代数结构与图论暨南大学2009年考试题答案

暨南大学线性代数测试题第一篇：暨南大学线性代数测试题线性代数测试练习题一、选择与填空（每题2分，共40分）a111、若行列式D=a21a12a22a32a134a112a11-3a122a21-3a222a31-3a32a13a2 3=。

a33a31a23=1，则H=4a21a334a31（A）-12（B）12（C）-24（D）242、n级排列p1p2Λpn的逆序数与顺序数分别为p与q，则p+q=。

⎧2x1-x2+x3=0⎪3、齐次线性方程组⎨x1+kx2-x3=0有非零解，则。

⎪kx+x+x=0⎩123（A）k=4（B）k=-1（C）k≠-1且k≠4（D）k=-1或k=41042-1-14、四阶行列式D=0-6024-102，Aij是相应的代数余子式，则2A41-A42-A43+2A44=02kk5、A、B、C是n阶矩阵，则下列结论错误的是：（A）I-A2=(I-A)(I+A)（B）(AB)k=AB22（C）如果A=B，则A=B或A=-B（D）A+BTT=A+B⎛OA⎫=6、A、B为n阶可逆矩阵，则 ⎪⎝BO⎭⎛O（A） -1⎝B⎛OA-1⎫（B）⎪-1O⎭⎝A⎛OB-1⎫（A）⎪-1O⎭⎝-A⎛A-1-B-1⎫⎪（D） O⎭⎝OO⎫-1⎪B⎭-17、A为n阶矩阵，且r(A)≤n-1，则r(A*)=（A）1 或n-1（B）0 或n-1（C）1或0（D）以上都不对。

8、A、B为3阶可逆矩阵，且A=2，B=3。

则-2(AB)=。

9、已知向量β=(-1,-1,0)被向量组α1=(1,0,1)，α2=(0,1,0)，α3=(0,0,1)线性表出，则相应的表出系数是（A）-1，-1，-1（B）1，-1，-1（C）-1，1，-1（D）-1，-1，110、A是m⨯n矩阵，r(A)=r(0≤r<n)，则下列结论不正确的是：（A）Ax=0的任何一个基础解系都含n-r个线性无关解向量；（B）X 是n⨯s矩阵，且AX=0，则r(X)≤n-r；T-1（C）β是m维列向量，r(A,β)=r，则β可被A的列向量组线性表示；（D）非齐次线性方程组Ax=b比有无穷多组解；11、已知m⨯n齐次方程组Ax=0，且r(A)=r，ξ1,ξ2,Λ,ξn-r是方程组的n-r个线性无关解向量，则Ax=0的基础解系为（A）ξ1,ξ2,Λ,ξn-r,ξ1+ξ2+Λ+ξn-r（B）ξ1，ξ2-ξ1，ξ3-ξ2，…，ξn-r-ξn-r-1，ξn-r（C）ξ1-ξ2，ξ2-ξ3，…，ξn-r-1-ξn-r，ξn-r-ξ1（D）ξ1,ξ2,Λ,ξn-r,ξ1-ξ2-Λ-ξn-r，12、A为n阶矩阵，下列结论中不正确的是：（A）A可逆的充分必要条件是r(A)=n；（B）A可逆的充分必要条件是A的列秩为n；（C）A可逆的充分必要条件是当x≠0时，Ax≠0；（D）A可逆的充分必要条件是A的每一行都是非零向量。

