高考数学一轮复习课后限时集训49直线的倾斜角与斜率、直线的方程理北师大版

高考数学一轮复习课后限时集训49直线的倾斜角与斜率、直线的方程理北师大版 1 / 5

课后限时集训 49

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

建议用时： 45 分钟

一、选择题

1．(2019 ·合肥模拟 ) 直线 l ： xsin 30 °＋ ycos 150 °＋ 1＝ 0 的斜率是 ( )

A． 3 B． 3

3

3

C．－ 3 D．－ 3

sin 30 ° 3

A [ 设直线 l 的斜率为 k，则 k＝－ cos 150 ° ＝ 3 .]

2. 如图中的直线 l 1， l 2， l 3 的斜率分别为 k1， k2， k3，则

( )

A． k1

B． k3

C． k3

D． k1

D [ 直线 l 1 的倾斜角 α1 是钝角，故 k1<0，直线 l 2与 l 3 的倾斜角 α 2 与 α 3 均为锐角且

α2 >α3，所以 0

3. 若 ( －2,3) ， (3，－2) ， 1 的值为

C ， m 三点在同一条直线上，则

A B 2 m

()

A．－ 2 B． 2

1 1

C．－ 2 D． 2

－2－ 3

＝ 1 m－3

D [ 由于 A，B，C三点在同一条直线上，所以 kAB＝kAC，所以 3－ － 2 ，

2－

－ 2

1

解得 m＝ 2. 应选 D.]

4．直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后，又回到本来

地点，那么 l 的斜率为 ()

1 B．－ 3 A．－

3

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1

C． 3 D． 3

[答案] A

5．过点 A(4,1) 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()

A． x＋y＝ 5

B． x－y＝ 5

C． x＋y＝ 5 或 x－ 4y＝ 0

D． x－y＝ 5 或 x＋ 4y＝ 0

C [ 若直线在两坐标轴上的截距相等且为 0，即直线过原点，则直线方程为 x－ 4y＝0；

x y

若直线在两坐标轴上的截距不为 0 ，设为 a( a≠0) ，则直线的方程为 a＋ a＝ 1. 又直线过点

(4,1) ，则

a ＝ 5，故直线的方程为

x ＋ ＝ 5. 综上所述，应选 C.]

A y

二、填空题

6．直线 kx＋ y＋ 2＝－ k，当 k 变化时，全部的直线都过定点 ________．

( －1，－ 2) [ kx ＋y＋ 2＝－ k 可化为 y＋ 2＝－ k( x＋ 1) ，依据直线方程的点斜式可知，

此类直线恒过定点 (－1，－ 2) ．]

7．已知 A(3,4) ， B( － 1,0) ，则过 AB的中点且倾斜角为 120°的直线方程是 ________．

3 x＋ y－ 2－ 3＝ 0 [ 设 AB的中点为 M，则 M(1,2) ，又斜率 k＝－ 3，直线的方程为

y－ 2＝－ 3( x－ 1) ．即 3x＋ y－ 2－ 3＝ 0.]

8．若直线 l 过点 ( －3,2) ，且与以 ( － 2，－ 3) ， (3,0) 为端点的线段订交，则直线

P A B

l 的斜率的取值范围是 ________．

－ 5，－ 1 [ 由于 P( － 3,2) ， A( －2，－ 3) ， B(3,0) ，

3

－ 3－ 2

则 kPA＝－ 2－ －3 ＝－ 5，

0－2 1

kPB＝ 3－ － 3 ＝－ 3.

如下图，当直线 l 与线段 AB订交时，直线 l 的斜率的取值范围为

1

－ 5，－ 3 .]

三、解答题

9．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求知足以下条件的直线 l 的

方程：

(1) 过定点 A( －3,4) ；

1

(2) 斜率为 6.

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[ 解 ] (1) 由题意知，直线 l 存在斜率．

设直线 l 的方程为 y＝ k( x＋ 3) ＋ 4，

它在 x 轴， y 4 k＋ 4， 轴上的截距分别是－ － 3,3

k

4

由已知，得 (3 k＋ 4) k＋ 3 ＝± 6，

2 8 解得 k1＝－ 或 k2＝－ .

