习题------(扩圆法,旋转法)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题

带电粒子在磁场中运动的临界问题一、“矩形"有界磁场中的临界问题【例1】如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求(1）粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围。

（2）若粒子速度不受上述v 0大小的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。

解析: （1)①假设粒子以最小的速度恰好从左边偏转出来时的速度为v 1，圆心在O 1点，如图 (甲）,轨道半径为R 1，对应圆轨迹与ab 边相切于Q 点，由几何知识得：R 1＋R 1sin θ＝0.5L由牛顿第二定律得1211R v m B qv =； 得m qBLv =1②假设粒子以最大速度恰好从右边偏转出来，设此时的轨道半径为R 2，圆心在O 2点，如图 (乙),对应圆轨迹与dc 边相切于P 点。

由几何知识得：R 2＝L由牛顿第二定律得2222R v m B qv =;得m qBLv =2粒子能从ab 边上射出磁场的v 0应满足mqBL v m qBL ≤≤3(2）如图 （丙）所示，粒子由O 点射入磁场，由P 点离开磁场，该圆弧对应运行时间最长.粒子在磁场内运行轨迹对应圆心角为πα35=。

而απ2Tt m =由Rv mqvB 2=，得qB m v R =，qBm T π2= qBmt m 35π=【练习1】如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场,磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界线,现有质量m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN ′射出，粒子最大的入射速度v 可能是（ ）A ．小于mqBdB ．小于()mqBd22+C ．小于mqBd2 D ．小于()mqBd22—解析：BD二、“角形磁场区"情景下的临界问题【例2】如图所示，在坐标系xOy 平面内，在x ＝0和x ＝L 范围内分布着匀强磁场和匀强电场,磁场的下边界AB 与y 轴成45°，其磁感应强度为B ,电场的上边界为x 轴,其电场强度为E .现有一束包含着各种速率的同种粒子由A 点垂直y 轴射入磁场，带电粒子的比荷为q /m .一部分粒子通过磁场偏转后由边界AB 射出进入电场区域．不计粒子重力，求:（1）能够由AB 边界射出的粒子的最大速率；(2)粒子在电场中运动一段时间后由y 轴射出电场，射出点与原点的最大距离． 解： （1)由于AB 与初速度成45°，所以粒子由AB 线射出磁场时速度方向与初速度成45°角．粒子在磁场中做匀速圆周运动，速率越大，圆周半径越大．速度最大的粒子刚好由B 点射出． 由牛顿第二定律Rv mB qv 2=由几何关系可知 r ＝L ，得 mqBLv =（2）粒子从B 点垂直电场射入后，在竖直方向做匀速运动,在水平方向做匀加速运动． 在电场中，由牛顿第二定律Eq ＝ma此粒子在电场中运动时221at L =d ＝vt ，得mEqLBLd 2=【例3】如图所示,M 、N 为两块带异种电荷正对的金属板，其中M 板的表面为圆弧面，P 为M 板中点;N 板的表面为平面,Q 为N 板中点的一个小孔．PQ 的连线通过圆弧的圆心且与N 板垂直．PQ 间距为d ,两板间电压数值可由从0到某最大值之间变化,图中只画了三条代表性电场线．带电量为＋q ，质量为m 的粒子,从点P 由静止经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域,磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向外，CD 为磁场边界线,它与N 板的夹角为α＝45°，孔Q 到板的下端C 的距离为L .当M 、N 两板间电压取最大值时,粒子恰垂直打在CD 板上． 不计粒子重力，求：（1）两板间电压的最大值Um ；（2）CD 板上可能被粒子打中的区域长度x ； （3）粒子在磁场中运动的最长时间tm .解: （1）M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上,所以圆心在C 点，如图所示． C H ＝QC ＝L ，故半径R 1＝L又1211R v m B qv = 2121mv qU m =得mL qB U m 222=（2）设轨迹与CD 板相切于K 点,半径为R 2在△AKC 中：2245sin R L R -=︒，得()L R 122-=因KC 长等于()L R 122-=，所以，CD 板上可能被粒子打中的区域长度x 为HK ：()L R R x 2221-=-=（3)打在QE 段之间的粒子在磁场中运动时间最长，均为半周期：qBm T t m π==21三、“圆形磁场区”情景下的临界问题【例4】(2012，揭阳调考）如图，相距为R 的两块平行金属板M 、N 正对放置，s 1、s 2分别为M 、N 板上的小孔，s 1、s 2、O 三点共线且水平,且s 2O ＝R .以O 为圆心、R 为半径的圆形区域内存在大小为B 、方向垂直纸面向外的匀强磁场.收集板D 上各点到O 点的距离以及板两端点的距离都为2R ,板两端点的连线垂直M 、N 板。

