高一数学教案集第二十八教时函数的应用举例二

第二十八教时教材：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性目的：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

过程：一、复习：y=sinx y=cosx (x ∈R)的图象二、提出课题：正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性 1．（观察图象） 1︒正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的；2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx, cos(2k π+x)=cosx 也可以说明结论：象这样一种函数叫做周期函数。

2．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注意：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)） 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）三、y=sin ωx, y=cos ωx 的最小正周期的确定 例一 求下列三角函数的周期：1︒ y=sin(x+3π) 2︒ y=cos2x 3︒ y=3sin(2x +5π)解：1︒ 令z= x+3π 而 sin(2π+z)=sinz 即：f (2π+z)=f (z)f [(x+2)π+3π]=f (x+3π) ∴周期T=2π 2︒令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]即：f (x +π)=f (x ) ∴T=π3︒令z=2x +5π 则：f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +5π+2π)=3sin(524ππ++x )=f (x +4π) ∴T=4π 小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A ≠0, x ∈R) 周期T=ωπ2y=Acos(ωx+φ)也可同法求之例二 P54 例3例三 求下列函数的周期： 1︒y=sin(2x+4π)+2cos(3x-6π) 2︒ y=|sinx| 3︒ y=23sinxcosx+2cos 2x-1 解：1︒ y 1=sin(2x+4π) 最小正周期T 1=π y 2=2cos(3x-6π) 最小正周期 T 2=32π∴T 为T 1 ,T 2的最小公倍数2π ∴T=2π2︒ T=π 作图注意小结这两种类型的解题规律 3︒ y=3sin2x+cos2x ∴T=π四、小结：周期函数的定义，周期，最小正周期 五、作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3《精编》P86 20、21补充：求下列函数的最小正周期： 1．y=2cos(34π+x)-3sin(4π-x )2．y=-cos(3x+2π)+sin(4x-3π) 3．y=|sin(2x+6π)| 4．y=cos 2θsin 2θ+1-2sin 22θπ 2π 3π -π。

《高中数学必修1“函数的应用”教学设计及应用课教学研...（精选5篇）第一篇：《高中数学必修1“函数的应用”教学设计及应用课教学研...味是屋：”年散的趟下眼不们开中偷丛这着，在笑抖里个，的青睛乡寻星杂，着了的，夫着几雨舒的的飞。

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活风步薄膊胳的混迷第二篇：高中数学必修1知识点总结：第三章函数的应用高中数学必修1知识点总结第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。

2、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。

即：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点．3、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：（代数法）求方程f(x)=0的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函○数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．１）△＞０，方程ax+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程ax+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程ax+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 222第三篇：高中数学必修1函数模型及其应用法制教育渗透教案数学教学中渗透法制教育教案 2.6 函数模型及其应用Ⅰ.教学目标：1.知识目标：(1)、掌握函数应用题的一般解题步骤.(2)、了解函数模型的意义.3.法制教育目标：(1)、《中华人民共和国道路交通安全法》第九十一条.(2)、《中华人民共和国人口与计划生育法》第一条、第二条、第九条.Ⅱ.重难点：把实际问题转化为函数模型.Ⅲ.教具：多媒体Ⅳ.教学方法：学导式Ⅴ.探究过程：例1、（2011山东威海月考）一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25％的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_______小时才能开车。

