九年级下册人教版数学知识点归纳

一、目标与要求1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2.掌握000604530、、等特殊角的三角函数值。

3.掌握三角函数定义式：sinA=c a ，c b A cos ，tanA=b a ，cotA=ab。

会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角。

4.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。

5.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想。

6.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。

7.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。

二、知识框架三、重点、难点（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住。

（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。

（3）锐角三角函数的概念。

（4）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力。

四、中考所占分数及题型分布本章会出1道选择，1道简答题，本章约占8-10分。

28.1 锐角三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+ 例. 在锐角不变的情况下，我们过它的一边上一些点分别向另一边作垂线，垂足分别为321、C 、C C ……得到11Rt AB C △、和22Rt AB C △，33Rt AB C △ ，它们之间有什么关系？∵一组直角三角形在一个锐角相等时，它们彼此相似。

∴11Rt AB C △∽22Rt AB C △∽33Rt AB C △ 即331122123B C B C B C AB AB AB ==， 也就是说，当锐角A 的度数一定时，无论这个三角形大小如何，∠A 的对边于斜边的比都是一个固定值。

新整理人教版九年级数学下册重要知识点提纲第一章函数的概念与性质- 函数的概念及表示方法- 函数的自变量和函数值- 函数的定义域和值域- 过点作图法和描点法- 直线函数- 函数的单调性和奇偶性- 函数y=f(x)+b及y=f(x-a)的图像第二章常见函数- 一次函数和二次函数- 幂函数和指数函数- 对数函数- 三角函数- 周期性函数- 分段函数第三章几何变换与图形- 平移- 旋转- 对称- 相似- 位似- 平面镜映- 空间镜映第四章数据和命题逻辑- 统计调查设计和问卷编制- 统计分布和统计图形- 等差数列和等比数列- 命题与命题联结词- 命题公式及命题的真值- 命题的充分条件和必要条件- 等价命题和常用命题的否定第五章几何图形的计算- 四边形- 三角形- 圆- 圆环和扇形- 球及其它圆锥体和圆柱体的计算第六章立体几何初步- 空间坐标系和三视图- 立体图形的种类和特征- 立体图形的表面积和体积- 平面和直线与立体的位置关系- 空间中的投影第七章相似和全等- 相似的基本概念- 判定两个三角形全等的条件- 根据全等判定几何关系- 测量和应用三角形的面积和周长- 测量和应用圆的周长和面积第八章数形关系初步- 万能公式及其应用- 勾股定理及其逆定理- 正弦、余弦、正切的定义和计算- 海伦公式及其应用- 同济柿子及其应用第九章海量数据的处理和分析- 经验规律的发现- 数据分析与表示- 用样本估计总体- 正态分布及其应用- 离散变量和连续变量的概念- 描述数据的集中趋势和离散程度- 概率的概念及其性质以上是新整理人教版九年级数学下册的重要知识点提纲。