0910线性代数内招答案[五篇材料]第一篇：0910线性代数内招答案A卷答案一填空1.-42.23.04.25.c(2,-1), c≠06.27. ⎛52⎫⎪8.⎪⎝114⎭⎛-2-2⎫22 ⎪9.-2或110.2x+2xx+2x1122 1⎪-1⎭⎝二选择1.c2.d3.b4.a5.c6.d7.b8.d9.c10.b三计算⎛4+a4+a4+a4+a⎫⎪r1+r2 11+a1⎪11.原式r1+r3 --------3 11+a11⎪⎪r1+r4 1+a111⎪⎝⎭1⎛1 1 1=(4+a) 11+a 1+a1⎝11+a111⎫⎪1⎪--------4 ⎪1⎪1⎪⎭⎛1111⎫⎪r2-r100a0 ⎪r3-r1(4+a) ------------------5⎪0a00 ⎪r4-r1 a000⎪⎝⎭⎛1111⎫⎪c1↔c40a00 ⎪---------------7(4+a) c2↔c400a0⎪⎪000a⎪⎝⎭=a(4+a).----------82.对矩阵A=(α1,α2,α3,α4)仅施以初等行变换： 3⎛1-13-2⎫⎛1-13-2⎫⎪⎪1-32-6⎪0-2-1-4⎪A=→⎪⎪15-11006-412 ⎪⎪31⎪42⎭⎝04-88⎪⎝⎭3-2⎫⎛1-1⎛1-1 ⎪0-2-1-4 ⎪0-2→→⎪00-7000 ⎪00-100⎪00⎝⎭⎝0-2⎫⎪0-4⎪⎪10⎪00⎪⎭⎛1-1 01→00 00⎝0-2⎫⎛10⎪02⎪01→10⎪00⎪00⎪⎭⎝0000100⎫⎪2⎪----------4 0⎪⎪0⎪⎭由最后一个矩阵可知α1,α2,α3为一个极大无关组, 且-------------------------6α4=0⋅α1+2α2+0⋅α3.--------------------83.此二次型对应的矩阵为⎛0-21⎫⎪A=-201⎪-----------------------------1110⎪⎝⎭⎛0-21⎫⎛1-21⎫⎛2-11⎫⎪⎪⎪-201-101-101 ⎪⎪⎪10⎪110⎪110⎪⎛A⎫1⎪→⎪→⎪⎪=00⎪100⎪100⎪⎝I⎭1 0⎪0⎪0⎪101010 ⎪⎪⎪0⎪⎪01⎭⎝101⎭⎝101⎪⎝⎭01⎫⎛201⎫⎛2 ⎪⎪-1-1/210-1/23/2 ⎪⎪13/20⎪13/20⎪⎪→⎪→11 /20⎪11/20⎪0⎪0⎪1010 ⎪⎪1⎪1/21⎭⎝11/21⎪⎝⎭00⎫⎛200⎫⎛2 ⎪⎪0-1/23/20-1/23/2 ⎪⎪13/2-1/2⎪03/2-1/2⎪⎪→⎪→11/2-1/2⎪11/2-1/2⎪0⎪0⎪1010 ⎪⎪11/21/2⎪11/21/2⎪⎝⎭⎝⎭00⎫⎛200⎫⎛2 ⎪⎪0-1/200-1/20 ⎪⎪03/24⎪004⎪⎪→⎪-----------------4→11/21⎪11/21⎪0⎪0⎪1313 ⎪⎪11/22⎪11/22⎪⎝⎭⎝⎭所以⎛1 C=01⎝令1/211/21⎫⎪3⎪,2⎪⎭1011/211/213=1≠0----5 2⎧x1=y1-1/2y2+y3⎪y2+3y3-----6⎨x2=⎪x=y+1/2y+2y123⎩3代入原二次型可得标准型222f=2y1.---8 -1/2y2+4y34.对矩阵(AI3)仅施以初等行变换：43100⎫⎛1 ⎪(AI3)=-1-20010⎪-----------------------2223001⎪⎝⎭3100⎫⎛14 ⎪3110⎪------------------3→020-6-3-201⎪⎝⎭00⎫⎛143100⎫⎛1431 ⎪⎪10⎪--------------4→023110⎪→02310011/61/21/6⎪006131⎪⎝⎭⎝⎭⎛1401/2-3/2-1/2⎫⎪→0201/2-1/2-1/2 ⎪----------50011/61/21/6⎪⎝⎭⎛100-1/2-1/21/2⎫⎪→0201/2-1/2-1/2⎪-------60011/61/21/6⎪⎝⎭⎛100-1/2-1/21/2⎫⎪→0101/4-1/4-1/4⎪------------70011/61/21/6⎪⎝⎭于是得⎛-1/2-1/21/2⎫⎪-1A=1/4-1/4-1/4 ⎪.--------------------------8 1/61/21/6⎪⎝⎭四计算1.A的特征方程为λ-1|λI-A|=0-10=λ(λ-2)2=0λ-0-1λ-20所以A的特征值为λ1=0,λ2=λ3=2.-------------------------4当λ1=0时, 解齐次方程组-Ax=0得基础解系α1=(10-1)T, 单位化得γ1=11α1=(2/20-2/2)T.------------------6当λ2=λ3=2时, 解齐次方程组(2I-A)x=0得基础解系α2=(010)T,α3=(101)T.利用施密特正交化方法，将α2,α3正交化: 令β2=α2=(010)TTβ2αβ3=α3-T3α2=(101)T β2β2再将β2,β3正交化, 得γ2=(010)T,γ2γ3=(2/202/2)T.------------9 2/2⎫⎪0⎪,----------------10 ⎪2/2⎪⎭令Q=(γ1⎛2/20 γ3)=01 -2/20⎝⎛000⎫⎪-1则有QAQ=020⎪.-----------11002⎪⎝⎭2.作方程组的增广矩阵(A M b)，并对它施以初等行变换：⎛21-11M1⎫⎛21-11M1⎫⎛11/2-1/20M1/2⎫⎪⎪⎪001M0⎪(A M b)=42-21M2⎪→0001M0⎪→021-1-1M1⎪0000M0⎪0000M0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭------------3 即原方程组与方程组⎨⎧x1=-1/2x2+1/2x3+1/2 ⎩x4=0同解，其中x2,x3是自由变量.⎛1/2⎫⎪00⎛x2⎫⎛⎫⎪⎪⎪让自由未知量 取值, 得特解η=x⎪0⎪0⎪.-----------------6 ⎝3⎭⎝⎭⎪0⎪⎝⎭原方程组的导出解与方程组⎧x1=-1/2x2+1/2x3⎨ x=0⎩4同解，其中x2,x3是自由变量.对自由未知量 ⎛x2⎫⎛2⎫⎪取值⎪0⎪⎪,x⎝3⎭⎝⎭⎛0⎫2⎪⎪, 即得导出组的基础解系⎝⎭⎛-1⎫⎛1⎫⎪⎪2 ⎪0⎪ξ1=⎪,ξ2=⎪-----------------10 02 ⎪⎪0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭因此所给方程的全部解为x=η+c1ξ1+c2ξ2其中c1,c2可为任意常数.---------------------11五证明1.设α=(a1a2Λan)T,β=(b1b2Λbn)T, 则----1A=αβT+βαT=α(b1=(b1αb2Λbn)+β(a1a2Λan)b2αΛbnα)+(a1βa2βΛanβ)=(b1α+a1βb2α+a2βΛbnα+anβ)----------------5 所以A的列向量组可由α,β线性表示.---6第二篇：线性代数试题及答案线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

