追及问题的分析和解答

• (1)汽车追上自行车前的最远距离为多少？
• (2)汽车经多长时间追上自行车？追上自行车 时瞬时速度多大？
• [解析] 本题考查追及问题的求解，关键是找 到达到最大距离的临界条件．
方法一：物理分析方法
经时间为 t1，二者速度均为 6 m/s 时，间距最大．
则 at1＝v 自
t1＝va自＝63 ＝2 s
正确解： B车刹车的时间 t = vB / a =5s 在时间t内B车刹车的位移和A车位移XA′ XB=VB2/2a=102/4=25m XA′= VAt=4×5=20m＜XB+X0
显然，B车停止后A再追上B
A车的总位移 XA=XB+X0=32m
则 tA =XA/VA=32/4=8s
vA= 4m/s
假设经时间t1，人车距离ΔX
X人
△X
X0 v=6m/s
a=1m/s2
X车
△X=X0+X车－X人
解法一：物理分析法
在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因
此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，
人两当者车人间间车距的速离距度最离相小逐等。渐时增，大两者。间因距此离，最当小人。车速度相等时，
②仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分
挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、 “最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态， 满足相应的临界条件．
③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追 上前该物体是否停止运动．
一般有三种不同情况： 1、物体停止前被追上 2、物体停止后被追上 3、物体刚停止就被追上
要使方程有解必 Δ=b2－4ac=122－4×1×(50－2△X)≥0
解得△X≥7m 即人车最小距离为 7m

追及问题应用题带答案
题目：甲乙两人同时从同一地点出发，甲的速度是每小时6公里，乙的速度是每小时4公里。

如果甲比乙晚出发1小时，那么甲需要多少时间才能追上乙？
答案：
分析：首先，我们需要确定乙在甲出发前已经走了多远。

由于乙的速度是每小时4公里，所以在甲出发前1小时内，乙已经走了4公里。

接下来，我们需要计算甲追上乙需要的时间。

解答：
1. 计算乙在甲出发前已经走过的距离：乙的速度是每小时4公里，所以在1小时内，乙走了4公里。

2. 计算甲和乙的速度差：甲的速度是每小时6公里，乙的速度是每小时4公里，所以甲比乙每小时快2公里。

3. 计算甲追上乙所需的时间：由于甲需要追上乙已经走过的4公里，并且甲每小时比乙快2公里，所以甲追上乙需要的时间是4公里除以2公里/小时，即2小时。

结论：甲需要2小时才能追上乙。

小学奥数趣味学习《追及问题》典型例题及解答两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

数量关系：追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及时间解题思路和方法：简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例题1：某警官发现前方100米处有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。

警官赶紧以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上这个匪徒。

解：1、从警官追开始到追上匪徒，这就是一个追及过程。

根据公式：路程差÷速度差=追及时间。

2、路程差为100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差为1米/秒。

所以追及的时间为100÷1=100（秒）。

例题2：甲乙二人同时从400米的环形跑道的起跑线出发，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出发。

那么甲乙二人出发后（）秒第一次相遇？解：1、由题可知，甲乙同时出发后，乙领先，甲落后，那么两人第一次相遇时，乙从后方追上甲，所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道长度，即追及路程为400米。

2、由追及时间=总路程÷速度差可得：经过400÷（8-6）=200（秒）两人第一次相遇。

例题3：小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。

那么甲、乙两地相距多远？解：1、根据题意，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题。

首先是小轿车和面包车的相遇问题；其次是面包车和大客车的相遇问题；然后是小轿车与大客车的追及问题。

最后通过小轿车与面包车共行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地距离。

第10讲追及相遇问题的分析技巧【方法指导】一、追及问题(1)特点：两个物体在同一时刻到达同一位置。

(2)满足的位移关系：x2＝x0＋x1。

其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移。

(3)临界条件：v1＝v2。

当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等临界问题。

二、相遇问题(1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置。

(2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇。

三、处理“追及”“相遇”问题的三种方法(1)物理方法：通过对物理情和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解。

(2)数学方法：由于匀变速运动的位移表达式是时间t的一元二次方程，我们可利用判别式进行讨论：在追及问题的位移关系式中，若Δ>0，即有两个解，说明相遇两次；Δ＝0，有一个解，说明刚好追上或相遇；Δ<0，无解，说明不能够追上或相遇。

