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确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。
一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=2mvBe，由图还看出经历时间相差∆t=2T3=4πm3Be，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=rtan30=√3r又带电粒子的轨道半径可表示为：R=mv0qB 故带电粒子运动周期：T=2πmqB=2√3πv0r带电粒子在磁场区域中运动的时间t=60360T=√3πr3v0二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
高中物理确定带电粒子在磁场中运动轨迹圆心的方法学法指导李树学带电粒子垂直进入磁场，在洛仑兹力的作用下，做匀速圆周运动，找到圆心，画出轨迹，是解这类题的关键。
下在举例说明圆心的确定方法。
一、由两速度的垂线定圆心例1. 电视机的显像管中，电子（质量为m，带电量为e）束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半径为r。
当不加磁场时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。
为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感强度B应为多少？图1解析：如图2所示，电子在匀强磁场中做圆周运动，圆周上的两点a、b分别为进入和射出的点。
做a、b点速度的垂线，交点O1即为轨迹圆的圆心。
图2设电子进入磁场时的速度为v，对电子在电场中的运动过程有=22/eU mv对电子在磁场中的运动（设轨道半径为R）有=2/evB mv R由图可知，偏转角θ与r、R的关系为θ2=r Rtan(/)/联立以上三式解得θ122B r mU e=(/)/tan(/)二、由两条弦的垂直平分线定圆心例2. 如图3所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B ，方向向里。
一带正电荷量为q 的粒子，质量为m ，从O 点以某一初速度垂直射入磁场，其轨迹与x 、y 轴的交点A 、C 到O 点的距离分别为a 、b 。
试求：（1）初速度方向与x 轴夹角；（2）初速度的大小。
图3解析：（1）粒子垂直射入磁场，在xOy 平面内做匀速圆周运动，如图4所示，OA 、OC 是圆周上的两条弦。
做两条弦的垂直平分线，交点O 1即为圆轨迹的圆心，以O 1为圆心，1＝R 为半径画圆。
正电荷在O 点所受的洛仑兹力F 的方向（与初速度垂直）和粒子的初速度v 的方向（与1垂直斜向上），也在图上标出。
图4设初速度方向与x 轴的夹角为θ，由几何关系可知，∠O 1OC ＝θ。
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的三种巧妙方法(一)对称法1.如图8220所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角。
现将带电粒子的速度变为v 3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )A.12Δt B ．2Δt C.13Δt D ．3Δt解析：选B(二)旋转圆法2. (多选)如图8221所示，扇形区域AOC 内有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一粒子源S 。
某一时刻，从S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有部分粒子从边界OC 射出磁场。
已知∠AOC ＝60°，从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T 2(T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC 射出的粒子在磁场中运动的时间不可能为( )A.T 12B.T 8C.T 4D.T 3 解析：选AB 粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子在磁场中出射点和入射点的连线即为轨迹的弦。
初速度大小相同，轨迹半径R ＝m v qB 相同。
设OS ＝d ，以S 为圆心，将轨迹圆逆时针旋转。
当出射点D 与S 点的连线垂直于OA 时，DS 弦最长，轨迹所对的圆心角最大，周期一定，则粒子在磁场中运动的时间最长。
由此得到：轨迹半径为：R ＝32d ，当出射点E 与S 点的连线垂直于OC 时，弦ES 最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短。
则：SE ＝32d ，由几何知识，得θ＝60°，最短时间：t min ＝T 6。
所以，粒子在磁场中运动时间范围为16T ≤t ≤T 2，故不可能的是A 、B 。
(三)放缩圆法3．如图8222所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad 边中点O 射出与Od 边夹角为30°，大小为v 0的带电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力忽略不计，求：(1)试求粒子能从ab 边上射出磁场的v 0的大小范围；(2)粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。
高中物理确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远射出的时间差是多少解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
处理带电粒子在磁场中的运动时常要确定轨迹和圆心，请问你几种办法确定圆心
确定带电粒子在磁场中运动的轨迹和圆心的方法取决于问题的具体情况和已知条件。
