第二章函数第1节函数概念及其表示方法一、选择题1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( A )(A)A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方(B)A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方(C)A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数(D)A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值解析:按照函数定义,选项B中集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B 中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.2.已知f（x-1）=2x-5,且f(a)=6,则a等于( B )(A)- (B) (C) (D)-解析:令t=x-1,则x=2t+2,f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,又由f(a)=6,则4a-1=6,解得a=.3.若f(1-2x)=(x≠0),那么f（）等于( C )(A)1 (B)3 (C)15 (D)30解析:法一令1-2x=t,则x=(t≠1),则f(t)=-1,则f（）=16-1=15.法二令1-2x=,得x=,则f（）=16-1=15.4.已知f(x)=的值域为R,那么a的取值范围是( C )(A)(-∞,-1] (B)（-1,）(C)[-1,) (D)(0,)解析:要使函数f(x)的值域为R,需使则则-1≤a<.即a的取值范围是[-1,).5.已知函数f(x)=且f(a)=-1,则f(6-a)等于( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意,知a>0,则由-log2(a+1)+2=-1,解得a=7,所以f(6-a)= f(-1)=2-1+1=1,故选A.6.设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数f p(x)=则称函数f p(x)为f(x)的“p界函数”,若给定函数f(x)=x2-2x-1,p=2,则下列结论不成立的是( B )(A)f p[f(0)]=f[f p(0)] (B)f p[f(1)]=f[f p(1)](C)f p[f p(2)]=f[f(2)] (D)f p[f p(3)]=f[f(3)]解析:给定函数f(x)=x2-2x-1,p=2,则f(1)=-2,f p(1)=-2,所以f[f p(1)]=f(-2)=7,f p[f(1)]=f p(-2)=2,所以f p[f(1)]≠f[f p(1)],故选B.二、填空题7.函数y=的定义域是.解析:要使函数有意义,需满足即x<且x≠-1.答案:(-∞,-1)∪(-1,)8.已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(5-a)= . 解析:若a≤1,则2a-2=-3,即2a=-1,不合题设;故a>1,即-log2(a+1)=-3,解之得a=7,代入f(5-a)=f(-2)=-2=-.答案:-9.已知f(2x-2)的定义域是[1,2],则f(2x+1)的定义域为.解析:由题知f(2x-2)中1≤x≤2,则0≤2x-2≤2,即f(x)的定义域为[0,2],所以0≤2x+1≤2,得-≤x≤,故f(2x+1)的定义域为[-,].答案:[-,]10.定义在R上的函数f(x)满足f(x-1)=2f(x),若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当1≤x≤2时,f(x)= .解析:由f(x-1)=2f(x),则f(x)=f(x-1).由1≤x≤2,则0≤x-1≤1.又当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则f(x-1)=(x-1)[1-(x-1)]=(x-1)(2-x),则f(x)=f(x-1)=(x-1)(2-x).答案:(x-1)(2-x)11.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R), f(1)=2,则f(-3)= .解析:令x=1,y=1,则f(2)=f(1)+f(1)+2=6,令x=2,y=1,则f(3)=f(2)+f(1)+4=12,令x=0,y=0,则f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)-2x2,则f(-x)=f(0)-f(x)+2x2,则f(-3)=f(0)-f(3)+2×32=0-12+18=6.答案:612.设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围为.解析:由f(f(a))=2f(a)得,f(a)≥1.当a<1时,有3a-1≥1,则a≥,则≤a<1;当a≥1时,有2a≥1,则a≥0,则a≥1.综上,a≥.答案:[,+∞)三、解答题13.设函数f(x)满足2f()+f()=1+x,其中x≠0,x∈R,求f(x). 解:令x=t,则2f()+f()=1+t,①令x=-t,则2f()+f()=1-t,②由①②得f()=t+,令=x可得f(x)=+,x≠1.14.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0,若f()=0,求f(π)及f(2π)的值.解:令x=y=0,则f(0)+f(0)=2[f(0)]2,则f(0)[f(0)-1]=0,由f(0)≠0,则f(0)=1,令x=y=,则f(π)+f(0)=2[f()]2=0,则f(π)=-1;令x=y=π,则f(2π)+f(0)=2[f(π)]2=2,则f(2π)=1.第2节二次函数一、选择题1.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当x∈(-∞,-2]时,f(x)是减函数,则f(1)的值为( B )(A)-3 (B)13 (C)7 (D)5解析:函数f(x)=2x2-mx+3图象的对称轴为直线x=,由函数f(x)的增减区间可知=-2,所以m=-8,即f(x)=2x2+8x+3,所以f(1)=2+8+3=13.2.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( C )(A)[0,+∞) (B)(-∞,0](C)[0,4] (D)(-∞,0]∪[4,+∞)解析:由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)图象的对称轴为x==2,又函数f(x)在[0,2]上单调递增,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.3.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最大值是( B )(A)-4 (B)4 (C)4或-4 (D)不存在解析:依题意,函数f(x)是偶函数,则y=x2+ax-5是偶函数,故a=0,则f(x)=(1-x2)(x2-5)=-x4+6x2-5=-(x2-3)2+4,当x2=3时,f(x)取最大值为4.4.