2009年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）A （4）D （5）B （6）A （7）D （8）B 二、填空题 （9）3e 2 （10）2ln 21+ （11）1e（12）8000 （13）2 （14）2np 三、解答题（15）极小值11(0,)e ef =−． （16）1ln(12x C +++−+． （17）83−． （18）略． （19）230y x +−=． （20）（Ⅰ）21101021k −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ξ （1k 为任意常数）． 323101/2100010k k −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξ，（23,k k 为任意常数）． （Ⅱ）略．（21）（Ⅰ）特征值为1232,,1a a a λλλ=−==+．（Ⅱ）2a =．（22）（Ⅰ）10,()0,Y X y x f y x x ⎧, <<⎪=⎨⎪⎩其他. （Ⅱ）{}e 211e 1P X Y −=−．（23）（Ⅰ）4{10}P X Z ===. （Ⅱ）(,)X Y 的概率分布为2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】当x 取任何整数时，sin π0x =，()f x 均无意义，所以()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点．由30x x −=解得0,1,1x =−．因为3200131lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→−−==，3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→−−==， 3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →−→−−−==，故可去间断点为3个，即0,1,1x =−．故选C ． （2）【答案】A ． 【解答】222000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)()3x x x x f x x ax x ax a axg x x bx x bx bx →→→→−−−====−⋅−−， 因为2lim(3)0x bx →−=，所以0lim(1cos )0x a ax →−=，从而 1.a =再有，2220001()1cos 12lim lim lim 1()336x x x x f x x g x bx bx b→→→−===−=−−，得16b =−．故选A ． （3）【答案】A ． 【解答】令1sin ()d ln xtf x t x t=−⎰(0)x >， 有sin 1()0x f x x−'=(0)x >，从而()f x 当0x >时单调减少． 由(1)0f =知，当(0,1)x ∈时，()(1)0f x f >=，即1sin d ln x tt x t>⎰．故选A ． （4）【答案】D ． 【解答】0()()d xF x f t t =⎰，0()F x 表示()y f x =与x 轴、y 轴及0x x =所围的图形的代数面积．由()y f x =的图形可知，①因为()y f x =只有有限个第一类间断点，所以()F x 连续．②当[]1,0x ∈−时，()0F x ． ③当[]0,1x ∈时()0F x ，且单调递减．④[]1,2x ∈时()F x 单调递增，且(1)0,(2)0F F <>．⑤[]2,3x ∈时，()F x 为常函数．故选D ．（5）【答案】B ．【解答】因为当A 可逆时，1*−=A A A ，所以112211*−−⨯−⎛⎫⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）O A O A O A O B A B B O B O B O AO 1123−**−**⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OA B B OA B O B A B A O B A O A O ， 故选B ．（6）【答案】A ．【解答】因为1223123100100(,,)(,,)110110001001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q P ααααααα，所以 T TT T 100100100100110110110110001001001001110100100210010010110110.001002001002⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q AQ P AP P AP 故选A ． （7）【答案】D ．【解答】因为,A B 互不相容，所以AB =∅，()0P AB =，从而()()1()1P A B P AB P AB ==−=，故选D ．（8）【答案】B ．【解答】由全概率公式，{}{}{}(),0,1Z F z P XY z P XY z Y P XY z Y ===+={}{}0,0,1P z Y P X z Y ==+=，因为X 与Y 相互独立，所以{}{}{}{}{}11()0010()22Z F z P z P Y P X z P Y P z z ==+==+Φ， 当0z <时，1()()2Z F z z =Φ；当0z 时， 11()()22Z F z z =+Φ．所以0z =为间断点，故选B ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】3e 2．【解答】原式cos 10x x −→=02e(1cos )lim13x x x→−=2021e 2lim 13x x x →⋅=3e 2=． （10）【答案】2ln 21+．【解答】因为z 对x 求偏导时，把y 当常数，所以不妨在(e )y xz x =+中令0y =，得(,0)(1)x z x x =+，于是d (1)(1)ln(1)d 1x x z x x x x x x ⎡⎤'⎡⎤=+=+++⎣⎦⎢⎥+⎣⎦， 从而(1,0)1d d x z zx x=∂==∂2ln 21+．（11）【答案】1e． 【解答】11211222e (1)e (1)(1)lim lim e,e (1)(1)e (1)n n n n n n n nn n n n n n ρ++++→∞→∞−−−−+==⋅=−−+−−所以该幂级数的收敛半径为11eR ρ==． （12）【答案】8000． 【解答】因为d 0.2d p p Q Q p ε=−=，得d 0.2d p QQ p=−， 收益函数()R pQ p =，边际收益d d d (1)(10.2)0.8d d d R Q p QQ p Q Q Q p p Q p=+=+=−=． 当10000Q =时，d 8000d Rp=，即价格增加1元会使产品收益增加8000元． （13）【答案】2．【解答】因为T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以Tαβ的特征值为3,0,0，从而T T 1()3k tr =+==βααβ，2k =．（14）【答案】2np ．【解答】222()(1)ET E X S E X ES EX DX np np p np =−=−=−=−−=．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分9分）解：由22()2(2)0()210x y f x,y x y f x,y x y ln y ⎧'=+=⎪⎨'=++=⎪⎩解得10,e x y ==.而2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =， 则1112(0,)(0,)(0,)eee12(2),0,e e xxxyyy A f B f C f ''''''==+====，因为20B AC −<而0A >，所以(,)f x y 有极小值11(0,)eef =−．（16）（本题满分10分） 原式2221ln(1)11ln(1)d()d 1111t t t t t t t +=+=−−−−+⎰⎰ 22ln(1)111d 14(1)4(1)2(1)t t t t t t ⎛⎫+=−−− ⎪−−++⎝⎭⎰ 2ln(1)111ln 1412(1)t t C t t t ++=+−+−−+1ln(12x C =++−−+．（17）（本题满分10分）解：在极坐标系下积分区域可化为2(sin cos )r θθ+，则3π2(sin cos )4π04()d d d (cos sin )d Dx y x y r r r r θθθθθ+−=−⎰⎰⎰⎰3π34π48(cos sin )(sin cos )d 3θθθθθ=−+⎰3π34π48(sin cos )d(sin cos )3θθθθ=++⎰ 3π44π4818(sin cos ).343θθ=⋅+=−（18）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a−=−−−−，有()()F a F b =，且()()()()f b f a F x f x b a−''=−−．由罗尔定理存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()()()f b f a F b a ξ'−=−，结论成立．（Ⅱ）由拉格朗日中值定理，得()000()0()(0)lim lim lim ()x x x f x f f xf f x xξξ++++→→→−'''===，0x ξ<<. 因为()0lim x f x A +→'=，所以0lim ()x f A ξ+→'=，故'(0)f +存在，且'(0)f A +=．（19）（本题满分10分） 解：曲边梯形的面积为1()d tS f x x =⎰，旋转体的体积为21π()d tV f x x =⎰，由题，V tS π=，即211()d ()d tt f x x t f x x =⎰⎰，两边对t 求导可得21()()d ()tf t f x x tf t =+⎰， ①再对t 求导可得2()()2()()f t f t f t tf t ''=+， 即(2())()2()f t t f t f t '−=，把t 当成函数，()y f t =当成自变量，上式变为d 11d 2t t y y+=，解一阶线性微分方程得通解23t y =+． 在①式中令 1t =，得(1)1f =，代入通解得13C =，23t y =+．所以该曲线方程为：230y x =．（20）(本题满分11分)解：（Ⅰ）因为111111100(|)1111021104220000−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A ξ，解得21101021k −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ξ ，其中1k 为任意常数． 因为2220220440⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪⎝⎭A ，有2122012201(|)2201000044020000−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ξ，解得3231102100010k k ⎛⎫−⎪−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ξ，其中23,k k 为任意常数．（Ⅱ）由于1212131121102221k k k k k k −−−−=−≠−−+，故123,,ξξξ线性无关． （21）(本题满分11分)解：（Ⅰ）二次型f 的矩阵为0101111a a a ⎛⎫ ⎪=− ⎪⎪−−⎝⎭A ，由01||01()(2)(1)111aa a a a a λλλλλλλ−−−=−=−−+−−−−+E A ，解得A 的特征值为1232,,1a a a λλλ=−==+．（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +时，可知二次型相似于矩阵100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则该二次型必有一个特征值为0，其余均大于0，故20a −=，2a =．（22）(本题满分11分) 解：（Ⅰ）边缘概率密度0e d e 0,()(,)d 0,0.xx x X y x x f x f x y y x −−+∞−∞⎧=, >⎪==⎨⎪⎩⎰⎰当0x >时，条件概率密度10,(,)()()0,Y X X y x f x y f y x xf x ⎧, <<⎪==⎨⎪⎩其他. （Ⅱ）{}111101,1(,)d d d e d 12e xx P X Y f x y x y x y −−−∞−∞===−⎰⎰⎰⎰，{}11101(,)d d d e d 1e x yP Y f x y x y y x +∞+∞−−−∞−∞===−⎰⎰⎰⎰，{}{}{}1,1e 2111e 1P X Y P X Y P Y −==−． （23）(本题满分11分)解：（Ⅰ）{}10P X Z ==表示在没有取到白球的条件下取了一次红球的概率，12113324{10}9C P X Z C C ====．（Ⅱ）,X Y 的可能取值为0,1,2，{}{}{}{}{}{}{}{}{}11133311116666112311116666121166112211661210,0,1,0,4611212,0,0,1,363211,1,2,10,910,2,1,20,2,20.9C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y P X Y P X Y C C =================================综上，(,)X Y 的概率分布为。

