梅森数之谜：MM127是素数吗--漫谈著名数论历史难题卡特兰-梅森猜想(Catalan-Mersenne number conjecture)

【ZZ】梅森素数列表(按照⼤⼩排序)第1个梅森素数：当p=2时，M_2=(2^2)-1=3，位数为1位，发现于公元前300年左右。

第2个梅森素数：当p=3时，M_3=(2^3)-1=7，位数为1位，发现于公元前300年左右。

第3个梅森素数：当p=5时，M_5=(2^5)-1=31，位数为2位，发现于公元前100年左右。

第4个梅森素数：当p=7时，M_7=(2^7)-1=127，位数为3位，发现于公元前300年左右。

第5个梅森素数：当p=13时，M_13=(2^13)-1=8191，位数为4位，发现于公元1456年。

第6个梅森素数：当p=17时，M_17=(2^17)-1=131071，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。

第7个梅森素数：当p=19时，M_19=(2^19)-1=524287，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。

第8个梅森素数：当p=31时，M_31=(2^31)-1=2147483647，位数为10位，由Euler发现于公元1772年。

1772年，瑞⼠数学家欧拉在双⽬失明的情况下，以惊⼈的毅⼒靠⼼算证明(2^31)-1(即2147483647)是第8个梅森素数，该素数有10位数，堪称当时世界上已知的最⼤素数；他因此获得了“数学英雄”的美名。

第9个梅森素数：当p=61时，M_61=(2^61)-1，位数为19位，由Pervushin发现于公元1883年。

第10个梅森素数：当p=89时，M_89=(2^89)-1，位数为27位，由Powers发现于公元1911年。

第11个梅森素数：当p=107时，M_107=(2^107)-1，位数为33位，由Powers发现于公元1914年。

第12个梅森素数：当p=127时，M_127=(2^89)-1，位数为39位，由Lucas发现于公元1876年。

第13个梅森素数：当p=521时，M_521=(2^521)-1，位数为157位，由Robinson发现于公元1952年。

大素数新纪录作者：胡作玄来源：《百科知识》2008年第24期2008年8、9月，也就是刀世瞩目的奥运会和残奥会期间，另一个领域也就是数学领域的世界纪录被刷新，美国人和德国人分别发现了当前已知的最大素数——第45个和第46个梅森素数。

让我们来解释一下什么是梅森素数。

素数这个概念大家都知道，也就是一个正整数，除了1和它本身之外，没有其他因子的数。

现在我们规定1不是素数。

因此，最小的素数是2，它是惟一的偶素数，其他的素数均为奇数。

这样10以下的素数有4个，它们是：2，3，5，7；100以下的素数有25个。

大部分正整数不是素数，我们称为合数，它们总可以分解成为素数的乘积，也说是它们有除1和数本身之外的因子。

例如21=3×7，91＝7×13，显然，在一定范围之内，合数要比素数多得多，不过，欧几里得早已证明素数有无穷多。

虽然任何素数之后肯定还有素数，可是人们并不知道一个给定的数是不是素数。

理论上讲，只要你有足够的时间和精力就可以完成，也就是对于整数Ⅳ，用小于或等于根号N的素数去除它，如果都除不尽，那Ⅳ就是素数。

这事看起来容易做起来难。

如果Ⅳ不大，如Ⅳ只有10位，也许可以用5位以内的素数一个一个去除，看看是否除得尽。

可是如果Ⅳ为100位，就根本办不到了，因为我们还不知道50位以内的素数到底有多少，实际上至今25位以内的素数有哪些，我们也不清楚。

因此，要想摘取最大素数的桂冠，还得另觅他途。

找一种特殊形式的素数，这就是梅森素数。

梅森是位教士，是科学的组织者，他那时——17世纪上半世纪，没有科学期刊，每个人的工作通过书信传到他那里，然后，他再传给别人，这样大家都可以分享最新的知识。

梅森自己也对数学有极大兴趣，他发现：如果2p-1是素数，则p一定是素数，因此后来人们就手把2p-1型的素数，称为梅森素数，常常简记为Mp。

但是，这定理反过来是否对呢?也就是：如果p是素数，2p-1是否素数?梅森试了试最小的素数，当p=2，3，5，7时，2p-1分别等于3，7，31，127，恰巧都是素数，于是他猜想p=13，17，19，31，67，127，257时，2 p—l也是素数。