设函数f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则g(1)+g(2)+…+g(20)等于( B )(A)56 (B)112 (C)0 (D)38解析:由二次函数图象的性质得,当3≤x≤20时,f(x)+|f(x)|=0,所以g(1)+g(2)+…+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112.5.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(x m,y m),则x1+x2+…+x m等于( B )(A)0 (B)m (C)2m (D)4m解析:由f(x)=f(2-x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称,所以这两函数的交点也关于直线x=1对称.不妨设x1<x2<…<x m,则=1,即x1+x m=2,同理x2+x m-1=2,x3+x m-2=2,…,设S m=x1+x2+…+x m,则S m=x m+x m-1+ (x1)所以2S m=(x1+x m)+(x2+x m-1)+…+(x m+x1)=2m,所以S m=m.6.设函数f(x)=,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( D )(A)当a<0时,x1+x2<0,y1+y2<0(B)当a<0时,x1+x2>0,y1+y2>0(C)当a>0时,x1+x2>0,y1+y2<0(D)当a>0时,x1+x2<0,y1+y2>0解析:当a<0时,作出两个函数的图象,如图,因为函数f(x)是奇函数,所以A与A′关于原点对称,显然x2>-x1>0,即x1+x2>0,-y1>y2,即y1+y2<0;当a>0时,作出两个函数的图象,同理有x1+x2<0,y1+y2>0.二、填空题7.二次函数的图象与x轴只有一个交点,对称轴为x=3,与y轴交于点(0,3).则它的解析式为 .解析:由题意知,可设二次函数的解析式为y=a(x-3)2,又图象与y轴交于点(0,3),所以3=9a,即a=,所以y=(x-3)2=x2-2x+3.答案:y=x2-2x+38.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .解析:由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称,所以b=-2,所以f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],所以2a2=4,故f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+49.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则m的取值范围为.解析:只需要在x∈(0,1]时,(x2-4x)min≥m即可.因为函数f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,所以当x=1时,(x2-4x)min=1-4=-3,所以m≤-3.答案:(-∞,-3]10.若函数f(x)=x2-x+a的定义域和值域均为[1,b](b>1),则a= ,b= .解析:因为f(x)=(x-1)2+a-,所以其对称轴为x=1,即[1,b]为f(x)的单调递增区间.所以f(x)min=f(1)=a-=1,①f(x)max=f(b)=b2-b+a=b,②由①②解得答案: 311.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为.解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在[0,3]上有两个不同的零点.在同一直角坐标系下作出函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象如图所示,结合图象可知,当x∈[2,3]时,y=x2-5x+4∈[-,-2],故当m∈(-,-2]时,函数y=m与y=x2-5x+4(x∈[0,3])的图象有两个交点.答案:(-,-2]12.若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间(,)上是减函数,则a的取值范围是.解析:f(x)=cos 2x+asin x=-2sin2x+asin x+1,令sin x=t,则f(x)=-2t2+at+1,因为x∈(,),所以t∈(,1).因为f(x)在x∈(,)上是减函数,所以y=-2t2+at+1在t∈(,1)上是减函数,又对称轴是t=,所以≤,所以a≤2.答案:(-∞,2]三、解答题13.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且f(x)>-2x的解集为{x|1<x<3},方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式. 解:设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0),则f(x)=ax2-4ax+3a-2x,因为f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a=0有两个相等的实根,所以Δ=(4a+2)2-36a2=0,解得a=-,或a=1(舍去).因此f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-.14.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.解:因为f(x)的对称轴方程为x=a,且f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,所以a≥2.又x∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1,所以f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,所以f(x)max-f(x)min≤4,得-1≤a≤3.又a≥2,所以2≤a≤3.所以a的取值范围是[2,3].15.已知函数f(x)= (k∈Z)满足f(2)<f(3).(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式;(2)对于(1)中得到的函数f(x),试判断是否存在q>0,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为[-4,]?若存在,求出q;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知,f(x)在第一象限是增函数.故-k2+k+2>0,解得-1<k<2.又因为k∈Z,所以k=0或k=1.当k=0或k=1时,-k2+k+2=2,所以f(x)=x2.(2)假设存在q>0满足题设,由(1)知g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].