解析】1.AC、BD的交点P1显然符合条件,这样
的点只有1个
1.在正方形内作等边三角形ABP2,P2与各边组成
1.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和3cm，则该等腰三角
形的周长为（
C）cm．
A．8
B．7
C．8或7
D．无法确定
【解析】当2为底时，其它两边都为3，2、3、3可以构成三角形，
周长为8；
当2为腰时，其它两边为2和3，因为2、2、3可以构成三角形，周
长为7．
2.一个等腰三角形，周长为9，其余各边均为整数，则腰长为
浙教版
八年级上
等腰三角形