暨 南 大 学 考 试 试 卷1. 两平行平面23490x y z -++=与234150x y z -+-=的距离为（ C ）. (A)629 (B) 2429 (C) 2. 二元函数极限32lim2++∞→→y xyy x 的值为 （ A ）. (A) 4 (B) ∞+ (C) 34(D) 0 3.下列说法正确的是( C ).(A) 若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都发散,则∑∞=+1)(n n n v u 发散;(B) 若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都发散, 则∑∞=1)(n n n v u 发散;(C) 若∑∞=1n n u 收敛, 则∑∞=11n n u 发散; (D) 若∑∞=1n n u 发散, 则∑∞=11n n u 收敛;4. 函数x e y y y x 2cos 52=+'-''的一个特解应具有形式：（ C ）(C) )2sin 2cos (x B x A xe x + (D) )2sin 2cos (2x B x A e x x + 5. 设曲线积分ydy x f ydx e x f cx cos )(sin ])([--⎰与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于（ D ）(A))(21x x e e -- (B) )(21x x e e --(C) 1)(1---x x e e (D) )(211x x e e ---二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1、曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面方程为240x y +-=。

2、曲线积分dx y x L⎰-)(22＝5615-，其中L 是抛物线2x y =上从点)0,0(到)4,2(的一段弧。

3、交换二次积分⎰⎰⎰⎰+121212212),(),(yydx y x f dy dx y x f dy 的积分顺序为211(,)xdx f x y dy⎰⎰。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-= （3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ）()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . （10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = . （11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .（13）函数2xy x =在区间(]01，上的最小值为 .(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|(1('))y y ρ==+而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ， （拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23OA B O ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B ⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆11110066000100B BA A AB B BBAA A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002B B AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ）()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dydx=所以 切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = . 【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k =-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0 【解析】令sin sin cos xx x n I enxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x x n e nx ne nx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1ye x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e-=+ 对''1yy xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y yy xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e-==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2xy x =在区间(]01，上的最小值为 .【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e=. 又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21e y e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而Tβα是一个常数，是矩阵Tαβ的对角元素之和，则T2002βα=++=三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim limsin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x →-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. 【解析】t =得22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t +=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln1412(1)1ln(1211ln(122t tdx Ct t tx Cx x C+++=+-+--+=++-=+++⎰（17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy=+-，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yfxzf f xfy∂'''=++∂∂'''=-+∂12312321112132122233313233 31122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z zdz dx dyx yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f xx yf f f xyf x y f x y f∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂''''''''''''''''''' =⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x= ()0x≥满足微分方程20xy y'''-+=，当曲线()y y x= 过原点时，其与直线1x=及0y=围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程20xy y'''-+=得其通解212122,y C x C x C C=++其中，为任意常数又因为()y y x=通过原点时与直线1x=及0y=围成平面区域的面积为2，于是可得1C=111223222002()(2)()133C Cy x dx x C x dx x x==+=+=+⎰⎰从而23C=于是，所求非负函数223(0)y x x x=+ ≥又由223y x x=+ 可得，在第一象限曲线()y f x=表示为11)3x=（于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为15V Vπ=-，其中5522100511)9(2393918V x dy dyy dyππππ==⋅=+-=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.【解析】由题意，当0x π-<<时，'x y y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+，又(y =代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=， 故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续 又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=， 当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为0cos sin ,0x y x x x x πππ⎧-<<=⎨-+-≤<⎪⎩或0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f fx ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.。

