专题五万有引力与航天考点1 万有引力定律及其应用1.[2020河北六校第一次联考]我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体S1和S2构成,两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动.由天文观测知其运动的周期为T,S1到C点的距离为r1,S1与S2间的距离为r,已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为()A.4π2r2(r-r1)GT2B.4π2r13GT2C.4π2r3GT2D.4π2r2r1GT22.[2020安徽合肥调研]在国产科幻片《流浪地球》中,人类带着地球流浪至木星附近时,上演了地球的生死存亡之战.木星是太阳系内体积最大、自转最快的行星,早期伽利略用自制的望远镜发现了木星的四颗卫星,其中“木卫三”离木星表面的高度约为h,它绕木星做匀速圆周运动的周期约为T.已知木星的半径约为R,引力常量为G,则由上述数据可以估算出()A.木星的质量B.“木卫三”的质量C.“木卫三”的密度D.“木卫三”的向心力3.[2020广东惠州第一次调研]一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行,若已知引力常量G,要知道该行星的密度,仅需要测量()A.该飞船的运行的速度B.该飞船的环绕半径C.该飞船的运行周期D.该飞船的质量4.[2020江西南昌高三摸底,多选]2019年1月3日,“嫦娥四号”成为了全人类第一个在月球背面成功实施软着陆的探测器.为了减小凹凸不平的月面可能造成的不利影响,“嫦娥四号”采取了近乎垂直的着陆方式.测得“嫦娥四号”近月环绕周期为T,已知月球的半径为R,引力常量为G,下列说法正确的是()A.“嫦娥四号”着陆前的时间内处于失重状态B.“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动的速度为7.9 km/sC.月球表面的重力加速度g月=4π2RT2D.月球的密度ρ=3πGT25.[2020福建五校第二次联考]据报道,科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星.假设该行星质量约为地球质量的6.4倍,半径约为地球半径的4倍.若宇航员登陆该行星,在该行星表面将一小球以4 m/s的速度竖直向上抛出,空气阻力忽略不计,已知地球表面重力加速度g地=10 m/s2.下列说法正确的是()A.该行星表面重力加速度大小为16 m/s2B.经过2 s小球落回抛出点C.经过2 s小球上升到最高点D.小球上升的最大高度为0.8 m6.[2020江苏海安二模,多选]如图,海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M、N 为轨道短轴的两个端点,运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用,则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A .从P 到M 所用的时间等于T04B .从Q 到N 阶段,机械能逐渐变大C .从P 到Q 阶段,速率逐渐变小D .从M 到N 阶段,万有引力对它先做负功后做正功7.[2019江西师大附中检测]星系由很多绕星系中心做圆周运动的恒星组成.科学家研究星系的一种方法是测量恒星在星系中的运行速度v 和到星系中心的距离r ,用v ∝r n 来表达二者之间的关系,科学家们特别关心指数n.若作用于恒星的引力主要来自星系中心的巨型黑洞,则n 的值为( )A.1B.2C.12 D.-128.[2019贵州铜仁一中模拟]关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程,下列说法正确的是( )A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动定律B.开普勒指出,地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度,对万有引力定律进行了月—地检验D.第一个通过实验比较准确地测出引力常量的科学家是卡文迪许9.[新角度,6分]开普勒行星运动第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a 的三次方与它的公转周期T 的二次方成正比,即a 3T 2=k ,k 是一个对所有行星都相同的常量.(1)将行星绕太阳的运动按匀速圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量k 的表达式.已知引力常量为G ,太阳的质量为M 太.(2)开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立.