2015年陕西省中考数学总复习教学案：第27讲 几何作图

初中几何作图教案教学目标：1. 掌握几何作图的基本方法和技巧。

2. 能够运用尺规作图解决简单的几何问题。

3. 理解几何作图在数学中的重要性和实际应用。

教学内容：1. 尺规作图的基本概念和技巧。

2. 五种常用的基本作图方法。

3. 几何作图的实际应用案例。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入尺规作图的概念，解释尺规作图的意义和作用。

2. 引导学生思考尺规作图在几何学中的重要性和实际应用。

二、基本作图方法（15分钟）1. 介绍尺规作图的基本方法，包括直线、射线、圆、弧等的作法。

2. 演示和讲解五种常用的基本作图方法：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、平分已知角、作线段的垂直平分线、经过一点作已知直线的垂线。

三、实践操作（15分钟）1. 让学生独立完成一些基本的尺规作图题目，巩固所学的作图方法。

2. 引导学生思考和解决作图过程中遇到的问题，提高作图的技巧和能力。

四、几何作图的实际应用（15分钟）1. 介绍几何作图在实际问题中的应用，如计算几何图形的面积、证明几何定理等。

2. 给出一些实际应用案例，让学生运用尺规作图解决问题，培养学生的实际操作能力和解决问题的能力。

五、总结和复习（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调尺规作图的基本方法和技巧。

2. 提醒学生复习和巩固所学的作图方法，以便能够灵活运用。

教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，评价学生对尺规作图的基本概念和方法的理解和掌握程度。