一课一练56：带电粒子在磁场中运动的临界问题分析：主要集中在直线边界、平行边界、圆形边界、直角边界等造成的临界问题，处理的方法主要分放缩圆法（方向定、大小不定）和旋转圆法（大小定、方向不定）。

1．如图所示，平行边界MN 、P Q 之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，两边界间距为d ，边界MN 上A 点有一粒子源，可沿纸面内任意方向射出完全相同的质量为m ，电量为q 的带正电的粒子，粒子射出的速度大小均为v =2qBd3m，若不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子能从P Q 边界射出的区域长度与能从MN 边界射出的区域长度之比为（ ） A ．1B ．2∶3C ．3∶2D ．27∶72．（多选）如图所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点．若一个带正电的粒子（重力忽略不计）从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场．现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°的方向（如图中虚线所示），以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是（ ） A ．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场B ．若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t 0C ．若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是32t 0D ．若该带电粒子从cd 边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是53t 03．（多选）如图所示，在一等腰直角三角形ACD 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B ，一质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子(重力不计)从AC 边的中点O 垂直于AC 边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l ，则下列关于粒子运动的说法中正确的是（ ）A ．若该粒子的入射速度为v ＝qBlm，则粒子一定从CD 边射出磁场，且距点C 的距离为lB ．若要使粒子从CD 边射出，则该粒子从O 点入射的最大速度应为(21)qBlv m +=C ．若要使粒子从CD 边射出，则该粒子从O 点入射的最大速度应为v =2qBl mD ．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为πmqB4．真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示．一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m ，电荷量为e ，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（ ） A ．32mvae B ．mv aeC ．34mvaeD ．35mvae5．如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为1v ，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为2v ，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则21:v v 为（ ）A ．32：B ．21：C ．31： D ．32： 6．（2020年全国I 卷）一匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆，ac 、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径．一束质量为m 、电荷量为q （q >0）的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ） A ．76m qB π B ．54mqB πC ．43mqBπ D ．32mqBπ7．如图所示，空间存在垂直纸面的匀强磁场，一粒子发射源P 位于足够大的绝缘板上方，间距为d，在纸面内向各个方向发射速率均为v 的同种带电粒子，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力．已知粒子做圆周运动的半径也为d ，则粒子（ ）A ．能打在板上离P 点的最远距离为2dB ．能打在板上的区域长度是2dC ．到达板上的最长时间为3πd 2vD ．到达板上的最短时间为πd2v8．（多选）如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在纸面内的长度L =9.1cm ，中点O 与S 间的距离d =4.55cm ，MN 与SO 直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B =2.0×10-4T ，电子质量m =9.1×10-31kg ，电量e =1.6×10-19C ，不计电子重力．电子源发射速度v =1.6×106m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l ，则（ ） A ．θ=90O 时，l =9.1cm B ．θ=60O 时，l =9.1cm C ．θ=45O 时，l =4.55cm D ．θ=30O 时，l =4.55cm9．如图所示，在一直角坐标系xOy 平面内有圆形区域，圆心在x 轴负半轴上，P 、Q 是圆上的两点，坐标分别为P (－8L ，0)，Q (－3L ，0)．y 轴的左侧空间，在圆形区域外，有一匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面向外，磁感应强度的大小为B ，y 轴的右侧空间有一磁感应强度大小为2B 的匀强磁场，方向垂直于xOy 平面向外．现从P 点沿与x 轴正方向成37°角射出一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，带电粒子沿水平方向进入第一象限，不计粒子的重力．