11-2 常数项级数审敛法(下)

∞
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )

un
3n
1 2n
的等价无穷小.
3n 起主 要 作用
解 即
un由 ~ 31于 nu,n故 3取 n1 v1n2n313n1n,则 1
1 (2)n 3
~31nn,
lim u n n vn
lim
n
3n 2n 1 3n
nl im 11(32)n 1.
而
n1
1 3n
收敛由 ， 定1理 1.3知n ， 13n
收敛，
limlnn0 n n
由定1理 1.3知， n 1lnn3n收敛.
三、比值审敛法和根值审敛法
1. 比值审敛法 定理11.4 (达朗贝尔审敛法)
设正项级数
un满足 :
n1
limun1 ρ n un
(0ρ ),
则 (1) 当 ρ 1时, 级数收敛 ;
(2) 当 ρ 1 或 时, 级数发散 .
p
-级数：
n
1
1 np
收敛， p1 发散. p 1
注 常用的比较级数: 等比级数, 调和级数 与 p-级数.
欲证un发散，
n1
判unn1p？(某p1)
欲证un收敛，
n1
判unn1p (某p1)？
例4 判断正项 级 1 数的敛.散性
n1 n(n1)2
解 un nn 112n1 32vn
而
vn
1
3
收敛 ,
n1 n1n2
n1
1 n(n1)2
收敛 .
定理11.3 (极限形式的比较审敛法)
设正项级数 u n , v n 满足
n1
n1
则有
lim un l (0l), n vn
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两级数同敛散 ;

o 1 234
x
1
2 1
dx xp
n dx 1
x n1 p
n dx 1 xp
7
1
1 (1 p1
1 n p1 )
1
1 p1
即Sn 有界, 则 P 级数 收敛.
P 级数
n1
1 np
当 当
p p
1时, 1时,
收敛; 发散.
重要参考级数: 几何级数, P -级数, 调和级数.
8
例4 判别级数
1
的敛散性.
n1 (n 1)(n 2)
解
un
(n
1 1)(n
2)
1 n2
,
而级数
1 收敛,
n2
n1
级数
1
收敛.
n1 (n 1)(n 2)
9
例5 判别级数 1! 2! n！的敛散性.
n3 (2n)!
解
un
1! 2! (2n)!
n!
n n! (2n)!
(n(2n1)！)! （n
1 2）(n
,
lim
n
n
.
也采用反证法
4
例1 判别级数
1 的敛散性
n1 n 2n
解
un
1 n2n
1 2n
,
而级数
1 收敛.
2n
n1
级数
1 收敛.
n1 n 2n
5
例2 证明级数
1
是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 ,
n(n 1) n 1
而级数
1 1 发散,
n1 n 1 k 2 k
级数
n1
n1

(1)n
n2 en
收敛,
因此
(1)n
n1
n2 en
绝对收敛.
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铃
❖定理8(绝对收敛与收敛的关系)
如果级数 un 绝对收敛, 则级数 un 必定收敛.
n1
n1
例例142
判别级数
(1)n
n1
1 2n
(1
1 n
)n2
的收敛性.
解
由
|un
|
1 2n
(1
1 n
)n2
,
有
lim
n
n
|
un
|
❖p级数的收敛性
p级数 n1
1 np
当
p1
时收敛,
当 p1 时发散.
例 2 证明级数
1
是发散的.
n1 n(n1)
证证 因为 1 1 1 , n(n1) (n1)2 n1
而级数
n1
1 n 1
发散,
故级数 n1
1 也发散. n(n 1)
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铃
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
1 np
( p 0) 的收敛性.
解 当 p1 时,
1 np
1 n
,
而级数 n11n 发散,
所以级数
n1
1 np
也发散.
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铃
2) 若 p 1,因为当
1
np
n1 n1 n p
d
x
时,
1 np
1 xp
,