2. 通过课后作业和练习题，评价学生运用尺规作图解决实际问题的能力。

教学资源：1. 尺规作图的演示和示例图。

2. 练习题和实际应用案例。

教学建议：1. 在教学中，注重学生的实际操作能力的培养，鼓励学生动手实践，提高学生的作图技巧。

2. 结合具体的实际应用案例，让学生感受几何作图在解决实际问题中的重要性。

3. 加强对学生作图过程的指导，引导学生思考和解决作图过程中遇到的问题。

专题四 情境应用型问题情境应用问题是以现实生活为背景，取材新颖，立意巧妙，重在考查阅读理解能力和数学建模能力，让学生在阅读理解的基础上，将实际问题转化为数学问题．其主要类型有代数型(包括方程型、不等式型、函数型、统计型)和几何型两大类．解决代数型应用问题：关键是审题，弄清关键词句的含义；重点是分析，找出问题中的数量关系，并将其转化为数学式子，进行整理、运算、解答．解决几何型应用问题：一般是先将实际问题转化为几何问题，再运用相关的几何知识进行解答，要注重数形结合，充分利用“图形”的直观性和“数”的细微性．三个解题方法(1)方程(组)、不等式、函数型情境应用题：解决这类问题的关键是针对背景材料，设定合适的未知数，找出相等关系，建立方程(组)、不等式、函数型模型来解决；(2)统计概率型应用题：解决这类问题：①要能从多个方面去收集数据信息，特别注意统计图表之间的相互补充和利用；②通过对数据的整理，能从统计学角度出发去描述、分析，并作出合理的推断和预测；(3)几何型情境应用题：解决这类问题的关键是在理解题意的基础上，对问题进行恰当地抽象与概括，建立恰当的几何模型，从而确定某种几何关系，利用相关几何知识来解决．几何求值问题，当未知量不能直接求出时，一般需设出未知数，继而建立方程(组)，用解方程(组)的方法去求结果，这是解题中常见的具有导向作用的一种思想．方程型情境应用题【例1】 (2013·温州)某校举办八年级学生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，下表为甲、乙、丙三位同学得分情况(单位：分)：(1)按10%，40%，20%，30%折算记入总分，根据猜测，求出甲的总分；(2)本次大赛组委会最后决定，总分为80分以上(包含80分)的学生获一等奖，现获悉乙、丙的总分分别是70分，80分．甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分，问甲能否获得这次比赛的一等奖？解：(1)由题意，得甲的总分为：66×10%＋89×40%＋86×20%＋68×30%＝79.8； (2)设趣题巧解所占的百分比为x ，数学运用所占的百分比为y ，由题意得⎩⎨⎧20＋60x ＋80y ＝70，20＋80x ＋90y ＝80，解得⎩⎨⎧x ＝0.3，y ＝0.4，∴甲的总分为：20＋89×0.3＋86×0.4＝81.1＞80，∴甲能获一等奖．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用、加权平均数的运用，在解答时建立方程组求出趣题巧解和数学运用的百分比是解答本题的关键．1．(2014·山西)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队在绿化了22000平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．(1)该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？(2)该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成x 米2，根据题意得：46000－22000x－46000－220001.5x＝4解得：x ＝2000，经检验，x ＝2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米(2)设人行道的宽度为x 米，根据题意得，(20－3x)(8－2x)＝56，解得：x ＝2或x ＝263(不合题意，舍去)．答：人行道的宽为2米．不等式型情境应用题【例2】 (2014·河北)某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD ，如图①和图②.现有1号、2号两游览车分别从出口A 和景点C 同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计)，两车速度均为200米/分．探究：设行驶时间为t 分．(1)当0≤t ≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A 的路程y 1，y 2(米)与t(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时，t 的值；(2)t 为何值时，1号车第三次恰好经过景点C ？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．发现：如图②，游客甲在BC 上的一点K(不与点B ，C 重合)处候车，准备乘车到出口A ，设CK ＝x 米．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多？(含候车时间)决策：已知游客乙在DA 上从D 向出口A 走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA 上一点P(不与点D ，A 重合)时，刚好与2号车迎面相遇．(1)他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A 用时少，请你简要说明理由；(2)设PA ＝s(0＜s ＜800)米．若他想尽快到达出口A ，根据s 的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中．