质数 算术基本定理

算术基本定理和欧拉定理是数论中两个非常重要的定理，它们在数论研究中有着广泛的应用和深远的影响。

本文将介绍这两个定理的数学原理和相关应用。

首先来看算术基本定理。

算术基本定理，又被称为质因数分解定理，它指出任何一个大于1的整数，都可以被唯一地表示为几个质数的乘积。

简单来说，就是一个数可以被因数分解为质因数的乘积。

例如，24可以分解为2的3次方和3的1次方，即24=2^3 × 3^1。

这种分解的方式是唯一的，也就是说质数分解是唯一的。

算术基本定理可以帮助我们解决一些数论问题。

例如，我们可以通过质因数分解来判断一个数是否为质数。

如果一个数只能被1和它本身整除，那么它就是一个质数。

我们可以将这个数进行质因数分解，如果只有一个质因数，那么这个数就是质数。

另外，算术基本定理还可以用于求一个数的因数个数。

通过质因数分解，我们可以得到一个数的所有质因数及其指数，将每个指数加1后相乘，即可得到该数的因数个数。

接下来介绍欧拉定理。

欧拉定理是一个与模运算有关的定理，它通过模运算来描述了指数运算的一些性质。

具体来说，欧拉定理指出对于任何正整数a和模数n，如果a和n互质（即a和n没有公共质因数），那么a的φ(n)次方模n 的结果等于1，其中φ(n)表示小于n且与n互质的数的个数。

欧拉定理有许多重要的应用。

首先，它可以用于快速求幂运算的模运算结果。

对于给定的底数a、指数b和模数n，欧拉定理可以帮助我们将指数运算转化为模运算，从而减少运算量，提高运算效率。

其次，欧拉定理在密码学中应用广泛。

基于欧拉定理的RSA加密算法是目前最常用的公钥加密算法之一。

在RSA 加密算法中，选取两个不相等的质数p和q，并计算它们的乘积n=p×q，然后选择一个整数e，使得e与φ(n)互质。

e和n的组合就是公钥，而p、q和一些已知的信息则是私钥。

欧拉定理的性质保证了在公钥和私钥之间的转换是可逆的，从而实现了安全的通信。

总而言之，算术基本定理和欧拉定理是数论中的两个重要定理。

年 级五年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题质数 合数 算术基本定理（二） 编稿老师张任峰 一校 林卉 二校 黄楠 审核 张舒上一讲我们学习了质数、合数的概念、特征和判断方法，本节介绍算术基本定理。

首先回顾分解质因数的知识。

同学们已掌握如何用短除法将一个自然数分解质因数，比如23218⨯=。

正整数分解为质数乘积的方式是唯一的。

质因数：质数p 是某个整数的约数，那么质数p 是这个整数的质因数。

比如：2是18的质因数。

互质：两个整数没有相同的质因数，那么这两个整数互质。

比如：9、8两个数互质，相邻整数互质。

由上述定义可知，1和任何整数互质。

算术基本定理（唯一分解定理）：任何大于1的自然数都可以表示成有限个质数的乘积的形式，并且表示方法唯一。

23326⨯=⨯=视作同一种表示方法。

例1 把2、5、14、24、27、55、56、99分成乘积相等的两组。

分析与解：乘积的质因数来自乘数的质因数，所以先要将这8个数分解质因数，再对分解的结果加以分析。

两组乘积相等，质因数就要平均分配。

把这8个数分解质因数为1137211533272522333⨯⨯⨯⨯⨯、、、、、、、观察质因数3，得到：33与1133223⨯⨯、在不同组； 观察质因数11，得到：1131152⨯⨯、在不同组； 观察质因数7，得到：72723⨯⨯、在不同组。

所以分组方式如下：33、115⨯、723⨯、2；323⨯、1132⨯、72⨯、5。

即2565527、、、一组；5149924、、、在另一组。

例2 两个连续两位数乘积的末尾最多有几个0？分析与解：整数末尾有几个0，即为最多是10的几次方的倍数，取决于质因数分解式中2、5的次数。

两个连续的两位数不可能都是5的倍数，所以质因数5来自其中一个两位数，最多有2个，那么乘积末尾最多有两个0。

只有3个两位数即25、50、75含2个5，计算含这些数的乘积：5700767555507574255051502450504965026256002524=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯ 乘积末尾最多有2个0。

数论的研究对象是整数，也就是1、2、3、……这样的数。

数论中第一重要的概念是质数，所以我们先要明确质数、合数的概念，然后讲解如何判断一个数是不是质数。

在此基础上介绍算术基本定理。

知识梳理质数的定义：一个自然数如果无法写成两个大于1的整数的乘积，就是质数。

合数的定义：一个自然数如果可以写成两个大于1的整数的乘积，就是合数。

注意：自然数中，0和1既不是质数也不是合数。

2是质数中唯一的偶数。

判断一个数是否为质数的方法：以229为例。

首先，不超过229的最大平方数是不超过15的质数有2、3、5、7、11、13，逐个试验这些质数是否能除尽229，发现都是除不尽的，那么229是质数。

一个自然数是质数p的倍数，并且这个自然数是质数，那么这个自然数就是p。

除了2或5以外，以5或偶数结尾的数是合数。

质数有无穷多个。

例1 （1）判断下面的数是否为质数：101001010001010000101；123456789。

（2）2的100次方再减去1，差是否为质数？（3）2的100次方再加上5，和是否为质数？分析与解：（1）101001010001010000101是101的倍数，所以是合数。