南开大学陈省身数学研究所数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002微分几何1999——2000实变函数1999——2000泛函分析1999——2000概率统计1999——2000拓扑学1999——2000实变函数与泛函分析1999——2000数理方程1999——2000概率论与数理统计1999——2000偏微分方程数值解法1999——2000计算主意1999——2000数理统计1999——2000概率统计信息1999——2000量子力学1999——2023年年量子力学（物理）1999——2000量子力学导论2002——2023年年数学物理主意2003——2023年年数学科学学院数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）空间解析几何与高等代数2000——2002抽象代数2002第 1 页/共22 页微分几何1999——2000实变函数1999——2000泛函分析1999——2000概率统计1999——2000拓扑学1999——2000实变函数与泛函分析1999——2000数理方程1999——2000概率论与数理统计1999——2000偏微分方程数值解法1999——2000计算主意1999——2000数理统计1999——2000概率统计信息1999——2000数学物理主意2003——2023年年物理科学学院材料化学2023年年材料物理2004——2023年年热力学统计物理2003——2004统计物理1999——2000理论力学1999——2000，2003——2004固体物理（基础部分）2004——2023年年大学物理2000大学物理（物理科学学院）2023年年大学物理（信息技术科学学院）2003——2004普通物理1999——2000，2003——2004晶体物理2004激光物理2003——2004光学（信息技术科学学院）2000，2003——2023年年光物理学2023年年应用光学1999——2000，2003——2023年年电动光学1999晶体管原理1999——2000量子力学1999——2023年年量子力学（物理）1999——2000量子力学导论2002——2023年年量子物理概论2003——2004细胞生物学1999——2000高等数学1999——2000高等数学（信息技术科学学院）2003——2023年年电磁学2003——2023年年电力电子学基础2003——2004经典物理学2023年年普通生物化学2003——2023年年生物物理学2003——2023年年数学物理主意2003——2023年年泰达生物技术学院数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）微生物学1999——2000细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年信息技术科学学院高等数学1999——2000第 3 页/共22 页高等数学（信息技术科学学院）2003——2023年年光学（信息技术科学学院）2000，2003——2023年年应用光学1999——2000，2003——2023年年信号与系统1999——2023年年控制原理1999——2000自动控制2023年年自动控制原理2003——2004现代控制论基础1999——2000，2003——2004综合基础课（光学、电路与系统、通信与信息系统、信号与信息系统、物理电子学、微电子学与固体电子学、光学工程专业）1999——2000，2002——2023年年编译原理1998数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000软件基础1999——2000计算机软硬件基础2023年年C语言与数据结构2004计算机原理1999——2000，2003综合基础课（模拟电路、数字电路、计算机原理）1999——2000大学物理2000大学物理（物理科学学院）2023年年大学物理（信息技术科学学院）2003——2004晶体管原理2003——2004普通物理1999——2000，2003——2004通信原理2003——2023年年物理学2023年年运筹学2003——2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年环境科学与工程学院水污染控制工程2004——2023年年安全学导论2004——2023年年环境监测1999——2000，2002——2023年年环境经济学2003——2023年年环境微生物学1999——2000环境生物学2003——2023年年环境学导论2004——2023年年环境管理1999——2000，2003——2023年年动物生理学1999——2000环境化学1999——2000，2002，2023年年环境化学与分析化学2003——2004（注：2004年试卷缺页，惟独“环境化学”内容）环境质量评价1999——2000环境工程1999——2000细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000环境科学概论1999——2000，2002——2003化学学院综合化学2023年年——2023年年无机化学1999——2000，2003——2023年年分析化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年高分子化学与高分子物理1999——2000高分子化学与物理2004，2023年年有机化学1999——2000，2003——2023年年，2023年年物理化学2000，2003，2023年年——2023年年第 5 页/共22 页药物化学2004——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000固体物理（基础部分）2004——2023年年普通生物化学2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004生命科学学院微生物学1999——2000，2003——2023年年细胞生物学1999——2000生物化学1999——2000数学分析2000——2023年年（2023年年有答案）高等代数2003——2023年年（2023年年有答案）遗传学1999——2000，2003，2023年年真菌学1999——2000普通植物生理学1999——2000，2003——2023年年植物学1999——2000，2003动物学1999，2003——2023年年昆虫学2003——2023年年分子遗传学1999——2000植物生理学2000，2003——2023年年植物化学保护1999——2000，2004植物解剖学2023年年普通生态学1999——2000，2003——2023年年普通生物化学2003——2023年年普通微生物学2003——2023年年普通物理1999——2000，2003——2004数据结构（含程序设计）2002数据结构与算法2003——2004数据结构1998——2000医学院病理学2004——2023年年人体解剖学2004——2023年年生理学2004——2023年年生物化学（医）2004——2023年年药理学2004——2023年年汉语言文化学院汉语2023年年古代汉语2002现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2002——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 语言学理论2023年年文学院文学基础2023年年中国古代文学2023年年人文社科基础2004——2023年年世界文学2023年年综合考试（文学）1999——2000文学综合1999——2000文艺理论1999——2000，2004——2023年年文艺评论2004——2023年年文艺写作2023年年文艺评论写作1999——2000中国文学史1998——2002第7 页/共22 页中国文学批评史1998——2001古代汉语2002现代汉语与古代汉语2003——2023年年古典文学文献学2004——2023年年语言学概论2023年年现代汉语（文学院）2001现代汉语（汉语言文化学院）2003——2004语言理论基础（文学院）2003——2004语言学理论基础（汉语言文化学院）2001——2004 汉语基础知识2004汉语知识2004中国文学史2003——2023年年人文地理学1999——2000传扬学2003传扬学原理2004——2023年年绘画基础与创作2004——2023年年美学原理2003——2023年年书法技法2003——2004书法史论2003——2004新闻学原理2004——2023年年艺术史论2004——2023年年艺术与设计史论2003——2023年年中外美术史论2003——2023年年专业设计（环境设计）2003专业设计（设计艺术学、环境设计专业）2004专业设计（设计艺术学、视觉设计）2023年年历史学院古代汉语2003——2023年年古代文献2003——2004古典文献学2004——2023年年拉丁美洲史2003——2004历史地理2004——2023年年历史文献学2004——2023年年历史学基础理论2023年年美国史2003——2004美国学综论2023年年明清史2003——2004史学史2023年年世界近现代史（历史学院）2003——2023年年世界近现代史（日研院）2023年年世界上古中古史2003——2023年年世界通史2003——2023年年文物博物馆学2003——2023年年中国古代史2003——2023年年中国近现代史2003——2023年年中国史学史与史学理论2003——2004中国思想史2003——2023年年中国通史1994——1997，2003——2023年年中国文献学基础2003——2004中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年哲学系马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年宗教学概论2004——2023年年伦理学原理2004——2023年年美学概论2023年年第9 页/共22 页欧美哲学通史2003——2023年年西方哲学通史2023年年形式逻辑2003——2023年年中国哲学史2023年年中外哲学史2003——2023年年外国语学院二外日语2001——2023年年二外德语2001——2023年年二外法语2001——2023年年二外俄语2003——2023年年专业英语2000——2003，2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）（注：2023年年答案惟独英美文学部分，2023年年答案有英美文学部分和语言学部分）基础英语1997，2000——2023年年（1997，2004——2023年年，2023年年有答案）语言学基础2023年年（2023年年有答案）翻译2004（2004有答案）双语翻译与文学2004英美文学2004（2004有答案）语言学2004——2023年年（2004——2023年年有答案）二外英语2001，2003——2023年年，2023年年基础日语2001，2003——2023年年专业日语2001，2003——2023年年基础俄语2004——2023年年法学院刑法学2023年年法学综合（含法理学、宪法、民法、刑法、刑诉、民诉）2000——2023年年（2023年年试题有答案）民法与商法2003——2023年年，2023年年民法（民商法专业）2002民法（经济法专业）2002民法2000——2001（法理学）法学理论2023年年法学理论2003法制史（含中国法制史、外国法制史）2003——2023年年，2023年年国际法学（含国际经济法、国际公法、国际私法）2003——2023年年，2023年年国际经济法概论2000经济法与商法2003——2023年年，2023年年经济法1999诉讼法学（含行政诉讼法、刑事诉讼法、民事诉讼法）2004——2023年年，2023年年宪法学、行政法与行政诉讼法2003——2023年年，2023年年（2004有答案）环境法2023年年周恩来政府管理学院行政管理学2003——2023年年政策原理与政策分析2003——2023年年（2004有答案）国际关系史1999——2000，2003——2023年年国际关系学2003——2023年年国际关系概论1999——2000外交学概论与当代中国外交2004——2023年年外国政治制度史1999——2000政治学原理1999——2023年年中国政治制度史1999——2000中国通史1994——1997第11 页/共22 页中外政治思想史2003——2023年年中国政治思想史1999——2000，2002西方政治思想史1999——2000中外经济地理1999——2000世界近现代历史2002社会保障学2004——2023年年社会学理论2023年年社会学概论1995——2001，2003——2004社会调查主意与社会统计1995——2023年年社会工作2001环境学与环境法2004——2023年年西方经济学流派2004——2023年年（2004——2023年年有答案）心理学主意2004——2023年年（2004有答案）心理学基础2004——2023年年（2004有答案）马克思主义教诲学院马克思主义哲学（哲学各专业）2004——2023年年马克思主义哲学（马克思主义教诲学院）2003——2023年年科学社会主义原理2004——2023年年专业综合基础理论（科学社会主义与国际共产主义运动理论专业）2004——2023年年思想政治教诲原理2003——2023年年中共党史2003——2023年年中国近代史（中共党史专业）2003——2023年年中外哲学史2003——2023年年经济学院微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年第13 页/共22 页有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000保险学原理1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000综合基础课（保险）1999——2000金融学基础（联考）2002——2023年年（2002——2023年年有答案）商学院会计学综合2023年年——2023年年会计学综合考试1999——2000，2003——2023年年（2000，2003——2023年年有答案）财务管理1999——2000财务管理与管理会计1999——2000（1999——2000有答案）公司治理2023年年技术经济学2003——2023年年市场学1999——2000管理综合（含管理学、微观经济学）2003——2023年年（2003——2023年年有答案）（注：2023年年——2023年年的答案惟独管理学部分的答案，无微观经济学部分的答案）管理学概论2002信息系统技术1999——2000管理信息系统2003——2023年年旅游管理1999旅游学综合（旅游概论和旅游经济学）2001——2023年年旅游学概论1997企业人力资源开辟与管理1999——2000（1999——2000有答案）人文地理学1999——2000中外经济地理1999——2000计算机应用（设计程序、数据库系统）2004——2023年年编辑学2001出版学2001网络技术基础2001档案管理学2004——2023年年档案学概论2004——2023年年目录学（含目录学概论、中西文工具书）2003——2004文献目录学2023年年情报学（含情报学概论、科技文献检索、计算机情报检索）2003情报学（含情报学概论、信息检索）2004第15 页/共22 页情报学综合2023年年图书馆学理论2003——2023年年高等教诲研究所高等教诲原理2003——2023年年（2023年年有答案）经济学原理2023年年——2023年年（2023年年——2023年年有答案）高等教诲管理学2003——2023年年教诲社会学2004——2023年年教诲学原理2004——2023年年（2004有答案）普通心理学2003——2023年年（2004有答案）中国高等教诲史2003——2023年年经济与社会发展研究院专业综合（含微观经济学、区域经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）专业综合（宏观经济学、产业经济学）2004——2023年年（2004——2023年年有答案）微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000第17 页/共22 页保险学原理1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000深圳金融工程学院专业基础（金融学）2003——2023年年（2003——2023年年有答案）微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000企业人力资源开辟与管理1999——2000第19 页/共22 页保险学原理1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000日本研究院日本经济2004日本史2003，2023年年日本通史2004世界近现代史（历史学院）2003——2023年年世界近现代史（日研院）2023年年微观、宏观经济学2002，2023年年（2023年年有答案）微观经济学1999——2001宏观经济学1999——2001（1999——2000有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、保险学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、财政学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、产业经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、国际经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、金融工程学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、经济思想史）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、劳动经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、区域经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、人口经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、台湾经济）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、西方经济学流派）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、应用统计学）2003（2003有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、政治经济学）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（微观经济学、宏观经济学、中国近代经济史）2003——2004（2003——2004有答案）专业基础（国际经济学）（世界经济、国际贸易专业）2003西方经济学1999——2003（1999——2000，2002有答案）政治经济学1999——2000，2002，2023年年（1999——2000，2002，2023年年有答案）当代西方经济学1999——2001（2000——2001有答案）区域经济学2002——2003（2002——2003有答案）产业经济学2002——2003（2002——2003有答案）货币银行学1999——2001（1999——2001有答案）国际金融1999——2001（1999——2001有答案）第21 页/共22 页中国近代经济史1999——2000社会经济统计学原理1999——2000中国近代经济史（经研所）1999——2000劳动经济学1999——2000人口经济学1999——2000人口学理论2003——2023年年计量经济学1999——2000世界经济概论1999——2000房地产经济1999——2000财产学1999——2000世界经济概论与世界经济情况1999——2000市场学1999——2000信息系统技术1999——2000环境经济学1999——2000国际经济学1999——2002（2000——2002有答案）外国近现代经济史1999——2000。