求： （1）带电粒子的初速度；（2）粒子从P 点射出到再次回到P 点所用的时间．10．如图所示，在第一象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一个带正电的粒子质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力，由x轴上的P点垂直磁场射入，速度与x轴正方向夹角θ=45°，P点到坐标原点的距离为L．（1）若粒子恰好能从y轴上距原点L处的Q点飞出磁场，求粒子速度大小；（2）若粒子在磁场中有最长的运动时间，求粒子速度大小的范围．11．如图所示，在xOy平面直角坐标系的MNPQ矩形区域内分布着四个有界矩形匀强磁场Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，其内磁感应强度均垂直坐标平面，且大小相等，磁场的边界位置坐标及方向均在图中标出．一带负电的粒子从坐标原点处沿y轴正方向以kv0的速度射入，请解决以下问题．（说明：d、v0为已知量，k为正整数，π取3．粒子重力及空气阻力不计．若用到以下角度的三角函数值可取为sin 45°=0.7、sin 53°=0.8、sin 60°=0.9）（1）若k=1，则粒子从坐标为（0.5d，0）的位置离开磁场Ⅰ，求粒子从进入到离开磁场的过程中运行的平均速度；（2）若k=5，请求出粒子离开MNPQ区域的位置坐标，并计算粒子在MNPQ区域运行的总时间；（3）在k=5的情况下，沿y轴平移场区Ⅱ、Ⅲ的位置可改变粒子运行的时间（平移后场区不重叠）．平移后，要使粒子仍从（2）问中的位置离开MNPQ区域，试判断粒子运行的时间是变长还是变短，并求出时间变化量的极值．hKS12．如图所示，在无限长的竖直边界NS 和MT 间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM 平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，KL 为上下磁场的水平分界线，在NS 和MT 边界上，距KL 高h 处分别有P 、Q 两点，NS 和MT 间距为1.8h ．质量为m 、带电量为+q 的粒子从P 点垂直于NS （1）求该电场强度的大小和方向．（2）要使粒子不从NS 边界飞出，求粒子入射速度的最小值．（3）若粒子能经过Q 点从MT 边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值．13．如图所示，真空中有两块足够大的荧光屏P 1、P 2水平正对放置，间距为d ，两荧光屏之间有一垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ．在紧贴荧光屏P 2的A 点有一粒子源，某一时刻向荧光屏P 2上方纸面内的各个方向同时以相同的速率各发射一个粒子(图中只画出其中的几个方向)，粒子的质量为m ，带电量为-q ，粒子的速率为02=qBdv m ．若粒子打到荧光屏上立即被吸收并发出荧光，不计粒子间的相互作用力和重力．（1）求平行于P2向左发射的粒子在磁场中的运动时间；（2）求荧光屏P1、P2之间有粒子经过的区域的面积；（3）当平行于P2向左发射的粒子到达荧光屏时，求仍在磁场中运动的粒子和已经被屏吸收的粒子的个数之比一课一练56：带电粒子在磁场中运动的临界问题答案1．【答案】C【解析】粒子在磁场中运动的轨道半径为r=mvqB=23d，则能达到P Q上的粒子长度为2⎝⎛⎭⎫23d2－⎝⎛⎭⎫13d2=233d；能打到MN上的粒子的长度为2r=43d，故粒子能从P Q边界射出的区域长度与能从MN边界射出的区域长度之比为32，故选C．2．【答案】AD【解析】由题意可知带电粒子以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T =2t 0．随粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可以知道粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG 、FE 、DC 、BA 之间，不可能从四个顶点射出，所以A 项正确；当粒子从O 点沿纸面垂直于cd 边射入正方形内，轨迹恰好为半个圆周，即时间t 0刚好为半周期，从ab 边射出的粒子所用时间小于半周期t 0，从bc 边射出的粒子所用时间小于23T =4t03，所有从cd 边射出的粒子圆心角都是300°，所用时间为5T 6=5t03，故B 、C 项错误，A 、D 项正确．3．【答案】ABD【解析】若粒子射入磁场时速度为v =qBl m，则由qvB =mv2r 可得r =l ，由几何关系可知，粒子一定从CD 边上距C 点为l 的位置离开磁场，选项A 正确；因为r =mv qB，所以v =qBrm，因此，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，速度就越大，由几何关系可知，当粒子在磁场中的运动轨迹与三角形的AD 边相切时，能从CD 边射出的轨迹半径最大，此时粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r =(2+1)l ，故其最大速度为(21)qBlv m +=，选项B 正确，C 错误；粒子在磁场中的运动周期为T =2πm qB，故当粒子从三角形的AC 边射出时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于此时粒子做圆周运动的圆心角为180°，故其最长时间应为t =πmqB ，选项D 正确。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是：① 轨迹圆的缩放：当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R ）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”.例1 一个质量为m ，带电量为+q 的粒子（不计重力），从O 点处沿+y 方向以初速度射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于xy 平面向里，它的边界分别是y=0,y=a,x=-1.5a,如图所示，那么当B 满足条件_________时，粒子将从上边界射出：当B 满足条件_________时，粒子将从左边界射出：当B 满足条件_________时，粒子将从下边界射出：例2 如图9-8所示真空中宽为d 的区域内有强度为B 的匀强磁场方向如图，质量m 带电-q 的粒子以与CD 成θ角的速度V0垂直射入磁场中。