史上最大的素数刚刚被找到，来感受下它的长度宇宙中素数的最大记录被刷新了，这个被命名为M77232917的最大素数，共23,249,425位，比目前的第二大素数多了将近100万位。

仅仅是记录这个数的纯文本文件，在电脑占有的内存超过23M。

如果一个人打算挑战手写这个数，一天写1000位，从今天开始算，需要写到2081年。

幸运的是，有一个简单的方法可以表述这个数：2^77,232,917-1。

也就是说，这个新素数是2的次方的次方的次方…(重复77,232,917次)然后减1。

在素数中，有一类数是2的n次幂减1，这类数叫梅森素数（Mersenne prime）。

最小的梅森素数是3（2^2-1），次小的梅森素数是31（2^5-1）。

感受一下这个数有多长而这个迄今最大的梅森素数，是在2017年12月底由全球合作项目“互联网梅森素数搜索”（GIMPS）发现的。

一位现年51岁，住在田纳西州的电气工程师Jonathan Pace在自己的电脑上发现了这个数，他参与GIMPS项目已有14年。

GIMPS在1月3号的官方声明中称，另外4位参与GIMPS 的人用了4种不同的算法，花了六天的时间来验证这个素数。

据田纳西大学的数学家Chris Caldwell个人网站上的信息称，梅森素数的命名源自法国教士马林·梅森（1588-1648）。

梅森提出，当n<=257, 且仅当n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,127, 257时, (2^n-1)是素数，马林·梅森在现代软件解决素数问题的曙光出现前，一个教士能提出这样的理论已是很了不起（事实上他和数学家费马是好朋友）。

在1536年，这个理论有了不起的进步之处。

此前人们认为，当n为素数时，2的n次幂减1会是素数。

不过，梅森的理论也存在错误之处。

梅森理论里的最大数，即2^257-1，其实并不是素数。

而且梅森漏掉了几个数：2^61-1, 2^89-1和2^107-1, 尽管后两个数直到20世纪初才被发现。

梅森素数的分布规律梅森素数是指形如2^p-1的素数，其中p也是素数。

梅森素数的分布规律一直是数学家们研究的热点之一。

在这篇文章中，我们将探讨梅森素数的分布规律以及其背后的数学原理。

我们需要了解梅森素数的特点。

梅森素数的形式非常特殊，只有当p是素数时才有可能是梅森素数。

因此，梅森素数的数量非常有限。

目前已知的梅森素数只有47个，最大的一个是2^82,589,933-1。

这个数字有24,862,048位，是目前已知的最大素数。

那么，梅森素数的分布规律是什么呢？数学家们发现，梅森素数的数量并不是随机分布的，而是呈现出一定的规律性。

具体来说，梅森素数的数量随着p的增大而减少。

这个规律被称为梅森素数定理。

梅森素数定理的数学表达式为：如果2^p-1是素数，那么p也必须是素数。

这个定理的证明非常复杂，需要运用到数论、代数学等多个数学分支的知识。

但是，我们可以通过一些简单的例子来理解这个定理。

例如，当p=2时，2^p-1=3，是一个素数。

当p=3时，2^p-1=7，也是一个素数。

但是当p=4时，2^p-1=15，不是一个素数。

因此，梅森素数定理成立。

梅森素数的分布规律不仅仅是一个数学问题，它还涉及到计算机科学、密码学等多个领域。

梅森素数被广泛应用于随机数生成、加密算法等方面。

因为梅森素数的数量非常有限，而且它们的位数非常大，因此可以用来生成高质量的随机数，保证加密算法的安全性。

梅森素数的分布规律是一个非常有趣的数学问题。

通过研究梅森素数的分布规律，我们可以深入了解素数的性质，同时也可以应用到计算机科学、密码学等多个领域。

数论之巅——5个关于素数的“未解之谜”，人类的知识极限之一数学中研究最多的领域之一是素数的研究。

素数领域存在很多非常困难的问题，即使是最伟大的数学家也没有解决。

今天，我们来看看数学中关于素数的5个最古老的问题，这些问题理解起来很容易，但却没有得到证实。

完美数（完全数、完备数）：奇数完全数是否存在？偶数完全数是无限的吗？看一下6、28、496、8128这些数字.....这些数字有什么特别之处？我建议你试着寻找一个关于数字的美丽的基本性质。