2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ ） A ．（A +B ）T =A T +B T B ．|AB |=|A ||B | C ．A （B +C ）=BA +CA D ．（AB ）T =B T A T 2．已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=（ ） A ．-24 B ．-12 C ．-6D ．123．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ ）A ．A =||1A A *B ．|A |=0C ．（A 2）-1=（A -1）2D ．（3A ）-1=3A -14．若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-123214，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--213120，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（ ） A ．ABC B ．AC T B T C ．CBAD ．C T B T A T5．设有向量组A ：4321,,,αααα，其中α1，α2，α3线性无关，则（）A ．α1，α3线性无关B ．α1，α2，α3，α4线性无关C ．α1，α2，α3，α4线性相关D ．α2，α3，α4线性无关6．若四阶方阵的秩为3，则（ ） A ．A 为可逆阵B ．齐次方程组Ax =0有非零解C ．齐次方程组Ax =0只有零解D ．非齐次方程组Ax =b 必有解7．已知方阵A 与对角阵B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---200020002相似，则A 2=（ ）A ．-64EB ．-EC ．4ED ．64E8．下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--100010001B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11001110121 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--θθθθcos sin sin cos D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--336102233660336122 9．二次型f =x T Ax (A 为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A ．A 可逆B ．|A |>0C ．A 的特征值之和大于0D ．A 的特征值全部大于010．设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则（ ）A ．k ＞0B ．k ≥0C ．k ＞1D ．k ≥1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。

若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数,仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

(或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个）2.若存在孤立点,则m 不超过K n —1的边数， 故m 〈= （n-1)(n-2）/2， 与题设矛盾。

3.4。

用向量（a 1，a 2，a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1，2,3。

以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2，a 3为非负整数）的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2，a 3）中某杯的水倒满另一杯得到 ( a ’1, a'2, a ’3 ） , 则由结点到结点画一条有向边。

这样可得一个有向图。

本题即为在此图中找一条由( 8， 0， 0 )到( 4, 4， 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条:5. 可以。

6 若9个人中没有4个人相互认识,构造图G ，每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。

1） 若可以找到点v,d （v)>5，则与v 相连的6个点中,要么有3个相互认识,要么有3个相互不认识（作K 6并给边涂色：红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。

v 1有5条边，由抽屉原则必有三边同色（设为红），这三边的另一顶点设为v 2， v 3， v 4。

若 △v 2v 3v 4有一边为红，则与v 1构成红色△，若△v 2v 3v 4的三边无红色，则构成蓝色△)。

若有3个人相互认识，则这3个人与v 相互认识,这与假设没有4个人相互认识矛盾，所以这6个人中一定有3个人相互不认识∑∑∑∑∑∑∑==+====-=++=-==---=--=ni i n i i n i n i n i ni i i n i i n i i i i a a n n a a a n n n a n a v v 12 12 12112212 12 i i 2/)1(C )1(2)1(])1[(a a 。

南开大学2009年数分考研试题..一．计算()cos Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由0y =，2x π=，y x =围成.二．计算222111122211x x ydz dx dy x y z -+---++⎰⎰⎰.三．计算Lydx zdy xdz ++⎰，L 为2222221x y z abc++=与1x z ac+=所交，0,0,0x y z ≥≥≥，从点(),0,0a 到()0,0,c 的部分，其中,,a b c 为正的常数。