以下是几种常见的方法：
1. 洛伦兹力定律：利用洛伦兹力定律可以确定带电粒子在磁场中的受力方向和大小。
如果带电粒子的运动是在一个匀强磁场中，则可以根据洛伦兹力的方向和大小来确定粒子的加速度，从而找到粒子的运动轨迹和圆心。
2.运动方程：如果已知带电粒子的初始速度和磁场中的洛伦兹力，可以使用牛顿运动定律和洛伦兹力定律建立运动方程，然后解方程得到带电粒子的轨迹和圆心。
3. 受力分析：通过分析带电粒子在磁场中的受力情况，可以确定粒子的加速度方向和大小。
如果粒子的加速度始终垂直于速度方向，那么粒子的运动轨迹将是一个圆形，圆心就是粒子的加速度方向上的投影。
4. 动量定理：利用动量定理，可以将洛伦兹力的方向和大小与带电粒子的运动轨迹联系起来。
通过分析粒子在磁场中的动量变化，可以确定圆心的位置。
这些方法可以根据具体问题的不同进行选择和应用。
在实际问题中，可能需要结合多种方法来确定带电粒子在磁场中的运动轨迹和圆心。
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确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下： 一、对称法 带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m ，电荷为e ），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ 解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s =2r =，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v 0从M 点沿半径方向射入磁场区，并由N 点射出，O 点为圆心。
当∠MON ＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R 及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M 、N 点作半径OM 、ON 的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN 所对的轨道圆心角为60°，O 、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r /tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期： 带电粒子在磁场区域中运动的时间 二、旋转圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的四种方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是高考的热点，这些考题不仅涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
现将确定带电粒子运动轨迹的方法总结如下：一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2 ）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3 所示，直线MN上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点同样速度v 射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s =2r= ，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
图6 所示。
O以与MN 成30°角的例2．如图5 所示，在半径为r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0 从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠ MO＝N 120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N 点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O' 的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30 ° =又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
磁感线及带电粒子在磁场中的运动轨迹磁感线是描述磁场分布的一种方法，在研究磁场中带电粒子的运动轨迹时，磁感线起着重要的作用。
本文将介绍磁感线的概念及其性质，并探讨带电粒子在磁场中运动的规律。
一、磁感线的概念与性质磁感线是描述磁场分布的曲线，它的定义是磁力线的切线方向与磁感应强度的方向相同。
磁感线的密度表示磁场强度的大小，密集的磁感线表示磁场强度大，而疏松的磁感线则表示磁场强度小。
磁感线是闭合曲线，即它不会自相交、不会断裂或中断。
磁场中两个不同位置的磁感线不能相交，因为如果相交，则意味着在这个位置磁场的方向不确定，违背了磁感线定义的要求。
二、带电粒子在磁场中的运动规律带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用，该力可以使带电粒子沿着磁场线旋转，从而形成一个圆周运动。
洛伦兹力的大小与带电粒子的电荷量、速度以及磁感应强度之间有关。
具体来说，当带电粒子的速度与磁场的方向垂直时，洛伦兹力的方向垂直于速度和磁场线的平面，使带电粒子在磁场中做匀速圆周运动。
当带电粒子的速度与磁场的方向不垂直时，洛伦兹力的方向包含一个垂直于速度的分量和一个垂直于磁场线的分量，使带电粒子在磁场中做螺旋线运动。
带电粒子在磁场中的运动轨迹可以用数学方法进行描述。
在给定初速度和磁感应强度的情况下，可以通过求解运动方程得到带电粒子运动的轨迹方程。
如果带电粒子的速度和磁场方向垂直，运动轨迹是一个半径恒定的圆；如果带电粒子的速度和磁场方向不垂直，则轨迹是一个既有圆弧段又有直线段的螺旋线。