单元教学设计：4.5 函数的应用（二）一、内容和内容解析1.内容函数的零点与方程的解；用二分法求方程的近似解；函数模型在实际问题中的应用．2.内容解析“函数的应用（二）”是在第三章“函数的应用（一）”的基础上，从两个方面介绍函数的应用．一是数学学科内部的应用，利用所学过的函数研究一般方程的解；二是实际应用，建立实际问题的函数模型，并通过函数模型反映实际问题的变化规律，从而分析和解决实际问题．通过“函数的应用（二）”，使学生进一步理解指数函数和对数函数，学会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．基于以上分析，确定本单元教学的重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用，用二分法求方程近似解的思路与步骤，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程．二、目标和目标解析1.目标(1)结合二次函数的图象，了解函数零点存在定理．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，探索用二分法求方程近似解的思路与步骤．(3)进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．2.目标解析达成上述目标的标志是：(1)结合二次函数的图象，进一步了解函数的零点与方程解的关系，并能用函数取值规律来刻画图象穿过x轴的图象特点．(2)结合具体连续函数及其图象的特点，探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性并了解二分法中的算法思想．(3)结合现实情境中的具体问题，能利用已知函数模型解决实际问题．通过比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”、“直线上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义，会选择合适的函数模型解决实际问题．三、教学问题诊断分析在零点存在定理的教学中，学生从具体的函数图象概括出一般化的特征，并用取值规律这一代数形式来表达，这种从形到数的转化是学生思维的障碍．在二分法教学中，从具体的函数出发利用二分法求方程的近似解较为容易，但把二分法的步骤抽象成一般化的算法并用符号来表示是一个难点．在函数模型的应用教学中，利用已知函数模型解决实际问题容易操作，但选择合适的函数模型解决实际问题，需要对不同函数模型的增长规律有一定的了解，并且需要符合实际问题中的条件限制．结合以上分析确定本节课的教学难点：函数零点存在定理的导出，用二分法求方程近似解的算法，选择恰当的函数模型分析和解决实际问题．四、教学过程设计4.5.1 函数的零点与方程的解(一) 引言思考：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点，像ln 260x x +-=这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？(二) 函数的零点与方程的解的关系对于一般函数=y f x ()，我们把使=0f x ()的实数x 叫做函数=y f x ()的零点． 这样，函数=y f x ()的零点就是方程=0f x ()的实数解，也就是函数=y f x ()的图象与x 轴的公共点的横坐标．所以方程=0f x ()有实数解 ⇔函数=y f x ()有零点⇔函数=y f x ()的图象与x 轴有公共点．由此可知，求方程=0f x ()的实数解，就是确定函数=y f x ()的零点．对于不能用公式求解的方程=0f x ()，我们可以把它与相应的函数=y f x ()联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解．(三) 零点存在定理的导出探究：对于二次函数2=23f x x x --()，观察它的-2 -1 O 1 2 3 4 xy 2 1 -1 -2-2 -1O 1 2 3 4 x y2 1-3 -4 -1 -2图象，发现它在区间24[，]上有零点．这时，函数图象与x 轴有什么关系？在区间20-[，]上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数f x ()的取值规律来刻画这种关系？可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x 轴．函数在端点=2x 和=4x 的取值异号，即240f f ()()＜，函数2=23f x x x --()在区间24(，)内有零点=3x ，它是方程223=0x x --的一个根．同样地，200f f -()()＜，函数2=23f x x x --()在20-(，)内有零点=1x -，它是方程223=0x x --的另一个根．一般地，我们有：函数零点存在定理：如果函数=y f x ()在区间a b [，]上的图象是一条连续不断的曲线，且有0f a f b ()()＜，那么，函数=y f x ()在区间a b (，)内至少有一个零点，即存在c a b ∈(，)，使得=0f c ()，这个c 也就是方程=0f x ()的解．问题1：条件“连续不断”可以去掉吗？师生活动：学生画出反例，教师强调，图象间断了，虽然函数值异号，仍然没有零点．所以我们要求函数图象连续不断．追问：反之成立吗？即如果函数=y f x ()在区间a b (，)内存在零点，是否有0f a f b ()()＜？师生活动：学生举例说明，教师强调，“连续不断”和“0f a f b ()()＜”是“函数存在零点的”充分条件，而非必要条件． 设计意图：让学生理解零点存在定理的功能是给出一个判定零点存在的充分条件．(四) 零点存在定理的应用例1 求方程ln 260x x +-=的实数解的个数．分析：可以先列出函数=ln 26y x x +-的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助．解：设函数=ln 26f x x x +-()，列出函数=y f x ()的对应值表．根据已有对数知识容易发现2=ln 220f -()＜，3=ln 30f ()＞，则230f f ()()＜． 由函数零点存在定理可知，函数=ln 26f x x x +-()在区间23(，)内至少有一个零点． 再利用画图软件画出函数=ln 26f x x x +-()的图象，我们看到f x ()是定义域上的单调递增函数，f x ()在区间23(，)内只有一个零点．问题2：为什么由230f f ()()＜还不能说明函数f x ()？ 师生活动：学生举例说明已知0f a fb ()()＜，函数在区间a b (，)内可能存在多个零点．追问1：在原有条件的基础上添加什么条件能够保证f x ()只有一个零点？师生活动：如果函数具有单调性，就能保证只有一个零点． 由此我们得出函数零点存在定理的推论：若=y f x ()在区间a b [，]上是单调函数，其图象是一条连续不断的曲线，且有O 5 10 x y14 12 10 8 6 4 2-2 -4 -60f a f b ()()＜，则函数=y f x ()在区间a b (，)内有且仅有一个零点，即存在唯一的c a b ∈(，)，使得=0f c ()．事实上，=ln y x 与=26y x -在0x ∈+∞(，)上都是增函数，所以=ln 26f x x x +-()，0x ∈+∞(，)是增函数．所以它只有一个零点，即相应方程ln 260x x +-=只有一个实数解．追问2：你能用定义法证明函数=y f x ()是增函数吗？ 师生活动：120x x ∀∈+∞，(，)，且12x x ＜，有121122=ln 26ln 26f x f x x x x x -+-+-()()()-()1122=ln2x x x x +-()．因为120x x ＜＜，所以1201x x ＜＜，所以12ln0x x ＜，又因为120x x -＜，于是1122ln20x x x x +-()＜，即12f x f x ()＜()． 所以，函数=ln 26f x x x +-()在区间0+∞(，)上单调递增．设计意图：让学生认识到零点存在定理可以证明函数有零点，但不能断定函数无零点或零点个数，如果要判断零点的个数，还要与结论“函数在单调区间上最多有一个零点”相结合．4.5.2 用二分法求方程的近似解(一) 二分法的引入我们已经知道，函数=ln 26f x x x +-()在区间23(，)内存在一个零点．进一步的问题是，如何在满足一定精确度的前提下求出这个零点呢？(二) 二分法的形成这个问题中设定的精确度为01.，可以理解为近似值与精确值之间的误差不超过01.． 一个直观的想法是：如果能将零点所在的区间尽量缩小，直到区间长度小于等于01.，那么区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．取区间23(，)的中点25.，用计算工具算得250084f ≈-(.).．因为2530f f (.)()＜，所以零点在区间253(.，)内，区间长度为0.5．再取区间253(.，)的中点275.，用计算工具算得2750512f ≈(.).．因为252750f f (.)(.)＜，所以零点在区间25275(.，.)内，区间长度为0.25．由于23(，) 253(.，) 25275(.，.)，所以零点所在的范围变小了． 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小．零点所在区间 区间长度 中点的值 中点的函数值23(，) 125. 0084-. 253(.