123456789的数字和是3的倍数，所以是合数。

（2），所以其差是合数。

（3）（mod 3），所以（mod 3），（mod 3），所以3能整除，且大于3，所以其和是合数。

例2 一个两位数是质数，交换十位和个位后仍然是质数。

这个两位数是多少（十位与个位不同）？分析与解：这个数的数字中没有偶数，因为偶数作个位数的两位数一定是偶数，并且大于2，是合数。

同理数字中没有5，以5结尾的两位数是合数，有约数5。

可能出现的数字有1、3、7、9。

由枚举法得到符合条件的两位数有13、31、17、71、37、73、79、97。

例3一个质数加4或加8都是质数，求这个质数。

分析与解：解法是“特殊模”。

特殊模可以解很多超难的问题，难点在于模的选取。

这道题用模3考查3个质数。

学院学术论文题目:质数和算术基本定理学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：【摘要】质数是数论研究的核心，许多中外闻名的题目都与素数有关。

除1外任何正整数不是质数即是合数。

判断一个已知的正整数是否是质数可用判别定理去实现。

判别定理又是证明素数无穷的关键。

1既不是质数也不是和数。

1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。

算术基本定理是整数理论中最重要的定理之一，既任何整数一定能分解成一些素数的乘积，而且分法是唯一的，不是任何数集都能满足算术基本定理的，算术基本定理为我们提供了解决其他问题的理论保障。

【关键词】质数；算术基本定理；费马数；一质数的定义：指在一个大于1的整数中，如果它的正因数只有1及它本身，就叫作质数（或素数）；否则就叫作合数。

依据定义得公式：设A=2n+b=(n-x)(n+y),除n-x=1以外无正整数。

故有：y=（b+nx)/(n-x) (x<n-1)无正整数，则A为素数。

因为x<n-1,而且n-x必为奇数，所以计算量比常规少很多。

100以内的质数（素数）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59, 61,67,71,73,79,83,89,97 （共25个）二定理的应用:1. 素数的个数无限多（不存在最大的素数）证法一：（一）学过初中的同学都知道n!与n!+1互质。

故n!与1、2、3、…..n-1、n互质那么n!+1有2种可能（1）n!+1为素数。

(2)n!+1为合数（1）设a=n!+1为素数集合A={x|0<x≤n x∈N}有b个素数，则集合B={x|0<x≤n!+1 x∈N}内至少有b+个素数（2）设a=n!+1为合数则在集合B\A中至少有2个元素可以被a整除易证：c=min{x|x∈B\A 且a/x=h h∈N}为素数。

同（1）设集合A内有b个素数。

则集合B 内至少有b+1个素数综合（1）、（2）可得：设集合A={x|0<x≤n x∈N}有b个素数，则集合B={x|0<x≤n!+1 x ∈N}内至少有b+个素数。

质数规律公式质数是指只能被1和自身整除的自然数，例如2、3、5、7、11等。

寻找质数一直是数学领域中的经典问题，其规律和公式也一直备受关注和研究。

虽然目前还没有找到质数的普遍规律，但是有一些相关的参考内容可以提供给人们进行进一步研究和探索。

1. 质数定理（Prime Number Theorem）：质数定理是研究质数分布的重要定理之一，由法国数学家Jacques Hadamard和Charles Jean de la Vallée Poussin分别在1896年独立提出。

质数定理表明，在自然数N趋近无穷大时，质数的数量大致接近于N/ln(N)，其中ln(N)表示以e为底的N的自然对数。

虽然这个定理不能直接给出质数的具体值，但是它对质数分布的数量特征提供了重要的参考。

2. 伯努利数（Bernoulli Number）：伯努利数是以瑞士数学家Jakob Bernoulli和Johann Bernoulli命名的一组重要数列。

虽然伯努利数与质数的直接关系并不明确，但是它们在数论中起到了重要的作用。

一些数论研究表明，伯努利数与质数的某些特征存在一定的关联，例如它们在一些质数的取值上可以相互补充和衍生。

3. 费马小定理（Fermat's Little Theorem）：费马小定理是法国数学家Pierre de Fermat在17世纪提出的重要定理之一，它建立了质数与幂的关联性。