三、磁场中带电粒子轨迹的应用带电粒子在磁场中的运动轨迹应用广泛。
在粒子加速器中，强磁场的作用使带电粒子沿着特定轨道运动，从而进行粒子加速和粒子束控制。
磁感线的分布以及带电粒子的运动轨迹对设计和优化粒子加速器具有重要意义。
此外，磁场中带电粒子的运动轨迹还应用于磁共振成像（MRI）技术中。
在MRI中，通过在人体或物体周围产生强磁场，利用带电粒子的运动轨迹得到图像信息，从而实现对内部结构的非侵入性成像。
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。
一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距s=2r=，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为R=r/tan30°=又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
一、带电粒子在有界磁场中的运动1．运动电荷所受的洛伦兹力．．．．方向始终与速度方向垂直，所以洛伦兹力只改变速度方向，不改变速度大小，洛伦兹力对带电粒子不做功．．．．．．．．．．．．。
2．带电粒子沿着与磁场垂直的方向射入磁场，在匀强磁场中做匀速圆周运动。
3．洛伦兹力提供带电粒子做圆周运动所需的向心力。
由牛顿第二定律得2v qvB m R=，则粒子运动的轨道半径mv R qB =，运动周期2πm T qB =。
4．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，确定圆心和运动半径，画出粒子运动的轨迹。
⑴ 圆心．．的确定：画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的洛伦兹力的方向，两洛伦兹力延长线的交点即为圆心；或利用一根弦的中垂线，结合一点洛伦兹力的延长线作出圆心位置。
⑵ 半径．．的确定和计算：圆心确定以后，利用平面几何关系，求出该圆的半径。
⑶ 在磁场中运动时间．．．．的确定：用几何关系求出运动轨迹所对应的圆心角θ，由公式360t T θ=求出粒子在磁场中运动的时间。
【例1】 如图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t ，若加上磁感应强度为B 、垂直纸面向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出磁场时偏离原方向60︒，利用以上数据可求出下列物理量中的A ．带电粒子的比荷B ．带电粒子在磁场中运动的周期C ．带电粒子的初速度D ．带电粒子在磁场中运动的半径【答案】 A B【例2】 如图所示，圆柱形区域的横截面内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 。
一带电粒子（不计重力）以某一初速度沿截面直径方向射入时，穿过此区域所用的时间为t 。
又知粒子飞出此区域时速度方向偏转了60︒角，根据以上条件可求下列物理量中的A ．带电粒子的比荷B ．带电粒子的初速度C ．带电粒子在磁场中运动的周期D ．带电粒子在磁场中运动的半径【答案】 A C【例3】 在一个边界为等边三角形的区域内，存在着方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在磁场边界上的P 点处有一个粒子源，粒子源发出比荷相同的三个粒子a b c 、、（不计重力）沿同一方向进入磁场，三个粒子在磁场中的运动轨迹如图所示。
磁场中的带电粒子运动在物理学中，磁场是指由带电粒子或者磁体所产生的力场。
而带电粒子在磁场中的运动则是一个重要的研究课题。
本文将探讨带电粒子在磁场中的运动规律以及影响因素。
1. 磁力对带电粒子的作用磁场和电场一样，都是一种力场，对带电粒子具有作用力。
在磁场中，带电粒子会受到洛伦兹力的作用。
洛伦兹力的方向垂直于带电粒子的速度方向和磁场方向，根据洛伦兹力的大小和方向可以确定带电粒子的运动轨迹。
2. 带电粒子的运动轨迹带电粒子在磁场中的运动轨迹可以采用圆周运动或者螺旋线运动。
当带电粒子的速度垂直于磁场时，洛伦兹力会使得粒子绕着磁场线圈成圆周运动。
当带电粒子的速度和磁场方向成一定的角度时，洛伦兹力会使得粒子绕着磁场线圈形成螺旋线运动。
3. 磁场对带电粒子的限制由于洛伦兹力的作用，磁场对带电粒子提供了一种限制。
带电粒子在磁场的作用下会遵循一定的运动轨迹，并受到磁场的约束。
这种约束可以用来控制带电粒子的行为，如在粒子加速器中，利用磁场可以使带电粒子产生逐渐加速的效果。
4. 影响带电粒子运动的因素带电粒子在磁场中的运动受到多种因素的影响。
首先是带电粒子的电量大小，电量越大，受到的洛伦兹力就越大。
其次是带电粒子的质量，质量越大，惯性越大，运动轨迹就越不容易改变。
还有带电粒子的速度，速度越大，洛伦兹力对其的作用也越大。
最后是磁场的强度，强磁场会对带电粒子的运动产生更大的影响。
5. 应用于物理实验和技术领域带电粒子在磁场中的运动规律被广泛应用于物理实验和技术领域。
例如，在核物理中，可以利用磁场对带电带中子进行分离和加速。
在医学成像中，磁共振成像技术利用磁场对带电粒子进行探测和成像。
磁流体技术也利用磁场对带电粒子进行操控和分离。
总之，带电粒子在磁场中的运动是一个重要的物理学研究领域。
研究带电粒子在磁场中的运动规律，不仅有助于深入理解粒子物理学，还可以应用于各种实践应用中。
通过对带电粒子在磁场中的运动的研究，我们可以更好地探索和理解自然界的奥秘。
一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。
2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。
②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。
3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。
4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（θ、r和R见图标）b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。