要使粒子必能从EF 射出，则初速度V0应满足什么条件？EF 上有粒子射出的区域？例3 如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad 边夹角θ = 30°、大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求：（1）粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围.（2）如果带电粒子不受上述v 0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间.例4 如图7所示，矩形匀强磁场区域的长为L ，宽为L /2。

磁感应强度为B ，质量为m ，电荷量为e 的电子沿着矩形磁场的上方边界射入磁场，欲使该电子由下方边界穿出磁场，求：电子速率v 的取值范围？a b c d O例5、在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．★★★ 带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R 与R0的大小关系确定范围。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。

2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（θ、r和R见图标）b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

二、带电粒子在有界磁场中运动类型的分析1．给定有界磁场（1）确定入射速度的大小和方向，判定带电粒子出射点或其它【例1】（2001年江苏省高考试题）如图5所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面外，磁感应强度为B。

极值临界问题1、如图所示，宽h=2cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内，现有一群正粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r=5cm，则（）A.右边界:-4cm<y<4cm有粒子射出B.右边界:y>4cm和y<-4cm有粒子射出C.左边界:y>8cm有粒子射出D.左边界:0<y<8cm有粒子射出2、如图所示，磁感应强度大小B=0.15T、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半径R=0.10m的圆形区域内，圆的左端跟y轴相切于直角坐标系原点O，右端跟荧光屏MN相切于x轴上的A点。

置于原点的粒子源可沿x轴正方向射出速度V0=3.0×106m/s的带正电的粒子流，粒子的重力不计，荷质比q/m=1.0×108C/kg。

现以过O点并垂直于纸面的直线为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转90°，求此过程中粒子打在荧光屏上离A的最远距离？3、[2013·南昌二模]如图所示，有一垂直于纸面向外的磁感应强度为B的有界匀强磁场(边界上有磁场)，其边界为一边长为L的正三角形，A、B、C为三角形的顶点．今有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以速度v＝3qBL4m从AB边上某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC边上某点Q射出．则( )A．|PB|<2＋34L B．|PB|<1＋34LC．|QB|≤34L D．|QB|≤12LO4、如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B ，其边界为一等腰直角三角形（边界上有磁场），ACD 为三角形的三个顶点，AC=AD=L 。