人教版九年级数学反比例函数知识点归纳本文介绍了新人教版九年级数学下册第26章反比例函数的知识点和研究目标。

其中，重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用。

难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握。

基础知识包括反比例函数的概念和反比例函数的图象。

反比例函数的图象与x轴、y轴无交点，称取点关于原点对称。

反比例函数的图象的形状是双曲线，与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。

图象关于原点对称，对称性是反比例函数的重要性质。

如图1所示，设点P（a，b）在双曲线上。

作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积等于三角形PAO和三角形PBO的面积之和。

由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上。

作QC⊥XXX的延长线于C，则三角形PQC的面积为（图2）。

需要注意的是，双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

直线与双曲线的关系有两种情况：一种是两图象必有两个交点，另一种是两图象没有交点；当有交点时，这两个交点关于原点成中心对称。

反比例函数与一次函数有联系。

求函数解析式的方法有两种：待定系数法和根据实际意义列函数解析式。

需要注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上。

在解决问题时，可以充分利用数形结合的思想。

对于例题，若y是x的反比例函数，则应选C或A。

对于已知函数的图象在第二、四象限内和y随x的增大而减小的情况，可以求出k的值。

已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限时，可以确定它的图象位于第三象限。

若反比例函数经过点（a，b），则直线不经过的象限为第四象限。

若P （2，2）和Q（m，n）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过第一、三、四象限。

对于函数的增减性问题，需要分别讨论。

y轴作垂线，得到三个小矩形和一个三角形，它们的面积之和为20平方单位，求函数的解析式．2）已知函数y=f(x)的图象如图所示，其中ABCD为一矩形，E为函数图象上一点，且E在ABCD内部．若矩形ABCD的长为4，宽为2，求函数的解析式．答案：（1）设函数解析式为y=ax²+bx+c，由题意可列出方程组：a+b+c=54a+2b+c=2016a+4b+c=80解得a=2，b=-4，c=7，因此函数的解析式为y=2x²-4x+7．2）设函数解析式为y=f(x)=kx+m，由题意可得：f(0)=m=2f(2)=2k+m=4f(4)=4k+m=0解得k=-1/2，m=2，因此函数的解析式为y=-1/2x+2．1) 在图中，通过每个点作两条垂线段，分别与x轴和y轴围成一个矩形。

★第28章《锐角三角函数》单元核心考点归纳核心考点1三个概念 （一）正弦1·在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°,AC ＝12,BC ＝5,则sin A 为( ) A ．512B ．125C ．1213D ．513【答案】D2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,AC ＝9,sin B ＝35，则AB 的长等于（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6【答案】A（二）余弦3．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC ：CA ：AB ＝5：12：13，则cos B ＝( ) A ．512B ．1252C ．513D ．1213【答案】D4．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那∠cos α的值是( ) A ．34B ．43C ．35D ．45【答案】D第4题图第6题图第7题图C D（三）正切5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( ) A ．13B ．3CD ．【答案】D6．如图，在网格中，小正方形的边长均为l ，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2BC ．D ．12【答案】D7．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ，D 是AC 的中点，设∠ABD 为α，那∠tan α的值为( ) A ．2 B ．2 C ．12 D ．13 【答案】D8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，B ，∠C 的对边，a ：c ＝2：3，求sin A ，tan B 的值．ABC解∵a ：c ＝2：3．设a ＝2k 走，c ＝3k （k ≠0），∴．b ＝ 225c a k -=，∴sin A ＝23a c = ,tan B ＝55k =核心考点2一个运算——特殊角的三角函数值与实数运算9．计算：( 1) tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45° 解：34(2)tan 245°＋21sin 30⎛⎫ ⎪⎝⎭－3cos 230°－(2－l )0.解：14＋4－94－1＝1核心考点3 四个应用应用l 解直角三角形10.如图，在△ABC 中，已知BC ＝13B ＝60°，∠C ＝45°，求AB ，AC 的长．A B C D CB A【答案】 解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∴AD ＝CD ，AD，∴BD ＋CD ＝BC , ∴BD＝1BD ＝1，∴AB ＝2BD ＝2，ADAC应用2利用仰角、俯角解直角三角形11.如图，某建筑物AC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ．C 在同一条直线上，小明在地面，）处观测旗杆顶端B 的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E 处，又测得旗杆顶端I 的仰角为60°，已知建筑物的高度AC ＝12米，求旗杆AB 的高度（结果精确到0.1米）．1.73≈1.41．EC解：∠DBE ＝30°．BE ＝DE ＝20m ，在Rt △BEC 中，BC ＝BE ．sin 60°＝20＝AB ＝BC －AC ＝12≈5.3 答：AB 大约是5.3米，应用3 利用方位角解直角三角形12. 如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A 地到B 地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C 处有一大型油库．现测得油库C 在A 地的北偏东60°方向上，在B 地的西北方向上，AB 的距离为250＋1）米．已知在以油库C 为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库C 是否会受到影响？请说明理由．C BAA BCD解：过C 作CD ⊥AB 于D ，∴BD ＝CD ,AD．∴BD ＋AD ＝AB ，∴CDCD ＝250l ），CD ＝250＞200；∴油库C 是不套爱到影响的．应用4利用坡角解直角三角形13．如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，离坡底10米处有一建筑物HQ ，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角∠BDC ＝30°，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（最后计算结果保留一位小数）． (1. 4141.732)H FED B A解：AH ＝10,BC ＝10,∠CAB ＝45°,在Rt △DBC 中，∠CDB ＝30°．∴DB＝tan CD BCB=∠DH ＝AH －AD ＝AH －(DB －AB )＝10－10＝20－3米，∴该建筑物要拆除． 核心考点4 四种数学思想 思想1 数形结合的思想 14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝2BC ，则sin A 的值是________ ．21CA【答案】根据题意，作出如下图形，已知AC ＝2BC ，可得到三角形的三边之比为1：2，再由正弦定义sin A ＝BC AB思想2 分类讨论的思想15．如果方程x 2－4 x ＋3＝0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tan A 的值为________ ．【答案】解：∵x 2－4 x ＋3＝0，∴x 1＝1，x 2＝3，即Rt △ABC 的两条边长分别为1和3，①当1和3分别为两直角边时，∴tan A ＝13；②当1和3分别为直角边和斜边时，∴tan A ；思想3 转化的思想16．如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD ＝50米，某人在河岸MN 的A 处测得∠DAN ＝35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测得∠CBN ＝ 70°，求河流的宽度CE （结果取整数）. （参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）PN【答案】过点C 作CH ∥DA ，则∠CHB ＝∠DAB ＝35°，∴∠BCH ＝∠CBE －∠CHB ＝35°，∴BC ＝BH ，∵CD ∥AD ，∴AH ＝CD ＝50，∴BC ＝BH ＝AB －AH ＝70，∴sin ∠CBE ＝70×sin70°＝70×0.94＝65.8≈66，所以河流的宽度CE 约为66米.PN思想4 方程的思想17．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，求tan ∠CBE 的值.DA【答案】解：设EC ＝x ，则BE ＝AE ＝8－x ，在Rt △BCE 中，62＋x 2＝（8－x ）2， 解得x ＝74，tan ∠CBE ＝CE ：BC ＝74÷6＝724. 18．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm, BC ＝10cm,求tan ∠EAF 的值.ED BC【答案】由折叠知AF ＝AD ，在Rt △ABF 中利用勾股定理求出BF ＝6，∴FC ＝4，设EE ＝x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理有42＋（8－x ）2＝x 2，∴x ＝5，tan ∠EAF ＝EF AF ＝EF AD ＝510＝12.。