费马小定理表明，如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a^p-1与p互质。

这个定理为后续研究质数的降幂表示和判断提供了一定的依据，也加深了人们对质数的认识。

4. 线性筛法（Sieve of Eratosthenes）：线性筛法是一种用于求解质数的有效算法，由希腊数学家埃拉托斯特尼在公元前3世纪提出。

该算法首先将自然数从2开始逐个标记，然后不断筛选掉它的倍数，最终剩下的标记即为质数。

线性筛法可以有效地找出一定范围内的质数，对于寻找质数的规律和公式有重要的实践意义。

关于质数的归纳总结质数，也被称为素数，是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。

质数在数学中具有重要的地位和应用。

本文将对质数的性质、分布规律以及相关应用进行归纳总结。

一、质数的性质1. 唯一分解定理唯一分解定理，也称为质因数分解定理，指出任意一个大于1的自然数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积。

这就意味着质数在因数分解中起到了基础的作用。

2. 無窮性质数是无穷的。

这一结论是由希腊数学家欧几里得在公元前300年左右给出的证明。

3. 两个质数的性质两个质数之间必有一个合数，即非质数。

这是因为两个质数之间不存在其他正整数可以整除它们，所以它们的乘积必定是一个合数。

二、质数的分布规律1. 素数定理素数定理指出，当自然数n趋向于无穷大时，小于或等于n的质数的个数近似于n/ln(n)。

其中ln(n)代表自然对数。

2. 质数随机性虽然质数并没有明确的分布规律，但质数在数值上具有随机性，也称为“质数的随机性”。

这意味着质数在一定范围内分布均匀，不能简单地按照规律找到下一个质数。

三、质数的应用1. 加密算法质数在密码学和加密算法中扮演着重要的角色。

例如，RSA加密算法利用质数的唯一分解定理来进行数据的加密和解密过程。

2. 素性测试素性测试是判断一个数是否为质数的方法。

该方法在计算机科学和密码学中具有广泛的应用。

3. 素数筛法素数筛法是一种筛选出一定范围内所有质数的高效算法。

其中最常用的算法之一是埃拉托斯特尼筛法，它通过不断排除倍数的方式找出质数。

结语质数作为数学领域的一部分，在数论和应用数学中扮演着重要的角色。

通过了解质数的性质、分布规律和应用，我们可以更好地理解质数的奥妙，并应用于实际问题中。

无论是在密码学领域还是在其他领域，质数都发挥着不可或缺的作用，为我们提供了强大的数学基础。

算术基本定理质数公式算术基本定理是数论中的一个重要定理，它为我们理解整数的结构和性质提供了关键的基础。

而质数公式，则是在这个定理的基础上，数学家们一直追寻和探索的神秘领域。

咱先来说说算术基本定理。

它告诉我们，任何一个大于 1 的整数，都可以唯一地分解成质数的乘积。

比如说12 吧，它可以分解成2×2×3。

这里的 2 和 3 就是质数。

你看，通过这种分解，我们就能更清楚地了解一个整数的“构成成分”。

那质数又是什么呢？质数就是那些只能被 1 和它本身整除的数。

比如说 2、3、5、7 等等。

可别小看这些质数，它们就像是整数世界的“基石”，构建出了整个算术的大厦。

记得我之前教过一个小学生，他对于质数和算术基本定理那是一脸懵。

我就拿分糖果的例子给他解释。

假设我们有 18 颗糖果，要平均分给小朋友。

那我们就得想想 18 可以怎么分。

18 可以是 2×9，也可以是3×6。

但是 2、3 这些数，它们除了 1 和自己，就不能再被别的数整除啦，这就是质数的特点。

通过分糖果这个具体的事儿，这孩子慢慢地就对质数有了点感觉。

再说回质数公式。

虽然到现在还没有一个能完美找出所有质数的简单公式，但数学家们可一直没放弃努力。

就像在黑暗中摸索，一点点地靠近那光明的答案。

在研究质数公式的过程中，有很多有趣的发现。

比如说，质数的分布看起来似乎毫无规律，但又隐隐有着某种神秘的秩序。

有时候，连续好几个数都不是质数，然后突然又冒出一个来，就像是在和我们捉迷藏。

对于我们普通人来说，了解算术基本定理和质数公式可能不会直接改变我们的生活，但它能锻炼我们的思维，让我们学会用更严谨、更有逻辑的方式去思考问题。

就好比我们在搭积木，每一块积木都有它的位置和作用，而算术基本定理和质数公式，就是帮助我们找到那些最关键的积木，搭出漂亮的“数学城堡”。

想象一下，如果有一天真的找到了一个超级厉害的质数公式，那对数学界乃至整个科学界的影响可就太大啦！密码学、计算机科学等领域都可能因此发生巨大的变革。

算术学基本定理算术基本定理是指在自然数范围内，每个大于1的自然数都可以唯一地表示为若干个质数的积，质数是指只有1和本身两个因数的自然数。

这个定理是数学中的一条重要定理，不仅在初中、高中数学教育中会涉及到，也在更高层次的数学研究中起着重要作用。

这个定理是由欧几里得证明的，也是数学历史上最重要的定理之一。

欧几里得在他的《几何原本》中所提到的定理，实际上就是算术基本定理。

这个定理通常是通过数学归纳法和反证法来证明的。

使用算术基本定理，我们可以对自然数进行因数分解，并找到他们的因数。

例如，假设我们要对数字18进行因数分解。

首先，我们知道质数是2、3、5、7、11、13、17、19等等，然后我们可以将数字18分解为2和9的乘积，然后再将9分解为3和3的积。

因此，数字18的因数分解为2 x 3 x 3。

利用算术基本定理，我们可以更容易地计算最大公因数和最小公倍数。

如果我们要计算数字12和30的最大公因数，我们可以将它们分别因数分解为2 x 2 x 3和2 x 3 x 5，然后找到它们的共同因子，即2和3。

这两个数字的最大公因数是6。

同样地，如果我们要计算数字12和30的最小公倍数，我们可以将它们分别因数分解为2 x 2 x 3和2 x 3 x 5，然后找到它们的共同因数和非共同因数的最小乘积，即2 x 2 x 3 x 5，这两个数字的最小公倍数是60。

算术基本定理的一个重要应用是RSA公钥密码系统，它是一种常见的加密算法，在计算机安全领域被广泛应用。

该算法基于算术基本定理的原理，利用两个大质数的乘积作为公钥，以及与两个大质数的积互素的一个随机数作为加密密钥。

因此，只有拥有私钥的用户才能够解密该信息。

总之，算术基本定理在数学中起着重要作用，可以用来进行因数分解，计算最大公因数和最小公倍数，以及实现RSA公钥密码系统等等。

如何有效利用算术基本定理可以帮助我们在数学领域获得更多的成就。

§4 质数 算术基本定理 一、教学目标：通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求： 一级目标：掌握算术基本定理；二级目标：掌握质数和合数的概念。