今有一质量为m 、电荷量为+q 的粒子（不计重力），以速度=v CD 边上的某点P 既垂直于CD 边又垂直于磁场的方向射入，然后从AD 边上某点Q 射出，则有： （ ）A．DP B．DP C ．2DQ 3L ≤ D．DQ ≤ 5、如图所示,中轴线PQ 将矩形区域MNDC 分成上、下两部分,上部分充满垂直纸面向外的匀强磁场,下部分充满垂直纸面向内的匀强磁场,磁感应强度皆为B 。

带电粒子在磁场中的临界问题练习题1、如图所示，在坐标系的第一、四象限存在一宽度为a、垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度的大小为B；在第三象限存在与y轴正方向成θ=60°角的匀强电场。

一个粒子源能释放质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子的初速度可以忽略。

粒子源在点P（，）时发出的粒子恰好垂直磁场边界EF射出；将粒子源沿直线PO移动到Q点时，所发出的粒子恰好不能从EF射出。

不计粒子的重力及粒子间相互作用力。

求：⑴匀强电场的电场强度；⑵PQ的长度；⑶若仅将电场方向沿顺时针方向转动60º角，粒子源仍在PQ间移动并释放粒子，试判断这些粒子第一次从哪个边界射出磁场并确定射出点的纵坐标范围。

【解析】试题分析：(1)粒子源在P点时，粒子在电场中被加速根据动能定理有（1分）解得（1分）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有（1分）由几何关系知，半径（1分）解得（1分）(2)粒子源在Q点时，设OQ=d根据动能定理有（1分）根据牛顿第二定律有（1分）粒子在磁场中运动轨迹与边界EF相切，由几何关系知（1分）联立解得（1分）长度（1分）(3)若仅将电场方向沿顺时针方向转动角，由几何关系可知，粒子源在PQ间各点释放的粒子经电场后射入磁场时的速率与原来相等，仍为v1、v2。

从P、Q点发出的粒子轨道半径仍为、（1分）从P发出的粒子第一次从y轴上N点射出，由几何关系知轨道正好与EF相切，N点的纵坐标（2分）同理可求，从Q发出的粒子第一次从y轴上M点射出，M点的纵坐标（2分）即射出点的纵坐标范围[，] （1分）考点：本题考查带电粒子在复合场中的运动2、如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。

静止的带电粒子带电量为+q，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为a=45°，孔Q到板的下端C的距离为L。

+带电粒子在有界磁场中的运动有界匀强磁场是指在局部空间内存在着匀强磁场。

对磁场边界约束时，可以使磁场有着多种多样的边界形状，如：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、圆形边界、三角形边界等。

这类问题中一般设计为：带电粒子在磁场外以垂直磁场方向的速度进入磁场，在磁场内经历一段匀速圆周运动后离开磁场。

粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角不同，使粒子运动轨迹不同，导致粒子轨迹与磁场边界的关系不同，由此带来很多临界问题。

1。

带电粒子在单边界磁场中的运动【例题1】一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率V 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中(如图)。

磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图1中纸面向里。

求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离。

（2）平行直线边界磁场【例题2】如图所示，一束电子(电量为e)以速度V 垂直射入磁感强度为B ，宽度为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是 ，穿过磁场的时间是 。

A0O（3）矩形边界磁场【例题3】长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ） A ．使粒子的速度V<BqL/4m B ．使粒子的速度V>5BqL/4m C ．使粒子的速度V>BqL/m D ．使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4m（4）圆形磁场区域特点1 入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。

【例题4】如图1，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，现有一电荷量为q ，质量为m 的正离子从a 点沿圆形区域的直径入射，设正离子射出磁场区域方向与入射方向的夹角为060，求此离子在磁场区域内飞行的时间。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。