(3)图象法：对于定性分析的问题，可利用图象法分析，避开繁杂的计算，快速求解。

【对点题组】1. A与B两个质点向同一方向运动，A做初速度为零的匀加速直线运动，B做匀速直线运动．开始计时时，A、B位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时()A．两质点速度相等B．A与B在这段时间内的平均速度相等C．A的瞬时速度是B的2倍D．A与B的位移相同2.在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在t＝0时同时经过某一个路标，它们位移x(m)随时间t(s)变化规律为：汽车为x＝10t－14t2(m)，自行车为x＝6t(m)，则下列说法正确的是()A．汽车做减速直线运动，自行车做匀速直线运动B ．不能确定汽车和自行车各做什么运动C ．开始经过路标后较短时间内自行车在前，汽车在后D ．当自行车追上汽车时，它们距路标96 m3. 甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v t -图象如下图所示。

追及问题知识梳理：追及问题一般是指两个物体同方向运动，由于各自的速度不同，后者追上前者的问题。

追及问题的基本数量关系是：速度差×追及时间=追及路程解答追及问题，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为两者之间存在着速度差。

抓住“追及的路程必须用速度差来追”这一道理，结合题中运动物体的地点、运动方向等特点进行具体分析，并借助线段图来理解题意，就可以正确解题。

典型例题：例1：中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米。

两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴在前。

几小时后小轿车追上中巴车？练习：1、一辆摩托车以每小时80千米的速度去追赶前面30千米处的卡车，卡车行驶的速度是每小时65千米。

摩托车多长时间能够追上？2、兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分钟跑120米；哥哥在后，每分钟跑140米。

几分钟后哥哥追上弟弟？3、甲骑自行车从A地到B地，每小时行16千米。

1小时后，乙也骑自行车从A地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地。

A、B两地相距多少千米？例2：一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米。

开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车故障修车2小时。

因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。

汽车是在离甲地多远处修车的？练习：1、小王家离工厂3千米，他每天骑车以每分钟200米的速度上班，正好准时到工厂。

有一天，他出发几分钟后，因遇熟人停车2分钟，为了准时到厂，后面的路必须每分钟多行100米。

小王是在离工厂多远处遇到熟人的？2、一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行36千米，8小时能到达。

这辆汽车以每小时36千米的速度行驶一段时间后，因排队加油用去了15分钟。

为了能在8小时内到达乙地，加油后每小时必须多行7.2千米。

加油站离乙地多少千米？3、汽车以每小时30千米的速度从甲地出发，6小时后能到达乙地。

汽车出发1小时后原路返回甲地取东西，然后立即从甲地出发。

行程问题之追及问题知识要点：追及 指速度快的追速度慢的，追及问题中的路程，时间速度这三要素主要体现在路程差（或追及时间）、速度差、追及时间上，三者之间的关系如下：速度差×追击时间=路程差 路程差÷追及时间=速度差 路程差÷速度差=追及时间 切记追击问题中追击者速度一定要大于被追者速度，否则不能追上，反而两人间距会越来越远。

例题讲解：例1. 小华与小伟从学校到江滩看神六航展，小伟以每分钟60千米的速度向江滩走去，5分钟后小华以每分钟80米得速度向江滩走去，结果两人同时到达航展的现场，问学校到航展现场之间的距离是多少？分析：解决这个问题关键是要求求出追及时间，由于小华晚出发5分钟，结果两人同时到达航展现场，说明小华追上小伟时间正好到目的地，由此可根据路程差÷速度差=追及时间，求出追及时间：（60×5）÷（80-60）=15分。

追及时间就是小华从学校到航展现场所用的时间。

解：80×[]米）（1200158060-80560=⨯=÷⨯ 答学校到航展现场的距离是1200米。

例2. 一辆卡车上午9时出发，以每小时40千米的速度向乙城驶去，2小时候，一辆小轿车以每小时70千米的速度也从甲城出发向乙城行驶，当小轿车到达乙城，大卡车距离乙城还有100千米，问小轿车是什么时候到达乙城市的？分析：有题目可知，小轿车在从甲城市行驶到乙城市的过程中，不仅要追上大卡车40×2=80千米。