如果你看一下这些数的真因数，你可能会注意到这个“美丽”的性质。

•6 = 1 + 2 + 3,•28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,•496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248•8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064真因数之和等于数字本身的数字被称为完全数。

最早的关于完全数的研究已经消失在历史潮流中。

然而，我们知道毕达哥拉斯人（公元前525年）曾研究过完全数。

我们对这些数字了解多少呢？欧几里德证明，对于一个给定的n，如果（2^n-1）是一个素数，那么是一个完全数。

再做些铺垫。

梅森素数：梅森猜想，当n为素数时，所有形式为2^n-1的数都是素数。

我们知道这不是真的。

例如，2^11-1 =2047 = 23 × 89开放性问题：是否有无限多的梅森素数？目前我们知道47个梅森素数。

•欧拉在18世纪提出，任何偶数完全素数的形式都是2^(n-1)(2^n-1)。

换句话说，偶数完全数和梅森素数之间有一个一一对应的关系。

正如你所看到的，自从欧几里德（约公元前300年）以来，我们就知道偶数完全数以及得到它们的方法。

我们不知道的是，是否存在任何奇数完全数？（实际上，对奇数完全数的研究很少，在这个问题上几乎没有任何进展。

常州高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检查语文试卷2024年4月24日注意事项：1.答题前，考生务必将含有自己姓名、学号信息的条形码粘贴在答题卡指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，统一上交答题卡。

一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读I(本题共5小题，19分)阅读下面的文字，完成下面小题。

①自发明相机以来，世界上便盛行一种特别的英雄主义：视域的英雄主义。

摄影打开一种全新的自由职业活动模式——允许每个人展示某种独特、热忱的感受力。

摄影师们出门去作文化、阶级和科学考察，寻找夺人心魄的影像。

不管花费多大的耐性和忍受多大的不适，他们都要以这种积极的、渴求吸取的、评价性的、不计酬劳的视域形式，来诱捕世界。

阿尔弗雷德·施蒂格利茨自豪地报告说，在1893年2月20日，他曾在一场暴风雪中站立三小时，“等待恰当时刻”,拍摄他那张著名的照片《第五大街，冬天》。

这种追求，已成为大众心目中摄影师的商标。

到20世纪20年代，摄影师已像飞行员和人类学家一样，成为现代英雄。

大众报纸的读者被邀请去与“我们的摄影师”一道，作“发现之旅”,参观各种新领域，诸如“从上面看世界”“放大镜下的世界”“每日之美”“未见过的宇宙”“光的奇迹”“机器之美”以及可在“街上找到”的画面。

②日常生活的神化，以及只有相机才能揭示的那种美——眼睛完全看不到或通常不能孤立起来看的物质世界的一角，譬如从飞机上俯瞰——这些是摄影师的主要征服目标。

有一阵子，特写似乎是摄影最具独创性的观看方法。

摄影师发现随着他们更窄小地裁切现实，便出现了宏大的形式。

在19世纪40年代初，多才多艺、心灵手巧的福克斯·塔尔博特不仅制作传统绘画中常见题材的照片，而且把相机对准贝壳、蝴蝶翅膀，对准他书房里两排书的一部分。

梅森素数和完全数的关系梅森素数和完全数的关系梅森素数是指素数形如2的n次方减一的数，其中n也必须是一个素数。

例如，3、7、31等均为梅森素数。

完全数是指其所有因子（除了自己）之和等于它本身的数。

例如，6、28等均为完全数。

这两种数在数学中各自具有独特的特性，是否存在它们之间的联系呢？1. 梅森素数和完全数的定义首先，我们需要了解梅森素数和完全数的定义。

梅森素数是指形如2的n次方减一的素数，其中n也必须是一个素数。

例如，当n=2时，2的2次方减一等于3，3为梅森素数。

当n=3时，2的3次方减一等于7，7为梅森素数。

完全数是指其所有因子（除了自己）之和等于它本身的数。

例如，当数值等于6时，它的因子有1、2、3，1+2+3=6，因此6为完全数。

2. 梅森素数和完全数的关系梅森素数和完全数之间的关系是这样的：每个偶完全数都可以表示为2的p-1次方（2的p-1次方为梅森素数）乘以2的p-2次方（其中p为质数），反之，每个偶梅森素数都可以表示为2的p-1次方乘以恰当的偶完全数。

