安徽省合肥一中1011高二数学第一学期段一考试 理 【会员独享】

合肥一中2009-2010年高二上学期段1考试理科数学试题一,选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案填在答题卷的表格内.1, 空间三条直线交于一点，则它们确定的平面数可为（ ） A,1 B,1或2或3 C,1或3 D,1或2或3或42．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为（ ）． A ， 4π B ， 54π C ， π D ，32π 3．两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能4,长方体1111ABCD A BC D -中，16,4,2AB AD AA ===,那么从点A 经过面11A ABB 、面1111A B C D 的表面最后到达1C 的最短距离( )A,2+4+ D,5,两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么,圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ） A,1:2:3 B,1:7:19 C,3:4:5 D,1:9:276,在空间四边形ABCD 的各边,,,AB BC CD DA 上分别取,,,E F G H 四点,如果EF 和GH 相交于点P ,那么（ ）A,点P 必在直线AC 上 B,点P 必在直线BD 上C,点P 必在平面ABC 外 D,点P 与平面ABC 的位置关系无法确定.7，已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，有以下四个命题：①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l其中正确的两个命题是（ ）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③8，一个四面体的所有棱长都是2,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 2πC. 29π D. 9π 9，已知正四面体ABCD 的棱长为a ，E 为CD 上一点，且1:2:=ED CE ，则截面△ABE 的面积是（ ）A ，242a B ，222a C ，21217a D ，21219a 10，如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论不正确的是（ ） A ，AC BE ⊥B ，//EF ABCD 平面C ，三棱锥A BEF -的体积为定值D ，异面直线,AE BF 所成的角为定值答题卷 一,选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合正视图 侧视图 俯视图二,填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分,请将答案填在相应题号的横线上11,正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1AD 与1A B12,正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为13，如图所示，OABC 是正方形，用斜二测画法画出其水平放置的直观图为四边形O 1A 1B 1C 1， 那么O 1A 1B 1C 1的面积是 ．14，已知圆台的上下底面半径分别是2、6，且侧面面积等于两底面面积之和, 求该圆台的母线长15，如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为三,解答题:本大题共4小题,共40分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16，(本大题满分10分)如图所示,设计一个四棱锥形冷水塔塔顶,四棱锥的底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形,已知该四棱锥底面边长是2m ,m ,（1）求侧棱与底面所成角；（2）求.制造这个塔顶需要多少铁板?17，(本小题满分10分)如图,PA ⊥菱形A B C D 所在的平面,,M N 分别是,A B P C 的中点.(1)求证://MN 平面PAD ; (2)求证:平面PBD ⊥平面PAC .2） Q P C'B'A'C BA18，(本小题满分10分)如图所示， PA ⊥平面ABCD ， 90,ADC ∠=//,AD BC AB AC ⊥，且2,AB AC G ==为PAC ∆的重心，E 为PB 的中点，F 在线段BC 上，且2CF FB =．（１）求证：//FG 平面PAB ；（２）求证：FG AC ⊥；（３）当PA 长度为多少时，FG ⊥平面ACE ?19，(本小题满分10分)P 是平行四边形ABCD 外一点，60,22,DAB AB AD a PDC ∠=︒==∆是正三角形，BC PD ⊥（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）求二面角P BC D --的余弦值；（3）求三棱锥B ADP -的体积P CD。

合肥2023—2024学年第一学期第一次单元质量检测高二年级数学试题卷（试题卷）（考试时间：120分钟满分：150分）（命题教师：）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1.已知()0,0,0O ，()5,1,2N -，()4,2,1A -，若ON AB =，则点B 的坐标为（）．A.（－1，3，－3）B.（9，1，1）C.（1，－3，3）D.（－9，－1，－1）【答案】B 【解析】【分析】由ON AB =，设(),,B x y z 结合空间向量的坐标，得(5,－1,2)＝(x －4,y －2,z ＋1)，即可求B 的坐标.【详解】设(),,B x y z ，由ON AB =得：(5,－1,2)＝(x －4,y －2,z ＋1)，∴452112x y z -=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩,可得911x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为（9，1，1）.故选：B 2.直线x =）A.0B.30C.60D.90【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率和倾斜角关系可直接求得结果.【详解】直线x =∴直线x =90 .故选：D.3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN上，且使2MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG是（）A.111633OG OA OB OC=++ B.112633OG OA OB OC=++C.2233OG OA OB OC=++ D.122233OG OA OB OC=++ 【答案】A 【解析】【分析】连接ON ，利用向量的加法可得出ON关于OB 、OC 的表达式，再由2MG GN = 结合空间向量的减法化简可得出OG关于{},,OA OB OC 的表达式.【详解】连接ON ，则()()111222ON OB BN OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+，因为2MG GN =，则()2OG OM ON OG -=- ，因此，()121121111333232633OG OM ON OB OC OA OB OC =+=⨯+⨯+=++.故选：A.4.若直线1:90l x ay ++=与2:(2)330l a x y a -++=平行，则12,l l 间的距离是（）A.3B.3C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据直线平行的判定列方程求得1a =-，再应用平行线的距离公式求距离即可.【详解】由题设(2)3a a -=，则(1)(3)0a a +-=，可得1a =-或3a =，1a =-时，1:90l x y -+=，2:3330l x y -+-=，满足题设；3a =时，1:390l x y ++=，2:390l x y ++=，显然重合，不满足；所以1a =-，此时1:90l x y -+=，2:10l x y -+=，它们距离为=.故选：C5.直线210x y --=关于直线0y x -=对称的直线方程是（）A.210x y -+=B.210x y +-=C.210x y ++=D.210x y ++=【答案】A 【解析】【分析】在直线210x y --=上任取一点(,)P a b ，设其关于直线0y x -=的对称点为(,)Q x y ，然后根据对称关系列方程可表示出,a b ，再代入210x y --=中化简可得答案【详解】在直线210x y --=上任取一点(,)P a b ，设点P 关于直线0y x -=的对称点为(,)Q x y ，则122y bx ay b x a-⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=⎪⎩，解得a y b x =⎧⎨=⎩，即(,)P y x ，因为点(,)P y x 在直线210x y --=上，所以210y x --=，即210x y -+=，所以所求直线方程为210x y -+=，故选：A.6.已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M ，N 分别为BC ，11C D 的中点，则MN 的长为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】以AD 、1AA 、AB为基底表示出MN ，再根据数据量的运算律计算可得.【详解】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAADAA ∠=∠=∠=︒，所以1122cos602AB AD AA AD AB AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，依题意可得1111122MN MC CC C N AD AA AB =++=+-，所以2211122MN AD AA AB ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭222111111442AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+++⋅-⋅-⋅2221112222225442=⨯++⨯+-⨯-=，所以MN =.故选：D7.已知直线:10l mx y --=，若直线l 与连接()1,2A -、()2,1B 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为（）A.ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.3π,π4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据直线过定点，即可根据斜率公式求解边界线的斜率，即可根据斜率与倾斜角的关系求解.【详解】直线l 的方程可得01x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线l 过定点()0,1P -，设直线l 的斜率为k ，直线l 的倾斜角为α，则0πα≤<，因为直线PA 的斜率为()12101---=--，直线PB 的斜率为11102--=-，因为直线l 经过点()0,1P -，且与线段AB 总有公共点，所以11k -≤≤，即ta 11n α-≤≤，因为0πα≤<，所以π04α≤≤或3ππ4α≤<，故直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭．故选：D ．8.在平面直角坐标系中，已知点(),P a b 满足1a b +=，记d 为点P 到直线20x my --=的距离.当,,a b m 变化时，d 的最大值为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据直线:20l x my --=过定点A 确定出对于给定的一点P ，d 取最大值时PA l ⊥且max d PA =，然后根据点P 为正方形上任意一点求解出max PA ，由此可知max d .【详解】直线:20l x my --=过定点()2,0A ，对于任意确定的点P ，当PA l ⊥时，此时d PA =，当PA 不垂直l 时，过点P 作PB l ⊥，此时d PB =，如图所示：因为PB AB ⊥，所以PA PB >，所以max d PA =，由上可知：当P 确定时，max d 即为PA ，且此时PA l ⊥；又因为P 在如图所示的正方形上运动，所以max max d PA =，当PA 取最大值时，P 点与()1,0M -重合，此时()213PA =--=，所以max 3d =，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析d 取最大值时PA 与直线l 的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若直线l 与x 轴交于点A ，其倾斜角为α，直线l 绕点A 顺时针旋转45°后得直线1l ，则直线1l 的倾斜角可能为（）A.45α+︒ B.135α+︒ C.45α-︒ D.135α︒-【答案】BC 【解析】【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.【详解】解析：当45α≥︒时，直线1l 的倾斜角为45α-︒（如直线AC 旋转至直线AD ）；当045α︒≤<︒时，直线1l 的倾斜角为180(45)135αα︒-︒-=︒+（如直线AD 旋转至直线AB ）.故选：BC.10.对于任意非零向量()111,,a x y z = ，()222,,b x y z =，以下说法错误的有A.若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B.若//a b r r，则111222x y z x y z ==C.cos ,a b =><D.若1111===x y z ，则a为单位向量【答案】BD 【解析】【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A 选项的正误；取20x =，20y ≠且20z ≠可判断B 选项的正误；利用空间向量夹角余弦的坐标表示可判断C 选项的正误；求得a r，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++= ，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b r r，但分式12x x 无意义，B 选项错误；对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则a == a 不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.【点睛】本题考查与空间向量相关的命题真假的判断，考查了空间向量数量积的坐标运算以及空间共线向量的坐标表示，属于基础题.11.已知O 为坐标原点，()2,0A ，()0,2B ，()1,0M ，P ，Q 分别是线段AB ，OB 上的动点，则下列说法正确的是（）A.点M 到直线ABB.若//MQ AB ，则点Q 的坐标为()0,1C.点M 关于直线AB 对称的点的坐标为()2,1D.MPQ周长的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】求出直线AB 的方程利用点到直线的距离公式计算可判断A ；求出过M 且与AB 平行的直线方程，可得Q 点坐标可判断B ；设点M 关于AB 对称的点为()2,M x y ，根据点关于直线对称求出2M 坐标可判断C ；求出点M 关于y 轴对称的点1M 的坐标，利用MPQ 的周长为2112MP PQ QM M P PQ QM M M ++=++≥可判断D ．【详解】对于A ，由题意可得直线AB 的方程为20x y +-=，故M 到AB的距离为22=，故A 错误；对于B ，过M 且与AB 平行的直线方程为10x y +-=，当0x =时，即得()0,1Q ，故B 正确；对于C，如图，设点M 关于AB 对称的点为()2,M x y ，则1112022yx x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩解得21x y =⎧⎨=⎩，故()22,1M ，故C 正确；对于D ，点M 关于y 轴对称的点1M 的坐标为()1,0-，则MPQ的周长为2112MP PQ QM M P PQ QM M M ++=++≥=．故D 正确．故选：BCD ．12.（多选）在三维空间中，a b ⨯ 叫做向量a 与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：①()a ab ⊥⨯ ，()b a b ⊥⨯ ，且a ，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图所示）；②sin ,a b a b a b ⨯= .