二、教学内容和重、难点：1. 质数和合数2. 算术基本定理3.标准分解式重点：算术基本定理难点：算术基本定理的证明三、教学方法和教具使用：讲授法。

四、教学过程：定义 如果一个大于1的整数的正因数只有1和它本身，那么就把这个整数叫做质数.否则就叫合数.定理1 设a 是任何一个大于1的整数，则a 的除1以外的最小正因数q 是质数，且当a 是合数时，q ≤证 假设q 不是质数，由质数的定义得，q 除1和它本身外还有一个正因数1q ，因而11q q <<.但|q a ，故1|q a ，这与q 是a 的最小正因数矛盾.故q 是质数.当a 是合数时，1,a a q =且11q a <≤，故21,a a q q q =≥ 定理2 若p 是一质数，a 为任一整数，则|p a 或(), 1.p a =证 因(),|p a p ，p 为质数，故()(),1,.p a p a p ==或而当(),1p a =时，|.p a 故(),1|.p a p a =或推论2.1 设12,,,n a a a 是n 个整数，p 是质数. 若12|n p a a a ，则p 整除某个.k a 证 若/|,1,2,,i p a i n = ，则(),1,1,2,,.i p a i n == 于是()12,1n p a a a = ，这与12|n p a a a 矛盾.定理3（算术基本定理）任意大于1的整数都能表示成质数的乘积，即对任一整数1a >，有1212,n n a p p p p p p =≤≤≤ （1）其中12,,,n p p p 是质数，并且若1212,m m a q q q q q q =≤≤ （2）其中12,,,m q q q 是质数，则,,1,2,,.i i m n q p i n ===证 首先用数学归纳法证明（1）式成立. 当2a =时，显然（1）式成立. 假设对于一切小于a 的正整数（1）式成立. 下面根据此归纳假推出（1）式对正整数a 也成立. 当a 为质数时，显然（1）式成立. 当a 为合数时，存在两个正整数,b c 满足条件,1.a bc b c a =<≤<由归纳假设，b 和c 都分别能表示为质数的乘积，故a 能表示成质数的乘积，即（1）式成立.其次，证明表示的唯一性. 若对a 同时有（1），（2）两式成立，则1212n m p p p q q q = （3）由定理3知，分别有质数,k j p q 使得11|,|.j k p q q p 但,j k q p 都是质数，故11,.j k p q q p ==又11,k j p p q q ≥≥，故同时有11q p ≥和11,p q ≥因而11.q p =由（3）式得 22.n n p p q q = 同理可得2233,,,q p q p == 依此类推下去，最后得,.n n m n q p ==推论3.1 任意一个大于1的整数a 都能唯一地表为1212,0,1,2,,k k i a p p p i k αααα=>= （4）其中()i j p p i j <<是质数.（4）叫做a 的标准分解式.推论3.2 设a 是一个大于1的整数，且1212,0,1,2,,,k k i a p p p a i k ααα=>=则a 的正因数d 可以表示为1212,0,1,2,,k k i i d p p p i k βββαβ=≥≥= . （5）且当正整数d 可以由上式表示时，d 为a 的正因数.证 设d 为a 的一个正因数，则当1d =时，d 可以表示为00012k d p p p = . 当1d >时，因|,d a 故d 的质因数必为a 的质因数. 而1212,0,1,2,,,k k i a a p p p a i k ααα==>= 从而d 可以表示为1212,0,1,2,,k k i d p p p i k ββββ=≥=下面证明,1,2,,.i i a i k β≤=因|,|i i p d d a β，故|.i i p a β但因1212kka p p p ααα= ，故1212|i kkp p p p βααα . 而()111111,1ii i k a ii i k pp p p p βααα-+-+= ，故|,,,1,2,,.i i i i i i i i i i p p p p i k βαβαβα≤≤= 故a的每个正因数d 都可以由（5）表示出来.反之，当正整数d 可以由（5）式表示出来时，显然d 为a 的一个正因数.附记 如把推论2中的条件“0,1,2,,i a i k >= ”改为“0,1,2,,i a i k ≥= ”，结论仍然成立.推论3.3 设,a b 是任意两个正整数，且12121212,0,1,2,,,,0,1,2,,,k kk i k i a p p p i k b p p p i k αααβββαβ=≥==≥= （6）则()[]12121212,,,,kkk k a b p p p a b p p p γγγδδδ== （7） 其中()()min ,,max ,,1,2,,.i i i i i i i k γαβδαβ===证 由（6）式易知1212k k p p p γγγ为,a b 的一个公因数，1212k k p p p δδδ为,a b 的一个公倍数（其中()()min ,,max ,i i i i i i γαβδαβ==，1,2,,i k = ）.设d 为,a b 的任意一个正公因数，则由推论2及其附记得，d 可以表示为1212,k k d p p p θθθ=其中0,0,1,2,,i i i i k θαθβ≤≤≤≤= .故0,1,2,,.i i i k θγ≤≤= 于是1212k k d p p p γγγ≤ .于是，1212k k p p p γγγ 为,a b 的最大公因数.设m 为,a b 的任意一个正的公倍数，则|,|.a m b m 因|,|,1,2,,i i i i p a p a i k αβ= ，故|,1,2,,i i p m i k δ= .但1212,,,k k p p p δδδ 两两互质，故12121212|,.k k k k p p p m p p p m δδδδδδ≤ 于是1212k k p p p δδδ 为,a b 的最小公倍数.故（7）式成立.根据定理1，可以构造质数表. 下面构造50所有质数2,3,5,7.2,3,5,7.把不超过50的所有正整数，首先划去1.保留2,3,5,7.除2,3,5,7外，把2,3,5,7中每一个数的其他倍数都划去：1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 891011,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,2728,29,3031,32,333435,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,4647,48,49,50.