，) 05. 275. 0512. 25275(.，.) 025. 2625. 0215. 252625(.，.) 0125.25625 .0066.2525625 (.，.)00625 .……这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间．因为区间2525625 (.，.)的长度为00625.，所以区间2525625 (.，.)内任意一点都可以作为零点的近似值，为了方便，我们把区间的一个端点=25x .作为函数=ln 26f x x x +-()零点的近似值，也即方程ln 260x x +-=的近似解．2.5 2.75 2.625 O 2 3 x y0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 --0.1- -0.2- -0.3- -0.4- -0.5-这样求方程近似解的方法称为二分法，我们来看二分法的定义：对于在区间a b [，]上图象连续不断且0f a f b ()()＜的函数=y f x ()，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(三) 二分法的步骤我们依据解决上述问题的过程来概括一下：给定精确度ε，用二分法求函数=y f x ()零点0x 的近似值的一般步骤： 1.确定零点0x 的初始区间a b [，]，验证0f a f b ()()＜． 2.求区间a b (，)的中点c ．3.计算f c ()，并进一步确定零点所在的区间：（1）若=0f c ()（此时0=x c ），则c 就是函数的零点； （2）若0f a f c ()()＜（此时0x a c ∈(，)），则令=b c ； （3）若0f c f b ()()＜（此时0x c b ∈(，)），则令=a c ． 4.判断是否达到精确度ε：若|a b ε-|＜，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤2～4．(四) 二分法的应用例2 借助信息技术，用二分法求方程237xx +=的近似解（精确度为0.1）解：原方程即237=0xx -+，令=237xf x x -+()，用信息技术画出函数=y f x ()的图象，结合计算容易发现120f f ()()＜，说明该函数在区间12(，)内存在零点0x ．-5 O 5 10 xy16141210 8 64 2-2 -4 -6取区间12(，)的中点1=15x .，用信息技术算得15033f ≈(.).．因为1150f f ()(.)＜，所以0115x ∈(，.)．再取区间115(，.)的中点2=125x .，用信息技术算得125087f ≈-(.).．因为125150f f (.)(.)＜，所以012515x ∈(.，.)．同理可得，0137515x ∈(.，.)，0137514375 x ∈(.，.)． 由于137514375|=0062501 -|...＜.， 所以，原方程的近似解可取为1375.．问题3：如果精确度改为0.01？0.001？0.000 1？怎样做才不会给我们带来过大的运算负担呢？师生活动：我们从二分法中提炼出了算法思想，借助于Excel 表格当中的函数功能呈现出来，具体来看：我们利用Excel 表格中的七列依次呈现区间端点a ，b ，区间中点c ，函数值f a ()，f c ()，f b ()和区间长度b a -，首先，我们输入初始区间12(，)，然后，我们对单元格D3到H3依次应用公式完成输入，公式在编辑栏可见．对于单元格B4，我们利用Excel 的内置函数If 语句，它实现的功能是，如果0f a f c ()()＜，则区间的左端点就是a ，否则是c ，同样，对于单元格C4，如果0f a f c ()()＜，则区间的右端点就是c ，否则是b ．接下来，我们选中单元格D3到H3，将鼠标移到单元格的右下角，鼠标指针变成十字形状，按住鼠标向下拖动一行，即可实现对单元格D4到H4的自动填充，更进一步的，我们选中单元格B4到H4，重复相同的操作，可以实现对以下若干行的自动填充．我们可以根据题目精确度的要求，选择拖动到哪一行结束．这个问题的解决让我们体会到，对于人工运算很耗时耗力的问题，如果借助于计算机，可以瞬间完成，既省时省力，又准确无误，可见，工具的选择和使用至关重要．设计意图：让学生体会信息技术在处理计算量较大而且有重复步骤的问题时的重要价值．4.5.3 函数模型的应用引言：以上，我们学习了函数在数学内部的应用，接下来我们学习函数模型的实际应用． (一) 已知函数模型例3 阅读下面资料并回答问题．良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚和瓶窑镇，1936年首次发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑．2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，于是推测古城存在时期为公元前3300年～前2500年．你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？在前面的学习中，我们得到了一个预备知识，注释：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y 会随死亡年数x 在初始量k 的基础上按确定的比率p 衰减（p 称为衰减率），并满足函数关系=1xy k p k -∈R ()(，010 k p x ≠且0；＜＜；≥)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．分析：首先，我们需要求出函数关系中的参数p ，明确函数解析式．然后，把0.552k 作为函数值代入解析式，求出死亡年数．解：根据已知条件，573011=2k p k -()，从而51=p -，所以生物体内碳14含量y 与死亡年数x 之间的函数解析式是5=xy k (．由样本中碳14的残留量约为初始量的55.2%可知，5=552xk (.%k ，即 5=0552x(.．解得5=log552x .．由计算工具得 4 912x ≈．因为2010年之前的4 912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的．设计意图：培养学生阅读理解的能力，培养学生从数学的角度分析和解决问题的能力． (二) 选择恰当的函数模型在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决．例4 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？问题1：你能根据对三种投资回报的描述，建立三种投资方案所对应的函数模型吗？师生活动： 设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数*=40y x ∈N ()进行描述；方案二可以用函数*=10y x x ∈N ()进行描述；方案三可以用函数1*=042x y x -⨯∈N .()进行描述．设计意图：培养学生把实际问题数学化的意识和能力．问题2：要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．怎样借助已有函数模型，分析解决当前的问题？师生活动：首先我们可以画出三个函数的图象．通过图象我们直观地看到，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是增长情况并不精确，不能体现投资收益与投资期限之间的关系．接下来，我们计算三种方案每天的回报数以及回报数的增长情况．x方案一方案二方案三y增加量/元y 增加量/元y增加量/元1 40 10 10 04.2 40 0 20 10 08. 04.3 40 0 30 10 16. 08.4 40 0 40 10 32. 16.5 40 0 50 10 64. 32.6 40 0 60 10 128.64.7 40 0 70 10 256. 128. 8 40 0 80 10 512. 256. 9 40 0 90 10 1024. 512. 10 40 0 100 10 2048.1024.… … … … … ……3040300102147483648 . 1073741824 .通过表格，我们可以发现，每天的回报数，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．但是，这似乎也不能体现投资收益与投资期限之间的关系．接下来，我们再看累计的回报数，=10y x =40y1=042x y -⨯.问题3：根据以上对函数模型增长情况的分析，我们该如何选择投资方案呢？师生活动：教师引导学生根据累计的回报数作为划分投资期限的标准．投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．设计意图：使学生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报．通过以上三种呈现方式可知，尽管方案一、方案二在第1天所得回报远大于方案三，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的．由此，我们更直观的理解了“直线上升”、“指数爆炸”的实际含义．接下来，我们一起来归纳一下用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程：首先，我们要把实际问题化归为函数模型，经过运算和推理求出函数模型的解，然后，用数学问题的解来解释说明实际问题，使实际问题得以解决。

