小学数学 数学故事 梅森素数：第47个梅森素数被发现

大素数新纪录作者：胡作玄来源：《百科知识》2008年第24期2008年8、9月，也就是刀世瞩目的奥运会和残奥会期间，另一个领域也就是数学领域的世界纪录被刷新，美国人和德国人分别发现了当前已知的最大素数——第45个和第46个梅森素数。

让我们来解释一下什么是梅森素数。

素数这个概念大家都知道，也就是一个正整数，除了1和它本身之外，没有其他因子的数。

现在我们规定1不是素数。

因此，最小的素数是2，它是惟一的偶素数，其他的素数均为奇数。

这样10以下的素数有4个，它们是：2，3，5，7；100以下的素数有25个。

大部分正整数不是素数，我们称为合数，它们总可以分解成为素数的乘积，也说是它们有除1和数本身之外的因子。

例如21=3×7，91＝7×13，显然，在一定范围之内，合数要比素数多得多，不过，欧几里得早已证明素数有无穷多。

虽然任何素数之后肯定还有素数，可是人们并不知道一个给定的数是不是素数。

理论上讲，只要你有足够的时间和精力就可以完成，也就是对于整数Ⅳ，用小于或等于根号N的素数去除它，如果都除不尽，那Ⅳ就是素数。

这事看起来容易做起来难。

如果Ⅳ不大，如Ⅳ只有10位，也许可以用5位以内的素数一个一个去除，看看是否除得尽。

可是如果Ⅳ为100位，就根本办不到了，因为我们还不知道50位以内的素数到底有多少，实际上至今25位以内的素数有哪些，我们也不清楚。

因此，要想摘取最大素数的桂冠，还得另觅他途。

找一种特殊形式的素数，这就是梅森素数。

梅森是位教士，是科学的组织者，他那时——17世纪上半世纪，没有科学期刊，每个人的工作通过书信传到他那里，然后，他再传给别人，这样大家都可以分享最新的知识。

梅森自己也对数学有极大兴趣，他发现：如果2p-1是素数，则p一定是素数，因此后来人们就手把2p-1型的素数，称为梅森素数，常常简记为Mp。

但是，这定理反过来是否对呢?也就是：如果p是素数，2p-1是否素数?梅森试了试最小的素数，当p=2，3，5，7时，2p-1分别等于3，7，31，127，恰巧都是素数，于是他猜想p=13，17，19，31，67，127，257时，2 p—l也是素数。

梅森素数的分布规律梅森素数是指形如2^p-1的素数，其中p也是素数。

梅森素数的分布规律一直是数学家们研究的热点之一。

在这篇文章中，我们将探讨梅森素数的分布规律以及其背后的数学原理。

我们需要了解梅森素数的特点。

梅森素数的形式非常特殊，只有当p是素数时才有可能是梅森素数。

因此，梅森素数的数量非常有限。

目前已知的梅森素数只有47个，最大的一个是2^82,589,933-1。

这个数字有24,862,048位，是目前已知的最大素数。

那么，梅森素数的分布规律是什么呢？数学家们发现，梅森素数的数量并不是随机分布的，而是呈现出一定的规律性。

具体来说，梅森素数的数量随着p的增大而减少。

这个规律被称为梅森素数定理。

梅森素数定理的数学表达式为：如果2^p-1是素数，那么p也必须是素数。

这个定理的证明非常复杂，需要运用到数论、代数学等多个数学分支的知识。

但是，我们可以通过一些简单的例子来理解这个定理。

例如，当p=2时，2^p-1=3，是一个素数。

当p=3时，2^p-1=7，也是一个素数。

但是当p=4时，2^p-1=15，不是一个素数。

因此，梅森素数定理成立。

梅森素数的分布规律不仅仅是一个数学问题，它还涉及到计算机科学、密码学等多个领域。

梅森素数被广泛应用于随机数生成、加密算法等方面。

因为梅森素数的数量非常有限，而且它们的位数非常大，因此可以用来生成高质量的随机数，保证加密算法的安全性。

梅森素数的分布规律是一个非常有趣的数学问题。

通过研究梅森素数的分布规律，我们可以深入了解素数的性质，同时也可以应用到计算机科学、密码学等多个领域。

新发现的最大质数，那真的是非常非常的长啊要论数字位数，新近发现的最大已知质数比此前的最大质数还要长，长了几乎 500 万位。

中央密苏里大学（University ofCentral Missouri）某个分校区有一间计算机实验室，在它的 143 号房间里有一台标号为 5 的电脑，就是这台平日里并没有什么特别之处的台式电脑，把 2 的 74207281 次方减了一个 1 ，电脑在检查之后发现，除了 1 和它本身之外，这个结果不能被任何一个正整数整除——而这恰好符合了质数的定义。

这个巨大的数字实际上只能通过一个指数数学表达式表示出来： 274207281–1 。

此前已知的最大质数为 257885161–1 ，它只有大概 1700 万个数位。

这是已经运营了 20 年的志愿项目“互联网梅森质数大搜索”（Great Internet MersennePrime Search，简称 Gimps）发现的第 15 个质数。