新人教版九年级数学下册知识点总结一、代数运算1.1 代数式的加减法•同类项的加减法•类似于消元法的方法1.2 代数式的乘法•求和乘积公式的应用•二项式定理及其应用1.3 代数式的除法•解代数式的除法•解代数式的分式1.4 方程与方程组•一次方程与一元一次方程组•二次方程的实数解与复数解•对数与指数方程1.5 不等式•一元一次不等式•一元二次不等式•绝对值不等式二、函数初步2.1 函数的概念•种类和性质•同一函数的多种表达式2.2 函数的图像•根据函数式绘制图像•通过给定图像识别函数2.3 函数的初步性质•奇偶性•单调性•函数的最值、零点和交点2.4 一次函数•一次函数的定义和性质•一次函数的图像2.5 二次函数•二次函数的定义和性质•二次函数的图像、顶点、轴、对称性和解析式三、几何初步3.1 相似与全等•相似的判定和性质•全等的判定和性质3.2 三角形•三角形的基本性质•三角形的分类和判定3.3 平面图形的面积与体积•基本图形面积的计算•三棱锥、三棱柱、正棱锥、正棱柱、正方体、正六棱体的侧面积和体积3.4 内角和与逆定理•顶角平分线定理•中线定理•垂线定理3.5 圆•圆的周长•圆的面积•切线与割线四、统计初步4.1 数据汇总与整理•频率表的制作•条形图和折线图的绘制4.2 统计量•平均数、中位数、众数的概念•均值与平均数•离差与标准差4.3 概率•随机事件、样本空间与事件的概念•概率的概念和公式•寻找概率的方法五、解析几何初步5.1 直线的方程•一般式、截距式、斜截式等•方向角和斜率的概念5.2 圆的方程•标准式和一般式•圆的半径、直径等5.3 平面直角坐标系•坐标系的引入•坐标系的应用5.4 向量初步•向量的概念和运算•向量与坐标和距离的关系以上为新人教版九年级数学下册的知识点总结，本文档仅供参考和复习使用，请谨慎参考。