他该如何选择？解：探究：(1)由题意，得y 1＝200t ，y 2＝－200t ＋1600，当相遇前相距400米时，－200t ＋1600－200t ＝400，t ＝3，当相遇后相距400米时，200t －(－200t ＋1600)＝400，t ＝5.答：当两车相距的路程是400米时t 的值为3分钟或5分钟(2)由题意，得1号车第三次恰好经过景点C 行驶的路程为：800×2＋800×4×2＝8000，∴1号车第三次经过景点C 需要的时间为：8000÷200＝40分钟，两车第一次相遇的时间为：1600÷400＝4.第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为：800×4÷400＝8，∴两车相遇的次数为：(40－4)÷8＋1＝5次．∴这一段时间内它与2号车相遇的次数为：5次．发现：由题意，得情况一需要时间为：800×4－x 200＝16－x 200，情况二需要的时间为：800×4＋x 200＝16＋x 200，∵16－x 200＜16＋x 200，∴情况二用时较多．决策：(1)∵游客乙在AD 边上与2号车相遇，∴此时1号车在CD 边上，∴乘1号车到达A 的路程小于2个边长，乘2号车的路程大于3个边长，∴乘1号车的用时比2号车少．(2)若步行比乘1号车的用时少，s 50＜800×2－s 200，∴s ＜320.∴当0＜s ＜320时，选择步行．同理可得当320＜s ＜800时，选择乘1号车，当s ＝320时，选择步行或乘1号车一样．【点评】现实世界中的不等关系是普遍存在的．许多问题有时并不需要研究他们之间的相等关系，而只需确定某个量的变化范围即可对所研究的问题有比较清楚的认识．本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知得出不等式，求出所有方案是解题关键．2．(2012·宁波)为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：(说明：①费用)已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．(1)求a ，b 的值；(2)随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%.若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？解：(1)由题意，得⎩⎨⎧17（a ＋0.8）＋3（b ＋0.8）＝66，①17（a ＋0.8）＋8（b ＋0.8）＝91，②②－①，得5(b ＋0.8)＝25，b ＝4.2，把b ＝4.2代入①，得17(a ＋0.8)＋3×5＝66，解得a ＝2.2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2.2，b ＝4.2. (2)当用水量为30吨时，水费为：17×3＋13×5＝116元，∵9200×2%＝184元，116＜184，∴小王家六月份的用水量可以超过30吨．设小王家六月份用水量为x 吨，由题意，得17×3＋13×5＋6.8(x －30)≤184，6.8(x －30)≤68，解得x ≤40.答：小王家六月份最多能用水40吨．统计与概率型情境应用题【例3】 (2013·潍坊)随着我国汽车产业的发展，城市道路拥堵问题日益严峻．某部门对15个城市的交通状况进行了调查，得到的数据如下表所示：(2)求15个城市的平均上班堵车时间；(计算结果保留一位小数)(3)规定：城市的堵车率＝上班堵车时间上班花费时间－上班堵车时间×100%，比如：北京的堵车率＝1452－14×100%＝36.8%；沈阳的堵车率＝1234－12×100%＝54.5%.某人欲从北京、沈阳、上海、温州四个城市中任意选取两个作为出发目的地，求选取的两个城市的堵车率都超过30%的概率．解：(1)补全的统计图如图所示：(2)平均上班堵车时间＝(14＋12×4＋11×2＋7×2＋6×2＋5×3＋0)÷15≈8.3(分钟)(3)上海的堵车率＝11÷(47－11)＝30.6%，温州的堵车率＝5÷(25－5)＝25%，堵车率超过30%的城市有北京、沈阳和上海．从四个城市中选两个的方法共有6种(北京，沈阳)，(北京，上海)，(北京，温州)，(沈阳，上海)，(沈阳，温州)，(上海，温州)．其中两个城市堵车率均超过30%的情况有3种：(北京，沈阳)，(北京，上海)，(沈阳，上海)所以选取的两个城市堵车率都超过30%的概率P＝36＝12.【点评】此题主要考查了概率公式的应用以及加权平均数的应用和条形图的应用，根据图表得出正确的数据关系是解题关键．第三问先确定堵车率超过30%的城市，再根据概率的意义，用列表或树形图表示出所有可能出现的结果，找出关注的结果，从而求出它的概率．3．(2014·宁夏)如图是银川市6月1日至15日的空气质量指数趋势折线统计图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气质量重度污染．某人随机选择6月1日至6月14日中的某一天到达银川，共停留2天．(1)求此人到达当天空气质量优良的天数；(2)求此人在银川停留2天期间只有一天空气质量是重度污染的概率；(3)由折线统计图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大．(只写结论)解：(1)此人到达当天空气质量优良的有：第1天、第2天、第3天、第7天、第12天，共5天(2)此人在银川停留两天的空气质量指数是：(86，25)，(25，57)，(57，143)，(143，220)，(220，158)，(158，40)，(40，217)，(217，160)，(160，128)，(128，167)，(167，75)，(75，106)，(106，180)，(180，175)，共14个停留时间段，期间只有一天空气质量重度污染的有：第4天到、第5天到、第7天到及第8天到．