“我一直对质数很感兴趣，”在退休之后创立了 Gimps 的乔治·沃特曼（George Woltman）说。

“我的时间很多很多。

”梅森质数指的是那些可以以 2n-1 的形式表示出来的质数（其中 n 是整数）。

它们是以法国神学家、数学家马丁·梅森（Marin Mersenne）的名字命名的，他在 17 世纪初时进行过相关研究。

比如说 3 就是一个梅森质数。

把 2 代入到 n 里以后，你就会发现 22−1=4−1=3。

但并不是所有整数代入这个表达式都会得到质数。

当 n=4 的时候，结果是 24−1=15 ，15 就不是质数，因为它能被 3 和 5 整除。

随着 n 变得越来越大，质数也变得越来越少，但人们总能发现更大的质数，只是发现的难度会大很多罢了。

统计起来，人们到现在只发现了 49 个梅森质数。

Gimps 利用的是其他闲置计算机来进行运算的。

志愿者们下载了免费的软件以后，如果没有人在用电脑，它就会默默地在后台通过计算寻找质数。

梅森素数：第47个梅森素数被发现挪威计算机专家奥德·斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，最近发现了第47个梅森素数，该素数为“2的42643801次方减1”。

它有12837064位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度超过50千米!梅森素数的诱惑素数是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数(如2、3、5、7等等)，素数有无穷多个。

而形如“2的P次方减1”（其中指数P为素数）的素数称为梅森素数，以17世纪法国数学家梅森的名字命名。

梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。

早在公元前4世纪，古希腊数学大师欧几里得就开创了探寻“2的P次方减1”型素数的先河。

他在《几何原本》中论述完全数时就曾研究过这种特殊的素数。

由于梅森素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行研究和探寻。

2300多年来，人类仅发现47个梅森素数。

由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数学珍宝”。

梅森素数的研究难度极大；它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。

1772年，被誉为“数学英雄”的欧拉在双目失明的情况下，以惊人的毅力靠心算证明了“2的31次方减1”是第8个梅森素数，该素数有10位。

特别值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们探究梅森素数提供了方便；后来这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。

网格技术来助力网格（Grid）这一崭新技术的出现使梅森素数的探究如虎添翼。

1996年初美国数学家及程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用；这就是著名的GIMPS项目。

该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。

为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找新的更大的梅森素数而设立的奖金。

稀世珍奇的梅森素数作者：石永进成启明来源：《青少年科技博览（中学版）》2010年第01期2009年4月，挪威计算机专家斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，发现了第47个梅森素数，该素数为242643801-1，即“2的42 643 801次方减1”。

它有12 837 064位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度超过50千米!专家们认为，这一重大发现是数学研究和计算技术中最重要的成果之一。

梅森素数的由来素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2，3，5，7等。

公元前三百多年，古希腊数学家欧几里德用反证法证明了素数有无穷多个，并提出，了少量素数可写成2p-1(其中指数P为素数)的形式。

此后许多数学家，包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯等都研究过这种特殊形式的素数，而17世纪的法国著名数学家梅森是其中成果最为卓著的一位。

由于梅森学识渊博，才华横溢，并是法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，数学界就把2p-1型的数称为“梅森数”，并以M。

记之；如果M。

为素数，则称之为“梅森素数”。

两千三百多年来，人们呕心沥血，寻寻觅觅，仅发现了47个梅森素数。

由于这种素数稀世珍奇，因此被人们誉为“数学珍宝”。

梅森素数历来是数学研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。

艰辛的探究历程“看似平凡最崎岖，成如容易确艰辛”(王安石诗)。

梅森素数的研究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。

1772年，有“数学英雄”美誉的欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31(即231-1=2147483647)是一个素数。

它具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。

欧拉的毅力和技巧都令人赞叹不已，难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。

”梅森素数的探究不仅极富挑战性，而且对研究者来说有一种巨大的荣誉感。

梅森素数梅森素数素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。

2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。

由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。

可能你还是不太了解，那就再详细点。

了解梅森素数还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7……”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。

还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。

“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年来，电脑内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。

现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前……别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜……你已经迟到了二千年。

在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。

很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！当P＝11、13、17、19、23……的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。

人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。

例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于或等于6的素数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：像5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。

龙源期刊网 最大素数“诞生记”作者：任飞来源：《知识窗》2016年第04期2016年1月7日，数学界诞生了一个新的“生命”——第49个“梅森素数”，它被美国密苏里中央大学数学家柯蒂斯·库珀发现了。

它是迄今为止最大的素数——“2的74207281次方减1”，有2200多万位，比3年前的“48阿哥”多了500多万位。

如果用普通五号字体打印出来，长度将超过65公里。

如果你想把它逐位读出来，按照中央电视台每分钟300个音节的语速，要不眠不休花上51天。

那么，素数到底有什么魅力？值得数学家们废寝忘食地孜孜以求呢？素数是指除了自身和1，不能被其他数整除的数，比如2、3、5、7、11等，堪称数学中的“原子”，它们在密码学、计算机等诸多领域都得到了有效应用。

陈景润老先生一辈子奋斗不已的“哥德巴赫猜想”，就是一个关乎素数的问题。

而“梅森数”是能写成“2的p次方减1”的形式，且p是素数的数。

如果“梅森数”恰好是一个素数，则是“梅森素数”。

自从17世纪法国数学家马林·梅森提出这个概念以来，为了寻找“梅森素数”的足迹，一代又一代的数学家们付出了艰苦卓绝的努力。

在手算时代，人类一共只发现了12个“梅森素数”。

而1952年，美国数学家拉斐尔·鲁宾逊使用大型计算机搜索，短短几个小时内，就找到了5个“梅森素数”。

1995年，程序设计师乔治·沃特曼编制了一个“梅森素数”寻找程序，并将其发布在互联网上，发动广大网民共同搜寻“梅森素数”。

这一项目，被称为GIMPS（互联网“梅森素数”大搜索）项目。

截至目前，已有192个国家的60多万人使用120多万核的CPU参与了GIMPS项目。

而2016年，第49个“梅森素数”露面，可算作给GIMPS项目诞生20周年的献礼。