还要超过100千米。

解：在相同的时间里，小轿车比大卡车多行的路程，即路程差为：40×2+100=180千米小轿车从甲城市行驶到乙城市需要时间：180÷（70-40）=6小时小轿车到达乙城市的时刻：9+2+6=17时答：小轿车是在17时到达乙城市的。

例3某城市举行“万人申奥”长跑活动，长跑队伍以每小时6千米的速度前进，长跑开始时，两名电视记者小张和小王分别从排尾、拍头同时向队伍中间进行，报道这次活动，小张和小王都乘摩托车每小时行10千米，他们离队伍中点900米处相遇，长跑队伍有多长？分析：本题是一个行进队伍中的相遇问题，相遇地点是在离队伍中点900米处，因此相对中点而言，小张的速度是摩托车速度+队伍速度，小王的速度是摩托车速度-队伍速度，两者相对速度为（10+6）-(10-6)=12千米/时，而相对中点的路程差为：（108面）900×2=1800米=1.8千米，理解这一点，问题就好解决了。

例题解答：
(4×3－10＋10÷5×4)÷(6－4)＝5．
答：5小时后甲才能追上乙．
例3．
小王、小李共同整理报纸．小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份．小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．问一共有多少份报纸？
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看不清?
＝甲的速度×追上的时间－乙的速度×追上的时间
＝(甲的速度－乙的速度)×追上的时间
即：距离差＝速度差×追上的时间
在追及问题中，“速度差”是我们经常要考虑的．
例2．
甲、乙两人从B城去A城．甲速度为每小时5千米，乙速度为每小时4千米．甲出发时，乙已先走了3个小时．甲走了10千米后，决定以每小时6千米的速度前进．问几小时后甲追上乙？
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网友评论：1
依然简单wyh 2009-08-06 22:14 | 回复
2网友:士大夫2010-01-26 11:51 | 回复 简单
例题解答：(102＋120)÷(20－17)＝222÷3＝74(秒)
答：从追及到离开需要74秒．
例5．
小轿车的速度比面包车的速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？思路分析： 由于小轿车比面包车多走了9千米，又知其速度差，所以面包车从学校到城门所用的时间为：9÷6＝1.5(小时)

追及问题例1 下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家。

5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）。

【分析】若经过5分钟，弟弟已到了A 地，此时弟弟已走了40×5＝200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？解：40×5÷（60－40）＝200÷20＝10（分钟）答：哥哥10分钟可以追上弟弟。

我们把类似例8这样的题，称之为追及问题。

如果我们把开始时刻前后两物体（或人）的距离称为路程差（如例8中的200米），从开始时刻到后者追上前者路程差这一段路程所用的时间称为追及时间，则从例1容易看出：追及问题存在这样的基本关系：路程差＝速度差×追及时间如果已知其中的两个量，那么根据上式就很容易求出第三个量。

例2 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙。

问：甲、乙二人的速度各是多少？【分析】若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为10÷5＝2（米/秒）；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于2×4＝8（米），也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度，综合列式计算如下：解：乙的速度为：10÷5×4÷2＝4（米/秒）甲的速度为：10÷5＋4＝6（米/秒）答：甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒。

例3 某人沿着一条与铁路平行的笔直的小路由西向东行走，这时有一列长520米的火车从背后开来，此人在行进中测出整列火车通过的时间为42秒，而在这段时间内，他行走了68米，则这列火车的速度是多少？【分析】整列火车通过的时间是42秒，这句话的意思是：从火车的车头追上行人时开始计时，直到车尾超过行人为止共用42秒，因此，如果我们把火车的运动看作是车尾的运动的话，则本题实际上就是一个车尾与人的追及问题，开始时刻，它们的路程差就等于这列火车的车长，追及时间就等于42秒，因此可以求出它们的速度差，从而求出火车的车速。