第10讲一次函数一、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎪⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（ ） A ．方差 B ．中位数C ．众数D ．平均数【答案】A【解析】试题分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，体现数据的稳定性，集中程度；方差越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．故教练要分析射击运动员成绩的波动程度，只需要知道训练成绩的方差即可． 故选A.考点：1、计算器-平均数，2、中位数，3、众数，4、方差2．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）A ．2CD AC =B ．3CD AC =C ．4CD AC =D ．不能确定【答案】B【解析】由AB=CD ，可得AC=BD ，又BC=2AC ，所以BC=2BD ，所以CD=3AC. 【详解】∵AB=CD ， ∴AC+BC=BC+BD ， 即AC=BD ， 又∵BC=2AC ， ∴BC=2BD ， ∴CD=3BD=3AC. 故选B ． 【点睛】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 3．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1B ．图像的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-3 【答案】D【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是()A．56 B．58 C．63 D．72【答案】B【解析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个. 考点：规律题5．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么PMPN的值等于（）A．12B．22C3D3【答案】B【解析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．【详解】如图，过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE＝PM，∵PN∥OB，∴∠POM＝∠OPN，∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，∴PMPN＝22．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线【答案】C【解析】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选C．【点睛】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．7．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】根据三角形中位线定理求出DE ，得到DF ∥BM ，再证明EC=EF=12AC ，由此即可解决问题． 【详解】在RT △ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=22AB BC +=2286+=10，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DF ∥BM ，DE=12BC=3， ∴∠EFC=∠FCM ， ∵∠FCE=∠FCM ， ∴∠EFC=∠ECF ， ∴EC=EF=12AC=5， ∴DF=DE+EF=3+5=2． 故选B ．8．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数的中位数和众数为( )A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6 【答案】A【解析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．【详解】由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为662=6，故选A．【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：则下列叙述正确的是（）A．这些运动员成绩的众数是5B．这些运动员成绩的中位数是2.30C．这些运动员的平均成绩是2.25D．这些运动员成绩的方差是0.0725【答案】B【解析】根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】由表格中数据可得：A、这些运动员成绩的众数是2.35，错误；B、这些运动员成绩的中位数是2.30，正确；C、这些运动员的平均成绩是2.30，错误；D、这些运动员成绩的方差不是0.0725，错误；故选B．【点睛】考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．10．如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则线段DB 的长等于（）A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm【答案】D【解析】先求AC,再根据点D是线段AC的中点，求出CD，再求BD.【详解】因为，AB=10cm，BC=4cm，所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm）因为，点D是线段AC的中点，所以，CD=3cm,所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm）故选D【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.二、填空题（本题包括8个小题）11．化简:a ba b b a+--22＝__________.【答案】a+b【解析】将原式通分相减，然后用平方差公式分解因式，再约分化简即可。