因此，P(在银川停留期间只有一天空气质量重度污染)＝414＝2 7(3)根据折线图可得从第5天开始的第5天、第6天、第7天连续三天的空气质量指数方差最大．几何型情境应用题【例4】(2013·铜仁)为了测量旗杆AB的高度．甲同学画出了示意图①，并把测量结果记录如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD＝a，CA＝b，CE＝c；乙同学画出了示意图②，并把测量结果记录如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE＝m，AE ＝n，∠BDC＝α.(1)请你帮助甲同学计算旗杆AB 的高度(用含a ，b ，c 的式子表示)；(2)请你帮助乙同学计算旗杆AB 的高度(用含m ，n ，α的式子表示)．解：解：(1)∵DC ⊥AE ，BA ⊥AE ，∴△ECD ∽△EAB ，∴CD AB ＝CE AE ，即：a AB ＝c c ＋b，∴AB ＝a （c ＋b ）c ＝a ＋ab c(2)∵AE ⊥AB ，DC ⊥AB ，DE ⊥AE ，∴DC ＝AE ＝n ，AC ＝DE ＝m ，在Rt △DBC 中，BC CD＝tan α，∴BC ＝n·tan α，∴AB ＝BC ＋AC ＝n ·tan α＋m【点评】 本题考查了相似三角形的应用及解直角三角形的应用，解决本题的关键是根据题目的条件判定相似三角形．4．(2014·德州)问题背景：如图①：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG ＝BE.连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是__EF ＝BE ＋DF__；探索延伸：如图②，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．解：问题背景：EF ＝BE ＋DF ；探索延伸：EF ＝BE ＋DF 仍然成立．证明如下：如图，延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ，∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝BE ∠B ＝∠ADG AB ＝AD，∴△ABE ≌△ADG(SAS )，∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ∠EAF ＝∠GAF AF ＝AF，∴△AEF ≌△AGF(SAS )，∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF ；实际应用：如图，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°＋90°＋(90°－70°)＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EAF ＝12∠AOB ，又∵OA ＝OB ，∠OAC ＋∠OBC ＝(90°－30°)＋(70°＋50°)＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF ＝AE ＋BF 成立，即EF ＝1.5×(60＋80)＝210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里试题 为了鼓励居民节约用水，我市某地水费按下表规定收取：(1)式是：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ （0≤x ≤10）， （x ＞10）； (2)若小华家4月份付水费17元，问他家4月份用水多少吨？(3)已知该住宅小区100户居民5月份交水费1682元，且该月每户用水量不超过15吨(含15吨)，求该月用水量不超过10吨的居民最多可能有多少户？错解 (1)1.3x ；13＋2(x －10)(2)设小华家4月份用水量为x 吨，∵17＞1.3×10，∴小华家4月份用水量超过10吨，由题意，得1.3×10＋(x －10)×2＝17，2x ＝24，x ＝12，即小华家4月份用水12吨．(3)由题意，要求这个月用水量不超过10吨的居民最多的户数，则假设每户用水量均用了10吨，即1.3×1000＝1300，那么1682－1300＝382(元)．表明当每户用10吨水时，还有一部分用户又用了382元的水，则按15吨的用水量去计算用户数，那么余下的表示不超过10吨的用户数，此时不超过10吨的用户数将达到最多，即382÷[(15－10)×2]＝38.2(户)，四舍五入取38户．故不超过10吨的用户数为100－38＝62(户)．剖析 此题在第(3)问的分析中，没有按题意建立不等式去求解，则容易造成与实际情况脱轨．若不超过10吨用水量的居民有62户，则即使这62户都用了10吨水，总水费为13×62＝806(元)；还有38户即使都用了15吨水，其总水费仅为：38×[13＋(15－10)×2]＝874(元)．那么这100户居民的总水费仅为806＋874＝1680(元)＜1682(元)．问题出在每户用水超过10吨时不能用四舍五入的方式取整数解，而应该取大于38.2的整数解，即39户．故这个月用水量不超过10吨的居民最多为100－39＝61(户)．正解(1)1.3x；13＋2(x－10)(2)设小华家4月份用水量为x吨．∵17＞1.30×10，∴小华家4月份用水量超过10吨．由题意得1.3×10＋(x－10)×2＝17，∴2x＝24，∴x＝12(吨)．即小华家4月份的用水量为12吨．(3)设该月用水量不超过10吨的用户有a户，则超过10吨不超过15吨的用户为(100－a)户，由题意得13a＋[13＋(15－10)×2](100－a)≥1682，化简得10a≤618，∴a≤61.8.故正整数a的最大值为61.即这个月用水量不超过10吨的居民最多可能有61户．。