追及问题的分析和解答追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运动进程，每一个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解，除要透彻明白得大体物理概念，熟练运用运动学公式外，还应认真审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮忙分析，确认两个物体运动的位移关系、时刻关系和速度关系，在头脑中成立起一幅物体运动关系的图景.借助于v－t图象来分析和求解往往可使解题进程简捷明了.例1汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发觉正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动，汽车当即关闭油门做加速度大小为 6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车、求关闭油门时汽车离自行车多远？分析汽车在关闭油门减速后的一段时刻内，其速度大于自行车的速度，因此汽车和自行车之间的距离在不断缩小，当那个距离缩小到零时，假设汽车的速度减至与自行车相同，那么能知足题设的汽车恰好不碰上自行车的条件，因此此题要求的汽车关闭油门时离自行车的距离s，应是汽车从关闭油门减速运动，直到速度与自行车速度相等时发生的位移s汽与自行车在这段时刻内发生的位移s自之差，如图1所示.解1汽车减速到4m/s 时发生的位移和运动的时刻这段时刻内自行车发生的位移s自=v自t=4×1=4m，汽车关闭油门时离自行车的距离s=s汽-s自=7-4=3m.解2利用v-t图进行求解.如图2所示.直线Ⅰ、Ⅱ别离是汽车与自行车的运动图线，其中划斜线部份的面积表示当两车车速相等时汽车比自行车多发生的位移，即为汽车关闭油门时离自行车的距离s. 图线1的斜率即为汽车减速运动的加速度，因此应有常见错误之一错误的缘故在于未抓准两追及运动物体间的位移关系.常见错误之二错误的缘故在于未弄清两车恰不相碰的物理含义.例2 甲、乙两车在同一条平直公路上运动，甲车以10 m/s 的速度匀速行驶，通过车站A时关闭油门以4m/s2的加速度匀减速前进，2s后乙车与甲车同方向以1m/s2的加速度从同一车站A动身，由静止开始做匀加速运动，问乙车动身后多少时刻追上甲车？解析乙车动身时甲车具有的速度为v甲t=v甲0-a甲t=10-4×2=2m/s.现在到甲车停止运动的时刻依照题设条件，乙车在时刻内追不上甲车，因此此题求解时应先求出甲车停止时离车站的距离，乙车运动这段距离所需的时刻，即为题中所求的时刻.常见错误代入数据得 t=.错误的缘故在于对车、船等运输工具做匀减速运动的实际规律明白得不深，此题中甲车在被乙车追赶进程中并非是都做匀减速运动，而是在中间某时刻已经停止.例3 慢车以10 cm/s2加速度从车站起动开出，同时在距车站2km处，在与慢车平行的另一轨道上，有一辆以 72 km/h的速度迎面开来的列车开始做匀减速运动，以便到站停下，问两车何时错车.解析如图3所示，两车错车时，应为s1＋s2=2km，而在求解s1和s2时应先判定两车的运动规律，为此需通过认真审题，挖掘题文中隐含的已知条件.如题文中“……起动开出”说明慢车是做初速为零的匀加速运动；“……做匀减速运动，以便到站停下”，说明列车以72km/h的初速做匀减速运动，通过2km距离速度减为零，那么可知列车运动的加速度a2=v02/2s.同时注意解题进程中统一已知条件的单位.将已知条件统一单位后代入上式，得例4甲、乙两车相距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动进程中相遇次数与加速度的关系.分析由于两车同时同向运动，故有v甲=v0+a2t， v乙=a1t.①当a1＜a2时，a1t＜a2t，可得两车在运动进程中始终有v甲＞v乙.由于原先甲在后，乙在前，因此甲、乙两车的距离在不断缩短，通过一段时刻后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距愈来愈大，因此甲、乙两车只能相遇一次.②当a1=a2时，a1t=a2t，可得v甲=v0+v乙，一样有v甲＞v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次.③当a1＞a2时，a1t＞a2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时刻的增加而发生转变.刚开始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，因此v甲＞v乙；随着时刻的推移，a1t和a2t相差愈来愈大；当a1t-a2t=v0时，v甲=v乙，接下来a1t-a2t＞v0，那么有v甲＜v乙.假设在v甲=v乙之前，甲车尚未超过乙车，随后由于v甲＜v乙，甲车就没有机遇超过乙车，即两车不相遇；假设在v甲=v乙时，两车恰好相遇，随后v甲＜v乙，甲车又要掉队乙车，如此两车只能相遇一次；假设在v甲=v乙前，甲车已超过乙车，即已相遇过一次，随后由于v甲＜v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，那么两车能相遇两次.①当a1＜a2时，①式t只有一个正解，那么相遇一次.②当a1=a2时t只有一个解，那么相遇一次.③当a1＞a2时，假设v02＜2(a1-a2)s，①式无解，即不相遇.若v02=2（a1-a2）s，①式t只有一个解，即相遇一次.若v02＞2（a1-a2）s.①式t有两个正解，即相遇两次.解2 利用v-t图象求解.①当a1＜a2时，甲、乙两车的运动图线别离为如图4中的Ⅰ和Ⅱ，其中划斜线部份的面积表示t时刻内甲车比乙车多发生的位移，假设此面积为S，那么t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时刻内甲车发生的位移都比乙车多，因此只能相遇一次.②当a1=a2时，甲、乙两车的运动图线别离为如图5中的Ⅰ和Ⅱ，讨论方式同①，因此两车也只能相遇一次.③当a1＞a2时，甲、乙两车的运动图线别离为如图6中的Ⅰ和Ⅱ，其中划实斜线部份的面积表示甲车比乙车多发生的位移，划虚斜线部份的面积表示乙车比甲车多发生的位移.假设划实斜线部份的面积小于S，说明甲车追不上乙车，那么不能相遇；假设划实斜线部份的面积等于 S，说明甲车刚追上乙车又被反超.那么相遇一次；假设划实斜线部份的面积大于S.如图中0～t1内划实斜线部份的面积为S，说明t1时刻甲车追上乙车，以后在t1～t时刻内，甲车超前乙车的位移为t1～t时刻内划实斜线部份的面积，随后在t～t2时刻内，乙车比甲车多发生划虚线部份的面积，若是二者相等，那么t2时刻乙车反超甲车，故两车前后相遇两次.这种问题并非难，需要的是细心.第一把可能的情形想全，然后一一认真从实际情形动身来分析，以取得正确的结果.（浙江省宁波市效实中学夏宏祥 315010）。

