第3讲 力的合成与分解
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第3讲 力的合成与分解
学习目标 1.会用平行四边形定则及三角形定则求合力。2.能利用效果分解法和正交分解法计算分力。3.能应用力的合成与分解的知识，分析实际问题。
1.力的合成
2.力的分解
3.矢量和标量
1.思考判断
(1)合力和分力可以同时作用在一个物体上。(×)
(2)两个力的合力一定比其分力大。(×)
(3)当一个分力增大时，合力一定增大。(×)
(4)几个力的共同作用效果可以用一个力来替代。(√)
(5)一个力只能分解为一对分力。(×)
(6)两个大小恒定的力F1、F2的合力的大小随它们夹角的增大而减小。(√)
(7)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)
2.(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A.物体所受静摩擦力可能为2 N
B.物体所受静摩擦力可能为4 N
C.物体可能仍保持静止
D.物体一定被拉动 答案 ABC
3.(多选)如图所示，某同学用同一弹簧测力计按图甲、乙两种方式测量某小桶的重力，图甲中系小桶的轻绳较长。下列说法中正确的是( )
A.图甲中弹簧测力计的示数比图乙中的大
B.两图中弹簧测力计的示数一样大
C.图甲中轻绳的拉力比图乙中的大
D.图乙中轻绳的拉力比图甲中的大
答案 BD
考点一 共点力的合成
1.共点力合成的常用方法
(1)作图法
(2)计算法
2.几种特殊情况的共点力的合成
类型 作图 合力的计算
两力互相垂直
F＝F21＋F22
tan θ＝F1F2
两力等大，
夹角为θ
F＝2F1cos θ2
F与F1夹角为θ2
两力等大，
夹角为120°
F′＝F
F′与F夹角为60°
3.两个共点力的合力的最大值与最小值
(1)当两个力方向相同时，合力最大，Fmax＝F1＋F2。 (2)当两个力方向相反时，合力最小，Fmin＝|F1－F2|。
(3)合力大小的变化范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
4.三个共点力的合力的最大值与最小值
(1)最大值：当三个分力同方向时，合力最大，即Fmax＝F1＋F2＋F3。
(2)最小值
①当两个分力的代数和大于或等于第三个分力时，合力最小为零。
②当最大的一个分力大于另外两个分力的代数和时，其最小的合力值等于最大的一个力减去另外两个分力的代数和。
例1 现代人经常低头玩手机，这会使颈椎长期受压，可能引发颈椎病。人低头时，可粗略认为头受重力G，肌肉拉力F1和颈椎支持力F2。如图1所示，某同学低头看手机时头颈弯曲与竖直方向成60°，此时肌肉对头的拉力F1约为头重的4倍，F2沿图中虚线方向，依据上述信息估算此时颈椎受到的压力F的可能值( )
图1
A.G
C.4G5G
答案 C
解析 对人的头部受力分析如图所示。在三角形中，由几何知识可知，大角对大边，所以F2＞F1＝4G。又因为两边之和大于第三边，故F2＜G＋F1＝5G，根据牛顿第三定律知，颈椎受到的压力4G＜F＜5G，故C正确。
跟踪训练
1.两个共点力作用于一个物体上，力的方向可以任意调节，其中一个力为20 N，另一个力是F，它们的合力是50 N。则F的大小可能是( ) A.10 N B.25 N
C.50 N D.80 N
答案 C
2.(2023·吉林长春模拟)如图2所示，一攀岩运动员正沿竖直岩壁缓慢攀登，由于身背较重的行囊，重心上移至肩部的O点，运动员的质量为60 kg，运动员双手臂所能承受的拉力不能超过540 N。此时手臂与身体垂直，手臂与岩壁夹角为53°，则此时行囊的质量不能超过(设手、脚受到的作用力均通过重心O，g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)( )
图2
A.60 kg B.50 kg
C.40 kg D.30 kg
答案 D
解析 设岩壁对手的拉力为F1，岩壁对脚的弹力为F2，运动员和行囊的质量分别为M、m，以运动员和行囊整体为研究对象，受力分析如图所示，由平衡条件可知F1＝(M＋m)gcos 53°，则当岩壁对手臂的拉力达到最大值540 N时，行囊的质量最大，即F1＝Fmax＝540 N，代入解得m＝30 kg，D正确。
考点二 力的分解的两种常用方法
1.力的分解的两种常用方法
(1)按照力的实际作用效果分解
(2)正交分解法
①建系原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即使尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴方向建立坐标系。
②分解步骤：把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x轴、y轴上。
图3
x轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝F2x＋F2y(如图3所示)
合力方向：若F与x轴夹角为θ，则tan θ＝FyFx。