九年级下册（人教版数学）知识点汇总目录反比例函数 (1)26.1反比例函数 (1)● 反比例函数的定义 (1)● 反比例函数的图像 (1)● 反比例函数图像的对称性 (1)● 反比例函数的性质 (2)● 反比例函数系数k的几何意义 (2)● 反比例函数图像上点的坐标特征 (2)● 待定系数法求反比例函数解析式 (2)● 反比例函数与一次函数的交点问题 (3)26.2实际问题与反比例函数 (3)● 根据实际问题列反比例函数关系式 (3)● 反比例函数的应用 (4)相似 (5)27.1图形的相似 (5)● 相似图形 (5)27.2相似三角形 (5)● 相似三角形的判定 (5)● 相似三角形的应用 (5)● 相似多边形的性质 (5)● 相似三角形的性质 (6)● 相似三角形的判定与性质 (6)● 作图--相似变换 (6)● 射影定理 (6)27.3位似 (7)● 位似变换 (7)● 作图-位似变换 (7)锐角三角函数 (8)28.1锐角三角函数 (8)● 锐角三角函数的定义 (8)● 锐角三角函数的增减性 (8)● 同角三角函数的关系 (8)● 互余两角三角函数的关系 (9)● 特殊角的三角函数值 (9)28.2解直角三角形及其应用 (9)● 解直角三角形 (9)● 解直角三角形的应用 (10)● 解直角三角形的应用--坡度坡角问题 (10)● 解直角三角形的应用--仰角俯角问题 (10)● 解直角三角形的应用--方向角问题 (10)投影与视图 (11)29.1投影 (11)● 平行投影 (11)● 中心投影 (11)● 视点、视角和盲区 (11)29.2三视图 (11)● 简单几何体的三视图 (11)● 简单组合体的三视图 (12)● 由三视图判定几何体 (12)● 作图--三视图 (12)29.3课题学习、制作立体模型 (12)● 课题学习制作立体模型 (12)反比例函数26.1反比例函数●反比例函数的定义【反比例函数的概念】形如的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．【反比例函数的判断】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或.●反比例函数的图像【反比例函数的图象】反比例函数的图象是由两条曲线组成的，这两条曲线通常称为双曲线当k>0时，两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，两个分支分别位于第二、四象限①k>0②K<0●反比例函数图像的对称性【反比例函数图象的对称性】1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x ；一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称；3、反比例函数与的图象关于x轴，y轴对称.●反比例函数的性质●反比例函数系数k的几何意义【反比例系数的几何意义】1.在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．●反比例函数图像上点的坐标特征【反比例函数图象上的点的坐标特征】1. 若点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足反比例函数解析式2. 若点在反比例函数图象上，则也一定在反比例函数图象上3. 若点A（x,y）在反比例函数的图像上，则xy=k●待定系数法求反比例函数解析式【待定系数求反比例函数解析式的一般步骤】(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式；(2)把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．●反比例函数与一次函数的交点问题【反比例函数与一次函数的交点】1.(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标时，先把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，方程组无解，则两者无交点；(2)已知反比例函数与一次函数的交点坐标，把点的坐标带入函数解析式可求得函数关系式或系数间的等量关系.2.判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：(1)当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；(2)当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．26.2实际问题与反比例函数●根据实际问题列反比例函数关系式【列反比例函数关系式的一般解题思路】根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式，或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．【根据实际问题列反比例函数的步骤】步骤1：审：审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系。

第二十二单元(Yuan) 二次函数一、二次(Ci)函数概念：1．二次函数(Shu)的概念：一(Yi)般地，形如（是常(Chang)数，）的函数，叫做二次函数。

这里需(Xu)要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而(Er)可以为零．二次函数(Shu)的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k，；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到()h k，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，cbxaxy++=2变成（或）⑵cbxaxy++=2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy++=2变成（或）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c=++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c=++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c=++化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点、以及()0c，关于对称轴对称的点、与x轴的交点，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c=++的性质1. 当0a>时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最小值．向下()h k，X=hx h>时，y随x的增大而减小；x h<时，y随x的增大而增大；x h=时，y有最大值k．当(Dang)时(Shi)，y 随(Sui)x 的增大而减小(Xiao)；当时(Shi)，y 随(Sui)x 的增(Zeng)大而增大；当2bx a=-时(Shi)，y 有最小值．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：（0a ≠，，是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．的符号的判定：对称轴在y 轴左边则，在y 轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数2y ax bx c =++当函数值时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数： ① 当时，图象与x 轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离. ② 当时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当时，图象与x 轴没有交点. 当时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有；当时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为，；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.第一单元 二次根式1、二次根(Gen)式式(Shi)子叫做二次根式，二次根式必须满足(Zu)：含有二次根号“”；被开方数(Shu)a必须是非负数。