在正方体1111ABCD A B C D -中，已知其表面积为S ，下列结论正确的有（）A.11AB AC AD DB⨯=⨯ B.AB AD AD AB⨯=⨯C.6S BC AC=⨯D.111AC A D ⨯ 与1BD 共线【答案】ACD 【解析】【分析】运用新定义及空间向量的基本概念对选项一一判断即可得出答案.【详解】设正方体的棱长为a ，如图.对于A ，连接1B C ，因为1AB C V为等边三角形，故21sin 3AB AC π⨯=⨯⨯= ，连接11B D ，因为11//BD B D ，11BD B D =，11AB D 为等边三角形，所以211112sin 3AD DB AD D B π⨯=⨯=⨯⨯= ，故A 正确；对于B ，根据定义，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB AA ⨯=-，故B 错误；对于C ，226662BC AC a a S ⨯=⨯⨯⨯== ，故C 正确；对于D ，因为1111AC B D ⊥，而1D D ⊥平面1111A B C D ，所以111D D A C ⊥1111B D DD D ⋂=，则11A C ⊥平面11BB D D ，又1BD ⊂平面11BB D D ，所以111A C BD ⊥，又11A D AD ⊥，1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，所以11BD A D ⊥，结合外积的定义可知111AC A D ⨯ 与1BD共线，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若点B 是点()3,7,4-在xOz 平面上的射影，则OB等于______.【答案】5【解析】【分析】求出B 的坐标，计算向量OB，即可得到结论．【详解】解： 点B 是点()3,7,4-在xOz 平面上的射影，()3,0,4B ∴-，则()3,0,4OB =-，则5OB = ，故答案为：5【点睛】本题考查了射影、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.在正四面体ABCD 中，2AB =，若2AE AB AC =+ ，则AE AD ⋅=________．【答案】6【解析】【分析】根据空间向量的数量积计算方法即可求解.【详解】(2)2222cos 22cos 633AE AD AB AC AD AB AD AC AD ππ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯+⨯= .故答案为：6.15.直线)20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是_________．【答案】π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【解析】【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得.【详解】tan θα⎡=∈⎣，故π2π0,,π33θ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故答案为：π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U .16.球O 为正四面体ABCD 的内切球，2AB =，MN 是球O 的直径，点P 在正四面体ABCD 的表面运动，则PM PN ⋅的最大值为______．【答案】43【解析】【分析】设球O 的半径为r ，利用正四面体的性质可得6r =，进而可得max 2PO =，然后根据向量线性运算及数量积的运算律可得22P PM P O OM N ⋅=- ，进而即得.【详解】设球O 的半径为r ，由题可知正四面体ABCD3=，所以221142234343r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得6r =，因为点P 在正四面体ABCD 的表面运动，所以max 2666362PO =-=，所以()()22224263PM PN PO OM PO ON PO OM ⎛⎫⎛⋅=+⋅+=-≤-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为：43.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.a 为何值时，（1）直线1:210l x ay +-=与直线()2:3110l a x ay ---=平行？（2）直线3:22l x ay +=与直线4:21l ax y +=垂直？【答案】（1）当16a =或0时，两直线平行（2）当a ＝0时，两直线垂直【解析】【分析】（1）根据两直线平行所满足的公式得到方程和不等式，求出a 的值；（2）法一：考虑0a =与0a ≠两种情况，根据斜率乘积为-1列出方程，进行求解；法二：根据两直线垂直所满足的12120A A B B +=进行求解.【小问1详解】要使两直线平行，则需()2310a a a -+=，且1310a -+-≠，解得：16a =或0.所以当16a =或0时，两直线平行；【小问2详解】法一：①当a ＝0时,直线3l 的斜率不存在，直线3:10l x -=，直线41:02l y -=，此时满足34l l ⊥；②当0a ≠，直线322:l y x a a =-+与直线41:22a l y x =-+，要使两直线垂直，必有212a a ⎛⎫-⋅-=- ⎪⎝⎭，方程无根，综上①②可得：当a ＝0时,两直线垂直.法二：要使直线3:22l x ay +=和直线4:21l ax y +=垂直，只需220a a +=，解得：a ＝0，所以当a ＝0时，两直线垂直.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面,4,2,ABCD PA AD AB M ===是PD 中点.（1）求证：直线//PB 平面AMC ；（2）求平面ACD 和平面ACM 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用中位线的性质与线面平行的判定定理即可证明；（2）建立适当空间直角坐标系后利用空间向量的坐标运算求解线面夹角即可得.【小问1详解】连接BD 交AC 于点N ，连接NM ，M N 、是PD BD 、的中点，//PB NM ∴，又NM ⊂ 平面,AMC PB ⊂/平面AMC ，//PB ∴平面AMC ；.【小问2详解】以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，可得()0,0,0A ，()2,4,0C ，()0,0,4P ，()0,4,0D ，()0,2,2M ，则()2,4,0AC = ，()0,2,2AM = ，设平面ACM 的法向量为(),,m x y z =，则有00AC m AM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，取2x =，则有1y =-，1z =，即()2,1,1m =- ，由z 轴⊥平面ACD ，则平面ACD 的法向量可为(0,0,1)n = ，设平面ACD 和平面ACM 的夹角为α，则cos ,6m n m n m n ⋅===⋅ ，由图可知面ACD 和面ACM 夹角为锐角，所以6cos 6α=..19.已知直线l 经过点(6,4)P ，斜率为k（Ⅰ）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；（Ⅱ）若1k =-，一条光线从点(6,0)M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回点M ，求光线所经过的路程．【答案】（1）:230l x y -=或:2160l x y +-=；（2）.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）由条件求得直线l 的点斜式方程，求得纵截距和横截距，列方程可求得斜率k ，即可得到直线的方程；（Ⅱ）先求得点M 关于l 的对称点为()10,4，由反射的原理可得光线所经过的路程为2M M ，由两点间的距离公式求解即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得0k ≠．直线l 的方程为()()4664y k x y k x -=-=-+，即，令0x =，得64y k =-+令0y =，得46x k=-+∵l 的纵截距是横截距的两倍46426k k ⎛⎫∴-+=-+ ⎪⎝⎭解得23k =或2k =-∴直线()2643l y x =-+的方程为或()264y x =--+，即230x y -=或2160x y +-=（Ⅱ）当1k =-时，直线100l x y +-=的方程为，设点M 关于l 的对称点为()1,M a b ，则1661002b a a y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得104a b =⎧⎨=⎩，()110,4M ∴点的坐标为，()110,4M ∴关于y 轴的对称点为()210,4M -∴光线所经过的路程为2||M M ==点睛：（1）第一问中容易忽视直线过原点的情形；（2）光的反射的问题实际上就是解析几何中的对称问题，由对称的特点，结合垂直、平分可得一对对称点的坐标之间的关系，然后在根据反射原理将光线所经过的路程转化为两点间的距离求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==，BC =2PA =．（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为o 45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；269【解析】【分析】（1）利用直角梯形的性质求出AB ，AC 的长，根据勾股定理的逆定理得出AB AC ⊥，由PA 平面ABCD 得出AB PA ⊥，故AB ⊥平面PAC ，于是AB PC ⊥；（2）假设存在点M ，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M 到平面ABCD 的距离从而确定M 的位置，利用棱锥的体积求出B 到平面MAC 的距离h ，根据勾股定理计算BM ，则即h BM 为所求角的正弦值．【小问1详解】证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由AD CD ==BC =ABC 是等腰直角三角形，即AB AC ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA AB ⊥，又,PA AC A PA AC ⋂=⊂，平面PAC,∴AB ⊥平面PAC ，∴AB PC ⊥．【小问2详解】(方法1)过点M 作MN AD ⊥交AD 于点N ，则//MN PA ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ．过点M 作MG AC ⊥交AC 于点G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角．若o 45MGN ∠=，则NG MN =，又AN ==，∴1MN =，∴//MN PA ，12MN PA =，∴M 是PD 的中点．在三棱锥M ABC -中，可得13M ABC ABC V S MN -=⋅ ，设点B 到平面MAC 的距离是h ，则B MAC MAC V S h -=⋅ ，∴ABC MAC S MN S h ⋅=⋅ ，解得h =在Rt BMN △中，可得BM =BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin 9h BM θ==．(方法2)建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()C，()0,D ，()002P ,,，()B -，()0,2PD =-，()AC = ．设()01PM tPD t =<< ，则点M的坐标为()0,,22t -，∴(),22AM t =- ．设平面MAC 的法向量是(),,n x y z = ，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得()0220t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩则可取1,1,1n t ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ．又()0,0,1m = 是平面ACD 的一个法向量，∴o cos ,cos 452m n m n m n ⋅==== ，解得12t =，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC的一个法向量可取(01,n =-，()BM =- ．设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则026sin cos ,9n BMθ== ．21.已知直线l 的方程为：()()211740+++--=m x m y m （1）求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；（2）过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程．【答案】（1）证明见解析（2）360x y +-=【解析】【分析】（1）将直线方程改写成()2740m x y x y +-++-=形式，解方程组27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩即可.（2）设出直线1l 的方程，分别令0x =、0y =求出相对于的y 值、x 值，结合三角形面积公式及基本不等式即可求得结果.【小问1详解】证明：由()()211740+++--=m x m y m 可得：()2740m x y x y +-++-=，令2703401x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以直线l 过定点()3,1M ．【小问2详解】由（1）知，直线1l 恒过定点()3,1M ，所以设直线1l 的方程为()()310y k x k =-+<，令0x =，则13=-y k ；令0y =，则13=-x k，所以()()11111339622S k k k k ⎛⎫⎛⎫=--=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1662⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当19k k-=-，即13k =-时，三角形面积最小，此时1l 的方程为360x y +-=．22.如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，且ABD △的边长为E 在母线PC 上，且AE =1CE =．（1）求证：直线//PO 平面BDE ，并求三棱锥P BDE -的体积：（2）若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离．【答案】（1）证明见解析；18P BDE V -=（2）714【解析】【分析】（1）设AC BD F ⋂=，由正弦定理和三角形相似关系可证得EF AC ⊥，结合面面垂直的性质可证得EF ⊥平面ABD ，由此可得//PO EF ，由线面平行的判定可得结论；由平行关系可得P BDE O BDE V V --=，根据棱锥体积公式可求得结果；（2）以F 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设OM OP λ= ，根据线面角的向量求法，可确定当12λ=时，sin θ取得最大值，由此可确定MA ，利用点到面的距离的向量求法可求得结果.【小问1详解】设AC BD F ⋂=，连接EF，ABD 为底面圆O的内接正三角形，2πsin 3AC ∴==，F 为BD 中点，又32AF ==，31222CF ∴=-=，213AO AF ==；AE = ，1CE =，222AE CE AC ∴+=，AE EC ∴⊥，AF AE AE AC= ，AEF ∴ ∽ACE △，AFE AEC ∴∠=∠，EF AC ∴⊥；PO ⊥ 平面ABD ，PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABD ，平面PAC 平面ABD AC =，EF ⊂平面PAC ，EF ∴⊥平面ABD ，又PO ⊥平面ABD ，//EF PO ∴，PO ⊄ 平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，//PO ∴平面BDE ；F 为BD 中点，AF BD ∴⊥，即OF BD ⊥，又EF ⊥平面ABD ，,OF BD ⊂平面ABD ，EF OF ∴⊥，EF BD ⊥，EF BD F = ，,EF BD ⊂平面BDE ，OF ∴⊥平面BDE，2EF === ，EF BD ⊥，1132224BDE S BD EF ∴=⋅=⨯= ，又1122OF AF ==，//PO 平面BDE ，1131133428P BDE O BDE BDE V V S OF --∴==⋅=⨯⨯= .