四．求2111212n n n n x∞++=+∑的收敛域与和函数.五．求()221arctan 1tx f t dxxx+∞=-⎰的表达式.六．若()af x dx +∞⎰收敛，()f x x在[),a +∞上单调下降，求证()lim 0x xf x →+∞=.七．设()f x 在(1,1)-内有二阶导数，()()000f f '==，()()()2f x f x f x '''≤⋅，证明：存在0δ>，使得在(),δδ-内()0f x ≡.八． 设(,)f x y 在0P 的邻域0()U P 内存在连续的三阶偏导数，并且所有三阶偏导数的绝对值不超过常数M ，1P 与2P 关于0P 对称，并且1P 与0P 的距离为l ，l为由0P 指向1P 的方向，试证：2012()()()2||23f P f P f P M lll ∂--≤∂ .九．证明：若1limn n nu au +→∞=，0n u >，则lim n n n u a →∞= .利用这一结论，分析D'Alembert 判别法与Cauchy 判别法二者在判别正项级数的敛散时的关系，可以获得怎样的经验.南开大学2009年数学分析考研试题解答一、解 记(),:0,02D x y y x x π⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，()1,:2D x y D x y π⎧⎫=∈+≤⎨⎬⎩⎭，()2,:2D x y D x y π⎧⎫=∈+>⎨⎬⎩⎭，()cos Dx y dxdy +⎰⎰()()12cos cos D D x y dxdy x y dxdy=+++⎰⎰⎰⎰()()422024cos cos yx yxdy x y dx dx x y dyπππππ--=++-+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰()()4241sin 21sin 2y dy x dx πππ=-+-⎰⎰()201sin 2x dx π=-⎰201cos 2122x x ππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭.二、解 ()(){}222,,:11,1,0x y z x y z z y Ω=++-≤≥≥，222111122211x x ydz dx dy x y z-+---++⎰⎰⎰2221dxdydz x y zΩ=++⎰⎰⎰12221sin 12cos d d r dr r r ππθϕϕϕ=++⎰⎰⎰12221sin 12cos dr r d r rππϕϕϕ=++⎰⎰()()11122220121r r r r dr π⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦⎰()()1122011r r r dr π⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦⎰()13232201111233r r r π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭7426π-=.三、解 1z x a c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22221x z y b ac =--22211z z b c c ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭222z z b cc=-，z z =，[]0,z c ∈，Lydz zdy xdz ++⎰22220221c c c zz a zz z b dz zb dz a dz c c c c c c '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰()22222c c cab b acz z dz cz z dz c z dz ccc=----+-⎰⎰⎰ 222212222c ab bc c c a z dz c cc +⎛⎫⎛⎫=---+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2212222ab bc c ac c π+⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭ 228ac ab bc π+=-.四．解 设()211212n n n n u x x+++=，对0x ≠，有()()21lim2n n n u x xu x +→∞=，当2x <时，()1n n u x ∞=∑收敛；当2x =时，()1n n u x ∞=∑发散；当2x >时，()1n n u x ∞=∑发散，所以原幂级数的收敛域为()2,2-，2111212n n n n x∞++=+∑()212122nn xx n ∞=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，()2211121nn n n n tt ∞∞+=='⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑ ()324222311t t tt t '⎛⎫-== ⎪-⎝⎭-， 于是()24212121216222n n n n x x x xx∞++=+-=-∑，()2x <.五、解 奇点为1x =，与x =+∞， （1）在1x =的邻域内，被积函数与2111111x x x =+--同阶，在x =+∞的邻域里，与31x同阶，因此原积分收敛，（2）221arctan 1tx dx t x x +∞⎛⎫∂ ⎪∂-⎝⎭⎰()222211111dx t x xx +∞=+-⎰（2）而()22222211111xx t xxx ≤-+-，对于任意(),t ∈-∞+∞，且22111dxxx +∞-⎰收敛，故积分（2）关于(),t ∈-∞+∞一致收敛，（3）被积函数，以及它对参数的倒数的连续性明显， 因此()221arctan 1tx f t dx t x x +∞⎛⎫∂'=⎪∂-⎝⎭⎰()222211111dx t x xx +∞=+-⎰2221sec 1sec x u du t uπ=+⎰()22211tan 111y u dy yty +∞=⋅+++⎰222220111tdy yt t y +∞⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭⎰2121tt π⎛⎫=-⎪+⎝⎭， 显然()00f =，()()()2sgn 112f t t t π=-+-.六、证明 因为()af x dx +∞⎰收敛，所以当+∞→x 时，有2()0x xf t dt →⎰，2()0xx f t dt →⎰，由()f x x为单调下降函数，得 2222()()()3()()2x x x x xxxxf t f x f x f t dt tdt tdt tdt xf x txx=≤==⎰⎰⎰⎰，2222()()()3()()8x x x x x x x x f t f x f x f t dt tdt tdt tdt xf x txx=≥==⎰⎰⎰⎰，于是22()()3x xf t dt xf x ≤⎰28()3x x f t dt ≤⎰，从而得0)(lim =+∞→x xf x ，即当+∞→x 时，)1()(xo x f =。

暨南大学考试试卷答案及评分一、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）1. 已知c x dx x f +=⎰2)(，则)(x f x 2 。

2. 210()x tf x e dt =⎰，则=')(x f 212x xe 。

3. 设级数10)52(+∞=∑n n ，则级数的和 =s32 。

4. 设D 是由4122≤+≤y x 围成的区域，则⎰⎰=Ddxdy π3 。

5. 设)ln(),(y x y x f +=，则=')1,1(y f 21。

二、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1. x e 2-的原函数是（ C ）(A ) x e 2- (B) x e 2-- (C ) x e 221-- (D) x e 221- 2. =+∆)1(2x （ C ）(A ) 2x (B) 1+x (C) 12+x (D) x 2 3. 若x x f +='1)(，则=)(x f （ B ）(A) C x x ++2 (B) C x x ++221 (C) C x ++2211 (D) C x x ++224. 21ln d x dx dx=⎰（ D ） (A) C x x +ln (B) C x x x +-ln (C) C x + (D) 0 5. 下列广义积分收敛的是（ C ） (A) 1cos xdx ∞⎰(B)11dx x∞⎰(C)211dx x∞⎰(D) 1x e dx ∞⎰6. 设xy z =，则=dz （ C ）(A) ydy xdx + (B) dy dx + (C) xdy ydx + (D) 0 7.下列级数收敛的是（ B ） (A )∑∞=11n n(B )∑∞=11n nn(C) ∑∞=11n n (D)nn ∑∞=1)56(8. =ΓΓ)21()23(（ D ）(A) 51 (B) 41(C) 31 (D) 219. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处的偏导数存在是函数在该点可微的（ A ）(A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 10. 微分方程yxdx dy -=的通解为（B ） (A) C y x =+ (B) C y x =+2323(C) C xy = (D) C y x =-2323三、计算题（共62分）1.dx x x ⎰++11 (7分)解 令1+=x t ，则12-=t x ，tdt dx 2= 2分原式= 2121t tdt t-+⎰=22()t t dt -⎰ =32123t t C -+ =2(3x x C ++ 7分 其中11C C =-。

南京大学2008年数学分析考研试题一 设()f x 为1R 上的周期函数，且lim ()0x f x →+∞=，证明f 恒为0。

二 设定义在2R 上的二元函数(,)f x y 关于x ，y 的偏导数均恒为零，证明f 为常值函数。

三 设()n f x (1,2,...)n =为n R 上的一致连续函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，1x R ∀∈，问：()f x 是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。