因为g(2)=-1,所以两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点(,)处取得.所以-1<<2,q>0,g(x)max==,g(x)min=g(-1)=2-3q=-4.解得q=2,所以存在q=2满足题意.第3节二次函数与不等式一、选择题1.已知不等式2x≤x2的解集为P,不等式(x-1)(x+2)<0的解集为Q,则集合P∩Q等于( B )(A){x|-2<x≤2} (B){x|-2<x≤0}(C){x|0≤x<1} (D){x|-1<x≤2}解析:P={x|x2-2x≥0}={x|x≤0或x≥2},Q={x|-2<x<1},所以P∩Q={x|-2<x≤0}.2.使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( C )(A)x≥0 (B)x<0或x>2(C)x∈{-1,3,5} (D)x≤-或x≥3解析:不等式2x2-5x-3≥0的解集是{x|x≥3或x≤-}.由题意,选项中x的范围应该是上述解集的真子集,只有C满足. 3.已知函数f(x)=-x2-mx+1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)>0成立,则实数m的取值范围是( B )(A)[-,0] (B)(-,0)(C)[0,] (D)(0,)解析:函数f(x)=-x2-mx+1的图象开口向下,且过点(0,1),所以为使对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)>0,须即所以-<m<0.4.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),则关于x的不等式>0的解集为( B )(A)(-2,0)∪(1,+∞)(B)(-∞,0)∪(1,2)(C)(-∞,-2)∪(0,1)(D)(-∞,1)∪(2,+∞)解析:关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,-2),所以a<0,=-2,所以b=-2a,所以=>0,因为a<0,所以<0,解得x<0或1<x<2.5.若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是( A )(A)(-,+∞) (B)[-,1](C)(1,+∞) (D)(-∞,-]解析:由Δ=a2+8>0,知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-,故a的取值范围为(-,+∞).6.已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是( A )(A)(-∞,-2) (B)(-∞,0)(C)(0,2) (D)(-2,0)解析:f(x)为R上的减函数,故f(x+a)>f(2a-x)⇔x+a<2a-x,即2x<a在[a,a+1]上恒成立,所以(2x)max=2(a+1)<a,得a<-2.二、填空题7.不等式<4的解集为.解析:由题意得x2-x<2⇒-1<x<2,解集为(-1,2).答案:(-1,2)8. 若“x∈{a,3}”是“不等式2x2-5x-3≥0成立”的一个充分不必要条件,则实数a的取值范围是.解析:由题设2a2-5a-3≥0,解得a≥3或a≤-,由集合中元素的互异性可得a≠3.答案:(-∞,-]∪(3,+∞)9.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)>1,f(2)=,则实数a的取值范围是.解析:因为f(x+3)=f(x),所以f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)<-1. 所以<-1⇔<0⇔(3a-2)(a+1)<0,所以-1<a<.答案:(-1,)10.在R 上定义运算:( a b c d )=ad-bc,若不等式(121 x a a x --+ )≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值为 .解析:由定义知,不等式（121 x a a x --+ ）≥1等价于x 2-x-(a 2-a-2)≥1, 所以x 2-x+1≥a 2-a 对任意实数x 恒成立.因为x 2-x+1=（x-）2+≥,所以a 2-a ≤,解得-≤a ≤,则实数a 的最大值为.答案:11.对于实数x,规定[x]表示不大于x 的最大整数,那么不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集为 .解析:由题意解得<[x]<,所以[x]的取值为2,3,4,5,6,7,又[x]表示不大于x 的最大整数,故2≤x<8.答案:[2,8)12.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x -2.若同时满足条件: ①对任意x ∈R,f(x)<0或g(x)<0;②存在x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0.则m的取值范围是.解析:当x<1时,g(x)<0,当x>1时,g(x)>0,当x=1时,g(x)=0,m=0不符合要求;当m>0时,根据函数f(x)和函数g(x)的单调性,一定存在区间[a,+∞)使f(x)≥0且g(x)≥0,故m>0时不符合第①条的要求;当m<0时,如图所示,如果符合①的要求,则函数f(x)的两个零点都得小于1,如果符合第②条要求,则函数f(x)至少有一个零点小于-4,问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点,其中较大的零点小于1,较小的零点小于-4,函数f(x)的两个零点是2m,-(m+3),故m满足或解第一个不等式组得-4<m<-2,第二个不等式组无解,故所求m的取值范围是(-4,-2).答案:(-4,-2)三、解答题13.已知函数f(x)=x2-(a+1)x+b.(1)若f(x)<0的解集为(-1,3),求a,b的值;(2)当a=1时,若对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,求实数b的取值范围;(3)当b=a时,解关于x的不等式f(x)<0(结果用a表示).解:(1)由已知,x2-(a+1)x+b=0的两个根为-1和3,所以解得a=1,b=-3.(2)当a=1时,f(x)=x2-2x+b,因为对任意x∈R,f(x)≥0恒成立,所以Δ=(-2)2-4b≤0,解得b≥1,所以实数b的取值范围是[1,+∞).(3)当b=a时,f(x)<0,即x2-(a+1)x+a<0,所以(x-1)(x-a)<0,所以当a<1时,不等式f(x)<0的解集为{x|a<x<1};当a=1时,不等式f(x)<0的解集为 ;当a>1时,不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<a}.14.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,求实数a的取值范围.解:由题可知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,有-3<0恒成立;当x≠0时,a<（-）2-,因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当=1,即x=1时,不等式右边取最小值,所以a<.