3. 实例解析例如，我们以6、28、496、8128等几个完全数为例，将它们写成2的p-1次方与2的p-2次方形式。

① 6=2的1次方×2的2次方，其中p=2，2的2次方减一等于3，即6=2的2次方减一×3。

由此可知，6可以表示成梅森素数3乘以2的1次方，符合关系中的规律。

② 28=2的3次方×2的2次方，其中p=3，2的3次方减一等于7，即28=2的2次方乘以7。

由此可知，28可以表示成梅森素数7乘以2的2次方，又符合关系中的规律。

③ 496=2的5次方×2的3次方，其中p=5，2的5次方减一等于31，即496=2的3次方乘以31。

由此可知，496可以表示成梅森素数31乘以2的3次方，符合关系中的规律。

类似地，我们可以通过2的p-1次方和2的p-2次方的形式，将完全数与梅森素数联系起来。

4. 结论总的来说，梅森素数与完全数之间是存在联系的。

梅森素数与完全数(本文已在《中小学数学》（初中版2015年11期) 上发表 湖北省潜江市江汉油田教育实业集团教科院 舒云水 433124人教版五年级下册数学课本介绍了完全数，人类寻找这48个完全数是经过了一个漫长艰难的过程，本文将作一个介绍﹒寻找完全数与寻找梅森素数是联糸在一起的，下面先谈梅森素数的寻找历史﹒1. 梅森素数梅森（1588—1648）是法国数学家，自然哲学家和宗教家﹒他在1644年提出了梅森素数﹒梅森的提出是探索表素数公式的开始，在数论史上具有开拓性的意义﹒将形如)1,(12M >∈-=n N n n n 的数叫做梅森数，其中是素数的梅森数叫做梅森素数，梅森提出的问题具有启发性，但他当时的判断有误﹒他说，对p=2,3,5,7,13,17,31,67,127,257, P M 是素数，而p<257的其它素数对应的P M 都是合数﹒梅森是如何得到这一结论的呢？无人知晓﹒到了1947年有了台式计算机后，人们才能检查他的结论，发现他犯了五个错误，25767M M ，不是素数，而1078961M ,,M M 是素数﹒梅森素数貌似简单，但当指数P 值较大时，其探究难度就会很大﹒它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算﹒1772年，瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，花了两天的时间，靠心算证明了1231-(即2147483647)是第8个梅森素数﹒这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数﹒欧拉证明这一素数的顽强毅力和解题技巧都令人赞叹不已！ 1867年以来，人们已经知道67M 是合数，但对它的因数一无所知﹒1903年10月在美国数学会举行的一次会上，数学家科尔提交一篇论文《大数的因子分解》﹒轮到科尔报告时，他走到黑板前，一言未发便作起2的方幂的演算，直到2的67次幂，从所得结果减去1，然后默默无言地在黑板的空白处写下两个数相乘：193707721⨯761838257287﹒两个计算结果完全一样﹒之后，他只字未吐又回到自己的座位上，会场爆发了热烈的掌声！这短短几分钟的报告却花了科尔3年的全部星期天﹒在手工计算的时代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数，它们是P M ，其中p=2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127﹒计算机发明出来后，人们借助电子计算机去寻找梅森素数，从1952年后到1996年5月为止，陆续发现了22梅森素数，其中p=521(1952), 607（1952），1279（1952），2203（1952），2281（1952），3217（1957），4253（1961），4423（1961），9689（1963），9941（1963），11213（1963），19937（1971），21701（1978），23209（1979），44497（1979），86243（1983），110503（1988），132049（1983），216091（1985），756839（1992），859433（1994），1257787（1996）﹒括号里的数字为发现的年份﹒上面最后一个梅森素数M是1996年5月美国威斯康星州克雷研究所发1257787现的，M是迄今为止最后一个由超级计算机发现的梅森素数﹒该所的计算1257787机专家史洛温斯基一共发现了7个梅森素数，他因此被人们称为“素数大王”﹒使用超级计算机寻找梅森素数的游戏实在太昂贵了﹒1996年初美国数学家及程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数寻找程序，并把它放在网页下供数学家和数学爱好者免费使用，这就是著名的“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目，GIMPS项目实施以来，利用该项目已经发现了14个梅森素数，到目前为止现在一共发现了48个梅森素数，1996年11月以后发现的梅森素数都是利用该项目发现的，世界上已有180个国家和地区近27万人参加了这一项目，并动用了74万多台计算机联网来进行网络分布式计算﹒下面按发现时间顺序给出这14个梅森素数，括号里的数字是发现时间﹒P=1398269（1996-11-13）,2976221(1997-08-24),3021377(1998-01-27),6972593(1999-06-01), 