四 是否存在[0,1]区间上的数列{}n x ，使得该数列的极限点（即聚点）集为[0,1]，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。

五 设()f x 为[0,)+∞上的非负连续函数，且()f x dx +∞<+∞⎰，问()f x 是否在[0,)+∞上有界?若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。

六 计算由函数211()2f x x =和22()1f x x =-+的图像在平面2R 上所围成区域的面积。

七 计算积分222(22)x xy y R edxdy -++⎰⎰。

八 计算积分xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为如下区域：3{(,,):0,0,0,}x y z R x y z x y z a Ω=∈≥≥≥++≤，a 为正常数。

九 设0n a >(1,2,...)n =，1nn k k S a ==∑，证明：级数21nn na S ∞=∑是收敛的。

十 方程2232327x y z xy z +++-=在(1,2,1)-附近决定了隐函数(,)z z x y =，求2(1,2)zx y∂-∂∂的值。

十一 求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=，22212x y z ++=下的极值，并判断极值的类型。

十二 设1[0,1]f C ∈，且(0)(1)0f f ==，证明：112201[()][()]4f x dx f x dx '≤⎰⎰。

2009至2010第1学期课程名称线性代数试卷A(标准答案)专业：全校修线性代数的各专业检验性质：闭卷检验时辰120分钟说明：在本卷中，表示矩阵的转置矩阵，表示矩阵的伴随矩阵，表示单位矩阵，表示方阵的行列式，表示矩阵的秩。

一、单项选择题〔今大年夜题共10小题，每题2分，共20分〕在每题列出的四个备选项中只需一个是最符合题目恳求的，请将其代码写在题后的括号内。

错选、多项选择或未选均无分。

1．C;2．A;3．D;4．D;5.A; 6．B;7．D;8．C ．9.D;10.A. 二、填空题〔今大年夜题共10小题，每题3分，共30分〕请在每题的空格中填上精确答案。

错填、不填均无分。

1． ;2．;3．;4． 5．;6．；7.0；8.1;9..10.. 三、证明题〔今大年夜题共2小题，每题10分，算计20分〕21.曾经明白，为的转置，为的转置.〔1〕求证；〔2〕假定线性相关，那么.证明：(1)由于，因此〔1分〕。

(2)由于线性相关，不妨设〔2分〕.因此，即〔1分〕。

22、设向量组线性有关,且证明向量组线性有关.证明：…………………2分…………………2分,…………………2分…………………2分.………2分四、求解题〔今大年夜题共3小题，每题10分，共30分〕Array23.设矩阵的特色方程有一个二重根，求的值，并讨论是否可相似对角化.解：A的特色多项式为=(2分)〔1〕当是特色方程的二重根，那么有解得a=-2(2分).当a=-2时，A的特色值为2,2,6,矩阵2E-A=的秩为1，故对应的线性有关的特色向量有两个，从而A可相似对角化(2分).〔2〕假定不是特色方程的二重根，那么为完好平方，从而18+3a=16，解得(2分).事前，A的特色值为2，4，4，矩阵4E-A=秩为2(1分)，故对应的线性有关的特色向量只需一个，从而A弗成相似对角化(1分).24..征询取何值时,非齐次线性方程组，(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解，并在无穷多个解时，求方程组的通解. 解：……………………………1分.……………………………1分(1)要使方程组有唯一解,必须R(A)=3.因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.……2分(2)要使方程组无解,必须R(A)<R(B),故(1-λ)(2+λ)=0,(1-λ)(λ+1)2≠0.因此λ=-2时,方程组无解.…………………………………………………2分(3)要使方程组有有无穷多个解,必须R(A)=R(B)<3,故(1-λ)(2+λ)=0,(1-λ)(λ+1)2=0.因此当λ=1时,方程组有无穷多个解.………………………………2分这时原本方程组等价于，因此原方程通解为，为常数。

《近世代数》复习试题一 填空题1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1） ，（2） ，则称12,,n A A A 为A 的一个分类. 2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射.3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________.4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______.5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= .6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: .7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: .8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a .9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________.10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________.二 解答、证明题1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定：.,,2Z b a b a b a ∈∀-+=证明：),( Z 是一个交换群.2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并.3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数.4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群.5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =⇔≤.6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤.7.证明:每个素数阶的群都是循环群.8.设N 是群G 的子群，N 的阶是r（1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.（2）若N 是G 的唯一的r 阶子群，证明N 是G 的正规子群.9.设C(G)为G 中心, 且G/C(G)为循环群,证明G 为交换群.10.设G=)(a 是24阶循环群，试列举出G 的8阶子群的所有生成元。

浙江省2011年1月自学考试近世代数试题课程代码：10025一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设A =B =R （实数域），φ:a →2a +1 ∀a ∈A则φ是从A 到B 的( )A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射2.在整数集Z 中，Z 的代数运算a o b =⎩⎨⎧+为奇数时当为偶数时当a a a a 1 ( )A.既适合结合律又适合交换律B.适合结合律但不适合交换律C.不适合结合律但适合交换律D.既不适合结合律又不适合交换律3.下列关系，______是整数集Z 中元素之间的等价关系.( )A.大于B.大于或等于C.整除D.同余4.下列集合对所给运算作成群的是( )A.非零有理数的全体对普通数的加法B.非零有理数的全体对普通数的减法C.非零有理数的全体对普通数的乘法D.非零有理数的全体对普通数的除法5.设R=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z c b a b c a ,,0，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是() A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环C.无单位元的非可换环D.有单位元的非可换环二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.在5次对称群S 5中，(134)2(3512)-1=______.7.6阶循环群有______个生成元.8.任何一个群都同一个______同构.9.模6的剩余类环Z 6的子环个数等于______.10.偶数环有______个单位元.11.设F 是有四个元的域，则F 的特征为______.12.一个主理想环的非零最大理想都是由一个______所生成.13.设Q 是有理数域，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+112i i Q =______. 14.i 312在有理数域Q 上的极小多项式是______.三、解答题（本大题共3小题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分）15.设R ={a ·i |a 为实数，i =1-}，问R 关于普通数的加法和乘法是否构成环？为什么？16.找出模14的剩余类加群Z 14的所有子群，并找出Z 14的全部生成元.17.假定R 是由所有复数a +bi (a ,b 是整数)组成的环，求商环R /（1+i ）.四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.设G 是一个非交换群，求证：G 中存在两个不同的非单位元a 和b ，满足ab =ba .19.假定H 是群G 的子群，N 是G 的不变子群，证明:HN 是G 的子群.20.设A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z c b a c b a ,,0关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明:A 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z c a c a ,00是A 的子环，找出A 到A 1的一个同态满射f ,并求f 的核ker f .浙江省2010年1月自学考试近世代数试题课程代码：10025一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。