【小问2详解】12OF CF == ，F ∴为OC 中点，又//PO EF ，E ∴为PC 中点，2PO EF =，PO ∴=，2PC =，以F 为坐标原点，,,FB FC FE 正方向为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则30,,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,02O ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,2P ⎛- ⎝，3,,022AB ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，30,,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(OP =，1,,022DO ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,022DA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设()()01OM OP λλ==≤≤，31,22DM DO OM ⎛⎫∴=+=- ⎪ ⎪⎝⎭；设平面ABE 的法向量(),,n x y z = ，则30223022AB n x y AE n y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩ ，令1y =-，解得：x =，z =n ∴=- ，设直线DM 与平面ABE 所成角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴==⋅ 令32t λ=+，则[]2,5t ∈，23t λ-∴=，()()2222222213147174313332t t t t t t t λλ-++-+⎛⎫∴===- ⎪⎝⎭+，第21页/共21页111,52t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，∴当127t =，即12λ=时，()22min 313114497324λλ+⎡⎤+==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，()max sin 1θ∴=，此时1,,222DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，0,1,2MA DA DM ⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴点M 到平面ABE的距离1214MA n d n⋅== .【点睛】关键点点睛：本题求解点到面距离的关键是能够通过共线向量和线面角的向量求法，将线面角的正弦值表示为关于变量λ的函数的形式，通过函数最值的求法确定正弦值的最大值，从而确定动点的位置.。

合肥一中2010—2011学年度第一学期高二年级段二考试数学试卷（理科）说明：第一卷是《必修2》的模块结业考试，第二卷的得分不计入模块结业考试中。

第一卷（《必修2》模块结业考试试卷）（100分）一、选择题（每小题5分，共10小题，计50分。

） 1．构成多面体的面最少是（ ）A ．三个B ．四个C ．五个D ．六个2．将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周, 形成的几何体一定是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．圆台D ．以上均不正确3．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m // 4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.2B.1C.23D.135．如果直线ax y ++=220 与直线320x y --=平行, 那么系数a = ( )A ．－3B ．－6C ．-32D ．236．若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )A ．（0，4）B ．（0，2）C ．（－2，4）D ．（4，－2）7．自点A （－1，4）作圆1)3()2(22=-+-y x 的切线，则切线长为（ ）A ．5B ． 3C ．10D ．58．已知M (－2,0), N (2,0), 则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( )A ．222=+y xＢ．422=+y xＣ．222=+y x （2±≠x ）Ｄ．422=+y x （2±≠x ）9．若直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且不通过第四象限，则直线l 斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎦⎤0，12D ．[0,2]10．正方体ABCD －1111A B C D 中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为（ ）C.23二．填空题（每小题5分，共4题，计20分）11、经过点(2,3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为________________________． 12、以点(－3,4)为圆心且与圆422=+y x 相外切的圆的标准方程是____________________. 13、已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA=AB=1，BC=2，则球O 的表面积等于___________________.14、棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点都在球O 的表面上，E 、F 分别是棱AA 1、DD 1的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为__________________． 三、解答题（每题10分，共3题，计30分）15．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面,////,,ABCD AD BC FE AB AD M ⊥为EC 的中点， 12AF AB BC FE AD ====(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ；16、已知直线l 的方程为3x +4y －12=0, 求直线'l 的方程, 使得： (1) 'l 与l 平行, 且过点(－1，3) ;(2) 'l 与l 垂直, 且'l 与两轴围成的三角形面积为4.17、已知圆C 经过点A (1,3)、B (2,2)，并且直线l ：3x －2y ＝0平分圆C ，求圆C 的方程；BADF ME第二卷(50分)一、填空题（每题4分，共7题，计28分） 1、下列语句中是命题的有_____________________. ①0542=+-x x②求证5是无理数；③6=8④对数函数的图象真漂亮啊！ ⑤垂直于同一个平面的两直线平行吗？2、下列命题中正确的有_________________. ①R x ∈∃，使2cos sin =+x x ；②对R x ∈∀，2sin 1sin ≥+xx ； ③对)2,0(π∈∀x ，2tan 1tan ≥+xx ；④R x ∈∃，使2cos sin =+x x .3、若R b a ∈,，则122<+b a 是1||||<+b a 成立的_______________条件。

合肥一中2020-2021学年高二年级第一学期段一考试(理)时间：120分钟 满分：150一、选择题：（每小题5分，共60分）.BBDDC ACDBC DC二、填空题：（每小题5分，共20分）.13．3π (60︒也可以) 14．1315 16．①④三、解答题：（每小题分，共分）.17．表面积38, 体积12π-由三视图可以看出该几何体为一个长方体从中间挖掉了一个圆柱，长方体表面积为2(433141)38⨯⨯+⨯+⨯=，圆柱的侧面积为2π，上下两个底面积和为2π，所以该几何体的表面积为382238ππ+-=.18．(1) 连接BD ，记BD 与AC 交于点O ，则O 为BD 的中点， //EO PB 易知又,EO AEC PB AEC ⊂⊄面面 //.PB AEC ∴平面（2） 因为 ,C ADE E ADC V V --= 而1132E ADC ADC V S PA -∆=⋅=PA ∴=又PA ABCD ⊥平面，PCA ∴∠即为PC 与底面所成角由于 PA AC ==4PCA π∴∠=19.（1）26ADE S a ∆=； （2）P 为AE 中点时DP ⊥面ACC A ''，如图所示，取AE 中点P ，AC 中点Q ，连接PQ ､DP 、BQ ，因为P 、Q 分别为AE 、AC 中点，所以PQ CE ∥，//BD QP 且BD =QP ，则四边形BDPQ 为平行四边形，所以//DP BQ ，由正棱柱知：AA '⊥面ABC ，因为BQ ⊂平面ABC ，所以AA BQ '⊥，又AC BQ ⊥，AC ⊂平面ACC A ''，AA '⊂平面ACC A ''，所以BQ ⊥面ACC A ''，由//DP BQ 得DP ⊥面ACC A ''；20．（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ， ∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A ⋂=，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .（2）假设存在一点G ，过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接,BG BM ，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDEV V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=，设EG t =，则21392144GFBME B EFG B EGM V V V --=+=⨯=， 设M 到ED 的距离为h ，则331h EM t EC ==-，32h t =，234EGM S t ∆= ∴2131393334324t t ⨯⨯+⨯⨯=，解得1t =，即存在点G 且1EG =满足条件.21．（1）连接,AC BD 交于O ，因为BC BA =，11B BA B BC ∠=∠，11B B BB =，所以11B BC B BA ∆≅∆，故11B A B C = 又因为O 为菱形对角线交点，即是线段AC 的中点，所以1B O AC ⊥又四边形ABCD 为菱形，故AC BD ⊥而1B OBD O =，所以AC ⊥平面1BDB方法二：因为11B BA B BC ∠=∠，所以点1B 在平面ABCD 内的射影O 在为ABC ∠的平分线，又四边形ABCD 为菱形，故BD 为ABC ∠的平分线，则O ∈直线BD故平面1BDB ⊥平面ABCD ，而平面1BDB 平面ABCD BD =， 又四边形ABCD 为菱形，故AC BD ⊥,所以AC ⊥平面1BDB（2）延长1111,,,AA BB CC DD 交于点P ，平面1BDB 即为平面BDP ，平面1ACC 即平面ACP过1B 做1B H OP ⊥，易证得1B H ⊥平面ACP ，故11B A H∠即为直线11A B 与平面1ACC 所成角（若研究直线AB 与平面1ACC 所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）因为四棱台1111ABCD A B C D -中1122AB A B ==，所以111A B =，6BP = 由菱形有2AB BC ==，且∠ABC =3π，所以23BD =，作PG BD ⊥，因为16B BD π∠=，则33BG =，3PG =，所以2221PO BG PG =+=， 则cos BPO ∠2621==⨯⨯221，7sin BPO ∠=，137B H =， 故1111137sin B H B A H B A ∠==.22． 解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∴A 1A ∥CC 1∥BB 1，∵AA 1⊥BC ，∴CC 1⊥BC ， ∵A 1B ⊥BB 1，∴A 1B ⊥CC 1，∵BC∩BA 1=B ，∴CC 1⊥平面BA 1C ，A 1C ⊂平面BA 1C ∴A 1C ⊥CC 1；（2）作AO ⊥B 于O ，连结A 1O ，由（1）可知∠AA 1O=90°，∵AB=2，AC=，BC=，∴AB ⊥AC ， ∴AO=， 设A 1A=h ，A 1O==，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积V===，当h 2=，即h=时，即AA 1=时棱柱的体积最大，最大值为：．。

合肥一中2019-2020学年第一学期高二年级段一考试数学（理）试卷满分：150分时长：120分钟命题人：谷留明审题人：陶金美一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.如图所示,观察四个几何体，其中判断正确的是()A.是棱台B.是圆台C.不是棱柱D.是棱锥2.下列说法正确的是()A.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台B.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C.通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D.相等的角在直观图中对应的角仍相等3.用n m ,表示两条不同的直线，用βα，表示两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//,m n n ⊂α，则α//m B.若//,,m n αβ⊂α⊂β，//m n则C.若//,//m n αα，则nm //D.若m 不平行于α，且m ⊄α，则α内不存在与m 平行的直线 4.如图，点O 为正方体''''ABCD A B C D -的中心，点E 为面''B BCC 的中心，点F 为''B C 的中点，则空间四边形'D OEF 在该正方体各个面上的投影不可能是() A. B. C. D.5.中国古代数学名著《九章算术 商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵.邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如右图所示，则该“堑堵”的左视图的面积为（）A.182 B.183 C.186 D.27226.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为3m ，一只小虫从圆锥底面圆周上的点P 出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P ，若该小虫爬行的最短路程为33m ，则圆锥底面圆的半径等于（）A.43m B.32m C.1m D.2m7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论：①//AB EF ；②CD MN ⊥；③MN 与AB 是异面直线；④BF 与CD 成60 角,其中正确的是()A.①③ B.②③ C.②④D.③④8.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，,,M N P 分别是棱11111,,A D A A C D 的中点,则过,,M N P 三点的平面截正方体所得截面的面积为（）A.3 B.33 C.32 D.3329.直三棱柱111ABC A B C -中，90,BAC ∠= 12,2AB AC AA ===，则异面直线1AC 与1CB 所成角的余弦值为()A.33- B.33 C.36- D.3610.一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体体积为（）A.12B.16C.6D.611.已知某几何体的一条棱的长为m ,该棱在正视图中的投影长为6，在侧视图与俯视图中的投影长为a 与b ，且2a b +=，则m 的最小值为()A. B.142 D.212.已知三棱锥S ABC -中1SA SB SC ===，AB AC ==，BC =接球的表面积为()A．3πB．5πC．6π二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）13.的正方形,则原平面四边形的面积为．14.平面//α平面β，点,A C ∈α，点,B D ∈β，直线AB ，CD 相交于点P ，已知8=AP ，9=BP ，16,CP =则=CD ．15.已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为．16.正四棱锥P ABCD -中，1B 为PB 的中点，1D 为PD 的中点，则棱锥11A B CD -和P ABCD -体积的比值是．三、解答题（共6小题，共70分）17.（本题10分）如图,四边形ABCD 中， 90=∠DAB 135ADC ∠= ，,5=AB 22=CD ,2=AD ,求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积.18.（本题12分）如图,直三棱柱111C B A ABC -中,4,5,4,31====AA AB BC AC ,点E D ,分别为11,B A AB 的中点.（1）求证:CD B E AC 11//平面平面;（2）求异面直线1AC 与C B 1所成角的余弦值.19.（本题12分）在空间四边形ABCD 中,H ,G 分别是CD AD ,的中点,F E ,分别边BC AB ,上的点,且41==CB CF AB AE ;求证：(1)点H G F E ,,,四点共面；(2)直线FG BD EH ,,相交于同一点．20.（本题12分）如图,四棱锥ABCD P -中,ABCD PD 底面⊥,且底面ABCD 为平行四边形,若1,2,60===∠AD AB DAB (1)求证：BD PA ⊥；(2)若 45=∠PCD ,求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.21.（本题12分）如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,点P 是平面ABCD 外一点,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G ,过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .(1)求证：PDM AP 平面//.（2）若G 为DM 中点，求证：41=PA GH .22.（本题12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥,4==AD PA ,2=AB .以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .求:(1)三棱锥ACM D -的体积;（2）点N 到平面ACM 的距离.。