实数a的取值范围是(-∞,).15.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2.所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2-(-2+1)2=8.(2)由题可知,f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又-x的最小值为0,--x的最大值为-2,所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].第4节函数的单调性与最值一、选择题1.给定函数①y=,②y=lo(x+1),③y=,④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( B )(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④解析:①y=在(0,1)上递增;②因为t=x+1在(0,1)上递增,且0<<1,故y=lo(x+1)在(0,1)上递减;③结合图象可知y=|x-1|在(0,1)上递减;④因为u=x+1在(0,1)上递增,且2>1,故y=2x+1在(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.2.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则( A )(A)f(-1)<f(3) (B)f(0)>f(3)(C)f(-1)=f(3) (D)f(0)=f(3)解析:依题意得f(3)=f(1),且-1<1<2,于是由函数f(x)在(-∞,2)上是增函数得f(-1)<f(1)=f(3).同理f(0)<f(3).3.函数y=()的单调递增区间为( B )(A)(1,+∞) (B)（-∞,](C)(,+∞) (D)[,+∞)解析:令u=2x2-3x+1=2(x-)2-.因为u=2(x-)2-在(-∞,]上单调递减,函数y=()u在R上单调递减.所以y=()在(-∞,]上单调递增,即该函数的单调递增区间为(-∞,].4.已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( C )(A)(0,1) (B)(0,)(C)[,) (D)[,1)解析:当x=1时,log a1=0,若f(x)为R上的减函数,则(3a-1)x+4a>0在x<1时恒成立,令g(x)=(3a-1)x+4a,则必有即解得≤a<.此时,log a x是减函数,符合题意.5.已知a>0,设函数f(x)=(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,那么M+N等于( D )(A)2 016 (B)2 018(C)4 032 (D)4 034解析:由题意得f(x)==2018-.因为y=2 018x+1在[-a,a]上是单调递增的,所以f(x)=2018-在[-a,a]上是单调递增的,所以M=f(a),N=f(-a),所以M+N=f(a)+f(-a)=4 036--=4 034.6.已知函数f(x)的图象关于(1,0)对称,当x>1时,f(x)=log a(x-1),且f(3)=-1,若x1+x2<2,(x1-1)(x2-1)<0,则( B )(A)f(x1)+f(x2)<0 (B)f(x1)+f(x2)>0(C)f(x1)+f(x2)可能为0 (D)f(x1)+f(x2)可正可负解析:因为当x>1时,f(x)=log a(x-1),f(3)=log a2=-1,所以a=,故函数f(x)在(1,+∞)上为减函数,若x1+x2<2,则x2<2-x1,又(x1-1)(x2-1)<0,不妨令x1<1,x2>1,所以f(x2)>f(2-x1),又因为函数f(x)的图象关于(1,0)对称,所以f(x1)=-f(2-x1),此时f(x1)+f(x2)=-f(2-x1)+f(x2)>0.二、填空题7.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是.解析:y=画图象如图所示,可知递增区间为[0,].答案:[0,]8.已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a 的取值范围为.解析:由已知可得解得-3<a<-1或a>3.答案:(-3,-1)∪(3,+∞)9.函数f(x)=lg(9-x2)的定义域为;其单调递增区间为.解析:对于函数f(x)=lg(9-x2),令9-x2>0,解得-3<x<3,即函数的定义域为(-3,3).令g(x)=9-x2,则函数f(x)=lg(g(x)),又函数g(x)在定义域内的增区间为(-3,0].所以函数f(x)=lg(9-x2)在定义域内的单调递增区间为(-3,0].答案:(-3,3) (-3,0]10.已知函数f(x)=则f(x)的最小值是.解析:当x≥1时,x+-3≥2-3=2-3,当且仅当x=,即x=时等号成立,此时f(x)min=2-3<0;当x<1时,lg(x2+1)≥lg(02+1)=0,此时f(x)min=0.所以f(x)的最小值为2-3.答案:2-311.设0<x<1,则函数y=+的最小值是.解析:y=+=,当0<x<1时,0<x(1-x)=-(x-)2+≤.所以y≥4.答案:412.已知f(x)=不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数a的取值范围是.解析:作出函数f(x)图象的草图如图,易知函数f(x)在R上为减函数,所以不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立等价于x+a<2a-x,即x<在[a,a+1]上恒成立,所以只需a+1<,即a<-2.答案:(-∞,-2)三、解答题13.求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.解:f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.(1)当a<0时,由图①可知,f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.(2)当0≤a<1时,由图②可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.(3)当1<a≤2时,由图③可知,f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1.(4)当a>2时,由图④可知,f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1.综上,当a<0时,f(x)min=-1,f(x)max=3-4a;当0≤a<1时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=3-4a;当1<a≤2时,f(x)min=-1-a2,f(x)max=-1;当a>2时,f(x)min=3-4a,f(x)max=-1.14.已知f(x)=(x≠a).(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.(1)证明:任取x1<x2<-2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增.