一、解题方法画图→动态分析→找临界轨迹。

（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了──这一般都不难。

）二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，v0为粒子进入磁场的初速度）分述如下：第一类问题：例1 如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为d，边界为CD和EF。

一电子从CD边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为θ。

已知电子的质量为m，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v0至少多大？分析：如图2，通过作图可以看到：随着v0的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF相切，然后就不难解答了。

第二类问题：例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点O正下方与之相距L的质子源S，可在纸面内360°范围内发射质量为m、电量为e、速度为v0=BeL/m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP=________，打在O点左侧最远距离OQ=__________。

分析：首先求出半径得r=L，然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆──就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），OP=，OQ=L。

【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。

一群质量为m、带电荷量为－q的粒子（不计重力），以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。

带电粒子在磁场中的运动的临界问题【例1】(重庆一中2013～2014学年高二上学期期末)在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B ，其横截面如图所示，磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r 和(2＋1)r 。

圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为m 、电量为q 的带电粒子，不计粒子重力。

为使这些粒子不射出磁场外边界，粒子从圆心处射出时速度不能超过( )A ．qBr mB ．2qBr mC ．(2＋1)qBr mD ．(2－1)qBr m答案：A解析：由题意知，速度最大时粒子轨迹与磁场外边界相切，作出粒子运动轨迹如图所示。

设粒子轨迹半径为R ，速度最大值为v则由牛顿第二定律得：q v B ＝m v 2R由几何关系得R ＝r所以v ＝qBr m，故选A 。

【练习1】长为L 的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，板间距离为L ，板不带电。

现在质量为m 、电量为q 的正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是( )A ．使粒子的速度v <BqL /4mB ．使粒子的速度v >BqL /4mC ．使粒子的速度v >5BqL /4mD ．使粒子的速度BqL /4m <v <5BqL /4m答案：AC解析：要使粒子不打在板上，那么粒子经过磁场后，可在板的右边或者左边穿出磁场，依据题意，粒子打在板上的临界状态，如图所示，即从板左边B 点或者右边A 点穿出磁场。

根据几何关系，有：r 1＝L 4r 22＝L 2＋(r 2－L 2)2得r 2＝54L ， 根据r ＝m v Bq ，则v 1＝Bqr 1m ＝qBL 4m ，v 2＝Bqr 2m ＝5BqL 4m那么欲使粒子不打到极板上，v <BqL /4m 或v >5BqL /4m【例2】如图所示，在半径为R 的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于圆平面(未画出)．一群比荷为q m的负离子体以相同速率v 0(较大)，由P 点在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，则下列说法正确的是(不计重力)( )A ．离子飞出磁场时的动能一定相等B ．离子在磁场中运动半径一定相等C ．由Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长D ．沿PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大解析：射入磁场的粒子比荷相等，但质量不一定相等，故射入时初动能可能不等，又因为磁场对电荷的洛伦兹力不做功，故这些粒子从射入到射出动能不变，但不同粒子的动能可能不等，A 项错误．粒子在磁场中偏转的半径为r ＝m v qB，由于比荷和速度都相等，磁感应强度B 为定值，故所有粒子的偏转半径都相等，B 正确．同时各粒子在磁场中做圆周运动的周期T ＝2πm qB，也相等，根据几何规律：圆内，较长的弦对应较大的圆心角，所以从Q 点射出的粒子偏转角最大，在磁场内运动的时间最长，C 对．沿PQ 方向射入的粒子不可能从Q 点射出，故偏角不最大，D 错，选BC.答案：BC【练习2】(东北育才中学2014～2015学年高二上学期检测)如图所示，宽d ＝2cm 的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内。

巧用旋转圆放缩圆法解决带电粒子在磁场中运动临界问题动圆放缩法：带电粒子以任意速度、沿特定方向射入匀强磁场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化。