经测定地月距离为3.84×108 m,月球绕地球运动的周期为2.36×106 s,试计算地球的质量M地.(G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2,结果保留1位有效数字)考点1万有引力定律及其应用1.D对星体S1,由万有引力定律和牛顿第二定律有G m1m2r2=m1r1(2πT)2,解得星体S2的质量m2=4π2r2r1GT2,选项D正确.2.A“木卫三”绕木星做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力有G Mm(R+ℎ)2=m(2πT)2·(R+h),解得M=4π2(R+ℎ)3GT2,故可以估算出木星的质量M,而“木卫三”的质量m无法确定,故无法确定其密度和向心力,所以A项正确,B、C、D项错误.3.C根据密度公式得ρ=MV =M43πR3.若已知飞船的运行速度,根据万有引力提供向心力有G MmR2=m v2R,解得M=v2RG ,代入密度公式得ρ=3v24πRG,不知道行星半径R,无法求出行星的密度,A错误.若已知飞船的运行周期,则根据万有引力提供向心力有G MmR2=m4π2T2R,解得M=4π2R3GT2,代入密度公式得ρ=3πGT2,得到运行周期T可以求出密度,C正确.若已知飞船的环绕半径而不知道运行速度v,无法求出行星的密度,B错误.若已知飞船的质量,在根据万有引力提供向心力列式子时,飞船的质量就消去了,不知道行星的质量和半径,仍然无法计算行星的密度,D错误.4.CD根据题述“嫦娥四号”采取近乎垂直的着陆方式实施软着陆,在着陆前的一段时间内一定做减速运动,加速度竖直向上,处于超重状态,选项A错误;“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做匀速圆周运动,其速度v=√g月R,即月球的第一宇宙速度,又月球的半径和表面重力加速度均小于地球的,故月球的第一宇宙速度一定小于地球的第一宇宙速度7.9 km/s,选项B错误;“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做匀速圆周运动,由万有引力定律和牛顿第二定律有G MmR2=mg月,G MmR2=mR(2πT)2,联立解得月球表面的重力加速度g月=4π2RT2,选项C正确;由G MmR2=mR(2πT)2,V=43πR3,ρ=MV,联立解得月球的密度ρ=3πGT2,选项D正确.5.B在星球表面,有G MmR2=mg,可得该行星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为g' g 地=M'R地2M地R'2=6.4×(14)2=25,则该行星表面的重力加速度g'=25g地=25×10 m/s2=4 m/s2,选项A错误;在该行星上将小球以v0=4 m/s的速度竖直向上抛出, 小球落回抛出点时有v0t-12g't2=0,解得t=2 s,即小球经过2 s落回抛出点,选项B正确,C错误;根据竖直上抛运动的对称性可知,小球上升的总时间t1=1 s,小球上升的最大高度h=v0t1-12g't12=2 m,选项D错误.6.CD海王星从P运动到Q的过程中,引力做负功,根据动能定理可知,速率越来越小,C项正确;海王星从P到M的平均速率大于从M到Q的平均速率,路程相等,因此从P到M的时间小于T04,A 项错误;由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用,引力做功不改变海王星的机械能,即从Q 到N的运动过程中海王星的机械能守恒,B项错误;从M到Q的运动过程中,引力做负功,从Q到N的过程中,引力做正功,即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功,D项正确. 7.D设巨型黑洞质量为M,恒星的质量为m.恒星需要的向心力由巨型黑洞对它的万有引力提供,则有G Mmr2=m v2r,解得v=√GMr=√GM·r-12,所以v∝r-12,n为-12,D正确.8.D开普勒对天体的运动做了多年的研究,最终得出了行星运动三大定律,故A错误.牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到太阳的引力,引力大小与行星到太阳的距离的二次方成反比,故B错误.牛顿通过比较月球公转的向心加速度与地面附近物体做自由落体运动的加速度,对万有引力定律进行了月—地检验, 故C错误.第一个通过实验比较准确地测出引力常量的科学家是卡文迪许,故D正确.9.解析:(1)因行星绕太阳的运动可视为匀速圆周运动,于是轨道半长轴a即轨道半径r,根据万有引力定律提供向心力有G m行M太r2=m行(2πT)2r(1分)于是有r3T2=G4π2M太(1分)即k=G4π2M太.(1分)(2)在地月系统中,设月球绕地球运动的轨道半径为R0,周期为T0,由题意可得R03 T02=G4π2M地(2分)解得M地=6×1024 kg.(1分)。