(2)解:任取1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=.因为a>0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是(0,1].15.函数y=f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使得|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为“圆锥托底型”函数.(1)判断函数f(x)=2x,g(x)=x3是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由.(2)若f(x)=x2+1是“圆锥托底型”函数,求出M的最大值.解:(1)对于函数f(x)=2x,因为|2x|=2|x|≥2|x|,即对于一切实数x使得|f(x)|≥2|x|成立,所以函数f(x)=2x是“圆锥托底型”函数.对于g(x)=x3,如果存在M>0满足|x3|≥M|x|,而当x=时,由||3≥M||,所以≥M,得M≤0,矛盾,所以g(x)=x3不是“圆锥托底型”函数.(2)因为f(x)=x2+1是“圆锥托底型”函数,故存在M>0,使得|f(x)|=|x2+1|≥M|x|对于任意实数恒成立.所以x≠0时,M≤|x+|=|x|+,此时当x=±1时,|x|+取得最小值2,所以M≤2.而当x=0时,也成立.所以M的最大值等于2.第5节函数的奇偶性与周期性一、选择题1.在函数y=xcos x,y=e x+x2,y=lg,y=xsin x中,偶函数的个数是( B )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:y=xcos x是奇函数,y=lg和y=xsin x是偶函数,y=e x+x2是非奇非偶函数,所以偶函数的个数是2.2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( B )(A)y=cos 2x,x∈R(B)y=log2|x|,x∈R且x≠0(C)y=,x∈R(D)y=x3+1,x∈R解析:选项A中函数y=cos 2x在区间(0,)上单调递减,不满足题意;选项C中的函数为奇函数;选项D中的函数为非奇非偶函数.3.设f(x)=x+sin x(x∈R),则下列说法错误的是( D )(A)f(x)是奇函数(B)f(x)在R上单调递增(C)f(x)的值域为R(D)f(x)是周期函数解析:因为f(-x)=-x+sin(-x)=-(x+sin x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;因为f′(x)=1+cos x≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,故B正确;f(x)的值域为R,故C正确;f(x)不是周期函数,D错误. 4.已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数,且f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,若f(-3)=0,则<0的解集为( D )(A)(-3,0)∪(0,3) (B)(-∞,-3)∪(0,3)(C)(-∞,-3)∪(3,+∞) (D)(-3,0)∪(3,+∞)解析:由已知条件,可得函数f(x)的图象大致如图,故<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).5.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f()等于( A )(A) (B) (C)0 (D)-解析:因为f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sin x-sin x=f(x),所以f(x)的周期T=2π,又因为当0≤x<π时,f(x)=0,所以f()=f(-+π)=f(-)+sin(-)=0,所以f(-)=,所以f()=f(4π-)=f(-)=.6.已知定义在R上的奇函数f(x)在x>0时满足f(x)=x4,且f(x+t)≤4f(x)在x∈[1,16]时恒成立,则实数t的最大值是( A )(A)-1 (B)16(-1)(C)+1 (D)16(+1)解析:因为f(x)在x>0时满足f(x)=x4,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)在R上为奇函数,所以f(x)在R上单调递增,而f(x+t)≤4f(x)(x∈[1,16])等价于f(x+t)≤f(x)(x∈[1,16]),即当x∈[1,16]时,x+t≤x恒成立,即t≤(-1)x,x∈[1,16],所以只需t≤-1,故t的最大值为-1.二、填空题7.设函数f(x)=x(e x+a)(x∈R)是偶函数,则实数a的值为.解析:因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+ae x)=x(e x+ae-x),化简得x(e-x+e x)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1.答案:-18.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)= .解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,因此f(-x)+f(x)=0.当x=0时,可得f(0)=0,可得b=-1,此时f(x)=2x+2x-1,因此f(1)=3.又f(-1)=-f(1),所以f(-1)=-3.答案:-39.奇函数f(x)的周期为4,且x∈[0,2],f(x)=2x-x2,则f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)的值为.解析:函数f(x)是奇函数,则f(0)=0,由f(x)=2x-x2,x∈[0,2]知f(1)=1,f(2)=0,又f(x)的周期为4,所以f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=f(2)+f(3)+f(0)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.答案:-110.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)满足f(x+3)=f(x),且f(1)≥1,f(2)=,则m的取值范围是.解析:因为f(x+3)=f(x),所以f(2)=f(-1+3)=f(-1).因为f(x)为奇函数,且f(1)≥1,所以f(-1)=-f(1)≤-1,所以≤-1.解得-1<m≤.答案:(-1,]11.已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2 018)= .