小学五年级数学下册思维拓展追及问题习题及答案知识点总结：像这类同向行走的两个物体间先有一段距离，由于后者的速度快，最后追上前者，叫做追及问题，其数量关系是：速度差×追及时间=路程差路程差÷追及时间=速度差路程差÷速度差=追及时间【经典例题1】小明骑自行车每小时行12千米，小红步行每小时行4千米，两人同时从相距20千米的两地同方向而行，且小红在前。

求几小时后小明追上小红？【思路分析】这是一道简单的追及问题，可运用“路程差÷速度差=追及时间”解答问题。

【本题解答】20÷(12-4)=2.5(小时)答:2.5小时后小明追上小红。

【扩展训练】1.一辆汽车从甲地开出，以每小时50千米的速度行了100千米后，一辆摩托车也从甲地开出紧紧追赶，速度为每小时75千米，问几小时后可追上汽车？2.解放军进行越野训练，队伍长450米，以每秒2米的速度前进，通讯员以每秒3米的速度从队伍末尾赶到队伍的最前面传达命令，然后立即返回队伍末尾，一共需要多少秒？3.猎狗发现前方200米处有一只兔子正要逃跑，拔腿就追。

兔子的洞穴恰好距兔子480米，若兔子每秒跑13米，猎狗每秒跑18米，可怜的兔子能逃过这一劫？(填“能”或“不能”)【经典例题2】小淘气步行上学，每分钟行70米。

离家12分钟后，妈妈发现小淘气的文具盒忘在家中，妈妈带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小淘气。

问妈妈出发几分钟后追上小淘气？追上小淘气时，距离家有多远？【思路分析】当妈妈出发时，小淘气已经行了12分钟，领先妈妈70×12=840(米)，而妈妈每分钟可以追上小淘气280-70=210(米)，用“路程差÷速度差=追及时间”即可求解。

【本题解答】追及时间：70×12÷(280-70)=4(分钟)追及路程：280×4=1120(米)答：妈妈出发4分钟后追上小淘气，追上小淘气时，距离家有1120米。

专题十 追及问题第一讲 异时同地同向而行【母题详解】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶10千米，乙每小时行驶15千米，问：乙经过多长时间能追上甲？分析：乙出发时甲、乙二人相距10千米，因为甲每小时行驶150千米，乙每小时行驶15千米，所以乙出发以后两人的距离每小时都缩短（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上。

