北京中考数学专题复习圆的综合的综合题
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一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：AE=BE；
（2）求证：FE是⊙O的切线；
（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：
∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；
又∵AC=BC，∴AE=BE．
（2）证明：连接OE，如图2所示：
∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．
又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．
（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC•FB．
设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．
∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴ ，即 ，解得：CG= ．
点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧BE的长． 【答案】（1）证明见解析（2）43
【解析】
分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD⊥DF，进而根据切线的判定证明即可；
（2）连接OE，根据三角形的外角求出∠BAE的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数，根据弧长公式求解即可.
详解：（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．
∵AB＝AC，∴BD＝CD，
又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴OD⊥DF
即∠ODF＝90°．∴DF为⊙O的切线；
（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，
∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120°，
∴＝·4π＝π．
点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD，∶DE=4∶1，求DE的长．
【答案】(1)见解析;(2)5 【解析】
分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；
（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．
详解：（1）连接OD．
∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．
∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．
又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．
（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=BC，∴BC=AB=52．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．
又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，
∴△ADC～△ACE，∴ACAD=AEAC，∴AC2=AD•AE．
设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，
∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．
点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．
（1）求证：∠AEC=90°；
（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；
（3）若DC=2，求DH的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）四边形AOCD为菱形；
（3）DH=2．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．
试题解析：（1）连接OC，
∵EC与⊙O切点C，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90°，
∵点CD是半圆O的三等分点， ∴，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）
∴∠AEC+∠OCE=180°，
∴∠AEC=90°；
（2）四边形AOCD为菱形．理由是： ∵，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∵OA=OC，
∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）连接OD．
∵四边形AOCD为菱形，
∴OA=AD=DC=2，
∵OA=OD，
∴OA=OD=AD=2，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DH⊥AB于点F，AB为直径，
∴DH=2DF，
在Rt△OFD中，sin∠AOD=，
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，
∴DH=2DF=2．
考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．
5．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧.AB
1用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(要求保留作图痕迹，不写作法)
2若AB的中点C到弦AB的距离为2080mABm，，求AB所在圆的半径．
【答案】(1)见解析；（2）50m
【解析】
分析：1连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；
2连接OAOCOC，，交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为AB的中点得到1OCABADBDAB402，，则CD20，设O的半径为r，在RtOAD中利用勾股定理得到222r(r20)40，然后解方程即可．
详解：1如图1，
点O为所求；
2连接OAOCOC，，交AB于D，如图2，
C为AB的中点，
OCAB，
1402ADBDAB，
设O的半径为r，则20OArODODCDr，，
在RtOAD中，222OAODAD， 222(20)40rr，解得50r，
即AB所在圆的半径是50m．
点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．
6．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O经过D、A、B三点，OD∥BC．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若OD=15，AE=7，求BE的长．
【答案】(1)见解析;(2)18.
【解析】
分析：（1）连接OB，求出∠DOB度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；
（2）延长BO交⊙O于点F，连接AF，求出∠ABF，解直角三角形求出BE．
详解：（1）证明：连接OB．
∵∠A=45°，
∴∠DOB=90°．
∵OD∥BC，
∴∠DOB+∠CBO=180°．
∴∠CBO=90°．
∴直线BC是⊙O的切线．
（2）解：连接BD．则△ODB是等腰直角三角形，
∴∠ODB=45°，BD=OD=15，
∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴BD2=BE•BA，
∴（15）2=（7+BE）BE，
∴BE=18或﹣25（舍弃），
∴BE=18．
点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．
7．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．
（1）∠C的最大度数为 ；
（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．
【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；
（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．
试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：
∵sin∠OCP=OPOC=24=12，∴∠OCP=30°
∴∠OCP的最大度数为30°，
故答案为：30°；
（2）有最大值，理由：
∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，
而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，
也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9；
（3）连结AP，BP，如图2，
在△OAP与△OBD中，OAODAOPBODOPOB ，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，
∵PC=DB，∴AP=PC，
∵PA=PC，∴∠A=∠C，