例1．如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是（ B ）A．电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹越长B．电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同例2．如图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t.若加上磁感应强度为B水平向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的( )A．带电粒子的比荷B．带电粒子在磁场中运动的周期C．带电粒子的初速度D．带电粒子在磁场中运动的半径解析：由带电粒子在磁场中运动的偏向角，可知带电粒子运动轨迹所对的圆心角为60°，因此由几何关系得磁场宽度l ＝R sin 60°＝mv 0qB sin 60°，又未加磁场时有l ＝v 0t ，所以可求得比荷q m ＝sin 60°Bt，A 项对；周期T ＝2πm qB可求出，B 项对；但初速度未知，所以C 、D 项错． 答案：AB例3．如右图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场．带电粒子(不计重力)第一次以速度v 1沿截面直径入射，粒子飞入磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v 2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角．则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的( )A ．半径之比为3∶1 B．速度之比为1∶ 3C ．时间之比为2∶3 D．时间之比为3∶2答案：AC1．如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电量均相同的正、负离子，从O 点以相同的速度射入磁场中，射入方向均与边界成 角。
带电粒子在磁场中运动一、不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动．2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v垂直进入匀强磁场B中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R，运动的周期为T，推导半径和周期公式：推导过程：运动时间t=3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点．(1)粒子圆轨迹的圆心的确定的常规方法①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置与通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2 所示．②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向与圆轨迹的半径R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图4－4所示．图4－2图4－3图4－4例1 、一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P〔a，0〕点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。
求3〕〕匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
〔坐标为〔0，a例2、电子自静止开始经M、N板间〔两板间的电压为U〕的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图2所示，求：〔1〕正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； 〔2〕匀强磁场的磁感应强度.〔已知电子的质量为m ，电量为e 〕emUd L L 2222(2)利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
磁场中带电粒子的运动轨迹自然界中充满了各种各样的力和场，当我们将电荷引入到磁场中时，电荷受到了磁力的作用，从而产生了运动轨迹。
这一现象在物理学中被称为电荷在磁场中的洛伦兹力。
在深入讨论磁场中带电粒子的运动轨迹之前，我们先来了解一下磁场。
磁场是由物质中所存在的电流所产生的，它可以被表示为磁力线的形式。
当电荷在磁场中运动时，根据洛伦兹力的作用，电荷会受到一个垂直于其运动方向的力，从而改变其路径。
电荷在磁场中的运动轨迹是一个非常有趣且复杂的课题。
根据洛伦兹力的作用方向，可以将电荷的运动分为两种情况：一种是电荷沿磁力线运动，另一种是电荷绕磁力线做圆周运动。
首先，我们来讨论电荷沿磁力线运动的情况。
当电荷的初速度与磁场方向垂直时，电荷将沿磁力线直线运动，这时磁力对电荷的作用力大小恒定。
而当电荷的初速度与磁场方向有一个夹角时，电荷将沿着一条弯曲的轨迹运动，这个轨迹被称为螺旋线。
在螺旋线上，电荷的速度和磁力大小始终保持不变，这是因为洛伦兹力的大小正好抵消了速度的变化。
其次，我们来讨论电荷绕磁力线做圆周运动的情况。
当电荷沿着磁力线运动且初速度与磁场方向平行时，电荷将继续沿直线运动。
然而，当电荷具有一个垂直于磁力线的初速度分量时，电荷将受到一垂直于其运动方向的洛伦兹力，从而导致电荷绕磁力线做圆周运动。
这种绕磁力线做圆周运动的情况可以非常明显地观察到在粒子加速器中。
粒子加速器是用来加速带电粒子至高速度的设备，为了将粒子加速到高能量，强磁场是不可或缺的。
当带电粒子在加速器中通过强磁场时，它们将在磁力的作用下绕磁力线做圆周运动，从而形成一个环形轨道。
除了圆周运动之外，电荷还可能产生一种螺旋状的轨迹。