课时：2课时教学目标：1. 知识与技能：掌握函数的基本概念、性质及图像，能够运用函数解决实际问题。

2. 过程与方法：通过小组合作、探究式学习，提高学生的分析问题、解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生的创新思维。

教学重难点：1. 重点：函数的基本概念、性质及图像。

2. 难点：运用函数解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、教学辅助材料。

2. 学生准备：提前预习相关知识点，准备好课堂讨论。

教学过程：第一课时一、导入1. 复习初中函数知识，引导学生回顾函数的定义、性质及图像。

2. 引出高中函数学习的必要性，强调函数在数学和生活中的广泛应用。

二、新授1. 函数的基本概念：讲解函数的定义、性质，以及函数的表示方法。

2. 函数的图像：介绍函数图像的绘制方法，引导学生观察图像的特点。

3. 函数性质的应用：通过实例讲解函数性质在实际问题中的应用。

三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 布置课后作业，要求学生独立完成。

第二课时一、复习导入1. 回顾上节课所学内容，引导学生回顾函数的基本概念、性质及图像。

2. 提出本节课的学习目标：运用函数解决实际问题。

二、新授1. 函数在实际问题中的应用：通过实例讲解函数在生活中的应用，如经济学、物理学等领域。

2. 运用函数解决实际问题：引导学生分析实际问题，运用函数知识进行求解。

三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 布置课后作业，要求学生独立完成。

教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、发言积极性等。

2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，了解学生对知识的掌握程度。

3. 期末考试：通过期末考试检验学生对函数知识的综合运用能力。

§2.9.1 函数的应用举例教学目标：1．了解数学建模；2．掌握根据已知条件建立函数关系式；3培养学生分析问题、解决问题的能力；4、培养学生应用数学的意识教学重点：根据已知条件建立函数关系式教学难点：数学建模意识 教学方法：读议讲练法 教学过程：（I ）复习回顾前面，我们已经学习了函数的概念、函数的性质以及指数函数和对数函数，并要求大家在课前对本章作系统地归纳整理，接上来，用已学过的知识举例说明函数的应用。

（Ⅱ）讲授新课大家首先阅读课本P 96～P 97，来了解一下数学建模的有关知识1、数学模型与数学建模：简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述。

数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相当的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。

2、例题讲解：例1：用长为m 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架的面积y 与x 的函数式，并写出它的定义域。

分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用。

解：如图设x AB 2=，则CD 弧长=x π，于是AD 22x x m π--=因此mx x y ++-=224π再由02202>⎪⎩⎪⎨⎧-->x x m x π 解之得π+<<20m x 即函数式是：mx x y ++-=224π；定义域是：)2,0(+πm 评述：此题虽为函数关系的简单应用，但应让学生通过此题明确应用的能力要求及求解应用题的基本步骤。

1． 数学应用题的能力要求：（1） 阅读理解能力；（2） 抽象概括能力（3） 数学语言的运用能力；（4） 分析、解决数学问题的能力2． 解答应用题的基本步骤：（1） 合理、恰当假设；（2） 抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；（3） 分析、解决数学问题；（4） 数学问题的解向实际问题的还原。

