2024届新高考一轮复习北师大版 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 课件(55张)

1 第八章 平面解析几何

第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

[考纲解读]

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．(重点)

2.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，并了解斜截式与一次函数的关系．(难点)

[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2020年高考对本讲内容的考查：①考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查，难度不大.

1．直线的斜率

(1)当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即□01k＝tanα.当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．

(2)斜率公式

给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为□02k＝y2－y1x2－x1.

2．直线方程的五种形式 2

1．概念辨析

(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.( )

(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )

(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )

(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )

答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2．小题热身

(1)已知直线l过点(0,0)和(3,1)，则直线l的斜率为( )

A．3 B．13

C．－13 D．－3 3 答案 B

解析 直线l的斜率为k＝1－03－0＝13.

(2)在平面直角坐标系中，直线3x＋y－3＝0的倾斜角是( )

A.π6 B．π3

C．5π6 D．2π3

答案 D

解析 直线3x＋y－3＝0的斜率为－3，所以倾斜角为2π3.

(3)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34，则直线l的方程为( )

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握

1.考查形式

高考在本章一般命制1～2道小题，1道解答题，分值约占20～24分．

2.考查内容

(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基．

(2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力.

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[考试要求]

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾

斜角为0.

(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．

2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是π2的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.

3．直线方程的五种形式

名称 几何条件 方程 适用条件

斜截式 纵截距，斜率 y＝kx＋b

与x轴不垂直的直线

点斜式 过一点，斜率 y－y0＝k(x－x0)

两点式 过两点 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1 与两坐标轴均不垂直的直线

截距式 纵、横截距 xa＋yb＝1 不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线

一般式 Ax＋By＋C＝0

(A2＋B2≠0) 平面内所有直线都适用

提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．

1 第八章 平面解析几何

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[五年考情]

[重点关注]

综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：

1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．基础题主要考查对基础知识和基本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．

2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．

3．从命题思路上看：

(1)直线方程与其他知识相结合．

(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．

(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解 2 决，要求能够比较熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．

(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．

[导学心语]

1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的基本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．

2．依托基础知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合”思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．

3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该部分知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以达到优化解题思路，简化解题过程的目的．

第1页 共4页 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )

A．30° B．60°

C．150° D．120°

解析：选B.直线的斜率为k＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.

2．(2016·河北省衡水中学一模)已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )

A．y＝3x＋2 B．y＝3x－2

C．y＝3x＋12 D．y＝－3x＋2

解析：选A.因为直线x－2y－4＝0的斜率为12，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝3x＋2，故选A.

3．(2016·太原质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )

A.13 B．－13

C．－32 D.23

解析：选B.依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2，b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13.

4．直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )

A．0≤α＜π

B．0≤α≤π4或π2＜α＜π

C．0≤α≤π4

D.π4≤α＜π2或π2＜α＜π

解析：选B.直线l的斜率为k＝m2－11－2＝1－m2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4.故选B.

5．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，方程y＝ax＋1a表示的直线是(

)

解析：选C.因为x＜0时，ax＞1，所以0＜a＜1.

则直线y＝ax＋1a的斜率0＜a＜1，

第2页 共4页 在y轴上的截距1a＞1.故选C.