解析:法一令x=1,y=0时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1),解得f(0)=,令x=1,y=1时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0),解得f(2)=-,令x=2,y=1时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,依次求得f(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=,f(8)=-,f(9)=-,…可知f(x)是以6为周期的函数,所以f(2 018)=f(336×6+2)=f(2)=-.法二因为f(1)=,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),所以构造符合题意的函数f(x)=cos x,所以f(2 018)=cos(×2 018)=-.答案:-12.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为.解析:易知f(x)在R上为单调递增函数,且f(x)为奇函数,由f(mx-2)+ f(x)<0,得f(mx-2)<-f(x)=f(-x),所以mx-2<-x,即mx+x-2<0对所有m∈[-2,2]恒成立,令h(m)=mx+x-2,此时,只需解得x∈(-2,).答案:(-2,)三、解答题13.已知函数f(x)=是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 解:(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)由(1)及已知,f(x)在(-∞,-1]上是减函数,在[-1,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数,要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,必需且只需所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].14.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围.解:因为f(x)的定义域为[-2,2],所以解得-1≤m≤. ①又f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减,所以f(x)在[-2,2]上递减,所以f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),即1-m>m2-1,解得-2<m<1. ②综合①②可知,-1≤m<1.即实数m的取值范围是[-1,1).第6节函数单调性、奇偶性与周期性综合运用一、选择题1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=-,当1≤x≤2时,f(x)=x-2,则f(6.5)等于( D )(A)4.5 (B)-4.5 (C)0.5 (D)-0.5解析:由f(x+2)=-,得f(x+4)=-=f(x),所以f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).因为f(x)是偶函数,则f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5).而1≤x≤2时,f(x)=x-2,所以f(1.5)=-0.5.由上知f(6.5)=-0.5.2.设函数f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则f(-1)与f(2)的大小关系是( A )(A)f(-1)>f(2) (B)f(-1)<f(2)(C)f(-1)=f(2) (D)无法确定解析:由y=f(x+1)是偶函数,得到y=f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(-1)=f(3).又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数,所以f(3)>f(2),即f(-1)>f(2).3.已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f(x+)=f（x-）.则f(6)等于( D ) (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)2解析:因为当x>时,f（x+）=f（x-）,所以x>1时,f(x)=f(x-1),即f(6)=f(1).因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1).因为当x<0时,f(x)=x3-1,所以f(6)=f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.4.定义在R上的函数f(x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为( D )(A)0 (B)1 (C)3 (D)5解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又因为T是函数f(x)的一个正周期,所以f(T)=f(-T)=f(0)=0,又f（-）=f（T-）=f（）,且f（-）=-f（）,所以f（）=0,于是可得f（-）=f（）=0.所以方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数可能为5.5.已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+ f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是( C )(A)(B)(C)- (D)-解析:令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,且f(x)是奇函数,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),又因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ只有一个根,即2x2-x+1+λ=0只有一个根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.6.记max{x,y}=若f(x),g(x)均是定义在实数集R上的函数,定义函数h(x)=max{f(x),g(x)},则下列命题正确的是( C )(A)若f(x),g(x)都是单调函数,则h(x)也是单调函数(B)若f(x),g(x)都是奇函数,则h(x)也是奇函数(C)若f(x),g(x)都是偶函数,则h(x)也是偶函数(D)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则h(x)既不是奇函数,也不是偶函数解析:对于A,如f(x)=x,g(x)=-2x都是R上的单调函数,而h(x)=不是定义域R上的单调函数,故A错误;对于B,如f(x)=x,g(x)=-2x都是R上的奇函数,而h(x)=不是定义域R上的奇函数,故B错误;对于C,当f(x),g(x)都是定义域R上的偶函数时,h(x)=max{f(x),g(x)}也是定义域R上的偶函数,故C正确;对于D,如f(x)=sin x是定义域R上的奇函数,g(x)=x2+2是定义域R 上的偶函数,而h(x)=g(x)=x2+2是定义域R上的偶函数,故D错误.