没有被划过的数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,47,43就是不超过50的全部质数.由此可知，不超过50的所有质数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47. 定理4 质数的个数是无穷的.证 如果质数的个数是有限的，可以设共有k 个质数，12,,,k p p p 是全体实数. 令121k P p p p =+ ，因1P >，故P 有质因数，设p 为P 的一个质因数，因所有的质数为12,,,k p p p ，故p 为其中的某一个，设()1i p p i k =≤≤，则由|p P 得，12|1,|1i k i p p p p p + ，矛盾.习题解答1. 试构造不超过100的质数表.解 10=的所有质数为2,3,5,7.写出不超过100的所有正整数，首先划去1.保留2,3,5,7.除2,3,5,7外，把2,3,5,7中每一个数的其他倍数都划去：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,2223,24,25,26,2728,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,4041,4243,44,45,4647,4849,50,51,5254,55,56,5758,59,60,61,62,63,64,65,66,67,686970,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100.没有被划过的数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,47,43,53,59,61,67,71,73,79,89,97就是不超过100的全部质数.2.求82 798 848即81 057 226 635 000的标准分解式.解因为11121111 3313 99311 97935 937107 8113323 43322646 8662 1 293 732113332 2 587 4642 5 174 928210 349 856220 699 712 241 399 424282 798 848所以，82 798 848的标准分解式为85382 798 8482311.=⋅⋅同理可得81 057 226 635 000的标准分解式为3343281 057 226 635 000235711172337.=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3. 证明推论3.3并推广到n 个正整数的情形.推论3.3的推广 设12,,,n a a a 是n 个正整数，且1212,1,2,,i i ik i k a p p p i n ααα== ， （8）其中0,1,2,,,1,2,,,ij i n j k α≥== 12,,,k p p p 为互不相同的质数，则()[]121212121212,,,,,,,,kkn k n k a a a p p p a a a p p p γγγδδδ== （9）其中()()1212min ,,,,max ,,,,1,2,,.j j j nj j j j nj j k γαααδααα===证 由（8）式易知1212k k p p p γγγ为12,,,n a a a 的一个公因数，1212k k p p p δδδ为12,,,n a a a 的一个公倍数（其中()()1212min ,,,,max ,,,j j j nj i j j nj γαααδααα== ，1,2,,j k = ）.设d 为12,,,k a a a 的任意一个正公因数，则由推论2及其附记得，d 可以表示为1212,k k d p p p θθθ=其中0,1,2,,,1,2,,j ij i n j k θα≤≤== .故0,1,2,,.j j j k θγ≤≤= 于是1212k k d p p p γγγ≤ .于是，1212k k p p p γγγ 为,a b 的最大公因数.设m 为,a b 的任意一个正的公倍数，则12|,|,,|.k a m a m a m 因1212|,|,,|,1,2,,.jjnjjjjn p a p a p a j k ααα= 故121|,|,,|,1,2,,jjnjjjjp m p m p m j k ααα=于是|,1,2,,i i p m i k δ= .但1212,,,k k p p p δδδ两两互质，故12121212|,.k k k k p p p m p p p m δδδδδδ≤于是1212k k p p p δδδ为,a b 的最小公倍数.故（9）式成立.4. 应用推论3.3证明§3的定理4（ⅱ）.§3的定理4（ⅱ）设,a b 是任意两个正整数，则,a b 的最小公倍数等于它们的最大公因数除它们的乘积所得的商，即[](),.,aba b a b =证 因为,a b 是两个正整数，故可设12121212,0,1,2,,,,0,1,2,,,k kk i k i a p p p i k b p p p i k αααβββαβ=≥==≥=则由推论3.3得，()[]12121212,,,,kkk k a b p p p a b p p p γγγδδδ==其中()()min ,,max ,,1,2,,.i i i i i i i k γαβδαβ=== 于是，()[]112211221212,,,.k k k kk ka b a b p p p ab p p p γδγδγδαβαβαβ++++++==易知，对任意实数,αβ有()()min ,max ,.αβαβαβ+=+于是，()()min ,max ,,1,2,,.i i i i i i i i i k γδαβαβαβ+=+=+= 故()[][](),,,,.,aba b a b ab a b a b ==5. 若21n+是质数()1n >，则n 是2的方幂.证 因1n >，故n 必有质因数. 下面用反证法证明，n 没有奇质因数.假设n 有奇质因数，设p 为n 的一个奇质因数，则1n pn =，这里1n 是一个正整数. 则()()()()111111212121212221p p pn n n n n n--⎡⎤+=+=+-+-+⎢⎥⎣⎦， 故21n+有大于1的因数121n +.但1,n n <故1212 1.n n+<+这与21n+为质数矛盾.故n 只有质因数2，于是n 是2的方幂.。