13466917(2001-11-14),20996011(2003-11-17),24036583(2004-05-15),25964951(200 5-02-18),30402457(2005-12-15)，32582657（2006-09-04），43112609（2008-08-23），37156667（2008-09-06），42643801（2009-04-12）,57885161（2013-01-25）﹒M，它是2013年1月25日，由美国中央其中最大的梅森素数是第个57885161密苏里大学数学教授柯蒂斯·库珀领导的研究小组发现的，该素数是一个17425170位数，如果用5号字将这个数连续打印下来，它的长度可超过65公里﹒库珀博士是搜索梅森素数的老手了，还有两个梅森素数也是他和他的团队一M，另一个是2006年9月4起发现的，一个是2005年12月15日发现的30402457M，它们分别是人类发现的第43过和第44个梅森素数﹒按照相日发现的32582657关奖金赞助者的新规定，第48个梅森素数的发现者获得3000美元的梅森素数发现奖﹒这个素数也成为目前人类所知道的最大的素数﹒梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值﹒它是发现已知最大素数的最有效途径；它的探究推动了数学皇后——数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术、网格技术和密码技术的发展以及快速傅里叶变换的应用﹒探索梅森素数最新的意义是：它促进了网格技术的发展﹒而网格技术将是一项应用非常广阔、前景十分诱人的技术﹒另外，探索梅森素数的方法还可以用来测试计算机硬件运算是否正确﹒素数有无穷多个，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题，而揭开这未解之谜，正是科学追求的目标﹒可以相信梅森素数这颗数海明珠正以独特的魅力，吸引着更多的有志者去寻找和研究﹒2. 完全数如果一个自然数等于除它自身之外的各个正因数之和，则这个数叫完全数﹒例如：6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，6和28都是完全数﹒完全数是被古人视为瑞祥的数，古希腊人在公元2世纪末已发现了四个完全数：6，28，496，8128﹒最小的完全数是6，意大利人把6看成是属于爱神维纳斯的数，以象征美满的婚姻﹒完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找﹒它很久以来一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字﹒从第四个完全数8128到第五个完全数33550336的发现经过了一千多年，真可谓“千年等一回” ﹒第五个完全数在1456年由一位无名氏给出﹒第六、第七个完全数在1588年由Cataldi 发现，第八个完全数由欧拉在1772年发现的，前文已提到﹒完全数的发现与梅森素数有关，这里不得不提两位伟大的数学家欧几里得和欧拉的贡献﹒早在二千多年前，欧几里得证明了：如果)1(12>-k k 是素数，则)12(21-=-k k n 是一个完全数﹒后来，欧拉又证明了，所有的偶完全数一定只有这种形式，把这两个结论并在一起，得出下面定理﹒定理 如果P M 是素数，那么)12(2)1(211-=+-p p p p M M 是一个偶完全数，而且除这些以外，再没有其它的偶完全数﹒这个定理说明，是否有无穷多个偶完全数的问题归结为是否有无穷多个梅森素数，由前文知目前只知道48个梅森素数，所以目前只知道48个偶完全数﹒是否存在奇完全数？这是一个没有解决的问题，等待人们去研究﹒完全数有许多有趣的性质：⑴它们都能写成连续自然数之和例如：6=1+2+3，28=1+2+3+4+5+6+7，496=1+2+3+…+30+31﹒⑵每个都是调和数它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数﹒ 例如：111121236+++=，111111212471428+++++=﹒ ⑶可以表示成连续奇立方数之和除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和﹒例如：332813=+，33334961357=+++，3333812813515=+++﹒⑷都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和例如：12622=+，23428222=++，678910111281282222222=++++++， 12132433550336222=+++﹒ ⑸完全数都是以6或8结尾如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾﹒⑹位数字相加直到变成个位数则一定是1除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1﹒（亦即：除6以外的完全数，被9除都余1）28：2+8=10，1+0=1496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1参考文献[1]张顺燕﹒数学的源与流[M]﹒北京：高等教育出版社﹒2001[2]孙宏安﹒第48个梅森素数﹒中学数学教学参考，2013,4（上旬）。