10÷5=2（小时），所以还需要2个小时。

解：10÷（15-10）=10÷5=2（小时）答：乙经过2小时能追上甲。

金钥匙：在解决异时同地同向而行的追及问题中，追及距离÷速度差＝追及时间，解答时要根据题目中所给的信息选择合适的解题方法。

【举一反三】变式一：小王乘汽车以每时40千米的速度从甲地出发到乙地送资料。

他出发2时后，单位人发现小王少带了一份资料，立即派小李骑摩托车以每时60千米的速度沿同一行驶路线去追小王。

问小李多少时间后才能追上小王？【解】摩托车出发时，汽车2时已行驶了40×2＝80(千米)，这段路程就是摩托车追及的距离。

而摩托车1时能追上60－40＝20(千米)，这就是速度差。

用追及的距离除以速度差就可以求出多少时间后能追上。

40×2÷(60－40)=80÷20＝4(小时)答：小李4小时后才能追上小王。

变式二：哥哥和弟弟在同一所学校读书。

哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?【解】哥哥出发的时候弟弟走了：40×5=200 （米），哥哥每分钟能追上65-40=25（米），所以哥哥追上弟弟的时间为：200÷25=8（分钟），所以家离学校的距离为：65×8=520（米）。

40×5 ÷（65-40）×8=200÷25×65=8×65=520（米）。

追及问题同向运动的物体或人相隔一定的距离，后面的速度快，前面的速度慢，经过一段时间，后者追上前者，这样的问题叫做追及问题。

追及问题中主要研究“追及路程”、“速度差”和“追及时间”三种量之间的关系。

它们有：追及路程÷速度差= 追及时间追及路程÷追及时间= 速度差速度差×追及时间= 追及路程例1 甲、乙二人同时从相距10千米的两地出发，同向而行，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，经过几小时甲追上乙？例2 甲以每小时4千米的速度步行去某地，乙比甲晚4小时骑自行车从同一地点出发去追甲，乙每小时行12千米，乙几小时可以追上甲？例3 小明和小亮在一个圆形湖边跑步（假设他们跑步的速度始终不变），小明每分跑100米，小亮每分跑120米，如果他们同时从同一地点出发，相背而行，5分钟相遇，如果同时从同一地点出发，同向而行，几分钟后两人相遇？例4 上午10时，从一个港口开出一只货船，下午2点钟，又从这个港口开出一只客船，客船开出后12小时追上货船，客船每小时行20千米，问货船每小时行多少千米？例5 甲、乙两船从A港到B港，甲每小时行30千米，乙每小时行45千米，甲比乙早出发4小时，二人同时到达B港，问AB两港相距多少千米？【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 两辆汽车相距1500米，甲车在乙车前面，甲车每分钟行610米，乙车每分钟行660米，乙车追上甲车需要几分钟？2. 甲、乙两人同时从学校出发去电影院看电影，甲以每小时12千米的速度骑，乙以每小时16千米的速度骑，结果甲比乙晚到了10分钟，则从学校到电影院的距离是多少千米？3. 甲、乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，6小时后，甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米？4. 解放军执行行军任务，部队从某地出发。

每小时行12千米，7小时后，通讯员骑摩托车以每小时54千米的速度追赶部队传达命令，问几小时后可以追上部队？5. 环形跑道长400米，甲、乙两人同时、同地按相同方向跑步，甲每分钟跑200米，乙每分钟跑150米，问经过几分钟后两人相遇？1、中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴车在前。