这种螺旋状的轨迹可以在太阳的磁场中观察到。
太阳是一个巨大的等离子体，其表面上存在着复杂的磁场。
当太阳上的带电粒子被磁场束缚时，它们将绕磁力线做螺旋状运动，这种现象被称为太阳耀斑。
总结起来，磁场中带电粒子的运动轨迹是由洛伦兹力的作用所决定的。
确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。
但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙，其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。
只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。
下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。
一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。
利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。
例1．如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。
正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析：正、负电子的半径和周期是相同的。
只是偏转方向相反。
先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。
所以两个射出点相距，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。
例2．如图5所示，在半径为r的圆形区域内，有一个匀强磁场。
一带电粒子以速度v0从M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出，O点为圆心。
当∠MON＝120°时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。
解析：分别过M、N点作半径OM、ON的垂线，此两垂线的交点O'即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图6所示。
由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60°，O、O'的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
例3．如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度范围内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕S点旋转的动态圆，且动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9所示，最高点为动态圆与MN的相切时的交点P，最低点为动态圆与MN相割，且SQ为直径时Q为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由得：SQ为直径，则：SQ=2L，SO=L ，由几何关系得：P为切点，所以OP＝L，所以粒子能击中的范围为（）。
例4．（2010全国新课程卷）如图10所示，在．范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。
坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。
己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。
求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：（1）速度大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角正弦。
解析：设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得：解得：。
从O点以半径R（＜＜）作“动态圆”，如图11所示，由图不难看出，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。
设该粒子在磁场中的运动时间为t，依题意，所以∠＝。
设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得：，，再加上，解得：，, 。
三、缩放圆法带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。
例5．如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。
解析：如图14所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为v0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得：r+r cosθ=d①电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：，所以：②联立①②解得：，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于。
例6．（2010全国II卷）如图15所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d，电压为U，两板间有匀强磁场，磁感应强度为B0，方面平行于板面并垂直纸面朝里。
图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG（EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。