2023-2024学年高二下学期第一次段考数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：120分钟总分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数()f x 满足()2ln f x x x =-，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】B 【解析】【分析】求出导函数，代入12x =即可得出答案.【详解】求导可得()12f x x x'=-，所以，12112f ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.故选：B.2.函数21()e x f x x +⋅=，[2,1]x ∈-的最大值为（）A.14e - B.0C.23e D.2e 【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导数，判断其单调性，求出区间端点处的函数值，比较可得答案.【详解】因为()()()211211e,2e e e 2x x x x f x x f x x x x x ++++'=∴=+=+⋅，[2,1],(2,0)x x ∈-∴∈- 时，()0f x '<函数递减；(0,1)x ∈时，()0,f x '>函数递增，又()()211e 24e f f -=>-=，故函数最大为()21e f =，故选：D .3.若关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，则a 的取值范围是（）A.1(,e-∞ B.1(,)e-∞ C.1(0,]e D.1(0,e【答案】D 【解析】【分析】由ln 0x ax -=，得ln x a x=（0x >），令ln ()(0)xf x x x =>，所以关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，等价于函数()f x 的图像与直线y a =有两个交点，然后利用导数求出()f x 的单调区间的最值，结合图像可得答案【详解】由ln 0x ax -=，得ln x a x=（0x >），令ln ()(0)xf x x x =>，所以关于x 的方程ln 0x ax -=有且只有2个零点，等价于函数()f x 的图像与直线y a =有两个交点，由ln ()(0)x f x x x =>，得'21ln ()(0)xf x x x-=>，当0<<x e 时，'()0f x >，当>x e ，'()0f x <，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，所以max ln 1()()e f x f e e e===，当>x e 时，()0f x >，所以当10a e<<时，函数()f x 的图像与直线y a =有两个交点，所以a 的取值范围是1(0,)e，故选：D4.设函数()22ln f x x a x x=--在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.[]4,5 B.()5,+∞ C.[)4,+∞ D.[)5,+∞【答案】D 【解析】【分析】由函数单调递增，可得()2220a f x x x '=+-≤在()1,2上恒成立，孤立参数22a x x≥+，再设()22h x x x=+，确定()h x 的单调性求最值，即可得实数a 的取值范围.【详解】解：函数()22ln f x x a x x=--在()1,2上单调递减，则()2220af x x x '=+-≤在()1,2上恒成立，所以22a x x ≥+，在()1,2上恒成立，设函数()22h x x x =+，则()()()22222112222x x x h x x x x +--='=-=，所以()0h x '>在()1,2x ∈上恒成立，所以()h x 在()1,2上单调递增，所以()()25h x h <=，所以5a ≥，则实数a 的取值范围是[)5,+∞.故选：D.5.已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，则a b +=（）A.11或4B.-4或-11C.11D.4【答案】C 【解析】【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可.【详解】根据题意，()236f x x ax b=++' 函数()f x 在1x =-处有极值0()1360f a b ∴-=-+='且()21130f a b a -=-+-+=1,3a b ∴==或2,9a b ==1,3a b ==时()23630f x x x =++≥'恒成立，此时函数无极值点2,9a b ∴==11a b ∴+=.故选：C.6.如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择．要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为A.24种B.48种C.72种D.96种【答案】C 【解析】【详解】试题分析：按照先A 再BD 最后CE 的顺序，分两种情况涂色，1：BD 同色，有1143448C C ⨯=;2：BD 不同色，有1243124482472C A ⨯=∴+=种考点：1.分步计数原理；2.分情况讨论7.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()f x f x '>，(2)1008f =，则不等式21e ( 1) 1008e 0x f x ++->的解集为（）A.(1,)-+∞B.(2,)+∞ C.(,1)-∞ D.(1,)+∞【答案】D 【解析】【分析】令()()ex f x g x =，对函数求导判断出单调性，利用()g x 的单调性解出不等式即可．【详解】令()()e x f x g x =，则()()()0exf x f xg x '-'=>，所以()g x 在R 上单调递增．因为21008(2)eg =，所以不等式21e (1)1008e 0x f x ++->，可变形得12(1)(2)e ex f x f ++>，即()()12g x g +>，所以12x +>，解得1x >．故选：D8.已知,,(0,1),a b c e ∈是自然对数的底数，若434,3,2ln 2a b c ae e be e c e ===，则有（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】A 【解析】【分析】由条件变形为43ln 424,,43ln 2ln 4ln 4a b c e e e e e e a b c =====，令()xe f x x=，利用导数法求解.【详解】解：因为434,3,2ln 2a b c ae e be e c e ===，所以43ln 424,,43ln 2ln 4ln 4a b c e e e e e e a b c =====，令()xe f x x =，则()()21x e x f x x-'=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，又因为1ln 434<<<，所以()()()ln 434f f f <<，即()()()f c f b f a <<，又因为,,(0,1)a b c ∈，且()f x 递减，所以a b c <<，故选：A二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列函数求导运算正确的是（）A.()331log ln x x '=B.()x xe e --'=C.(cos )cos sin x x x x x '=+ D.2[ln(21)'(1)]21x f x '++=+【答案】AD 【解析】【分析】根据基本初等函数、复合函数和积的导数的求导公式求导即可．【详解】解：31(log )ln3x x '=，()x x e e --=-，(cos )cos sin x x x x x '=-，2[ln(21)(1)]21x f x ++''=+．故选：AD ．10.已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A.()()()f a f e f d >>B.函数()f x 在[],a b 上递增，在[],b d 上递减C.函数()f x 的极值点为c ，e D.函数()f x 的极大值为()f b 【答案】ABD【解析】【分析】对A ，B 由导数与函数单调性的关系，即可判断()f a ，()f b ，()f c 的大小以及()f x 的单调性，对C ，D 由极值的定义即可判断.【详解】解：由题图知可，当(),x c ∈-∞时，()0f x ¢>，当(),x c e ∈时，()0f x '<，当(),x e ∈+∞时，()0f x ¢>，所以()f x 在(),c -∞上递增，在(),c e 上递减，在(),e +∞上递增，对A ，()()f d f e >，故A 错误；对B ，函数()f x )在[],a b 上递增，在[],b c 上递增，在[],c d 上递减，故B 错误；对C ，函数()f x 的极值点为c ，e ，故C 正确；对D ，函数()f x 的极大值为()f c ，故D 错误.故选：ABD.11.已知函数()()221e xf x x ax bx b =---+，,a b R ∈.（）A.若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为220x y --=，且过点()1,e 2-，则1a =-，2b =B.当a b =且10ea <<时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增C.当a b =时，若函数()f x 有三个零点，则(),1e,5e a ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D.当0a =时，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则2335,13e ,e 2e 2b ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，由导数几何意义结合题意可知()()1e 202f f ⎧=-='⎪⎨⎪⎩，即可判断选项正误；B 选项，利用导数知识结合10ea <<可得()f x 的单调区间，即可判断选项正误；C 选项，()f x 有三个零点等价于直线y a =与函数()2211exx y x x -=+-图象有3个交点，利用函数研究()()2211exx g xx x -=+-单调性，极值情况，即可判断选项正误；D 选项，由题可得，存在唯一整数0x ，使()()21e xh x x =-图象在直线()()1n xa x =-下方.，利用导数研究()()21exh x x =-单调性，极值情况，可得其大致图象，后利用切线知识结合()(),h x n x 图象可确定0x 及相关不等式，即可判断选项正误.【详解】A 选项，()()21e 2xf x x ax b '=+--，由题()1e e 2f a =-=-，()012f b '=-=，则2a =，1b =-，故A 错误；B 选项，当a b =时，()()221e xf x x ax ax a =---+，()()()()21e 221e xxf x x ax a x a '=+--=+-.因10e a <<，则112ln a <-<-.()0ln f x x a '>⇒<或()12x f x >-⇒在()12,ln ,,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，则()f x 在()0,∞+上单调递增，故B 正确；C 选项，当a b =时，令()()221e 0xf x x ax ax a =---+=，注意到当210x x +-=时，()0f x ≠，则()2211exx a x x -=+-，则函数()f x 有三个零点，相当于直线y a=与函数()2211exx y x x -=+-图象有三个交点.令()()2211exx g xx x -=+-，其中151522,x ---+≠.()()()()222111e xx x x g x xx +-'=+-.令()1002g xx '>⇒-<<或()1x g x >⇒在()1012,,,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；()102g x x --'<⇒<或1122x --<<-或102x -<<或()112x g x -+<<⇒在151511502222,,,,,⎛⎛⎫⎛-----+-∞- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1,12⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()0,,,x g x x g x →-∞→→+∞→+∞，则可得()g x 大致图象如下，则由图可得，当(),1e,5e a ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，直线y a =与函数()2211exx y x x -=+-图象有三个交点，即此时函数()f x 有三个零点，故C 正确；D 选项，由题可得，()()00211ex xa x -<-，即存在唯一整数0x ，使()()21e xh x x =-图象在直线()()1n xa x =-下方.则()()21e x h xx '=+，()()110022,h x x h x x ''>⇒>-<⇒<-，得()h x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又()()0,,,x h xx h x →-∞→→+∞→+∞，()()1n x a x =-过定点()1,0，可在同一坐标系下做出()h x 与()n x 图象.又设()h x 过()1,0点切线方程的切点为()()11,x h x ，则切线方程为：()()()111y h x x x h x '=-+，因其过()1,0，则()()()()1211111101320e x h x x h x xx x '=-+=-⇒=或32，又注意到()()11h n >结合两函数图象，可知00x =或2.当00x =时，如图1，需满足()()()()0031112e h n a h n ⎧<⎪⇒≤<⎨-≥-⎪⎩；当02x =时，如图2，需满足()()()()22225e 3e 332h n a h n ⎧<⎪⇒<≤⎨≥⎪⎩；综上：2335,13e ,e 2e 2a b ⎡⎫⎛⎤=∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ ，故D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：对于选填题，为便于快速找到答案，常使用数形结合思想，用直观的图象解决函数零点与函数不等式成立问题，而做出图象的关键就是利用导数知识研究函数的单调性，极值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法有______种．（以数字作答）【答案】37【解析】【分析】根据分类加法计数原理，由题中条件，即可得出结果.【详解】一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，由分类加法计数原理可知，不同的取法有12141137++=种，故答案为：37．13.若曲线2()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则实数a 的取值范围是______________.