3 3

故直线 l 的方程为 2x＋ 3y－ 6＝ 0 或 8x＋ 3y＋ 12＝ 0.

(2) 设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，

1

则直线 l 的方程为 y＝ 6x＋ b，它在 x 轴上的截距是－ 6b，

由已知，得 | － 6b| ·|b| ＝ 6，∴ b＝± 1.

∴直线 l 的方程为 x－ 6y＋ 6＝ 0 或 x－ 6y－ 6＝ 0.

10．过点 P(3,0) 作一条直线，使它夹在两直线 l 1： 2x－ y－ 2＝0 与 l 2：x＋ y＋3＝ 0 之

间的线段 AB恰巧被点 P 均分，求此直线的方程．

[ 解 ] 设点 A( x， y) 在 l

1 上，点 B( x ，y ) 在 l

2 上．

BB

x＋ xB

＝ 3

由题意知 2 则点 B(6 － x，－ y) ，

y＋ yB

＝ 0

2

2x－y－ 2＝ 0， x＝ 11，

解方程组 得 3

16

6－ x ＋ － y ＋ 3＝ 0，

y＝ 3 ，

16

3 － 0

则所求直线的斜率 k＝ 11 ＝ 8，

3 － 3

故所求的直线方程为 y＝8( x－ 3) ，即 8x－y－ 24＝ 0.

1．在等腰三角形 AOB中， AO＝ AB，点 O(0,0) ，A(1,3) ，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直

线 AB的方程为 ( )

A． y－1＝ 3( x－3)

C． y－3＝ 3( x－1)

B． y－1＝－ 3( x－ 3)

D． y－3＝－ 3( x－ 1)

D [ 由于 AO＝ AB，所以直线 AB的斜率与直线 AO的斜率互为相反数，所以 kAB＝－ kOA＝

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－3，所以直线 AB的点斜式方程为 y－ 3＝－ 3( x－1). ]

2．若直线

x － 2 ＋ ＝ 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么

b 的取值范

y b

围是 ( )

A． [ －2,2] B． ( －∞，－ 2] ∪ [2 ，＋∞)

C． [ －2,0) ∪ (0,2] D． ( －∞，＋∞)

b 1 b 1 2

C [ 令 x＝ 0，得 y＝ 2，令 y ＝ 0，得 x＝－ b，所以所求三角形面积为 2 2 | －b| ＝ 4b ，

1

且 b≠0，由于 4b2≤1，所以 b2≤4，

所以 b 的取值范围是 [ － 2,0) ∪ (0,2] ． ]

3．已知直线 l 过点 (1,0) ，且倾斜角为直线 l 0： x－2y－ 2＝0 的倾斜角的 2 倍，则直线

l 的方程为 ________．

4x－ 3y－ 4＝ 0 [ 由题意可设直线 l 0， l 的倾斜角分别为 α， 2α，

1 1

由于直线 l 0： x－ 2y－ 2＝ 0 的斜率为 2，则 tan α＝ 2，

1

2tan α 2× 4 所以直线 l 的斜率 k＝ tan 2 α 2 ＝ 2＝ 1 ＝ ，

1－ tan α 2 3

1－ 2

4

所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y－ 0＝ 3( x－ 1) ，

即 4x－ 3y－ 4＝0.]

4．已知直线 l ： kx－ y＋1＋ 2k＝ 0( k∈ R) ．

(1) 证明：直线 l 过定点；

(2) 若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围．

[ 解 ] (1) 证明：直线 l 的方程可化为 y＝ k( x＋ 2) ＋1，故不论 k 取何值，直线 l 总过定点 ( － 2,1) ．

(2) 直线 l 的方程可化为 y＝ kx＋ 2k＋ 1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k＋ 1，

k≥0， 要使直线 l 不经过第四象限，则 解得 k≥0，

1＋ 2k≥0，

故 k 的取值范围是 [0 ，＋∞ ) ．

π π

1．已知函数 f ( x) ＝ asin x－bcos x( a≠0， b≠0) ，若 f 3 －x ＝ f 3 ＋ x ，则直线 ax

－by＋ c＝0 的倾斜角为 ( )

4