一、二次函数1.二次函数定义o二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数，可以表示为f(x)=ax²+bx+c（a不为0）。

2.基本形式o一般式：y=ax²+bx+c (a≠0)o顶点式：y=a(x-h)²+k 或y=a(x+m)²+k（h, k为常数，a≠0）o交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)3.重要概念o顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b²)/4a)o开口方向：由a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

o开口大小：由|a|决定，|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。

4.函数变化o当a>0时，x>0时y随x增大而增大；x<0时y随x增大而减小。

o当a<0时，x>0时y随x增大而减小；x<0时y随x增大而增大。

二、相似三角形1.相似三角形的定义o三条边对应成比例，三个角对应相等的两个三角形叫相似三角形。

2.相似比o相似三角形的对应边的比叫作这两个三角形的相似比。

3.判定定理o如果两个三角形的两个角对应相等，则这两个三角形相似。

o如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，则这两个三角形相似。

o如果两个三角形的三组对应边的比相等，则这两个三角形相似。

o平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

4.特殊情况o两个等边三角形一定相似。

o两个等腰直角三角形一定相似。

5.相似三角形的性质o相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

o相似三角形周长的比等于相似比。

o相似三角形面积的比等于相似比的平方。

三、锐角三角函数1.基本概念o在直角三角形中，锐角的正弦(sin)、余弦(cos)和正切(tan)等称为锐角三角函数。

2.定义o正弦(sin)：对边/斜边o余弦(cos)：邻边/斜边o正切(tan)：对边/邻边o余切(cot)：邻边/对边3.特殊角的三角函数值o需要记忆如30°、45°、60°等特殊角的三角函数值。

人教版九年级下册数学课本知识点归纳第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为a某+b某+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：a某+b某+c=0时，应满足（a≠0）2221.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(某-m)2=n(n≥0)的方程，其解为某=±m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

1.转化：将此一元二次方程化为a某^2+b某+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.移项：将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式某=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

21.3实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．第二十二章二次函数22.1二次函数及其图像二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

人教版九年级下册数学课本知识点归纳第一章三角形的认识1.三角形的定义及表示方法2.三角形的性质（角、边、外角和内角和、等腰三角形、等边三角形）3.三角形的分类（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）第二章合同与全等1.合同的概念及性质2.全等的概念及性质3.三角形的全等条件和判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）4.四边形的全等条件和判定方法第三章三角形的相似1.三角形的相似概念及性质2.三角形相似的判定方法（AAA、AA、SAS）3.相似三角形的应用（比例和相似三角形的面积）第四章直线与角1.两条直线的位置关系（平行、垂直、斜率）2.角的概念及分类（正角、钝角、锐角、对顶角、同位角、相间角）3.同位角、相间角的性质及相关应用4.钝角的平分线性质第五章平面直角坐标系1.平面直角坐标系的基本概念2.直线的斜率及性质3.直线的方程及应用4.点、线、二次函数之间的关系第六章几何变换1.几何变换的概念及基本要素2.平移、旋转、对称的概念及性质3.各种几何变换的应用第七章一次函数的认识1.一次函数的概念及表示方法2.一次函数的图像和性质3.一次函数的应用（解方程和画图）第八章一元一次方程式1.线性方程的基本概念及性质2.解一元一次方程的方法3.消元法、代入法、加减法、公式法4.一元一次方程的应用第九章二元一次方程组1.二元一次方程组的概念及解法2.解法（代入消元法、加减消元法）3.二元一次方程组的应用第十章平面图形的认识1.平面图形的概念及分类（三角形、四边形、圆等）2.平面图形的性质及相关定理（重心定理、中线定理、角平分线定理、外角定理等）3.图形应用（例：梯形面积公式）第十一章概率的认识1.概率的基本概念及基本性质2.事件的概念及事件之间的关系3.随机事件及概率的计算4.全概率公式和贝叶斯公式以上为人教版九年级下册数学课本的知识点归纳，共涉及11个章节。