【答案】2a <-或0a >【解析】【分析】令切线方程为y kx =、切点为(,)t kt 并对曲线()y f x =求导，由()k f t '=且()f t kt =得到2220t at a +-=有两个不相等的实根，即可求范围.【详解】由题设，令切线方程为y kx =，而2()(221)e x y f x x a ''==++，若切点为(,)t kt ，则2()(221)e t f t t a k '=+=+且2()()e t f t t a kt =+=，所以22()(221)e e t t t t t a a =+++，故2220t at a +-=有两个不相等的实根，则2480a a ∆=+>，可得2a <-或0a >.故答案为：2a <-或0a >14.已知对31,e ex ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()1e1ln 1mx m x x ++-- 恒成立，则实数m 的最小值是__________.【答案】21e##2e -【解析】【分析】()1e1ln 1mx m x x ++-≥-⇔11ln e e 1ln 1mx mx x x +++-≥+-，令()ln 1(0)f x x x x =+->，求导后判断()f x 在()0,∞+上单调递增，从而问题转化为31,e ex ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，1e mx x +≥恒成立.而1emx x +≥⇔ln 1x m x -≥，令()ln 1x g x x-=，求导得到()2max 1e g x =，进而可求解.【详解】()1e1ln 1mx m x x ++-≥-⇔1e ln 1mx mx x x ++≥+-⇔()1e 11ln 1mx mx x x +++-≥+-⇔11ln e e 1ln 1mx mx x x +++-≥+-令()ln 1(0)f x x x x =+->，则31,e ex ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()()1emx f f x +≥恒成立.对()ln 1f x x x =+-求导得()110f x x'=+>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.所以31,e ex ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，1e mx x +≥恒成立.而1e mx x +≥⇔1ln mx x +≥⇔ln 1x m x-≥令()ln 1x g x x -=，则()22ln xg x x -'=令()20,e g x x '==，所以当21e ex ≤<时，()()0,g x g x '>单调递增；当23e e x <≤时，()()0,g x g x '<单调递减.所以()()22max 1eeg x g ==.故21e m ≥，即实数m 的最小值是21e .故答案为：21e【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数()21xx x f x e+-=.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的方程；（2）求函数()y f x =的极值.【答案】（1）210x y --=；（2）极小值为e -，极大值为25e.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算()()0,0f f '的值，求出函数的切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间，求出函数的极值即可.【详解】（1）函数()21xx x f x e+-=定义域为R ，且()()()()()22211x x x x x e x x e f x e ''+-⋅-+-'=()()22211=x xxx e x x e e +⋅-+-⋅22=x x x e -++()()12=xx x e -+-，∵曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率()02k f ='=，又()01f =-，则切点为()0,1-，∴所求切线方程为()()120y x --=-即210x y --=.（2）∵()()()12xx x f x e-+-'=又0x e >，由()0f x '=得=1x -或2x =，当(),1x ∈-∞-和()2,+∞时，()0f x '<，此时()f x 为减函数；当()1,2x ∈-时，()0f x ¢>，此时()f x 为增函数，由()f x 的单调性知函数的极小值为()1f e -=-，极大值为()22525=f e e -=.【点睛】本题考查函数的切线方程、极值的问题，关键点是由导数的几何意义可求出切线方程，第二问求出导函数利用单调性求出函数的极值，考查了学生的基础知识、计算能力．16.已知0，1，2，3，4，5这六个数字．（1）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（2）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（3）可以组成多少个数字不重复的大于3000且小于5421的四位数？【答案】（1）48（2）131（3）175【解析】【分析】（1）根据分步乘法原理，先选个位数字，再选百位数字，再选十位数字即可求解；（2）根据分类加法原理，按一位数、两位数、三位数分类即可求解；（2）根据分类加法原理，按首位数字为3或4；首位数字为5，百位数字不是4；首位数字为5，百位数字是4分类即可求解.【小问1详解】分3步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③十位数字也有4种选法；由分步计数原理知所求三位数共有34448⨯⨯=个.【小问2详解】分3类：①一位数，共有6个；②两位数，先选十位数字，有5种选法；再选个位数字也有5种选法，共有5525⨯=个；③三位数，先选百位数字，有5种选法；再选十位数字也有5种选法；再选个位数字，有4种选法，共有554100⨯⨯=个；因此，比1000小的自然数共有625100131++=个．【小问3详解】分4类：①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2543120⨯⨯⨯=个；②千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有44348⨯⨯=个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有236⨯=个；④5420也满足条件；故所求四位数共有1204861175+++=个.17.为了积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召，某同学大学毕业后决定利用所学专业知识进行自主创业．经过市场调查，生产某种小型电子产品需投入固定成本3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于10万件时，()9714=+-C x x x（万元）；当年产量不小于10万件时，()166ln 13C x x x x=++-（万元）．已知每件产品售价为6元，假若该产品当年全部售完．（1）写出年利润()P x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（结果保留一位小数，取ln20.7=）【答案】（1）()911,01016ln 10,10x x xP x x x x ⎧--+<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪⎩（2）当年产量约为16万件时，该产品所获年利润最大，最大年利润6.2万元【解析】【分析】（1）根据已知，写出分段函数()C x 的表达式，即可得出答案；（2）根据基本不等式求解得出当010x <<时，()P x 的最大值；求导根据导函数得出()P x 在[)10,+∞的单调性、极值、最值.比较，即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，()9714,010166ln 13,10x x xC x x x x x ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪++-≥⎪⎩，所以，()()911,0106316ln 10,10x x xP x x C x x x x ⎧--+<<⎪⎪=--=⎨⎪--+≥⎪⎩.【小问2详解】当010x <<时，96x x +≥=，当且仅当9x x=，即3x =时等号成立，所以，()9116115P x xx --+-=≤+=，即当010x <<时，()()35P x P ≤=；当10x ≥时，()16ln 10P x x x -=-+，则()2211616x x x x xP '-=-+=-，当1016x ≤<时，有()0P x '>，所以()P x 在[)10,16上单调递增；当16x >时，有()0P x '<，所以()P x 在()16,+∞上单调递减.所以，当10x ≥时，()P x 在16x =处有唯一极大值，也是最大值()16ln16104ln 2940.79 6.21166P --+=-+≈-==⨯+.且()()316P P >，所以，当年产量约为16万件时，该产品所获年利润最大，最大年利润6.2万元.18.已知函数f(x)=x e -ln(x+m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性；（2）当m≤2时，证明f(x)>0.【答案】(1)()f x 在(1,0)-上是减函数；在(0,)+∞上是增函数（2）见解析【解析】【详解】(1)．由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1．于是f(x)=e x －ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，．函数在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x ∈(－1，0)时，f '(x)<0;当x ∈(0，+∞)时，f '(x)>0．所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．(2)当m≤2，x ∈(－m ，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)>0．当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．又f '(－1)<0，f '(0)>0，故f '(x)=0在(－2，+∞)上有唯一实根，且．当时，f '(x)<0;当时，f '(x)>0，从而当时，f(x)取得最小值．由f '(x 0)=0得=，，故．综上，当m≤2时，f(x)>0．19.已知函数()()2ln 1ln 1,R f x x a x x a ⎡⎤=-++⋅∈⎣⎦，（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =-，对任意()12,1,x x ∈+∞，当12x x >时，不等式()()()221212f x f x m x x -<-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）2em ≥【解析】【分析】（1）先求导函数得()()()ln ln 1f x x a x =-+'，分类讨论a 的值，判断函数单调性即可；（2）结合（1）知()()()221212f x f x m x x -<-()()221122f x mxf x mx ⇔-<-对()12,1,x x ∀∈+∞恒成立，构造函数()()2h x f x mx =-，知()0h x '≤在()1,+∞上恒成立，分离参数求解即可.【小问1详解】()()2ln 1ln 1f x x a x x ⎡⎤=-++⋅⎣⎦，()()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1ln ln ln 1x a f x x x a x x a x a x a x xx +⎡⎤⎡⎤∴=-+-++=+--=-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦'令()0f x '=，则两根分别为121e ,eax x ==.1.当1a =-时，()()2ln 10f x x '=+≥在()0,∞+恒成立，故()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；2.当1a >-时，令()0f x ¢>得1ex <或e a x >，令()0f x '<得1e eax <<，所以()f x 单调递增区间为()10,,e ,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；3.当1a <-时，令()0f x ¢>得e a x <或1ex >时，令()0f x '<得1e eax <<，所以()f x 单调递增区间为()10,e,,e a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1e ,e a⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上当1a =-时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当1a >-时，()f x 单调递增区间为()10,,e ,e a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e ea⎛⎫ ⎪⎝⎭；当1a <-时，()f x 单调递增区间为()10,e,,e a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1e ,e a⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）知，若1a =-，则()2ln 1f x x x ⎡⎤=+⋅⎣⎦，()()2(ln 1)0,f x x f x ∴=+≥∴'的在区间()1,+∞单调递增.又12x x >，所以()()()221212f x f x m x x -<-对()12,1,x x ∀∈+∞恒成立()()()221212f x f x m x x ⇔-<-对()12,1,x x ∀∈+∞恒成立，()()221122f x mx f x mx ⇔-<-对()12,1,x x ∀∈+∞恒成立，令()()2h x f x mx =-，则()h x 在()1,+∞上单调递减，则()0h x '≤在()1,+∞上恒成立，又()2(ln 1)2h x x mx =+-'，且1x >，2(ln 1)2x m x +≥在()1,+∞上恒成立，即2max(ln 1)2x m x ⎡⎤+≥⎢⎥⎣⎦令()2(ln 1)x g x x +=，则()()()2ln 11ln x x g x x +-='令()0g x '>得()1,e x ∈，令()0g x '<得()e,x ∈+∞，()g x ∴在()1,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，所以()max 42()e em g x g ≥==2em ∴≥【点睛】思路点睛：第一问含有参数的单调性需要分类讨论，判定导函数的零点大小确定单调区间，讨论要不漏不重；第二问，对于恒成立问题可以利用分离参数的方法，将问题转化为参数与函数最值的关系即可.。