第十九教时教材：指数函数（3）目的：复习指数函数的定义和性质，并通过练习以期达到熟练技巧。

过程：一、复习：定义：形如 ()0,0≠>=a a a y x 的函数称为指数函数。

性质：定义域、值域、单调性、奇偶性 （略） 二、例一、已知函数()121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫⎝⎛=--1,21,2111x x y x x 定义域：x ∈R 10≤<y（其对称性与||21x y ⎪⎭⎫⎝⎛=比较）例二、求下列函数的单调区间： 1．()34260+-︒=x x tg y 2.12121-++⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 解：1．()34260+-︒=x x tg y ()1223--=x∴增区间为 ),2[+∞ 减区间为 ]2,(-∞2．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<--≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-+++)21()21()211(2)1(221323121x x x y x x xx x∴增区间为 ]1,(--∞ 减区间为 ),1[+∞-例三、设函数 f (x )是偶函数，如果函数 ()x f y 2= 在 x >0 时是增函数，则在x <0时，是增函数还是减函数？并证明之。

解：是减函数。

设a x x <<21 则021>->-x x∵()x f 是偶函数, ∴()()x f x f =- ∴()()()()12122222x f x f x f x f --=∵()x f y 2= 在 x >0, 时是增函数，且21x x ->-, ∴()()12212<--x f x f即()()12212<xf x f ,又：()021>x f , ()022>x f ∴()()1222x f x f <,∴ x <0 时，y 是减函数。

例四、已知函数 222xx y -+=求：1︒函数的定义域、值域 2︒判断函数的奇偶性 解：1︒ 定义域为 R由222xx y -+= 得 012222=+--x x y∵x ∈R , ∴△≥0, 即 0442≥-y , ∴12≥y , 又∵0>y ，∴1≥y2︒ ∵定义域为 R （是关于原点的对称区间）又∵ ()()x f x f xx =+=--222, ∴()x f 是偶函数。

高中数学函数及其应用教案
教学目标：
1. 理解函数的定义和性质；
2. 掌握函数的基本概念及其运算；
3. 熟练运用函数解决实际问题；
教学重点：
1. 函数的定义和性质；
2. 函数的运算；
3. 函数在实际问题中的应用；
教学难点：
1. 函数的概念理解；
2. 函数的复合；
3. 函数在实际问题中的应用；
教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等；
3. 练习题及答案；
教学步骤：
一、导入：（5分钟）
教师介绍函数的概念，引导学生思考函数在日常生活中的应用，并举例解释函数的定义。

二、讲解：（15分钟）
1. 函数的定义和性质；
2. 函数的运算；
3. 函数的复合；
三、练习：（20分钟）
1. 让学生完成几道简单的函数计算题目，巩固函数的概念和运算方法；
2. 通过实际问题，让学生运用函数解决实际问题；
四、讨论：（10分钟）
1. 学生分享解题思路和答案；
2. 教师指导学生讨论解题方法的合理性；
五、总结：（5分钟）
1. 教师总结本节课的重点内容；
2. 提出下节课的学习任务。

六、作业布置：（5分钟）
留作业：完成课后习题，复习函数的基本概念及应用。

教学反思：
通过本节课的教学，学生掌握了函数的基本概念和应用，思维能力和解决问题的能力有所提高。

但在练习中发现学生仍存在一些基本概念理解不够透彻和运用能力较弱的问题，下节课将加强练习和实际应用题目的训练，提高学生的数学思维和解题能力。

函数的应用教案二《函数的应用》教案12教学目标：利用数形结合的数学思想分析问题解决问题。

利用已有二次函数的知识经验，自主进行探究和合作学习，解决情境中的数学问题，初步形成数学建模能力，解决一些简单的实际问题。

在探索中体验数学来源于生活并运用于生活，感悟二次函数中数形结合的美，激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习获得成功，树立自信心。

教学重点和难点：运用数形结合的思想方法进行解二次函数，这是重点也是难点。

教学过程：（一）引入：分组复习旧知。

探索：从二次函数y=x2+4x+3在直角坐标系中的图象中，你能得到哪些信息？可引导学生从几个方面进行讨论：（1）如何画图（2）顶点、图象与坐标轴的交点（3）所形成的三角形以及四边形的面积（4）对称轴从上面的问题导入今天的课题二次函数中的图象与性质。

（二）新授：1、再探索：二次函数y=x2+4x+3图象上找一点，使形成的图形面积与已知图形面积有数量关系。

例如：抛物线y=x2+4x+3的顶点为点a，且与x轴交于点b、c；在抛物线上求一点e使sbce= sabc。

再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点f，使bce与bcd 全等。

再探索：在抛物线y=x2+4x+3上找一点m，使bom与abc 相似。

2、让同学讨论：从已知条件如何求二次函数的解析式。

例如：已知一抛物线的顶点坐标是c（2，1）且与x轴交于点a、点b，已知sabc=3，求抛物线的解析式。

（三）提高练习根据我们学校人人皆知的`船模特色项目设计了这样一个情境：让班级中的上科院小院士来简要介绍学校船模组的情况以及在绘制船模图纸时也常用到抛物线的知识的情况，再出题：船身的龙骨是近似抛物线型，船身的最大长度为48cm，且高度为12cm。

