2020-2021北京中考数学专题复习圆的综合的综合题

2020-2021北京中考数学专题复习圆的综合的综合题

一、圆的综合

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧»BE的长．

【答案】（1）证明见解析（2）43

【解析】

分析：（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD⊥DF，进而根据切线的判定证明即可；

（2）连接OE，根据三角形的外角求出∠BAE的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数，根据弧长公式求解即可.

详解：（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．

∵AB＝AC，∴BD＝CD，

又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF

即∠ODF＝90°．∴DF为⊙O的切线；

（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，

∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120°，

∴＝·4π＝π．

点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．

2．四边形 ABCD 的对角线交于点 E，且 AE＝EC，BE＝ED，以 AD 为直径的半圆过点 E，圆心 为 O．

（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；

（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F，且直径 AD＝6，求弧AE 的长．

【答案】（1）见解析；（2）π2

【解析】

试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥BD即可得出结论；

（2）先判断出AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE，进而得出∠CDA=30°，最后用弧长公式即可得出结论．

试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD的对角线交于点E，且AE=EC，BE=ED，∴四边形ABCD是平行四边形．∵以AD为直径的半圆过点E，∴∠AED=90°，即有AC⊥BD，∴四边形ABCD 是菱形；

（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC为等腰三角形，∴AD=DC且DE⊥AC，∠ADE=∠CDE．如图2，过点C作CG⊥AD，垂足为G，连接FO．∵BF切圆O于点F，∴OF⊥AD，且132OFAD，易知，四边形CGOF为矩形，∴CG=OF=3．

在Rt△CDG中，CD=AD=6，sin∠ADC=CGCD=12，∴∠CDA=30°，∴∠ADE=15°．

连接OE，则∠AOE=2×∠ADE=30°，∴¶3031802AE．

点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．

3．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.

(1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝ 12 ，求AB和FC的长．

【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF

【解析】

分析：（1）连接OC，根据圆周角定理证明OC⊥CF即可；

（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA＝∠B求出CE、BE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE∽△CFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.

详解：⑴证明：连结OC

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°

∴∠B+∠BAC=90°

∵OA=OC

∴∠BAC=∠OCA

∵∠B=∠FCA

∴∠FCA+∠OCA=90°

即∠OCF=90°

∵C在⊙O上

∴CF是⊙O的切线

⑵∵AE=4，tan∠ACD12AEEC

∴CE=8

∵直径AB⊥弦CD于点E

∴»»ADAC

∵∠FCA＝∠B

∴∠B=∠ACD=∠FCA

∴∠EOC=∠ECA

∴tan∠B=tan∠ACD=1=2CEBE ∴BE=16

∴AB=20

∴OE=AB÷2-AE=6

∵CE⊥AB

∴∠CEO=∠FCE=90°

∴△OCE∽△CFE

∴OCOECFCE

即106=8CF

∴40CF3

点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.

4．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．

（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；

（2）求（1）中所求作的圆的面积．

【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．

【解析】

试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．

如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．

（2）连接OA，OB． ∵AC=3，∠ABC=30°，

∴∠AOC=60°，

∴△AOC是等边三角形，

∴圆的半径是3，

∴圆的面积是S=πr2=9π．

5．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O经过D、A、B三点，OD∥BC．

（1）求证：BC与⊙O相切；

（2）若OD=15，AE=7，求BE的长．

【答案】(1)见解析;(2)18.

【解析】

分析：（1）连接OB，求出∠DOB度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；

（2）延长BO交⊙O于点F，连接AF，求出∠ABF，解直角三角形求出BE．

详解：（1）证明：连接OB．

∵∠A=45°，

∴∠DOB=90°．

∵OD∥BC，

∴∠DOB+∠CBO=180°．

∴∠CBO=90°．

∴直线BC是⊙O的切线．

（2）解：连接BD．则△ODB是等腰直角三角形，

∴∠ODB=45°，BD=OD=15，

∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，

∴△DBE∽△ABD，

∴BD2=BE•BA，

∴（15）2=（7+BE）BE，

∴BE=18或﹣25（舍弃），

∴BE=18．

点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．

6．对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P，给出如下定义：点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点．如果以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，我们就称点P是线段MN的“关联点”．

如图，M（1，2），N（4，2）．

（1） 在点P1（1，3），P2（4，0），P3（3，2）中，线段MN的“关联点”有 ；

（2） 如果点P在直线1yx上，且点P是线段MN的“关联点”，求点P的横坐标x的取值范围；

（3） 如果点P在以O（1，1）为圆心，r为半径的⊙O上，且点P是线段MN的“关联点”，直接写出⊙O半径r的取值范围．

【答案】（1）P1和P3；（2）33112x≤≤；（3）3333.2r≤≤

【解析】

【分析】

（1）先根据题意求出点P的横坐标的范围，再求出P点的纵坐标范围即可得出结果；

（2）由直线y=x+1经过点M（1，2），得出x≥1，设直线y=x+1与P4N交于点A，过点A作AB⊥MN于B，延长AB交x轴于C，则在△AMN中，MN=3，∠AMN=45°，∠ANM=30°，设AB=MB=a，tan∠ANM=ABBN，即tan30°=3aa，求出a即可得出结果；

（3）圆心O到P4的距离为r的最大值，圆心O到MP5的距离为r的最小值，分别求出两个距离即可得出结果．

【详解】

（1））如图1所示：

∵点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点，M（1，2），N（4，2），

∴点P的横坐标1≤x≤4，

∵以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，

当∠MPN=60°时，PM=60MNtan=33=3，

同理P′N=3，

∴点P的纵坐标为2-3或2+3，

即纵坐标2-3≤y≤2+3，

∴线段MN的“关联点”有P1和P3；

故答案为：P1和P3；

（2）线段MN的“关联点”P的位置如图所示，

∵ 直线1yx经过点M（1，2），

∴ x≥1.

设直线1yx与P4N交于点A .

过点A作AB⊥MN于B，延长AB交x轴于C.

由题意易知，在△AMN中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30°.

设AB = MB = a，

∴ tanABANMBN，即tan303aa，

解得333.2a ∴ 点A的横坐标为33333111.22xa

∴331.2x

综上 3311.2x

（3）点P在以O（1，-1）为圆心，r为半径的⊙O上，且点P是线段MN的“关联点”，如图3所示：

连接P4O交x轴于点D，P4、M、D、O共线，

则圆心O到P4的距离为r的最大值，由（1）知：MP4=NP5=3，

即OD+DM+MP4=1+2+3=3+3，

圆心O到MP5的距离为r的最小值，作OE⊥MP5于E，连接OP5，

则OE为r的最小值，

MP5=225MNNP=223(3)=23，OM=OD+DM=1+2=3，

△OMP5的面积=12OE•MP5=12OM•MN，即12×OE×23=12×3×3，

解得：OE=332，

∴332≤r≤3+3．

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN的“关联点”图是关键．

7．如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.