二、填空题7.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且f(x)=f(x+6),当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,则f(x)在[4,5]上单调.(递增,递减)解析:由已知,f(x)在[-3,0]上单调递减,又周期为6,所以f(x)在[3,6]上单调递减,在[4,5]上单调递减.答案:递减8.已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2 018)的值为.解析:由g(x)=f(x-1),得g(-x)=f(-x-1),又g(x)为R上的奇函数,所以g(-x)=-g(x),所以f(-x-1)=-f(x-1),即f(x-1)=-f(-x-1),用x+1替换x,得f(x)=-f(-x-2).又f(x)是R上的偶函数,所以f(x)=-f(x+2).所以f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4.所以f(2 018)=f(4×504+2)=f(2)=2.答案:29.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)= 4x,则f（-）+f(2)= .解析:因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)=f(x+2).又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x),f(0)=0.所以f（-）=f（-）=-f（）=-4×=-2,f(2)=f(0)=0,所以f（-）+f(2)=-2.答案:-210.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= .解析:因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)=f(x).因此,函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1+x4=-4,x2+x3=-4.所以x1+x2+x3+x4=-8.答案:-811.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(),则①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=()x-3.其中所有正确命题的序号是.解析:由已知条件:f(x+1)=f(x-1)得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,①正确;当-1≤x≤0时0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=()1+x,函数y=f(x)的图象如图所示,当3<x<4时,-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=()x-3,因此②④正确.③不正确. 答案:①②④三、解答题12.已知函数f(x)=x2+(x≠0).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性.解:(1)当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=f(x),函数是偶函数.当a≠0时,f(x)=x2+(x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;f(-1)-f(1)=-2a≠0,所以f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,此时f(x)=x2+.任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(+)-(+)=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2)(x1+x2-).由于x1≥2,x2≥2,且x1<x2,所以x1-x2<0,x1+x2>,所以f(x1)<f(x2),故f(x)在[2,+∞)上是增函数.13.函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.解:(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2⇔f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函数.所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是(-15,1)∪(1,17).14.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 018,2 018]上根的个数,并证明你的结论.解:(1)若y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f[2-(x+2)]=f[2+(x+2)]=f(4+x)=f(x),所以f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0 矛盾;因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数,则f(0)=f(-0)=-f(0),所以f(0)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是奇函数.综上可知:函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)因为f(x)=f[2+(x-2)]=f[2-(x-2)]=f(4-x),f(x)=f[7+(x-7)]=f[7-(x-7)]=f(14-x),所以f(14-x)=f(4-x),即f[10+(4-x)]=f(4-x),所以f(x+10)=f(x),即函数f(x)的周期为10.对于区间[7,10],令7+x∈[7,10],则x∈[0,3],7-x∈[4,7],又f(7-x)=f(7+x),f(x)在[4,7]内无零点,所以f(x)在[7,10]内无零点.又因为f(1)=f(3)=0,所以f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z),f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z),即只有x=1+10n和x=3+10n(n∈Z)是方程f(x)=0的根.由-2 018≤1+10n≤2 018及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3,…,±201,共403个;由-2 018≤3+10n≤2 018及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3,…,±201,-202,共404个;所以方程f(x)=0在闭区间[-2 018,2 018]上的根共有807个.第7节函数的图象一、选择题1.