车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距s0为25m 处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？ 如追不上，求人、车间的最小距离。 S0 a=1m/s2 v=6m/s
解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t。当人追上车 时，两者之间的位关系为： x人+x0=x车 x人 = v人 t
a=3m/s2
解：(2)汽车追上自行车时有x车 =x自 自行车位移：x自 =vt 1 2 汽车位移：x车 = at 2 解得t 4 s 此时汽车的速度v =v0 at 3 4 12m / s
a=3m/s2
解：以自行车的速度方向为正方向， (1)当v车 =v自时，两者距离最大 由v v0 at 得
甲车在前以 15m/s 的速度匀速行驶，乙车在后 以9m/s的速度行驶。当两车相距32m时，甲车 开始刹车，加速度大小为 1m/s2 。问经多少时 间乙车可追上甲车？
v乙= 9m/s
32m
v甲= 15m/s
a=1m/s2
追上处
分析：画出运动的示意图如图示：
乙车追上甲车可能有两种不同情况： 甲车停止前被追及和甲车停止后被追及。 究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际 情况判断。
位移关系： 时间关系： 速度关系：
汽车正以 10 m / s 的速度 在平直的公路上前进，突然发现正前 2 方有一辆自行车以 6m / s 的速度做同 方向的匀速直线运动，汽车立即关闭 油门做加速度大小为 4m / s 的匀减 速运动，汽车恰好没有碰上自行车， 求关闭油门时汽车离自行车多远？3m
位移关系： 时间关系： 相等 速度关系：
6 3 0 1 2 3 4 5
B
A t /s
6
甲乙两车同时同向从同一地点出发，甲车以v1=16m/s的 初速度，a1=-2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙车以 v2=4m／s的速度，a2=1m／s2的加速度作匀加速直线运 动，求两车再次相遇前两车相距最大距离和再次相遇时 两车运动的时间。 解法一：当两车速度相同时，两车相距最远，此时 两车运动时 间为t1，两车速度为v 对甲车： v = v1+a1t1 对乙车： v = v2+a2t1 两式联立得 t1=(v1-v2)/(a1-a2) = 4s

追及问题精讲知识导航追及路程＝甲走的路程—乙走的路程＝甲的速度×追及时间—乙的速度×追及时间＝（甲的速度—乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.例1：甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米．同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米．两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车？（火车长度忽略不计）解析：追及路程即为两地距离240千米，速度差90－60=30（千米）所以追及时间240÷30=8（小时）.【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.解析：若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷（60－40）=10（分）答：哥哥10分钟可以追上弟弟.【巩固2】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，乙每小时行驶15千米，甲每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？解析：出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15－10=5（千米），即两人的速度的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上：10÷(15－10)=2（小时）答：还需要2个小时.【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？解析：追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。

（6×12）÷（78－6）=1(小时)．答：通讯员1小时能赶上先谴队.例2：小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？爸爸追上小明时他们离家多远？解析：如图：当爸爸开始追小明时，小明已经离家：70×12=840(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短280－70=210(米)，也就是爸爸与小明的速度差为280－70=210 (米/分),爸爸追及的时间：840÷210=4(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发12 + 4=16(分钟)，此时离家的距离是： 70×16=1120 (米)【巩固1】哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远?解析：哥哥出发的时候弟弟走了：40×5=200（米），哥哥追弟弟的追及时间为：200÷(65－40)=8（分钟），所以家离学校的距离为：8×65=520（米）.答：他们家离学校有520米。

解答追及问题可适当的选择画图法、假设法、比较 法等思考方法解题。
例题精讲

例.好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几 天能追上劣马？ 解：（1）劣马先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米） （2）好马几天追上劣马？ 900÷（120－75）＝20（天） 综合算式： 75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天） 答：好马20天能追上劣马。
解析：敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是 （22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×
（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知：
追及距离
速度差
追及时间
220÷20=11（小时）
综合算式：［10×（22－6）＋60］÷（30－10）


＝220÷20
＝11（小时） 答：解放军在11小时后可以追上敌人。
例2.小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一 圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明
第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少 米。
小亮跑的路程 追及时间 小亮速度
40×（500÷200）=100（秒） 300÷100=3（米）
答：小亮的速度是每秒3米。

例3.我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在 下午16点开始从甲地以每小时 10千米的速度逃跑，解 放军在晚上 22点接到命令，以每小时30千米的速度开 始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60千米，问解放军 几个小时可以追上敌人？
180×2÷（90－60）＝12（分钟） 家离学校的距离为： 90×12－180＝900（米） 答：家离学校有900米远。

例6
孙亮打算上课前5分钟到学校，他以 每小时4千米的速度从家步行去学校，当他 走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此 立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来 算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可 比原来步行早9，两人都要从东城到西 城，自行车每小时行18千米，摩托车每小时行54千米， 甲先出发1.5小时，乙沿着同一条路线去追赶甲，多少 时间能赶上甲？