求此船龙骨的抛物线的解析式。

让学生在练习中体会二次函数的图象与性质在解题中的作用。

（四）让学生讨论小结（略）（五）作业布置1、在直角坐标平面内，点o为坐标原点，二次函数y=x2+（k—5）x—（k+4）的图象交x轴于点a（x1，0）、b （x2，0）且（x1+1）（x2+1）=—8。

《函数的应用》全章教案一、课程要求本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 .1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.二、 编写意图和教学建议1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .三、教学内容与课时的安排建议全章教学时间约需9课时.3.1 函数与方程 3课时3.2函数模型及其应用 4课时实习作业1课时小结1课时§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1．知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2．过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3．情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．三、学法与教学用具1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

高一数学函数的应用举例【本讲主要内容】函数的应用举例【知识掌握】【知识点精析】解函数应用问题的基本步骤：第一步：阅读理解，审清题意。

读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。

第二步：引进数学符号，建立数学模型。

一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。

第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果。

第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答。

【解题方法指导】例 1. （1）一种产品的年产量原来是a件，在今后m年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式。

（2）一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式。

解：（1）设年产量经过x年增加到y件，则)xpy x≤∈=且+a(*%)1(mxN（2）设成本经过x年降低到y元，则)apx∈-=且y x≤*N%)(1(mx特别提示：增长率问题是一重要的模型。

例2. “依法纳税是每个公民应尽的义务”。

国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过800元，免征个人所得税，超过800元部分需征税，设全月纳税所得额为x，x=（1）若应纳税额为)(xf的计算公式；f，设用分段函数表示1～3级纳税额)(x（2）某人2000年10月份总收入3000元，试计算该人此月份应缴纳个人所得税多少元；（3）某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于A. 800～900元B. 900～1200元C. 1200～1500元D. 1500～2800元（1）解：依税率表，有第一段：5000%5≤<⋅x x 。

普通高中课程标准实验教科书—数学第一册[苏教版] 函数的应用举例（一）教学目标（1）了解解实际应用题的一般步骤；（2）初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；（3）向学生渗透建模思想，使学生初步具有建模的能力。

三．教学重、难点：1．根据已知条件建立函数关系式；2．用数学语言抽象概括实际问题。

教学过程一、问题情境1．情境：写出等腰三角形顶角y （单位：度）与底角x 的函数关系。

解：1802y x =- ()090x <<．2．问题：分析、说明函数的定义域是函数关系的重要组成部分。

实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义。

归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义．二、数学运用1．例题：例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C(万元)、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式.解 总成本与总产量的关系为C=200+0.3x ,x N *∈.单位成本与总产量的关系为 2000.3,P x x N x*=+∈. 销售收入与总产量的关系为0.5,R x x N *=∈.利润与总产量的关系为0.2200,L R C x x N *=-=-∈．例2． 在经济学中,函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()Mf x =(1)()f x f x +-.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x 台(x N *∈)的收入函数2()300020R x x x =-(单位:元),其成本函数为()5004000C x x =+(单位:元),利润是收入 与成本之差.(1) 求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ;(2) 利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值?解 由题意知,[]1,100x ∈,切x N *∈. (1) ()P x =2()()300020(5004000)R x C x x x x -=--+=22025004000x x -+-,()MP x =22(1)()20(1)2500(1)40002025004000P x P x x x x x ⎡⎤+-=-+++---+-⎣⎦248040x =- (2) ()P x =22025004000x x -+-=212520()741252x --+,当62x =或63x =时, ()P x 的最大值为74120(元).因为()MP x =248040x -是减函数,所以当1x =时, ()MP x 的最大值为2440(元).因此,利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 不具有相同的最大值.例3．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线。

函数几何数学应用教案高中
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握几何数学的基本概念及其应用，了解几何数
学在现实生活中的实际应用。

教学内容：
1. 几何数学基本概念复习：点、线、面、角、平行线、垂直线等。

2. 几何数学应用：几何图形的计算、几何形状的分类、几何变换等。

教学步骤：
1. 引入：通过展示一些实际生活中的图片，让学生观察并思考其中的几何数学应用，引起
学生的兴趣和思考。

2. 复习基本概念：通过让学生回顾几何数学的基本概念，巩固他们的基础知识。

3. 讲解几何数学应用：通过实际案例和问题引导学生探讨几何数学在生活中的应用，并讲
解相关知识点。

4. 练习演练：让学生进行相关练习，巩固所学知识。

5. 总结：通过总结本节课的内容，让学生对几何数学应用有一个清晰的认识。

教学资源：教科书、课件、实物图片等。

评估方法：通过课堂练习和教师的观察，评估学生对几何数学应用的理解和掌握程度。

拓展延伸：鼓励学生积极探索更多关于几何数学应用的案例，拓展他们的视野和思维能力。

教学反思：在教学过程中，要根据学生的理解情况和实际情况及时调整教学方法，让学生
更好地理解和应用几何数学知识。

《函数的应用(一)》教学设计一、内容和内容解析1.内容例1是《3.1.2函数的表示法》中例8的延续，本堂课借助例8的纳税背景，用函数建立数学模型解决一系列层层递进、环环相扣的实际问题。

2.内容解析函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。

本节课是函数模型应用的第1课时，是在学生学习了函数的概念和性质，学习了一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数后的第一次综合应用。