函数f(x)=的图象大致为( A )解析:因为f(x)=,所以f(0)=0,排除选项C,D;当0<x<π时,sin x>0,所以当0<x<π时,f(x)>0,排除选项B.2.(2016·浙江卷)函数y=sin x2的图象是( D )解析:因为y=sin x2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C 选项;当x=时,y=sin ≠1,排除B选项,故选D.3.函数y=的图象大致是( C )解析:由题意得,x≠0,排除A;当x<0时,x3<0,3x-1<0,所以>0,排除B;又因为x→+∞时,→0,所以排除D.4.函数f(x)=的图象如图所示,则下列结论成立的是( C )(A)a>0,b>0,c<0(B)a<0,b>0,c>0(C)a<0,b>0,c<0(D)a<0,b<0,c<0解析:函数定义域为{x|x≠-c},结合图象知-c>0,所以c<0.令x=0,得f(0)=,又由图象知f(0)>0,所以b>0.令f(x)=0,得x=-,结合图象知->0,所以a<0.5.已知函数y=f(x)及y=g(x)的图象分别如图所示,方程f(g(x))=0和g(f(x))=0的实根个数分别为a和b,则ab等于( A )(A)24 (B)15 (C)6 (D)4解析:由图象知,f(x)=0有3个根,分别为0,±m(m>0),其中1<m<2, g(x)=0有2个根n,p,-2<n<-1,0<p<1,由f(g(x))=0,得g(x)=0或±m,由图象可知当g(x)所对应的值为0,±m时,其都有2个根,因而a=6;由g(f(x))=0,知f(x)=n或p,由图象可以看出当f(x)=n时,有1个根,而当f(x)=p时,有3个根,即b=1+3=4.所以ab=24.6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P以1 cm/s 的速度沿A→B→C的路径向C移动,点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A 的路径向A移动,当点Q到达A点时,P,Q两点同时停止移动.记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S=f(t),则f(t)的图象大致为( A )解析:当0≤t≤4时,点P在AB上,点Q在BC上,此时PB=6-t,QC=8-2t,则S=f(t)=QC×BP=(8-2t)×(6-t)=t2-10t+24;当4≤t≤6时,点P 在AB上,点Q在CA上,此时AP=t,P到AC的距离为t,QC=2t-8,则S=f(t)=QC×t=(2t-8)×t=(t2-4t);当6≤t≤9时,点P在BC上,点Q在CA上,此时CP=14-t,QC=2t-8,则S=f(t)=QC×CPsin ∠ACB= (2t-8)·(14-t)×=(t-4)·(14-t).综上,函数f(t)对应的图象是三段抛物线,依据开口方向得图象是A.二、填空题7.若函数y=f(x)的图象过点(1,1),则函数y=f(4-x)的图象一定经过点.解析:由于函数y=f(4-x)的图象可以看作y=f(x)的图象先关于y轴对称,再向右平移4个单位长度得到.点(1,1)关于y轴对称的点为(-1,1),再将此点向右平移4个单位长度,可推出函数y=f(4-x)的图象过定点(3,1).答案:(3,1)8.函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0), (1,2),(3,1),则f()= .解析:由已知f(3)=1,所以=1.所以f()=f(1)=2.答案:29.给定min{a,b}=已知函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,则实数m的取值范围为.解析:设g(x)=min{x,x2-4x+4},则f(x)=g(x)+4,故把g(x)的图象向上平移4个单位长度,可得f(x)的图象,函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4的图象如图所示,由于直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,数形结合可得m的取值范围为(4,5).答案:(4,5)10.函数f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式<0的解集为.解析:在[0,)上y=cos x>0,在(,4]上y=cos x<0.由f(x)的图象知在(1,)上<0,因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,所以y=为偶函数,所以<0的解集为(-,-1)∪(1,).答案:(-,-1)∪(1,)11.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为.解析:令g(x)=log2(x+1),作出函数g(x)的图象如图.由得所以结合图象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1≤x≤1}.答案:{x|-1≤x≤1}12.若当x∈(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象始终在函数y=log a x的图象的下方,则实数a的取值范围是.解析:如图,在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x-1)2和y=log a x的图象.由于当x∈(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象恒在函数y=log a x的图象的下方,则解得1<a≤2.答案:(1,2]三、解答题13.讨论方程|1-x|=kx的实数根的个数.解:可以利用函数图象确定方程实数根的个数.设y1=|1-x|,y2=kx,则方程的实根的个数就是函数y1=|1-x|的图象与y2=kx的图象交点的个数.由图象可知:当-1≤k<0时,方程没有实数根;当k=0或k<-1或k≥1时,方程只有一个实数根;当0<k<1时,方程有两个不相等的实数根.14.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.(1)求实数m的值;(2)作出函数f(x)的图象;(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;(4)若方程f(x)=a只有一个实数根,求a的取值范围.解:(1)因为f(4)=0,所以4|m-4|=0,即m=4.(2)f(x)=x|x-4|=f(x)的图象如图所示.(3)f(x)的单调递减区间是[2,4].(4)从f(x)的图象可知,当a<0或a>4时,f(x)的图象与直线y=a只有一个交点,即方程f(x)=a只有一个实数根,所以a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).15.设函数f(x)=x+的图象为C1,C1关于点A(2,1)的对称图象为C2,C2对应的函数为g(x).(1)求函数g(x)的解析式;(2)若直线y=b与C2有且仅有一个公共点,求b的值,并求出交点的坐标.解:(1)设曲线C2上的任意一点为P(x,y),则P关于A(2,1)的对称点P′(4-x,2-y)在C1上,所以2-y=4-x+,即y=x-2+=,。