这些章节分别对三角形、合同与全等、三角形的相似、直线与角、平面直角坐标系、几何变换、一次函数、一元一次方程式、二元一次方程组、平面图形、概率进行了详细地讲解。

人教版九年级数学下册知识点汇总第一章 直角三角形边的关系1、正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=∠A 的对边/∠A 的邻边。

①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

（P1-6,11、P3-6、P4-12）2、正弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA=∠A 的对边/斜边；3、余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=∠A 的邻边/斜边；4、余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotA=∠A 的邻边/∠A 的对边；5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。

（通常我们称正弦、余弦互为余函数。

同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则①sin A = cos(90°−∠A ）等等。

6、记住特殊角的三角函数值表0°，30°，45°，60°，90°。

（P4-13、P5-15,16、P10-11、P12-3）题6：计算：()3122101-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛- + ︒⋅︒︒-︒60tan 30cos 60cos 45cot7、当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

第29章投影与三视图一、目标与要求1.会从投影的角度理解视图的概念2.会画简单几何体的三视图3.通过观察探究等活动使学生知道物体的三视图与正投影的相互关系及三视图中位置关系、大小关系4.明确正投影与三视图的关系5.经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图6.培养动手实践能力，发展空间想象能力。

二、知识框架四、重点、难点重点：从投影的角度加深对三视图的理解和会画简单的三视图，能够做出简单立体图形的三视图的画法。

难点：对三视图概念理解的升华及正确画出三棱柱的三视图，三视图中三个位置关系的理解。

四、中考所占分数及题型分布本章在中考中会出1道选择或者填空，也有可能不出。

在简答题中会在几何题中穿插应用，本章约占3-5分。

第29章 投影与三视图29.1 投影1.投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

2.平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。

由平行光线形成的投影是平行投影.3.中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影。

4.正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

例.把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置：(1)铁丝平行于投影面；(2)铁丝倾斜于投影面；(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？通过观察、测量可知：(1)当线段AB 平行于投影面P 时，它的正投影是线段11A B ，线段与它的投影的大小关系为11AB A B =；(2)当线段AB 倾斜于投影面P 时，它的正投影是线段22A B ，线段与它的投影的大小关系为22AB A B =；(3)当线段AB 垂直于投影面P 时，它的正投影是一个点3A .例.把一正方形硬纸板P （记正方形ABCD ）放在三个不同位置：（1）纸板平行于投影面；（2）纸板倾斜于投影面；（3）纸板垂直于投影面。

人教版九年级数学知识点归纳情况是在不断的变化，要使自己的思想适应新的情况，就得学习。

下面给大家带来一些关于人教版九年级数学知识点归纳，希望对大家有所帮助。

人教版九年级数学知识点1二次函数一、二次函数1、一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。

是自变量。

其中，a是二次项系数;b一次项系数;c是常数项。

2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①;②;③;④;⑤。

3、二次函数的图象：是常数，，的图像是抛物线。

抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的顶点。

顶点是抛物线的最高点或最低点。

4、求抛物线顶点(最大或最小值)和对称轴的方法(1)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线。

(2)公式：，∴顶点是，对称轴是直线。

5、二次函数的图象的特点：(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴;(2)抛物线的顶点是(h,k)，对称轴是x=h;(3)抛物线的顶点是()，对称轴是;①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当时抛物线开口向下顶点为其最高点。

|a|越大，开口越小。

|a|越小，开口越大。

(4)几种特殊的二次函数的图像特征二、二次函数与二元一次方程的关系人教版九年级数学知识点2相似一、图形的相似1.图形的相似：如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

(相似的符号：∽)性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

2.判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3.相似比：相似多边形的对应边的比叫相似比。

相似比为1时，相似的两个图形全等。

二、相似三角形1.性质：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2.判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