陕西中考数学第题尺规作图专题练习复习图（1）图（2）2015中考数学--尺规作图（复习）班别：姓名：学号：⼀、理解“尺规作图”的含义1.在⼏何中，我们把只限定⽤直尺（⽆刻度）和圆规来画图的⽅法，称为尺规作图．其中直尺只能⽤来作直线、线段、射线或延长线段；圆规⽤来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与⼀般的画图不同，⼀般画图可以动⽤⼀切画图⼯具，包括三⾓尺、量⾓器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．2.基本作图：（1）⽤尺规作⼀条线段等于已知线段；（2）⽤尺规作⼀个⾓等于已知⾓. 利⽤这两个基本作图，可以作两条线段或两个⾓的和或差. ⼆、基本作图最基本,最常⽤的尺规作图,通常称基本作图。

⼀些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图：1、作⼀条线段等于已知线段；2、作⼀个⾓等于已知⾓；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知⾓的⾓平分线；5、过⼀点作已知直线的垂线；1.作⼀条线段等于已知线段。

已知：如图，线段a .求作：线段AB ，使AB = a . 作法：（1）作射线AP ；（2）在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。

2. 作⼀个⾓等于已知⾓。

求作⼀个⾓等于已知⾓∠MON （如图1）．已知：如图，∠MON .求作：∠COD ，使∠COD =∠MON . 作法：（1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆⼼，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆⼼，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；（4）以C 为圆⼼，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的⾓． 3.作已知线段的中点。

已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.作法：（１）分别以M、N为圆⼼，⼤于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则点O就是所求作的ＭＮ的中点。

初中数学课堂教案：几何作图一、引言几何作图是初中数学教学中的重要内容之一。

通过几何作图的学习，学生可以培养准确观察、分析问题的能力，并运用所学知识解决实际问题。

本篇教案将围绕几何作图的基本概念、常用工具和作图步骤展开，旨在帮助学生掌握几何作图的技巧和方法。

二、基本概念1. 几何作图的定义几何作图是利用几何工具和规定的步骤，在平面上根据给定条件画出线段、角、三角形、四边形等几何图形的过程。

2. 几何作图的分类几何作图可以分为直尺作图和圆规作图两种。

直尺作图是利用直尺和铅笔，在平面上绘制线段、角等不同图形。

圆规作图是利用圆规、直尺和铅笔，在平面上绘制含有圆弧的图形。

三、常用工具1. 直尺直尺是绘制直线和线段的基本工具，它具有边缘光滑、刻度清晰的特点。

2. 圆规圆规是绘制圆弧和圆的基本工具，它由两臂组成，一个固定在底板上，一个可调节，可以用来绘制不同半径的圆弧。

3. 铅笔铅笔是绘制几何图形时常用的书写工具，它要削尖并保持干净，以确保绘制的图形准确无误。

四、几何作图的步骤几何作图的步骤可以总结为以下四个基本步骤。

第一步：分析题目，明确作图要求仔细阅读题目，理解题意，明确需要作图的对象和要求。

第二步：准备条件，选择合适工具根据题目要求，选择适当的工具，如直尺、圆规等，确保作图的准确性和完成性。

第三步：按顺序进行作图根据给定条件，依次按照规定的步骤完成作图，注意线条的精确度和图形的准确性。

第四步：细化图形，标注必要的信息作图完成后，对图形进行必要的标注，如线段的长度、角的度数等，以便于进一步分析和解题。

五、实践案例以作图一个等边三角形为例，介绍几何作图的具体步骤和技巧。

1. 题目要求：作一个边长为5cm的等边三角形。

2. 准备条件：直尺、铅笔。

3. 步骤：步骤一：用直尺画一条长5cm的线段AB。

步骤二：以A为圆心，以AB为半径，画一条弧与线段AB相交于点C。

步骤三：以B为圆心，以AB为半径，画一条弧与线段AB相交于点D。