结合3.1.2中例8的税收背景，对情景对话中的问题进行分析，建立函数模型，利用函数的性质，解决实际问题。

本节课的学习，是对前面学习过的函数有关知识的综合应用，同时让学生体会建立数学模型解决实际问题的一般过程。

在此过程中，激发应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学运算、数学建模等素养。

3.教学重难点将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系，初步感受建立数学模型解决实际问题的一般过程。

二、目标和目标解析1.目标能将具体的实际问题化归为函数问题，能建立函数解析式、分析函数性质，并利用函数图象解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等素养。

2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能指出实际问题中的数量关系，辨别函数模型，为将实际问题抽象为数学问题化归为函数模型作准备；（2）利用应纳税所得额的算法和个税计算公式，求出小王的个税税额；（3）利用综合所得收入直接求出小王的个税税额；（4）归纳出建立函数模型解决实际问题的基本过程。

三、教学问题诊断分析首先，学生在本节课之前已经结合实例学习了函数的概念、图象和性质，并应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题。

但是面对较复杂的实际问题，如何将其转化为数学问题，特别是如何选择函数模型来刻画实际问题，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象的能力。

教学时可以多从两个方面帮助学生克服困难：一是根据实际问题的条件建立函数关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和形出发，定性和定量地分析实际问题从而解决实际问题。

高中数学函数应用教案人教版
课题：数学函数应用
教材版本：人教版
教学目标：
1. 了解函数的概念及其特点；
2. 掌握函数的图像和性质；
3. 能够应用函数解决实际问题。

教学重点：
1. 函数的概念及特点；
2. 函数图像和性质；
3. 函数的应用。

教学难点：
1. 函数的图像绘制；
2. 函数解决实际问题的应用。

教学准备：
1. 教师准备PPT、教案、试卷等教学资料；
2. 学生准备纸笔、计算器等学习工具。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾函数的基本概念，并谈论函数在日常生活中的应用。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解函数的定义和特点；
2. 介绍函数的常见符号表示及函数图像；
3. 分析函数的性质，如奇偶性、周期性等。