假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经EF 边中点H射入磁场区域。
不计重力。
（1）已知这些离子中的离子甲到达边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点（图中未画出）穿出磁场，且GI长为3a/4，求离子乙的质量；（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？解析：由题意知，所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，则有：qvB0=qU/d，解得离子的速度为：v=U/B0d （为一定数值）。
虽然离子速度大小不变，但质量m改变，结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式R=mv/qB分析，可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹，如图16中的动态圆。
（1）由题意知，离子甲的运动轨迹是图17中的半圆，半圆与EG边相切于A点，与EF边垂直相交于B点，由几何关系可得半径：甲°°，从而求得离子甲的质量甲。
（2）离子乙的运动轨迹如图18所示，在ΔEIO2中，由余弦定理得：乙乙乙，解得乙，从而求得乙离子的质量乙。
（3）由半径公式R=mv/qB可知R∝m，结合（1）（2）问分析可得：①若离子的质量满足m甲/2≤m≤m甲，则所有离子都垂直EH边离开磁场，离开磁场的位置到H的距离介于R甲到2R甲之间，即～；②若离子的质量满足m甲<m≤m乙，则所有离子都从EG边离开磁场，离开磁场的位置介于A到I之间，其中AE的距离，IE距离。
四、临界法以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r和速度v以及磁场B之间的约束关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。
例7．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图19所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，两极板不带电，现有质量为m电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。
解析：由左手定则判定受力向下，所以向下偏转，恰好打到下板右边界和左边界为两个临界状态，分别作出两个状态的轨迹图，如图20、图21所示，打到右边界时，在直角三角形OAB中，由几何关系得：解得轨道半径电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力因此打在左侧边界时，如图21所示，由几何关系得轨迹半径电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，所以所以打在板上时速度的范围为≤v≤例8．如图22，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边中点O射出与Od边夹角为30°，大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m,电量为q，ad边长为L，ab 边足够长，粒子重力忽略不计。
求：（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围；（2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。
解析：（1）画出从O点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，能够从ab边射出的粒子的临界轨迹如图23所示，轨迹与dc边相切时，射到ab边上的A点，此时轨迹圆心为O1，则轨道半径r1=L，由得最大速度。
轨迹与ab边相切时，射到ab边上的B点，此时轨迹圆心为O2，则轨道半径，由得最小速度。
所以粒子能够从ab边射出的速度范围为：。
（2）当粒子从ad边射出时，时间均相等，且为最长时间，因转过的圆心角为300°，所以最长时间：，射出的范围为：。
通过以上分析不难发现，对于带电粒子在磁场中的运动问题，解题的关键是画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹，如果能够熟练掌握带电粒子在磁场中运动轨迹的上述四种画法，很多问题都可以迎刃而解。
涉及圆周的某些综合题，常要在圆周里构建直角三角形来帮助解答。
这些直角三角形大多由该圆周的半径、弦或切线构成。
这里用几道高考“压轴题”为例来说明。
例2（2007全国2）如图所示，在坐标系Oxy的第一象限中存在沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E。
在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。
A是y轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C是x轴上的一点，到O的距离为l。
一质量为m，电荷量为q的带负电的粒子以某一初速度沿x轴方向从A点进入电场区域，继而通过C点进入磁场区域。
并再次通过A点，此时速度方向与y轴正方向成锐角。
不计重力作用。
试求：（1）粒子经过C点速度的大小和方向；（2）磁感应强度的大小B。
分析：运动过程包含类平抛和匀速圆周运动。
第（2）问较难。
欲求B值，要先算出圆周半径R，应构建相应的直角三角形，如下图中的⊿APD 以及⊿CPE ．再由已知的h和L来求解（见解答中的式⑩和⑾）。
解：（1）以a表示粒子在电场作用下的加速度，有＝①加速度沿y轴负方向。
设粒子从A点进入电场时的初速度为v0，由A点运动到C点经历的时间为t，则有ℎ②＝③④由②③式得v0＝Lℎ设粒子从点进入磁场时的速度为v，v垂直于x轴的分量v1＝⑤由①④⑤式得v1＝⑥设粒子经过C点时的速度方向与x轴的夹角为α，则有＝⑦由④⑤⑦式得＝⑧（2）粒子经过C点进入磁场后在磁场中作速率为v的圆周运动。
