定弦定角专题
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第 1 页 共 6 页 定弦定角最值问题
类型一、定弦定角
【基本原理】
如图1\⊙O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上任一点，在C点运动过程中则∠ACB的度数不变⇒逆运用⇒如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且∠ACB=θ（θ为固定值）⇒点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）
图1 图2
例、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=60度，请在图中画出点C的运动轨迹，简要说明作图步骤
步骤1、___________________________________________________
步骤2、___________________________________________________
练习、1、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=90度，请在图中画出点C的运动轨迹.
2、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=120度，请在图中画出点C的运动轨迹,
3、思考：AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，时如何画出点C的运动轨迹。
第 2 页 共 6 页 【实战应用】
一、90°应用
例1、如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（ ）
A．213 B．213
C．5 D．916
2、如图，已知在RT△ABC中,∠ACB=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上的动点，连结AD，以CD为直径的圆交AD于点E，则BE的最小值为 。
3、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．P是BC边上一动点，以PC为直径作⊙O，连结AP交⊙O于点Q，连结BQ，点P从点B出发，沿BC方向运动，当点P到达点C时，点P停止运动．在整个运动过程中，线段BQ的大小变化情况是（ ）
A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
4、如图，在Rt⊿ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，BC=42，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于E，连接CE，则线段CE长的最小值为 .
例5、如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线绕O点旋转时，CD的最小值为__________
6、如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，∠ABC＝60°，P是上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为__________
7、如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，
连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________ 第2题图 第3题图
第6题图 第5题图 第4题图
第7题图 第 3 页 共 6 页 8、如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，BE⊥AD于E，则CE的最小值为___________
9、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_________
二、60°、30°应用
例1、如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________
2、如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为32，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的面积的最大值是（ ）
A．3612 B．336 C．3312 D．346
3、如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（ ）
A．21 B．22 C．23 D．43
4、如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D，若⊙O的半径为1，则OC的长不可能为（ ）
A. 2－3 B. 3－1 C.2 D. 3＋1
第9题图 第8题图
第2题图 第1题图 第3题图 第 4 页 共 6 页 三、45°应用
例1、如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．2
D．2441
2、如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．2
D．324
3、如图，已知以BC为直径的⊙O，A为BC中点，P为AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝8，则CD的最小值为___________
4、 如图,边长为2的正方形ABCD中,F为CD上一动点,E为AF上一点,且BE=BA, ∠CBE的角平分线交AF的延长线于点G,则G到CD距离的最大值为 .
5、如图，在动点C与定长线段AB组成的△ABC中，AB＝6，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．当点C在运动过程中，始终有22DEAB，则点C到AB的距离的最大值是_________ .
OABCDP 第 5 页 共 6 页 类型二、定弦定角——反客为主
例1、如图，∠XOY = 45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB = 10，那么点O到顶点A的距离最大值为_______点O到AB的距离的最大值为______
【分析】：题意中AB为定长线段在角的两边滑动，O为定点，滑动中C为动点，AB两点位置发生变化，点O到AB距离的最大值的确定有难度，若改变思路，借助物理中运动的相对性可知，若将△ABC固定，将∠XOY的两边绕AB滑动，与原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变。问题则变为当点O在圆上运动至何处时，点O到AB距离最大。
1、如图，D,E分别为等腰直角三角形ABC的边AC、AB上的点，且DE=22 ,以DE为边向外作正方形DEFG，则AF的最大值为__________
2、如图，△ABC中，∠ABC= 45°，AC=2，半径为5的圆O始终过A、C两点，连接OB，则线段OB长的的最大值为__________
第 6 页 共 6 页 类型三、定弦定角——条件的确定
例、如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，则当点P在弧AD上运动时，求I点运动路径长。
[分析]：由内心的基本结论知∠ PIO=90o+12∠PHO=135o为定角，但其所对的边OP并非定弦，连ID，易证 △AIO≌△OID，∴∠OID=∠PIO=135O,且其所对的边为OD，符合定弦定角条件，故I点轨迹为圆弧，问题易解。
1、如图,扇形AOD中, ∠AOD=90º，OA=6，点P为弧AD上任意一点(不与点A和D重合)，PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，过O,I和D三点的圆的半径为r.则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（ ）
A.0＜r＜3 B.r=3 C.3＜r＜32 D. r=32