三、示范（10分钟）
教师通过实例演示如何绘制函数的图像，并讲解如何利用函数解决实际问题。

四、练习（15分钟）
学生进行练习，绘制函数的图像并解决相关问题。

五、讨论（10分钟）
学生互相讨论解题思路，分享解题经验。

六、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点知识，巩固学生所学内容。

七、作业布置（5分钟）
布置作业，要求学生进一步练习函数的应用问题。

教学反思：
通过本节课的教学，学生能够深入了解函数的概念和特点，掌握函数的图像及性质，并能够灵活应用函数解决实际问题。

同时，教师需要及时对学生的学习情况进行评估，帮助学生巩固所学知识，提高学习效果。

2019-2020年高三数学第一轮复习 第18课时—函数的应用教案二．教学目标：1．能够应用函数的性质解决有关数学问题，能够应用函数知识解决一些简单的实际问题；2．培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力．三．教学重点：建立恰当的函数关系．四．教学过程：（一）主要知识：函数的综合问题主要有如下几个方面：1．函数的概念、性质和方法的综合问题；2．函数与其它知识，如方程、不等式、数列的综合问题；3．函数与解析几何的综合问题；4．联系生活实际和生产实际的应用问题．（二）主要方法：解数学应用题的一般步骤为：（1）审题；（2）建模；（3）求解；（4）作答．（三）例题分析：例1．从盛满升纯酒精的容器里倒出升，然后用水填满，再倒出升混合溶液又用水填满，这样继续下去，如果倒第次时共倒出纯酒精升，倒第次时共倒出纯酒精升，则的表达式是．例2．（《高考计划》考点18“智能训练第7题”）这种产品停止生产，④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是 ②与③ ②与④ ①与③ ①与④例3．假设国家收购某种农产品的价格是元/，其中征税标准为每元征元（叫做税率为个百分点，即），计划可收购．为了减轻农民负担，决定税率降低个百分点，预计收购可增加个百分点．（1）写出税收（元）与的函数关系；（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的，确定的取值范围．解：（1）由题知，调节后税率为，预计可收购，总金额为元∴231.2(12%)(8)%(40042)(08)12500m y m x x x x x =+-=--<≤． （2）∵元计划税收元，∴1.2(12%)(8)% 1.28%78%m x x m +-≥⋅⋅，得，，又∵，∴的取值范围为．例4．某航天有限公司试制一种仅由金属和金属合成的合金，现已试制出这种合金克，它的体积立方厘米，已知金属的比重小于每立方厘米克，大于每立方厘米克；金属的比重约为每立方厘米克．（1）试用分别表示出此合金中金属、金属克数的函数关系式；（2）求已试制的合金中金属、金属克数的取值范围．解：（1）此合金中含金属克、金属克， 则400507.2x y x y d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 解得，360(8)(8.89)7.2d y d d -=<<-．（2）∵407.240(1)7.27.2d x d d ==+--在上是减函数，∴． 360(8)0.8360(1)7.27.2d y d d -==---在上是增函数，．例5．（《高考计划》考点18例3）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位的水可清除蔬菜上残留的农药量的，用水越多洗掉的农药量越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（1）试规定的值，并解释其实际意义；（2）根据假定写出函数应满足的条件和具有的性质；（3）设，现有单位量的水，可清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由． 解答见《高考计划》第95页．（四）巩固练习：1．（《高考计划》考点18“智能训练第5题”）甲、乙两人沿同一方向去地，途中都使用两种不同的速度．甲一半路程使用速度，另一半路程使用速度，乙一半时间使用速度，另一半时间使用速度，甲、乙两人从地到地的路程与时间的函数图象及关系，有下面图中个不同的图示分析（其中横轴表示时间，纵轴表示路程），其中正确的图示分析为（）．（1） （3） （1）或（4） （1）或（2）（1） （2） （3）（4）2．投寄本埠平信，每封信不超过时付邮费元，超过不超过时付邮费元，依此类推，每增加需增加邮费元（重量在以内），如果某人投一封重量为的信，他应付邮费 （）元 元 元 元五．课后作业：《高考计划》考点18，智能训练3，4，10，13，14．2019-2020年高三数学第一轮复习 第19课时-数列的有关概念教案二．教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解与的关系，培养观察能力和化归能力．三．教学重点：数列通项公式的意义及求法，与的关系及应用．四．教学过程：（一）主要知识：1．数列的有关概念；2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法．3．与的关系：．（二）主要方法：1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；22．数列前项的和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证是否适合．（三）例题分析：例1． 求下面各数列的一个通项：14916(1),,,,24578101113--⨯⨯⨯⨯；数列的前项的和 ；数列的前项和为不等于的常数) ．解：（1）．（2）当时 ， 当时 ，显然不适合∴．（3）由可得当时，)(11---=-∴n n n n a a r S S ，∴，∴ ∵ ∴，∵，∴是公比为的等比数列．又当时，，∴，∴．说明：本例关键是利用与的关系进行转化．例2．根据下面各个数列的首项和递推关系，求其通项公式：（1）；（2）；（3）．解：（1），∴，∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-121222(1)n =+⨯+⨯++⨯-21(1)1n n n n =+⨯-=-+（2），∴ =．又解：由题意，对一切自然数成立，∴11(1)11n n na n a a -=-==⋅=，∴．（3）}2{)2(21212111-∴-=-∴+=++n n n n n a a a a a 是首项为 公比为的等比数列，111121(),2()22n n n n a a --∴-=-⋅∴=-． 说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；（2）若数列满足，则数列是公比为的等比数列．例3．设是正数组成的数列，其前项和为，并且对所有自然数，与的等差中项等于与的等比中项，写出数列的前三项；求数列的通项公式(写出推证过程)；令，求．解：（1）由题意： ，令，，解得令，， 解得令，， 解得∴该数列的前三项为（2）∵，∴，由此，∴221111[(2)(2)]8n n n n n a S S a a +++=-=+-+，整理得：11()(4)0n n n n a a a a +++--= 由题意：，∴，即，∴数列为等差数列，其中公差，∴（3）14242122()(11)2424222121n n n b n n n n +-=+=++--+-+ ∴121111113352121n b b b n n n +++=+-+-++--+． 例4．（《高考计划》考点19“智能训练第17题”）设函数，数列满足（1）求数列的通项公式； （2）判定数列的单调性．解答参看《高考计划》教师用书．（四）巩固练习：1．已知，则．2．在数列中，且，则．五．课后作业：《高考计划》考点1，智能训练12．13．14．15．16．。

数学课教案函数与函数的应用数学课教案：函数与函数的应用一、引入在数学中，函数是一种非常重要的概念，它描述了数值之间的依赖关系。

函数不仅在数学中有广泛的应用，也在生活和实际问题中有很多应用。

本节课我们将学习函数与函数的应用方面的知识。

二、探索函数1. 什么是函数- 提示学生思考函数的定义和特点。

- 提供一个实际问题，帮助学生理解函数。

2. 函数的表示方法- 符号表示法：f(x)- 图像表示法：函数图像3. 函数的性质- 定义域和值域- 奇偶性和周期性- 单调性三、常见函数类型1. 线性函数- 函数表达式：y = kx + b- 几何意义：直线- 应用：一次函数的实际问题2. 幂函数- 函数表达式：y = x^a（a为实数）- 几何意义：曲线- 应用：幂函数在实际问题中的应用3. 指数函数- 函数表达式：y = a^x（a>0且a≠1）- 几何意义：曲线- 应用：指数函数在实际问题中的应用 4. 对数函数- 函数表达式：y = loga(x)（a>0且a≠1） - 几何意义：曲线- 应用：对数函数在实际问题中的应用 5. 三角函数- 函数表达式：sin(x)、cos(x)、tan(x)等- 几何意义：周期曲线- 应用：三角函数在实际问题中的应用四、函数的应用1. 函数的图像和实际问题的关系- 通过实例，让学生理解函数图像与实际问题的对应关系。

2. 实际问题中的函数模型- 提供一些实际问题，让学生找出函数模型并进行求解。

3. 函数在经济学中的应用- 通过实例，让学生了解函数在经济学中的应用。

4. 函数在物理学中的应用- 通过实例，让学生了解函数在物理学中的应用。

5. 函数在生物学中的应用- 通过实例，让学生了解函数在生物学中的应用。

五、总结与拓展1. 总结本节课的学习内容，复习函数的基本概念和性质。

2. 提出一些问题，拓展学生的思维，引导他们进一步思考函数与函数的应用。

3. 布置作业：练习册上相关练习。