得 t＝9s ∴ Δx＝a1t2/2－a2(t－3)2/2＝270m
1、在一条公路上并排停着A、B两车，A车先启 动，加速度a1＝20m/s2，B车晚3s启动，加速度 a2＝30m/s2，以A启动为计时起点，问：在A、 B相遇前经过多长时间两车相距最远？这个距 离是多少？
解二、 Δx＝a1t2/2－a2(t－3)2/2 ＝－ 5t2＋90t－135 ＝－5(t2－18t＋27)
at'＝6 t'＝6s 在这段时间里，人、车的位移分别为：
x人＝v人t＝6×6＝36m x车＝at'2/2＝1×62/2＝18m Δx＝x0＋x车－x人＝25＋18－36＝7m
题型三：速度大的匀减速直线运动追速度 小的匀速运动：
⑴当两者速度相等时，若追者仍未追上 被追者，则永远追不上，此时两者有最 小距离。
（两者相距一定距离，开始时匀速运动的速度大） 开始两者距离减小，直到两者速度相等，然后 两者距离开始增加。所以： 到达同一位置前，速度相等， 则追不上。
到达同一位置时，速度相等，则只能相遇一次。 到达同一位置时， v加﹤ v匀， 则相遇两次。
例2、车从静止开始以1m/s2的加速度前进， 车后相距x0为25m处，某人同时开始以 6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不 上，求人、车间的最小距离。
问题三：解决追及问题的突破口在哪？ 突破口：研究两者速度相等时的情况
在追及过程中两物体速度相等时， 是能否追上或两者间距离有极值 的临界条件。
常见题型一：
匀加速(速度小)直线运动追及匀速(速度大)直线运动
开始两者距离增加，直到两者速度相等， 然后两者距离开始减小，直到相遇，最后 距离一直增加。
即能追及上且只能相遇一次，两者之间在 追上前的最大距离出现在两者速度相等时。

第十五讲追及问题知识点睛：1. 速度差：快车比慢车单位时间内多行的路程。

即快车每小时比慢车多行的或每分钟多行的路程。

追及时间：快车追上慢车所用的时间。

路程差：快车开始和慢车相差的路程。

2．熟悉追及问题的三个基本公式：路程差=速度差×追及时间；速度差=路程差÷追及时间；追及时间=路程差÷速度差3．解题技巧：在理解行驶时间、地点、方向等关系的基础上画出线段图，分析题意思，寻找路程差及另外两个量之间的关系，最终找到解答方法。

一、行程公式例1：甲乙两辆列车同时从相距150千米的A、B两城向C城驶出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行45千米，乙车在前，甲车在后，几小时后，甲车才能追上乙车？练习1：1、甲、乙两人分别从相距24千米的两地同时向东行驶，甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走5千米，几小时后甲可以追上乙？2、甲、乙两人分别从相距36千米的A、B两城同向而行，乙在甲的前面，甲每小时行15千米，乙每小时行6千米，几小时后甲可以追上乙？例2：双胞胎姐妹在同一小学上学，妹妹以每分钟50米的速度从家走向学校，姐姐比妹妹晚10分钟出发，为了不迟到，她以每分钟150米的速度从家跑步上学，结果两人却同时到达学校，求家到学校的距离有多远？练习2：1、A、B两地相距900千米，甲走完两地需15天，乙走完两地需12天，如果甲先走2天，乙再去追甲，问要走多少千米才能追上？2、小伟和小华从学校到电影院看电影，小伟以每分钟60米的速度向电影院走去。

5分钟后小华以每分钟80米的速度向电影院走去，结果两人同时到达电影院。

学校到电影院有多少米？例3：小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明。

小强骑自行车的速度是多少？练习3：1、甲轮船以每小时16千米的速度由一码头出发，经过3小时，乙轮船也由同一码头按照相同方向出发，再经过12小时追上甲轮船，乙轮船的速度是多少？2、骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？二、环形跑道例4：一条环形跑道长400米，小明每分钟跑300米，小红每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多长时间小明第一次追上小红？练习4：1、光明小学有一条长200米的环形跑道，小明和小红同时从起跑线起跑，小明每秒跑6米，小红每秒跑4米。