算术基本定理的证明算术基本定理的证明算术基本定理是数学中最重要的定理之一，它表明每个大于1的整数都可以唯一地表示为一些质数的乘积。

这个定理在数论、代数和计算机科学等领域都有着广泛的应用。

下面将详细介绍算术基本定理的证明。

一、引言算术基本定理最早由欧拉于18世纪提出，但其证明直到19世纪才得到完整的阐述。

这个定理是指：任何一个大于1的自然数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积，其中“唯一”指不考虑乘法因子的顺序。

二、初步准备在证明算术基本定理之前，需要先引入以下两个概念：1.质数：只能被1和自身整除的正整数称为质数。

例如，2、3、5、7等都是质数。

2.合数：除了1和自身以外还能被其他正整数整除的正整数称为合数。

例如，4、6、8等都是合数。

三、证明过程下面将分成两部分来证明算术基本定理：第一部分：任何一个大于1的自然数都能表示为若干个质数的乘积。

首先，考虑一个大于1的自然数n。

如果它本身就是质数，那么它可以直接表示为n×1，其中n是唯一的质因子。

如果它是合数，那么可以将其分解为两个较小的自然数a和b的乘积，即n=ab。

此时，a和b都比n小，并且都不是1（因为如果其中一个是1，则另一个就等于n）。

如果a和b中有任何一个不是质数，那么它也可以被分解成两个更小的自然数的乘积。

这样重复进行下去，最终得到一组质因子的乘积，使得它们的乘积等于原来的自然数n。

第二部分：任何一个大于1的自然数只能用唯一一种方式表示为若干个质数的乘积。

假设有两种不同的方式可以将同一个大于1的自然数n表示为若干个质数的乘积：n=p1×p2×...×pk=q1×q2×...×qm其中p1,p2,...,pk,q1,q2,...,qm都是质数，并且p1≤p2≤...≤pk,q1≤q2≤...≤qm。

由于p1整除n，所以p1必定整除q1×q2×...×qm。

质数规律公式质数是指大于1的正整数，除了1和自身之外不能被其他正整数整除的数。

在数论中，质数一直是研究的热门话题之一，很多数学家都致力于发掘质数的规律和性质。

虽然目前尚未找到质数的明确规律，但是有一些公式和定理可以用来研究和推测质数的分布和性质。

1. 费马小定理：费马小定理是指对于任意一个质数p和整数a，如果a不是p的倍数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

这个定理可以用来判断一个数是否为质数。

如果对于某个数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)成立，那么p有可能是质数；如果对于任意小于p的a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)成立，那么p很可能是质数。