通过画出动态放缩的圆可以帮助我们确定临界条件。

圆心在磁场边界圆心在过入射点与圆心在过入射点与边界垂直的直线上速度方向垂直的直线上方法提炼：例题1、如图，在POQ区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流(不计重力)，沿纸面垂直于磁场边界OQ方向从A点垂直边界射入磁场，已知OA=d，∠POQ=45º，离子的质量为m、带电荷量为q、要使离子不从OP边射出，离子进入磁场的速度最大不能超过多少？例题2、如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d =1.0×10－2m，A板上有一电子源P，Q点在P点正上方B板上，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～3.2×107m/s范围内的电子。

若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度B=9.1×10－3T，已知电子质量m=9.1×10－31kg ，电子电量q=1.6×10－19C ，不计电子重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A、B两板上的范围。

变式：如图，一端无限伸长的矩形区域abcd内存在着磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。

从边ad中点O射入一速率v0、方向与Od夹角θ=30º的正电粒子，粒子质量为m，重力不计，带电量为q，已知ad=L。

（1）要使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围。

（2）从ab边射出的粒子在磁场中运动时间t 的范围。

定圆旋转法：带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定的速度射入匀强磁场中，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转。

例题3、如图，水平放置的平板MN上方有方向垂直于纸面向里的匀强磁场（未画出），磁感应强度为B，许多质量为m，带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域，不计重力，不计粒子间的相互影响。

考点4.6 临界与极值问题考点4.6.1 “放缩圆”方法解决极值问题1、圆的“放缩”当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v 大小或磁场的强弱B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r 随之变化．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．如图所示，粒子进入长方形边界OABC 形成的临界情景为②和④.1. （多选）如图所示，左、右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里.一个质量为m 、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是( )A.Bqd mB.(2＋2)Bqd mC.(2－2)Bqd mD.2Bqd 2m2. (2016·全国卷Ⅲ，18)平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。

一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。

粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。

已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。

不计重力。

粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )A.mv 2qBB.3mv qBC.2mv qBD.4mv qB3. （多选）长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如下图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A 、使粒子的速度v <BqL 4m B 、使粒子的速度v >5BqL 4m C 、使粒子的速度v >BqL m D 、使粒子速度BqL 4m <v <5BqL 4m4. 如图所示，边长为L 的正方形ABCD 区域内存在磁感应强度方向垂直于纸面向里、大小为B 的匀强磁场，一质量为m 、带电荷量为－q 的粒子从AB 边的中点处垂直于磁感应强度方向射入磁场，速度方向与AB 边的夹角为30°.若要求该粒子不从AD 边射出磁场，则其速度大小应满足( )A ．v ≤2qBL mB ．v ≥2qBL mC ．v ≤qBL mD ．v ≥qBL m5. 如图所示，条形区域AA ′、BB ′中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，AA ′、BB ′为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度为d .一束带正电的某种粒子从AA ′上的O 点以大小不同的速度沿着AA ′成60°角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值v 0时，粒子在磁场区域内的运动时间为定值t 0；当粒子速度为v 1时，刚好垂直边界BB ′射出磁场．不计粒子所受重力．求：(1) 粒子的比荷q m；(2) 带电粒子的速度v 0和v 1.6. 如图所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m ，带电荷量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．(1) 图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？(2) 要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？7.如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C 的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1)两板间电压的最大值U m；(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；(3)粒子在磁场中运动的最长时间t m.8.如图所示，OP曲线的方程为：y=1－0.4 6.25-x(x,y单位均为m)，在OPM区域存在水平向右的匀强电场，场强大小E1=200N/C(设为I区)，PQ右边存在范围足够大的垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B=0.1T(设为Ⅱ区)，与x轴平行的刚上方(包括PN存在竖直向上的匀强电场，场强大小E2=100N／C(设为Ⅲ区)，PN的上方h=3.125m处有一足够长的紧靠y轴水平放置的荧光屏AB，OM的长度为a=6.25m。