2018-2019学年安徽省合肥一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）【答案】1. D2. D3. A4. B5. B6. C7. C8. C9. C10. A11. C12. C13. 3814.15.16. -17. 证明：（1）∵E、F分别为C1D1，B1C1的中点，∴EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥D1B1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴BB1∥DD1、BB1=DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴DB∥DB1，∴EF∥D1B1，∴EF∥DB，∴D、B、F、E共面．（2）∵AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，∴PQ是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，∵A1C交平面DBFE于R点，∴R是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点，PQ是AA1C1C与平面DBFE的交线，R是平面AA1C1C与平面DBFE的交点，∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，∴P、Q、R三点共线．18. 解：（1）结论：BC∥l．证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD．又∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，∴BC∥l．（2）结论：MN∥平面PAD．证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ=Q，PD∩AD=D，∴平面MNQ∥平面PAD．又∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD．19. 解：（1）设所求的圆柱的底面半径为r，它的轴截面如图：由图得，，即．∴S圆柱侧=（5分）（2）由（1）知当时，这个二次函数有最大值为6π，∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2（10分）20.解：（1）===（2）当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE．证明如下：∵△C1D1D中，EF是中位线，∴EF∥C1D且EF=C1D，设AB1∩A1B=O，则平行四边形AB1C1D中，B1O∥C1D且B1O=C1D，∴EF∥B1O且EF=B1O，∴四边形B1OEF为平行四边形，B1F∥OE．∵B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE．21. 解：（1）证明：取AD中点H，连接BH，FH，易证：FHBB1为矩形，因此，FB1∥BH，且FB1=BH，．又∵正方形ABCD中BH∥DE且BH=DE，∴FB1∥DE，FB1=DE，∴FB1ED为平行四边形．又∵FD=DE==a，∴四边形B1EDF为菱形．（2）连接AC交DE于点O，则===．过O点作OM∥A1C交AA1于点M，则∠MOD或其补角为DE与A1C所成的角．在△MOD中，OD=DE=×a=a，MO=A1C=×a=a，MD==a，cos∠MOD=．∴A1C与DE所成的角的余弦值等于．22. （1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD，∵平面ACD∩平面BCD=CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD，∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．（2）解：设，则EF=xCD=ax，EH=（1-x）AB=（1-x）a，∠FEH=60°，∴，当时，，∴E为AD的中点．（3）证明：由（2）知，四边形EFGH的周长：C=2（EF+EH）=2[ax+a（1-x）]=2a为定值．【解析】1. 解：∵直线a与b是异面直线，直线c∥a，∴直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．故选：D．直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．本题考查两条直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．2. 解：由m，n表示两条不同的直线，用α表示一个平面，知：若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A错误；若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故D正确．故选：D．在A中，m∥α或m⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由直线与平面垂直的性质得m∥n．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．3. 解：还原直观图为原图形如图，故选：A．利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形．本题考查了平面图形直观图的画法，解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤，从而还原得到原图形．4. 解：由题设条件知，正视图中的长与侧视图中的长不一致，对于①，俯视图是长方形是可能的，比如此几何体为一个长方体时，满足题意；对于②，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是正方形；对于③，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是圆形；对于④，如果此几何体是一个椭圆柱，满足正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图可能是椭圆．综上知②③是不可能的图形故选B本题给出了正视图与侧视图，由所给的数据知凭据三视图的作法规则，来判断侧视图的形状，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，此特征即是判断俯视图开关的关键，由此标准对四个可选项依次判断即可．本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视5. 解：如图所示，在平面ABD内，∵AE：EB=AF：FD=1：4，∴EF∥BD．又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD．又在平面BCD内，∵H，G分别是BC，CD的中点，∴HG∥BD．∴HG∥EF．又，∴EF≠HG．在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，∴四边形EFGH为梯形．故选：B．由已知得EF∥BD．由此能证明EF∥平面BCD．由已知条件推导出HG∥BD．HG∥EF．EF≠HG．从而得到四边形EFGH为梯形．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时注意空间思维能力的培养．6. 【分析】设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可．本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属于基础题．【解答】解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，r=，扇形的面积S1=×1×=，圆锥的表面积S2=S1+πr2=+=，∴=．故选C．7. 解：由题意，MA、MB、MC两两互相垂直，故三个线段是一个长方体共顶点的三条棱，此长方体的体对角线恰好是外接球的直径，∵A、B、C、M是半径为R的球面上的四点，∴球的直径是2R，∴AB2+AC2+AD2=4R2．故选C．由题意知，此四点组成的三个线段恰好是长方体同一个顶点出发的三条棱，体对角线就外接球球的直径．本题考查球内接多面体，解题的关键是能理解出球的内接长方体的体对角线就是直径，考查计算能力．8. 解：连接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，EF是三角形ASC的中位线，EF∥SC，且EF=SC，则EF与BE的成角是BE与SC的成角，BF=，AB=，EF=，三角形SAB是等腰三角形，从S作SG⊥AB，cos A===，根据余弦定理，BE2=AE2+AB2-2AE•AB•cos A=2，BE=，在△BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE2-2EF•BE cos∠BEF，cos∠BEF=，∠BEF=60°；异面直线BE与SC所成角的大小60°．故选C．接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，说明EF与BE的成角是BE与SC的成角，通过在△BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE2-2EF•BE cos∠BEF，求出cos∠BEF解得异面直线BE与SC所成角的大小．本题考查异面直线及其所成的角，考查计算能力，是基础题．9. 解：该几何体为正方体沿体对角线截成，其分成两部分的几何体的体积相等，而正方体的体积V=23=8，故被截去的几何体的体积是=4，故选C．三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体沿体对角线截成．三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．10. 【分析】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力.正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积.【解答】解：设球的半径为R，∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴，∴，∴球的表面积为.故选A.11. 解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图设长方体的长宽高分别为m，n，k，由题意得，⇒n=1，所以（a2-1）+（b2-1）=6⇒a2+b2=8，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16⇒a+b≤4当且仅当a=b=2时取等号．故选：C．设棱长最长的线段是长方体的对角线，由题意所成长方体的三度，求出三度与面对角线的关系，利用基本不等式即可求出a+b的最大值本题是基础题，考查长方体的对角线与三视图的关系，长方体的三度与面对角线的关系，基本不等式在求最值中的应用，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．12. 解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：=．故选：C．画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值．本题考查最小值的求解，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大．13. 解：由三视图可知，几何体是底面边长为4和3高为1的长方体，中间挖去半径为1的圆柱，几何体的表面积为：长方体的表面积+圆柱的侧面积-圆柱的两个底面面积．即S=2×（3×4+1×3+1×4）+2π×1-2×12π=38．故答案为：38．通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．本题考查三视图与直观图的关系，几何体的表面积的求法，判断三视图复原几何体的形状是解题的关键．14. 解：连结AC、BD，交于点O，则O是AC的中点，取CC1的中点O，连结OP，由三角形中位线定理得OP∥AC1，∴∠BOP是AC1与BD所成角（或所成角的补角），∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，∴OB=OC==，PC=，OP==，BP==，∴cos∠BOP===．∴AC1与BD所成角的余弦值为．故答案为：．连结AC、BD，交于点O，则O是AC的中点，取CC1的中点O，连结OP，由三角形中位线定理得OP∥AC1，从而∠BOP是AC1与BD所成角（或所成角的补角），由此利用余弦能求出AC1与BD所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．15. 解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，∴=1，∴=，∴==（）2×=．故答案为：．设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出．本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．16. 解：如图，正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，则∠AOD就为所求的角，设正四面体ABCD的棱长为a，作AE⊥面BCD，垂足为E，作BF⊥CD，交CD于F，则O∈AE，E∈AF，连结AF，则BF==，BE=，AE==，设OA=OB=r，则OE=，则，解得r=，∴cos∠AOD===-．∴这个角的余弦值为-．故答案为：-．构造正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，则∠AOD就为所求的角，由此能求出这个角的余弦值．本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、余弦定理的合理运用．17. （1）由已知得EF∥D1B1，BB1∥DD1、BB1=DD1，从而BB1D1D是平行四边形，从而EF∥DB，由此能证明D、B、F、E共面．（2）由已知得EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，R是平面AA1C1C和平面DBFE 的一个公共点，由此能证明P、Q、R三点共线．本题考查四点共面的证明，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．18. （1）由AD∥BC，可得BC∥平面PAD，再利用线面平行的性质可得BC∥l；（2）取CD的中点Q，连接MQ、NQ，可证平面MNQ∥平面PAD，再由面面平行的性质得线面平行．本题考查了线面平行的判定与性质，考查了面面平行的判定与性质，体现了线线、线面、面面平行关系的相互转化，要熟记相关定理的条件．19. （1）由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积；（2）由（1）求出的侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想．20. （1）利用等体积转换，即可求三棱锥B1-A1BE的体积；（2）设AB1∩A1B=O，取C1D1中点F，连接OE、EB、B1F．根据三角形中位线定理，得EF∥C1D且EF=C1D，平行四边形AB1C1D中，有B1O∥C1D且B1O=C1D，从而得到EF∥B1O且EF=B1O，四边形B1OEF为平行四边形，B1F∥OE，所以B1F∥平面A1BE，即存在C1D1中点F，使B1F∥平面A1BE．本题在正方体中，证明面面垂直并且探索线面平行的存在性，着重考查了正方体的性质、线面平行的判定，以及线面垂直、面面垂直的判定与性质、考查三棱锥B1-A1BE的体积等知识，属于中档题．21. （1）要证四边形B1EDF为菱形，只要先证其是平行四边形，再说明邻边相等即可，根据正方体的性质易证；（2）根据异面直线所成角的定义，把直线A1C平移和直线DE相交，找到异面直线A1C 与DE所成的角，解三角形即可求得结果．此题是个中档题．考查异面直线所成的角和棱柱的结构特征，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．22. （1）由已知得EF∥GH，从而EF∥平面BCD，进而EF∥CD，由此能证明CD∥平面EFGH．（2）设，则，由此能求出E为AD的中点时截面面积最大，并能求出面积的最大值．（3）四边形EFGH的周长：C=2（EF+EH），由此能证明四边形EFGH的周长为定值．本题考查线面平行的证明，考查截面面积最大时点的位置的确定，考查四边形EFGH的周长为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。

合肥一中2021——2021学年第一学期高二年级段一考试数学〔理〕试卷第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥极点的截面是等腰三角形D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形【答案】C【解析】略2. 四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影〔阴影局部〕效果如图，那么在字母的投影中，与字母属同一种投影的有〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】按照平行投影和中心投影的特点和规律．“L〞、“K〞与“N〞属中心投影；应选A．3. 将图1所示正方体截去两个三棱锥，取得图2所示的几何体，那么该几何体的侧视图为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意可知几何体前面在右边的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，在右边的射影是正方形的对角线，在右边的射影也是对角线是虚线．如图B．应选B．考点：简单空间图形的三视图．4. 是两个不同的平面，是两条不同的直线，现给出以下命题：①假设,,,，那么；②假设,，那么③假设,，那么；④假设,，那么.其中正确命题的个数是〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】对于①，假设，按照面面平行的判定定理，若是直线不相交，那么与不必然平行；故①错误；对于②，假设 ,，那么那么与位置关系不肯定〔有可能在内〕；故②错误；对于③，假设,，那么那么与位置关系不肯定〔有可能在内〕；故③错误；对于④， ,，那么. ，那么与位置关系不肯定〔有可能在内〕；故④错误．应选A．5. 正方体中，别离是的中点，过三点的平面截正方体，那么所得截面形状是〔〕A. 平行四边形B. 直角梯形C. 等腰梯形D. 以上都不对【答案】C【解析】连接由正方体的性质得那么在平面中，∴平面即为所得截面，即为过三点的正方体的截面，∴截面为等腰梯形，应选C【点睛】此题主要考察平面的根本性质，按照直线平行的性质是解决此题的关键6. 如图，四边形的直观图是一个边长为 1 的正方形，那么原图形的周长为〔〕A. B. 6 C. 8 D.【答案】C【解析】试题分析：因为四边形的直观图是一个边长为的正方形，所以原图形为平行四边形，一组对边为，另一组对边长为，所以圆图形的周长为，应选C.考点：平面图形的直观图.7. 在中，，，，假设把绕直线旋转一周，那么所形成的几何体的体积是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所以，，所以旋转体的体积为＝＝，应选B．考点：旋转体的性质与体积．8. 如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】C，故应选.考点：一、空间几何体的体积；二、三视图.9. 某几何体的三视图如下图，那么它的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，半圆锥的底面直径为2，高故半圆锥的底面半径，母线长为，半圆锥的外表积选A10. 直三棱柱中，假设，那么异面直线与所成的角等于〔〕A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】延长到，使得，连接。

