等腰三角形培优训练
实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：
1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形； 2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形；
3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；4．用“三角形中一个外角是不相邻内角的2倍关系”构造等腰三角形．
例1 如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根．
例2如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=2
1BD ．求证：
BD 是∠ABC 的角平分线．
例3如图在△ABC 中，已知∠C ＝60°，AC>BC ，又△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC
(1)证明：△C ′BD ≌△B ′DC ； (2)证明：△AC ′D ≌△DB ′A ；
(3)对△ABC 、△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′，从面积大小关系上，你能得出什么结论?
(1)是基础，(2)是(1)的自然推论，(3) 由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键． 例4 如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，这个六边形的周长是 cm ． 设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为60°，利用60°构造等边三角形是解本例的关键．
例5 如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
AB 既可作等腰三角形PAB 的腰，也可作为等腰三角形PAB 的底，故要思考全面，才能正确地得出符合条件的P 点的个数．
例6如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B=2∠C ，求证：AB 十BD ＝CD ．
如何利用条件∠B=2∠C?又怎样得到AB+BD?不同的思考方向，会找到解题的不同方法．
例7如图，在五边形ABCDE 中，∠B ＝∠E ，∠C=∠D ，BC=DE ，M 为CD 中点，求证：AM ⊥CD ．
证明∠AMC=90°或应用等腰三角形“三线合一”的性质，通过作辅助线将五边形问题恰当地转化为三角形问题是解本例的关键．
等腰三角形练习题
1、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形底边长为 ．
2、如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，
若BF ＝AC ，则∠ABC 的大小是 ．
3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠B=36°，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD ，则图中等腰三角形共有 个．
4、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC=2
1∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．5、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点F 、F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形，③S AEPF 四边形=
21 S ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，上述结论中始终正确的是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
6、如图，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以
D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于
E 、
F ，连
结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( )
A ．∠AED>∠AGF
B ．∠AED ＝∠AGF
B ．
C ．∠AED<∠AGF
D ．不能确定
7、如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是( )
A ．AC>2A
B B ．A
C ＝2AB C ．AC ≤2AB
D ．AC<2AB
8、等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ． 120°或150°
D ．30°或120°或150°
9、在等边正方形ABCD 所在的平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PAD 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( )
A ．7个
B ．8个
C ．9个
D ．10个
10、如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC ，D 为DC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点
F ．求证：
AB 垂直平分DF ．
11、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB ＝AC ，D 是△ABC 内一点，∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD ＝BA ．
12、如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．