2. 素数定理：素数定理是数论中最重要的定理之一，它描述了质数的分布规律。

素数定理表明，在不超过n的自然数中，质数的个数大约为n/ln(n)。

这个公式揭示了质数的分布相对于数的增长是逐渐稀疏的。

3. 素数数列公式：质数数列是指按照从小到大的顺序排列的所有质数。

对于质数数列，有一些公式可以用来计算其中的数。

例如，希尔伯特的第一公式表示第n个质数p(n)约等于n(ln(n) + ln(ln(n)))。

4. 筛法：筛法是一种用来求解质数的有效方法。

其中最著名的是埃拉托斯特尼筛法，即埃拉托斯特尼筛。

它的基本思想是从2开始，将所有能被2整除的数标记为合数；然后，再选择下一个未被标记的数，即3，将所有能被3整除的数标记为合数；重复这个过程，直到所有的数都被标记完为止。

剩下的未被标记的数即为质数。

5. 艾特金-伊辛素数判定法则：艾特金-伊辛素数判定法则是一种用来验证一个数是否为质数的方法。

该规则是较新的一个判定法则，它基于庞大且高度平行的计算，并使用了数论中的相关定理。

虽然已经被证明是正确的，但它在实践中很少被使用，因为它的计算量非常庞大。

虽然质数的规律和性质至今未被完全揭示，但是数学家们一直在努力研究和发现新的方法和公式来解决这个难题。

以上提到的公式和定理是质数研究中的重要参考内容，对于进一步理解和推测质数的规律具有重要的意义。

第三讲 质数、合数与因数分解一个大于1的正整数，若除了1与它自身，再没有其他的约数，这样的正整数叫做质数；一个大于l 的正整数，除了1与它自身，若还有其他的约数，这样的正整数称为合数；这样，我们可以按约数个教将正整数分为三类：正整数⎪⎩⎪⎨⎧合数质数单位1质数、合数有下面常用的性质：1．1不是质数，也不是合数；2是惟一的偶质数．2．若质数p|ab ，则必有p|a 或p|b3．若正整a ，b 的积是质数P ，则必有a=p 或b=p ．4．算术基本定理：任意一个大于1的整数N ，能分解成K 个质因数的乘积，若不考虑质因数之间的顺序，则这种分解是惟一的，从而N 可以写成标准分解形式：N=P 1a11.p 2a2………p k ak 其中p 1<p 2<…<p k ，p i 为质数，a i为非负整数，(i=1，2，…，k)．【例l 】 将下列数化成十进制数（1）312（8） （2）11101（2）【例2】将下列数化成二进制数（1）44 （2）23（8）【例3】如果一个三位数正好等于各个数位上的数字之和的13倍，试求这个三位数。

【例4】若X 、Y 都为质数，且2X+5Y ＝24,则XY ＝【例5】求这样的质数，当它加上10和14时，仍为质数．【例6】将1，2，…，2004这2004个数随意排成一行，得到一个数N．求证：N-定是合数；【例7】如果P与P+2都是大于3的质数，那么6是P+1的因数。

学力训练1．已知一个四位数各个数位上的数字之和与这个四位数相加等于2003，试求这个四位数。

2．在1，2，3，…，”这n个自然数中，已知共有P个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q-m)+(p--k)＝ _______.3．已知三个不同的质数a，b，C满足ab b c+a=2000。

那么a+b+c=____. (第15届江苏省竞赛题)4．P是质数，并且P6+3也是质数，则P11一52＝___________. (北京市竞赛题)5．若a、b、c、d为整数，且(a2+b2)(c2十d2)=1997，则a2+b2+c2十d2＝________6．已知a是质数，b是奇数，且a2+b=2001，则a+b=_________ (第16届江苏省竞赛题)7．以下结论中( )个结论不正确,(1)1既不是合数也不是质数；(2)大于0的偶数中只有一个数不是合数；(3)个位数字是5的自然数中，只有一个数不是合数；(4)各位数字之和是3的倍数的自然数，个个都是合数．A．1． B．2 C．3 D．48．不超过100的所有质数的乘积减去不超过60且个位数字为7的所有质数的乘积所得之差的个位数字是( )．A．3 B．1 C．7 D．99．若P为质数，P3+5仍为质数，p5+7为( )．A．质数 B．可为质数也可为合数 c．合数 D．既不是质数也不是合数10．超级计算机曾找到的最大质数是2859433一l，这个质数的末尾数字是( )．A．1 B．3 C．7 D．911．若正整数a、b、c满足a2+b2=c2,a为质数，那么b、c两数( )．A．同为奇数 B．同为偶数 C．一奇一偶 D．同为合数12．设n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数．13．试证明：形如111111+9X10n(n 为自然数)的正整数必为合数．14．若p 、q 为质数，m,n 为整数，p=m+n,q=mn,则m n qp nm q p ++=________15．若质数m.n 满足5m+7n=129则m+n=_________.16.已知三个质数m 、n 、P 的积等于这三个质数的和的5倍，则m 2+n 2+p 2=______17．一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，则所有“无暇质数”之和等于_________18．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1992个数是__________．19.证明有无穷多个n 使多项式：n 2+n+41(1)表示合数；(2)为43的倍数． ’20.已知正整数P 、q 都是质数，且7p+q 与pq+11也都是质数，试求p q +q p 的值．。