2017-2018学年安徽省合肥市第一中学高二上学期段一考试（月考）文数试题一、选择题：共12题1. 将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周,形成的几何体一定是A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 以上均不正确【答案】A【解析】由棱锥的定义可知：将直角三角形绕它的一个直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体一定是圆锥.本题选择A选项.2. 由斜二测画法得到:①相等的线段和角在直观图中仍然相等;②正方形在直观图中是矩形;③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形;④平行四边形的直观图仍然是平行四边形.上述结论正确的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】逐一考查所给的说法：①相等的线段平行时在直观图中仍然相等，原说法错误；②正方形在直观图中是平行四边形，不是矩形，原说法错误；③等腰三角形在直观图中不是等腰三角形，原说法错误；④平行四边形的直观图仍然是平行四边形，原说法正确．综上可得上述结论正确的个数是1个.本题选择B选项.3. 下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出的图形的序号是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】B【解析】本题考查空间线面的平行关系.对于①,根据正方体的概念可知,以AB为对角线的对角面与平面MNP平行,故平面,即①正确;②③中,直线AB与平面MNP都相交;对于④,易得AB∥NP,故平面.所以,能得到平面的序号是①④.故答案为：B。

4. 在正方体中,异面直线与所成的角为A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】C【解析】如图所示，由正方体的性质可知，则异面直线与所成的角即，结合正方体的性质可知，综上可得异面直线与所成的角为45°.本题选择C选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．5. 如图,在四面体中,若直线和相交,则它们的交点一定A. 在直线上B. 在直线上C. 在直线上D. 都不对【答案】A【解析】依题意有：由于交点在上，故在平面上，同理由于交点在上，故在平面上，故交点在这两个平面的交线上.6. 在正方体中,为棱的中点,则A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意结合射影定理逐一考查所给选项：在平面上的射影为，若，则，该结论明显不成立，选出A 错误；在平面上的射影为，若，则，该结论明显不成立，选出B错误；在平面上的射影为，若，则，该结论明显不成立，选出C错误；在平面上的射影为，若，则，该结论明显成立，选出D正确；本题选择D选项.7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽丈，长丈，上棱长丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知丈为尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为A. 立方尺B. 立方尺C. 立方尺D. 立方尺【答案】A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的四棱锥的体积由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺．故选A．【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键．8. 设是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】B【解析】试题分析：由题意得，对于A中，若，，则可能在内，所以错误；B中，若，，根据线面垂直的性质定理以及平行线的性质，可得，所以正确；C中，若，，则与平行或异面，所以错误；D中，若，，则与平行、相交或异面，所以错误，故选B.考点：线面位置关系的判定.9. 在棱长为1的正方体中,是棱的中点,是侧面内(包括边)的动点,且平面,沿运动,将点所在的几何体削去,则剩余几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M∥D1E,A1M⊄平面D1AE,D1E⊂平面D1AE,∴A1M∥平面D1AE.同理可得MN∥平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线,∴平面A1MN∥平面D1AE，由此结合A1F∥平面D1AE,可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F的轨迹是线段MN，∴，∴将B1点所在的几何体削去,剩余几何体的体积为，本题选择B选项.10. 在空间四边形中,分别为上的点,且,又分别是的中点,则A. 平面,且四边形是平行四边形B. 平面,且四边形是平行四边形C. 平面,且四边形是梯形D. 平面,且四边形是梯形【答案】C【解析】如图,由条件知,,,,且;且=;四边形EFGH为梯形;,平面BCD,平面BCD;平面BCD;若平面ADC,则,显然EH不平行FG;不平行平面ADC;选项C正确.点睛：这个题目主要考查了线面平行的判定方法；对于线面平行的证法，一般是转化为线线平行；常见方法有：构造三角形中位线，构造平行四边形等方法证明线线平行，从而得到线面平行。

2016-2017学年安徽省合肥一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列命题是公理的是（）A．直线和直线外一点确定一个平面B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补D．平行于同一个平面的两个平面相互平行2．下面是一些命题的叙述语，其中命题和叙述方法都正确的是（）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈αB．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=aC．∵A∈a，a⊂α，∴A∈αD．∵A∉a，a⊂α，∴A∉α3．下列命题中正确的个数是（）①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．设a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列推导错误的是（）A．a∥b，b⊂β，a⊄β⇒a∥βB．a∥α，a⊥β⇒β⊥αC．α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β⇒α∥β5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（）6．已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β=b，直线a与直线b（）A．相交B．平行C．异面D．不确定7．平面α截球O的球面所得圆的半径为，球心O到平面α的距离为1，则此球的半径为（）A．1 B．C．D．28．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是（）A．两条相交直线B．两条平行直线C．两个点D．一条直线和直线外一点9．如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A． B．C．D．10．已知a，b，c均为直线，α，β为平面，下面关于直线与平面关系的命题：①任意给定一条直线与一个平面α，则平面α内必存在与a垂直的直线；②a∥β，β内必存在与a相交的直线；③α∥β，a⊂α，b⊂β，必存在与a，b都垂直的直线；其中正确命题的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=AA1=4，点D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等边三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是．14．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是．15．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有（填序号）．16．已知一个三棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边长为1的直角三角形，则该三棱锥的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，∠DAB=∠CBA=90°，∠DCB=60°，AD=1，AB=，在直角梯形内挖去一个以A为圆心，以AD为半径的四分之一圆，得到图中阴影部分，求图中阴影部分绕直线AB旋转一周所得旋转体的体积、表面积．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）平面EFA1∥平面BCHG；（2）BG、CH、AA1三线共点．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设异面直线BP与CD所成角为45°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．20．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE=a．（1）求证：PB⊥BC；（2）试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD．21．（12分）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，DC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的四棱锥P﹣ABFE，且PB=．（1）求证：AB⊥平面POD；（2）求四棱锥P﹣ABFE的体积．22．（12分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为45°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，∠COD=60°．（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求轴OP与平面PCD所成的角的正切值．2016-2017学年安徽省合肥一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列命题是公理的是（）A．直线和直线外一点确定一个平面B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补D．平行于同一个平面的两个平面相互平行【考点】平面的基本性质及推论．【分析】牢记公理，利用空间几何中的公理直接进行判断求解．【解答】解：在A中，直线和直线外一点确定一个平面是公理三的一个推论，故A错误；在B中，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面是公理三，故B正确；在C中，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补是公理四的推论，故C错误；在D中，平行于同一个平面的两个平面相互平行是平面与平面平行的判定定理，故D错误．故选：B．【点评】本题考查公理的判断，是基础题，解题是要认真审题，注意平面公理的灵活运用．2．下面是一些命题的叙述语，其中命题和叙述方法都正确的是（）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈αB．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=aC．∵A∈a，a⊂α，∴A∈αD．∵A∉a，a⊂α，∴A∉α【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据点在线上，A∈a；线在平面内，a⊂α；点在平面内，A∈α，和公理1依次判断可得答案．【解答】解：对A，直线AB在平面α内，应为AB⊂α，故A错误；对B，直线a在平面α内，应为a⊂α，故B错误；对C，∵A∈a，a⊂α，∴A∈α，故C正确；对D，A∉a，a⊂α，有可能A∈α，故D错误．故选C．【点评】本题考查了几何语言的表述及公理1．3．下列命题中正确的个数是（）①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举反例说明①③不正确；由棱台的结构特征说明B错误；由棱锥的结构特征说明④错误．【解答】解：由五个面围成的多面体可以是四棱锥，故①错误；用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥便可得到棱台，故②错误；仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱，故③错误；有一个面是多边形，其余各面是具有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D 错误．∴正确命题的个数是0个．故选：A．【点评】本题考查棱柱、棱锥的定义和结构特征，通过举凡列说明某个命题的正确性是一种常用的方法，是中档题．4．设a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列推导错误的是（）A．a∥b，b⊂β，a⊄β⇒a∥βB．a∥α，a⊥β⇒β⊥αC．α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β⇒α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行的判定定理、面面平行、垂直的性质定理、判定定理，即可得出结论．【解答】解：由a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，知：在A中：根据线面平行的判定定理可得A正确；在B中：由面面垂直的判定定理得B正确；在C中：由面面平行的性质定理得a∥b，故C正确；在D中：由面面平行的判定定理得D不正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间位置关系的合理运用．5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是（）A．14πB．12πC．8πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体结构特征是什么，从而求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一半径为2的球体去掉部分的几何体，∴它的体积为•π•23=8π．故选：C．【点评】本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．6．已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β=b，直线a与直线b（）A．相交B．平行C．异面D．不确定【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】平面α、β中可以找到一直线平行于直线a，设m在平面α内，n在平面β内，则m∥a，n∥a，从而m∥n，由此能得到a∥b．【解答】解：∵直线a∥平面α，直线a∥平面β∴平面α、β中可以找到一直线平行于直线a，设m在平面α内，n在平面β内则m∥a，n∥a，∴m∥n，∴m不在平面β内，n在平面β内，∴m∥β，∵α∩β=b，∴m∥b，又∵m∥a，∴a∥b．