2.力的分解方法选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按效果进行分解，若这三个力中，有两个力互相垂直，优先选用正交分解法。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
角度 效果分解法
例2 (2023·重庆巴蜀中学适应性考试)如图4所示，图甲是一款手机支架，其表面采用了纳米微吸材料，用手触碰无粘感，接触到平整光滑的硬性物体时有吸力，会将其牢牢吸附在支架上，图乙是手机静止吸附在支架上的侧视图，支架斜面与水平方向间的夹角为θ，若手机的重力为G，则下列说法正确的是( )
图4
A.手机受到的支持力大小为Gcos θ
B.手机受到支架的摩擦力为零
C.手机支架对手机的作用力大小为G
D.手机支架对手机的作用力沿斜面向上
答案 C
解析 手机受到重力、垂直支架的支持力、纳米微吸材料的吸引力和沿支架斜面向上的静摩擦力处于静止状态，由平衡条件可知，在垂直支架方向有N＝Gcos θ＋F吸，沿斜面方向有f＝Gsin θ，选项A、B错误；手机受到重力G和支架对手机的作用力F，处于平衡状态，由平衡条件可知，这两个力大小相等，方向相反，则手机支架对手机的作用力F大小为G，方向竖直向上，选项C正确，D错误。
跟踪训练
3.如图5所示是轿车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。若车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°。则下列判断正确的是( )
图5
A.此时千斤顶两臂受到的压力均为5.0×104 N
B.此时千斤顶对汽车的支持力为5.0×104 N
C.若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶两臂受到的压力均增大
D.若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶两臂受到的压力均减小 答案 D
解析 如图所示，将汽车对千斤顶的压力F沿两臂的方向分解为两个分力F1与F2，根据对称性可知，F1＝F2，可得2F1cos θ＝F，解得F1＝F＝1.0×105 N，根据牛顿第三定律可知，千斤顶对汽车的支持力为1.0×105 N，A、B错误；继续摇动把手，两臂靠拢，夹角减小，由F1＝F2cos θ分析可知，当F不变，θ减小时，cos θ增大，F1减小，C错误，D正确。
角度 正交分解法
例3 如图6甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面体上，斜面体静止在竖直墙面上，若将斜面体改成如图乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面体上，则下列说法正确的是( )
图6
A.墙面受到的压力一定变小
B.斜面体受到的摩擦力一定变小
C.斜面体受到的摩擦力可能变大
D.斜面体可能沿墙面向上滑动
答案 B
解析 受力分析如图所示
甲图中，N1＝Fcos θ
f1＝mg＋Fsin θ≤fmax
乙图中，N2＝Fcos θ
所以墙面受到的压力不变，A项错误；
若Fsin θ＝mg，则f2＝0
若Fsin θ＞mg，则f2方向向下，
f2＝Fsin θ－mg
若Fsin θ＜mg，则f2方向向上，
f2＝mg－Fsin θ
所以斜面体受到的摩擦力一定变小，B项正确，C项错误；因为墙面受到的压力没有变，所以fmax不变，甲图中，f1＝mg＋Fsin θ≤fmax，推不动斜面体，乙图中，f2＝Fsin θ－mg，肯定比fmax小，所以斜面体肯定不沿墙面向上滑动，D项错误。
跟踪训练
4.如图7所示，某同学在家用拖把拖地，拖把由拖杆和拖把头构成。设某拖把头的质量为m，拖杆质量可忽略，拖把头与地板之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。该同学用沿拖杆方向的力F推拖把，让拖把头在水平地板上向前匀速移动，此时拖杆与竖直方向的夹角为θ。则下列判断正确的是( )
图7
A.地面受到的压力N＝Fcos θ
B.拖把头受到地面的摩擦力f＝μmg
C.推力F＝μmgsin θ
D.推力F＝μmgsin θ－μcos θ
答案 D
解析 拖把头受到重力、支持力、推力和摩擦力处于平衡状态，受力如图所示，建立直角坐标系，竖直方向上根据平衡条件可得N＝Fcos θ＋mg，根据牛顿第三定律可得地面受到的压力为N＝Fcos θ＋mg，故A错误；根据滑动摩擦力的计算公式可得f＝μN＝μ(Fcos θ＋mg)，故B错误；拖把头在水平地板上向前匀速移动，水平方向根据平衡条件可得Fsin θ＝f，即Fsin θ＝μ(Fcos θ＋mg)，解得推力F＝μmgsin θ－μcos θ，故C错误，D正确。
考点三 力的合成与分解在实际生活中的应用
例4 (2021·广东卷，3)唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力。设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁，F与竖直方向的夹角分别为α和β，α＜β，如图8所示。忽略耕索质量，耕地过程中，下列说法正确的是 ( )
图8