质数数学公式
质数是只能被1和它本身整除的正整数。

在数学中，质数是一个非常重要的概念，因为它们在许多数学问题中都扮演着关键的角色。

质数有许多重要的性质和公式，其中一些如下：
1. 质数分解定理：每个正整数都可以唯一地表示为质数的乘积。

2. 质数个数定理：质数的个数是无限的，并且可以用n/ln(n)
来估计，其中n是大于等于2的正整数，ln是自然对数函数。

3. Wilson定理：如果p是一个质数，那么(p-1)! ≡ -1 (mod p)。

4. 费马小定理：如果p是一个质数，那么对于任意整数a，a^p ≡ a (mod p)。

5. 素数分布定理：素数在一定范围内的分布是随机的，但是随
着范围的增大，素数分布的密度会逐渐变小。

以上是一些与质数相关的重要公式和定理。

对于数学爱好者来说，研究质数是一项令人兴奋的任务，因为这种数字的神秘性和复杂性仍然是人类数学中的一个未解之谜。

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学院学术论文题目:质数和算术基本定理学号：学校：专业：班级：姓名：指导老师：时间：【摘要】质数是数论研究的核心，许多中外闻名的题目都与素数有关。

除1外任何正整数不是质数即是合数。

判断一个已知的正整数是否是质数可用判别定理去实现。

判别定理又是证明素数无穷的关键。

1既不是质数也不是和数。

1之所以要摒于质数之外，是因为它完全没有质数所具备的那些重要的数论性质。

算术基本定理是整数理论中最重要的定理之一，既任何整数一定能分解成一些素数的乘积，而且分法是唯一的，不是任何数集都能满足算术基本定理的，算术基本定理为我们提供了解决其他问题的理论保障。

【关键词】质数；算术基本定理；费马数；一质数的定义：指在一个大于1的整数中，如果它的正因数只有1及它本身，就叫作质数（或素数）；否则就叫作合数。

依据定义得公式：设A=2n+b=(n-x)(n+y),除n-x=1以外无正整数。

故有：y=（b+nx)/(n-x) (x<n-1)无正整数，则A为素数。

因为x<n-1,而且n-x必为奇数，所以计算量比常规少很多。

100以内的质数（素数）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59, 61,67,71,73,79,83,89,97 （共25个）二定理的应用:1. 素数的个数无限多（不存在最大的素数）证法一：（一）学过初中的同学都知道n!与n!+1互质。

故n!与1、2、3、…..n-1、n互质那么n!+1有2种可能（1）n!+1为素数。

(2)n!+1为合数（1）设a=n!+1为素数集合A={x|0<x≤n x∈N}有b个素数，则集合B={x|0<x≤n!+1 x∈N}内至少有b+个素数（2）设a=n!+1为合数则在集合B\A中至少有2个元素可以被a整除易证：c=min{x|x∈B\A 且a/x=h h∈N}为素数。

同（1）设集合A内有b个素数。

则集合B 内至少有b+1个素数综合（1）、（2）可得：设集合A={x|0<x≤n x∈N}有b个素数，则集合B={x|0<x≤n!+1 x ∈N}内至少有b+个素数。

质数（prime number）又称素数，有无限个。

一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。

根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。

最小的质数是2。

合数，数学用语，英文名为Composite number，指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除（不包括0)的数。

与之相对的是质数（因数只有1和它本身，如2,3,5,7,11,13等等，也称素数）,而1既不属于质数也不属于合数。

最小的合数是4。

∙所有大于2的偶数都是合数。

∙所有大于5的奇数中，个位是5的都是合数。

∙最小的合数为4。

∙每一合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积。

(算术基本定理)∙对任一大于5的合数。

(威尔逊定理)约数，又称因数。

整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。

a称为b的倍数，b称为a的约数。

在大学之前，"约数"一词所指的一般只限于正约数。

约数和倍数都是二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。

一个整数的约数是有限的。

同时，它可以在特定情况下成为公约数。

在自然数（0和正整数）的范围内，任何正整数都是0的约数。

4的正约数有：1、2、4。

6的正约数有：1、2、3、6。

10的正约数有：1、2、5、10。

12的正约数有：1、2、3、4、6、12。

15的正约数有：1、3、5、15。

18的正约数有：1、2、3、6、9、18。

20的正约数有：1、2、4、5、10、20。

注意：一个数的约数必然包括1及其本身。

枚举法枚举法：将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。

例：求30与24的最大公因数。

30的正因数有：1,2,3,5,6,10,15,3024的正因数有：1,2,3,4,6,8,12,24易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。