故选：B．【点评】本题考查两直线位置关系的判断，利用了线面平行的性质定理和判定定理；是中档题，解题时要认真审题，注意空间想象能力的培养．7．平面α截球O的球面所得圆的半径为，球心O到平面α的距离为1，则此球的半径为（）A．1 B．C．D．2【考点】球的体积和表面积．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为，球心O到平面α的距离为1，利用勾股定理求出球的半径．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为，球心O到平面α的距离为1，所以球的半径为：=．故选C．【点评】本题考查球的半径的求法，考查空间想象能力、计算能力．8．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是（）A．两条相交直线B．两条平行直线C．两个点D．一条直线和直线外一点【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】根据两条直线在同一平面上的射影为两个点时，两条直线都垂直于这个平面，则两条直线是平行直线，可得答案．【解答】解：当两条直线在同一平面上的射影为两个点时，两条直线都垂直于这个平面，∴两条直线平行，∴两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是两个点．故选：C．【点评】本题考查了异面直线的定义及直线在平面内的射影，考查了学生的空间想象能力，图形演示是解答此类的常用方法．9．如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A． B．C．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=3α，解得：α=，∴∠AOA′=，则∠1=，过C作CF⊥OA，∵C为OB的三等分点，BO=3，∴OC=1，∵∠1=60°，∴∠OCF=30°，∴FO=，∴CF2=CO2﹣OF2=，∵AO=3，FO=，∴AF=，在Rt△AFC中，利用勾股定理得：AC2=AF2+FC2=7，则AC=．故选：B．【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．10．已知a，b，c均为直线，α，β为平面，下面关于直线与平面关系的命题：①任意给定一条直线与一个平面α，则平面α内必存在与a垂直的直线；②a∥β，β内必存在与a相交的直线；③α∥β，a⊂α，b⊂β，必存在与a，b都垂直的直线；其中正确命题的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐个分析命题得答案．【解答】解：①任意给定一条直线与一个平面α，则平面α内必存在与a垂直的直线，正确；②a∥β，则a与β无公共点，β内不存在与a相交的直线，故②错误；③α∥β，a⊂α，b⊂β，与两个平面垂直的直线，与直线a，b垂直，故必存在与a，b都垂直的直线，故③正确．∴正确命题的个数有2个．故选：C．【点评】本题考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．11．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AD的中点G，连接EG、FG，由三角形中位线定理得EG∥CD，从而得到∠GEF是EF与CD所成的角，由此能求出EF与CD所成的角的大小．【解答】解：取AD的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AC、BD中点，∴EG∥CD，且EG==1，FG∥AB，且FG==．∵EF⊥AB，FG∥AB，∴EF⊥FG．∵EG∥CD，∴∠GEF是EF与CD所成的角，在Rt△EFG中，∵EG=1，GF=，EF⊥FG，∴∠GEF=30°，即EF与CD所成的角为30°．故选：A．【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，理解异面直线夹角的定义利用平移法，构造出满足条件的平面角是解答的关键．12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=AA1=4，点D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是（）A．B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以AC为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=AA1=4，点D是AA1的中点，知=（），=（0，4，2），，设平面BDC1的法向量为，由，，知，由此能求出点A1到平面DBC1的距离．【解答】解：以AC为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=AA1=4，点D是AA1的中点，∴B（2，2，0），C1（0，4，4），D（0，0，2），A1（0，0，4），∴=（），=（0，4，2），，设平面BDC1的法向量为，∵，，∴，∴，∴点A1到平面DBC1的距离d===．故选A．【点评】本题考查空间中点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，合理地运用向量法进行求解，向量法求点到面的距离是向量的一个重要运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等边三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是．【考点】平面图形的直观图．【分析】作出△AOB的直观图，根据斜二测画法原理计算直观图的底和高．【解答】解：过B作BD⊥OA，BC⊥OC，则OD=BC=，BD=OC=a，作数轴x′轴和y′轴，使得∠X′O′Y′=45°，在x′轴上取点A′，D′，使得O′A′=OA=a，O′D′=OD=．在Y′轴上取点C′，使得O′C′=a，过点C′作C′B′∥X′轴，使得C′B′=O′D′=，连结O′B′，A′B′，B′D′，则△A′O′B′是△AOB的直观图，由直观图作法可知B'D'=O'C'=a，∠B'D'A'=∠X'O'Y'=45°．过B'作B'E⊥O'A'于E，则B'E=B'D'sin45°=a．'=O'A'•B'E=×a×a=．∴S△A'O'B故答案为．【点评】本题考查了平面图形的直观图，属于基础题．14．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；组合几何体的面积、体积问题．【分析】设出圆柱的底面半径，利用侧面积求出半径，然后解出圆柱的体积．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则4πr2=π，可得r=所以圆柱的体积是：故答案为：【点评】本题考查旋转体的面积、体积计算，是基础题．15．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有②④（填序号）．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】分别由图可判①中GH与MN平行；图②中的GH与MN异面；图③中GH与MN相交；图④中GH与MN异面．【解答】解：由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中的GH与MN异面，符合题意；图③中GH与MN相交，不合题意；图④中GH与MN异面，符合题意．故答案为：②④【点评】本题考查直线的位置关系，涉及异面直线的判定，属基础题．16．已知一个三棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边长为1的直角三角形，则该三棱锥的表面积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意可得：三棱锥P﹣ABC满足：PC⊥底面ABC，PC=1，取AB的中点D，连接CD，PD．CD⊥AB，可得AB⊥PD．PD=．利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：由题意可得：三棱锥P﹣ABC满足：PC⊥底面ABC，PC=1，取AB的中点D，连接CD，PD．CD⊥AB，∴AB⊥PD．PD==2．∴该三棱锥的表面积S=+2×+=+2+=4+．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、线面垂直的判定与性质定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2016秋•包河区校级月考）如图，在直角梯形ABCD中，∠DAB=∠CBA=90°，∠DCB=60°，AD=1，AB=，在直角梯形内挖去一个以A为圆心，以AD为半径的四分之一圆，得到图中阴影部分，求图中阴影部分绕直线AB旋转一周所得旋转体的体积、表面积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据可求其表面积和体积．【解答】解：∵直角梯形ABCD中，∠DAB=∠CBA=90°，∠DCB=60°，AD=1，AB=，∴CD=2，BC=2，由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，S半球==2π，S圆台侧=π×2×2+π×1×2=6π，S圆台底=π×22=4π．故所求几何体的表面积为：2π+6π+4π=12π．22+12+2×1）=π，由V圆台=（=，所以，旋转体的体积为：V=V 圆台﹣V 半球=．【点评】本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题．18．（12分）（2016秋•包河区校级月考）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证： （1）平面EFA 1∥平面BCHG ； （2）BG 、CH 、AA 1三线共点．【考点】平面与平面平行的判定；平面的基本性质及推论．【分析】（1）由已知条件条件出EF ∥平面BCGH ，A 1E ∥平面BCHG ，由此能证明平面平面EFA 1∥平面BCHG ；（2）BG 与CH 必相交，设交点为P ，证明P ∈直线AA 1，即可证明BG 、CH 、AA 1三线共点．【解答】证明：（1）∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC ， ∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG ． ∵A 1G 与EB 平行且相等， ∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB ，∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG ．∵A 1E ∩EF=E ，∴平面EFA 1∥平面BCHG ．（2）∵GH∥BC，GH＜BC，∴BG与CH必相交，设交点为P，则由P∈BG，BG⊂平面BAA1B1，得P∈平面BAA1B1，同理P∈平面CAA1C1，又平面BAA1B1∩平面CAA1C1=AA1，∴P∈直线AA1，∴BG、CH、AA1三线共点．【点评】本题考查平面与平面平行的证明，考查直线位置关系，是中档题，19．（12分）（2016秋•包河区校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD，设E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设异面直线BP与CD所成角为45°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连BD交AC于F，推导出PB∥EF，由此能证明PB∥平面AEC；（2）由AB∥CD，知异面直线BP与CD所成角的平面角为∠ABP=45°，由此能求出三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】证明：（1）连BD交AC于F，F为BD中点，连EF又在三角形PBD中，E为PD的中点，∴PB∥EF，∵EF⊆平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．解：（2）∵AB∥CD，∴异面直线BP与CD所成角的平面角为∠ABP=45°，∴AB=AP=1，∴．【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2016秋•包河区校级月考）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE=a．（1）求证：PB⊥BC；（2）试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）欲证明PB⊥BC，只需推知BC⊥平面PAB即可；（2）在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于AG，连接AG，在AB上取点F，使AF=EG．由BE=a，能求出AF=a时，EF∥平面PAD．【解答】（1）证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，∴PB⊥BC．（2）在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于AG，连接AG，在AB上取点F，使AF=EG，∵EG∥CD∥AF，EG=AF，∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE∥AG．又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD，∴F即为所示的点．∵PB⊥BC，∴PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2，设PA=x，则，由PB•BC=BE•PC得：，∴x=a，即PA=a，∴．又，∴，∴，即，∴，即．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的点的位置的确定与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．（12分）（2016秋•包河区校级月考）如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，DC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的四棱锥P﹣ABFE，且PB=．（1）求证：AB⊥平面POD；（2）求四棱锥P﹣ABFE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB∥EF，EF⊥DO，EF⊥PO，由此能证明AB⊥平面POA．（2）连接BO，推导出PO⊥平面ABFE，由此能求出四棱锥P﹣BFED的体积．【解答】证明：（1）∵点E，F分别是边CA，CB的中点，∴AB∥EF．∵CD⊥EF，∴EF⊥DO，EF⊥PO，∵DO⊂平面POA，PO⊂平面POA，DO∩PO=O，∴EF⊥平面POD．∴AB⊥平面POA．解：（2）连接BO，∴，在Rt△BHO中，，在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO．∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面ABFE．梯形BFED的面积为，∴四棱锥P﹣BFED的体积．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（12分）（2016秋•包河区校级月考）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为45°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，∠COD=60°．（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求轴OP与平面PCD所成的角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面平行的判定．【分析】（1）设面PAB∩面PCD=直线m，由线面平行的判定得AB∥面PCD，再由线面平行的性质得AB∥直线m，进一步得到直线m∥面ABCD；（2）设CD的中点为M，连接OM、PM，可得OP在平面PCD上的射影在PM上，然后求解直角三角形可得轴OP与平面PCD所成的角的正切值．【解答】（1）证明：设面PAB∩面PCD=直线m，∵AB∥CD，且CD⊂平面PCD，∴AB∥面PCD，得AB∥直线m，∵AB⊂面ABCD，∴直线m∥面ABCD．∴面PAB与面PCD的公共交线平行底面ABCD；（2）解：设CD的中点为M，连接OM、PM，∵OC=OD，∴OM⊥CD，设OD=r，则，又OP⊥平面OCD，∴OP⊥CD，又OP∩OM=O，∴CD⊥平面OPM，过O作OH⊥PM，垂足为H，则CD⊥OH，又OH∩PM=H，∴OH⊥平面PCD，∴OP在平面PCD内的射影为PH，则∠OPH为轴OP与平面PCD所成的角的平面角，又母线与底面所成的角为45°，即∠ODP=45°，∴OP=OD=r。