③如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章、反比例函数知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。

人教版九年级数学下册详细知识点1. 整式的加减运算- 同类项的加减法- 不同类项的加减法- 图形法- 代数法- 消元法2. 二次根式的运算- 二次根式的化简- 二次根式的加减法- 二次根式的乘法- 二次根式的除法- 二次根式的混合运算3. 平面向量- 平面向量的概念- 平面向量的加法- 平面向量的数乘- 平面向量的线性运算- 平面向量的模- 平面向量的数量积- 平面向量的投影4. 一次函数与一元一次方程- 一次函数的概念- 一次函数的图象- 一次函数的性质- 一次函数的表示方法- 一元一次方程的概念- 一元一次方程的解- 一元一次方程的应用5. 特殊三角函数值的计算- 30°、45°、60°特殊角的三角函数值- 任意角的正弦、余弦、正切值的计算6. 相似三角形与三角比- 相似三角形的条件- 相似三角形的性质- 三角比的定义- 三角比的性质和应用- 相似三角形和三角比的综合应用7. 幂的乘法与除法- 幂的乘法- 幂的除法- 科学计数法- 根式及其运算8. 多边形的面积- 任意多边形的面积- 三角形的面积- 正多边形的面积- 扇形和梯形的面积9. 数据的收集、整理和分析- 数据的收集和整理- 数据的图形表示- 数据的分析与解释- 统计指标的运算以上是人教版九年级数学下册的详细知识点。

不同章节涵盖了整式的运算、二次根式的处理、平面向量的操作、一次函数与一元一次方程、特殊三角函数值的计算、相似三角形与三角比、幂的乘除法、多边形的面积以及数据的收集、整理和分析等内容。

通过学习这些知识，学生将能够更好地掌握九年级数学下册的重点内容。

新人教版九年级数学下册知识点总结1. 四边形的面积计算- 平行四边形的面积：面积=底边长×高- 矩形的面积：面积=长×宽- 正方形的面积：面积=边长×边长- 梯形的面积：面积=上底长+下底长×高÷22. 三角形的面积计算- 面积=底边长×高÷2- 海伦公式：面积=√(s×(s-a)×(s-b)×(s-c))，其中s是三角形的半周长，a、b、c分别是三角形的三边长3. 直角三角形和勾股定理- 直角三角形：一边为直角边，另外两边为直角边的两边。

直角三角形的斜边长等于两直角边长平方和的开方。

- 勾股定理：a²+b²=c²，其中a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

4. 平行线和平行四边形的性质- 平行线的性质：平行线之间的对应角相等，同位角相等，内错角相等，外错角相等。

- 平行四边形的性质：对角线互相平分；相邻角互补（和为180°）；同位角相等。

5. 相似三角形的性质- 相似三角形的三个条件：对应角相等；对应边成比例；对应边平行。

- 相似三角形的性质：两对应角相等的三角形相似；两个对角分别相等的三角形相似。

6. 三视图与展开图- 三视图：主视图、左视图和俯视图是通过不同角度观察物体而得到的图形，可以用于了解物体的形状和细节。

- 展开图：将立体物体展开后所得到的二维图形，可以用于计算物体的面积和周长。

7. 数据的整理和分析- 统计表：将数据按照一定的规则和格式进行整理，便于观察和分析。

- 条形图：用条形的长度来表示数据的大小，便于比较。

- 折线图：用折线连接各个数据点，表示数据的变化趋势。

8. 计算器的使用- 基本四则运算：加法、减法、乘法、除法。

- 括号运算：可以使用括号改变运算顺序。

- 百分数计算：可以使用百分号、百分比转化为小数进行计算。

9. 三角函数- 正弦函数：sin(x) = 对边/斜边- 余弦函数：cos(x) = 邻边/斜边- 正切函数：tan(x) = 对边/邻边10. 综合题解决方法- 分析题意，确定所求的量或要解决的问题。